三角形中的三角函数

故由余弦定理得
cosA=
b2+c2-a2 2bc
=
1 2
.
∵A 是锐角三角形的内角,
∴0<A<

2
.
∴A=

3
.
(2)y=2sin2B+sin(2B+

6
)=1-cos2B+sin2Bcos 6
+cos2Bsin 6
=1- 12cos2B+
3 2
sin2B
=1+sin(2B-

6
)≤2.
当且仅当
,
∴
sinAcosB+cosAsinB= sinAcosB-cosAsinB=
3 5 1 5
, ,

sinAcosB= cosAsinB=
2 5 1 5
, ,

tanA tanB
=2.
∴tanA=2tanB.
(2)解:
由已知

2
<A+B<,
sin(A+B)=
3 5
,
∴tan(A+B)=-
3 4
.
即
(3)a2+b2+c2≥4 3 S(S 为 △ABC 的面积).
提示: (1)法一: 边换角 (2)法一: 边换角
法二: 角换边 法二: 角换边
A c
b b
D b
法三: 构造图形
C
B
a
(3)作差换 c2 即可.
差为: 2(a2+b2)-4absin(C+30) ≥2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0.
tanA+tanB 1-tanAtanB
=-
3 4
.
将tanA=2tanB代入上式并整理得:
2tan2B-4tanB-1=0.
解得: tanB=1+
6 2
(负值舍去).
∴tanA=2tanB=2+ 6 . 设 AB 边上的高为 CD, 则:
3=AB=AD+DB=
CD tanA
+
CD tanB
=
3CD 2+ 6
<cosAcosC≤
1 4
.
即
cosAcosC
的取值范围是
(-
1 2
,
1 4
].
13.已知锐角 △ABC 中,
sin(A+B)=
3 5
,
sin(A-B)=
1 5
.
(1)求证:
tanA=2tanB; (2)设 AB=3, 求 AB 边上的高.
(1)证:
∵sin(A+B)=
3 5
,
sin(A-B)=
1 5
=
3 5
×
12 13
-
4 5
×
5 13
=
16 65
.
11.锐角 △ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边. (1)若
(a+c)(a-c)=b(b-c), 求 A 的大小; 大值时, 求 B 的大小.
(2)y=2sin2B+sin(2B+

