《第一章 计数原理》课件-优质公开课-北师大选修2-3精品
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第一章 计数原理 本章小结 线上课程课件-北师大版高中数学选修2-3
× □× □ ×□ ×□ ×□ ×□ ×
第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间即图中“”的位置这样
相当于7个“”选4个来排，一共有A74＝840种排法.
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，
根据分步乘法计数原理，
一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的
节目安排顺序？
插空法
解 第一步将6个演唱节目排成一行如图中的“ ”，一共有A66＝720(种)排法.
北师大版 高中数学 选修2—3 第一章 计数原理
本章小结
一、
知 识 网 络
两个原理
分类加法计算原理 分步乘法计数原理
排列与组合 简单计数问题
排列 组合
Anm 的意义及计算 Cnm 的意义及计算 组合数的性质
二项式定理
二项式定理 二项展开式的系数
二、 要点归纳
1.两个计数原理
有n类
完
办法
成
一
件 事
第三类：用2种颜色涂，对角区域各涂一色有A42＝4 3＝12(种). 共有24＋48＋12＝84(种).
(2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老 师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车 工修理一台机床，则有多少种选派方法？
分析
钳工 5
2
题型三 二项式定理及其应用
第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间即图中“”的位置这样
相当于7个“”选4个来排，一共有A74＝840种排法.
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，
根据分步乘法计数原理，
一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的
节目安排顺序？
插空法
解 第一步将6个演唱节目排成一行如图中的“ ”，一共有A66＝720(种)排法.
北师大版 高中数学 选修2—3 第一章 计数原理
本章小结
一、
知 识 网 络
两个原理
分类加法计算原理 分步乘法计数原理
排列与组合 简单计数问题
排列 组合
Anm 的意义及计算 Cnm 的意义及计算 组合数的性质
二项式定理
二项式定理 二项展开式的系数
二、 要点归纳
1.两个计数原理
有n类
完
办法
成
一
件 事
第三类：用2种颜色涂，对角区域各涂一色有A42＝4 3＝12(种). 共有24＋48＋12＝84(种).
(2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老 师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车 工修理一台机床，则有多少种选派方法？
分析
钳工 5
2
题型三 二项式定理及其应用
计数原理(优秀)ppt课件
在
开始 计算 之
前要进 行仔
细分析
需
要分类还
是
需要分步
.
分 类 要"做 不到 重 不 ".分漏 类后再分别 对 每 一 类 进,最 行后 计用 数分 类 加 数 原 理,求 得和 到 总. 数
分步要"做 步到 骤完 ".整完成了所有 步 骤,恰 好 完 成 任,当 务然 步 与 步 之 间 要 相 互 独立.分 步 后 再 计 算 每 一方 步法 的 数,最 后 根 据 分 步 乘 法原 计理 数,把 完 成 每 一 步 方 法 数 相,得乘到 总 数 .
分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有2种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6
种不同的方法。
编辑版pppt
问题3：用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯
数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的座位编 号.
1
A1
1
2
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的编辑版pppt
各步之间是相关联的
例题
例1 书 架 的 第 1层 放 有4本 不 同 的 计 算 机, 书 第2层 放 有3本 不 同 的 文 艺,第书3层 放 有2本 不 同 的 体 育. 书
汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车 有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工 具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
北师大版高中数学选修2-3课件：第一章 计数原理 §1 第2课时
在运用分步乘法计数原理时，当 n 步中完成
每一步的方法数均为m，且m与n相近时，所得结果常发生mn与 nm之间的混淆，正确解答问题的关键在于弄清“谁选择谁”， 若“p选择q”，则答案应是qp.如4封信选择3个邮筒，答案为34.
数学D 选修2-3
第一章 计数原理
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
数学D 选修2-3
第一章 计数原理
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
第2课时 分类加法计数原理
和分步乘法计数原理的应用
数学D 选修2-3
第一章 计数原理
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
课前预习学案
数学D 选修2-3
第一章 计数原理
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容
共有36＋48＝84种.
