8.习题解答
基础化学李保山第二版8-氧化还原反应习题答案
8 氧化还原反应习题解答(p222-226)1. 用氧化值法配平下列各氧化还原方程式。
（1）3Cu 2S +22HNO 3 = 6Cu(NO 3)2 +3H 2SO 4 +10NO+8H 2O （2）NH 4NO 2 = N 2 + 2H 2O（3）(NH 4)Cr 2O 7 = N 2 + Cr 2O 3 +4H 2O（4）3As 2S 3 + 28HNO 3+4 H 2O = 6 H 3AsO 4 + 9H 2SO 4 +28 NO （5）K 2Cr 2O 7 + 3H 2S +4 H 2SO 4 = Cr 2(SO 4)3 + 3S + 7H 2O + K 2SO 4 （6）2Na 2S 2O 3 + I 2 = Na 2S 4O 6 + 2NaI （7）2 MnO 4－+3 Mn 2++2 H 2O =5 MnO 2 +4 H +（8）4[Co(NH 3)6]2++ O 2 +2H 2O = 4 [Co(NH 3)6]3++ 4OH -2. 用离子-电子法配平下列方程式。
（1-11）为酸性介质，（12-14）为碱性介质 (1) Cr 2O 72－+ 3H 2O 2 + 8H += 2 Cr 3++ 3O 2 +7 H 2O (2) 2 MnO 4－+5 SO 32－+6 H += 2Mn 2++ 5 SO 42－+3 H 2O (3) ClO 3－+ 6I - + 6H += Cl - +3 I 2 + 3H 2O(4) 5NaBiO 3(s) + 2Mn 2++14 H += 5Na ++5 Bi 3++ 2 MnO 4－+7 H 2O (5) H 2S +2 Fe 3+= S +2Fe 2++ 2H +(6) 3P 4(s)+20HNO 3(浓)+8 H 2O =12H 3PO 4+20NO (7) 2FeS 2+30HNO 3Fe 2(SO 4)3+30NO 2+H 2SO 4+14H 2O (8) 7PbO 2+2MnBr 2+14HNO 37Pb(NO 3)2+2Br 2+2HMnO 4+6H 2O(9) 28HNO 3+3As 2S 3+4H 2O 9H 2SO 4+6H 3AsO 4+28NO (10) As 2S 5+10NO 3-+10H +2H 3AsO 4+10NO 2+5S+2H 2O (11) 2Bi 3++3S 2O 32-+3H 2O Bi 2S 3+3SO 42-+6H + (12) Cl 2 + 2OH -== Cl - + ClO -+ H 2O(13) 2[Cr(OH)4]-+ 3H 2O 2 + 2OH -== 2 CrO 42－+8H 2O (14) SO 32－+ Cl 2 +2OH -==2 Cl - + SO 42－+ H 2O3. (1)逆向进行(2) )(0=θ/Sn n θ+24V E E 15.=++S)(=θ/MgMg θ-V E E 37.22-=+)(2.370.15=-θ-θ+θV E E E 52.2=+=∴正向进行(3) )1.09(==θ/Br Br θ+-2V E E)(77.0==θ/Fe e F θ-+2+3V E E )(32.0=0.77-1.09=-=θ-θ+θV E E E∴正向进行(4) )(=θ/Pbθ+2V E E 13.0-=+Pb )(=θn/Z n θ-2V E E 76.0-=+Z )(0-0.13=-θ-θ+θV E E E 63.076.=+=∴正向进行4.（1）V n n E 55.1100.1)0.1(10.0lg 50592.051.1)M /O M (4824=⨯⨯+=-+-（2）V E 67.110.00.1lg 10592.072.1)Ce /Ce (34=+=++（3）VcK E E HAc 17.01075.110.0lg 0592.000.0lg 10592.0)/H H ()HAc/H (522-=⨯⨯+=+=-+θθ（4）Vc K g E E Cl sp 341.0100.1108.1lg 0592.0799.0lg 10592.0/Ag)A ()AgCl/Ag (210+=⨯⨯+=+=--+-θθ(5)Vc c c c c c E E 40.018.058.0)100.1(0.10.1lg 40592.058.0)/)(/()/(lg 40592.0)O /S SO ()O /S SO (6226OH O S 2SO 232232322323223-=+-=⨯⨯+-=+=--------θθθθ（6）Vc c p p E E O 564.0)100.1(100/0.10lg 40592.0401.0)/(/lg 40592.0)/OH O ()/OH O (434OH 222=⨯+=+=----θθθ5. 解答：（1）2Ag +(0.10 mol·L -1) + Cu(s) ==2Ag(s) + Cu 2+(0.010 mol·L -1) 电池符号： (-) Cu|Cu 2+(0.010 mol·L -1)||Ag +(0.10 mol·L -1)|Ag (+) 电极反应： (+) Ag ++e = Ag(s) (-) Cu-2e = Cu 2+电动势∶V c c g E A g E Ag 740.010.0lg 0592.0799.0lg 10592.0/Ag)A ()g /A (+=+=+=+++θθV c c C Cu E C Cu E Cu 278.0010.0lg 20592.0337.0lg 20592.0)u /()u /(222+=+=+=+++θθV C Cu E A g E E 462.0278.0740.0)u /()g /A (2=-=-=++（2）MnO 2(s)+ 2Cl -(12 mol·L -1) + 4H +(12 mol·L -1) = Mn 2+(1.0 mol ·L -1) + Cl 2(100kPa) + 2H 2O(l) 电池符号：(-) Pt, Cl 2(100kPa)|Cl -(12.0 mol·L -1)||Mn 2+(1.0mol·L -1),H +(12.0 mol·L-1)|MnO 2(s),Pt(+) 电极反应：(+) MnO 2+ 4H ++2e== Mn 2++ 2H 2O\(-) 2Cl —2e== Cl 2 电动势∶Vc c c c E E Mn 36.10.112lg 20592.023.1/)/(lg 20592.0)/Mn MnO ()/Mn MnO (44H 22222+=+=+=++++θθθV c c p p E E Cl 30.1121lg 20592.036.1)/(lg 20592.0)/Cl Cl ()/Cl Cl (22Cl 222+=+=+=--θθθV E 06.030.136.1=-=（3）H 3AsO 3(0.10 mol·L -1)+ I 2(s) + H 2O(l) = H 3AsO 4(1.0 mol·L -1) + 2I -(0.010 mol·L -1) +2H +(0.10 mol·L -1) 电池符号：(-) Pt|H 3AsO 4 (1.0 mol·L -1), H +(0.10 mol·L -1), H 3AsO 3(0.10 mol·L -1)||I -(0.010mol·L -1)|I 2(s), Pt (+) 电极反应： (+) I 2+2e =2I -(-) H 3AsO 3+ H 2O-2e = H 3AsO 4+2H +电动势∶34332H AsO H 34333433H AsO 2(/)(/)0.0592(H AsO /H AsO )(H AsO /H AsO )lg2/0.0592 1.0(0.10) 0.559lg 0.52920.10c c c c E E c c Vθθθθ+=+⨯=+=+22222I 0.059210.05921(I /I )(I /I )lg 0.536lg 0.6542(/)2(1.010)E E V c c θθ----=+=+=⨯E = 0.654-0.529=0.125V（4）Cr 2O 72－(1.0 mol·L -1) + 6Fe 2+(0.10 mol·L -1) +14H +(1.0 mol·L -1) = 2Cr 3+(0.10 mol·L -1) + 6Fe 3+(1.0 mol·L -1) + 7H 2O(l) 电池符号：(-)Pt|Fe 3+(1.0 mol·L -1), Fe 2+(0.10 mol·L -1)||Cr 2O 72－(1.0mol·L -1), Cr 3+(0.10mol·L -1), H +(1.0 mol·L -1)|Pt (+) 电极反应：(+) Cr 2O 72－+14H ++6e = 2Cr 3++ 7H 2O(-) Fe 2+-e = Fe3+电动势∶227314Cr O H 232327272Cr (/)(/)0.0592(Cr O /Cr )(Cr O /Cr )lg 6(/)c c c c E E c c θθθθ-++-+-+=+1420.0592(1.0)(1.0)1.33lg 1.356(0.10)V =+= 323232Fe Fe /0.0592 1.0(Fe /Fe )(Fe /Fe )lg 0.7710.0592lg 0.8301/0.10c c E E Vc c θθθ++++++=+=+=+E =1.35-0.830=0.52V6. 解答：（1） E =E (+)-E (-)θθθc c c c E E E /lg 20592.0440.0/lg 20592.0)/Fe Fe ()/Fe Fe ()(22Fe Fe 22+++-=+==+++ Vc c E E E 822.0100.1lg 20592.0763.0/lg 20592.0)/Zn Zn ()/Zn Zn ()(2Zn 222-=⨯+-=+==--+++θθ 0.293= -0.440+(0.0592/2)lg c (Fe2+)+0.822 c (Fe2+)=1.0×10-3(mol ·L -1) （2）(-)Ag ∣Ag +(y mol·L -1)‖Ag +（1.0×10-1mol·L -1）∣Ag (+) E =0.0592V ，求负极Ag +的浓度。
高等数学下册第八章课后习题解答
习题8−11. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界.(1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};解 开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为{(x , y )|x =0或y =0}.(2){(x , y )|1<x 2+y 2≤4};解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为{(x , y )|1≤x 2+y 2≤4},边界为{(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}.(3){(x , y )|y >x 2};解 开集, 区域, 无界集, 导集为{(x , y )| y ≥x 2}, 边界为{(x , y )| y =x 2}.(4){(x , y )|x 2+(y −1)2≥1}∩{(x , y )|x 2+(y −2)2≤4}.解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同,边界为{(x , y )|x 2+(y −1)2=1}∪{(x , y )|x 2+(y −2)2=4}.2. 已知函数yx xy y x y x f tan ),(22−+=, 试求f (tx , ty ). 解 )(tan )()()()(),(22tytx ty tx ty tx ty tx f ⋅⋅−+= ),(tan 2222y x f t y x xy y x t =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=. 3. 试证函数F (x , y )=ln x ⋅ln y 满足关系式:F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).证明 F (xy , uv )=ln((x , y )⋅ln(uv )=(ln x +ln y )(ln u +ln v )=ln x ⋅ln u +ln x ⋅ln v +ln y ⋅ln u +ln y ⋅ln v=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x −y , xy ).解 f (x +y , x −y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x −y )=(x +y )xy +(xy )2x .5. 求下列各函数的定义域:(1)z =ln(y 2−2x +1);高等数学下册第八章习题解答解 要使函数有意义, 必须y 2−2x +1>0,故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2−2x +1>0}.(2)yx y x z −++=11; 解 要使函数有意义, 必须x +y >0, x −y >0,故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x −y >0}.(3)y x z −=;解 要使函数有意义, 必须y ≥0,0≥−y x 即y x ≥, 于是有x ≥0且x 2≥y , 故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }.(4)221)ln(yx x x y z −−+−=; 解 要使函数有意义, 必须y −x >0, x ≥0, 1−x 2−y 2>0,故函数的定义域为D ={(x , y )| y −x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.(5)222222221rz y x z y x R u −+++−−−=(R >r >0); 解 要使函数有意义, 必须R 2−x 2−y 2−z 2≥0且x 2+y 2+z 2−r 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}.(6)22arccos yx z u +=. 解 要使函数有意义, 必须x 2+y 2≠0, 且1||22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2, 故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.6. 求下列各极限:(1)22)1,0(),(1limy x xy y x +−→; 解110011lim 22)1,0(),(=+−=+−→y x xy y x .(2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; 解 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y y x . (3)xy y x 42lim)0,0(),(+−→; 解 xy y x 42lim)0,0(),(+−→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++−=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim)0,0(),(−=++−=→xy y x . (4)11lim )0,0(),(−+→xy xy y x ; 解 11lim )0,0(),(−+→xy xy y x )11)(11()11(lim )0,0(),(−+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=→→xy xy xy xy y x y x . (5)y xy y x )sin(lim )0,2(),(→; 解 y xy y x )sin(lim )0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=⋅=⋅=→x xyxy y x . (6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++−→. 解 22221lim )cos(1lim )()cos(1lim )0,0(),(2222)0,0(),(2222)0,0(),(y x y x y x y x y x e y x y x e y x y x →→→⋅++−=++− 01sin lim cos 1lim 00==−=→→t t t t t . 7. 证明下列极限不存在:(1)y x y x y x −+→)0,0(),(lim; 证明 如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0),则 1lim lim00)0,0(),(==−+→=→x x y x y x x y y x ; 如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0),则 1lim lim00)0,0(),(−=−=−+→=→y y y x y x y x y x . 因此, 极限y x y x y x −+→)0,0(),(lim不存在. (2)22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x −+→. 证明 如果动点p (x , y )沿y =x 趋于(0, 0),则 1lim )(lim 44022222 )0,0(),(==−+→=→x x y x y x y x x xy y x ; 如果动点p (x , y )沿y =2x 趋向(0, 0),则 044lim )(lim 2440222222 )0,0(),(=+=−+→=→x x x y x y x y x x xy y x . 因此, 极限22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x −+→不存在. 8. 函数xy x y z 2222−+=在何处间断？ 解 因为当y 2−2x =0时, 函数无意义,所以在y 2−2x =0处, 函数x y x y z 2222−+=间断. 9. 证明0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x .证明 因为22||||2222222222y x yx y x y x xy y x xy +=++≤+=+, 所以 02lim ||lim 022)0,0(),(22)0,0(),(=+≤+≤→→y x yx xy y x y x . 因此 0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x . 证明 因为2||22y x xy +≤, 故22||22222222y x yx y x y x xy +=++=+. 对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<220y x 时恒有εδ=<+≤−+22|0|2222y x yx xy , 所以0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x . 