南京市金陵中学高一数学同步辅导教材[整理]
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第4章 指数与对数 本章总结提升
法则;(3)换底公式.
2.掌握对数的运算,重点提升数学运算的核心素养.
角度1对数的运算法则
【例2】 计算下列各式的值:
7
1
(1)log2 96+log224-2log284;
(2)(2022
2
江苏徐州期中)lg 25+ lg
3
8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
7×24
1
1
解(1)(方法一)原式=log2
第4章
本章总结提升
内
容
索
引
01
网络构建归纳整合
02
专题突破素养提升
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
专题一
指数幂的运算
1.指数幂的运算包括三方面的考查:(1)分式化为负指数幂;(2)根式化为分
数指数幂;(3)指数幂的运算性质.化简的结果分母中不能含有负指数,也不
能同时含有根式与分数指数.
2.掌握指数幂的运算,重点提升数学运算的核心素养.
(2)原式=lg 25+2lg 2+lg 5(lg 5+2lg 2)+(lg 2)2
=2lg 5+2lg 2+(lg 5)2+2lg 5·lg 2+(lg 2)2
=2+(lg 2+lg 5)2=2+1=3.
规律方法
对于底数相同的对数式的化简、求值常用的方法
(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;
2-1
(
2
3 -2
4 8 3
2-) ( ) +
的值
27
2
)
1
南京市金陵中学高一暑期数学同步辅导教材
南京市金陵中学高一数学同步辅导教材一、本讲教学进度1．5（P23-24）二、本讲内容1．一元二次不等式>和<的解法.2．可化为一元一次不等式组的分式不等式.3．二次函数在给定范围内的最值.三、重点、难点选讲1．一元二次不等式>和<的解法.⑴因一元二次方程的两个根是，故有一元二次不等式>，(<)的解集为<，或>.一元二次不等式<，(<)的解集为<<.⑵引用上述结论时，必须注意不等式右边为零，两个括号中的系数为1的条件.例1解不等式：⑴≤；⑵>；⑶≤.解：⑴原不等式即≤，整理得≥，≥.∴不等式的解集为≤，或≥.⑵∵≥,∴由，得不是原不等式的解.当，得>，即<，<<.∴原不等式的解集为<<，且.⑶∵>,∴原不等式与≤同解，∴原不等式的解集为≤≤.评析第⑵题中，因≥，故只需考虑是否满足不等式，就可以在原不等式中将除去.例2解关于的不等式：>（,R）.解：原不等式可化为<..⑴>时，>，∴不等式的解集是<<.⑵当时，，∴不等式的解集是.⑶当<<时，<，∴不等式的解集是.⑷当<<时，>，∴不等式的解集是⑸当时，，∴不等式的解集是.⑹当<时，<，∴不等式的解集是.2．可化为一元一次不等式组的分式不等式⑴不等式>与二次不等式>同解；不等式<与二次不等式<同解.⑵不等式≥的解集是不等式>的解集与集合的并集；不等式≤的解集是不等式<的解集与集合的并集.例3解不等式：⑴≥；⑵≥.解：(1)原不等式等价于≤.∴不等式的解集是=(2)原不等式等价于.∴不等式的解集是评析：对带有等号的不等式求解，可以在相应的不含等号的不等式的解集中，增加使分子等于零的值，就得到所求解集.例4：求不等式的解集.①等价.解：不等式与不等式组,②由①，,∴由②，，∴.∴原不等式的解集是评析：（1）解时，因不能确定的符号，所以不能把不等式两边同乘以而去分母，只能采用移项、通分的方法求解.（2）本题也可以分两种情况考虑，①若>0，则-1<恒成立，由2，.②若<0，则2恒成立.∵->0，∴将-1<两边同乘以-.得<-1，由①、②可得原不等式的解集是<,或≥.例5 已知集合，，且,.求实数a,b的值.解：由已知，得,.由A，从数轴可得集合B又和2是的实数根.3. 二次函数在给定范围内的最值由图像可以看出，二次函数当相应的抛物线开口向上时，在抛物线顶点处二次函数取得最小值，但无最大值；当抛物线开口向下时，在抛物线顶点处二次函数取得最大值，但无最小值.如果将二次函数的自变量限制在某个范围内，则相应的图象仅是抛物线的一部分，这时函数可能既有最大值，又有最小值例6已知函数,(1) 当时，求的最大值、最小值；(2) 当时，求的最大值、最小值；(3) 当时，求的最大值、最小值；解：函数即,抛物线的对称轴为直线. (1)当时，由图象知，当时，当时，(2)当时，由图象知,当时，当时，(3)当时，由图象知,当时，当时，评析(1)此类问题通常根据题设条件画出函数的图象,并由图象求解.(2)一般情况下,需要说明当x取什么值时, 函数取大或最小值. 例7已知函数求:(1) 当时，函数的最值;(2) 当时，函数的最值;解：函数即抛物线和对称轴为直线(1) 当时，由图象知,当时，函数无最大值.(2) 当时，由图象知,当时，函数无最大值.评析（1）最大值、最小值统称最值.（2）根据题设条件画图象时，要注意表示x范围的不等式中是否包含等号.当含等号时，相应的端点在图象上应画实圈；不含等号时，相应的端点不在图象上，应画空圈.例8 求函数的最小值。
高一数学同步辅导教材(第12讲)
高一数学同步辅导教材（第12讲）一、本讲教学进度2.7 对数 2.8 对数函数二、本讲教学内容1．对数及对数运算性质2．对数函数 3．对数换底公式三、重点、难点选讲 1．对数及对数运算性质 （1）对数概念由对数的定义，N b N a a blog =⇔=. 但是应注意其中的字母必须满足条件：.0,1,0>≠>N a a（2）对数恒等式由对数定义，当1,0≠>a a 时，若N a b=，则N b a log =，因此有N aNa =log .等式aa N a =log 叫做对数恒等式.（3）对数的运算性质;log log )(log N M MN a a a += N M NMa a alog log log -=； M n M a na log log =.必须注意上述运算性质的条件是0>a ，且.0,0,1>>≠N M a 应避免发生下列错误：;log log )(log N M MN a a a ⋅= NM N M a a alog log log =； N M N M a a a log log )(log ±=±； M n M a na log )(log =.(3)如果把运算分等级，“加”、“减”为一级运算，“乘”、“除”为二级运算，“乘方”、“开方”为三级运算，则通过取对数，可以把运算降低一个等级，即把二级运算转化为一级运算，把三级运算转化为二级运算.例1 计算下列各式的值：（1）128log 8； （2）81log 27（3）81log 33； （4）)32(log )32(+-解 （1）设,128log 8x = 则1288=x. 737322,2)2(==x x ，,37,73==∴x x 即 ,37128log 8= （2）设,81log 27x = 则 8127=x. .32,3)3(4343==x x34,43==∴x x ， 即 .3481log 27=（3）设x =81log 33，则 ,81)3(3=x 4343133,3)3(==x x12,43==∴x x, 即.1281log 33=（4）设x =+-)32(log )32(，则 32)32(+=-x. ()()13232,321)32(--=--=-xx . ,1-=∴x 即 1)32(log )32(-=+-.例2 求下列各式中x 的值：（1）()1)123(log 2122=-+-x x x ； （2）0)](log [log log 345=x . 解 （1）由已知，得123)12(212-+=-x x x . 2,0,022-==∴=+x x x x 或. 当012,02<-=x x ； 当 712,22=--=x x . 2-=∴x . （2）∵1的对数等于0， ∴1)(log log 34=x . ∵底的对数等于1， ∴4log 3=x . ∴,34x = 81=x .