浙江省宁波市效实中学2013至2014高一上学期期中考试数学试题
浙江省效实中学2014届高三上学期期始考数学理试题
宁波效实中学高三起始考（理科数学）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．请在答题卷内按要求作答 第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是 A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++= A ．63B ．45C ．36D ．273、函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π4、已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于A ．()10613--- B ．()101139-- C ．()10313-- D ．()1031+3-5、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = A ．2B ．4C ．6D ．86、已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A ．34 B ．43 C ．43- D ．34- 7、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=A ．23B ．13C ．13-D ．23-8、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm9、已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是A ．()y f x =的图像关于(),0π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f xD ．()f x 既奇函数,又是周期函数 10、在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2等于A ．2B ．4C ．5D ．10第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= ____.12、若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，.则tan tan αβ= . 13、已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.14、已知平面向量a ，b ，c 不共线，且两两之间的夹角都相等，若|a |＝2，|b |＝2，|c |＝1，则a＋b ＋c 与a 的夹角是________． 15、如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________16、下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭正视图侧视图俯视图ACDP E③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点.④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数sin()[0].2y x ππ=-在，上是减函数其中真命题的序号是 （写出所有真命题的编号）17、已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=︒。
浙江省宁波市效实中学高三数学上学期期中试卷文(含解析)
2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．集合，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）∪（0，1）2．已知向量，若，则实数x的值为（）A． 2 B．﹣2 ．±2 D． 03．等差数列{a n}满足：a4+a6+a8+a10+a12=20，则a9﹣=（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 44．化简：=（）A． cosα B．﹣cosα C． cos2α D．﹣cos2α5．经过抛物线x2=4y的焦点和双曲线的右焦点的直线方程为（）A． 3x+y﹣3=0 B． x+3y﹣3=0 C． x+48y﹣3=0 D． 48x+y﹣3=06．已知0＜a＜b＜1，则a b，log b a，b的关系是（）A．b＜a b＜log b a B．b＜log b a＜a bC． log b a＜b＜a b D． a b＜b＜log b a7．当x＞0，y＞0时，“x+y≤2”是“xy≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件8．将函数y=sin x的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A． [﹣1+2k，1+2k]，k∈Z B． [1+4k，3+4k]，k∈ZC． [﹣1+4k，1+4k]，k∈Z D．9．如图，将两个全等的30°的直角三角形ABC和直角三角形ADC拼在一起组成平面四边形ABCD，若，则x，y分别等于（）A． B． C． D．10．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，） B．（0，1） C．（0，] D．（，+∞]二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．椭圆的离心率为，则m= ．12．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a5=a3+2a1，则a3= ．13．已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（x+4），f（2+x）=f（2﹣x），若0＜x＜2时，f（x）=2﹣x，则f（2015）= ．14．已知直线y=﹣x+a与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y+2）2=4相交于A，B两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a= ．15．己知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为﹣8，则k= ．16．已知△OAB中，|=2，M是△OAB重心，且=0，则cos∠AOB= ．17．已知正项数列{a n}的首项a1=1，且2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n= ．三、解答题：本大题共5小题，共49分．要求写出解题过程或演算步骤．18．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C对边，且a2=bc．（1）当a=4，，求△ABC的面积；（2）若A=，判断△ABC的形状．19．已知函数f（x）满足f（log a x）=，其中a＞0，且a≠1．（1）求函数y=f（x）的解析式，并判断其奇偶性；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求实数a的取值范围．20．数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2a n﹣4n（n∈N*）．（1）证明数列{a n+4}是等比数列；（2）设，其中λ＞0，若{b n}为递减数列，求实数λ的取值范围．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．（1）当a＞0时，求函数y=的定义域；（2）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围．22．抛物线C：y2=2px经过点M（4，﹣4），（1）不过点M的直线l分别交抛物线于A、B两点，当直线l的斜率为，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．集合，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）∪（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据对数函数的定义域求出集合A，再根据不等式求出集合B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．解答：解：集合A={x|y=log2（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}=（﹣∞，1），集合B={x|x2＞0}={x|x≠0}=（﹣∞，0）∪（0，+∞），故集合A∩B=（﹣∞，0）∪（0，1）故选D．点评：本题主要考查对数函数的定义域，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．已知向量，若，则实数x的值为（）A． 2 B．﹣2 C．±2 D． 0考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量平行的坐标运算求解即可．解答：解：向量，若，所以x3=8，解得x=2．故选：A．点评：本题考查向量的坐标运算，向量的平行条件的应用，基本知识的考查．3．等差数列{a n}满足：a4+a6+a8+a10+a12=20，则a9﹣=（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：在等差数列{a n}中，由a4+a6+a8+a10+a12=20，能求出a8，再由a9﹣=（a8+d）﹣（a8+2d）=a8，能求出结果．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a4+a6+a8+a10+a12=5a8=20，∴a8=4，a9﹣=（a8+d）﹣（a8+2d）=a8=2．故选：B．点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．4．化简：=（）A． cosα B．﹣cosα C． cos2α D．﹣cos2α考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式和二倍角的正弦公式化简即可．解答：解：=2sin2α﹣1=1﹣cos2α﹣1=﹣cos2α．故选：D．点评：本题主要考察了诱导公式和二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．5．经过抛物线x2=4y的焦点和双曲线的右焦点的直线方程为（）A． 3x+y﹣3=0 B． x+3y﹣3=0 C． x+48y﹣3=0 D． 48x+y﹣3=0考点：抛物线的标准方程；双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线x2=4y的焦点坐标、双曲线的右焦点，即可求出直线方程．解答：解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），双曲线的右焦点的坐标为（3，0），∴所求直线方程为，即x+3y﹣3=0．故选：B．点评：本题考查抛物线、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．已知0＜a＜b＜1，则a b，log b a，b的关系是（）A．b＜a b＜log b a B．b＜log b a＜a bC． log b a＜b＜a b D． a b＜b＜log b a考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：由题意不妨a，b取特殊值，求出a b，log b a，b的值，得到答案．解答：解：0＜a＜b＜1，不妨取a=，b=a b=，logb a=2，b==﹣显然b＜a b＜log b a故选A．点评：本题考查对数的运算性质，对数值大小的比较，特殊值法比较大小，是基础题．7．当x＞0，y＞0时，“x+y≤2”是“xy≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：x＞0，y＞0时，由x+y≤2，得（x+y）2≤4，∴x2+2xy+y2≤4，又x2+y2≥2xy，∴4xy≤4，∴xy≤1，是充分条件；令x=4，y=，满足xy≤1，不满足x+y≤2，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题．8．将函数y=sin x的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A． [﹣1+2k，1+2k]，k∈Z B． [1+4k，3+4k]，k∈ZC． [﹣1+4k，1+4k]，k∈Z D．考点：复合三角函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先通过平移变缓得到f（x）的解析式，进一步利用整体思想求出单调递减区间．解答：解：函数y=sin x的图象向右平移2个单位后，得到：f（x）=，令：（k∈Z），解得：4k+3≤x≤4k+5，令k=k﹣1既得选项C故选：C点评：本题考查的知识点：函数图象的变换符合左加右减的性质，利用整体思想求函数的单调区间．9．如图，将两个全等的30°的直角三角形ABC和直角三角形ADC拼在一起组成平面四边形ABCD，若，则x，y分别等于（）A． B． C． D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据直角三角形中的边角关系求出各边长，余弦定理求出DB2=x2+y2①，Rt△CC′B 中，由勾股定理得BC2=CC'2+C′B2，即 6=（y﹣1）2+x2 ②，由①②可解得 x、y值．解答：解：由题意得，若设 AD=，DC=1，则 AC=2，AB=，BC=1，由题意知，，△BCD中，∵AB=AD=，∠BAD=60°，∴DB=，∵，∠ADC=90°，∴DB2=3x2+y2，∴3x2+y2=3 ①．如图，作=y，=x则=+，CC′=y﹣1，C′B=x，Rt△CC′B中，由勾股定理得BC2=CC'2+C′B2，即 1=（y﹣1）2+3x2，②由①②可得 x=，y=，故选：D．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，余弦定理、勾股定理得应用，体现了数形集合的数学思想．10．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，） B．（0，1） C．（0，] D．（，+∞]考点：函数的值域．专题：新定义．分析：由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴方程+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故答案选：A．点评：本题考察了函数的值域问题，解题时构造函数，渗透转化思想，是中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．椭圆的离心率为，则m= 3或．考点：椭圆的简单性质．专题：分类讨论．分析：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．解答：解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（ⅰ）若0＜m＜4，则a2=4，b2=m，∴c=，∴e==，得 m=3；（ⅱ）m＞4，则b2=4，a2=m，∴c=，∴e==，得 m=；综上：m=3或m=，故答案为：3或．点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想．12．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a5=a3+2a1，则a3= ．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设公比为q，利用a2=1，a5=a3+2a1，求出公比，即可求出a3．解答：解：设公比为q，则∵a2=1，a5=a3+2a1，∴q3=q+，∴q=，∴a3=．故答案为：．点评：本题考查等比数列的通项的运用，考查学生的计算能力，比较基础．13．已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（x+4），f（2+x）=f（2﹣x），若0＜x＜2时，f（x）=2﹣x，则f（2015）= ．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意求出函数的周期T=4，转化f（2015）为f（4×503+3）=f（3），再由函数f （x）满足f（2+x）=f（2﹣x），得f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），代入f（x）=2﹣x，然后求值．解答：解：函数f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+4）=f（x），∴函数的周期为4，f（2015）=f（4×503+3）=f（3），函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），∴f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），∵0＜x＜2时，f（x）=2﹣x，∴f（1）=2﹣1=∴f（2015）=，故答案为：．点评：题考查函数的周期的应用，函数值的求法，考查计算能力．14．已知直线y=﹣x+a与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y+2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= ．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，﹣2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=．故答案为：．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．15．己知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为﹣8，则k= 6 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A时，纵截距最大，z最大，代值可得k的方程，解方程可得．解答：解：画出可行域，将z=x+3y变形为y=x+z，画出直线y=﹣x平移至点A时，纵截距最大，z最大，联立方程得，解得代入已知可得z=+3（）=﹣8，解得k=6．故答案为：6点评：本题考查简单线性规划，画不等式组的可行域是解决问题的关键，属中档题．16．已知△OAB中，|=2，M是△OAB重心，且=0，则cos∠AOB= ﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将，分别用向量，表示，由=0，得到，然后利用向量的数量积定义求值．解答：解：∵△OAB中，|=2，M是△OAB重心，∴，，∴=﹣=﹣（）=﹣1+﹣=0，∴=﹣1，∴cos∠AOB=﹣；故答案为：﹣．点评：本题考查了平面向量的加减法法则运用以及利用向量的数量积定义求三角形内角的余弦值．17．已知正项数列{a n}的首项a1=1，且2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n= ．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由已知条件得2na n+1﹣（n+1）a n=0，即=，再用累乘法，即可求出通项公式a n．解答：解：∵2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0，∴（2na n+1﹣（n+1）a n）•（a n+1+a n）=0，∵数列{a n}为正项数列，∴a n+1+a n≠0，∴2na n+1﹣（n+1）a n=0，∴=，∴=，=，=，…=，两边累乘得，==n•∴a n=，故答案为：，点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用递推数列，利用累乘法是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共49分．要求写出解题过程或演算步骤．18．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C对边，且a2=bc．（1）当a=4，，求△ABC的面积；（2）若A=，判断△ABC的形状．考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：（1）利用正弦定理，可得B=C，进而b=c，结合a2=bc，a=4，求出b，c，即可求△ABC的面积；（2）由A=，a2=bc，可得a2=b2+c2﹣2bc•=bc，即可判断△ABC的形状．解答：解：（1）∵，∴tanB=tanC，∴B=C，∴b=c，∵a2=bc，a=4，∴b=c=4，∴；（2）∵A=，a2=bc，∴a2=b2+c2﹣2bc•=bc，∴（b﹣c）2=0，∴b=c，∵A=，∴△ABC是等边三角形．点评：本题考查余弦定理的应用，考查三角形的形状判断，考查学生的计算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）满足f（log a x）=，其中a＞0，且a≠1．（1）求函数y=f（x）的解析式，并判断其奇偶性；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）换元法：令t=log a x，则x=a t，代入函数式可得解析式，利用奇偶函数的定义可判断；（2）分a＞1和0＜a＜1两种情况对函数的单调性进行讨论，当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，等价于f（x）﹣4＜0恒成立，也即f（x）＜4恒成立，利用函数的单调性可作出判断；解答：解：（1）令log a x=t则x=a t，∴f（t）=（a t﹣a﹣t），∴f（x）=（a x﹣a﹣x）；∵f（﹣x）=（a﹣x﹣a x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数；（2）当a＞1时，a﹣x递减，﹣a﹣x递增，a x递增，所以a x﹣a﹣x递增，又＞0，所以f（x）在R上递增；当0＜a＜1时，a﹣x递增，﹣a﹣x递减，且a x递减，所以a x﹣a﹣x递减，又＜0，故此时f（x）递增；综上，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上递增．当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，等价于f（x）﹣4＜0恒成立，也即f（x）＜4恒成立，因为y=f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，f（x）＜f（2）==，所以，∴又a＞0，a≠1，故点评：本题主要考查函数的奇偶性与单调性，利用函数的单调性求函数在某区间上的最值，属于中档题．