10. 设F (x , y )=f (x ), f (x )在x 0处连续, 证明: 对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.证明 由题设知, f (x )在x 0处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x −x 0|<δ时, 有|f (x )−f (x 0)|<ε.作(x 0, y 0)的邻域U ((x 0, y 0), δ), 显然当(x , y )∈U ((x 0, y 0), δ)时, |x −x 0|<δ, 从而 |F (x , y )−F (x 0, y 0)|=|f (x )−f (x 0)|<ε,所以F (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.又因为y 0是任意的, 所以对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.习题8−21. 求下列函数的偏导数:(1) z =x 3y −y 3x ;解 323y y x xz −=∂∂, 233xy x y z −=∂∂. (2)uvv u s 22+=; 解 21)(u v v u v v u u u s −=+∂∂=∂∂, 21)(v u u u v v u v v s −=+∂∂=∂∂. (3))ln(xy z =;解 x y x y x x x z 1ln ln 121)ln ln (⋅+⋅=+∂∂=∂∂)ln(21xy x =. 同理)ln(21xy y y z =∂∂. (4) z =sin(xy )+cos 2(xy );解 y xy xy y xy xz ⋅−⋅+⋅=∂∂)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y −= 根据对称性可知)]2sin()[cos(xy xy x yz −=∂∂. (5)yx z tan ln =; 解 y x y y y x yxx z 2csc 21sec tan 12=⋅⋅=∂∂, y x y x y x y x yx y z 2csc 2sec tan 1222−=−⋅⋅=∂∂. (6) z =(1+xy )y ;解 121)1()1(−−+=⋅+=∂∂y y xy y y xy y xz , ]1)1[ln()1ln()1ln(xyx y xy e e y y z xy y xy y +⋅++=∂∂=∂∂++]1)1[ln()1(xy xy xy xy y ++++=. (7)z yx u =;解 )1(−=∂∂z y x zy x u , x x zz x x y u z yz y ln 11ln ⋅=⋅=∂∂, x x zy z y x x z u z y z y ln )(ln 22⋅−=−=∂∂. (8) u =arctan(x −y )z ;解 z z y x y x z x u 21)(1)(−+−=∂∂−, z z y x y x z y u 21)(1)(−+−−=∂∂−, z z y x y x y x z u 2)(1)ln()(−+−−=∂∂. 2. 设gl T π2=, 试证0=∂∂+∂∂g T g l T l . 解 因为l g l T ⋅⋅=∂∂1π, g g g l gT 121(223⋅−=⋅−⋅=∂∂−ππ, 所以 0=⋅−⋅=∂∂+∂∂gl g l g T g l T l ππ. 3. 设)11(y x e z +−=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂. 解 因为211(1xe x z y x ⋅=∂∂+−, 2)11(1y e y z y x ⋅=∂∂+−, 所以 z e e y z y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+−+− 4. 设yx y x y x f arcsin )1(),(−+=, 求. )1 ,(x f x解 因为x x x x f =−+=1arcsin )11()1 ,(, 所以1)1 ,()1 ,(==x f dxd x f x . 5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少？ 解 242x x x z ==∂∂, αtan 1)5,4,2(==∂∂xz , 故4πα=. 6. 求下列函数的22x z ∂∂, 22y z ∂∂, yx z ∂∂∂2. (1) z =x 4+y 4−4x 2y 2;解 2384xy x x z −=∂∂, 2222812y x xz −=∂∂; y x y y z 2384−=∂∂, 2222812x y yz −=∂∂; xy y x y yy x z 16)84(232−=−∂∂=∂∂∂. (2)x y z arctan=; 解 22222)(11y x y x y xy x z +−=−⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy x z +=∂∂; 2222)1(11y x x x xy y z +=⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy y z +−=∂∂; 22222222222222)()(2)()(y x x y y x y y x y x y y y x z +−=+−+−=+−∂∂=∂∂∂. (3) z =y x .解 y y x z x ln =∂∂, y y xzx 222ln =∂∂; 1−=∂∂x xy y z , 222)1(−−=∂∂x y x x y z ;)1ln (1ln )ln (112+=⋅+=∂∂=∂∂∂−−y x y yy y xy y y y y x z x x x x . 7. 设f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2, 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, −1, 0)及f zzx (2, 0, 1). 解 因为f x =y 2+2xz , f xx =2z , f xz =2x ,f y =2xy +z 2, f yz =2z ,f z =2yz +x 2, f zz =2y , f zzx =0,所以 f xx (0, 0, 1)=2, f xz (1, 0, 2)=2,f yz (0, −1, 0)=0, f zzx (2, 0, 1)=0.8. 设z =x ln(xy ), 求y x z ∂∂∂23及23y x z ∂∂∂. 解 1)ln()ln(+=⋅+=∂∂xy xyy x xy x z , x xy y x z 122==∂∂, 023∂∂∂yx z , y xy x y x z 12==∂∂∂, 2231y y x z −=∂∂∂. 9. 验证:(1)满足nx e y tkn sin 2−=22xy k t y ∂∂=∂∂; 证明 因为nx e kn kn nx e ty t kn t kn sin )(sin 2222⋅−=−⋅⋅=∂∂−−, nx ne x y t kn cos 2−=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222−−=∂∂, nx e kn xy k t kn sin 222−−=∂∂, 所以22x y k t y ∂∂=∂∂. (2)222z y x r ++=满足rz r y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂.证明 r x z y x x x r =++=∂∂222, 322222r x r r x r x r x r −=∂∂−=∂∂, 由对称性知32222ry r y r −=∂∂, 32222r z r z r −=∂∂, 因此 322322322222222rz r r y r r x r z r y r x r −+−+−=∂∂+∂∂+∂∂ r r r r r z y x r 23)(332232222=−=++−=.习题8−31. 求下列函数的全微分:(1)yx xy z +=; 解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy yxx dx y y )()1(2−++=. (2)x ye z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+−=∂∂+∂∂=. (3) 22yx y z +=; 解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +−=+−=∂∂−, 2/3222222222)(y x x y x y x y y y x z +=++⋅−+=∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++−=)()(2/322xdy ydx y x x −+−=. (4)u =x yz .解 因为1−⋅=∂∂yz x yz x u , x zx y u yz ln =∂∂, x yx zu yz ln =∂∂, 所以xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=− 2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分.解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x x z, 3221=∂∂==y x y z,所以 dy dx dz y x 323121⋅+===. 3. 求函数xy z =当x =2, y =1, Δx =0.1, Δy =−0.2时的全增量和全微分. 解 因为x y x x y y z −Δ+Δ+=Δ, y x x xy dz Δ+Δ−=12, 所以, 当x =2, y =1, Δx =0.1, Δy =−0.2时,119.0211.02)2.0(1−=−+−+=Δz , 125.0)2.0(211.041−=−+×−=dz . 4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, Δx =0.15, Δy =0.1时的全微分.解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy Δ+Δ=Δ∂∂+Δ∂∂= 所以, 当x =1, y =1, Δx =0.15, Δy =0.1时,e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=*5. 计算33)97.1()102(+的近似值.解 设33y x z +=, 由于y y z x x z y x y y x x Δ∂∂+Δ∂∂++≈Δ++Δ+3333)()(332233233y x y y x x y x +Δ+Δ++=, 所以取x =1, y =2, Δx =0.02, Δy =−0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+−⋅⋅+⋅++≈+.*6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693).解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y Δ∂∂+Δ∂∂+≈Δ+Δ+)(y x x x yx x y y y Δ+Δ+=−ln 1, 所以取x =2, y =1, Δx =−0.03, Δy =0.05可得(1.97)1.05≈2−0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7. 已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形, 如果x 边增加5cn 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z Δ+Δ+=Δ+Δ=≈Δ, 当x =6, y =8, Δx =0.05, Δy =−0.1时,05.0)1.0805.0686122−=⋅−⋅+≈Δz . 这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值.解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h ,ΔV ≈dV =2πRh ΔR +πR 2Δh ,当R =4, h =20, ΔR =Δh =0.1时,ΔV ≈2×3.14×4×20×0.1+3.14×42×0.1≈55.3(cm 3)这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差.解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z Δ⋅∂∂+Δ⋅∂∂≤≈Δ|)|||(122y y x x yx Δ+Δ+=. 令x =7, y =24, |Δx |≤0.1, |Δy |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm . *10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60°±1°, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=. zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈Δ. 令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则 55.2718021278631.0232631.023278=×××+××+××≈πδs , 82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS , %29.182.212755.27==S s δ, 所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55 m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和. 证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u Δ+Δ≤Δ+Δ=Δ∂∂+Δ∂∂=≈Δ. 所以两数之和的绝对误差|Δu |等于它们各自的绝对误差|Δx |与|Δy |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和.证明 设u =xy , yx v =, 则Δu ≈du =ydx +xdy , 2y xdy ydx dv v −=≈Δ, 由此可得相对误差;ydy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈Δy y x x y dy x dx Δ+Δ=+≤; y dy x dx yx y xdy ydx v dv v v −=⋅−==Δ2y y x x y dy x dx Δ+Δ=+≤.习题8−41. 设z =u 2−v 2, 而u =x +y , v =x −y , 求x z ∂∂, yz ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x , yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(−1)=2(u −v )=4y . 2. 设z =u 2ln v , 而yx u =, v =3x −2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2yy x x y x y x −+−=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ )2()(ln 222−+−⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y y x x y x y x −−−−=. 3. 设z =e x −2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz . 解 dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅−⋅+=−− .)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x −=−=−− 4. 设z =arcsin(x − y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz . 解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x −−−+⋅−−= 232)43(1)41(3t t t −−−=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz . 解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=xx x e x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+−=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dx du . 解 dxdz dz u dx dy y u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂= )sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax −⋅+−⋅+++−= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++−+=x e ax sin =. 7. 设y x z arctan =, 而x =u +v , y =u −v , 验证22v u v uv z u z +−=∂∂+∂∂. 