例3 计算：（1）;3272log3272log22-++ （2）2lg 72.0lg 22lg 23lg +++；（3）5lg 9lg 4lg -+. （4771.03lg ,3010.02lg ==） 解 （1）原式=)]3272)(3272[(log 2-+=42log42log4log )32()72(log2422222====-.（2）原式=2112lg 12lg 144lg 12lg )272.0100lg()43lg(2lg 72.0lg 100lg 4lg 3lg 2===⨯⨯⨯=+++. （3）)2lg 1(3lg 22lg 2210lg 3lg 2lg 5lg 9lg 4lg 22--+=-+=-+=.8572.014711.023010.0313lg 22lg 3=-⨯+⨯=-+例4 已知 6321243==y x ，求 yx 23+的值.解 对 6321243==y x取以12为底的对数，得 64log 33log 21212==y x ,3log 312=∴x.4log 212=y .1)43(log 4log 3log 23121212=⨯=+=+yx例5 已知关于x 的函数a x a x x f lg 84lg )(2+-=有最大值4，求实数a 及)(x f 取得大值时x 的值.解 a a a x a x f lg 8lg 4)log 2(lg )(2+--= 有最大值4，0lg <∴a 且 ,4lg 8lg 4=+-a a01lg lg 22=--a a .21lg ,1lg -==∴a a 或21lg ,0lg -=∴<a a ， 10101021==-a . 当)(x f 取最大值时，.4lg 2-==a x例6 已知x 、y 、z ()()+∞∈,11,0 ，且.0lg lg lg =++z y x求 yx xz zy zyxlg 1lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1+++⋅⋅的值.解 设yx xz z y zy xu lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1+++⋅⋅= 则 z y x y x z x z y u lg )lg 1lg 1(lg )lg 1lg 1(lg )lg 1lg 1(lg +++++= z yx y x z x z y lg lg lg lg lg lg lg lg lg +++++=.3lg lg lg lg lg lg -=-+-+-=zzy y x x .10001103lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1==⋅⋅=∴-+++yx xz zy zyxu 评析 由于直接计算u 值有困难，且难以运用已知条件，所以采用取对数的方法，先求出u lg 的值再计算u 的值，当指数部分的式子比较复杂时，常用这种方法进行化简或计算.2．对数函数对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且是指数函数xa y =的反函数.由指数函数的性质，对数函数x y a log =的定义域是),0(+∞，值域是),(+∞-∞.对数函数的图像x y 2log =，x y lg =，x y 21log =的图像来记忆.由图12—1 可见，函数x y a log =和x y a1log =对称，实际上，x x y a alog log 1-==.当1>a 大，它的图像在第一象限部分越“靠近x 轴，近y 轴”.因此当10<<a 象限部分越“靠近x 轴”，在第一条象限部分越“靠近例7、 求函数)45(log )(221x x x f -+=分析 解 由对数函数的定义域，,0452>-+x x 即.0542<--x x ,0)5)(1(<-+x x .51<<-x ∴y=f(x)的定义域是{x|-1<x<5}.设t=245x x -+=9)2(2+--x ,则9)2(2+--=x t 在区间（-1，2]上是增函数，在区间[2，5）上是减函数. 又函数t y 21log =在区间(0,∞+)上是减函数，∴当,2121≤<<-x x 210t t <<,;log log 22211211y t t y =>=当,0,522121>><<≤t t x x 22211211log log y t t y =<=.由此得，函数y=f(x)的单调递减区间是(-1,2],单调递增区间是[2,5).评析 求复合函数的单调区间时，不仅要注意函数的定义域，还要注意每一个函数在区间上的增减性.例8 已知),1,0(1)(≠>-=a a xx a f x求函数y=f(x)的单调区间. 分析 首先应由)(xa f 的表达式求出f(x)的解析式.解 令t a x=, 则,log t x a = .1,0≠>t t 且,log 1log )(t t t f a a -= ∴).1,0(log 1log )(≠>-=x x xx x f a a 且 设,021x x <<则221121log 1log log 1log )()(x x x x x f x f a a a a +--=-212121log log log log )log (log x x x x x x a a a a a a ⋅-+-=.log log )log log 1)(log (log 212121x x x x x x a a a a a a ⋅⋅+-=（1）当a>1,若,1021<<<x x 则,0log log 21<<x x a a∵,0log log ,0log log 2121>⋅<-x x x x a a a a.0)()(21<-∴x f x f若,121x x <<则.log log 021x x a a <<∵,0log log ,0log log 2121>⋅<-x x x x a a a a.0)()(21<-∴x f x f （2）当,10<<a若,1021<<<x x 则,0log log 21>>x x a a∵,0log log ,0log log 2121>⋅>-x x x x a a a a .0)()(21>-∴x f x f若,121x x <<则,0log log 12<<x x a a∵,0log log ,0log log 2121>⋅>-x x x x a a a a.0)()(21>-∴x f x f由上可知，当a>1时，f(x)在区间(0,1)及(+∞,1)上分别都是增函数. 当0<a<1时，f(x)在区间(0,1)及(+∞,1)上分别都是减函数.例7、 已知0<a<b<1,比较a b a b bab a 11log ,log ,log ,log 的大小.解 ∵,10<<<b a .111>>∴ba ∵x y x yb a log log ==和都是区间(0,+∞)上的减函数，x y x y a611log log ==和都是区间(0,+∞)上的增函数，01log log ,01log log ,01log log ,01log log 1111=<=<=>=>∴bbaab a a a a b b .∵log 1log log b a b b a a ==< log 1log log 111b a abb=-=< log log log 11b b a a ab<<<∴评析 由对数函数的性质及,log ,log x y x y b a ==,log 1x y a=x y b1log =图像的大致位置如图12-2作直线x=a 和x=b 可以得到b a ,log 的大小关系为：.log log log log 11a b b a b a ab<<<3．对数换底公式（1）设x N g b =lg ，则N b x=.两边取以a 为底的对数，得,log log N b a x a =.log log N b x a a =)0,1,0,1,0.(log log log >≠>≠>==∴N b b a a bNx N a a b .