20．数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2a n﹣4n（n∈N*）．（1）证明数列{a n+4}是等比数列；（2）设，其中λ＞0，若{b n}为递减数列，求实数λ的取值范围．考点：等比关系的确定；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由S n=2a n﹣4n（n∈N*）．利用当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为a n+4=2（a n﹣1+4），即可证明．（2）由（1）可得：，=．{b n}为递减数列，可得b n+1＜b n，即可得出．解答：（1）证明：∵S n=2a n﹣4n（n∈N*）．∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣4n﹣（2a n﹣1﹣4n+4）=2a n﹣2a n﹣1﹣4，化为a n+4=2（a n﹣1+4），又当n=1时，a1=S1=2a1﹣4，解得a1=4．∴数列{a n+4}是等比数列，首项为8，公比为2；（2）解：由（1）可得：，化为．∴=，∵{b n}为递减数列，∴b n+1＜b n，∴＜，又λ＞0，化为≥3，当n=1时取等号．∴λ＞3．点评：本题考查了等比数列的定义通项公式、数列的单调性，考查了变形能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．（1）当a＞0时，求函数y=的定义域；（2）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意，f（x）=ax2﹣（a+1）x+1≥0，讨论a，求定义域；（2）令t=m+≥2，则原命题可化为ax2﹣（a+1）x+1﹣t=0有两个不同的正根，从而解得．解答：解：（1）由题意，f（x）=ax2﹣（a+1）x+1≥0，即（ax﹣1）（x﹣1）≥0，①当0＜a＜1时，函数y=的定义域为{x|x≥或x≤1}，②当a=1时，函数y=的定义域为R，③当a＞1时，函数y=的定义域为{x|x≥1或x≤}；（2）令t=m+≥2，则关于x的方程f（|x|）=t有四个不同的实根可化为a|x|2﹣（a+1）|x|+1﹣t=0有四个不同的实根，即ax2﹣（a+1）x+1﹣t=0有两个不同的正根，则，解得a＜﹣3﹣．点评：本题考查了定义域的求法即二次不等式的解法，同时考查了二次方程的根的位置判断，属于中档题．22．抛物线C：y2=2px经过点M（4，﹣4），（1）不过点M的直线l分别交抛物线于A、B两点，当直线l的斜率为，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）代入点M，即可得到抛物线方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程是，联立抛物线方程，消去x，得到y的二次方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理即可得证；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过点M，则由，即有=0，由数量积的坐标公式，结合抛物线方程，即可得y1y2﹣4（y1+y2）=32=0，再由直线方程，即可得到定点．解答：（1）证明：抛物线C：y2=2px经过点M（4，﹣4），即有16=8p，解得，p=2．则抛物线方程为y2=4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程是，由，得y2﹣8y+8m=0，，则直线MA与直线MB的倾斜角互补．（2）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过点M，则由，即有=0，则（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1+4）（y2+4）=0，即，化简，得y1y2﹣4（y1+y2）+32=0，则过PQ的直线为==，则直线恒过定点（8，4）．点评：本题考查抛物线方程和运用，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理，考查直线和圆的方程，以及直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．。
2013学年高一数学上学期期中试题3-11及答案(新人教A版 第137套)
浙江省效实中学2012-2013学年高一数学上学期期中试题(3-11)新人教A 版说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．下列函数与()1f x x =+表示同一函数的是 （A ）12log 2x y += （B）1y =（C）2y = （D ）2log (1)2x y +=2．已知集合{(,)|02}A x y x =≤≤，{(,)|10}B x y y =-≤≤，则 （A ）{0}A B = （B ）{(,)|12}A B x y x =-≤≤（C ）AB =∅ （D ）A B 在坐标平面内表示的图形面积为23．比较三个数21log 3a =，132b =，21()3c =的大小，则（A ）a b c << （B ）c a b << （C ）a c b << （D ）c b a <<4．已知2log 3(5)()(2)(5)x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(2012)f =（A ）81 （B ）9 （C ）3 （D5．下列函数不是奇函数的是（A ）()|1|f x x x =- （B ）21()x f x x -=（C）()lg(f x x = （D ）21()21x x f x +=-6．若函数2log ()y f x =的值域是(0,)+∞，则()f x 可以等于 （A ）1x x +（B（C ）2x（D ）1()12x + 7．如图，是三个对数函数1log a y x =，2log b y x =，3log c y x =的图象，则（A ）a b c << （B ）1c b a<< 3y 2yy（C ）1c a b<<（D ）c b a << 8．已知12,x x 是方程24()1022x x x x -+=--的两根，则12x x += （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．设函数()f x 的定义域为A ，且满足任意x A ∈恒有()(2)2f x f x +-=的函数是 （A ）2()log f x x = （B ）()2x f x = （C ）()1xf x x =- （D ）2()f x x = 10．已知方程1lg ()2xx =有两个不同的实数根12,x x ，则有（A ）121x x > （B ）120x x < （C ）1201x x << （D ）121x x =第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分． 11．函数2log (1)y x =+的定义域A = ▲ ．12．设{2,3,5,7,8}U =，{2,8}A =，{3,5,8}B =，则()U C A B = ▲ ．13．函数223()0.2xx f x -+=的单调递增区间是 ▲ ．14．已知()|6|()f x ax a Z =-∈，若3{|()2}x f x ∈<，则{|()2}x f x ≥= ▲ ． 15．关于x 的方程2(1)2230a x ax a -++-=至少有一个正根，则a ∈ ▲ ． 16．已知22012()2012lg log 1xf x x x x =++-，若(2012)3f =，则1()2012f = ▲ ． 17．当3x ≥时，不等式2(41)(2)0ax a x x -+--≥恒成立，则a 的范围是 ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18． （1）计算：11320.00881-++ （2）解方程：lg lg 3100xx ⋅=．19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()32f x x =-．(1)求()f x 的解析式；(2) 写出()f x 的单调区间； （3）解不等式()()f x f x -≥．宁波效实中学二○一○学年度第一学期 期中考试高一数学答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11、),1+∞-（ 12、}5,3{ 13、)1,(-∞ 14、),4[]2,+∞∞- （ 15、]2,32（ 16、2- 17、]1,0[20．用定义证明：22()1xf x x =-在(1,1)-上单调递减． 18、解：（1）10（2）1000或101ks5u19、解：（1）32(0)()0(0)32(0)x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪--<⎩（2）递减区间(,0)-∞，(0,)+∞ （3）302x -≤≤或32x ≥20．略21．已知函数()|21||1|f x x k x =-++．ks5u(1) 当1k =-时，把()f x 写成分段函数，并画出()f x 的图象； （2）若1()2f 是函数()f x 的最小值，求k 的取值范围． ks5u21、解：（1）12()21()|21||1|3(1)22(1)x x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪-≤-⎪⎪⎩，图略（2）1(2)1()21()(2)1(1)2(2)1(1)k x k x f x k x k x k x k x ⎧+-+≥⎪⎪⎪=-++-<<⎨⎪-++-≤-⎪⎪⎩，2020k k +≥⎧⎨-≤⎩，22k -≤≤22．设2()41f x x =-，()21g x x =-+ （1）若关于x 的方程()(2)2xg x f m =+有负实数根，求m 的取值范围；（2）若()()()F x af x bg x =+（,a b 都为常数，且0a >）ks5u①证明：当01x ≤≤时，()F x 的最大值是|2|a b a -+； ②求证：当01x ≤≤时，()|2|0F x a b a +-+≥．22、解：（1）0x <，设2(0,1)x t =∈，22241m t t =-- 22242t t -<，1m ∴< （2）证明：2()42F x ax bx b a =-+-对称轴4b x a= ①当142b a ≤即2a b ≥时，max ()(1)3F x F a b ==- 当142b a >即2a b <时，max ()(0)F x F b a ==-故max3(2)()|2|(2)a b a b F x a b a b a a b -≥⎧==-+⎨-<⎩ks5u ②即求min ()|2|0F x a b a +-+≥ks5u22(2)()4()44b a b F x a x a a--=-+当04ba≤即0b ≤时，min ()|2|(0)220F x a b a F a b a a +-+=+-+=> 当014ba<<即04b a <<时min 2222()|2|()248(02)488(24)4bF x a b a F a b a a a b b a aa ab b a b a a +-+=+-+⎧-<≤⎪⎪=⎨-+-⎪<<⎪⎩min ()|2|0F x a b a ∴+-+>当14ba≥即4b a ≥时，min ()|2|(1)20F x a b a F b a a +-+=+-=> 综上，当01x ≤≤时，()|2|0F x a b a +-+≥。
浙江省效实中学2013-2014学年高一上学期期始考数学试题
2013年效实中学高一数学模拟测试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．下列运算正确的是 （ ） A. 43a a -= B. 325()a a -= C. 23a a a ⋅= D.623a a a ÷=2．从错误！不能通过编辑域代码创建对象。
中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为 （ ）A ．错误！不能通过编辑域代码创建对象。
B ．错误！不能通过编辑域代码创建对象。
C ．错误！不能通过编辑域代码创建对象。
D ．错误！不能通过编辑域代码创建对象。
3．如图所示，在△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=16cm ，M 、N 、D 分别是AB 、AC 、BC 的中点，连接DM 、BN 交于点E ，则图中阴影部分△BDE 的面积为 （ ） A ．4 cm 2 B ．6 cm 2 C ．8 cm 2 D ．12 cm 24．已知a =7，b =70，则9.4等于 （ ）A ．10b a + B ．10a b - C ．a b D ．10ab5．四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件：①AD ∥BC ②AD=BC ③OA=OC ④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有 （ ） A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．6种 6．若方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有．．一个公共根，则（ ） A ．b a = B ．0=+b a C ．1=+b a D ．1-=+b a 7．如图所示，直线(0)y kx k =>与双曲线2y x=交于A 、B 两点，若A 、B 两点的坐标分别为A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则1221x y x y +的值为 Ks5u（ ）A ．﹣8B ． 4C ．﹣4D ． 08．图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图（箭头表示行进的方向）．图②中E 为AB 的中点，图③中AJ ＞JB ．判断三人行进路线长度的大小关系 为 （ ）（第3题）EABAB图① 图② 图③A ．甲=乙=丙B ．甲＜乙＜丙C ．乙＜丙＜甲D ．丙＜乙＜甲 9．如图，正方形ABCD 中，AB=3，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ．下列结论： ①点G 是BC 中点；②FG=FC ；③S △FGC =．其中正确的是 （ ） A .① ② B. ① ③ C.②③ D.①②③10.已知122013,,,a a a ⋅⋅⋅是一列互不相等的正整数.若任意改变这2013个数的顺序，并记为122013,,,b b b ⋅⋅⋅，则数112220132013()()()N a b a b a b =--⋅⋅⋅-的值必为 （ ） A ．偶数 B .奇数 C.0 D. 1二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）Ks5u11．小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．Ks5u12．一束光线从y 轴上点A （0，1）出发， 经过x 轴上点C 反射后经过点 B （3，3），则光线从A 点到B 点经过的路线长是 ．Ks5u13．观察下列图形：45-7-3-13-31842012-2521603-2y -2x-549图① 图② 图③ 图④ 图⑤请用你发现的规律直接写出图④中的数y = ；图⑤中的数x = ．14．如图所示，□ABCD 中，AM ⊥BC 于M ， AN ⊥CD 于N ，已知AB=10，BM=5，MC=3，第8题图（第14题）第16题图H GF E D C B A 第11题图则MN 的长为 ．15.对于正整数,n 若(,n pq p q =≥且,p q 为整数），当p q -最小时，则称pq 为n 的“最佳分解”，并规定()qf n p=（如12的分解有121,62,43,⨯⨯⨯其中，43⨯为12的最佳分解，则3()4f n =）。
浙江省宁波市效实中学高三数学上学期期中试卷 理(含解
2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．集合，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）∪（0，1）2．已知向量，若，则实数x的值为（）A． 2 B．﹣2 C．±2 D． 03．等差数列{a n}满足：a4+a6+a8+a10+a12=20，则a9﹣=（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 44．化简：=（）A． cosα B．﹣cosα C． cos2α D．﹣cos2α5．已知0＜a＜b＜1，则a b，log b a，b的关系是（）A．b＜a b＜log b a B．b＜log b a＜a bC． log b a＜b＜a b D． a b＜b＜log b a6．α，β是两个平面，l是直线，给出以下四个命题：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β，②若l∥α，α∥β，则l∥β，③l⊥α，α∥β，则l⊥β，④l∥α，α⊥β，则l⊥β，其中真命题有（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个7．当x＞0，y＞0时，“x+y≤2”是“xy≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件8．中心为原点，焦点在x轴上，离心率为e=，且与直线y=x+2相切的椭圆的方程为（）A． B．C． D．9．将函数y=sin x的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A． [﹣1+2k，1+2k]，k∈Z B． [1+4k，3+4k]，k∈ZC． [﹣1+4k，1+4k]，k∈Z D．10．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，） B．（0，1） C．（0，] D．（，+∞]二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．若sinα=，α∈（0，2π），则α= ．12．已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（x+4），f（2+x）=f（2﹣x），若0＜x＜2时，f（x）=2﹣x，则f（2015）= ．13．已知点P（x，y）的坐标满足：，过P的直线交圆C：x2+y2=25于A、B两点，则弦长|AB|的最小值为．14．已知△OAB中，|=2，M是△OAB重心，且=0，则cos∠AOB= ．15．已知点F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率e的取值范围是．16．异面直线a，b所成的角为θ，过空间中定点P，与a，b都成60°角的直线有四条，则θ的取值范围是．17．已知正项数列{a n}的首项a1=1，且2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n= ．三、解答题：本大题共5小题，共49分．要求写出解题过程或演算步骤．18．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C对边，且a2=bc．（1）当a=4，，求△ABC的面积；（2）求函数的定义域和值域．19．数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2a n﹣4n（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，其中λ＞0，若{b n}为递减数列，求实数λ的取值范围．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，BC=CD=2AB=2，△PAD是等边三角形，M、N分别为BC、PD的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若MN⊥PD，求二面角P﹣AD﹣C的余弦值．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．（1）当a＞0时，求函数y=的定义域；（2）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围．22．过抛物线C：y2=2px上的点M（4，﹣4）作倾斜角互补的两条直线MA、MB，分别交抛物线于A、B两点．（1）若|AB|=4，求直线AB的方程；（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．集合，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）∪（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据对数函数的定义域求出集合A，再根据不等式求出集合B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．解答：解：集合A={x|y=log2（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}=（﹣∞，1），集合B={x|x2＞0}={x|x≠0}=（﹣∞，0）∪（0，+∞），故集合A∩B=（﹣∞，0）∪（0，1）故选D．点评：本题主要考查对数函数的定义域，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．已知向量，若，则实数x的值为（）A． 2 B．﹣2 C．±2 D． 0考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量平行的坐标运算求解即可．解答：解：向量，若，所以x3=8，解得x=2．故选：A．点评：本题考查向量的坐标运算，向量的平行条件的应用，基本知识的考查．3．等差数列{a n}满足：a4+a6+a8+a10+a12=20，则a9﹣=（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：在等差数列{a n}中，由a4+a6+a8+a10+a12=20，能求出a8，再由a9﹣=（a8+d）﹣（a8+2d）=a8，能求出结果．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a4+a6+a8+a10+a12=5a8=20，∴a8=4，a9﹣=（a8+d）﹣（a8+2d）=a8=2．故选：B．点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．4．化简：=（）A． cosα B．﹣cosα C． cos2α D．﹣cos2α考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式和二倍角的正弦公式化简即可．