证明 )()(vy y z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂ )()(111)(11222y x y x y y x −⋅++⋅+=)1()()(111)(11222−⋅−⋅++⋅++y x yx y y x 22222v u v u y x y +−=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数):(1) u =f (x 2−y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号,2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy ′+′=∂∂⋅′+∂−∂⋅′=∂∂, 212)2212)((f xe f y ye f y y x f y u xy xy ′+′−=∂∂⋅′+∂−∂⋅′=∂∂. (2) ,(zy y x f u =; 解 1211)()(f yz y x f y x x f x u ′=∂∂⋅′+∂∂⋅′=∂∂, )()(21z y y f y x y f y u ∂∂⋅′+∂∂′=∂∂2121f z f yx′+′−=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅′+∂∂′=∂∂22f z y ′−=. (3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f xu ⋅′+⋅′+⋅′=∂∂3211321f yz f y f ′+′+′=, 3232f xz f x xz f x f yu ′+′=⋅′+⋅′=∂∂, 33f xy xy f zu ′=⋅′=∂∂. 9. 设z =xy +xF (u ), 而xy u =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅)([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂′+⋅+∂∂′++= )]([)]()([u F x y u F xy u F y x ′+⋅+′−+= =xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f y z −=, 其中f (u )为可导函数, 验证211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222′−=⋅′⋅−=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()(′−+=−⋅′⋅−=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+′+′−=∂∂⋅+∂∂⋅211y z zy y =⋅. 11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22xz ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22y z ∂∂. 解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ),f x xu u f x z ′=∂∂′=∂∂2)(, f y y u u f y z ′=∂∂′=∂∂2)(, f x f x u f x f xz ′′+′=∂∂⋅′′+′=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ′′=∂∂⋅′′=∂∂∂422, f y f y u f y f y z ′′+′=∂∂⋅′′+′=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22y z ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数): (1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).u f y vf y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0, vf u f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f ∂∂和v f ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f ∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数.)()()(22u f x y uf y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=, )(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yv v u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂= v u f y uf xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(, )()()()(22v f y u f y x vf u f x y y z y y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ yv v f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)( 1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=vf x u v f v u f x u f x2222222v f v u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =; 解 令u =x , yx v =, 则z =f (u , v ). v f y u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1, vf y xdy dv v f y z ∂∂⋅−=⋅∂∂=∂∂2. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f ∂∂和v f ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f ∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22vf x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xv v f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂= 22222212v f y v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=, 1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂)(1)1()(v f y y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂= yv v f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅−∂∂⋅∂∂∂=22211 221v f y x v f y v u f y x ∂∂⋅−∂∂⋅−∂∂∂⋅−= ()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z ∂∂∂∂⋅−∂∂⋅−∂∂=∂∂∂∂=∂∂22423222322vf y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅−∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1′⋅y 2+f 2′⋅2xy =y 2f 1′+2xyf 2′,z y =f 1′⋅2xy +f 2′⋅x 2=2xyf 1′+x 2f 2′;z xx =y 2[f 11′′⋅y 2+f 12′′⋅2xy ]+2yf 2′′+2xy [f 21′′⋅y 2+f 22′′⋅2xy ] =y 4f 11′′+2xy 3f 12′′+2yf 2′′+2xy 3f 21′′+4x 2y 2 f 22′′=y 4f 11′′+4xy 3f 12′′+2yf 2′′+4x 2y 2 f 22′′,z xy =2y f 1′+y 2[f 11′′⋅2xy +f 12′′⋅x 2]+2xf 2′+2xy [f 21′′⋅2xy +f 22′′⋅x 2] =2y f 1′+2xy 3f 11′′+x 2y 2 f 12′′+2xf 2′+4x 2y 2f 21′′+2x 3yf 22′′ =2y f 1′+2xy 3f 11′′+5x 2y 2 f 12′′+2xf 2′+2x 3yf 22′′,z yy =2xf 1′+2xy [f 11′′⋅2xy +f 12′′⋅x 2]+x 2[f 21′′⋅2xy +f 22′′⋅x 2] =2xf 1′+4x 2y 2f 11′′+2x 3y f 12′′+2x 3yf 21′′+x 4f 22′′=2xf 1′+4x 2y 2f 11′′+4x 3y f 12′′+x 4f 22′′.(4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).解 z x =f 1′⋅cos x + f 3′⋅e x +y =cos x f 1′+e x +y f 3′,z y =f 2′⋅(−sin y )+ f 3′⋅e x +y =−sin y f 2′+e x +y f 3′,z xx =−sin x f 1′+cos x ⋅(f 11′′⋅cos x + f 13′′⋅e x +y )+e x +y f 3′+e x +y (f 31′′⋅cos x + f 33′′⋅e x +y ) =−sin x f 1′+cos 2x f 11′′+e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′+e x +y cos x f 31′′+e 2(x +y ) f 33′′ =−sin x f 1′+cos 2x f 11′′+2e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′+e 2(x +y ) f 33′′, z xy =cos x [f 12′′⋅(−sin y )+ f 13′′⋅e x +y ]+e x +y f 3′+e x +y [f 32′′⋅(−sin y )+ f 33′′⋅e x +y ] =−sin y cos x f 12′′+e x +y cos x f 13′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′+e 2(x +y )f 33′ =−sin y cos x f 12′′+e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′′+e 2(x +y )f 33′′, z yy =−cos y f 2′−sin y [f 22′′⋅(−sin y )+ f 23′′⋅e x +y ]+e x +y f 3′+e x +y [f 32′′⋅(−sin y )+ f 33′′⋅e x +y ] =−cos y f 2′+sin 2y f 22′′−e x +y sin y f 23′′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′′+ f 33′′⋅e 2(x +y ) =−cos y f 2′+sin 2y f 22′′−2e x +y sin y f 23′′+e x +y f 3′+f 33′′⋅e 2(x +y ).13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而3t s x −=, 3t s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321y u x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅−=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂−+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(y u x u ∂∂+∂∂=. 又因为)2321()(2yu x u s s u s s u ∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ (23)(212222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= 2321(23)2321(212222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅= 222432341y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=, )2123()(2yu x u t t u t t u∂∂⋅+∂∂⋅−∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(232222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂−= )2123(21)2123(232222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅−+∂∂∂⋅+∂∂⋅−−=22222412343y uy x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅−∂∂⋅=,所以 22222222y u x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.习题8−51. 设sin y +e x −xy 2=0, 求dxdy . 解 令F (x , y )=sin y +e x −xy 2, 则F x =e x −y 2, F y =cos y −2xy , xy y e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222−−=−−−=−=.2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy. 解 令xyy x y x F arctan ln ),(22−+=, 则22222222)()(11221y x y x xy x y y x x y x F x ++=−⋅+−+⋅+=,22222221)(11221yx x y x xy y x y y x F y +−=⋅+−+⋅+=,yx y x F F dx dyy x −+=−=. 3. 设022=−++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(−++=, 则 xyz yz F x −=1, xyzxz F y −=2, xyz xyF z −=1,xy xyz xyz yz F F x z z x −−=−=∂∂, xy xyz xyz xz F F y zz y −−=−=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及yz ∂∂, 解 令yz z x z y x F ln ),,(−=, 则z F x 1=, y yzyz F y 1)(12=−⋅−=, 2211z z x y y z z x F z +−=⋅−−=,所以 z x z F F x z z x +=−=∂∂, )(2z x y z F F y z z y +=−=∂∂.5. 设2sin(x +2y −3z )=x +2y −3z , 证明1=∂∂+∂∂yz x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y −3z )−x −2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y −3z )−1,F y =2cos(x +2y −3z )⋅2−2=2F x , F z =2cos(x +2y −3z )⋅(−3)+3=−3F x ,313=−−=−=∂∂x x z x F F F F x z , 3232=−−=−=∂∂x x z y F F F F y z ,于是 13231=+=−−=∂∂+∂∂z z z x F FF F yz x z .6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z yy x .解 因为x y F F y x −=∂∂, y z F F zy −=∂∂, z x F F x z−=∂∂,所以 1()()(−=−⋅−⋅−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂z x y z x y F F F F F F xz z yy x .7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx −az , cy −bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足c yz b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为v u uv u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅−⋅−⋅−=∂∂,vu vv u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅−⋅−⋅−=∂∂,所以 c b a c b b a c a y z b x z a v u vv u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z−xyz =0, 求22x z ∂∂. 解 设F (x , y , z )=e z −xyz , 则F x =−yz , F z =e z −xy , xye yzF F x z z x −=−=∂∂,222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z −−∂∂−−∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y z z z −−−−+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz −−−=. 9. 