该式子叫对数换底公式，运用该公式可以把b 为底的对数转换成关于以a 为底的对数的式子.（2）运用对数运算性质的前提是几个对数的底数必须相同，因此在对数运算中凡遇到不同底数的对数，通常先要用对数换底公式化为同底数的对数.（2）运用换底公式还可以得到几个常用的式子：;log log N Na pa p = ;log 1log ab b a =;log log 1N N a a-= N pqNa qa p log log =.例10 求值：（1）；32log 9log 2716⋅ (2)).8log 4(log )3log 9(log 812748+⋅+ 解 （1）32log 9log 2716⋅ =653lg 32lg 52lg 43lg 227lg 32lg 16lg 9lg =⋅=⋅.().721193log 13log 1217672log 12173log 67)2log 432log 32()3log 213log 32(2log 2log )3log 3(log )8log 4(log )3log 9)(log 2(2232332233232228127484323=⋅⋅⋅=⋅=+⋅+⋅=+⋅+=+⋅+例11求证：.237log 137log 237log 3752>++证 37log 137log 237log 3752++.237log 1369log 1400log )752(log 7log 5log 22log 323737372337373737==>=⋅⋅=++=练 习一、选择题1、已知),0)(4(log )3(log 31212>+=y yy x则x 的值是（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、32、3log 21122-的值等于 （ ）A 、32 B 、32 C 、332D 、2 3、已知βα、是方程05lg 3lg lg )5lg 3(lg lg 2=⋅+++x x 的两个实根，则βα+等于（ ） A 、3lg 5lg -- B 、3lg 5lg +C 、151D 、1584、设,3,21log ,)21(2133===c b a 则a,b,c 的大小关系为 （ ）A 、b<a<cB 、b<c<aC 、a<b<cD 、a<c<b5、函数x y 21log 2+=的反函数是 （ ）A 、)(22R x y x∈-= B 、)()21(2R x y x∈=-C 、)(22R x y x∈=- D 、)(2)21(R x y x ∈-=6、函数)134(log 231+-=x x y 的值域是（ ）A 、[-3，∞+]B 、RC 、（2,-∞-]D 、（9,∞-]二、填空题7、已知,2219.1lg ,4771.03lg ,3010.02lg -===x 则x=______________________.8、已知,632236z y x==则x 、y 、z 之间的关系是_________________________.9、=-++)347347(log 2_____________________________. 10、函数)](log [log log 313131x y =的定义域是_______________________________.三、解答题11、已知集合A={a,ab,)(log 2ab },B={0,|a|,b},且A=B,求实数a,b 的值.12、已知zya a a y a x log 11log 11,--==(a>0,且1≠a )，求证：xa a z log 11-=.13、已知0)](log [log log )](log [log log )](log [log log 551533132212===z y x ，比较实数x,y,z 之间的大小关系.14 、已知,03log 5log 221221<-+x x 求函数)4(log )8(log )(212x x x f ⋅=的值域.答 案 与 提 示[答案]一、1、B 2、C 3、D 4、A 5、C 6、C二、7、0.06 8、x=y=z=0,或z y x 21361=1+ 9、210、{393131|<<x x }三、11、a=-1,b=-1 12、z<x<y 13、 z<x<y 14、{43541|<≤-y y }[提示]一、3、51,31,5lg lg ,3lg lg ==-=-=βαβα. 6、29log ,99)2(1343122-=≤≥+-=+-y x x x二、7、-1.2219=-2+0.7781=-2+(0.3010+0.4771) 06.0lg 3lg 2lg 1001lg=++= 8、设,026>=t x则.lg 6lg 23lg 32lg 6t z y x ===若t=1,x=y=z=0； 若zt y t x t t 2lg 6lg .,3lg 3lg ,6lg 2lg ,1===≠. 由zy x t 213161,0lg ,6lg 3lg 2lg =+≠=+得 9、 )12271227(log )347347(log 22-++=-++ =2)]32()32[(log 2=-++ 或原式=216log 4849214log )347347(log 2222==-+=-++10、由313131********)31(31,1log 31,1)(log log 0,0)](log [log log ≤<<≤≤<≥x x x x三、11、由,0)(log ,0,.0,0),(log 22=∈∴=≠>ab A B A a ab ab }.|,|,0{},0,1,{,1b a B a A ab === ,11,1,1,1||,1=====∴∈ba b b a B 若或 与集合中元素的互异性矛盾，,1||=∴a 且.11,1-==-=ab a 12、由,log 1log 1,log 11log ,log 11yz z y ay a a a a za =--==-xa a a a a a a a y a a a a a a a z xz y y y x y x a x yy y z log 11log 11,log 11log .1log log log 111log 1,log 11log ,.log 1log log 11log --=-=∴-=--=--==-=-=由13、由)](log [log log )](log [log log )](log [log log 551533132212zy x ==.32.,25.5,3,2,0623610521053y x x z x z z y x =<=<∴=<===== 得 y x z y x <<∴<∴,14、由已知，得.3log 21,03log 5log 22222<<-<--x x x 6log 5log )2)(log 3(log )(22222+-=--=x x x x x f=)435,41[41)25(log 22-∈--x。
简说高中数学教材(南京市金陵中学张松年)P46-P62
普通高中实验教科书 数学 张松年 zhsnpine@
南京市金陵中学数学组
了解数学的文化价值，知道数学与人类文化息息
相关；学习数学家的精神，为创造人类文明发愤
学习；了解数学发展的历程以及在科学发展中的
价值，体会数学的发生、发展的过程．
普通高中实验教科书 数学 张松年 zhsnpine@
南京市金陵中学数学组
必修1中，P5：旁白介绍Cantor．
普通高中实验教科书 数学 张松年 zhsnpine@
普通高中实验教科书 数学 张松年 zhsnpine@
南京市金陵中学数学组
案例
教材必修1中，P27：用Excel作函数的图象．
普通高中实验教科书 数学 张松年 zhsnpine@
南京市金陵中学数学组
必修1中，P53：例5．
例5 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每 期利率为r设存期是x，本利和为y元． (1)写出本利和随存期x变化的函数关系式； (2)如果存入本金1000元，每期利率为2.25%， 试计算第5期后的本利和．