解答：解：=2sin2α﹣1=1﹣cos2α﹣1=﹣cos2α．故选： D．点评：本题主要考察了诱导公式和二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．5．已知0＜a＜b＜1，则a b，log b a，b的关系是（）A．b＜a b＜log b a B．b＜log b a＜a bC． log b a＜b＜a b D． a b＜b＜log b a考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：由题意不妨a，b取特殊值，求出a b，log b a，b的值，得到答案．解答：解：0＜a＜b＜1，不妨取a=，b=a b=，logb a=2，b==﹣显然b＜a b＜log b a故选A．点评：本题考查对数的运算性质，对数值大小的比较，特殊值法比较大小，是基础题．6．α，β是两个平面，l是直线，给出以下四个命题：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β，②若l∥α，α∥β，则l∥β，③l⊥α，α∥β，则l⊥β，④l∥α，α⊥β，则l⊥β，其中真命题有（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故①错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故②错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故③正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故④错误；故选A．点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．7．当x＞0，y＞0时，“x+y≤2”是“xy≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：x＞0，y＞0时，由x+y≤2，得（x+y）2≤4，∴x2+2xy+y2≤4，又x2+y2≥2xy，∴4xy≤4，∴xy≤1，是充分条件；令x=4，y=，满足xy≤1，不满足x+y≤2，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题．8．中心为原点，焦点在x轴上，离心率为e=，且与直线y=x+2相切的椭圆的方程为（）A． B．C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过离心率得到a、b关系式，设出椭圆C的方程，利用直线y=x+2与椭圆相切，△=0．由此得b2的值；求出椭圆方程即可．解答：解：∵e=，∴，即a2=2c2，a2=2b2，设椭圆的方程为：，由消y得：，△=192﹣4×3×（24﹣2b2）=0，解得b2=4，∴椭圆方程为：，故选C．点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．9．将函数y=sin x的图象向右平移2个单位后，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（）A． [﹣1+2k，1+2k]，k∈Z B． [1+4k，3+4k]，k∈ZC． [﹣1+4k，1+4k]，k∈Z D．考点：复合三角函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先通过平移变缓得到f（x）的解析式，进一步利用整体思想求出单调递减区间．解答：解：函数y=sin x的图象向右平移2个单位后，得到：f（x）=，令：（k∈Z），解得：4k+3≤x≤4k+5，令k=k﹣1既得选项C故选：C点评：本题考查的知识点：函数图象的变换符合左加右减的性质，利用整体思想求函数的单调区间．10．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，） B．（0，1） C．（0，] D．（，+∞]考点：函数的值域．专题：新定义．分析：由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴方程+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故答案选：A．点评：本题考察了函数的值域问题，解题时构造函数，渗透转化思想，是中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．若sinα=，α∈（0，2π），则α= 或．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据sinα的值以及α的范围，求得α的值．解答：解：∵sinα=，α∈（0，2π），∴α=或，故答案为：或．点评：本题主要考查根据三角函数的值求角，属于基础题．12．已知定义在R上的函数f（x），满足f（x）=f（x+4），f（2+x）=f（2﹣x），若0＜x＜2时，f（x）=2﹣x，则f（2015）= ．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意求出函数的周期T=4，转化f（2015）为f（4×503+3）=f（3），再由函数f （x）满足f（2+x）=f（2﹣x），得f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），代入f（x）=2﹣x，然后求值．解答：解：函数f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+4）=f（x），∴函数的周期为4，f（2015）=f（4×503+3）=f（3），函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），∴f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），∵0＜x＜2时，f（x）=2﹣x，∴f（1）=2﹣1=∴f（2015）=，故答案为：．点评：题考查函数的周期的应用，函数值的求法，考查计算能力．13．已知点P（x，y）的坐标满足：，过P的直线交圆C：x2+y2=25于A、B两点，则弦长|AB|的最小值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用直线与圆的位置关系，确定点P的位置，进行即可即可．解答：解：作出不等式对应的平面区域．过点P的直线l与圆C：x2+y2=36相交于A、B两点，要使|AB|最小，则圆心O到过P的直线的距离最大，由图象可知当点P在C处时，满足条件，此时OC⊥AB，C是直线y=x与y=1的交点，为（3，1），则OC=，又OB=5，所以AB=；故答案为：；点评：本题主要考查平面区域的画法和直线与圆的位置关系的应用；利用直线和圆相交，根据弦长公式确定点P的位置是解决本题的关键，属于中档题．14．已知△OAB中，|=2，M是△OAB重心，且=0，则cos∠AOB= ﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将，分别用向量，表示，由=0，得到，然后利用向量的数量积定义求值．解答：解：∵△OAB中，|=2，M是△OAB重心，∴，，∴=﹣=﹣（）=﹣1+﹣=0，∴=﹣1，∴cos∠AOB=﹣；故答案为：﹣．点评：本题考查了平面向量的加减法法则运用以及利用向量的数量积定义求三角形内角的余弦值．15．已知点F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率e的取值范围是（1，+1）．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先求出A，B两点的纵坐标，由△ABF2是锐角三角形知，tan∠AF2F1=＜1，e2﹣2e ﹣1＜0，解不等式求出e 的范围．解答：解：在双曲线中，令x=﹣c 得，y=±，∴A，B两点的纵坐标分别为±．由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜，tan∠AF2F1=＜tan =1，∴＜1，c2﹣2ac﹣a2＜0，e2﹣2e﹣1＜0，∴1﹣＜e＜1+．又 e＞1，∴1＜e＜1+，故答案为：（1，1+）．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断∠AF2F1＜，tan =＜1，是解题的关键．16．异面直线a，b所成的角为θ，过空间中定点P，与a，b都成60°角的直线有四条，则θ的取值范围是（60°，90°] ．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：为解决本题，先来掌握一个知识点：若平面α外一条直线和平面α内两相交直线m，n所成角相等，且m，n所成角为θ1，c与m所成角为θ2，则．掌握这个知识点后，然后可根据条件画出图形，便可得到，所以60°＜θ≤90°．解答：解：如图，已知异面直线a，b，过点P分别作a1∥a，b1∥b，则相交直线a1，b1确定一平面α；假设PA是与a，b都成60°角的四条直线中的一条，即：和直线a，b所成角都是60°；即PA和a1，b1所成角都是60°，设c是θ的平分线，d是θ补角的平分线；容易知道PA和a1所成角大于c和b1所成角；∵0°＜θ≤90°，∴；∴存在直线PA和a1，b1所成角都为60°，而PA关于平面α的对称直线也和a1，b1所成角为60°；假设PB和a1，b1所成角为60°，并且PB关于平面α的对称直线也和a1，b1成60°角，这样就找到四条直线和a1，b1成60°角；而要使PB和a1，b1所成角为60°，则：，即θ＞60°，又0°＜θ≤90°；∴60°＜θ≤90°；θ的取值范围为（60°，90°]．故答案为：（60°，90°]．点评：考查异面直线所成角的概念及范围，以及空间想象能力及作图能力．17．已知正项数列{a n}的首项a1=1，且2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n= ．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由已知条件得2na n+1﹣（n+1）a n=0，即=，再用累乘法，即可求出通项公式a n．解答：解：∵2na n+12+（n﹣1）a n a n+1﹣（n+1）a n2=0，∴（2na n+1﹣（n+1）a n）•（a n+1+a n）=0，∵数列{a n}为正项数列，∴a n+1+a n≠0，∴2na n+1﹣（n+1）a n=0，∴=，∴=，=，=，…=，两边累乘得，==n•∴a n=，故答案为：，点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用递推数列，利用累乘法是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共49分．要求写出解题过程或演算步骤．18．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C对边，且a2=bc．（1）当a=4，，求△ABC的面积；（2）求函数的定义域和值域．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理得到B=C，利用等角对等边得到b=c，把a，b=c代入a2=bc，求出a=b=c=4，得到三角形为等边三角形，求出面积即可；（2）利用余弦定理表示出cosA，把a2=bc代入利用基本不等式求出cosA的范围，确定出A 的范围，进而确定出f（A）的定义域与值域即可．解答：解：（1）由正弦定理得：==，即sinBcosC=sinCcosB，整理得：sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∴B﹣C=0，即B=C，∵a=4，a2=bc，∴a=b=c=4，即△ABC为等边三角形，则S△ABC=×42=4；（2）∵a2=bc，∴cosA==≥=，∴A∈（0，]，即A+∈（，]，则f（A）=sin（A+）∈[，1]．点评：此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．19．数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2a n﹣4n（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，其中λ＞0，若{b n}为递减数列，求实数λ的取值范围．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）首先利用递推关系式，整理构造新数列，利用新数列的特点求出通项．（2）结合（1）的结论，和数列的递减性，所以b n+1﹣b n＜0，进一步利用恒成立问题求出结果．解答：解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2a n﹣4n，①则：S n﹣1=2a n﹣1﹣4（n﹣1）（n≥2），②①﹣②得：a n=2a n﹣2a n﹣1﹣4，整理得：a n=2a n﹣1+4，恒等变换得：a n+4=2（a n﹣1+4），（常数），则：{a n+4}是以（a1+4）为首项，2为公比的等比数列．，当n=1时，代入①解得：a1=4，，则：．（2），由（1）得：，由于若{b n}为递减数列，所以：b n+1﹣b n＜0，即：，∵λ＞0，∴整理得：λ＞，要使上式恒成立只需满足：即可．当n=1时，解得：λ＞3．点评：本题考查的知识要点：构造新数列求通项公式，利用递减数列求参数的范围，恒成立问题的应用．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，BC=CD=2AB=2，△PAD是等边三角形，M、N分别为BC、PD的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若MN⊥PD，求二面角P﹣AD﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）取PC中点Q，可证面NQM∥面PAB，得MN∥面PAB；（2）取AD中点O，PO⊥AD，MO⊥AD，∠POM是二面角P﹣AD﹣C平面角，解三角形得二面角P﹣AD﹣C的余弦值．解答：证明：（1）取PC中点Q，连接QN，QM，如下图所示：∵M、N分别为BC、PD的中点．∴QM∥PB，又∵QM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴QM∥平面PAB，同理QN∥平面PAB，∵QM∩QN=Q，QM，QN⊂平面NQM∴平面NQM∥平面PAB，又∵MN⊂平面NQM∴MN∥面PAB；解：（2）取AD中点O，连接OP，OM，∵△PAD是等边三角形，∴PO⊥AD，∵AB∥CD，AB⊥AD，∴MO⊥AD，∴∠POM是二面角P﹣AD﹣C平面角，∵BC=CD=2AB=2，∴AD=，MB=MC=1，∠BCD=，∴MD=，PO=×=，又∵MN⊥PD，∴PM=MD=，MO=，由余弦定理得：．故二面角P﹣AD﹣C的余弦值为点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定与性质，难度中档．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．（1）当a＞0时，求函数y=的定义域；（2）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+有四个不同的实根，求实数a的取值范围．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意，f（x）=ax2﹣（a+1）x+1≥0，讨论a，求定义域；（2）令t=m+≥2，则原命题可化为ax2﹣（a+1）x+1﹣t=0有两个不同的正根，从而解得．解答：解：（1）由题意，f（x）=ax2﹣（a+1）x+1≥0，即（ax﹣1）（x﹣1）≥0，①当0＜a＜1时，函数y=的定义域为{x|x≥或x≤1}，②当a=1时，函数y=的定义域为R，③当a＞1时，函数y=的定义域为{x|x≥1或x≤}；（2）令t=m+≥2，则关于x的方程f（|x|）=t有四个不同的实根可化为a|x|2﹣（a+1）|x|+1﹣t=0有四个不同的实根，即ax2﹣（a+1）x+1﹣t=0有两个不同的正根，则，解得a＜﹣3﹣．点评：本题考查了定义域的求法即二次不等式的解法，同时考查了二次方程的根的位置判断，属于中档题．22．过抛物线C：y2=2px上的点M（4，﹣4）作倾斜角互补的两条直线MA、MB，分别交抛物线于A、B两点．（1）若|AB|=4，求直线AB的方程；（2）不经过点M的动直线l交抛物线C于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过点M，那么直线l是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出抛物线的方程，设出AB的直线方程，由弦长公式可求得m；（2）设P，Q两点的坐标，表示出以PQ为直径的圆，然后判断直线l是否过定点即可．解答：解：（1）由题意可得：抛物线方程为y2=4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程是x=my+b，由，得y2﹣4my﹣4b=0，由k AM+k BM=0，得y1+y2=8，则m=2，由弦长公式，得b=﹣2，因此直线AB的方程是x﹣2y+2=0（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过点M，则由，即有=0，则（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1+4）（y2+4）=0，即，化简，得y1y2﹣4（y1+y2）=32=0，过PQ的直线为==，恒过（8，4）点．点评：本题主要考查抛物线的定义、弦长公式，直线过定点等知识，属于基础题．。
浙江省效实中学2013届高三上学期期中数学理试题
宁波效实中学二零一二学年度第一学期高三数学（理）期中试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|log 0},{|20}A x x B x x x =∈>=∈--<R R ，则AB =(A)(1,2)-(B) (1,)-+∞ (C) (1,1)- (D) (1,2)2．已知sin()2sin()2ππαα-=-+，则sin 2α等于(A)45-(B) 25- (C) 25 (D) 453．若向量,a b 满足1,2a b ==，且()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为(A)2π(B)23π(C)34π(D)56π 4．等差数列{}n a 的公差0d ≠，且134,,a a a 成等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则4253S S S S --的值为(A)3(B)57(C)75(D) 15．函数2()24ln f x x x x =--的单调递增区间是 (A)(,1),(0,2)-∞-(B) (1,0),(2,)-+∞ (C) (0,2)(D) (2,)+∞6． 已知函数2()sin(2),()2cos f x x g x x π=-=，则下列结论正确的是 (A)函数()f x 在区间[,]42ππ上为增函数 (B) 函数()()y f x g x =+的最小正周期为2π (C) 函数()()y f x g x =+的图象关于直线8x π=对称(D) 将函数()f x 的图象向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象 7．已知2a b >≥．现有下列不等式：①23b b a >-；②4221ab a b+<+；③ab a b >+； ④log 3log 3a b >．其中正确的是 (A) ①②(B) ①③(C) ②④(D) ③④8．O 是ABC ∆所在平面内一点，动点P 满足(),0sin sin AB AC OP OA AB BAC Cλλ=++>，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的(A) 内心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 垂心 9．若关于x 的不等式2||2x x a +-<至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是(A)(2,2)- (B) 9(2,)4- (C) 99(,)44- (D) 9(,2)4-10．如图放置的正方形, 1.,ABCD AB A D =分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB⋅的最大值是 (A)(B)(C) (D) 2第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．复数z 满足(2)(1)1z i i -+=-，其中i 是虚数单位，则复数z = ▲ ．12．在25(1)(1)x x x ++-的展开式中，含5x 项的系数是 ▲ ．13．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如右图，则()f π= ▲ ．14．若函数33,0,()14,03x x x f x x x a x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩在其定义域R 上有且只有一个零点， 则实数a 的取值范围是 ▲ ．15．在A B C ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，AD 为BC 边上的高．已知55cos =C ， 且5451+=，则=ba ▲ ． 16．在ABC ∆中，cb a ,,分别为角,,A B C 所对的边，若c A b B a 53cos cos =-， 则)tan(B A -的最大值为 ▲ ．第13题图第10题图17．设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+， 则10a = ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．(本题满分9分)已知函数23()3cos(0)222xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，点A 为图象的最高点，,B C 为图象与x 轴的交点，且三角形ABC 的面积为4． （I ）求ω的值及函数()f x 的值域； （II）若00()(,)123f x x ππ=∈，求0()6f x π+的值．19．(本题满分9分)用0,1,2,3,4,5这六个数字，组成四位数． （I ）可以组成多少没有重复数字的四位数？（II ）可组成多少个恰有两个相同数字的四位数？第18题图20．(本题满分10分)在ABC ∆中，c b a ,,分别为角,,A B C 所对的边，向量),2(b c a +=，)cos ,(cos C B n =，且n m ,垂直．（I ）确定角B 的大小；（II ）若ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且1=BD ，设,BC x BA y ==，试确定y 关于x 的函数式，并求边AC 长的取值范围．21．(本题满分11分)已知以1a 为首项的数列{}n a 满足1,3,, 3.n n n nn a c a a a a d++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩（I ）当11,1,3a c d ===时，求数列{}n a 的通项公式；（II ）当101,1,3a c d <<==时，试用数列1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ；（III ）当1110(*),a m c m m <<∈=N 时，正整数3d m ≥时，证明：数列23262921111,,,m m m a a a a m m m m+++----成等比数列的充要条件是3d m =．22．(本题满分10分)已知函数1)(23-+=ax x x f ，R x ∈，R a ∈ ． (Ⅰ) 设对任意]0,(-∞∈x ，x x f ≤)(恒成立，求a 的取值范围；(Ⅱ) 是否存在实数a ，使得满足t a t t f ln 24)('2-=的实数t 有且仅有一个？若存在，求出所有这样的a ；若不存在，请说明理由．宁波效实中学二○一二学年度第一学期高三数学（理）期中试卷答案一、选择题(1)D ． (2) A ． (3)C ． (4) A ． (5) D ． (6)C ． (7)B ． (8)C ． (9)B ． (10) D ． 二、填空题(11)2i - (12)6 (13)(14)163a > (15)(16) 34(17)100． 三、解答题(18)(I)()),3f x x πω=+又|ABC S BC ∆=，2||2BC ππω==，则2ω=。