12分
数学D 选修2-3
第一章 计数原理
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
方法二：分为四步 第一步：考虑A，有4种； 3分
第二步：考虑B，有3种；
6分
第三步：考虑C，有两类，一是A与C同，C的选法有1种， 这样第四步D的选法有3种．二是A与C不同，C的选法是2种，
此时第四步D的选法也是2种．
数学D 选修2-3
第一章 计数原理
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
用两个计数原理解决问题时应注意的问题
1．在解决简单问题时，首先要弄清是 “ 分类”还是 “ 分 步”．判断的主要方法是结合题目中的条件、结论，研究题中 涉及到的方法能否独立完成任务，若能独立完成，则用分类加 法计数原理解决，在此种方法中应注意各类方法不重不漏；若 所涉及方法不能单独完成任务，则用分步乘法计数原理解决， 在此方法中要合理设计步骤、顺序，各步互不干扰．最后利用 分类加法计数原理或分步乘法计数原理的公式解决即可．
高中数学第一章计数原理1.3组合1.3.1组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个 元素不同),就是不同的组合.
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型一
题型二
题型三
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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知识梳理
典例透析
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
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随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型一
题型二
题型三
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随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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典例透析
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
高中数学 第一章 计数原理 排列(第一课时)课件 北师大版选修23
∴1＜m≤8,当m=2时，n=15,当m=3,4,5,6,7,8时，n均不为整
数，所以n=15,m=2.
故原有15个车站，现有(xiàn yǒu)17个车站.
第二十四页，共29页。
1.（5分）（2010·邯郸高二检测）用0、1、2、3、4、5六个数字能组成
没有(méi yǒu)重复数字的六位数，这样的六位数中奇数有
第二十七页，共29页。
4.（15分）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一(dìyī)
个出场，另一名歌手不最后一个出场，求不同排法的总数.(用
数字作答)
【解析】分两类情况：（1）不最后一个出场的歌手第一(dìyī)个
出场，有 =24种排法；（2）不最后一个出场的歌手不第
一个出场，A有44
=3×3×3×2×1=54（种）排法.所以共
×1=288个.
第二十五页，共29页。
2.(5分)不等式 x A3x >3的A解2x 集是（ ）
（A）{x|x>3}
（B）{x|x>4,x∈N}
（C）{x|3<x<4,x∈Z}
（D）{x|x>3,x∈N*}
【解析(jiě xī)】选x D .∵x! >3 x! ∴x(x-2)>3，解得x>3(或x-x3<)-! 1. (x-2)!
选出来有10种选法，再安排，故总的安排方法为
10
A
4 4
=10×4×3×2×1=240种.
第十八页，共29页。
3.下列各式中与排列(páilièA)数mn 相等的是（ ）
(A) n!
(B)n(n-1)(n-2)…(n-m)
(C) (m-n)! 【解析n-】mm+选1DA.mn--11
数，所以n=15,m=2.
故原有15个车站，现有(xiàn yǒu)17个车站.
第二十四页，共29页。
1.（5分）（2010·邯郸高二检测）用0、1、2、3、4、5六个数字能组成
没有(méi yǒu)重复数字的六位数，这样的六位数中奇数有
第二十七页，共29页。
4.（15分）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一(dìyī)
个出场，另一名歌手不最后一个出场，求不同排法的总数.(用
数字作答)
【解析】分两类情况：（1）不最后一个出场的歌手第一(dìyī)个
出场，有 =24种排法；（2）不最后一个出场的歌手不第
一个出场，A有44
=3×3×3×2×1=54（种）排法.所以共
×1=288个.
第二十五页，共29页。
2.(5分)不等式 x A3x >3的A解2x 集是（ ）
（A）{x|x>3}
（B）{x|x>4,x∈N}
（C）{x|3<x<4,x∈Z}
（D）{x|x>3,x∈N*}
【解析(jiě xī)】选x D .∵x! >3 x! ∴x(x-2)>3，解得x>3(或x-x3<)-! 1. (x-2)!