5．教材充分考虑学生的不同需求，为所有 学生发展提供帮助，为学生的不同发展 提供较大的选择空间
(1)教材中的引言、正文、练习、习题中的“感受· 理 解”部分、阅读、探究案例、实习作业、本章回顾 等内容构成一个完整的体系．它是教材的核心，体 现了高中数学教学的基本要求，是所有学生应当掌 握的内容．编写时，力图使所有学生都能理解． (2)考虑广大同学的不同需要，教材提供了较大的选 择空间．主要是设计了一些具有挑战性的内容，包 括思考、探究、链接、习题中的“思考· 运用”、 “探究· 展”等，以激发学生探索数学的兴 拓 趣．在掌握基本内容之后，学生可自主选择其中一 些内容作思考与探究．
高中数学同步教材(必修一到必修四)知识讲解习题及答案
（2）
y= f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如
y
ax与y
ax
1 a
x
（3） y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如 y loga x与y loga x log1 x
a
Ⅱ、平移变换: 由 f(x)得到 f(x a) 左加右减； 由 f(x)得到 f(x) a 上加下减
CsA
(4)(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B)
二、函数的有关概念 1．函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记 作： y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫 做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：1、如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义 的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充： 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分 式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的 底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是 使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还 要保证实际问题有意义. (注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。 （2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基 础。
南京市 金陵中学星光班 29中 南师附中 名校实验班 提高版 班课精准提升专用讲义1
南京市高一年级精准提升专用讲义1、若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上单调递减，且0)4(=-f ，则使得0)]()([<-+x f x f x 的x 的取值范围是 .考点归纳：利用函数单调性和奇偶性求范围类型补充：变式一：已知奇函数()f x 在（-1，1）上是减函数，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．变式二．设奇函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的增函数，若不等式2(6)(2)0f ax f x ++-<对于任意[]2,4x ∈都成立，求实数a 的取值范围．方法总结：2、已知函数221)(x x f -=，x x x g 2)(2-=，若)()(,)()(,)()()(x g x f x g x f x f x g x F <≥⎩⎨⎧=，则)(x F 的最大值为 .考点归纳：数形结合类型补充：绝对值函数，分段函数变式一：已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ，x ＜1，x ＋4x，x ≥1，(e 是自然对数的底数)．若函数y ＝f(x)的最小值是4，则实数a 的取值范围为________________．变式二：已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2－|x －2|， 0≤x ＜4，2x －2－3， 4≤x ≤6，若存在x 1，x 2，当0≤x 1＜4≤x 2≤6时，f(x 1)＝f(x 2)，则x 1f(x 2)的取值范围是________________．变式三：已知函数f(x)＝|log 12x|，若m ＜n ，有f(m)＝f(n)，则m ＋3n 的取值范围是________________变式三：若不等式|x －2a|≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______________方法总结：一：基本初等函数图像的绘制二：图像的变换（对称，平移，翻折） 三：简单极限思想3、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(4)2(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 .考点归纳：比较大小类型补充：利用性质求参量范围变式．已知函数2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，其定义域为[]1,2a a -，则()f x 的值域19、（本小题满分10分） 已知函数m x f x ++=152)(为奇函数，m 为常数.（1）求实数m 的值；（2）判断并用定义证明)(x f 的单调性； （3）若关于x 的不等式0)())((<+ma f x f f 有解，求实数a 的取值范围.考点归纳：比较大小类型补充：方法总结：20、（本小题满分12分）已知函数b ax x x g +-=2)(，其图像的对称轴为直线2=x ，且)(x g 的最小值为1-，设xx g x f )()(=. （1）求实数b a ,的值；（2）若不等式03)3(≥⋅-x x t f 在]2,2[-∈x 上恒成立，求实数t 的取值范围；（3）若关于x 的方程03222)22(=--+-k k f x x 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.考点归纳：比较大小类型补充：方法总结：。
【金版案】高中数必修1(苏教版)：2.4 同步辅导与检测课件
答案：(1)∵幂函数 f(x)＝xa，
当 a<0 时，f(x)在第一象限递减，
∴由
1 2>2>0.2
知
2a<12a<0.2a.
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
(2)由－1<a<0，考察指数函数 y＝3a，y>0.
1
∴3a>0，又考察幂函数 y＝a3，y＝ a3 ，均有 y<0，
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.4 幂函数
金品质•高追求 我们让你更放心 ！
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
我们已经学习了指数函数，它是底数为常数，指数 为自变量的函数，这与我们初中学习过的一些函数(如y＝ x、y＝x2、y＝x－1等)“底数为自变量，指数为常数”是否 为同一类型，性质是否有区别？”
∴a＋1&g＋1>3－2a
或3－2a<0， a＋1>0，
解得：a>23且 a≠32，
即 a 的取值范围为a23<a<32或32<a
.