数学(理)卷.2013届浙江省宁波效实中学高三上学期期中考试(2012 11)
浙江省宁波市效实中学2013届高三上学期期中数学理试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|log 0},{|20}A x x B x x x =∈>=∈--<R R ，则A B =I(A)(1,2)-(B) (1,)-+∞ (C) (1,1)- (D) (1,2)2．已知sin()2sin()2ππαα-=-+，则sin 2α等于(A)45-(B) 25- (C) 25 (D) 453．若向量,a b r r满足1,a b ==r r ()a a b ⊥+r r r，则a r 与b r 的夹角为(A)2π(B)23π(C)34π(D)56π 4．等差数列{}n a 的公差0d ≠，且134,,a a a 成等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则4253S S S S --的值为(A)3(B)57(C)75(D) 15．函数2()24ln f x x x x =--的单调递增区间是 (A)(,1),(0,2)-∞-(B) (1,0),(2,)-+∞ (C) (0,2)(D) (2,)+∞6． 已知函数2()sin(2),()2cos f x x g x x π=-=，则下列结论正确的是 (A)函数()f x 在区间[,]42ππ上为增函数 (B) 函数()()y f x g x =+的最小正周期为2π (C) 函数()()y f x g x =+的图象关于直线8x π=对称(D) 将函数()f x 的图象向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象7．已知2a b >≥．现有下列不等式：①23b b a >-；②4221ab a b+<+；③ab a b >+； ④log 3log 3a b >．其中正确的是 (A) ①②(B) ①③(C) ②④(D) ③④8．O 是ABC ∆所在平面内一点，动点P 满足(),0sin sin AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r， 则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的(A) 内心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 垂心 9．若关于x 的不等式2||2x x a +-<至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是(A)(2,2)- (B) 9(2,)4- (C) 99(,)44- (D) 9(,2)4-10．如图放置的正方形, 1.,ABCD AB A D =分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB ⋅u u u r u u u r的最大值是 (A) (B) 2 (C) 3 (D) 2ks5u第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．复数z 满足(2)(1)1z i i -+=-，其中i 是虚数单位，则复数z = ▲ ．12．在25(1)(1)x x x ++-的展开式中，含5x 项的系数是 ▲ ．13．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如右图，则()f π= ▲ ．14．若函数33,0,()14,03x x x f x x x a x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩在其定义域R 上有且只有一个零点， 则实数a 的取值范围是 ▲ ．15．在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，AD 为BC 边上的高．已知55cos =C ， 且AC AB AD 5451+=，则=ba ▲ ．ks5u 16．在ABC ∆中，cb a ,,分别为角,,A B C 所对的边，若c A b B a 53cos cos =-， 则)tan(B A -的最大值为 ▲ ．第13题图第10题图17．设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+，则10a = ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．(本题满分9分)已知函数233()3cos sin (0)222xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，点A 为图象的最高点，,B C 为图象与x 轴的交点，且三角形ABC 的面积为3π． （I ）求ω的值及函数()f x 的值域；ks5u （II ）若004()3,(,)5123f x x ππ=∈，求0()6f x π+的值．19．(本题满分9分)用0,1,2,3,4,5这六个数字，组成四位数． （I ）可以组成多少没有重复数字的四位数？（II ）可组成多少个恰有两个相同数字的四位数？ ks5u第18题图20．(本题满分10分)在ABC ∆中，c b a ,,分别为角,,A B C 所对的边，向量),2(b c a m +=，)cos ,(cos C B =，且,垂直．（I ）确定角B 的大小；（II ）若ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且1=BD ，设,BC x BA y ==，试确定y 关于x 的函数式，并求边AC 长的取值范围．21．(本题满分11分)已知以1a 为首项的数列{}n a 满足1,3,, 3.n n n nn a c a a a a d ++<⎧⎪=⎨≥⎪⎩（I ）当11,1,3a c d ===时，求数列{}n a 的通项公式；（II ）当101,1,3a c d <<==时，试用数列1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ；（III ）当1110(*),a m c m m <<∈=N 时，正整数3d m ≥时，证明：数列23262921111,,,m m m a a a a m m m m+++----成等比数列的充要条件是3d m =．ks5u22．(本题满分10分)已知函数1)(23-+=ax x x f ，R x ∈，R a ∈ ． (Ⅰ) 设对任意]0,(-∞∈x ，x x f ≤)(恒成立，求a 的取值范围；(Ⅱ) 是否存在实数a ，使得满足t a t t f ln 24)('2-=的实数t 有且仅有一个？若存在，求出所有这样的a ；若不存在，请说明理由． ks5u宁波效实中学二○一二学年度第一学期高三数学（理）期中试卷答案一、选择题(1)D ． (2) A ． (3)C ． (4) A ． (5) D ． (6)C ． (7)B ． (8)C ． (9)B ． (10) D ． 二、填空题(11)2i - (12)6 (13)(14)163a > (15)(16) 34(17)100． ks5u 三、解答题(18)(I)()),3f x x πω=+又|ABC S BC ∆==，2||2BC ππω==，则2ω=。
数学理卷·2014届浙江省效实中学高三上学期期中考试(2013.11)
宁波效实中学二○一三学年度第一学期期中考试试卷高三数学（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．请在答题卷内按要求作答 第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、设全集{}05U x Z x =∈≤≤，集合{}3,1A =，{},B y y x x A ==∈，则()U C A B =UA .{}0,4,5,2B .{}0,4,5C .{}4,5,2D .{}4,52、已知sin(3)2sin()2ππαα-=-+，则sin cos αα=A .25-B .25C .25或25-D .15-3、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则"()[1,2]"f x 为上的增函数是"()[4,5]"f x 为上的减函数的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要4、()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象A .关于点(,0)12π对称B .关于点5(,0)12π对称C .关于直线512x π=对称D .关于直线12x π=对称 5、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，若M 为AB 的中点，则点C 到平面1A DM的距离为A .3 B .6a C .2a D .12a 6、已知函数()f x 满足()()f x f x ππ+=-，且当(0,)x π∈时，()cos f x x x =+，则(2),(3),(4)f f f 的大小关系是A .(2)(3)(4)f f f <<B .(2)(4)(3)f f f <<C .(4)(3)(2)f f f <<D .(3)(4)(2)f f f << 7、已知,m n 为异面直线，,m n αβ⊥⊥平面平面，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则A . //αβ且//l αB .αβ⊥且l β⊥C . α与β相交，且交线垂直于lD .α与β相交，且交线平行于l8、2()21,()1x f x g x x =-=-，(),()()()(),()()f x f xg x F x g x f x g x ≥⎧=⎨-<⎩，则下列判断正确的是A .()F x 为偶函数B .()F x 有最小值1-，无最大值C .()F x 有最大值1，无最小值D .()F x 无最大值，也无最小值9、已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若12345a a a =，且133551315513S S S S S S ++=，则2a =A .3B .5C .9D .1010、已知函数()32()20f x ax bx a =+-≠有且仅有两个不同的零点12,x x ，则A .当0a <时，12120,0x x x x +<>B .当0a <时，12120,0x x x x +><C .当0a >时，12120,0x x x x +<>D .当0a >时，12120,0x x x x +><第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11、若212iz i -=+，则复数z 的实部与虚部的和为________. 12、若2,1,,602a b a b a b ︒==<>=+=v v v v v v ，则_________.13、数列{}n a 满足12a =，2112(1)n n a a n+=+⋅，则n a =_________ 14、已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .15、半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则()PA PB PC +⋅u u u v u u u v u u u v的最小值是___________.16、在直角ABC ∆中，两条直角边分别为a b 、，斜边和斜边上的高分别为c h 、，则c h a b++的取值范围是 .17、若,,()(22x y R x y t x xy +∈+≥+恒成立，则t 的范围是____________.三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18、在数列{}n a 中，1122,210,1n n n n n a a a a b a +=-+==-. （1）求证：{}n b 为等差数列，并求n b ； （2）若数列{}n c 满足23121...333n n n c c c c b -++++=，求数列{}n nc 的前n 项和n T .19、已知函数2()2(3sin cos )f x x x =--（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3ba=， sin(2)22cos()sin A C A C A+=++，求()f B 的值.20、在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，2,60AB DAB ︒=∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∆为正三角形,E 为AD 中点,M 为线段PC 上的一点. （1）若M 为PC 中点，求证：//ME PAB 平面；（2）若二面角M EB C --的平面角为60︒，求直线AB 与平面MEB 所成角的余弦值.21、已知()xf x xe =，2()2g x ax ax =+，a R ∈（1）若()f x 与()g x 在(0,0)处的切线互相垂直，求a 的值； （2）设()()()F x f x g x =-，当12a ≤≤(||)y F x =在[,]a a -的最大值.22、对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号{}x 表示．例如{}811.20.2,{1.2}0.8,{}77=-==.对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1{}a a =，11,00,0n n n n a a a a +⎧⎧⎫≠⎪⎨⎬=⎨⎩⎭⎪=⎩,, 其中123n =L ,,,.（1）若2=a ，求23,a a 并猜想数列{}n a 的通项公式（不需要证明）；（2）当41>a 时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设qpa =（p 是整数，q 是正整数，p ,q 互质），对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，证明你的结论．2013学年第一学期期中高三数学（理）答案1-10： DACCA BDBBB11、-1 12、、22n n 14、43π15、132-16、14a a e =->+或、16t ≤18、（1）112222222111111n n n n n n n na b b a a a a a ++--=-=-==-----，所以，{}n b 为等差数列，且11221b a ==-，所以，2n b n =（2）当1n =时，112c b ==；当2n ≥时，联立23121231122...2333...22333n n n n c c c c n c c c c n ---⎧++++=⎪⎪⎨⎪++++=-⎪⎩，得123n n c -=，所以123(2)n n c n -=⋅≥ 所以 ，123(1)n n c n -=⋅≥，123n n nc n -=⋅，12123212323...233232323...23n n nn T n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅+⋅++⋅１ ，所以2122(133...3)23n nn T n --=++++-⋅23123(12)31n n n n T n n ∴-=--⋅=-⋅-，11()322n n T n ∴=-⋅+19、22()2(3sin cos cos )f x x x x x =-+-22cos sin cos cos222sin(2)6x x x x x x x π=-+=+=+7[0,],2[,]2666x x ππππ∈∴+∈Q ，1sin(2)[,1]62x π+∈-，()[1,2]f x ∴∈-（2）由条件得 sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++sin cos()cos sin()2sin 2sin cos()A A C A A C A A A C +++=++化简得 sin 2sin C A =2,,c a b ∴==由余弦定理得 30,60,90A B C ︒︒︒===()(60)2sin1501f B f ︒︒∴===20、（1）取BC 中点M ，连MN,NE, MN//PB,所以MN//平面PAB EN//AB,所以NE//平面PAB 所以 平面MNE//平面PAB 所以 MN//平面PAB（2）如图，建立空间直角坐标系，(0,0,0),(1,0,0),3,0),(1,0,0)3),(3,0)E A B D P C --算得 平面MEB 的法向量1(33,0,2)n λλ=u v， 平面EBC 的法向量2(0,0,1)n =u u v12221cos ,213(1)4n n λλ<>==⋅-+u v u u v，解得11()3λ=-或者舍去此时，122(3,0,)33n =u v ，13cos ,n AB <>=u v u u u v 1321、（1）'()(1),'()22,xf x x eg x ax a =+=+又'(0)'(0)1f g =-，所以21a =-，12a =- （2）2()(2)xF x xe ax ax =-+，只要求()[0,]F x a 在上的最大值，'()(1)(22)(1)(2)x x F x x e ax a x e a =+-+=+-，令 ()2(12)xh x e x x =-≤≤,'()20x h x e =->，min ()(1)20h x h e ∴==->，()0h x >恒成立，2x e x ∴>，2a e a ∴>，()(0,ln 2)(ln 2,)F x a a a ∴↓↑在又322(0)0,()(2)(2)a a F F a ae a a a e a a ==-+=--，令2()2(12)x m x e x x x =--≤≤,'()22x m x e x =--,''()20x m x e =->，所以'()2)m x 在递增，2'()'(2)2220m x m e ∴≤=--<，所以()m x 单调递减，()(1)40m x m e ≤=-<， 所以max ()(0)0F x F ==22、（1）2221211111(2)2()t x x x a x x ax x a a ==-=-+=--+，且102,x a <<2(0,]t a ∴∈（2）212121212121212122112121111()2()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+-+=+-222121212121212142141422a x x a a x x x x t x x x x x x t---+-=++=++, 当12a ≥时，2140a -≤，214a t t t -∴+为的增函数， 且当2t a =时，有最大值21()a a- 即12x x a ==时，21212111()()()x x a x x a --≤-（3）212121114()()2a x x t x x t---=++， 令2214()2,(0,]a f t t t a t -=++∈ 当12a ≥时，2()(0,)f t a 在递增，所以221()()()f t f a a a≤=-，故舍去 当102a <<时，2222214(14)'()1a t a f t t t ---=-=，所以，())f t ↓+∞↑在，要使得2()()f t f a ≥恒成立，则有2a ≥，2414a a -≥，且102a <<解得0a <<。
2013学年高一数学上学期期中试题(1-2)及答案(新人教A版 第139套)