设z 3−3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3−3xyz −a 3, 则xy z yz xy z yz F F x z z x −=−−−=−=∂∂22333, xyz xz xy z xz F F y z z y −=−−−=−=∂∂22333, )()(22xyz yzy x z y y x z −∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂222)()2())((xy z x y z z yz xy z yz y z −−∂∂−−∂∂+=22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz y z −−−−−⋅−+=322224)()2(xy z y x xyz z z −−−=.10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:(1)设, 求⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z dx dy , dx dz; 解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=−xdx dz z dxdy y xdx dz dx dy y 3222.解方程组得)13(2)16(++−=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设, 求⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x dz dx ,dz dy ;解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dzdx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+zdz dy y dz dx x dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x −−=∂∂, yx xz z y −−=∂∂. (3)设, 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求⎩⎨⎧−=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u x u ∂∂,x v ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅′+−∂∂⋅′=∂∂∂∂⋅′+∂∂+⋅′=∂∂x v yv g x u g x v x v f x u x u f x u 21212)1()( , 即⎪⎩⎪⎨⎧′=∂∂⋅⋅−′+∂∂′′′−=∂∂⋅′+∂∂−′121121)12()1(g x v g yv x u g f u x v f x u f x . 解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ′′−−′−′′′−−′′−=∂∂, 1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ′′−−′−′−′+′′=∂∂.(4)设, 求⎩⎨⎧−=+=v u e y v u e x u u cos sin x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得, 即, ⎩⎨⎧+−=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx uu sin cos cos sin ⎩⎨⎧=+−=++dy vdv u du v e dxvdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (从中解出du , dv 得dy v v e v dxv v e v du u u 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +−−++−=, v v e u e v dx v v e u e v dv u uu u ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +−+++−−=,从而1)cos (sin sin +−=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +−−=∂∂v v e vy u u ,]1)cos (sin [cos +−−=∂∂v v e u e v x v u , ]1)cos (sin [sin +−+=∂∂v v e u e v y v u.11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tF y F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂−∂∂⋅∂∂=. 证明 由方程组可确定两个一元隐函数, 方⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y ⎩⎨⎧==)()(x t t x y y 程两边对x 求导可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dxdt t F dx dy y F x F dxdt t f x f dx dy ,移项得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂−=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂−x F dxdt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy ,在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂−=y F t f t F tF y F t fD 的条件下 yF t f t F x Ft f t F x f t Fx F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂−∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂−∂∂−∂∂⋅=1.习题8−61. 求曲线x =t −sin t , y =1−cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (−π处的切线及法平面方程.解 x ′(t )=1−cos t , y ′(t )=sin t , 2cos 2)(t t z =′. 因为点)22 ,1 ,12 (−π所对应的参数为2 π=t , 故在点)22 ,1 ,12 (−π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T .因此在点)22 ,1 ,12(−π处, 切线方程为22211121−=−=−+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=−+−⋅++−⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, tt y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1)(t t x +=′, 21)(t t y −=′, z ′(t )=2t .在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(−=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为21124121−=−−=−z y x , 即8142121−=−−=−z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=−+−−−z y x , 即2x −8y +16z −1=0.3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m −x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m −x 的两边 对x 求导, 得m dx dyy22=, 12−=dxdz z , 所以y m dx dy=, z dx dz 21−=.曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m −=T , 所求的切线方程为000211z z z y m y y x x −−=−=−, 法平面方程为0)(21)()(00000=−−−+−z z z y y y m x x . 4. 求曲线在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.⎩⎨⎧=−+−=−++0453203222z y x x z y x 解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+−=−++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y .解此方程组得z y z x dx dy 61015410−−−−=, z y y x dx dz 610946−−−+=. 因为169)1,1,1(=dx dy, 161)1,1,1(−=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111−−=−=−z y x , 即1191161−−=−=−z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=−−−+−z y x , 即16x +9y −z −24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4. 解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x ′=1, y ′=2t , z ′=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =−1, 31−=t . 于是所求点的坐标为(−1, 1, −1)和)271 ,91 ,31(−−. 6. 求曲面e z −z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=e z −z +xy −3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z −1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x −2)+2(y −1)+0⋅(z −0)=0, 即x +2y −4=0,法线方程为02112−=−=−z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2−1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x −x 0)+by 0(y −y 0)+cz 0(z −z 0)=0,即 , 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++法线方程为00000cz z z by y y ax x x −=−=−.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x −y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2−1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, −1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =−=, 即z x 21=, z y 41−=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+−+z z z , 解得1122±=z , 则1122±=x , 11221∓=y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±±∓. 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+−±z y x ∓, 即 2112±=+−z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(−1, −2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2−16, 则点(−1, −2, 3)处的法向量为n 2=(F x , F y , F z )|(−1, −2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(−1, −2, 3)=(−6, −4, 6).点(−1, −2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F −++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=−+−+−z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8−71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数 解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故)cos ,(cos 23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy ′=4, 解得yy 2=′. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y ′(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131cos cos =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +−=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解 令1),(2222−+=b y a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a xF F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22b a b y a x b a −=−=n , 单位内法向量为)cos ,(cos ,(2222βα=+−+−=b a a b a b n e . 又因为a a x x zb a b a 222,2(2)2,2(−=−=∂∂, bb y y z b a b a 222,2(2)2,2(−=−=∂∂, 所以 222222222cos cos b a abb a a b b a b a y z x z n z +=+⋅++⋅=∂∂+∂∂=∂∂βα. 4. 求函数u =xy 2+z 3−xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4 πβ=, 3 πγ=的方向的方向导数.解 因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为 1)()2,1,1(2)2,1,1(−=−=∂∂yz y x u, 0)2()2,1,1()2,1,1(=−=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=−=∂∂xy z z u , 所以 5211122021)1(cos cos cos =⋅+⋅+⋅−=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u .5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解 因为l =(9−5, 4−1, 14−2)=(4, 3, 12), )1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz x u , 10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u, 所以 139813125133101342cos cos cos =⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u . 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导.解 曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1, 1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l , )143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u, 所以 1412143214221412cos cos cos )1,1,1(=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u . 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解 令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2−1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )cos ,cos ,(cos ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 000000111cos cos cos z y x z y x zu y u x u n u ++=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα. 8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x −2y −6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).。
物理学第3版习题解答_第8章光的波动性
. B
解： （1） 以 A 为原点
x1
B
. A
x
A
图 8-35 习题 8-5 用图
-1
本题需补充一平面简谐波以速度 u = 20 m ⋅ s 沿直线传播
t x y = A cos[ 2 π( − ) + ϕ ] λ = uT = 10 m ，根据 T λ ， 有
y = A cos[2π(
t x π − )− ] 0.5 10 2
x1 = 0.04 cos(2t + π 6) x 2 = 0.03 cos(2t − π 6)
试写出合振动的表达式。
解 合振动的振幅为
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
⎛ π π⎞ = 0.04 2 + 0.03 2 + 2 × 0.03 × 0.04 × cos⎜ − − ⎟ ⎝ 6 6⎠ = 0.06m