选出来有10种选法，再安排，故总的安排方法为
10
A
4 4
=10×4×3×2×1=240种.
第十八页，共29页。
3.下列各式中与排列(páilièA)数mn 相等的是（ ）
(A) n!
(B)n(n-1)(n-2)…(n-m)
(C) (m-n)! 【解析n-】mm+选1DA.mn--11
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
复习课件
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
高中数学第一章计数原理1.5二项式定理课件北师大版选修2_3
3. 二项式展开式中, 偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项
1 + C 3 + CC 4 +…=2n-1 . 式系数和, 即C������ ������ ������ ������ ������ ������
一
二
【做一做 3】 设 n∈N+, 则
0 2n - C 1 2n-1 +…+(-1)kC ������ 2n-k+…+(-1)n C ������ = C������ ������ ������ ������ 0 2n -C 1 2n-1 +…+( -1)kC ������ 2n-k+…+( -1)n C ������ = 解析:C������ ������ ������ ������ 0 n 1 n-1 ������ n-k ������ 0 C������ 2· (-1)0 +C������ 2 · (-1)1+…+C������ 2 · (-1)k+…+C������ 2 (-1)n =(2-1)n =1.
+
(2)每一行中, 与首末两端“等距离”的两个数相等. 这就是说, 二项展开式中, 与首末两端“等距离”的两项的二项式
������ 系数相等, 实际上反映了组合数的性质C������ = C������ ������ -������
.
一
二
名师点拨1.如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数 最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并 且最大. 0 1 2 ������ 2. 二项式系数的和等于 2n, 即C������ + C������ + C������ +…+C������ =2n.
高中数学 第一章 计数原理 5 第一课时 二项式定理课件 北师大版选修2-3.pptx
3
问题 1：(a＋b)n 展开式中共有多少项？ 提示：n＋1 项． 问题 2：(a＋b)n 展开式中系数有什么特点？ 提示：依次为组合数 C0n，C1n，C2n，…，Cnn. 问题 3：(a＋b)n 展开式中每项的次数有什么特点？项的 排列有什么规律？ 提示：每一项的次数和是一样的，都是 n 次，并且是按 a 的降幂排列，b 的升幂排列．
二项展开式 式中__C__rna_n_－_r_b_r _叫作二项展开式的通项 的通项 在二项式定理中，若 a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cn1x＋C2nx2
＋…＋Cnr xr＋…＋xn.
5
(1)(a＋b)n 的展开式中共有 n＋1 项，字母 a 的幂指数按降 幂排列，字母 b 的幂指数按升幂排列，每一项的次数和为 n.
第 §5 一
课 第二时 一项 章式二
定项 理式
定 理
理解教材新知
知识点
把握热点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1
§5
二项式定理
第一课时 二项式定理
2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4； (a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5. 根据上述规律归纳出(a＋b)n(n∈N＋，n≥2)的展开式，并 思考下列问题．
15
3．(湖南高考)12x－2y5 的展开式中 x2y3 的系数是
A．－20
B．－5
()
C．5
D．20
解析：由二项展开式的通项可得，第四项 T4＝C3512x2(－2y)3
＝－20x2y3，故 x2y3 的系数为－20，选 A.
问题 1：(a＋b)n 展开式中共有多少项？ 提示：n＋1 项． 问题 2：(a＋b)n 展开式中系数有什么特点？ 提示：依次为组合数 C0n，C1n，C2n，…，Cnn. 问题 3：(a＋b)n 展开式中每项的次数有什么特点？项的 排列有什么规律？ 提示：每一项的次数和是一样的，都是 n 次，并且是按 a 的降幂排列，b 的升幂排列．
二项展开式 式中__C__rna_n_－_r_b_r _叫作二项展开式的通项 的通项 在二项式定理中，若 a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cn1x＋C2nx2
＋…＋Cnr xr＋…＋xn.