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
祝
您
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
1．形如 y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中 α 为常数， 只研究 α 为有理数的情形．
高一数学同步辅导教材(第15讲)
高一数学同步辅导教材（第15讲）一、本讲速度3．1数列3．2等差数列二、本讲主要内容1．数列的概念，数列的通项公式，由递推公式给出数列。
2．等差数列的概念和通项公式，等差中项的概念。
三、学习指导1．要正确理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并会根据递推公式写出数列的前若干项。
数列是按一定顺序排列起来的一列数。
它可以看作是一个序号集合到另一个数集的映（或它的有限子集｛１，射;从映射函数的观点来看，数列是一个定义域为正整数集Ｎ＋２，……，n｝）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值。
用函数观点看待数列，有助于加深对数列概念和性质的理解。
数列的数是按一定顺序排列的。
如果组成两个数列的数相同而顺序不同，那么它们是不同的数列，如课本上堆放钢管的实例，自上而下的每层钢管数组成数列：４，５，６，７，８，９，１０。
与自下而上的每层钢管数组成的数列：１０，９，８，７，６，５，４。
是两个不同的数列。
要把数列概念与数集概念区分开来。
数列中的数不但有顺序，而且并没有规定必须不同，即同一个数在数列中是可以重复出现的，常数数列甚至都是由同一个数排成的数列，如，１，１，１，……。
而数集中的数是无序的，并且是互异的。
数列的通项公式就是相应函数的解析式。
如果已知一个数列的通项公式，那么只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的各项。
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是一个难点。
克服这个难点的关键是根据各项的特点，它与序号的关系，找出各项共同的构成规律得出通项公式。
并不是每个数列都是有通项公式的，如π精确到１，０.１，０.０１，０.００１，……的不足近似值构成的数列就没有通项公式。
一个数列的通项公式可以有不同的形式，如数列－１，１，－１，１，……的通项公式=(-1)n，也可以写成可以写成an)1 (n=2k-1,k∈N+=an)-1 (n=2k,k∈N+它们形式不同，但实质是一样的．与表示函数有列表法、图象法一样，数列也可以列表表示或用图象表示。
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第1章 集合 本章总结提升
-2 < < 2,
1 = 2 -4 < 0,
假设三个方程均无实根,则有 2 = 4 + 4 < 0,即 < -1,
- 2 < < 2,
3 = 42 -8 < 0,
解得- 2<a<-1.
第1章
本章总结提升
内
容
索
引
01
网络构建归纳整合
02
专题突破素养提升
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
专题一
集合间的关系
1.处理集合间关系的问题时,首先应认清集合中的元素是数集还是点集;另
外注意集合中的两种关系:元素与集合、集合与集合的关系.
2.掌握集合间的关系,重点提升逻辑推理的核心素养,培养分类讨论的思想.
综上所述,a,b的值为a=-1,b=1,或a=1,b=1,或a=0,b=-1.
专题二
集合的基本运算
1.集合的运算有交、并、补这三种,它是本单元的核心内容之一,在进行运
算时通常借助数轴(Venn图)将复杂问题直观化.在具体问题中要注意检验
端点值是否符合题意,以避免增解或漏解.
2.掌握集合运算,重点提升数学运算和直观想象的核心素养,培养数形结合
(2)因为B∩C=C,所以C⊆B.
若C=⌀,则a+1<a,无解,所以C≠⌀,
所以a>2,a+1<4,所以2<a<3.
故实数a的取值范围为{a|2<a<3}.
规律方法 集合基本运算的关注点
2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第一册同步课件1-2子集、全集、补集 课件(14张)
0 2
5
10
x
典型例题
例2.已知A={x︱x＜3}，B={x︱x＜a}
（1）若BA，求a的取值范围。
（2）若A B，求a的取值范围。
解：（1）∵ BA，如右图，
∴ a≤3
（2）∵ A
a
3
3
a
B， 如右图，
∴ a＞ 3
典型例题
例3. 已知集合 A={x|x2-3x+20, xR}. B{x|0<x<5, xN}, 则满足条件
(2)设U＝{x|－5≤x<－2或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，
B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________，∁UB＝________；
(3) 全集U＝{x|0<x<10}，A＝{x|2<x<5}，则∁UA＝________.
解析 (1) ∁UA ={4,5,6,7,8}，∁UB ={1,2,7,8}
（1）A x x是盱眙人 B x x是江苏人
（2）A 1,2,3 B 1,2,3,4,5
（3） A N ,
BR
问题2. 你能用文恩图表示它们之间的关系吗？
A
B
数学建构
子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若α∈A则α∈B）
则称集合A为集合B的子集。
记作
那么有哪几种情况?
除有元素 1 和 2 外, 在集合 B 中可以不取,
取 3, 取 4,
取 3, 4.
共有 4 种情况.
典型例题
例4.
集合{1，a， }＝{0，a2，a+b}，则a2013+b2014的值为(
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 章末总结提升
1.的正负：当 > 0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升;当 < 0时，
图象不过原点，在第一象限的图象下降.
2.比较大小的基本题型，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则
考虑幂函数;若指数不同底数相同，则考虑指数函数;若底数不同，指数也不同，则需
引入中间量.可以利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的
()为奇函数，证明如下：() = 2 − 2− ，定义域为，关于原点对称，
又(−) = 2− − 2 = −(2 − 2− ) = −()，所以()是奇函数.
（3）解不等式log (1 − ) > log ( + 2).
解不等式log 2 (1 − ) > log 2 ( + 2)，
1
故原不等式的解集为(− , 0]
3
∪
1
[ , 1).
3
规律方法以对数函数 = log ( > 0, ≠ 1)的图象与性质为依托，以及利用对数函
数的性质进行定义域、值域、单调性、奇偶性等问题的研究时，不要忘记对数中真数
应大于0的限制条件，以免扩大范围.
跟踪训练4定义在区间上的函数()，如果满足：对任意 ∈ ，存在常数 ≥ 0，
（2）已知 > 0， > 0，且 = 1， ≠ 1，则函数() = 与函数() = −log
在同一坐标系中的图象可能是() B
A.