第八章习题解答
8-1 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为 0.12m，周期为 2s。当 t = 0 时，位移为 0.06m，且 向 x 轴正方向运动。求：(1)初相；(2) t = 0.5s 时，物体的位置；(3)在 x = -0.06m 处， 且向 x 轴负向方向运动。物体从这一状态回到平衡位置的最短时间。 解：
−1
8-8 波长为 589.3nm 的钠光照在一双缝上，在距双缝 200cm 的观察屏幕上测量 10 个条纹的 宽度为 2.2cm，试计算双缝之间的距离。
解：根据 ∆x =
D λ 有 d = 0.536 mm d
8-9 在杨氏干涉实验中，若双缝间距为 0.40mm，在距双缝 100cm 的光屏上出现干涉条纹。 现测得相邻两条明纹中心的间距为 1.5mm，求入射光的波长。
结构化学习题解答8(北大)
根据Bragg方程 2d hkl sin
得：
sin
2d hkl
将立方晶系面间距dhkl、晶胞参数a和衍射指标hkl间的关系式
h2 k 2 l 2 代入，得： sin
d hkl
a
h2 k 2 l 2
2a
154.2 pm 3 2 3 2 3 2 404.9 pm
a3 N 所以，晶胞参数：
1 3 1 3
4 26.98g m ol 4M a 2.70g cm 3 6.022 1023 m ol1 DN
1
面心立方结构中晶胞参 a与原子半径R的关系为a 2 2 R， 数 因此，铝的原子半径为 ： 2 2 143.2 pm R a 404.9 pm 2 2
229.1 pm 2 2 2 sin h k l h k l 2a 2 352.4 pm
2 2 2
0.3251 h 2 k 2 l 2
当h2+k2+l2≥11时，sinθ＞1，这是不允许的。因此，h2+k2+l2 只能 为3，4和8，即只能出现111，200和220衍射。相应的衍射角为
即锡的相对原子质量为118.3 (d) 由题意，白锡的密度为：
DSn (白） 4M / a 2 cN 4 118.3g m ol1 (583.2 1010 cm) 2 (318.1 1010 cm) 6.022 1023 m ol1 7.26g cm 3
a 8 3
3
rSi 8 3
8 3
117pm 540pm
V a ( D (
117pm) 3 1.58 108 pm3 8 28.09g m ol1
离散数学 第8章 习题解答
第8 章 习题解答8.1 图8.6 中,(1)所示的图为,3,1K (2) 所示的图为,3,2K (3)所示的图为,2,2K 它们分别各有不同的同构形式.8.2 若G 为零图,用一种颜色就够了,若G 是非零图的二部图,用两种颜色就够了.分析 根据二部图的定义可知,n 阶零图(无边的图)是三部图(含平凡图),对n 阶零图的每个顶点都用同一种颜色染色,因为无边,所以,不会出现相邻顶点染同色,因而一种颜色就够用了.8.3 完全二部图,,s r K 中的边数rs m -.分析 设完全二部图s r K ,的顶点集为V, 则∅==2121,V V V V V ,且,||,||21s V r V ==s r K ,是简单图,且1V 中每个顶点与2V 中所有顶点相邻,而且1V 中任何两个不同顶点关联的边互不相同,所以,边数rs m -.8.4 完全二部图s r K ,中匹配数},min{1s r =β,即1β等于s r ,中的小者. 分析 不妨设,s r ≤且二部图s r K ,中,,||,||21s V r V ==由Hall 定理可知,图中存在1V 到的完备匹配,设M 为一个完备匹配,则1V 中顶点全为M 饱和点,所以,.1r =β8.5 能安排多种方案,使每个工人去完成一项他们各自能胜任的任务.分析 设},,{1丙乙甲=V ,则1V 为工人集合, },,{2c b a V =,则2V 为任务集合.令}|),{(,21y x y x E V V V 能胜任== ,得无向图>=<E V G ,,则G 为二部图,见图8.7 所示.本题是求图中完美匹配问题. 给图中一个完美匹配就对应一个分配方案.图8.7 满足Hall 定理中的相异性条件,所以,存在完备匹配,又因为,3||||21==V V 所以,完备匹配也为完美匹配.其实,从图上,可以找到多个完美匹配. 取)},(),,(),,{(1c b a M 丙乙甲=此匹配对应的方案为甲完成a,乙完成b, 丙完成c,见图中粗边所示的匹配. )},(),,(),,{(c a b M 丙乙甲=2M 对应的分配方案为甲完成b,乙完成a,丙完成c.请读者再找出其余的分配方案.8.6 本题的答案太多,如果不限定画出的图为简单图,非常容易地给出4族图分别满足要求.(1) n (n 为偶数,且2≥n )阶圈都是偶数个顶点,偶数条边的欧拉图.(2) n (n 为奇数,且1≥n )阶圈都是奇数个顶点,奇数条边的欧拉图.(3) 在(1) 中的圈上任选一个顶点,在此顶点处加一个环,所务图为奇数个顶点,偶数条边的欧拉图.分析 上面给出的4族图都是连通的,并且所有顶点的度数都是偶数,所以,都是欧拉图.并且(1),(2) 中的图都是简单图.而(3),(4)中的图都带环,因而都是非简单图. 于是,如果要求所给出的图必须是简单图,则(3),(4)中的图不满足要求.其实,欧拉图是若干个边不重的图的并,由这种性质,同样可以得到满足(3),(4)中要求的简单欧拉图.设k G G G ,,,21 是长度大于等于3的k 个奇圈(长度为奇数的圈称为奇圈),其中k 为偶数,将1G 中某个顶点与2G 中的某顶点重合,但边不重合, 2G 中某顶点与3G 中某顶点重合,但边不重合,继续地,最后将1-k G 中某顶点与k G 中某顶点重合,边不重合,设最后得连通图为G,则G 中有奇数个顶点,偶数条边,且所有顶点度数均为偶数,所以,这样的一族图满足(4)的要求,其中一个特例为图8.8中(1)所示.在以上各图中,若k G G G ,,,21 中有一个偶圈,其他条件不变,构造方法同上,则所得图G 为偶数个顶点,奇数条边的简单欧拉图,满足(3)的要求,图8.8中(2)所示为一个特殊的情况.8.7 本题的讨论类似于8.6题,只是将所有无向圈全变成有向圈即可,请读者自己画出满足要求的一些特殊有向欧拉图.8.8 本题的答案也是很多的,这里给出满足要求的最简单一些图案,而且全为简单图.(1) n (3≥n )阶圈,它们都是欧拉图,又都是哈密尔顿图.(2) 给定k (2≥k )个长度大于等于3的初级回路,即圈k G G G ,,,21 ,用8.6题方法构造的图G 均为欧拉图,但都不是哈密尔顿图,图8.8给出的两个图是这里的特例.(3)n (4≥n )阶圈中,找两个不相邻的顶点,在它们之间加一条边,所得图均为哈密尔顿图,但都不是欧拉图.(4) 在(2)中的图中,设存在长度大于等于4的圈,比如说1G ,在1G 中找两个不相邻的相邻顶点,在它们之间加一条新边,然后用8.6题方法构造图G,则G 既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图,见图8.9所示的图.分析 (1) 中图满足要求是显然的.(2)中构造的图G 是连通的,并且各顶点度数均为偶数,所以,都是欧拉图,但因为G 中存在割点,将割点从G 中删除,所得图至少有两个连通分支,这破坏了哈密尔顿图的必要条件,所以,G 不是哈密尔顿图.(3) 中构造的图中,所有顶点都排在一个圈上,所以,图中存在哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图,但因图中有奇度顶点(度数为奇数的顶点),所以,不是欧拉图. 由以上讨论可知,(4) 中图既不是欧拉其实,读者可以找许多族图,分别满足题中的要求.8.9 请读者自己讨论.8.10 其逆命题不真.分析 若D 是强连通的有向图,则D 中任何两个顶点都是相互可达的,但并没有要求D 中每个顶点的入度都等于出度. 在图8.2 所示的3个强连通的有向衅都不是欧拉图.8.11 除2K 不是哈密尔顿图之外, n K (3≥n )全是哈密尔顿图. n K (n 为奇数)为欧拉图. 规定1K (平凡图)既是欧拉图,又是哈密尔顿图.分析 从哈密尔顿图的定义不难看出,n 阶图G 是否为哈密尔顿图,就看是否能将G 中的所有顶点排在G 中的一个长为n 的初级回路,即圈上. n K (3≥n )中存在多个这样的生成圈(含所有顶点的图), 所以n K (3≥n )都是哈密尔顿图.在完全图n K 中,各顶点的度数均为n-1,若n K 为欧拉图,则必有1-n 为偶数,即n 为奇数,于是,当n 为奇数时, n K 连通且无度顶点,所以, n K (n 为奇数) 都是欧拉图.当n 为偶数时,各顶点的度数均为奇数,当然不是欧拉图.8.12 有割点的图也可以为欧拉图.分析 无向图G 为欧拉图当且仅当G 连通且没有奇度顶点.只要G 连通且无奇度顶点(割点的度数也为偶数),G 就是欧拉图.图8.8所示的两个图都有割点,但它们都是欧拉图.8.13 将7个人排座在圆桌周围,其排法为.abdfgeca分析 做无向图>=<E V G ,,其中,},,,,,,{g f e d c b a V =},|),{(有共同语言与且v u V v u v u E ∈=图G 为图8.10所示.图G 是连通图,于是,能否将这7个人排座在圆桌周围,使得每个人能与两边的人交谈,就转化成了图G 中是否存在哈密尔顿回路(也就是G 是否为哈密尔顿图).通过观察发现G 中存在哈密尔顿回路, abdfgeca 就是其8.14 用i v 表示颜色.6,,2,1, =i i 做无向图>=<E V G ,,其中},,,,,,{654321v v v v v v V =}.,,|),{(能搭配与并且且v u v u V v u v u E ≠∈=对于任意的)(,v d V v ∈表示顶点v 与别的能搭配的颜色个数,易知G 是简单图,且对于任意的V v u ∈,,均有633)()(=+≥+v d u d ,由定理8.9可知,G 为哈密尔顿图,因而G 中存在哈密尔顿回路,不妨设1654321i i i i i i i v v v v v v v 为其中的一条,在这种回路上,每个顶点工表的颜色都能与它相邻顶点代表的颜色相.于是,让1i v 与2i v ,3i v 与4i v ,5i v 与6i v 所代表的颜色相搭配就能织出3种双色布,包含了6种颜色.8.15∑=⨯======300321,10220)deg(.12)deg(,3)deg(,1)deg(,4)deg(i i R R R R R 而本图边数m=10.分析 平面图(平面嵌入)的面i R 的次数等于包围它的边界的回路的长度,这里所说回路,可能是初级的,可能是简单的,也可能是复杂的,还可能由若干个回路组成.图8.1所示图中,321,,R R R 的边界都是初级回路,而0R 的边界为复杂回路(有的边在回路中重复出现),即432110987654321e e e e e e e e e e e e e e ,长度为12,其中边65,e e 在其中各出现两次.8.16 图8.11中,实线边所示的图为图8.1中图G,虚线边,实心点图为它的对偶图的顶点数*n ,边数*m ,面数*r 分别为4,10和8,于是有分析 从图8.11还可以发现,G 的每个顶点位于的一个面中,且的每个面只含G 的一个顶点,所以,这是连通平面图G 是具有k 个连通分支的平面图2≥k ,则应有1*+-=k n r .读者自己给出一个非连通的平面图,求出它的对偶图来验证这个结论.另外,用图8.1还可以验证,对于任意的*v (*G 中的顶点),若它处于G 的面i R 中,则应有)deg()(*i R v d =.8.17 不能与G 同构.分析 任意平面图的对偶图都是连通的,因而与都是连通图,而G 是具有3个连通分支的非连通图,连通图与非连通图显然是不能同构的.图 8.12 中, 这线边图为图8.2中的图G,虚线边图为G 的对偶图,带小杠的边组成的图是*G 的对偶图,显然.~**G G ≠8.18 因为彼得森图中有长度为奇数的圈,根据定理8.1可知它不是二部图.图中每个顶点的度数均为3,由定8.5可知它不是欧拉图.又因为它可以收缩成5K ,由库拉图期基定理可知它也不是平面图.其实,彼得森图也不是哈密尔顿图图,这里就不给出证明了.8.19 将图8.4重画在图8.13中,并且将顶点标定.图中afbdcea 为图中哈密尔顿回路,见图中粗边所示,所以,该图为哈密尔顿图.将图中边),(),,(),,(d f f e e d 三条去掉,所得图为原来图的子图,它为3,3K ,可取},,{1c b a V =},,{2f e d V =,由库拉图期基定理可知,该图不是平面图.8.20 图8.14 所示图为图8.5所示图的平面嵌入.分析 该图为极大平面图.此图G 中,顶点数9=n ,边数.12=m 若G 是不是极大平面图,则应该存在不相邻的顶点,,v u 在它们之间再加一条边所得'G 还应该是简单平面图, 'G 的顶点数131,6''=+===n m n n ,于是会有.126313''=->=n m这与定理8.16矛盾,所以,G 为极大平面图.其实,n ( 3≥n )阶简单平面图G 为极大平面图当且仅当G 的每个面的次数均为3.由图8.14可知,G 的每个面的次数均为3,所以,G 为极大平面图.8.12 答案 A,B,C,D 全为②分析 (1) 只有n 为奇数时命题为真,见8.11的解答与分析.(2) 2≠n 时,命题为真,见8.11的解答与分析.(3) 只有m n ,都是偶数时,m n K ,中才无奇度数顶点,因而m n K ,为欧拉图,其他情况下,即m n ,中至少有一个是奇数,这时m n K ,中必有奇度顶点,因而不是欧拉图.(4) 只有m n =时, m n K ,中存在 哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图. 当m n ≠时,不妨设m n <,并且在二部图m n K ,中,m V n V ==||,||21,则n V m V G p =>=-||)(11,这与定理8.8矛盾. 所以, m n ≠时, m n K ,不是哈密尔顿图.8.22 答案 A:②;B ②;C ②.分析图8.15中,两个实边图是同构的,但它们的对偶力(虚边图)是不同构的.(2) 任何平面图的对偶图都是连通图.设G 是非连通的平面图,显然有.**~G G ≠ (3) 当G 是非连通的平面图时,,1*+-=k n r 其中k 为G 的连通分支数.8.23 答案 A:④;B ②;C ②.分析 根据库期基定理可知,所求的图必含有5K 或3,3K 同胚子图,或含可收缩成5K 或3,3K 的子图.由于顶点数和边数均已限定,因而由3,3K 加2条边的图可满足要求,由5K 增加一个顶点,一条边的图可满足要求,将所有的非同构的简单图画出来,共有4个,其中由3,3K 产生的有2个,由5K 产生的有2个.见图8.16所示.。
模拟电子技术基础(第四版)习题解答_Part8
解图 P8.27 8.28 试将直流电流信号转换成频率与其幅值成正比的矩形波，要求画出电路来， 并定性画出各部分电路的输出波形。 解： 首先将电流信号转换成电压信号， 然后将电压信号接如图 P8.25 所示压控振 荡器的输入端，即可将直流电流信号转换成频率与其幅值成正比的矩形波，如解图 P8.28 (a)所示，其波形如解图(b)所示。 若输入电流与解图 P8.28 (a)所示相反，则应将 uO3 经比例系数为−1 的反相比例 运算电路后，再接压控振荡器。
uO U Z 时，T 截止时， 1 2uI 103 uO1 (t2 t1 ) uO1 (t1 ) uI (t2 t1 ) uO1 (t1 ) ( R1 R2 )C 3 45
(2) uO 和 uO1 的关系曲线如解图 P8.26 (a)所示。 (3) uO 和 uO1 的波形如解图 P8.26 (b)所示。
代入上式得： (2) uO1、uO2 和 uO3 的波形如解图 8.22 所示。
∴ T1
6 UI 600
109
解图 P8.22 8.23 试将正弦波电压转换为二倍频锯齿波电压，要求画出原理框图来，并定性画 出各部分输出电压的波形。 解：原理框图和各部分输出电压的波形如解图 P8.23 所示。
图 P8.18
解图 P8.18
解：(1)振荡周期： T ( R1 R2 )C ln 3 3.3mS (2)脉冲宽度： T1 R1C ln 3 1.1mS ∴uO 和 uC 的波形如解图 8.18 所示。 8.19 图 P8.19 所示电路为某同学所接的方波发生电路，试找出图中的三个错误， 并改正。
图 P8.22 解：在图 P8.22 所示电路中，Al 和 A2 组成矩形波一三角波发生电路。 (1)在 A2 组成的滞回比较器中，令 uP
理论力学习题解答第八章
8－1. 图示系统由匀质圆盘与匀质细杆铰接而成。
已知：圆盘半径为 r 、质量为M ，杆长为L 、质量为 m 。
在图示位置杆的角速度为ω、角加速度为ε，圆盘的角速度、角加速度均为零，试求系统惯性力系向定轴O 简化的主矢与主矩。
解：∵圆盘作平动，相当一质点作用在A 点。
εττ⋅+==∑)2/(ML mL a m F Ci i gR 2)2/(ω⋅+==∑ML mL a m F n Ci i ngR εε⋅+==)31(2200ML mL J M g8－2. 图示系统位于铅直面内，由鼓轮C 与重物A 组成。
已知鼓轮质量为m ，小半径为r ，大半径R = 2r ，对过C 且垂直于鼓轮平面的轴的回转半径ρ = ，重物A 质量为2m 。
试求（1）鼓轮中心C 的加速度；（2）AB 段绳与DE 段绳的张力。
解：设鼓轮的角加速度为， 在系统上加惯性力如图（a ）所示， |则其惯性力分别为：αmr F C =I ；αr m F A ⋅=2I ααρα222I 5.1mr m J M C C === ∑=0)(F D M ；0)2(I I I =+-++C A C M r mg F F mg？AM I CF I Cm g F DE （a ）A B 《D E2gF A F I A F AB （b ）g g r a C 2145.132=+==α ∑=0y F ；02I I =--+-mg mg F F F A C DE ；mg mr mg F DE 21593=-=α 取重物A 为研究对象，受力如图（b ）所示，∑=0y F ；02I =-+mg F F A AB ；mg mg mr mg F AB 2134)2141(222=-=-=α：8－3. 11－15重力的大小为100N 的平板置于水平面上，其间的摩擦因数f = ，板上有一重力的大小为300N ，半径为20cm 的均质圆柱。
圆柱与板之间无相对滑动，滚动摩阻可略去不计。
第8、9章习题解答
第8章习题解答8-2下面说法正确的是：（）（A ）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有电荷； （B ）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （C ）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （D ）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。
解：[答案：D]高斯定理的原意。