浙江省效实中学2012-2013学年高一数学上学期期中试题（1-2）新人教A 版（答案请做在答题卷上，试卷上作答的一律无效）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．已知命题p 为真命题，命题q 为假命题，则由它们组成的""""""""p q p q p q ∨∧⌝⌝形式的复合命题中，真命题有A.0个B.1个C.2个D.3个2．若直线l 的斜率k 满足1k -≤<，则l 的倾斜角α的取值范围为 A.3(,]34ππ B. 3(0,)[,)34πππ C. 3[0,)[,]34πππ D. 3[0,)[,)34πππ 3．已知圆的方程为22680x y x y ++-=，设该圆中过点(3,5)M -的最长弦、最短弦分别为,AC BD ，则四边形ABCD 的面积为A. C.4．双曲线22134y x -=的焦点到渐近线的距离等于2 C.3 D. 45．1m =是直线(21)20mx m y +++=和直线310x my -+=垂直的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．光线沿直线21y x =+入射到直线50x y ++=后反射，则反射光线所在直线方程为A.270x y ++=B. 240x y --=C. 10x y --=D. 280x y ++=7．已知12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，在此椭圆上存在点P ，使 1260F PF ∠=︒，且12||2||PF PF =，则此椭圆的离心率为13 8．直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且与抛物线交于,A B 两点，若线段AB 的长为6，AB 的中点到y 轴的距离为2，则该抛物线的方程是A.28y x =B. 26y x =C. 24y x =D. 22y x =9．圆222650x y x y a ++++=关于直线2y x b =+成轴对称图形，则b a -的取值范围是A.(,1)-∞B. (,3)-∞-C. (1,)+∞D. (3,)-+∞10．设双曲线22221(,0)x y a b a b-=>两焦点为12,F F ，点Q 为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点2F 作12FQF ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点轨迹是 A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分二．填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分.）11．已知,x y 满足0,202x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值为__▲__.12．过点(1,2)的直线l 与,x y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积最小时，直线l 的方程为__▲__.13．已知,A B 为抛物线22y x =上两动点，O 为坐标原点且OA OB ⊥，若直线AB 的倾斜角为135︒，则AOB S ∆=__▲__.14．已知以抛物线24y x =过焦点的弦为直径且圆心在第四象限的圆截y 轴所得弦长为4，那么该圆的方程是__▲__.15．已知,,A B P 为椭圆22221(,0)x y m n m n+=>上不同的三点，且,A B 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积32PA PB k k =-，则该椭圆的离心率为__▲__. 16．已知抛物线21:4C x y =和圆222:(1)1C x y +-=，直线l 过1C 焦点，从左到右依次交12,C C 于,,,A B C D 四点，则AB CD =__▲__.17．若直线yx b =+与曲线1y =有公共点，则b 的取值范围是__▲__.三．解答题（本大题共5小题，共49分.） 18．（本小题满分8分)已知C 的圆心在x 轴上，直线y x =截C 所得弦长为2，且C 过点.(1)求C 方程；(2)设(,)P x y 为C 上任一点，求22(1)(3)x y -++的最大值.19．（本小题满分11分）已知双曲线C 的焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，一条渐近线方程为y =，过1F 的直线l 交双曲线于,A B 两点. (1)写出C 的方程；(2)若,A B 分别在左右两支，求直线l 斜率的取值范围；(3)若直线l 斜率为1，求2ABF ∆的周长.20．（本小题满分8分）已知点(1,0)F ，动点P 到直线2x =-的距离比到F 的距离大1.(1)求动点P 所在的曲线C 的方程；(2),A B 为曲线C 上两动点，若||||4AF BF +=，求证：AB 垂直平分线过定点，并求出该定点.21．（本小题满分11分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(1,0)F ，离心率为e .(1)若2e =，求椭圆方程； (2)设直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,A B 两点，,M N 分别为线段,AF BF 的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上.(i)将k 表示成e 的函数；(ii)当e ∈时，求k 的取值范围.22．（本小题满分11分）已知点(2,0)M ，P 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一动点，若||PM (1)求抛物线C 的方程；(2)已知222:(2)(0)M x y r r -+=>，过原点O 作M 的两条切线交抛物线于,A B 两点，若直线AB 与M 也相切.(i)求r 的值； (ii)对于点2(,)Q t t ，抛物线C 上总存在两个点,R S ，使得QRS ∆三边与M 均相切，求t 的取值范围.宁波效实中学 2011学年度第二学期高二(1)(2)班数学期中答题案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）11. 3 12. 2x+y-4=0 13.14.22325()(1)24x y -++=16. 117.[3]-三、解答题（本大题有5题，共49分）18.解：(1)设圆心(,0)a，则2221(2)5a +=-+ 解得224,(4)9a x y =∴-+= (2)设43cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，故22(1)(3)9(3))274x y πθ-++=++≤+19.解：（1）2213x y -= (2)222222(2)(31)12123033y k x k x k x k x y =+⎧⇒-+++=⎨-=⎩22212212(1)013(41)333031k k k k x x k ⎧∆=+>⎪⇒<⇒-<<⎨+=<⎪-⎩(3)22||||||2||AB AF BF AB ++=+=20.(1)24y x =(2)12||||4,2AF BF x x +=∴+=，设AB 中点0(1,)M y ，则02AB k y = 所以中垂线00(1)2y y y x -=--，过(3,0) 21.(1)2212x y +=(2)(i)212121[(1)(1)]04OM ON x xy y k =+++=⇒= (ii)k k ≥≤22.(1)222242212||2(1)424y PM y y y p p p ⎛⎫=-+=+-+ ⎪⎝⎭，对称轴2(2)p p - 当2p ≥，min ||2PM =，舍当02p <<，2min 7||44PMp p =-=，解得12p =或72(舍)，所以2y x = (2)(i)由题意(2(2,Ar B r ++，OA k ∴=:OA y x =，2(1)(2)11r r r r =⇒-+=⇒= (ii)设22112212(,),(,)()R t t S tt t t ≠，则1111:tt QR y x t t t t =+++ 1=，从而22211(1)230t t tt t --+-=，将1t 换成2t 也成立 因为12t t ≠，所以21t ≠故12,t t 为方程222(1)230t x tx t --+-=的两根212122223,11t t t t t t t t -∴+==--，故1212121:t t RS y x t t t t =+++，即221322t t y x t t --=+ 圆心到RS221=，故1t ≠±。
2023-2024学年浙江省宁波市效实中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市效实中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题。
每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．命题“∀x ∈Z ，x 2＞0”的否定为（ ） A ．∀x ∈Z ，x 2≤0B ．∀x ∉Z ，x 2≤0C ．∃x ∈Z ，x 2≤0D ．∃x ∉Z ，x 2≤02．“x ＞﹣1”是“﹣x 2+2x +3＜0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f （x ）＝a x +1﹣1（a ＞1）的图象必经过点（ ） A ．（0，﹣1）B ．（﹣1，﹣1）C ．（0，0）D ．（﹣1，0）4．设a =12lg20+lg √5，b ＝log 45，则a +2b 的值为（ ） A ．2+√5B ．1+√5C ．27D ．265．函数y ＝（2x +1）3的图象可以看成将某个奇函数的图象（ ） A ．向左平移1个单位得到 B ．向左平移12个单位得到C ．向右平移1个单位得到D ．向右平移12个单位得到6．函数f(x)=√(x−1)2(x−3)x−2的定义域为（ ） A ．（2，3]B ．[1，2]∪[3，+∞）C ．（﹣∞，2）∪[3，+∞）D ．[1，2）∪[3，+∞）7．若不等式x 2+ax +4≤0对任意实数x ∈[﹣3，﹣1]恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．0B ．4C ．133D ．58．已知函数f(x)=√1+2x −√1−x ，g （x ）＝f （|x |），则使g(2m +54)−g(m 2)≥0成立的实数m 的取值范围为（ ） A ．[−12，−18]B ．[−12，1]C ．[−12，52]D ．[−1，−18]二、选择题：本题共4小题。
每小题4分，共16分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
2013-2014年浙江省宁波市高一上学期期末数学试卷与答案Word版
2013-2014学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）设集合A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩B=（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}2．（5.00分）sin（﹣60°）的值等于（）A．B．C．D．3．（5.00分）函数y=sin（2x+π）是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数4．（5.00分）下列函数在区间（0，+∞）是增函数的是（）A．B．C．y=x2﹣x+1 D．y=ln（x+1）5．（5.00分）设函数，则f（f（﹣1））的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣26．（5.00分）函数f（x）=a x﹣1+log a x（a＞0且a≠1），在[1，2]上的最大值与最小值之和是a，则a的值是（）A．B．C．2 D．47．（5.00分）定义一种运算，则函数f（x）=（2x*2﹣x）的值域为（）A．（0，1） B．（0，1]C．[1，+∞）D．（1，+∞）8．（5.00分）已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且，，则为（）A． B． C． D．9．（5.00分）将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．B．C． D．10．（5.00分）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4.00分）函数的定义域是．12．（4.00分）计算：=．13．（4.00分）已知向量满足，且它们的夹角为60°，则=．14．（4.00分）tanθ=2，则=．15．（4.00分）函数的值域为．16．（4.00分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣2）=．17．（4.00分）若函数对于R上的任意x1≠x2都有，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14.00分）已知．求sinαcosα和tanα的值．19．（14.00分）函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a．（Ⅰ）若f（x）是偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）当a=1时，求y=f（2x）在区间[﹣1，1]上的值域．20．（14.00分）已知点M（1，A），N（4，﹣A）是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A ＞0，）一个周期内图象上的两点，函数f（x）的图象与y轴交于点P，满足．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数在区间[0，6]内的零点．21．（15.00分）已知向量（t为实数）．（Ⅰ）t=1时，若，求tanα；（Ⅱ）若，求的最小值，并求出此时向量在方向上的投影．22．（15.00分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a﹣（a∈R）．（Ⅰ）判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[1，4]的单调性并用定义证明；（Ⅱ）令F（x）=|f（x）|+g（x），求F（x）在区间x∈[1，4]的最大值的表达式M（a）．2013-2014学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）设集合A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩B=（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，5}，∴A∩B={2}．故选：A．2．（5.00分）sin（﹣60°）的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：由诱导公式可得sin（﹣60°）=﹣sin（60°）=﹣，故选D．3．（5.00分）函数y=sin（2x+π）是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数【解答】解：∵ω=2，∴函数的周期T=．∵y=sin（2x+π）=﹣sin2x，∴函数y=sin（2x+π）为奇函数，故函数y=sin（2x+π）是周期为π的奇函数，故选：A．4．（5.00分）下列函数在区间（0，+∞）是增函数的是（）A．B．C．y=x2﹣x+1 D．y=ln（x+1）【解答】解：A中，在（1，+∞）和（﹣∞，1）上递减，故在（0，+∞）上不单调，排除A；B中，﹣1在R上单调递减，故排除B；C中，y=x2﹣x+1在（﹣]上递减，[，+∞）上递增，故在（0，+∞）上不单调，排除C；D中，y=ln（x+1）在（﹣1，+∞）上递增，故在（0，+∞）上也递增，故选：D．5．（5.00分）设函数，则f（f（﹣1））的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：由分段函数可知，f（﹣1）=，f（）==﹣2，故选：D．6．（5.00分）函数f（x）=a x﹣1+log a x（a＞0且a≠1），在[1，2]上的最大值与最小值之和是a，则a的值是（）A．B．C．2 D．4【解答】解：因为函数f（x）=a x﹣1+log a x（a＞0且a≠1），所以函数f（x）在a＞1时递增，最大值为f（2）=a2﹣1+log a2；最小值为f（1）=a1﹣1+log a1，函数f（x）在0＜a＜1时递减，最大值为f（1）=a1﹣1+log a1，最小值为f（2）=a2﹣1+log a2；故最大值和最小值的和为：f（1）+f（2）=a+log a2+1+log a1=a．∴log a2=﹣1⇒a=．故选：A．7．（5.00分）定义一种运算，则函数f（x）=（2x*2﹣x）的值域为（）A．（0，1） B．（0，1]C．[1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：∵，∴函数f（x）=（2x*2﹣x）=，∴又当x≤0时，0＜f（x）=2x≤1，当x＞0时，0＜f（x）=2﹣x≤1，∴f（x）的值域为（0，1]．故选：B．8．（5.00分）已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且，，则为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，设，则=∴，∴=故选：B．9．（5.00分）将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：把函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到的函数解析式为y=cos[2（x+φ）]=cos（2x+2φ），∵所得图象关于y轴对称，∴y=cos（2x+2φ）为偶函数，则2φ=kπ，k∈Z．即φ=，k∈Z．∵φ＞0，∴k=﹣1时，φ有最小值为．故选：A．10．（5.00分）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）【解答】解：若对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2×+φ=kπ+，k∈Z则φ=kπ+，k∈Z又即sinφ＜0令k=﹣1，此时φ=，满足条件令2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z解得x∈故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4.00分）函数的定义域是．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，∴函数的定义域为（﹣2，），故答案为：（﹣2，）．12．（4.00分）计算：=﹣1．【解答】解：=lg（）﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．13．（4.00分）已知向量满足，且它们的夹角为60°，则=．【解答】解：由题意可得=====故答案为：14．（4.00分）tanθ=2，则=﹣2．【解答】解：∵sin（）=cosθ，cos（π﹣θ）=﹣cosθ，sin（π﹣θ）=sinθ∴原式=====﹣2故答案为：﹣215．（4.00分）函数的值域为[﹣1，2] ．【解答】解：∵x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴y=2cos（2x+）先递增，再递减；当2x+=0，即x=﹣时，y取得最大值2，当2x+=﹣，即x=﹣时，y=，当2x+=，即x=时，y=﹣1，∴y有最小值﹣1；∴函数的值域是[﹣1，2]．故答案为：[﹣1，2]．16．（4.00分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣2）=﹣7．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），f（0）=1+b=0，b=﹣1．∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣22﹣4﹣（﹣1）=﹣7．故答案为：﹣7．17．（4.00分）若函数对于R上的任意x1≠x2都有，则实数a的取值范围是[4，8）．【解答】解：∵对于R上的任意x1≠x2都有，则函数f（x）单调递增，∵函数，∴，即，∴4≤a＜8，故答案为：[4，8）．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14.00分）已知．求sinαcosα和tanα的值．【解答】解：由（sinα﹣cosα）2=，得1﹣2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣；又=﹣，即=﹣，整理得：tanα+=﹣，即12tan2α+25tanα+12=0，分解因式得：（4tanα+3）（3tanα+4）=0，解得：tanα=﹣或tanα=﹣．19．（14.00分）函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a．（Ⅰ）若f（x）是偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）当a=1时，求y=f（2x）在区间[﹣1，1]上的值域．【解答】解：（I）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=x2﹣（a﹣4）x+4﹣2a=x2+（a﹣4）x+4﹣2a．即﹣（a﹣4）=a﹣4，解得a=4；（II）当a=1时，f（x）=x2﹣3x+2，令，则y=f（2x）=f（t）=t2﹣3t+2=（t﹣）2，∴函数的值域为．20．（14.00分）已知点M（1，A），N（4，﹣A）是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A ＞0，）一个周期内图象上的两点，函数f（x）的图象与y轴交于点P，满足．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数在区间[0，6]内的零点．【解答】解：（I）∵点M（1，A），N（4，﹣A）是函数f（x）=Asin（ωx+φ）一个周期内图象上的两点，∴，，；由f（1）=A，得，∴sin（φ）=1，又φ，∴；又，∴，∴，由，得，∴A=2．∴；（II）∵x∈[0，6]，∴，∴，由y=0，得，∴或，得或．∴函数在区间[0，6]内的零点为，．21．（15.00分）已知向量（t为实数）．（Ⅰ）t=1时，若，求tanα；（Ⅱ）若，求的最小值，并求出此时向量在方向上的投影．【解答】解：（I）∵t=1，∴，∵，∴cosα（2﹣sinα）﹣sinα（1﹣cosα）=0，化为2cosα=sinα，可得tanα=2；（II）时，，当时，，此时，在方向上的投影．22．（15.00分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a﹣（a∈R）．（Ⅰ）判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[1，4]的单调性并用定义证明；（Ⅱ）令F（x）=|f（x）|+g（x），求F（x）在区间x∈[1，4]的最大值的表达式M（a）．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣a，g（x）=a﹣，∴h（x）=f（x）﹣g（x）=x+，设x1，x2∈[1，4]，且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）==，∵x1，x2∈[1，4]，且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，x1x2﹣1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴h（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[1，4]的单调递增，（Ⅱ）∵F（x）=|f（x）|+g（x）=|x﹣a|+a﹣，当a≤0时，F（x）=x﹣，在x∈[1，4]的单调递增，M（a）=，当a≥4时，F（x）=2a﹣（x+），在x∈[1，4]的单调递减，M（a）=2a﹣2，当0＜a＜4时①a≤x≤4时，F（x）=x﹣，在x∈[1，4]的单调递增，M（a）=，②1≤x＜a时，F（x）=2a﹣（x+），在x∈[1，4]的单调递减，M（a）=2a﹣2，M（a）=，当2a﹣2=时，a=，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象 判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作yxomax ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．∴M （a ）=。