B.
C.
[解析]由题得，() = − = .
因为 > ， > ，且 = ， ≠ ，
−+1
lg
1−(−)
=
所以()为奇函数.
【金版案】高中数必修1(苏教版)：2.1.2 同步辅导与检测课件
(1)已知f(x)与g(x)，求f[g(x)]类型．
这种题型一般用“代入法”求解，即把f(x)中的x代换 为g(x)，并运算化简即可．
(2)已知f[h(x)]＝g(x)，求f(x)类型．
这种题型一般用“换元法”或“配凑法”求解．用 “换元法”，可设t＝h(x)，并解得x＝h－1(t)，然后代入g(x) 中可得f(t)＝g[h－1(t)]，最后将t换成x便得f(x)＝g[h－1(x)]．使 用换元法时，要留心换元前后的等价性．用“配凑法”时， 要将g(x)配凑成h(x)的多项式，并以x替换h(x)即可．
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法 三种．
(1)解析法
优点：用解析法表示函数的优点，一是简明、全面地 概括了变量间的关系；二是通过解析式可求出任意一个自 变量对应的函数值．
(6)实际问题意义下，函数解析式的求法．
这种题型要通过仔细阅读题目，合理引入变量，将实际问
题抽象归纳出函数的问题，从而建立起相应的函数关系式．
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
分段函数
理解分段函数应注意以下几点：
(1)分段函数是生产生活中的重要函数模型，应用非常 广泛．
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
1．已知函数的图象是开口向下的抛物线的一部分(包括端 点，其中最高点纵坐标为3)，如图所示，则该函数的解析 式为_y_＝__－__2_x_2_＋__8_x_－__5_(_1_≤x≤3)．
【金版案】高中数必修1(苏教版)：2.5.2 同步辅导与检测课件
函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.5.2 用二分法求方程的近似解
金品质•高追求 我们让你更放心 ！
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部 的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何才 能迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找， 困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km长的线路， 大约有200根电线杆，想一想，维修线路的工人师傅怎样工 作才合理？
A．(1,1.25)
B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
D．不能确定
解析：利用二分法求方程的近似根，就是通过不断
将区间一分为二逐步逼近零点，但前提条件是区间端点
处的函数值应异号．
答案：B 点评：函数f(x)在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0， 则在区间[a，b]上一定有零点．
金品质•高追求 我们让你更放心！
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
变式训练
4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的一个零点(精确到0.1)．
由于f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，故可以取区间[－2， －1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
端点(中点)坐标
计算中点的函数值 取区间
f(－2)＝－3<0 x1＝－2＋2－1＝－1.5
x2＝－2＋2－1.5＝－1.75
f(－1)＝4>0 f(x1)＝1.625>0 f(x2)≈－0.3594<0
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第4章 指数与对数 4.2.2 对数的运算性质
A.
+
B.
C.ab
D.a+b
答案 B
解析 ∵10a=2,∴lg 2=a,
lg6
∴log26=
lg2
=
lg2+lg3
lg2
=
+
.
)
3.(2022江苏南京鼓楼校级期中)计算log48+log23×log34的结果
是
.
答案
7
2
解析
3
3
7
原式=log48+log23×log34= log22+log24= +2= .
1
(1)原式=2×(5lg
2-2lg
5
=2lg
2-lg 7-2lg 2+lg
1
=2lg
1
2+2lg
1
5=2×(lg
4
3
7)-3 × 2lg
1
7+2lg
2+lg
1
2+2×(2lg
7+lg 5)
5
1
5)=2lg
1
10=2.
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
.
7
6.计算:(1)log535-2log53+log57-log51.8;
7
1
(2)log2 48+log212-2log242-1.
解
9
(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log55
=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.
【金版案】高中数必修1(苏教版)：2.6 同步辅导与检测课件
1．建立数学模型 2.14
3．一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 分 段函数 反比例函数 幂函数
金品质•高追求 我们让你更放心！
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•必修1•(配苏教版)◆
变式训练
3．我市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测： 进入 21 世纪以来，前 8 年在正常情况下，该产品产量将平稳 增长．已知 2000 年为第一年，头 4 年年产量 f(x)(万件)，如
下表所示：
x 1234
f(x)
4.0 5.5 7.0 8.4 0804
＝50－5x，①.