6
)
取最
解: (1)∵(a+c)(a-c)=b(b-c), ∴b2+c2-a2=bc.
证明 sinAsinB 为有理数即可(由正弦定理可证).
或由 coscos5=cos(3-2)cos(3+2) =cos23cos22-sin23sin22 =cos23cos22-(1-cos23)(1-cos22)
=cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B) 为有理数,
-
4 3
应用二: 判断三角形的形状
例1 △ABC 中, 若 sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2C, 判断 △ABC
的形状. 直角三角形
断例三2角在形△的A形B状C.中直,角已三知角ss形iinn22或AA等+-ssii腰nn22三BB+-角ssiinn形22CC
=
1+cos2C 1+cos2B
这一特性: A+B=-C, sin(A+B)=sinC,
三角形中含有边角混合关系的问题时,
常sin运A用+2B正=弦co定s C2理; (、2)余求弦解
定理实现边角互化.
应用举例
应用一: 解三角形
例1 设△ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列, 三边长 a, b, c 的
倒数也成等差数列, 求三内角. A=B=C=60
,
试判
例3 在 △ABC 中, 已知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab, sinA+sinB= 3 , 试判断三角形的形状. 正三角形
例4 在 △ABC 中, 已知 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 试判断 三角形的形状. 直角三角形或等腰三角形
例5 在△ABC中, 若 a2sin2B+b2sin2A=2abcosAcosB, (1)试判
能有两解.
3.余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA, 弦定理鉴定三角形的形状.
cosA=
b2+c2-a2 2bc
等,
常选用余
4.射影定理: a=bcosC+ccosB.
5.面积公式: 切圆半径).
S=
12aha=
12absinC=
12r(a+b+c)(其中
r
为三角形内
特别提醒: (1)求解三角形中的问题时, 一定要注意 A+B+C=
三角形中的有关公式
设 △ABC 中, 角 A、B、C 的对边为 a、b、c,
1.内角和定理: 三角形三内角之和为, 即 A+B+C=.
注 任意两角和与第三个角总互补;
任意两半角和与第三个角的半角总互余;
锐角三角形三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角
任意两边的平方和大于第三边的平方.
,
则 C=_3_0__.
6.在 △ABC 中, a=60, b=1, 其面积为 3 , 则 △ABC 外接圆的 直径是_2___3_9__.
3
7.在 则 cos2
8.在
△ABC
B+C 2
=
△ABC
中,
1 3
,
中,
bAa2B,+b=c,21c的, 是B最C角=大2A值, ,则B为角, C92C的.的对取边值, 范a=围3是, _(c0_o,_s_A6_=]_.13
=cosAcos120ºcosA+cosAsin120ºsinA
=- 12cos2A+
3 2
sinAcosA
=-
14(1+cos2A)+
3 4
sin2A
=
1 2
sin(2A-30º)-
14.
∵0º<A<120º, ∴-30º<2A-30º<210º. ∴-
1 2
<sin(2A-30º)≤1.
∴-
1 2
,
9.设 O 是锐角三角形 ABC 的外心, 若 C=75, 且 △AOB,
△BOC, △COA 的面积满足关系式 S△AOB+S△BOC= 3 S△COA,
求 A. 45
10.在 △ABC 中,
已知 sinA=
3 5
,
cosB=
5 13
,
求 cosC 的值.
解:
∵在 △ABC 中,
cosB=
且 cos0, cos5 为有理数知: cos 为有理数.
课后练习
1. △ABC 中, A, B 的对边分别为a, b, 且 A=60, a= 6, b=4, 那 么满足条件的 △ABC ( C ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定
2.在 △ABC 中, A>B 是sinA>sinB 成立的_充__要__条件.
断三角形的形状; (2)若 cosB=4(1-cosA), 求 △ABC 三边 a, b, c
的比.
直角三角形; 8:15:17
应用三: 三角形的证明
例1 在 △ABC 中,
求证:
(1)
a-ccosB b-ccosA
=
ssiinnBA;
(2)a2-2abcos(60+C)=c2-2bccos(60+A);
情额娘不要太费心，您保重好身体是最重要的。”“放心吧。你踏实办差吧。”“谢额娘，那儿子先告辞了。”“行，去吧。”目送四哥远去 的身影，十四阿哥立即从椅子上蹦起身，挤到了额娘的暖炕上：“额娘，四哥说的那个西泰的女儿，额娘得给儿子留着！”“怎么，你也看上 了？”“儿子都不知道那丫头长什么样了儿呢！只是，四哥看上的人，准是什么好处，儿子得先下手为强。”“你呀，从小就跟你四哥争，什 么都争。这回倒好，都不知道是什么东西呢，就先争上了。”“儿子不管，反正额娘壹定要先给儿子留着。”“额娘留不留那是后话，关键是 那丫头能不能摞牌子，如果被你皇阿玛看上了，你有几个胆子跟你皇阿玛抢诸人？”“额娘，您就放心吧，是不是皇阿玛的诸人，过不了几天， 儿子就知道了。”“就算不是你皇阿玛的诸人，那么多姑娘，你干嘛非跟你四哥抢？”“额娘，您不想想，四哥什么时候主动看上过什么诸人。 这回跟您提的，他哪儿是看上了那姑娘啊，分明看上的是西泰啊！四嫂的娘家在朝中早就没有什么势力，其它侧福晋、格格们的娘家，没壹个 上三品的，四哥现在急于招兵买马，这回，不但在朝堂上拉拢了西泰，府里还多了壹个诸人，这只赚不赔的买卖，谁不惦记着？”“就你贼！ 算计完你皇阿玛，就算计你四哥。”“儿子不管，只要儿子拿到了名单，如果那上面没有伊尔根觉罗氏，额娘壹定要给儿子留好了。”“行， 行！”王爷出了永和宫，才初春，已经淌湿了壹身的汗。不知道十四弟会不会按照他预期的想法去行动，但是他只能赌壹把了，不管是输是赢， 他都奉陪到底。壹回到府里，他立即把秦顺儿叫到了跟前：“告诉粘竿处的莫吉，派几个得力的奴才，盯死了八爷、十四爷和赫奕。”“从现 在开始？”“对”“爷是想要什么情报？”“今年选秀入选秀女的名单。”“啊？爷怎么会……？”“这也是你该知道的？规矩都被你就饭吃 了？还是想挨板子？”“是，是，奴才该死，奴才该死。”秦顺儿吓得屁滚尿流地退下去了，只是他实在是不明白，爷要过的东西多了去了， 但是他给爷当差这么多年来，爷唯壹没有要过的东西就是诸人。怎么这壹次爷要的居然是入选秀女的名单？第壹卷 第三十二章 喜讯王爷的 计划是经过深思熟虑的。十四弟如果中了他的计，必然也会需要得到这张名单，必然会去找赫奕。而十四弟与八弟是死党，即使他从赫奕的手 中拿不到，求到八弟的头上，八弟必会助他壹臂之力，如愿以偿。因此，由十四弟出面寻这个名单，要远比他自己出面强多了。自己所要做的， 只是螳螂捕蝉、黄雀在后而已。但这个计划能够实施的最大前提就是，十四弟会象以往那样，对他这个四哥看上的任何东西，都要不遗余力地 去
B=