浙江效实中学2012-2013学年高一上学期中数学
宁波效实中学二○一二学年度第一学期 期中考试高一数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．下列函数与()1f x x =+表示同一函数的是 （A ）12log 2x y += （B）1y =（C）2y = （D ）2log (1)2x y +=2．已知集合{(,)|02}A x y x =≤≤，{(,)|10}B x y y =-≤≤，则 （A ）{0}A B = （B ）{(,)|12}A B x y x =-≤≤（C ）AB =∅ （D ）A B 在坐标平面内表示的图形面积为23．比较三个数21log 3a =，132b =，21()3c =的大小，则（A ）a b c << （B ）c a b << （C ）a c b << （D ）c b a <<4．已知2log 3(5)()(2)(5)x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(2012)f =（A ）81 （B ）9 （C ）3 （D5．下列函数不是奇函数的是（A ）()|1|f x x x =- （B ）21()x f x x -=（C）()lg(f x x = （D ）21()21x x f x +=-6．若函数2log ()y f x =的值域是(0,)+∞，则()f x 可以等于 （A ）1x x +（B（C ）2x（D ）1()12x + 7．如图，是三个对数函数1log a y x =，2log b y x =，3log c y x =的图象，则（A ）a b c << （B ）1c b a << （C ）1c a b<< （D ）c b a << 3y 2yy x 08．已知12,x x 是方程24()1022x x x x -+=--的两根，则12x x += （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．设函数()f x 的定义域为A ，且满足任意x A ∈恒有()(2)2f x f x +-=的函数是 （A ）2()log f x x = （B ）()2x f x = （C ）()1xf x x =- （D ）2()f x x = 10．已知方程1lg ()2xx =有两个不同的实数根12,x x ，则有（A ）121x x > （B ）120x x < （C ）1201x x << （D ）121x x =第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分． 11．函数2log (1)y x =+的定义域A = ▲ ．12．设{2,3,5,7,8}U =，{2,8}A =，{3,5,8}B =，则()U C A B = ▲ ．13．函数223()0.2xx f x -+=的单调递增区间是 ▲ ．14．已知()|6|()f x ax a Z =-∈，若3{|()2}x f x ∈<，则{|()2}x f x ≥= ▲ ． 15．关于x 的方程2(1)2230a x ax a -++-=至少有一个正根，则a ∈ ▲ ． 16．已知22012()2012lg log 1xf x x x x =++-，若(2012)3f =，则1()2012f = ▲ ． 17．当3x ≥时，不等式2(41)(2)0ax a x x -+--≥恒成立，则a 的范围是 ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18． （1）计算：11320.00881-++（2）解方程：lg lg 3100x x ⋅=．19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()32f x x =-． (1)求()f x 的解析式；(2) 写出()f x 的单调区间；（3）解不等式()()f x f x -≥．宁波效实中学二○一○学年度第一学期 期中考试高一数学答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11、),1+∞-（ 12、}5,3{ 13、)1,(-∞ 14、),4[]2,+∞∞- （ 15、]2,32（ 16、2- 17、]1,0[20．用定义证明：22()1xf x x =-在(1,1)-上单调递减． 18、解：（1）10（2）1000或10119、解：（1）32(0)()0(0)32(0)x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪--<⎩（2）递减区间(,0)-∞，(0,)+∞ （3）302x -≤≤或32x ≥20．略21．已知函数()|21||1|f x x k x =-++．(1) 当1k =-时，把()f x 写成分段函数，并画出()f x 的图象； （2）若1()2f 是函数()f x 的最小值，求k 的取值范围．21、解：（1）12()21()|21||1|3(1)22(1)x x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪-≤-⎪⎪⎩，图略（2）1(2)1()21()(2)1(1)2(2)1(1)k x k x f x k x k x k x k x ⎧+-+≥⎪⎪⎪=-++-<<⎨⎪-++-≤-⎪⎪⎩，2020k k +≥⎧⎨-≤⎩，22k -≤≤22．设2()41f x x =-，()21g x x =-+（1）若关于x 的方程()(2)2x g x f m =+有负实数根，求m 的取值范围； （2）若()()()F x af x bg x =+（,a b 都为常数，且0a >）①证明：当01x ≤≤时，()F x 的最大值是|2|a b a -+； ②求证：当01x ≤≤时，()|2|0F x a b a +-+≥．22、解：（1）0x <，设2(0,1)xt =∈，22241m t t =-- 22242t t -<，1m ∴< （2）证明：2()42F x ax bx b a =-+-对称轴4b x a= ①当142b a ≤即2a b ≥时，max ()(1)3F x F a b ==- 当142b a >即2a b <时，max ()(0)F x F b a ==-故max 3(2)()|2|(2)a b a b F x a b a b a a b -≥⎧==-+⎨-<⎩②即求min ()|2|0F x a b a +-+≥22(2)()4()44b a b F x a x a a--=-+当04ba≤即0b ≤时，min ()|2|(0)220F x a b a F a b a a +-+=+-+=> 当014ba<<即04b a <<时min 2222()|2|()248(02)488(24)4bF x a b a F a b a a a b b a aa ab b a b a a +-+=+-+⎧-<≤⎪⎪=⎨-+-⎪<<⎪⎩min ()|2|0F x a b a ∴+-+>当14ba≥即4b a ≥时，min ()|2|(1)20F x a b a F b a a +-+=+-=> 综上，当01x ≤≤时，()|2|0F x a b a +-+≥。
浙江省效实中学2013-2014学年高一数学上学期期末试卷(4-11班)新人教A版
浙江省效实中学2013-2014学年高一数学上学期期末试卷〔4-11班〕新人教A 版说明：本试卷分第1卷(选择题)和第2卷(非选择题)两局部，共100分.第1卷〔选择题 共30分〕一、选择题：本大题共10小题，每一小题3分，共30分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.函数()1lg(2)f x x x =-+的定义域为A. (2,1)- B .[2,1)- C. (2,1]- D.[]1,2- 2.如下各组函数中表示同一函数的是A.x x f =)(与2)()(x x g = B.||)(x x f =与33)(x x g =C.x e x f ln )(=与xex g ln )(= D.11)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=x x x g3.函数22log (23)y x x =+-的单调递增区间是A.(,3)-∞-B.(,1)-∞-C.(1,)-+∞D.(1,)+∞ 4.函数lg(1)y x =-的图象为5.设0x 是函数4ln )(-+=x x x f 的零点，如此0x 所在的区间为A ．〔0，1〕B ．〔1，2〕C ．〔2，3〕D ．〔3，4〕6.函数()()()2212(3)x x f x x f x ≥⎧+⎪=⎨<+⎪⎩，如此()()13f f -=A.7B.12C.18D.277.函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且对任意的1212,1()x x x x >≠，有1212()()0f x f x x x ->-，设1(),(2),(3)2a fb fc f =-==，如此,,a b c 的大小关系为A.c b a <<B.b a c <<C.b c a <<D.a b c <<8.假设函数(1)()(4)2(1)2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+⎪⎩≤是R 上的增函数，如此实数a 的取值范围为 A ．(1,)+∞ B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)9.函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递减. 假设实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤，如此a 的取值范围是A ．[2,)+∞B ．1(,][2,)2-∞+∞ C ．1(,2]2 D ．1(0,][2,)2+∞10.函数2()2(4)4,()f x x m x m g x mx =+-+-=，假设对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如此实数m 的取值范围是A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-第2卷〔非选择题 共70分〕二、填空题：本大题共7小题，每一小题3分，共21分.11.1130211()4(2)()924----⋅-+-=▲．12. 假设x x x f 2)1(+=-，如此()f x =▲．13.幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，如此满足()27f x =的x 的值是▲．14.2log 3a =，33log 4b =，12109c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么将这三个数从大到小．．．．排列为▲． 15. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为400元，假设每批生产x 件，如此平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，如此每批应生产产品为▲． 16. 假设函数2()(2)5f x x m x m 在区间(2,4)内有且只有一个零点，如此实数m 的取值范围是▲．17. 函数()f x x =，2()252g x x mx m =-+-()m R ∈，对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =成立，如此实数m 的取值范围是▲．三、解答题：本大题共5小题，共49分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18. 函数()3xf x =，其反函数为()yg x =. 〔1〕求32(4)(8)()9g g g +-的值； 〔2〕解不等式()(0)1xg f x<-.19.函数1()f x x=，把()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到()y g x =的图象.〔1〕求()g x 的解析式；〔2〕写出()g x 的单调区间，并证明()g x 的单调性〔用函数单调性的定义证明〕.20.函数2()()21xxf x a a R =+∈+是定义在R 上的奇函数. 〔1〕求实数a 的值；〔2〕解关于x 的不等式2()(22)()f x tx f x t t R ->-∈其中.21.函数2()log f x x =与函数()y g x =的图象关于1x =对称. 〔1〕求()g x 的解析式，并求其定义域；〔2〕假设关于x 的不等式22()()log (224)()f x g x x ax a a R +<-++∈恒成立，求实数a的取值范围.22.函数24,1()(2)5,1kx k x f x x k x k x -+≤⎧=⎨-+++>⎩()k R ∈，且()y f x =在(1,5)x ∈-内有三个零点123,,x x x .〔1〕求实数k 的取值范围；〔2〕求222123x x x ++的取值范围.23.〔附加题〕函数2()11()f x x a x a R =+-+∈，求()f x 的最小值.宁波效实中学二〇一三学年度第一学期高一数学期末考试答案说明：本试卷分第1卷(选择题)和第2卷(非选择题)两局部，共100分.第1卷〔选择题 共30分〕一、选择题：本大题共10小题，每一小题3分，共30分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CDDCCBADDC第2卷〔非选择题 共70分〕ks5u二、填空题：本大题共7小题，每一小题3分，共21分.11.196; 12. 2()43f x x x =++； 13.13； 14.a c b >>；15.40； 16.1353m ≤<或4m =； 17. 1[,1]9.三、解答题：本大题共5小题，共49分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18. 解：〔1〕3()log g x x =，3333232(4)(8)()log 4log 8log 299g g g +-=++=； 〔2〕33log ()1,03,0114x x x x x <∴<<∴<<--.ks5u19.〔1〕1()111x g x x x =+=--； 〔2〕()g x 在区间(,1),(1,)-∞+∞上单调递减， 证明：①在(1,)+∞上任取12x x >，1212212112121212(1)(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x g x g x x x x x x x -----=-==------，当121x x >>时，210x x -<，12(1)(1)0x x -->，21120(1)(1)x x x x -∴<--，12()()0g x g x ∴-<，即12()()g x g x <，()g x 在区间(1,)+∞上单调递减.②在(,1)-∞上任取12x x >，同理可得12()()0g x g x -<，即12()()g x g x <，()g x 在区间(,1)-∞上单调递减.20.解：〔1〕因为2()()21xxf x a a R =+∈+是定义在R 上的奇函数， 所以()()0f x f x +-=在R 上恒成立.2221()()221021212121x x x x x x x f x f x a a a a --∴+-=+++=++=+=++++，12a ∴=-.〔2〕1211()221221x x x f x =-+=-++在R 上单调递增，222x tx x t ∴->-，即2(2)20x t x t -++>，()(2)0x t x ∴-->，ks5u①当2t >时，2x t x ><或；②当2t <时，2x x t ><或；③当2t =时，2x ≠. 21.解：〔1〕2()(2)log (2)g x f x x =-=-，定义域为(,2)-∞; 〔2〕22222()()log log (2)log (2)log (224)f x g x x x x x x ax a +=+-=-<-++恒成立，2(2)224x x x ax a ∴-<-++在(0,2)x ∈上恒成立，即2(1)20x a x a -+++>在(0,2)x ∈上恒成立，令2()(1)2h x x a x a =-+++①102(0)20a h a +⎧≤⎪⎨⎪=+≥⎩1,212a a a ≤-⎧∴∴-≤≤-⎨≥-⎩；②102132,13111()02a a a a x h +⎧<<-<<⎪⎧⎪⎪∴∴-<<⎨⎨+-<+⎪⎩⎪>⎪⎩；③132,3424(2)40a a a a h a +⎧≥≥⎧⎪∴∴≤≤⎨⎨≤⎩⎪=-≥⎩； 综上：24a -≤≤.22.解：〔1〕根据题意02411k k k k >⎧⎪∴>-⎨-<<⎪⎩，ks5u 又2(2)4(5)04421508452(1)05(5)0k k k k k k k f k f ⎧∆=+-+>⎪><-⎧+⎪<<⎪⎪∴<<∴<<⎨⎨⎪⎪><⎩⎪>⎪⎩或， 综上45k <<.〔2〕不妨令123234,2,5k x x x k x x k k-=+=+⋅=+， 2222222123123234()2()(2)2(5)k x x x x x x x x k k k-∴++=++-=++-+2221684425()2()3k k k k k k k k =++--=-+-+，令421(3,)5t k k =-∈，222123726(18,)25x x x ∴++∈.23.〔附加题〕解：2221,1()111,1x ax a x f x x a x x ax a x ⎧+-+≥⎪=+-+=⎨-++<⎪⎩，①0a >时〔i 〕12a≥即2a ≥时，min ()(1)2f x f ==；ks5u 〔ii 〕12a<即02a <<时，2min ()()124a a f x f a ==-++； ②0a <时〔i 〕12a-≥即2a ≤-时，22()1,()12424a a a a f a f a =-++-=--+ 2min()()124a a f x f a ==-++；〔ii 〕12a-<即20a -<<时，2min ()()124a a f x f a ==-++；③0a =时，2()1f x x =+，min ()1f x =综上：2min 1,2()42,2a a a f x a ⎧-++<⎪=⎨⎪≥⎩.。
浙江省效实中学2014届高三上学期期中数学文试卷
宁波效实中学 二G 一三学年度期中考试试卷高三数学（文科）说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，共100分.请在答题卷内按要求作答 第I 卷（选择题 共30分）、选择题：本大题共 10小题，每小题3分，共30分•在每小题给出的四个选项中只有一项是符 合题目要求的.1.已知 A x* N x x 3,函数y ln(x 1）的定义域为集合B则AIB ()A . 1,2,3B .2,3C .1,3D . 1,32.已知5 sin一1丄，那么 cos 等于()25A .2爲1B .C.1 D. -<555553.已知m, n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面.在下列条件中，可得出的是()A . m n,m ,n 〃B . m // n, m , nC . mn,m// ,n 〃D . m//n,m 〃 ，n4•设 a,b R ，那么“ b a bA .充分不必要条件 C .充要条件0 ”是“ a b 0”的 （）B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件5.公差不为零的等差数列 {a .}的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a ?的等比中项，S 8 32 ,则S|0等于 ( )A . 18B . 24C . 60D . 906.已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中 的（ ）7. △ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.若B = 2A , a = 1, b = ；3, 则 c = ( )ks5uA .2 1每小题3分，共21分.二、填空题：本大题共 7小题,11.测量地震的里氏级别是地震强度（即地震释放的能量）的常用对数.2008年汶川大地震的级别是里氏 8级，1960年智利大地震的强度是汶川大地震的强度的8倍，则智利大地震的里氏级别是 ▲ 级•（取lg2 0.3 ）12.复数z 满足zi 1 2i （i 为虚数单位），贝U z1 2 113.正项等比数列｛a n ｝中,——飞——玄2*4 玄 4 玄4玄6B.&已知a , b 是单位向量,a b = 0. 若向量c 满足|c — a — b|= 1，贝y |c|的最小值为9.三棱柱ABC取一点P ，设 PAC 与底面所成的二面角为PB C 与AA 1，在AB 上为，则tan （的最小值是 B .10.已知函数 f(x)63 15 1 x -, xx 3 cx 3,xC .，则函数yf(x 2x ） a （ a 2）的零点个数不可能第n 卷（非选择题共70分）81,则丄丄=_^.a3a5C. D.村底面所成的二面角2 314. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2的偶函数，当x [0,1]时，f(x) x 2 3，则4f (0.5) f (1.5) f (2.5) L f (2013.5)▲ .15. 已知函数 f(x) 3sin( x —)( 0)和 g(x) 2cos(2x )(0 )的图象的对称轴完全相同，贝U g()的值是 ▲.316. 在直角 ABC 中，A, B,C 的对边分别为a,b,c ，已知A 15°，两条直角边分别为 a 、b ，斜边 和斜边上的高分别为 c 、h ，贝y c h 的值是 ▲.a b17•直线l 与函数y sinx(x 0,)的图像相切于点 A ，且I//OP , O 为坐标原点，P 为图像的极uur uuu 值点，I 与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为 C ，则BA BC 等于 ▲.三、解答题：本大题共 5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18. ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b,c ，已知cos(B A) 2si n 2C .2(i)求 sin As in B ； (n)若 a b —c ，求 tanC.8(i)求a 的最小值；(n)求证：此抛物线的最低点的纵坐标不超过17820.已知数列{a} , a 0, a m a n 2m n , m, nN19.已知a 是正整数，抛物线y ax 2bx c 过点A( 1,4), B(2,1),并且与x 轴有两个不同的交点(i)求证：｛a ｝为等比数列，并求出通项公式a ；Q i a 2 a 3 (n)记数列｛b n｝的前n项和为S，且S n n(n 1)a n,求“ o- - L2 bi 3b2 4b3(n 1)b n21.