2－4
(2)与上同理可知芦蒿市场价格关于供应量的近似函数 关似系函式数为关系x＝式61为y－y＝1676x，＋所17以，芦②蒿，市解场①供、应②量联关立于的价方格程的组近，
得x＝3，y＝35，则市场对芦蒿的供求平衡量为35吨．
点评：本例中通过画散点图可知需求量y关于价格x的 函数图象近似为一条直线，因而选用一次函数作为模拟函 数．
(1)画出 2000～2003 年该企业年产量的散点图；建立一个
能基本反映(误差小于 0.1)这一时期该企业年产量发展变化的
函数模型，并求之；
(2)2006 年(即 x＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的
影响，年产量应减少 30%，试根据所建立的函数模型，确定
表(2) 芦蒿的市场供应量信息表
价格x/千元·吨－1 2 2.5 3.2 4.46 4.5 5 供应量y/吨 29 32 36.3 40.9 44.6 47
高一数学同步辅导教材(第18讲)
高一数学同步辅导教材（第18讲）综合能力测试（第三章 数列）一、选择题（共14小题，第1-10题每小题型4分，第10-14题每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的。
）1、如果f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3……)，且f(1)=2，则f(100)=( )A 、99B 、100C 、101D 、1022、已知m,p 为常数，设命题甲：a,b,c 为等差数列，命题乙：ma+p,mb+p,mc+p 成等差数列，那么甲是乙的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件3、在数列{a n }中32a 3a n 1n +=+，*∈N n 且a 3+a 5+a 6+a 8=20,则a 10的值为（ ） A 、8 B 、5 C 、326 D 、7 4、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,38B 、()3,∞-C 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+3,38D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛3,38 5、三个数成等差数列，如果将最小数乘以2，最大数加7，所得三数之积为1000，且成等比数列，则公差一定是（ ）A 、8B 、8或-15C 、±8D 、±156、已知-9，a 1，a 2,-1四个实数成等差数列，-9，b 1,b 2,b 3，-1五个数成等比数列，则b 2(a 2-a 1)=（ ）A 、8B 、-8C 、±8D 、89 7、数列{a n }的通项公式为1n n 1a n ++=，若前n 项和为10，则项数n 为（ ） A 、11 B 、99 C 、120 D 、1218、若{a n }是等比数列，a 4·a 7=-512，a 3+a 8=124且公比q 为整数，则a 10等于（ ）A 、256B 、-256 B 、512 D 、-5129、若 ，则f(k+1)-f(k)等于（ ）A 、1211k -+B 、121121211k k k +++++ C 、121211k k -++ D 、121121211k k k -++++ 10、等差数列{a n }的通项a n =2n+1，则由)N n (na ....a ab n 21n *∈+++=所确定的数列{b n }的前n 项和是（ ） A 、2)5n (n + B 、2)7n (n + C 、n(n+1) D 、2)1n (n + 11、各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且，a 3,a 5,a 6成等差数列，则（a 3+a 5）÷（a 4+a 6）的值为（ ）A 、215+B 、215+C 、213- D 、52+ 12、已知{a n }是首项为50，公差为2的等差数列，{b n }是首项为10，公差为4的等差数列，设以a k ·b k 为相邻两边的矩形内最大圆面积为S k ，若k ≤21，那么S k 等于（ ）A 、π（2k+1）2B 、π（2k+3）2C 、π（k+12）2D 、π（k+24）213、某人于1996年7月1日去银行存款a 元，存的是一年定期含蓄。
南师附中 金陵中学 29中等名校高一提优班 实验班专用讲义 考前冲刺之第三课时
初等函数拓展精要数式运算回顾：两个基本运算结构计算:已知,,求的值设函数且是奇函数,(1)求k的值;(2)若,试求不等式的解集;(3)若,且在上的最小值为-2,求m的值.拓展点一：根的分布问题【例1】 已知二次方程2(2)310m x mx -++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m 的取值范围.【例2】 已知2()2(1)421f x m x mx m =+++-：（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2）如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数m 的取值范围.拓展点二：函数中的转化与划归思想例：若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是变式一：关于x 的不等式2223330x x a a ⋅-+-->，当01x ≤≤时恒成立，则实数a 的取值范围为变式二：三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |ax ≥在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．变式三： 若函数f (x )=||-1x x -kx 2有4个零点，则实数k 的取值范围是 .函数求参量例： 不等式ax x >-12的解集为[1,2)，则a 的值为[巩固]已知函数f(x)=x 2log 的定义域为[a,b]，值域为[0，2],则a,b 满足：A ．a=41,b=1或 a=1,b=4,B ．a=41，1≤b ≤4,C ．41≤a ≤1,b=4, D. a=41，1≤b ≤4或41≤a ≤1,b=4。
O局部与整体思想[举例1]已知函数)1(1222->+++=x x x x y ，则其图象的最低点的坐标是 （ ）A 、（1，2）B 、)2,1(-C 、（0，2）D 、不存[举例2]已知R b a b a ∈=+,,1+，则abab 1+的最小值为参变分离与含参讨论[举例] 关于x 的方程22x -m2x +4=0(x<0)有解，求实数m 的取值范围。
高一数学同步辅导教材(第11讲)
高一数学同步辅导教材（第11讲）一、本讲进度3.5 等比数列的前n 项和3.6 研究性课题：分期付款中的有关计算二、本讲主要内容1、等比数列前n 项和的公式及其应用；2、分期付款中的有关计算问题。
三、学习指导1、要掌握等比数列的前n 项和的公式及其推导方法。
由等比数列定义知道，a n q =a n +1，即等比数列中每一项乘以公比q 以后就是它后面相邻的一项，因此，当q ≠1时，S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 与qS n =a 1q +a 2q +…+a n q 中有n －1项是相同的，彼此相减就可以消去这些相同的项，这是推导等比数列的前n 项的和的基本思路。
这种方法也称错位相减法，它是数列求和的基本方法之一。
等比数列的前n 项和的公式为：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n要全面理解这个公式，它是由公比q =1和q ≠1两种情形构成的，在应用时注意公式的公比条件。
如果{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，那么数列{}n n b a ±的前n 项和等于等差数列{}n a 的前n 项和加上或减去等比数列{}n b 的前n 项和；数列{}n n b a 的前n 项和，可以用推导等比数列前n 项和的公式方法一样的错位相减法化成等比数列的前n 项和。
课本第142页第6题、第7题都是这类称为混合数列的求和问题。
第7题的结论：ba b a b b ab aa n n nn n n--=++++++--11221Λ (其中n ∈N +,a ,b 是不等于零的常数，且a ≠b )也称为裴蜀定理。
2、分期付款中的有关计算这是课本安排的一个研究性课题，是等比数列的前n 项和的公式在购物付款方式上的一个实际应用。
难度并不太高，比较贴近生活，要认真阅读课本内容，弄清分期付款的下列意义：(1)在分期付款中，每月的利息均是按复利计算的； (2)分期付款中规定每期所付的款额相同；(3)分期付款时，商品售价和每期所付款款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断地增值； (4)各期所付款额连同最后一次付款时所生的利息和=商品售价及从购买到最后一次付款的利息之和。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
南京市金陵中学高一数学同步辅导教材一、本讲教学进度
1．5（P23-24）
二、本讲内容
1．一元二次不等式>和<的解法.
2．可化为一元一次不等式组的分式不等式.
3．二次函数在给定范围内的最值.
三、重点、难点选讲
1．一元二次不等式>和<的解法.
⑴因一元二次方程的两个根是，故有
一元二次不等式>，(<)的解集为<，或>.
一元二次不等式<，(<)的解集为<<.
⑵引用上述结论时，必须注意不等式右边为零，两个括号中的系数为1的条件.
例1解不等式：
⑴≤；
⑵>；
⑶≤.
解：⑴原不等式即≤，
整理得≥，
≥.
∴不等式的解集为≤，或≥.