8-3一半径为R 的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R 处的电场强度（）（A ）0?/σε （B ）0/2σε （C ）/4σε0 （D ）0/8σε 解：[答案：C]利用均匀带电球面的场强公式计算02004qq r πε==F E r ，其中σπ24R q =, R 2r =8-4下列说法正确的是( )(A) 电场强度为零的点，电势也一定为零 (B) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零 (C) 电势为零的点，电场强度也一定为零(D) 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零 解：[答案：D].根据场强与电势的微分关系或积分关系均可以证明。
8-5在静电场中，电势不变的区域，场强必定为 。
解：[答案：0] 根据场强与电势的微分关系或积分关系均可以证明。
8-6一个点电荷q 放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为 ，若将点电荷由中心向外移动至无限远，则总通量将 。
解：[答案：0/6q ε, 将为零]，第一空：根据高斯定理知：正六面体的六个对称面组成的闭合面总通量为0εq，故每个面是总量的61。
第二空：根据高斯定理：总通量仅与面内电荷有关。
只要将点电荷由中心移动至六面体外，则该点荷对闭合面的总通量将没有贡献。
8-8电量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，则球内球外的静电能之比 。
解：[答案：5：6]利用⎰=RV E W 020d 21内内ε及⎰∞=R V E W d 2120外外ε计算。
其中dr r dV 24π=，304R Qr E πε＝内，204r QE πε＝外。
数值分析习题解答8
得
2−h n 2h 2 h x n 2 + h lim( ) = lim(1 − ) = e − xn h→ 0 2 + h h→ 0 2+ h −x 即，当 h → 0 时,它收敛于精确解 e
7.写出用四阶经典龙格-库塔方法求解初值问题
2+ h
2
⎧ y′ = 8 − 3 y ⎨ ⎩ y ( 0) = 2 的计算公式, 取步长 h = 0.2 ,并计算 y (0.4) 的近似值,小数点后至少保留 4 位.
⎧ y′ = − y ⎨ ⎩ y ( 0) = 1
证明用梯形公式所求得的近似解为
y (nh) ≈ y n = (
证明当 h → 0 时,它收敛于精确解 e 证明：由梯形公式，得
−x
2−h n ) 2+h
( x = nh)
.
y n+1 = y n −
所以
h [ y n + y n+1 ] 2
2−h yn 2+ h
证：由于
y(xn+1) – yn+1 = y(xn+1) –[(1 – b)yn + b yn-1 +0.25 h(b +3)fn+1 +(3b+1)fn-1]
将 Taylor 展式
1 2 1 h y ′′( x n ) + h 3 y ′′′( x n ) + O( h 4 ) 2 3! 1 1 y( x n−1 ) = y( x n ) − hy ′( x n ) + h 2 y ′′( x n ) − h 3 y ′′′( x n ) + O( h 4 ) 2 3! 1 y ′( x n +1 ) = y ′( x n ) + hy ′′( x n ) + h 2 y ′′′( x n ) + O( h 3 ) 2 1 y ′( x n −1 ) = y ′( x n ) − hy ′′( x n ) + h 2 y ′′′( x n ) + O( h 3 ) 2 代入局部截断误差表达式，注意到 y(xn) = yn 和 y(xn-1) = yn-1，得 1 y( x n+ 1 ) − y n +1 = − (b + 1)h 3 y ′′′( x n ) + O( h 4 ) 3 故，当 b ≠ 1 时方法为二阶的, 当 b = -1 时方法为三阶的. y ( x n + 1 ) = y ( x n ) + h y ′( x n ) +
人工智能导论(第3版)第8章 专家系统习题解答[1页]
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习题8
8.1 什么是专家系统？专家系统具有哪些特点？
解：略。
8.2简述专家系统的构成及各部分的作用。
解：略。
8.3 什么是基于规则的专家系统和基于框架的专家系统？它们各自有何特点？
解：基于规则的专家系统包含五部分：知识库，数据库，推理引擎，解释工具和用户界面。
系统的主要部分是知识库和推理引擎。
特点：自然语言的表达，结构统一化，知识与处理的分离，对不完整、不确定知识的处理能力。
基于框架的专家系统建立在框架基础上，采用面向目标编程技术，框架的设计和面向目标的编程共享许多特征。
特点：在设计基于框架的专家系统时，把整个问题和每件事想象为编织起来的事物，框架的继承、槽和方法。
8.4基于模型的专家系统在结构上有何特点？
解：模型结构上可以是表示系统部分-整体之间的结构模型，也可以是表示各部分之间功能的功能模型，或是各部分之间因果关系的因果模型等。
因果模型中，根据模型各部分因果关系特性组成，一个部分特性由另外一个或多个特性所决定。
8.5简述专家系统开发的一般方法步骤。
解：略。
8.6新型专家系统有何特点？什么是分布式专家系统和协同式专家系统？
解：略。
基础化学习题解答(8)
习题解答（第八章）一、选择题1. 下列反应中，属于氧化还原反应的是( C )A.硫酸与氢氧化钡溶液的反应B.石灰石与稀盐酸的反应C.二氧化锰与浓盐酸在加热条件下反应D.醋酸钠的水解反应2. 单质A和单质B化合成AB(其中A显正价),下列说法正确的是( C )A. B被氧化B. A是氧化剂C. A发生氧化反应D. B具有还原性3. 对于原电池的电极名称,叙述中有错误的是( B )A.电子流入的一极为正极B.发生氧化反应的一极是正极C.电子流出的一极为负极D.比较不活泼的金属构成的一极为正极4. 根据下列反应：2FeCl3+Cu→2FeCl2+CuCl22Fe3++Fe→3Fe2+2KMnO4+10FeSO4+8H2SO4→2MnSO4+5Fe2(SO4)3+K2SO4+8H2O 判断电极电势最大的电对为( C )A.Fe3+/Fe2+B.Cu2+/CuC.MnO4-/Mn2+D.Fe2+/Feϕ5. 在含有Cl-，Br-，I-离子的混合溶液中，欲使I-氧化成I2，而Br-,Cl-不被氧化，根据φ值大小，应选择下列氧化剂中的( B )A.KMnO4B.K2Cr2O7C.(NH4)2S2O8D.FeCl36. 在酸性溶液中和标准状态下，下列各组离子可以共存的是( D )A.MnO4- 和Cl-B.Fe3+ 和Sn2+C.NO3- 和Fe2+D.I- 和Sn4+7. 利用标准电极电势表判断氧化反应进行的方向，正确的说法是( B )A.氧化态物质与还原态物质起反应；ϕ较大电对的氧化态物质与φϕ较小电对的还原态物质起反应；B. φC.氧化性强的物质与氧化性弱的物质起反应；D.还原性强的物质屯还原性弱的物质起反应。
二、是非题(下列叙述中对的打“√”,错的打“×”)1. MnO4-离子中，Mn和O的化合价分别为+8和-2。
( ×)2. 根据标准电极电势判定SnCl2 + HgCl2 =SnCl4 + Hg反应能自发向右进行。
电子技术习题解答.第8章.触发器和时序逻辑电路及其应用习题解答
第8章 触发器和时序逻辑电路及其应用习题解答8.1 已知基本RS 触发器的两输入端D S 和D R 的波形如图8-33所示，试画出当基本RS 触发器初始状态分别为0和1两种情况下，输出端Ｑ的波形图。
图8-33 习题8.1图解：根据基本RS 触发器的真值表可得：初始状态为0和1两种情况下，Ｑ的输出波形分别如下图所示：习题8.1输出端Ｑ的波形图8.2 已知同步RS 触发器的初态为0，当S 、R 和CP 的波形如图8-34所示时，试画出输出端Ｑ的波形图。
图8-34 题8.2图解：根据同步RS 触发器的真值表可得：初始状态为0时，Ｑ的输出波形分别如下图所示：习题8.2输出端Ｑ的波形图8.3 已知主从JK触发器的输入端CP、J和K的波形如图8-35所示，试画出触发器初始状态分别为0时，输出端Ｑ的波形图。
图8-35 习题8.3图解：根据主从JK触发器的真值表可得：初始状态为0情况下，Ｑ的输出波形分别如下图所示：习题8.3输出端Ｑ的波形图8.4 已知各触发器和它的输入脉冲CP的波形如图8-36所示，当各触发器初始状态均为1时，试画出各触发器输出Ｑ端和Q端的波形。
图8-36 习题8.4图解：根据逻辑图及触发器的真值表或特性方程，且将驱动方程代入特性方程可得状态方程。
即：（a ）J ＝K ＝1；Ｑn ＋1＝n Ｑ，上升沿触发 （ｂ）J ＝K ＝1；Ｑn ＋1＝n Ｑ， 下降沿触发 （ｃ）K ＝0，J ＝1；Ｑn ＋1＝J n Ｑ＋K Ｑn ＝1，上升沿触发 （ｄ）K ＝1，J ＝n Ｑ；Ｑn ＋1＝J n Ｑ＋K Ｑn ＝n Ｑn Ｑ＋０·Ｑn ＝n Ｑ，上升沿触发 （ｅ）K ＝Ｑn ，J ＝n Ｑ；Ｑn ＋1＝J n Ｑ＋K Ｑn ＝n Ｑn Ｑ＋０＝n Ｑ，上升沿触发 （ｆ）K ＝Ｑn ，J ＝n Ｑ；Ｑn ＋1＝J n Ｑ＋K Ｑn ＝n Ｑn Ｑ＋０＝n Ｑ，下降沿触发， 再根据边沿触发器的触发翻转时刻，可得当初始状态为1时，各个电路输出端Ｑ的波形分别如图（a ）、（b ）、（c ）、（d ）、（e ）和（f ）所示，其中具有计数功能的是：（a ）、（b ）、（d ）、（e ）和（f ）。
第8、9章习题解答分析
第8章习题解答8-2下面说法正确的是：（）（A ）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有电荷； （B ）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （C ）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （D ）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。
解：[答案：D]高斯定理的原意。
8-3一半径为R 的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R 处的电场强度（）（A ）0?/σε （B ）0/2σε （C ）/4σε0 （D ）0/8σε 解：[答案：C]利用均匀带电球面的场强公式计算02004qq r πε==F E r ，其中σπ24R q =, R 2r =8-4下列说法正确的是( )(A) 电场强度为零的点，电势也一定为零 (B) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零 (C) 电势为零的点，电场强度也一定为零(D) 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零 解：[答案：D].根据场强与电势的微分关系或积分关系均可以证明。
8-5在静电场中，电势不变的区域，场强必定为 。
解：[答案：0] 根据场强与电势的微分关系或积分关系均可以证明。
8-6一个点电荷q 放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为 ，若将点电荷由中心向外移动至无限远，则总通量将 。
解：[答案：0/6q ε, 将为零]，第一空：根据高斯定理知：正六面体的六个对称面组成的闭合面总通量为0εq，故每个面是总量的61。
第二空：根据高斯定理：总通量仅与面内电荷有关。
只要将点电荷由中心移动至六面体外，则该点荷对闭合面的总通量将没有贡献。
8-8电量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，则球内球外的静电能之比 。
解：[答案：5：6]利用⎰=RV E W 020d 21内内ε及⎰∞=R V E W d 2120外外ε计算。
其中dr r dV 24π=，304R Qr E πε＝内，204r QE πε＝外。
基础化学李保山第二版8-氧化还原反应习题答案
8 氧化还原反应习题解答(p222-226)1. 用氧化值法配平下列各氧化还原方程式。
（1）3Cu 2S +22HNO 3 = 6Cu(NO 3)2 +3H 2SO 4 +10NO+8H 2O （2）NH 4NO 2 = N 2 + 2H 2O（3）(NH 4)Cr 2O 7 = N 2 + Cr 2O 3 +4H 2O（4）3As 2S 3 + 28HNO 3+4 H 2O = 6 H 3AsO 4 + 9H 2SO 4 +28 NO （5）K 2Cr 2O 7 + 3H 2S +4 H 2SO 4 = Cr 2(SO 4)3 + 3S + 7H 2O + K 2SO 4 （6）2Na 2S 2O 3 + I 2 = Na 2S 4O 6 + 2NaI （7）2 MnO 4－+3 Mn 2++2 H 2O =5 MnO 2 +4 H +（8）4[Co(NH 3)6]2++ O 2 +2H 2O = 4 [Co(NH 3)6]3++ 4OH -2. 用离子-电子法配平下列方程式。
（1-11）为酸性介质，（12-14）为碱性介质 (1) Cr 2O 72－+ 3H 2O 2 + 8H += 2 Cr 3++ 3O 2 +7 H 2O (2) 2 MnO 4－+5 SO 32－+6 H += 2Mn 2++ 5 SO 42－+3 H 2O (3) ClO 3－+ 6I - + 6H += Cl - +3 I 2 + 3H 2O(4) 5NaBiO 3(s) + 2Mn 2++14 H += 5Na ++5 Bi 3++ 2 MnO 4－+7 H 2O (5) H 2S +2 Fe 3+= S +2Fe 2++ 2H +(6) 3P 4(s)+20HNO 3(浓)+8 H 2O =12H 3PO 4+20NO (7) 2FeS 2+30HNO 3Fe 2(SO 4)3+30NO 2+H 2SO 4+14H 2O (8) 7PbO 2+2MnBr 2+14HNO 37Pb(NO 3)2+2Br 2+2HMnO 4+6H 2O(9) 28HNO 3+3As 2S 3+4H 2O 9H 2SO 4+6H 3AsO 4+28NO (10) As 2S 5+10NO 3-+10H +2H 3AsO 4+10NO 2+5S+2H 2O (11) 2Bi 3++3S 2O 32-+3H 2O Bi 2S 3+3SO 42-+6H + (12) Cl 2 + 2OH -== Cl - + ClO -+ H 2O(13) 2[Cr(OH)4]-+ 3H 2O 2 + 2OH -== 2 CrO 42－+8H 2O (14) SO 32－+ Cl 2 +2OH -==2 Cl - + SO 42－+ H 2O3. (1)逆向进行(2) )(0=θ/Sn n θ+24V E E 15.=++S)(=θ/MgMg θ-V E E 37.22-=+)(2.370.15=-θ-θ+θV E E E 52.2=+=∴正向进行(3) )1.09(==θ/Br Br θ+-2V E E)(77.0==θ/Fe e F θ-+2+3V E E )(32.0=0.77-1.09=-=θ-θ+θV E E E∴正向进行(4) )(=θ/Pbθ+2V E E 13.0-=+Pb )(=θn/Z n θ-2V E E 76.0-=+Z )(0-0.13=-θ-θ+θV E E E 63.076.=+=∴正向进行4.（1）V n n E 55.1100.1)0.1(10.0lg 50592.051.1)M /O M (4824=⨯⨯+=-+-（2）V E 67.110.00.1lg 10592.072.1)Ce /Ce (34=+=++（3）VcK E E HAc 17.01075.110.0lg 0592.000.0lg 10592.0)/H H ()HAc/H (522-=⨯⨯+=+=-+θθ（4）Vc K g E E Cl sp 341.0100.1108.1lg 0592.0799.0lg 10592.0/Ag)A ()AgCl/Ag (210+=⨯⨯+=+=--+-θθ(5)Vc c c c c c E E 40.018.058.0)100.1(0.10.1lg 40592.058.0)/)(/()/(lg 40592.0)O /S SO ()O /S SO (6226OH O S 2SO 232232322323223-=+-=⨯⨯+-=+=--------θθθθ（6）Vc c p p E E O 564.0)100.1(100/0.10lg 40592.0401.0)/(/lg 40592.0)/OH O ()/OH O (434OH 222=⨯+=+=----θθθ5. 解答：（1）2Ag +(0.10 mol·L -1) + Cu(s) ==2Ag(s) + Cu 2+(0.010 mol·L -1) 电池符号： (-) Cu|Cu 2+(0.010 mol·L -1)||Ag +(0.10 mol·L -1)|Ag (+) 电极反应： (+) Ag ++e = Ag(s) (-) Cu-2e = Cu 2+电动势∶V c c g E A g E Ag 740.010.0lg 0592.0799.0lg 10592.0/Ag)A ()g /A (+=+=+=+++θθV c c C Cu E C Cu E Cu 278.0010.0lg 20592.0337.0lg 20592.0)u /()u /(222+=+=+=+++θθV C Cu E A g E E 462.0278.0740.0)u /()g /A (2=-=-=++（2）MnO 2(s)+ 2Cl -(12 mol·L -1) + 4H +(12 mol·L -1) = Mn 2+(1.0 mol ·L -1) + Cl 2(100kPa) + 2H 2O(l) 电池符号：(-) Pt, Cl 2(100kPa)|Cl -(12.0 mol·L -1)||Mn 2+(1.0mol·L -1),H +(12.0 mol·L-1)|MnO 2(s),Pt(+) 电极反应：(+) MnO 2+ 4H ++2e== Mn 2++ 2H 2O\(-) 2Cl —2e== Cl 2 电动势∶Vc c c c E E Mn 36.10.112lg 20592.023.1/)/(lg 20592.0)/Mn MnO ()/Mn MnO (44H 22222+=+=+=++++θθθV c c p p E E Cl 30.1121lg 20592.036.1)/(lg 20592.0)/Cl Cl ()/Cl Cl (22Cl 222+=+=+=--θθθV E 06.030.136.1=-=（3）H 3AsO 3(0.10 mol·L -1)+ I 2(s) + H 2O(l) = H 3AsO 4(1.0 mol·L -1) + 2I -(0.010 mol·L -1) +2H +(0.10 mol·L -1) 电池符号：(-) Pt|H 3AsO 4 (1.0 mol·L -1), H +(0.10 mol·L -1), H 3AsO 3(0.10 mol·L -1)||I -(0.010mol·L -1)|I 2(s), Pt (+) 电极反应： (+) I 2+2e =2I -(-) H 3AsO 3+ H 2O-2e = H 3AsO 4+2H +电动势∶34332H AsO H 34333433H AsO 2(/)(/)0.0592(H AsO /H AsO )(H AsO /H AsO )lg2/0.0592 1.0(0.10) 0.559lg 0.52920.10c c c c E E c c Vθθθθ+=+⨯=+=+22222I 0.059210.05921(I /I )(I /I )lg 0.536lg 0.6542(/)2(1.010)E E V c c θθ----=+=+=⨯E = 0.654-0.529=0.125V（4）Cr 2O 72－(1.0 mol·L -1) + 6Fe 2+(0.10 mol·L -1) +14H +(1.0 mol·L -1) = 2Cr 3+(0.10 mol·L -1) + 6Fe 3+(1.0 mol·L -1) + 7H 2O(l) 电池符号：(-)Pt|Fe 3+(1.0 mol·L -1), Fe 2+(0.10 mol·L -1)||Cr 2O 72－(1.0mol·L -1), Cr 3+(0.10mol·L -1), H +(1.0 mol·L -1)|Pt (+) 电极反应：(+) Cr 2O 72－+14H ++6e = 2Cr 3++ 7H 2O(-) Fe 2+-e = Fe3+电动势∶227314Cr O H 232327272Cr (/)(/)0.0592(Cr O /Cr )(Cr O /Cr )lg 6(/)c c c c E E c c θθθθ-++-+-+=+1420.0592(1.0)(1.0)1.33lg 1.356(0.10)V =+= 323232Fe Fe /0.0592 1.0(Fe /Fe )(Fe /Fe )lg 0.7710.0592lg 0.8301/0.10c c E E Vc c θθθ++++++=+=+=+E =1.35-0.830=0.52V6. 解答：（1） E =E (+)-E (-)θθθc c c c E E E /lg 20592.0440.0/lg 20592.0)/Fe Fe ()/Fe Fe ()(22Fe Fe 22+++-=+==+++ Vc c E E E 822.0100.1lg 20592.0763.0/lg 20592.0)/Zn Zn ()/Zn Zn ()(2Zn 222-=⨯+-=+==--+++θθ 0.293= -0.440+(0.0592/2)lg c (Fe2+)+0.822 c (Fe2+)=1.0×10-3(mol ·L -1) （2）(-)Ag ∣Ag +(y mol·L -1)‖Ag +（1.0×10-1mol·L -1）∣Ag (+) E =0.0592V ，求负极Ag +的浓度。