如图所示，在直角梯形ABCD中，E是AB的中占八、、B C 90o, AB 2 , CD2 ABCD (及其内部)绕AB所在的直线旋转一周，形(I)求该几何体的体积V ;(n)设直角梯形ABCD绕底边AB所在的直线旋转(CBC' (0,力)至ABC'D'①当60°时，求二面角C' DE C的正切值大小; BC 1 .梯成一个几何体. 角②是否存在，使得AD'C'D.若存在，求角的值，若不存在，请说明理由. ks5u22.已知函数f (x) e x ax a(i)若a e,求函数f(x)的单调区间；(n)若a 0,且对任意x R, f(x) 0恒成立，求实数a的取值范围2013学年第一学期高三数学(文)期中答案一、选择题B C D B C C B A C A二、填空题11. 8.9 12. 5 13. 9 14. 2014 15. 2 16.12 4三、解答题18. (1) sin Asin B — ; ks5u2(2) cosC 2 ■ 2 2a b c2ab11 2 2 8c c 2ab2 23c 3sin C 3 . 2^ ---- ------------------ _sin C 2ab 16sin Asin B 8228cosC 3sin C 3(1 cos C)2，即 3cos C 8cos C 3解得 cos C1 （舍去-3）5sin C2 —：2, tan CsinC2 233 cosCf( 1)a b c 4ba 119. （1） 由f(2) 4a 2bc 1c 3 2a222Qb 4a ca 14a(34a )9a 10a 1 0a 1或a 1Q a*Nami n249 94ac b 4a(3 2 a) ( a 1)11 10 (2)顶点的纵坐标 y 9a -—4a 4a 4 a 4在a 2,上单调递减，所以 a17 820 . (1)令 m n 1,可得 a 1 1 ；再令 m 1，得 a n 2n 2nan 12* 1a n 是等比数列(2)由 S n n(n 1)2n ，得 n 2时,nb nS n S n 1 n(n 1)2n (n 1)n 2n 1n(n 3)2b n n 1 ■(n 3)2, b 14也适合，故b nn 1(n 3)2n Na n21 1n—ks5u(n 1)b n (n 1)(n 3) n 1 n3a1a2a3| a n 1 1 1 1 2Q3b 2 L4b 3(n 1)b n2 3 n 2 n 321. (1) V 2 ;3(2)①取BC , DE 的中点分别为F , G ,旋转后有AB BC , AB BC 1 , AB 面BCC 1C 1F ABQ 60o , BC BC 1, C 1F BCC 1F 面BCDE , DE C 1F ,易得DE FG , DE 面CFG , DE C 1G ks5u②连 C 1E ，可证 C 1EPAD 1， C 1DE 中，C 1E 》，DE 1,C 1D 》2cos若 AD 1 C 1D ，则 DC 1E 90o ，从而 C 1E 2 C 1D 2 DE 2,3解得cos一，矛盾，故不存在•222. (1)当 a e 时，f(x) e x ex e ， f (x) e x e由 f (x)0得 x 1，由 f (x) 0 得 x 1f (x)的单调递增区间为 1,，单调递减区间为，0(2)显然f (x)是偶函数，于是f(x) 0对任意x R 恒成立等价于f (x)0对任意x 0, 恒成立由 f (x) e x a 0得 x ln a ①当 a 0,1 时，f (x)1 a 0(x 0)此时f(x)在0,上为增函数，故f(x) f (0) 1 a 0,符合题意ks5uC 1GF 是所求二面角的平面角，求得tanC 1GF 26由此可得，mina e,且a 11 a e ，综合可得a0,e。
浙江省效实中学2014届高三高考模拟数学理试题 Word版含答案
2013学年宁波效实中学高三模拟考数学（理科）试题注意：本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式)()()(B P A P B A P +=+Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅棱柱的高棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 Sh V 31=P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示 次的概率 棱锥的高棱台的体积公式k n k k n n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k = )(312211S S S S h V ++=球的表面积公式 其中S 1，S 2分别表示棱台的上下底 24R S π=面积，h 表示棱台的高球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集为R ，集合{}21()1,6802x A x B x x x ⎧⎫=≤=-+≤⎨⎬⎩⎭，则R AC B =A .{}0x x ≤B .{}24x x ≤≤C .{}024x x x ≤<>或D .{}024x x x ≤<≥或 2．设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i - 3．设函数2()2(,)f x x ax b a b R =-+∈，则“()0f x =在区间[1,2]有两个不同的实根”是“12a <<”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为A .16B .13C .23D .1 5．已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，且l α⊄，l β⊄，则A .//αβ，且//l αB .αβ⊥，且l β⊥C .α与β相交，且交线垂直于lD .α与β相交，且交线平行于l6．()cos()(,0)f x A x A ωϕω=+>的图象如图所示，为得到()sin()6g x A x πω=-+的图象，可以将)(x f 的图象A .B .向右平移个单位长度C .D .向左平移12个单位长度 7．数列{}n a 共有11项，1110,4,a a ==且11(1,2,...,10)k k a a k +-==，则满足该条件的不同数列的个数为A .100B .120C .140D .1608．若正数,x y 满足2610x xy +-=，则2x y +的最小值是A .3 B.3 C.3 D .39．已知抛物线24y x =，圆22:(1)1F x y -+=，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点,,,A B C D （如图所示），则AB CD ⋅的值正确的是A .等于1B .最小值是1C .等于4D .最大值是4 10．若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =2()f x 的最大值是A .9B .14C .15D .16第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分）二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。
浙江省宁波效实中学高三数学上学期期中试卷(理)
宁波效实中学2008学年第一学期高三数学期中试卷（理）注：将选择题与填空题的答案填入答卷！一．选择题（本题共10个小题，每个小题3分，共30分）1.sin 300的值 （ ▲ ）A ．12 BC ．12-D．2．若a =，3log b π=，2log sin 3c π=，则 （ ▲ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 3．已知函数3()23sin 4f x x x x =+++，若(1)f a =，则(1)f -= （ ▲ ）A ． a -B ．4a -C ．8a -D ．8a - 4．已知函数在R 上可导，且(1)2f '-=，则0(1)(1)lim x f x f x∆→--∆--=∆ （ ▲ ）A ． 12B ．12- C ．2 D ．2- 5. 条件p ：函数()y f x =满足()()f x f x π+=-，条件q ：()y f x =是以2π为周期的函数，那么p 是q 的 条件． （ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．如图，用一根铁丝折成一个扇形框架，要求框架所围扇形面积为定值S ，则使用铁丝长度最小值为（▲ ） AB．C ．D ．7．已知0abc <，则在下列四个选项中，表示2y ax bx c =++的图象只可能是 （ ▲ ） A ．B ．C ．D ．8．要得到函数121x y -=+的图象，只要将2x y =的函数图象 （ ▲ ） A ．纵坐标扩大到原来的2倍，再向上平移1个单位； B ．纵坐标扩大到原来的2倍，再向下平移1个单位；C ．纵坐标缩小到原来的12，再向上平移1个单位；D ．纵坐标缩小到原来的12，再向下平移1个单位．9．已知{}n a 是等比数列，且124a a +=，5636a a +=，则该数列前10项和10S 等于 （ ▲ ）A ．160B ．190C ．484D ．62010. 设定义在R 上的函数1,3|3|()1,3x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x b ++=有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是 （ ▲ ）A ．(0,1)B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(,2)(2,1)-∞--- 二．填空题（本题共7个小题，每个小题3分，共21分）11．已知ABC ∆，12CD BC =．若AB a =，AC b =，则AD 等于 ▲ （用,a b 来表示）．12. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且62324S S =+，则等差数列{}n a 的公差等于 ▲ ．13. 若4παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ+⋅+= ▲ ．14．如下图所示是函数sin()(0,0,||)2y A x B A πωϕωϕπ=++>><<的图象，则该函数的解析式是 ▲ ．15．已知定义在R 上的函数()f x ，写出命题“若对任意实数x 都有()()f x f x -=，则()f x 为偶函数”的否命题： ▲ ． 16．将全体正整数按下图规律排成三角数阵：则第8个三角数阵中全体整数的和为 ▲ ． 17. 已知命题：○1已知正项等比数列{}na 中，不等式*112(2,)n n na a a n n N +-+≥≥∈一定成立； ○2若*()(1)(2)(3)()()F n n n n n n n N =+++⋅⋅+∈，则(1)2,(2)24F F ==； ○3已知数列{}n a 中，21()n a n n R λλ=++∈．若3λ>-，则恒有*1()n na a n N +>∈； ○4公差小于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2040S S =，则30S 为数列{}nS 的最大项； 以上四个命题正确的是 ▲ （填入相应序号）．宁波效实中学2008学年第一学期高三数学期中答卷（理）班级 姓名 学号二．填空题（本题共7个小题，每个小题3分，共21分）11． ； 12． ；12 3 4 1 2 3 5 6 4 1 2 3 5 6 7 8 9 10 ， ， ，…13． ； 14． ； 15． ； 16． ； 17． ； 三．解答题（本大题共5个小题，第18题9分，其余各题10分，共49分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 设a 为实常数，函数32()2f x x ax =-+-．（1）若函数()y f x =的图象在点(1,(1))P f 处的切线的倾斜角为4π，求a 的值； （2）在（1）的条件下，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最值．19.已知集合2{|02}A x x x =<-≤，2{|(1)0}B x x x a a =-+-≤． （1）求集合A ；（2）若[1,2]B A =-，求实数a 的取值范围．20. 已知向量(sin 2,cos2)m A A =,(1,1)n =-，1m n ⋅=-． （1）求向量m 与n 的夹角；（2）若角A 是ABC ∆的最大内角且所对的边长2a =，2sin sin cos 2A B C =． 求角,B C 所对的边长,b c ．21.已知数列{}n a 中， *11(,,0)2(1)n a n N a R a a n =+∈∈≠+-且．（1）若7a =-，求数列{}n a 中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的*n N ∈，都有6n a a ≤成立，求a 的取值范围．22. 已知数列{}n a 满足12a =，2*112(1)()n n a a n N n+=+⋅∈.（1）求23,a a ；并求数列{}n a 的通项公式；（2）设nn a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）设n n n c a =，求证：123710n c c c c ++++<.四．附加题：（本题10分）23.设函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当(0,)x ∈+∞时，恒有(())2f f x x =，且过()f x 图象上任意两点的直线的斜率都大于1，求证： （1）()f x 为增函数； （2）()f x x >；（3）4()332f x x <<.宁波效实中学2008学年第一学期高三数学期中答案（理）二．填空题（本题共7个小题，每个小题3分，共21分）11．3122b a - ； 12． 2 ； 13． 2 ； 14．52sin(2)16y x π=-+；15． 存在实数x ，使得()()f x f x -≠，则()f x 不是偶函数 ； 16． 1035 ；17．○1○3○4；三．解答题（本大题共5个小题，第18题9分，其余各题10分，共49分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 设a 为实常数，函数32()2f x x ax =-+-．（1）若函数()y f x =的图象在点(1,(1))P f 处的切线的倾斜角为4π，求a 的值； （2）在（1）的条件下，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最值． 解：（1）32()2f x x ax =-+-2()32f x x ax '∴=-+由题意得(1)32tan14f a π'=-+==2a ∴=（2）由（1）得：32()22f x x x =-+-，24()343()3f x x x x x '∴=-+=--则有()f x 在[1,0]-和4[,2]3递减；()f x 在4[0,]3递增 又有422(1)1;(0)2;();(2)2327f f f f -==-=-=- ()f x ∴在[1,2]-上的最小值为(0)(2)2f f ==-，最大值为(1)1f -=19.已知集合2{|02}A x x x =<-≤，2{|(1)0}B x x x a a =-+-≤． （1）求集合A ；（2）若[1,2]B A =-，求实数a 的取值范围． (1)202x x <-≤10x ∴-≤<或12x <≤[1,0)(1,2]A ∴=-(2)2(1)0x x a a -+-≤()[(1)]0x a x a ∴---≤[1,2]BA =-10112a a -≤≤⎧∴⎨≤-≤⎩或11012a a -≤-≤⎧⎨≤≤⎩得10a -≤≤或12a ≤≤∴a 的取值范围为[1,0][1,2]-20. 已知向量(sin 2,cos2)m A A =,(1,1)n =-，1m n ⋅=-． （1）求向量m 与n 的夹角；（2）若角A 是ABC ∆的最大内角且所对的边长2a =，2sin sin cos 2AB C =． 求角,B C 所对的边长,b c ．解：（1）设向量m 与n 的夹角为θ，[0,]θπ∈cos ||||1m n m n θ⋅===⋅34θπ∴= （2）sin 2cos 21m n A A ⋅=-+=- 221sin sin cos cos 242A B C π===sin 2cos2)14A A A π∴--= 2sin sin()12B B π∴-=sin(2)4A π∴- 2sin cos sin 21B B B ∴== A 是ABC ∆的最大内角 02B π<<02B π∴<<3A A B C π∴≥++= 2244B BC πππ∴=∴=∴=3A ππ∴≤<2A π=且所对的边长2a =5721244A πππ∴≤-< b c ∴=3244A ππ∴-=2A π∴=21.已知数列{}n a 中， *11(,,0)2(1)n a n N a R a a n =+∈∈≠+-且．（1）若7a =-，求数列{}n a 中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的*n N ∈，都有6n a a ≤成立，求a 的取值范围．解：（1）*11(,,0)2(1)n a n N a R a a n =+∈∈≠+-且当7a =-时，*11()29n a n N n ∴=+∈- 结合函数1()129f x x =+-的单调性 可知:*12345671;1()n a a a a a a a a n N >>>>>>>>>∈∴{}n a 中的最大项为52a =，最小项为40a =（2）1121122(1)2n a a a n n =+=+-+-- 对任意的*n N ∈，都有6n a a ≤成立，并结合函数12()122f x a x =+--的单调性 2562a -∴<<108a ∴-<<-22. 已知数列{}n a 满足12a =，2*112(1)()n n a a n N n+=+⋅∈.（1）求23,a a ；并求数列{}n a 的通项公式；（2）设nn a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）设n n n c a =，求证：123710n c c c c ++++<.解：（1）12a =，2*112(1)()n n a a n N n+=+⋅∈ （3）12n n n n c a n ==⋅1222(1)n n a a n n +∴=⋅+，*n N ∈2{}n a n ∴为等比数列 123n c c c c ∴++++ 121222221n n n n n a a a n n -∴=⋅=∴=⋅ 23411111122232422nn =+++++⋅⋅⋅⋅⋅ （2）2n n n a b n n ==⋅ 45111111128244222n ⎡⎤<+++⋅+++⎢⎥⎣⎦12312341122232(1)222122232(1)22n nn n n n S n n S n n -+∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+-⋅+⋅ 34111()212213412n -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=+⋅-12311122222222n n n n n S n n +++∴-=++++-⋅=--⋅ 12121213433212<+⋅=+-1(1)22n n S n +∴=-⋅+ 67670967796960961010⨯==<=⨯，所以结论成立四．附加题：（本题10分）23.设函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当(0,)x ∈+∞时，恒有(())2f f x x =，且过()f x 图象上任意两点的直线的斜率都大于1，求证： （1）()f x 为增函数； （2）()f x x >；（3）4()332f x x <<.证明：（1）设120x x >>1212()()1f x f x k x x -∴=>-12()()f x f x ∴>∴()f x 为增函数（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当(0,)x ∈+∞时，恒有(())2f f x x = ()0f x ∴>若()f x x =，则(())()2f f x f x x x ===不符合要求若()f x x <，则[()]()f f x f x <得20x x x <∴<不符合题意要求 ()f x x ∴>（3）过()f x 图象上任意两点的直线的斜率都大于1[()]()1()f f x f x f x x-∴>-()32()()2f x x f x f x x x ∴->-∴<； 过()f x 图象上任意两点的直线的斜率都大于1{[()]}[()]1[()]()f f f x f f x f f x f x -∴>-2()212()22()2()f x x f x x x f x x f x -∴>∴->--()43f x x ∴>综上，4()332f x x <<.。
浙江省宁波市海曙区效实中学2013届高三数学上学期期中试题 文 新人教A版