⑵∵≥,
∴由，得不是原不等式的解.
当，得>，
即<，<<.
∴原不等式的解集为<<，且.
⑶∵>,
∴原不等式与≤同解，
∴原不等式的解集为≤≤.
评析第⑵题中，因≥，故只需考虑是否满足不等式，就可以在原不等式中将
除去.
例2解关于的不等式：>（,R）.
解：原不等式可化为<.
.
⑴>时，>，∴不等式的解集是<<.
⑵当时，，∴不等式的解集是.
⑶当<<时，<，∴不等式的解集是.
⑷当<<时，>，∴不等式的解集是
⑸当时，，∴不等式的解集是.
⑹当<时，<，∴不等式的解集是.
2．可化为一元一次不等式组的分式不等式
⑴不等式>与二次不等式>同解；不等式<与二次不等式
<同解.
⑵不等式≥的解集是不等式>的解集与集合的并集；不等式
≤的解集是不等式<的解集与集合的并集.
例3解不等式：
⑴≥；⑵≥.
解：(1)原不等式等价于≤.
∴不等式的解集是
=
(2)原不等式等价于.
∴不等式的解集是
评析：对带有等号的不等式求解，可以在相应的不含等号的不等式的解集中，增加使分子等于零的值，就得到所求解集.
例4：求不等式的解集.
①等价.
解：不等式与不等式组
,②
由①，,
∴
由②，，
∴.
∴原不等式的解集是
评析：（1）解时，因不能确定的符号，所以不能把不等式两边同乘以而去分母，只能采用移项、通分的方法求解.
（2）本题也可以分两种情况考虑，①若>0，则-1<恒成立，由2，.②若<0，
则2恒成立.∵->0，∴将-1<两边同乘以-.得<-1，由①、②可得原不等式的解集是
<,或≥.
例5 已知集合，，
且,.求实数a,b的值.
解：由已知，得,
.
由A，从数轴可得集合B又
和2是的实数根.
3. 二次函数在给定范围内的最值
由图像可以看出，二次函数当相应的抛物线开口向上时，在抛物线顶点处二次函数取得最小值，但无最大值；当抛物线开口向下时，在抛物线顶点处二次函数取得最大值，但无最小值.
如果将二次函数的自变量限制在某个范围内，则相应的图象仅是抛物线的一部分，这时函数可能既有最大值，又有最小值例6已
知函数,
(1) 当时，求的最大值、最小值；
(2) 当时，求的最大值、最小值；
(3) 当时，求的最大值、最小值；
解：函数即,抛物线的对称轴为直线. (1)当时，
由图象知，
当时，
当时，
(2)当时，
由图象知,
当时，
当时，
(3)当时，
由图象知,
当时，
当时，
评析(1)此类问题通常根据题设条件画出函数的图象,并由图象求解.
(2)一般情况下,需要说明当x取什么值时, 函数取大或最小值. 例7已知函数求:
(1) 当时，函数的最值;
(2) 当时，函数的最值;
解：函数即抛物线和对称轴为直线
(1) 当时，
由图象知,
当时，
函数无最大值.
(2) 当时，
由图象知,
当时，
函数无最大值.
评析（1）最大值、最小值统称最值.
（2）根据题设条件画图象时，要注意表示x范围的不等式
中是否包含等号.当含等号时，相应的端点在图象上应画实圈；不含
等号时，相应的端点不在图象上，应画空圈.
例8 求函数的最小值。
解：由题设，知令则
由图象知，
当即时，
例9关于的方程有两个实根
（1）求k的取值范围；
（2）设求关于k的函数解析式，以及这个函数的最大值和最小值。
解：（1）由题意得
整理得
（2）由韦达定理，
∴
由图像可知，当时，，
当时，.
例10已知函数，在内有最大值-5，求实数值. 解：函数变形为.下面根据的不同情况进行讨论. （1）当即时，由图(1)知，
当时, 取最大值
令得
(2) 当即时，由图(2)知，
当时, 取最大值
令
(3) 当即时，由图(3)知，
当时, 取最大值
令(舍去)，
∴由上知，或
评析对分情况讨论的根据是与的关系。
练习; 一、选择题
1．不等式的解集是（）
A．
C．D
2．不等式（x-4）(x+2)的解集是（）
A． B.
C.D
3. 不等式的解集是（）
A．B
C．D
4．不等式的解集是（）
A．B
C．D
5．当时，若函数的最大值为M，最小值为N，则（）
A．M=7，N=6 B.M=6,N=-2
C. M=7,N=-2
D.M=-6,N=-7
6.已知函数则下列结论中不正确的是（）
A．当时，有最大值3
B. 当时，有最小值-15
C. 当时，无最大值也无最小值
D. 当时，函数有最小值-5
二、填空题
7．不等式的解集是____________________________.
8.不等式的解集是____________________________.
9．设集合A=则实数的取值范围是_____________.
10．10．当时，函数有最小值-2，则t= ______________.
三、解答题
11．解不等式：
12．设集合A=
若实数a的取值范围。
13．关于x的不等式对一切x恒成立，求k的取值范围.
14．关于x的方程的两个实数，满足求:
（1）实数q关于p的函数表达式；
（2）这个函数的最大值和最小值.
答案与提示
【答案】
一、1．B2．C3．D4．A5．C6．D
二、7．8．
9．10．
三、11．解集为，或≥
12．≤≤
13．
14．⑴≤≤
⑵当，；当，
【提示】
一、4．
5．，当，；当，
6．
二、7．，，
8．≤，，且≤，解集是≤≤，且
9．，由数轴及可知
10．≤≤，抛物线的对称轴为直线.
⑴当≤≤时，的最小值∴.
⑵当，由图像知，时，（不合）.∴三、11．≥，≥，∴解集是，或≥
12．，，∴.
当.当，当.
由知，≤≤.
13．原不等式即-.
∵，
∴原不等式等价于
不等式组
即,①.②
由①对R恒成立，，，
.
由②对R恒成立，，，.
∴的取值范围是.
14．.
（1）由韦达定理，，
∵，∴，
.∵、为实根，∴≥，
即≥，≤2，≤≤，
∴≤≤.
（2）当时，；当时，。