电路理论课后习题解答08
电路理论课后习题解答08第八章相量法8-1如果已知I1？？5秒？314t？60?? a、 i2？10罪？314t？60?? a、 i3？4cos？314t？60?? a、（1）写出上述电流的相量并绘制相量图；（2） I1和I2之间以及I1和I3之间的相位差；（3）绘制I1的波形图；(4)若将i1表达式中的负号去掉将意味着什么？(5)求i1的周期t和频率f。
解决方案：（1）I1？？5秒？314t？60 5秒？314t？60?? 180度？A.5秒？314t？120度？i2？10si？n3t1？4.因此，I1、I2和I3的相量表达式为.??6?041ts?3?1?0coo30i1?52??120a,i2?o.102??30a,i3?o.42?60aO其相量图如图（a）所示5+ji1?t?060?120??0??30+1-2.5-5t(a)题解8-1图(b)(2)? 12?? 1.2.90度？13?? 1.3.有关180o（3）波形图，请参见图（b）(4)意味着i1的初相位超前了180o，即i1的参考方向反向。
(5)t?220ms，f?1t?50hz8-2如果已知具有相同频率的两个正弦电压的相量为U1？50? 30，u2？？100?? 150伏o..其频率f?100hz。
求：(1)写出u1,u2的时域形式；(2)u1与u2的相位差。
解决方案：（1）OU1？T502cos？2.英尺？30度？？502cos？628t？30点？五、u2?t1002cos?2?ft?150.o.o??1002cos?628t?150?180oo??1002cos?628t?30o?v（2） u1？50? 30岁，u2？100? 30ov，所以相位差是？？0，即它们是同相的。
8-3已知三个电压源的电压分别为：ua?2202cos??t?10??v，乌布？2202cos？？T110? 五、加州大学？2202cos？？T130?? v、求：（1）三个电压之和；(2)uab,ubc；(3)画出它们的相量图。
8数字系统设计习题解答
A．字母
B．数字
C．字母或数字
D．下划线
23． 在 VHDL 中，目标信号的赋值符号是
。
A． =：
B．=
C． ：=
D．<=
习题
1．说明自顶向下的设计方法及步骤。 首先从系统设计入手，在顶层将整个系统划分成几个子系统，然后逐级向下，再将每 个子系统分为若干功能模块，每个功能模块还可以继续向下划分成子模块，直至分成许多 最基本模块实现。 2.说明 CPLD I/O 控制块的功能。 I/O 控制块允许每个 I/O 引脚单独地配置为输入、输出和双向工作方式。所有 I/O 引脚 有一个三态缓冲器，它控制的信号来自一个多路选择器，可以选择全局输出使能信号中的 一个或者直接连接到地（GND）或电源（Vcc）上。当三态缓冲器的控制端接地时，输出 为高阻态，此时 I/O 引脚可用作专用输入引脚。当三态缓冲器的控制端接高电平（Vcc）时， 输出被使能 3.以 Cyclone IV 系列 FPGA 为例，逻辑单元 LE 能否同时实现组合逻辑电路和时序逻 辑电路？ 从图 8.2-18 可知，LUT 输入除了来自互连阵列，也来自触发器的输出，也就是说触发 器的输出反馈到 LUT 的输入端，便于构成计数器、状态机等时序电路。LUT 的输出可以 直接送到互连阵列，触发器的输入也可以不来自 LUT 的输出，而来自触发器链输入。LUT 和触发器可以独立工作，这意味着一个逻辑单元可以同时实现组合电路和时序电路。 4.CPLD 和 FPGA 有什么不同？ FPGA 可以达到比 CPLD 更高的集成度，同时也具有更复杂的布线结构和逻辑实现。 FPGA 更适合于触发器丰富的结构，而 CPLD 更适合于触发器有限而积项丰富的结构。 在编程上 FPGA 比 CPLD 具有更大的灵活性；CPLD 功耗要比 FPGA 大；且集成度越高 越明显；CPLD 比 FPGA 有较高的速度和较大的时间可预测性，产品可以给出引脚到引脚 的最大延迟时间。CPLD 的编程工艺采用 E2 CPLD 的编程工艺，无需外部存储器芯片，使 用简单，保密性好。而基于 SRAM 编程的 FPGA,其编程信息需存放在外部存储器上，需
离散数学第8章习题解答
第8 章 习题解答8.1 图8.6 中,(1)所示的图为,3,1K (2) 所示的图为,3,2K (3)所示的图为,2,2K 它们分别各有不同的同构形式.8.2 若G 为零图,用一种颜色就够了,若G 是非零图的二部图,用两种颜色就够了.分析 根据二部图的定义可知,n 阶零图(无边的图)是三部图(含平凡图),对n 阶零图的每个顶点都用同一种颜色染色,因为无边,所以,不会出现相邻顶点染同色,因而一种颜色就够用了.8.3 完全二部图,,s r K 中的边数rs m -.分析 设完全二部图的顶点集s r K ,为V, 则∅==2121,V V V V V ,且是简单图,||,||21s V r V ==s r K ,,且中每个顶1V 点与中所有2V 顶点相邻,而且中任何1V 两个不同顶点关联的边互不相同,所以,边数rs m -.8.4 完全二部图s r K ,中匹配数},min{1s r =β,即等于中的1βs r ,小者. 分析 不妨设且二,s r ≤部图s r K ,中,,||,||21s V r V ==由Hall 定理可知,图中存在到1V 的完备匹配,设M 为一个完备匹配,则中顶点全1V 为M 饱和点,所以,.1r =β8.5 能安排多种方案,使每个工人去完成一项他们各自能胜任的任务.分析 设},,{1丙乙甲=V ,则为工人集1V 合, },,{2c b a V =,则为任务集2V 合.令}|),{(,21y x y x E V V V 能胜任== ,得无向图>=<E V G ,,则G 为二部图,见图8.7 所示.本题是求图中完美匹配问题. 给图中一个完美匹配就对应一个分配方案.图8.7 满足Hal l 定理中的相异性条件,所以,存在完备匹配,又因为所以,3||||21==V V ,完备匹配也为完美匹配.其实,从图上,可以找到多个完美匹配. 取)},(),,(),,{(1c b a M 丙乙甲=此匹配对应的方案为甲完成a,乙完成b, 丙完成c,见图中粗边所示的匹配. )},(),,(),,{(c a b M 丙乙甲=2M 对应的分配方案为甲完成b ,乙完成a,丙完成c. 请读者再找出其余的分配方案.8.6 本题的答案太多,如果不限定画出的图为简单图,非常容易地给出4族图分别满足要求.(1) n (n 为偶数,且2≥n )阶圈都是偶数个顶点,偶数条边的欧拉图.(2) n (n 为奇数,且1≥n )阶圈都是奇数个顶点,奇数条边的欧拉图.(3) 在(1) 中的圈上任选一个顶点,在此顶点处加一个环,所务图为奇数个顶点,偶数条边的欧拉图.分析 上面给出的4族图都是连通的,并且所有顶点的度数都是偶数,所以,都是欧拉图.并且(1),(2) 中的图都是简单图.而(3),(4)中的图都带环,因而都是非简单图. 于是,如果要求所给出的图必须是简单图,则(3),(4)中的图不满足要求.其实,欧拉图是若干个边不重的图的并,由这种性质,同样可以得到满足(3),(4)中要求的简单欧拉图.设是长度大k G G G ,,,21 于等于3的k 个奇圈(长度为奇数的圈称为奇圈),其中k 为偶数,将中某个顶1G 点与中的某2G 顶点重合,但边不重合, 2G 中某顶点与3G 中某顶点重合,但边不重合,继续地,最后将中某1-k G 顶点与中某k G 顶点重合,边不重合,设最后得连通图为G,则G 中有奇数个顶点,偶数条边,且所有顶点度数均为偶数,所以,这样的一族图满足(4)的要求,其中一个特例为图8.8中(1)所示.在以上各图中,若中有一个k G G G ,,,21 偶圈,其他条件不变,构造方法同上,则所得图G 为偶数个顶点,奇数条边的简单欧拉图,满足(3)的要求,图8.8中(2)所示为一个特殊的情况.8.7 本题的讨论类似于8.6题,只是将所有无向圈全变成有向圈即可,请读者自己画出满足要求的一些特殊有向欧拉图.8.8 本题的答案也是很多的,这里给出满足要求的最简单一些图案,而且全为简单图.(1) n (3≥n )阶圈,它们都是欧拉图,又都是哈密尔顿图.(2) 给定k (2≥k )个长度大于等于3的初级回路,即圈k G G G ,,,21 ,用8.6题方法构造的图G 均为欧拉图,但都不是哈密尔顿图,图8.8给出的两个图是这里的特例.(3)n (4≥n )阶圈中,找两个不相邻的顶点,在它们之间加一条边,所得图均为哈密尔顿图,但都不是欧拉图.(4) 在(2)中的图中,设存在长度大于等于4的圈,比如说1G ,在中找两个1G不相邻的相邻顶点,在它们之间加一条新边,然后用8.6题方法构造图G,则G 既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图,见图8.9所示的图.分析 (1) 中图满足要求是显然的.(2)中构造的图G 是连通的,并且各顶点度数均为偶数,所以,都是欧拉图,但因为G 中存在割点,将割点从G 中删除,所得图至少有两个连通分支,这破坏了哈密尔顿图的必要条件,所以,G 不是哈密尔顿图.(3) 中构造的图中,所有顶点都排在一个圈上,所以,图中存在哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图,但因图中有奇度顶点(度数为奇数的顶点),所以,不是欧拉图. 由以上讨论可知,(4) 中图既不是欧拉图,其实,读者可以找许多族图,分别满足题中的要求.8.9 请读者自己讨论.8.10 其逆命题不真.分析 若D 是强连通的有向图,则D 中任何两个顶点都是相互可达的,但并没有要求D 中每个顶点的入度都等于出度. 在图8.2 所示的3个强连通的有向衅都不是欧拉图.8.11 除不是哈密2K 尔顿图之外, n K (3≥n )全是哈密尔顿图. n K (n 为奇数)为欧拉图. 规定1K (平凡图)既是欧拉图,又是哈密尔顿图.分析 从哈密尔顿图的定义不难看出,n 阶图G 是否为哈密尔顿图,就看是否能将G 中的所有顶点排在G 中的一个长为n 的初级回路,即圈上. n K (3≥n )中存在多个这样的生成圈(含所有顶点的图), 所以n K (3≥n )都是哈密尔顿图.在完全图中n K ,各顶点的度数均为n-1,若为欧拉图n K ,则必有为偶1-n 数,即n 为奇数,于是,当n 为奇数时, n K 连通且无度顶点,所以, n K (n 为奇数) 都是欧拉图.当n 为偶数时,各顶点的度数均为奇数,当然不是欧拉图.8.12 有割点的图也可以为欧拉图.分析 无向图G 为欧拉图当且仅当G 连通且没有奇度顶点.只要G 连通且无奇度顶点(割点的度数也为偶数),G 就是欧拉图.图8.8所示的两个图都有割点,但它们都是欧拉图.8.13 将7个人排座在圆桌周围,其排法为.abdfgeca分析 做无向图>=<E V G ,,其中,},,,,,,{g f e d c b a V =},|),{(有共同语言与且v u V v u v u E ∈=图G 为图8.10所示.图G 是连通图,于是,能否将这7个人排座在圆桌周围,使得每个人能与两边的人交谈,就转化成了图G 中是否存在哈密尔顿回路(也就是G 是否为哈密尔顿图).通过观察发现G 中存在哈密尔顿回路, abdfgeca 就是其中8.14 用表示颜色i v .6,,2,1, =i i 做无向图>=<E V G ,,其中},,,,,,{654321v v v v v v V =}.,,|),{(能搭配与并且且v u v u V v u v u E ≠∈=对于任意的)(,v d V v ∈表示顶点与v 别的能搭配的颜色个数,易知G 是简单图,且对于任意的V v u ∈,,均有633)()(=+≥+v d u d ,由定理8.9可知,G 为哈密尔顿图,因而G 中存在哈密尔顿回路,不妨设为其1654321i i i i i i i v v v v v v v 中的一条,在这种回路上,每个顶点工表的颜色都能与它相邻顶点代表的颜色相.于是,让1i v 与2i v ,3i v 与4i v ,5i v 与所代表的6i v 颜色相搭配就能织出3种双色布,包含了6种颜色.8.15∑=⨯======300321,10220)deg(.12)deg(,3)deg(,1)deg(,4)deg(i i R R R R R 而本图边数m =10.分析 平面图(平面嵌入)的面的次数i R 等于包围它的边界的回路的长度,这里所说回路,可能是初级的,可能是简单的,也可能是复杂的,还可能由若干个回路组成.图8.1所示图中,321,,R R R 的边界都是初级回路,而的边界为0R 复杂回路(有的边在回路中重复出现),即432110987654321e e e e e e e e e e e e e e ,长度为12,其中边在其65,e e 中各出现两次.8.16 图8.11中,实线边所示的图为图8.1中图G,虚线边,实心点图为它的对偶图的顶点数*n ,边数*m ,面数分别为*r 4,10和8,于是有分析 从图8.11还可以发现,G 的每个顶点位于的一个面中,且的每个面只含G 的一个顶点,所以,这是连通平面图G 是具有个连通分k 支的平面图2≥k ,则应有1*+-=k n r .读者自己给出一个非连通的平面图,求出它的对偶图来验证这个结论.另外,用图8.1还可以验证,对于任意的*v (*G 中的顶点),若它处于G 的面i R 中,则应有)deg()(*i R v d =.8.17 不能与G 同构.分析 任意平面图的对偶图都是连通的,因而与都是连通图,而G 是具有3个连通分支的非连通图,连通图与非连通图显然是不能同构的.图 8.12 中, 这线边图为图8.2中的图G ,虚线边图为G 的对偶图,带小杠的边组成的图是*G 的对偶图,显然.~**G G ≠8.18 因为彼得森图中有长度为奇数的圈,根据定理8.1可知它不是二部图.图中每个顶点的度数均为3,由定8.5可知它不是欧拉图.又因为它可以收缩成5K ,由库拉图期基定理可知它也不是平面图.其实,彼得森图也不是哈密尔顿图图,这里就不给出证明了.8.19 将图8.4重画在图8.13中,并且将顶点标定.图中为图中afbdcea 哈密尔顿回路,见图中粗边所示,所以,该图为哈密尔顿图.将图中边三),(),,(),,(d f f e e d 条去掉,所得图为原来图的子图,它为3,3K ,可取},,{1c b a V =},,{2f e d V =,由库拉图期基定理可知,该图不是平面图.8.20 图8.14 所示图为图8.5所示图的平面嵌入.分析 该图为极大平面图.此图G 中,顶点数9=n ,边数若G 是.12=m 不是极大平面图,则应该存在不相邻的顶点在它们之,,v u 间再加一条边所得还应'G 该是简单平面图, 'G 的顶点数131,6''=+===n m n n ,于是会有.126313''=->=n m这与定理8.16矛盾,所以,G 为极大平面图.其实,n ( 3≥n )阶简单平面图G 为极大平面图当且仅当G 的每个面的次数均为3.由图8.14可知,G 的每个面的次数均为3,所以,G 为极大平面图.8.12 答案 A,B,C,D 全为②分析 (1) 只有n 为奇数时命题为真,见8.11的解答与分析.(2) 2≠n 时,命题为真,见8.11的解答与分析.(3) 只有都是偶m n ,数时,m n K ,中才无奇度数顶点,因而为欧拉m n K ,图,其他情况下,即中至少有m n ,一个是奇数,这时中必有m n K ,奇度顶点,因而不是欧拉图.(4) 只有m n =时, m n K ,中存在 哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图. 当m n ≠时,不妨设m n <,并且在二部图m n K ,中,m V n V ==||,||21,则n V m V G p =>=-||)(11,这与定理8.8矛盾. 所以, m n ≠时, m n K ,不是哈密尔顿图.8.22 答案 A:②;B ②;C ②.分析图8.15中,两个实边图是同构的,但它们的对偶力(虚边图)是不同构的.(2) 任何平面图的对偶图都是连通图.设G 是非连通的平面图,显然有.**~G G ≠ (3) 当G 是非连通的平面图时,,1*+-=k n r 其中为G 的k 连通分支数.8.23 答案 A:④;B ②;C ②.分析 根据库期基定理可知,所求的图必含有或同胚5K 3,3K 子图,或含可收缩成或的子图5K 3,3K .由于顶点数和边数均已限定,因而由加23,3K 条边的图可满足要求,由增加一个5K 顶点,一条边的图可满足要求,将所有的非同构的简单图画出来,共有4个,其中由产生3,3K 的有2个,由产生的有5K 2个.见图8.16所示.。
习题解答8----带传动
潘存云教授研制
① 松边的内侧; ② 松边的外侧;
③ 紧边的内侧; ④ 紧边的外侧.