5
(1)(a＋b)n 的展开式中共有 n＋1 项，字母 a 的幂指数按降 幂排列，字母 b 的幂指数按升幂排列，每一项的次数和为 n.
第 §5 一
课 第二时 一项 章式二
定项 理式
定 理
理解教材新知
知识点
把握热点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1
§5
二项式定理
第一课时 二项式定理
2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4； (a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5. 根据上述规律归纳出(a＋b)n(n∈N＋，n≥2)的展开式，并 思考下列问题．
15
3．(湖南高考)12x－2y5 的展开式中 x2y3 的系数是
A．－20
B．－5
()
C．5
D．20
解析：由二项展开式的通项可得，第四项 T4＝C3512x2(－2y)3
＝－20x2y3，故 x2y3 的系数为－20，选 A.
高中数学第一章计数原理本章整合课件北师大版选修23
置都有4种排法,根据分步乘法计数原理共有4×4×4=64项.
(3)比an=341小的数有两类,分别是:
专题1 专题2 专题3
①
1
×
×
2
×
×
②
3
1
×
3
2
×
3
3
×
根据两个计数原理,得数列{an}中比341小的项有
N=2×4×4+3×4=44项,所以n=44+1=45.
专题1 专题2 专题3
3.转化法 一般情况下研究的排列问题是不重复的排列问题,但是在实际生 活中常会遇到这样的问题:车辆牌照的号码、电话号码、电报号码 等,都是一些重复排列.事实上,解决这些问题借助于“两个原理”非 常容易办到.
集合 A 就是集合 S 的三元子集,其个数为C93 = 84. 在这些三元子集中能满足a1<a2<a3,且 a3-a2>6 的集合只有{1,2,9}, 故满足题意的子集个数为 84-1=83.
答案:C
专题1 专题2 专题3
应用5用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数. (1)如果组成的四位数必须是偶数,那么这样的四位数有多少个? (2)如果组成的四位数必须大于6 500,那么这样的四位数有多少 个? 提示:本题的限制条件是:(1)个位数字必须是偶数.(2)千、百这两 个数位上的数受限制,因此,可以采用分步排位来求解.
本章整合
两个原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
排列的概念
排列 排列数公式
排列的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
简单计数问题
组合的概念
计数原理
组合数公式
组合
组合数性质
组合的应用
(3)比an=341小的数有两类,分别是:
专题1 专题2 专题3
①
1
×
×
2
×
×
②
3
1
×
3
2
×
3
3
×
根据两个计数原理,得数列{an}中比341小的项有
N=2×4×4+3×4=44项,所以n=44+1=45.
专题1 专题2 专题3
3.转化法 一般情况下研究的排列问题是不重复的排列问题,但是在实际生 活中常会遇到这样的问题:车辆牌照的号码、电话号码、电报号码 等,都是一些重复排列.事实上,解决这些问题借助于“两个原理”非 常容易办到.
集合 A 就是集合 S 的三元子集,其个数为C93 = 84. 在这些三元子集中能满足a1<a2<a3,且 a3-a2>6 的集合只有{1,2,9}, 故满足题意的子集个数为 84-1=83.
答案:C
专题1 专题2 专题3
应用5用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数. (1)如果组成的四位数必须是偶数,那么这样的四位数有多少个? (2)如果组成的四位数必须大于6 500,那么这样的四位数有多少 个? 提示:本题的限制条件是:(1)个位数字必须是偶数.(2)千、百这两 个数位上的数受限制,因此,可以采用分步排位来求解.
本章整合
两个原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
排列的概念
排列 排列数公式
排列的应用
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简单计数问题
组合的概念
计数原理
组合数公式
组合
组合数性质
组合的应用
高中数学(北师大版,选修23)第一章 计数原理+课件+同步练习+章末归纳总结+综合测试(12份)第1章 3
[解析] (1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就 是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为 C210＝45.
(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁 先谁后，没有顺序的区别，组合数为 C210＝45.