3
时取等号.
∴B= 3.
12.已知 △ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列, 求 cosAcosC 的取值范围.
解: ∵△ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,
∴2B=A+C 且 A+B+C=180º. ∴B=60º, C=120º-A.
∴cosAcosC=cosAcos(120º-A)
3.在
△ABC
中,
(1+tanA)(1+tanB)=2,
则
log2sinC=
-
1 2
.
4. △ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 若 (a+b+c)
(sinA+sinB-sinC)=3asinB, 则 C= 60 .
5.在 △ABC 中,
若其面积
S=
a2+b2-c2 43
CD=2+
6.
∴AB 边上的高为 2+ 6 .
盛树宝盒市位于山东省西南部，东邻临沂地区，西与菏泽接壤，南面是枣庄市和江苏省徐州市，北面与泰安市交界。淮海经济区核心区八大城 市之一。盛树宝盒属暖温带季风气候，面积1.1万平方公里，2016年人口835.44万人。 ； http://www.shengshubaohe.com/ 盛树宝盒 jah86kbf 盛树宝盒地区历史文化悠久，是东夷文化、华夏文明、儒家文化、水浒文化、运河文化的重要发祥地之一。儒家创始人至圣孔子、亚圣孟子、 复圣颜回、史家左丘明皆出生于此。元明清时期，京杭大运河促进了盛树宝盒商品经济的繁荣，使盛树宝盒成为京杭大运河沿岸重要的工商业 城市。2016年全市实现地区生产总值4301.82亿元，财政预算收入完成391.52亿元、增长9.0%。
提示: 令 A-C=2, 可得: 4cos2-3cos-1=0 得: cos=1
得: A=C.
例2 在△ABC 中, 已知 b= 3 , c=2 3 , 角 A 的平分线 AD=2,
求三角形的三内角的度数.
A=60, B=30, C=90
例3 在△ABC 中, 若面积为 S, 且 2S=(a+b)2-c2, 求 tanC 的值.
2.正弦定理: 径).
a sinA =
b sinB
=
c sinC
=2R(R
为三角形外接圆的半
注 正弦定理的一些变式:
(1)a:b:c=sinA:sinB:sinC;
(2)sinA=
a 2R
,
sinB=
来自百度文库
b 2R
,
sinC=
c 2R
;
(3)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC.
已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时, 务必注意可
5 13
<
1 2
,
∴60º<B<90º, 且sinB= 1-cos2B
=
12 13
.
又sinA=
3 5
<
2 2
,
∴0º<A<45º或 135º<A<180º.
∵A+B<180º, ∴0º<A<45º. ∴cosA=
1-sin2A
=
4 5
.
∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB
(正三角形时取等号).
例2 已知 △ABC 的三边均为有理数, A=3, B=2, 试证 cos5 与 cos 均为有理数.
证: 由余弦定理知, cosA, cosB, cosC 为有理数,
∴cos5 即 -cosC 为有理数,
而cos=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB,