《第一章 计数原理》课件-优质公开课-北师大选修2-3精品

【规范解答】(1)方法一(直接法)：抽取的4件产品中至少有 1件次品分为有1件次品、2件次品、3件次品3种情况：有1件 次品的抽法有 C13C种347 ；有2件次品的抽法有 C种32C；427有 3件次品的抽法有 C33C种147 .根据加法原理，至少有1件次品 的抽法共有 C13C347 C32C247=5C133C914735(种). 方法二(间接法)：从50件产品中任意抽取4件，有 C54种0 抽 法，其中没有次品的抽法有 C44种7 ，因此至少有1件次品的 抽法共有 C540 =C4457 1 935(种).
(3)解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题 角度，通过练习认真体会解排列问题的各种方法. (4)由于排列问题的结果一般数目较大，不易直接验证，解 题时要深入分析，严密周详，要防止重复和遗漏，为此可用 多种不同的方法求解看看结果是否相同.
【例2】2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不
《第一章 计数原理》课件
两个计数原理及其应用
计数原理的应用特点 计数原理与实际生活联系紧密，思考方法和解题方法与其他 内容有很大不同，具有“四强”特点，即具有概念性强、抽 象性强、实用性强、灵活性强的特点. 两个计数原理的主要作用是计数，应用时要考虑以下三方面 的问题：①要做什么事；②如何去做这件事；③怎样才算把 这件事完成了.并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法.
排列问题 解答排列问题的一般策略
(1)解排列应用问题首先必须认真分析题意，看能否把问题 归结为排队(即排列)问题，较简单的排列问题常用框图或树 形图来处理(注意也有个别问题不能用框图来处理，如不相 邻问题等).
(2)解有约束条件的排列问题的三种策略. ①特殊元素，特殊位置优先考虑； ②相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理； ③正难则反，等价转换.
第二类，从剩下的两种颜色中任选一种着于区域3处，有 C12 种方法，然后将区域2中的颜色着于区域4处，再从剩下的一 种颜色和区域3中的颜色中任取1种着于区域5处，有C12种方 法，由分步乘法计数原理，有 C14 gC13gC种12 g不C12同的着色方 法. 综上，由分类加法计数原理，共有 C14 gC13gA22 C14 gC13gC12 gC12 =72(种)不同的着色方法.
方法二：以所用颜色的多少分类考虑. 第一类，着且仅着4种颜色(即有一种颜色重复使用)，可分如 下三步进行：①区域1的着色法有 C14种；②从剩余颜色中抽 出一种准备重复着色有 C种13 ，而使其在区域2,4或3,5处着色 有2种方法，此步骤共有 2C种13 方法，将剩余的2种颜色着于 剩下两处，有 A种22 ，由分步乘法计数原理，共有 2C14 gC13gA22 种不同的着色方法.
(2)要注意准确理解“有且仅有”、“至多”、“至少”、 “全是”、“都不是”、“不都是”等词语的确切含义. (3)组合问题一般可抽象为“选派”模型来处理.另外有的问 题也可用框图结合对应思想来处理. (4)避免重复和遗漏.
【例3】50件产品中有3种次品，从中任取4件. (1)从中抽取的4件产品中至少有1件次品的抽法有多少种？ (2)抽取的4件产品中至多有2件次品的抽法有多少种？ 【审题指导】解答本题的关键是明确“至少”、“至多”的 含义，可用直接法、间接法解决.
【规范解答】选B.方法一：从3名女生中任取2人“捆”在一 起记作A，(A共有C32A=22 6种不同排法)，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间(若 甲在A、B两端，则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有 6×2=12种排法(A左B右和A右B左)最后再在排好的三个元素 中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4=48种不同排法.
方法二：同方法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作 A，(A共有C32A=22 6种不同排法)，剩下一名女生记作B，两名 男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况： 第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A22A22 =24种排法； 第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲 只有一种排法，此时共有 6A=22 12种排法；
第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男 生甲也只有一种排法. 此时共有 6A=22 12种排法 三类之和为24+12+12=48种.
组合问题 组合应用问题的解答策略
(1)解有关组合应用问题时，首先要判断这个问题是不是组 合问题，区别组合问题和排列问题的唯一标准是“顺序”， 需要考虑顺序的是排列问题，不需要考虑顺序的才是组合问 题.
【规范解答】方法一：分步考虑，先给区域1着色，有 C14种 不同的着色方法；再给区域2着色，有 C13种不同的着色方法； 然后给剩下的三个区域着色，可分两类： 第一类,将剩余两种颜色在区域3和区域4处全排列;有 A种22 ， 再将区域3中的颜色着于区域5处，仅有一种方法，依分步乘 法计数原理，有 C14 gC13种gA不22 同的着色方法；
站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的
种数是( )
(A)60
(B)48
(C)42 (D)36
【审题指导】本题是有限制条件且较复杂的排列问题，男生 甲不站两端，可视男生甲为特殊元素，两端为特殊位置.3位 女生中有且只有两位女生相邻，相邻女生可视为特殊元素.解 答本题应按特殊元素、特殊位置优先考虑的原则解决.
第二类，着且仅着3种颜色，亦可分为三步进行：①先从四 种颜色中选出三种，有 C种34 ；②从所选三种颜色中任选一 种着于1处，有 C13种；③让剩下的两种颜色一种着于区域 2,4处，一种着于区域3,5处，有 A种22 ，由分步乘法计数原 理，共有 C34 gC13种gA不22 同的着色方法. 综上，由分类加法计数原理，共有 2C14 gC13gA22 C34 gC13gA22 =72(种)不同的着色方法. 答案：72
学习了排列与排列数、组合与组合数后，应善于利 用排列数与组合数进行表达与计算.
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【例1】一个地区分为5个行政区域(如图所示)，
现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色.现有4种 颜色可供选择，则不同的着色方法有_____种.(用数字作答) 【审题指导】本题是涂色问题，可按所涂区域顺序分步考虑， 也可按所用颜色的多少分类考虑.