(3)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合 数为 C310＝120.
判断下列问题是排列问题，还是组合问题？ (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位 数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数 字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ [分析] 取出元素后，在安排这些元素时，与顺序有关 则为排列问题，与顺序无关则为组合问题．
叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
有关求组合的个数的问题叫作组合问题．
Amn
nn－1n－2…n－m＋1
2．组合数公式 Cnm＝_A_mm___＝___________m_！_____________，
规定 C0n＝1.
因为 An！nm＝n－n！m！，所以，上面的组合数公式还可以写成 Cnm＝_m_！___n_－__m__！.
②性质表达式的特点：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合 数．
③性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项 式定理”时，我们会看到它的具体应用．
思路方法技巧
排列问题与组合问题的辨别
判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求 出相应的排列数或组合数．
知能目标解读
1．通过实例，理解组合的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实 际问题． 本节重点：组合的概念． 本节难点：组合数的两个性质．
(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁 先谁后，没有顺序的区别，组合数为 C210＝45.
(3)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合 数为 C310＝120.
判断下列问题是排列问题，还是组合问题？ (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位 数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数 字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ [分析] 取出元素后，在安排这些元素时，与顺序有关 则为排列问题，与顺序无关则为组合问题．
叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
有关求组合的个数的问题叫作组合问题．
Amn
nn－1n－2…n－m＋1
2．组合数公式 Cnm＝_A_mm___＝___________m_！_____________，
规定 C0n＝1.
因为 An！nm＝n－n！m！，所以，上面的组合数公式还可以写成 Cnm＝_m_！___n_－__m__！.
②性质表达式的特点：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合 数．
③性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项 式定理”时，我们会看到它的具体应用．
思路方法技巧
排列问题与组合问题的辨别
判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求 出相应的排列数或组合数．
知能目标解读
1．通过实例，理解组合的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实 际问题． 本节重点：组合的概念． 本节难点：组合数的两个性质．
高中数学北师大版选修2-3第一章计数原理2排列之排列与排列数教学课件
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2、排列数：
从n个不同的元素中取范出德蒙m(德m（≤1n73)5个-1元79素6）的所有 排列的个数，叫做从n个不Va同nd的erm元o素nd中e法取国出数m学个元素
A 的排列数。用符号 m 表家示，。于1772年发明排列 n 数符号，高等代数方面
“排列”和“排列数”有有什重么要区的分贡和献联，是系行？列
排列
【学习目标】 1.了解排列、排列数的定义． 2.掌握排列数公式的推导方法． 3.能用排列数公式解决简单的排列问题．
【重点、难点】 排列概念的理解．(难点) 排列的简单应用．(重点) 排列与排列数的区分．(易混点)
新课导入
2015年北京田径世锦赛进入到第八比赛日的争夺。在男子 4 ×100米接力决赛中，由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌 组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军，这也是亚 洲队伍在世界大赛中取得最好成绩！
讨论：莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法？
A44 43 21 24
思考题： (1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
“从5个不同元素中选出3个并按顺序排列”
A3 5 = 5×4×3= 60
(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
位数？
1
树状图： 2 3 4
2
ห้องสมุดไป่ตู้
3
4
1 34 1 24 1 23
34242 3 34141 3 241412 23131 2
思维启发
问题3： 6名同学站成一排照相，有多少种不同的排 法？
思维启发
问题1：从红、黄、蓝3种颜色选出两种给地图上的 赣州市和南昌市上色。 问题2：从1、2、3、4这四个数字中，每次取出3个 不同的数字排成一个三位数。
2、排列数：
从n个不同的元素中取范出德蒙m(德m（≤1n73)5个-1元79素6）的所有 排列的个数，叫做从n个不Va同nd的erm元o素nd中e法取国出数m学个元素
A 的排列数。用符号 m 表家示，。于1772年发明排列 n 数符号，高等代数方面
“排列”和“排列数”有有什重么要区的分贡和献联，是系行？列
排列
【学习目标】 1.了解排列、排列数的定义． 2.掌握排列数公式的推导方法． 3.能用排列数公式解决简单的排列问题．
【重点、难点】 排列概念的理解．(难点) 排列的简单应用．(重点) 排列与排列数的区分．(易混点)
新课导入
2015年北京田径世锦赛进入到第八比赛日的争夺。在男子 4 ×100米接力决赛中，由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌 组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军，这也是亚 洲队伍在世界大赛中取得最好成绩！
讨论：莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法？
A44 43 21 24
思考题： (1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
“从5个不同元素中选出3个并按顺序排列”
A3 5 = 5×4×3= 60
(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
位数？
1
树状图： 2 3 4
2
ห้องสมุดไป่ตู้
3
4
1 34 1 24 1 23
34242 3 34141 3 241412 23131 2
思维启发
问题3： 6名同学站成一排照相，有多少种不同的排 法？
思维启发
问题1：从红、黄、蓝3种颜色选出两种给地图上的 赣州市和南昌市上色。 问题2：从1、2、3、4这四个数字中，每次取出3个 不同的数字排成一个三位数。
高中数学第1章计数原理1.2.1排列与排列数公式课件北师大版选修2-3
排列数的计算方法 1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用 时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排 列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这 是排列数公式的逆用． 2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后， 再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
排列的列举问题 写出下列问题的所有排列． (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位 数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列． 【精彩点拨】 (1)直接列举数字． (2)先画树形图，再结合树形图写出．
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示 方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元 素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元 素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行， 直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列.
1．从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它
们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，
结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，
故是排列问题． 【答案】 B
阶
阶
段
段
一
三
§2 排列
第 1 课时 排列与排列数公式 Nhomakorabea学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解排列、排列数的定义，掌握排列数公式及推导方法．(重点) 2．能用列举法，写出一个排列问题的所有的排列．(易混点) 3．能用排列数公式解决无限制条件的排列问题．(难点)
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(3)解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题 角度，通过练习认真体会解排列问题的各种方法. (4)由于排列问题的结果一般数目较大，不易直接验证，解 题时要深入分析，严密周详，要防止重复和遗漏，为此可用 多种不同的方法求解看看结果是否相同.
【例2】2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不
方法二：以所用颜色的多少分类考虑. 第一类，着且仅着4种颜色(即有一种颜色重复使用)，可分如 下三步进行：①区域1的着色法有 C14种；②从剩余颜色中抽 出一种准备重复着色有 C种13 ，而使其在区域2,4或3,5处着色 有2种方法，此步骤共有 2C种13 方法，将剩余的2种颜色着于 剩下两处，有 A种22 ，由分步乘法计数原理，共有 2C14 gC13gA22 种不同的着色方法.
《第一章 计数原理》课件
两个计数原理及其应用
计数原理的应用特点 计数原理与实际生活联系紧密，思考方法和解题方法与其他 内容有很大不同，具有“四强”特点，即具有概念性强、抽 象性强、实用性强、灵活性强的特点. 两个计数原理的主要作用是计数，应用时要考虑以下三方面 的问题：①要做什么事；②如何去做这件事；③怎样才算把 这件事完成了.并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法.
方法二：同方法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作 A，(A共有C32A=22 6种不同排法)，剩下一名女生记作B，两名 男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况： 第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A22A22 =24种排法； 第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲 只有一种排法，此时共有 6A=22 12种排法；
第二类，着且仅着3种颜色，亦可分为三步进行：①先从四 种颜色中选出三种，有 C种34 ；②从所选三种颜色中任选一 种着于1处，有 C13种；③让剩下的两种颜色一种着于区域 2,4处，一种着于区域3,5处，有 A种22 ，由分步乘法计数原 理，共有 C34 gC13种gA不22 同的着色方法. 综上，由分类加法计数原理，共有 2C14 gC13gA22 C34 gC13gA22 =72(种)不同的着色方法. 答案：72
学习了排列与排列数、组合与组合数后，应善于利 用排列数与组合数进行表达与计算.