使带只受单向弯曲
2. 带传动不能保证精确的传动比,原因是__③___. ① 带容易变形和磨损; ② 带在轮上打滑; ③ 带的弹性滑动; ④ 带材料不遵守虎克定律.
2
3. 在同样初拉力的条件下，V带所产生的摩擦力 大致为平带的__④___. ① 一半; ② 一倍; ③ 2倍; ④ 3倍.
增大1的措施: 1.增大中心距,尽量水平布置;
Fe c
2 F0
e fv1 -1 e fv1 1
1
1800
-
dd 2 - dd1 a
57.50
2.可能时,减小传动比
3.紧边在下,松边在上.
潘存云教授研制
17
5 带传动为什么要限制最大中心距、最大传动比、 最小带轮直径？
答：1.中心距过大，将引起严重抖动.
④ 增大小带轮基准直径dd1.
18.带传动采用张紧装置的目的是____④____
① 减轻带的弹性滑动 ; ② 提高带的寿命 ;
③ 改变带的运动方向 ; ④ 调节带的初拉力.
8
二. 填空题 1. 带工作时,带上的应力由 __紧__边__、__松__边__拉__应___力_
_弯__曲__应__力___; _离__心__拉__应__力 三部分组成. 带的最大应力发生在__紧__边__与__小__轮__的__接__触__处___.
9. V带传动设计中，为什么要限制带的根数？ 限制条件是什么？
10. 某一普通 V带传动装置工作时有两种输入转速： 300r/min和600r/min，若传递的功率不变， 试问该传动应该按哪种转速设计？为什么？
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R
bR 4 2 E 外 dS E外 4r
0
E外
bR 4 4 0 r 2
11、两个同心的均匀带电球面，半径分别为 R1=5.0cm，R2 =20.0cm，已知内球面的电势 为 U1=60V，外球面的电势 U2= 30V．求： (1) 内、外球面上所带电量； (2) 在两个球面之间何处的电势为零。 解： （1） U R1R2
E dS E 2rh
q
0
r R1
q q
1
0 1h (1 2 )h
E1 0
R1 r R2 r R2
2
E2
E3
1 2 0 r
1 2 2 0 r
q
3
（2） E1 和 E 2 不变， E 3 0 9、一厚度为 d 的无限大平板，均匀带电，体电荷密度 为 ，求平板体内、外场强的分布，并以其对称面为 坐标原点作出 E x 的分布曲线。 解：在平板内外取图示高斯面，由高斯定理 E dS
q 6πε0 l
8
大学物理(下)习题册参考解答
16、在静电透镜实验装置中，有一均匀带电的圆环，内半径为 R1，外半径为 R2，其电荷 面密度为 (负电)，现有一电子沿着轴线从无限远射向带负电的圆环，欲使电子能穿过 圆环，它的初始动能至少要多大? 解：设电子在无穷远处初动能为 Ek ,0 点电子动能 0
r R O q A
S 0 4r 2 ， 通量
0
q
0
球冠面积
S 2r (r r c o s ) 通量
x
) 1 c o s S 2r 2 (1 c o s 2 0 S0 2 4r
q (1 cos ) 1 cos 0 ( ) 2 0 2
A
⊕
+q
O 2
q D
q 4 0 l
q 0 4 0 l
UD q 6πε0 l
q q q 4πε0 3l 4πε0 l 6πε0 l
A1 q(U 0 U D ) U 0 U D
(2)
A2 (U 0 U )
E Ey
0 4 0 R
方向：沿 y 轴负方向。 6、 “无限长”均匀带电的半圆柱面，半径 ‘ 为 R， 设半圆柱面沿轴线 OO 单位长度上 的电荷为 ，求轴线上一点的电场强度。 解：
d
dl d R d dE 2 d 20 R 2 0 R
rR
又因
2 E d S 内 E内 4r
q
0
3 4
U2 U1 R1
q2 q1 R2
q
E内
r
0
br 4r dr 4br dr br
2 0
r
br 4 br 2 4 0 r 2 4 0
R 0
rR
q dV
4brr 2 dr b 4r 3dr bR 4
dE
sin d dl 0 2 40 R 40 R
dEx dE cos dEy dE sin
Ex
2 0 sin cos d 0 40 R 0 2 0 Ey cos 2 d 0 40 R 0 4 0 R
R2
A e(U 0 U ) E K E K
R1
U0
dq 4 0 r
R1
R2
2rdr 4 0 r
( R 2 R1 ) 2 0
e ( R2 R1 ) 2 0
E K eU 0
17、一电偶极子原来与均匀电场平行，将它转到与电场反平行时，外力作功为 A，则当 此电偶极子与场强成 45角时，此电偶极子所受的力矩为多少? 解： A
Md PE sin d 2PE
0
M PE sin 45
A 2 2 2
2A 4
( A Pe E ( Pe E) 2 Pe E )
9
大学物理(下)习题册参考解答
18、如图所示，三块互相平行的均匀带电大平面，电荷密度 -4 2 -4 2 -4 2 为 1=1.2×10 C/m ， 2=0.2×10 C/m ，3=1.1×10 C/m ， 1 2 A 点与平面 II 相距为 5.0cm，B 点与平面 II 相距 7.0cm，求: (1) A、B 两点的电势差； -8 (2) 把电量 q 0= 1.0×10 C 的点电荷从 A 点移到 B 点，外力 A B 克服电场力作功多少? I II 3
r R
（2） r R
(R 2 r 2 ) 4 0
rR
U E d r
r
——
R
R 2 r ln 2 0 R
C
15、如图所示，AB=2，弧 OCD 是以 B 为中心， 为半径的半圆。 A 点有点电荷+q， B 点有点电荷q。 (1) 把单位正电荷从 O 点沿弧 OCD 移到 D 点，电场力作了多少功? (2) 若把单位负电荷从 D 点沿 AB 的延长 线移到无穷远处，电场力作功又为多少? 解： （1） U 0
d
q
0
S x
x
d d x 2 2
E
E1
1
2 xS d S 2 E1 S
0
x 0
d 2
d S E d S 2 E2 S 2
E
x
d 2
or x
0
d /2
x
E2
d 2 0
5
大学物理(下)习题册参考解答
10、 半径为 R 的非金属球带有正电荷， 电荷体密度随径向距离的变化满足 =br， 其中 b 为常数，r 为离球心的距离，求球内、外场强的分布。 解：由于 与 r 成线性关系，电场分布仍有球对称性，故可由高斯定理求解。 作同心球面为高斯面
cos 30 2
所以
Q
3 q 3
Q
2、线电荷密度为的无限长均匀带电线，分别弯成 如图 (a) 和 (b) 所示的两种形状，若圆半径为 R， 试求(a)、(b) 图中 O 点的场强。 解：图（a）由两根半无限长带电直线和一段圆弧组 成，方向如图所示。根据矢量合成
A
E1（B） E2 O R B （a） A E1（B） E2 E3（A） B （b）
α
E3（A）
EO E1 E 2 E3 E 2
2 EO E 2 4 0 R
tg
Ey Ex
1
= 45° 即与水平成 45°
图（b）由两根半无限长带电直线和一段半圆弧 组成，方向如图所示。根据矢量合成
E Ox E 2 2 E1 cos 45 0
解法二：
h
R E ds E cos ds
0
q cos 2x d x 4 0 ( x 2 h 2 )
2π x d x
R
0
q 1 h 2 2 2 4πε0 (x h ) (x h 2 )1 ]
2
=
q h [1 2 2 0 ( R h 2 )1
R R
2xd 4 0 ( 2 x 2 ) 2
3
x
2 0 ( R x )
2 2 1 2
方向沿 x 轴方向
2
大学物理(下)习题册参考解答
5、半径为 R 的带电细圆环，其电荷线密度为
0 sin ，式中 0 为一常数， 为半径 R 与 x
轴所成的夹角，如图所示。求环心 O 处的电场强 度。 解：
rR
rR
R Q 3R 2 r 2 U E dl E1 dl E 2 dl 8 0 R 3 r r R
13、一均匀带电细杆，长为 =15.0cm，电荷线密度 2.0 10 7 C / m 求: (1) 细杆延长线上与杆的一端相距 a=5.0cm 处的电势。 (2) 细杆中垂线上与细杆相距 b=5.0cm 处的电势。 解： （1） dU
dq λdx 4πε0 (l a x) 4πε0 (l a x)
O
dq
l
a
x
U
4πε
0
l
λdx 2.5 10 3 V 0 (l a x )
（2） dU
l 2
dx
4 0 x 2 b 2
U
4
l 2
dx
0
x b
2
2
4.3 10 3 V
+ +
+
R
dq dl Rd
（
2Q ） R
dE
Rd d 2 4 0 R 4 0 R cos d 4 0 R
0
-
o
-
-
dE y dE cos
E y 2 dE cos 2 2
d Q 方向沿y 方向 cos 40 R 0 2 R 2
R2
q1 4 0 r
2
R1
dr
q1 4 0
(
1 1 ) 60 (30) 90V R1 R2
q1 6.67 10 10 C
又
U R1
q1 4 0 R1 q2
q2 4 0 R2
60V
q 2 1.33 10 9 C
（2）令 r 处 U（r）=0 即
2
q (1 cos ) 2 0
4
大学物理(下)习题册参考解答
8、无限长的两个共轴直圆筒，半径分别是 R1 和 R2，两圆筒面都均匀带电，沿轴线方向 单位长度所带的电量分别是 1 和 2 。 （1）求离轴线为 r 处的电场强度 E。 （2）当 2 1 时，各处的电场强度 E 如何? 解： （1）作高为 h 的同轴圆柱形高斯面，由高斯定理