2019年高考数学全国一卷导数(20201114170911)

已知函数f (x) =sin x -ln(1 +x) , f (x)为f (x)的导数•证明:

(1)f'(x)在区间存在唯一极大值点；

2

(2)f(x)有且仅有2个零点.

分析：(1)设g(x) =f 匕)，贝ij ( ) =cos __L，g(x)在_1,卫j 存在唯一

g X x + X I 2丿

1

极大值点的问题就转化为e(x)在11, J有唯一零点，而唯一零点问题

2

经常用零点存在性，即确定单调性及两端点处函数值异号。

(2)这是一个零点问题，经常转化为两函数交点问题，即

sin x ln(1 x)

从图象上可以大致确定零点一个为0—个在区间疋"上，我们只需12」证明其他区间无零点就可以了，很显然应该分四段讨论。

解：⑴设g(x) =f *(x),贝！J ( ) =cos __1_，g x x + x

1

有唯一曇点：设为

当X 1,时,

1,

g，(at)单调递减,而0(0)

一a

则当X ( 1,)时，g*(x)

时, g'(x) 0.

所以g(x)^( 1,)单调递增，在单调递减，故g(x)在1,存在

2

+oO

唯一极大值点，即L(x)在

€ 一

1,

存在唯=极大值点・

€ - <

(2) f(x)的定义域为(1, )・

(i)当x ( 所以

当X :

知, 心)在(

=I - 1

(、,0)时，f *(x) 0,故 f 仪)在(

1,0)单调递增，

1,0)单调递减，又

而 f 70) 0 ,

[兀) [a

— I

A(o)=o

—

0,g*( ) 0,可得g[x)在

从而x 0是()在(1,0］価谁一零点.

I )

(ii)当x o,时，由(1)知，L(x)在(0,)单调递增，在

2

调递减，而UU戶U,

,使得f f( ) 0,

e P > fp -］时,

且当x (0,)时，f *(x) 0；当、，调递增，在'，

丿

单调递减.

p]= - (+弓>

)时，ln(x 1) 1 ,所以f(x)<0,从而『仪)在(，)没

有零点.

综上，f(x)有且仅有2个零点.

(7t 1 又 f (0)=0

厂 f 1 In 1

2

x

0,所以当

时，f (x) 0.从而,

0,

2

(iii )当

X

亠时，L(x)

2

单调递减•

而

TI

2

f( ) 0,所以f(x)在

2

有唯一零点・

f*(x) <0.故f(x)在(0, B)单(iv)当x