【例1】一个地区分为5个行政区域(如图所示)，
现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色.现有4种 颜色可供选择，则不同的着色方法有_____种.(用数字作答) 【审题指导】本题是涂色问题，可按所涂区域顺序分步考虑， 也可按所用颜色的多少分类考虑.
【规范解答】(1)方法一(直接法)：抽取的4件产品中至少有 1件次品分为有1件次品、2件次品、3件次品3种情况：有1件 次品的抽法有 C13C种347 ；有2件次品的抽法有 C种32C；427有 3件次品的抽法有 C33C种147 .根据加法原理，至少有1件次品 的抽法共有 C13C347 C32C247=5C133C914735(种). 方法二(间接法)：从50件产品中任意抽取4件，有 C54种0 抽 法，其中没有次品的抽法有 C44种7 ，因此至少有1件次品的 抽法共有 C540 =C4457 1 935(种).
【规范解答】选B.方法一：从3名女生中任取2人“捆”在一 起记作A，(A共有C32A=22 6种不同排法)，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间(若 甲在A、B两端，则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有 6×2=12种排法(A左B右和A右B左)最后再在排好的三个元素 中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4=48种不同排法.
第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男 生甲也只有一种排法. 此时共有 6A=22 12种排法 三类之和为24+12+12=48种.
组合问题 组合应用问题的解答策略
(1)解有关组合应用问题时，首先要判断这个问题是不是组 合问题，区别组合问题和排列问题的唯一标准是“顺序”， 需要考虑顺序的是排列问题，不需要考虑顺序的才是组合问 题.
排列问题 解答排列问题的一般策略
(1)解排列应用问题首先必须认真分析题意，看能否把问题 归结为排队(即排列)问题，较简单的排列问题常用框图或树 形图来处理(注意也有个别问题不能用框图来处理，如不相 邻问题等).
(2)解有约束条件的排列问题的三种策略. ①特殊元素，特殊位置优先考虑； ②相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理； ③正难则反，等价转换.
【规范解答】方法一：分步考虑，先给区域1着色，有 C14种 不同的着色方法；再给区域2着色，有 C13种不同的着色方法； 然后给剩下的三个区域着色，可分两类： 第一类,将剩余两种颜色在区域3和区域4处全排列;有 A种22 ， 再将区域3中的颜色着于区域5处，仅有一种方法，依分步乘 法计数原理，有 C14 gC13种gA不22 同的着色方法；
第二类，从剩下的两种颜色中任选一种着于区域3处，有 C12 种方法，然后将区域2中的颜色着于区域4处，再从剩下的一 种颜色和区域3中的颜色中任取1种着于区域5处，有C12种方 法，由分步乘法计数原理，有 C14 gC13gC种12 g不C12同的着色方 法. 综上，由分类加法计数原理，共有 C14 gC13gA22 C14 gC13gC12 gC12 =72(种)不同的着色方法.
站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的
种数是( )
(A)60
(B)48
(C)42 (D)36
【审题指导】本题是有限制条件且较复杂的排列问题，男生 甲不站两端，可视男生甲为特殊元素，两端为特殊位置.3位 女生中有且只有两位女生相邻，相邻女生可视为特殊元素.解 答本题应按特殊元素、特殊位置优先考虑的原、“至多”、“至少”、 “全是”、“都不是”、“不都是”等词语的确切含义. (3)组合问题一般可抽象为“选派”模型来处理.另外有的问 题也可用框图结合对应思想来处理. (4)避免重复和遗漏.
【例3】50件产品中有3种次品，从中任取4件. (1)从中抽取的4件产品中至少有1件次品的抽法有多少种？ (2)抽取的4件产品中至多有2件次品的抽法有多少种？ 【审题指导】解答本题的关键是明确“至少”、“至多”的 含义，可用直接法、间接法解决.