2012-2013学年浙江省宁波市海曙区效实中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（3分）（2013•威海二模）若i是虚数单位，则复数等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法法则和周期性即可求出．解答：解：==i2+i=﹣1+i．故选C．点评：熟练掌握复数的运算法则是解题的关键．2．（3分）（2005•湖南）设集合A={x|＜0}，B={x||x﹣1|＜a}，若“a=1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：先化简集合A和B，再根据“a=1”和“A∩B≠∅”中是谁推出谁来进行判断．解答：解：设集合A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x||x﹣1|＜a}={x|﹣a+1＜x＜a+1}，当a=1时，B={x|0＜x＜2}，若“a=1”则“A∩B≠∅”；若“A∩B≠∅”则不一定有“a=1”，比如a=．∴若“a=1”则有“A∩B≠∅”反之不成立．故选A．点评：涉及到充要条件问题，一般是看由谁推出谁，本题中，由A⇒B，但B推不出A，则A 是B的充分不必要条件．3．（3分）α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点且cosα=x，则x的值为（）A．B．±C．﹣D．﹣考点：象限角、轴线角；终边相同的角．专题：计算题．分析：根据三角函数的定义有cosα=，条件cosα=x都可以用点P的坐标来表达，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，∴x=0（∵α是第二象限角，舍去）或x=（舍去）或x=﹣．答案：C点评：巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．4．（3分）如图是甲、乙两篮球运动员在某一个赛季上场比赛中得分的茎叶图，假设得分值的中位数为m，平均值为，则下列正确的是（）A．B．C．D．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．解答：解：由已知中茎叶图可得甲运动员的成绩分别为：5，7，11，12，14，17，23，24 故m甲==13，==乙运动员的成绩分别为：4，9，12，13，16，25，28故m乙=13，==故故选B点评：本题考查的知识点是茎叶图，及中位数，众数的概念，平均值等，由茎叶图中分析出甲、乙两名篮球运动员某赛季各场次得分，再由定义进行判断，易得结果．5．（3分）（2011•福州模拟）给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：利用空间两条直线关系的定义及判定方法，易判断①的对错；根据面面垂直的判定定理，可得到②的真假；根据空间两条直线垂直的定义及判定方法，可判断③的真假，结合面面垂直的判定定理及互为逆否命题同真同假，即可得到④的正误，进而得到结论．解答：解：分别与两条异面直线都相交的两条直线，可能相交也可能异面，故A错误；根据面面垂直的判定定理，当一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面一定相互垂直，故B正确；垂直于同一直线的两条直线可能平行与可能相交也可能异面，故C错误；由面面垂直的性质定理，当两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故D正确；故选D点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线、面之间位置关系的定义、判定、性质，建立良好的空间想象能力是解答本题的关键．6．（3分）（2012•铁岭模拟）一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原几何体是底面是正方形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，求出底面面积，即可求出体积．解答：解：三视图复原几何体是底面是正方形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，底面对角线的长为1，高为2，底面面积是，所以它的体积是，故选A．点评：本题考查由三视图求体积，三视图的复原，是基础题．7．（3分）一个数学兴趣小组有女同学2名，男同学3名，现从这个数学兴趣小组中任选2名同学参加数学竞赛，其中男同学人数不少于女同学人数的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：确定所有基本事件的个数，求出男同学人数不少于女同学人数的基本事件个数，利用概率公式可得结论．解答：解：3名男同学，2名女同学，共5名同学，从中取出2人，有C52=10种情况，男同学人数不少于女同学人数，包括2名男生和1名女生1名男生，共C32+C31•C21=9种情况，故所求概率为故选D．点评：本题考查等可能事件的概率计算，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（3分）已知函数f（x）=sin（π﹣2x），g（x）=2cos2x，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在区间[]上为增函数B．函数y=f（x）+g（x）的最小正周期为2πC．函数y=f（x）+g（x）的图象关于直线x=对称D．将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：将f（x）与g（x）分别化简，再对A，B，C，D四个选项逐一分析即可．解答：解：∵f（x）=sin（π﹣2x）=sin2x，y=sinx在[0，]上单调递增，在区间[，π]上单调递减，∴f（x）=sin2x在区间[]上单调递减，故A错误；又g（x）=2cos2x=1+cos2x，∴y=f（x）+g（x）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，∴其周期T=π，由2x+=kπ+（k∈Z）得，x=+，k∈Z，当k=0时，x=；故B错误，C正确；对于D，f（x）=sin2x f（x﹣）=sin[2（x﹣）]=﹣sin2x≠1+cos2x=g（x），故D错误．综上所述，只有C正确．故选C．．点评：本题考查二倍角的余弦，考查正弦函数的性质的应用，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，综合性强，属于中档题．9．（3分）已知数列{a n}满足，则a1+a2+a3+…+a2012=（）A．B．1005 C．﹣1005 D．考点：数列与三角函数的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用，确定数列中项的规律，即可求得结论．解答：解：由题意，∵，a1=1×（﹣）+，a2=2×（﹣）﹣，a3=3×1，a4=4×（﹣）+，a5=5×（﹣）﹣，a6=6×1，…a2011=2011×（﹣）+，a2012=2012××（﹣）﹣，∴a1+a2+a3+…+a2012=（1+2）×（﹣）+3+（4+5）×（﹣）+6+…+（2008+2009）×（﹣）+670×3+（2011+2012）×（﹣）=（3+9+…+4023）×（﹣）+3+6+9…+670 =故选A．点评：本题考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（3分）函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x ＞1时，f（x）=2x2﹣12x+16，则方程f（x）=m有两个零点的实数m的取值范围是（）A ． （﹣6，6）B ． （﹣2，6）C ． （﹣6，﹣2）∪（2，6）D ． （﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）考点： 函数的零点；函数奇偶性的性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据f （x+1）为奇函数，以及x ＞1时，f （x ）=2x 2﹣12x+16，求得x ＜1时，f （x ）的解析式．由题意可得，直线y=m 与函数f （x ）图象交点个数为2，数形结合求得实数m 的取值范围． 解答： 解：∵f（x+1）为奇函数，可得 f （﹣x+1）=﹣f （x+1），即 f （﹣x+1）+f （x+1）=0，故函数f （x ）图象关于点（1，0）对称，∴f（x ）+f （2﹣x ）=0．当x ＜1时，有2﹣x ＞1，又当x ＞1时，f （x ）=2x 2﹣12x+16，故函数的最小值为f （3）=﹣2．∴当x ＜1时，f （x ）=﹣f （2﹣x ）=﹣[2 （2﹣x ）2﹣12（2﹣x ）+16]=﹣2x 2﹣4x=﹣2x （x+2），故函数的最大值为2．直线y=m 与函数f （x ）图象的所有交点的个数，就是方程f （x ）=m 的零点的个数． 由题意可得，直线y=m 与函数f （x ）图象交点个数为2．如图所示： 故实数m 的取值范围是 （﹣6，﹣2）∪（2，6）， 故选C ．点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分． 11．（3分）在公比为2的等比数列{a n }中，，则a 1= 2 ．考点： 等比数列的性质． 专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析：利用等比数列的定义，结合条件，即可求a 1的值．解答：解：∵公比为2的等比数列{an}中，，∴8a1=（2a1）2∵a1≠0∴a1=2故答案为：2点评：本题考查等比数列的通项，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（3分）（2013•婺城区模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的k= 4 ．考点：循环结构．专题：应用题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．∵当k=3时，1+2+8=11＜100而当k=4时，1+2+8+211＞100故最后输出k的值为4故答案为：4点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．13．（3分）（2011•杭州一模）设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为f（2n）≥（n∈N*）．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据已知中的等式：，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．解答：解：观察已知中等式：得，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，则f（2n）≥（n∈N*）故答案为：f（2n）≥（n∈N*）．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）14．（3分）（2012•铁岭模拟）点M（x，y）是不等式组表示的平面区域内一动点，定点是坐标原点，则的取值范围是[0，18] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出满足约束条件的平面区域Ω，利用向量的坐标运算得到=3x+y，然后利用角点法求出满足约束条件时，使Z=3x+y的值取得最大（小）的点M的坐标，即可得到的取值范围．解答：解：满足约束条件的平面区域Ω如下图所示：则=（ 3，），=（x，y）则=3x+y，则当M与O重合时，取最小值0；当M点坐标为（ 3，3）时，取最大值18，故则（O为坐标原点）的取值范围是[0，18]故答案为：[0，18]．点评：本题考查的知识点是简单线性规划，及平面向量的数量积的运算，其中根据约束条件画出可行域，进而根据角点法求出最优解是解答本题的关键．15．（3分）已知tan（α﹣β）=，tan，且α，β∈（0，π），则tan（2α﹣β）的值为 1 ．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差的正切公式求得tanα=tan[（α﹣β）+β]的值，再由 tan（2α﹣β）=tan[（α+（α﹣β）]=，运算求得结果．解答：解：∵已知tan（α﹣β）=，tan，且α，β∈（0，π），∴tanα=tan[（α﹣β）+β]===，∴tan（2α﹣β）=tan[（α+（α﹣β）]===1，故答案为1．点评：本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于中档题．16．（3分）不等式在[1，3]内有实数解，则实数a的取值范围是．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由2x为增函数，﹣是增函数，知2x﹣﹣a是增函数，由此能求出2x﹣﹣a在[1，3]内的最大值．解答：解：∵2x为增函数，﹣是增函数，所以2x﹣﹣a是增函数，所以2x﹣﹣a在[1，3]内的最大值为23﹣﹣a=﹣a＞0，即a＜．故答案为：a＜．点评：本题考查函数的零点以及闭区间上的函数的最值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的单调性的灵活运用．17．（3分）（2011•金华模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D﹣AE﹣B为60°，则直线AD与面ABCE所成角的正弦值为．考点：直线与平面所成的角．专题：证明题；综合题；压轴题．分析：作DO垂直面ABCD，垂足为O，过O作OF垂直AE于F，连接DF、OA，则∠OFD为二面角D﹣AE﹣B的平面角等于60°，∠OAD为直线AD与面ABCD所成角，解三角形OFD，和三角形OAD，即可求出直线AD与面ABCE所成角的正弦值．解答：解：作DO垂直面ABCD，垂足为O，过O作OF垂直AE于F，连接DF、OA，则DF垂直AE，∠OFD为二面角D﹣AE﹣B的平面角，∠OFD=60°，∠OAD为直线AD与面ABCD所成角，AE==，DF•AE=AD•DE，DF==，=sin∠OFD=sin60°，DO=DF•=•=，sin∠OAD==故答案为：．点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中添加辅助线，构造出∠OAD为直线AD 与面ABCD所成角，将线面夹角问题转化为解三角形问题，是解答本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（9分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且，垂直．（ I）确定角B的大小；（ II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围．考点：平面向量数量积的运算；基本不等式．分析：（Ⅰ）⊥⇔，对此式进行化简得（2a+c）cosB+bcosC=0，再使用正弦定理即可求出角B；（Ⅱ）先由三角形的面积之间的关系S△ABC=S△ABD+S△BCD得出x+y=xy，再使用余弦定理可得：=，对x+y=xy使用基本不等式，可求出x+y的取值范围，进而可求出AC2的取值范围．解答：解：（ I）∵⊥，∴（2a+c）cosB+bcosC=0，在△ABC中，由正弦定理得：，∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入得k[（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC]=0，∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0．∵A，B∈（0，π），∴sinA≠0，∴，解得B=．（ II）∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，，，，∴xy=x+y，∴．在△ABC中，由余弦定理得：=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy=（x+y）2﹣（x+y）=．∵，x＞0，y＞0，∴x+y≥4，∴，∴．∴AC的取值范围是：．点评：理解数量积与向量垂直的关系，正确使用正、余弦定理及三角形的面积公式，基本不等式的性质是解决问题的关键．19．（10分）已知数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n=a n，n∈N*．（1）求a2，a3，并求数列{a n}的通项a n；（2）记b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求证：T n﹣2n＜3．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用数列递推式代入计算，可求a2，a3，再写一式，两式相减，再利用叠乘法，即可求数列{a n}的通项a n；（2）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．解答：（1）解：n=2时，S2=a2，∵a1=1，∴1+a2=a2，∴a2=3；n=3时，S3=a3，∴4+a3=a3，∴a3=6；∵S n=a n，∴n≥2时，S n﹣1=a n﹣1，两式相减可得a n=a n﹣a n﹣1，∴∴a n=a1••…•=．（2）证明：，∴，∴．点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．20．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，．（1）求的值；（2）设，且实数t满足，求t的取值范围．考点：平面向量的综合题．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）根据，利用向量的线性运算，即可求的值；（2）先求得，根据，两边平方，化简即可求t的取值范围．解答：解：（1），∴．（2）根据题意：由，令，可得，∵，两边平方得，，∴125a2+25a2t2﹣2t•25a2≥100a2+25a2，∴t2﹣2t≥0，∴t≥2或t≤0．点评：本题考查向量的线性运算，考查向量模的求解，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（11分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，，．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若PA∥平面QBM，求的值；（3）若，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用面面垂直的性质，可得线面垂直，再利用面面垂直的判定，可得结论；（2）利用线面平行，可得线线平行，从而可得比值；（3）连接CQ，作MF⊥CQ于点F，作FG⊥BQ于点G，连接GM，证明二面角M﹣BQ﹣C 的平面角为∠MGF，即可求得结论．解答：（1）证明：∵DQ∥BC且DQ=BC，∴四边形BCDQ是平行四边形，∴BQ∥CD，∵CD⊥AD，∴BQ⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD，∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）解：设AC∩BQ=E，∵PA∥平面QBM，∴PA∥ME，∴．（3）解：连接CQ，作MF⊥CQ于点F，作FG⊥BQ于点G，连接GM，∵MF⊥CQ，PQ⊥CQ，∴PQ∥MF，∵PQ⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，∴MF⊥平面ABCD，∵FG⊥BQ，∴BQ⊥MG，∴二面角M﹣BQ﹣C的平面角为∠MGF，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为．点评：本题考查面面垂直的性质与判定，考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（10分）已知函数（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若恒成立，求实数ab的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用x=1是函数f（x）的极大值点，确定a的范围，即可得到函数f （x）的单调递减区间；（2）构造函数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论．解答：解：（1）求导数可得，f′（x）=∵x=1是函数f（x）的极大值点，∴0＜a＜1∴函数f（x）的单调递减区间为（0，a），（1，+∞）；（2）∵恒成立，∴alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，则g′（x）=∴g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减∴g（x）max=g（a）=alna﹣a+b≤0∴b≤a﹣lna，∴ab≤a2﹣a2lna令h（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则h′（x）=x（1﹣2lnx）∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减∴h（x）max=h（）=，∴ab≤即ab的最大值为．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调区间，考查函数的最值，正确构造函数是关键．。
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宁波效实中学 二○一三学年度
第一学期高一期中数学试卷
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1.已知函数()
f x =
A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ．(1,)+∞
D ．[1,)+∞
2．已知集合{|2}S x x =<，2
{|340}T x x x =--≤，则()R S T =
A ．(2,4)
B ．[2,4]
C ．(,4)-∞
D ． (,4]-∞
3．在区间(,0)-∞上为增函数的是
A ．1=y
B ．21x y +=
C ．122---=x x y
D ． 21x
y x
-=
- 4．设函数2
21,1
()2,1,
x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩则
1(2)f f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为
A ．18
B ．89
C ．1516
D ．27
16
-
5．若函数()f x = 3
44
2
++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 A ．(,)-∞+∞ B ．3[0,)4 C ．3(,)4+∞ D ．3
(0,)4
6．设,a b 是非零实数，若a b <，则下列不等式一定成立的是
A ．22a b <
B ．22ab a b <
C ．
2211
ab a b
<
D ．
b a
a b
< 22．已知定义在R 上的奇函数()f x ．当0x <时，2
()2f x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）问：是否存在实数,()a b a b ≠，使()f x 在[,]x a b ∈时，函数值的集合为11[,]b a
？若存在，求出,a b ；若不存在，请说明理由．
附加题：
已知*
,,N a b c ∈，方程2
=0ax bx c ++在区间(1,0)-上有两个不同的实根，求a b c ++的最小值．
命题、校对：高一数学备课组
宁波效实中学 二○一三学年度
第一学期
高一期中数学参考答案
11、7 12、{0,2,}3
- 13、 (,1]-∞ 14、 3 15、5[,3]3
16、 [4,)+∞ 17、660
18、(I)2
,[0,1)(1,)1()0,{1,1}
2,(,1)(1,0)1
x x x f x x x x x -+⎧∈+∞⎪-⎪
=∈-⎨⎪+⎪-∈-∞--+⎩; 图象如图： (II)值域为(,2](1,)-∞--+∞
19、（I ）(,1)
(3,)A =-∞-+∞，
[0,2)[4,)B =+∞；
（II ）[4,)A
B =+∞，
()
[1,3][4,)R C A B =-+∞。
20、（I ）奇函数，证明略；（II ）单调递增，证明略；（III ）1(0,)2
； 21、（I ）5
2
a =±
；（II ）(,2)(1,)a ∈-∞-+∞ 22、（1）222,0,()0,0,2,0.x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩
（2）112a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩或121
a b ⎧+=-
⎪⎨
⎪=-⎩。
附加题：a b c ++的最小值为11.。