第六章 广义逆矩阵

第六章 广义逆广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。

本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵{}1-逆及矩阵Moore-Penrose 逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin 逆的基本性质。

§6.1 广义逆矩阵的概述广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。

设n C 为复n 维向量空间，m n C ⨯为复m n ⨯矩阵全体。

设矩阵m n A C ⨯∈，考虑线性方程组Ax b = （6-1） 其中，m b C ∈为给定的m 维向量，n x C ∈为待定的n 维向量。

定义1 若存在向量n x C ∈满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。

众所周知，当A 为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解1x A b -=，其中1A -是A 的逆矩阵。

当A 为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求n x C ∈，使得 ()min y R A Ax b y b ∈-=- （6-2）成立，其中代表任意一种向量范数，{}(),m n R A y C y Ax x C =∈=∀∈。

上述两种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式x Gb =，其中，G 是某个n m ⨯矩阵？ 这个矩阵G 是通常逆矩阵的推广。

1920年，E.H. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore 的方程过于抽象，并未引起人们的重视。

1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。

定义2 设矩阵m n A C ⨯∈，若存在矩阵n m X C ⨯∈满足下列Penrose 方程 （1）AXA A =； （2）XAX X =； （3）()H AX AX =； （4）()H XA XA =则称X 为A 的Moore-Penrose 逆，记为A +。

例1 由Moore-Penrose 逆的定义不难验证（1） 若1100A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则102102A +⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （2） 若na C ∈，则2H a a a+=，其中2H a a a =；（3） 若nm C O O O B A ⨯∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=，其中r r C B ⨯∈是可逆矩阵，则 1B O A O O -+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦mn C ⨯∈；（4） 若A 是可逆矩阵，则1A A +-=。

定理1 对于任意矩阵m n A C ⨯∈，其Moore-Penrose 逆存在并且唯一。

证明 存在性。

设矩阵m n A C ⨯∈有奇异值分解HO A P Q O O ∑⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 其中m m P C ⨯∈，n n Q C ⨯∈为酉矩阵，1diag(,,)r σσ∑=，A 的正奇异值为1,,r σσ，rank()A r =。

容易验证1H O X Q P O O -⎡⎤∑=⎢⎥⎣⎦满足定义2中的四个Penrose 方程，所以，A +总是存在的。

唯一性。

设,X Y 均满足定义2中的四个Penrose 方程，则()()()H H H H H H H H HX X AX XX A XX A Y A X AX AY ====()()=()H H H H H H HHHXAXAY XAY XAYAY XA YA Y A X A Y Y A Y Y YA Y YAY Y========所以A +是唯一的。

更一般的，为了不同的目的，人们定义了满足Penrose 方程中任意若干个方 程的广义逆。

定义3 设矩阵m n A C ⨯∈，若矩阵n m X C ⨯∈满足Penrose 方程中的（i ），（j ）， ，（l ）等方程，则称X 为A 的{},,,i j l -逆，记为(,,,)i j l A 。

由定义3与定义1可知，(1,2,3,4)A A +=。

因为对于任意{}{},,,1,2,3,4i j l ⊂都有A +为A 的{},,,i j l -逆，所以利用定理1可知(,,,)i j l A 总是存在的。

但是除了A +是唯一确定的之外，其余各种{},,,i j l -逆矩阵都不是唯一确定的，因此将A 的{},,,i j l -逆全体记为{},,,A i j l 。

如果按照满足Penrose 方程个数进行分类，{},,,i j l -逆矩阵共有1234444415C C C C +++=种。

但应用较多的是以下5种： {1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3,4}A A A A A ，其中，(1){1}A A A -=∈最为基本，{1,2,3,4}A A +=最为重要。

(1,2){1,2}r A A A -=∈称为自反广义逆，(1,3){1,3}l A A A -=∈称为最小二乘广义逆，(1,4){1,4}mA A A -=∈为极小范数广义逆。

例2 设矩阵11122122A A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中11A 为可逆矩阵，且122211112A A A A -=，则容易验证{}1111A O A O O -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

例3 设矩阵m n A C ⨯∈。

（1）若rank()A m =，此时H m m AA C ⨯∈为可逆矩阵，容易验证1(){1,2,3}H H X A AA A -=∈;（2）若rank()A n =，此时H n n A A C ⨯∈为可逆矩阵，容易验证1(){1,2,4}H H X A A A A -=∈。

除了以上{},,,i j l 广义逆矩阵之外，还有群逆、Drazin 逆等另外一些广义逆矩阵。

1967年，Erdelyi 给出如下群逆的概念。

定义4 设矩阵n n A C ⨯∈，若矩阵n n X C ⨯∈满足 （1）AXA A =； （2）XAX X =； （3）AX XA =； 则称X 为A 的群逆，记为#A 。

从定义4可以看出，群逆#A 是一个特殊的(1,2)A ，虽然(1,2)A 总是存在的，但是这种群逆未必存在。

为了介绍Drazin 逆的定义，下面先给出方阵指标的概念。

定义5 设矩阵n n A C ⨯∈，称满足1rank()rank()k k A A +=的最小非负整数k 为A 的指标，记作Ind()A k =。

若矩阵A 是非奇异的，则Ind()0A =，若矩阵A 是奇异的，则Ind()1A ≥。

1958年，Drazin 给出如下Drazin 逆的概念。

定义6 设矩阵n n A C ⨯∈，其指标为k ，若存在矩阵n n X C ⨯∈满足 （1）k k A XA A =； （2）XAX X =； （3）AX XA =；则称X 为A 的Drazin 逆，记作D A 。

易见，若矩阵A 的指标为1，则A 的Drazin 逆就是群逆。

§6.2 {}1-逆的性质与计算由于{}1-逆是最基本、最重要的一种广义逆，本节将给出{}1-逆的基本性质与计算方法。

6.2.1 {}1-逆的存在性定理1设矩阵m n A C ⨯∈，其秩为r 。

若矩阵A 的等价标准形为rE O PAQ O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 其中,P Q 分别为m 阶和n 阶可逆矩阵，则矩阵A 的所有{}1-逆的集合为12(1)()()()()1221222122{1},,r r m r n r r n r m r E B A A Q P B C B C B C B B ⨯--⨯-⨯-⎧⎫⎡⎤⎪⎪==∈∈∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭。

证明 设矩阵X 为A 的任意一个{}1-逆，则其满足AXA A =。

于是，111111rrrE O E O E O P Q XP Q P Q OO O O O O ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

因为,P Q 分别为m 阶和n 阶可逆矩阵，上式等价于11rrrE O E O E O Q XP O O O O O O --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

令1112112122BB Q XP B B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则由上式可以推出11r B E =，而122122,,B B B 是任意的，故12112122rE B Q XP B B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 即122122rEB X Q P B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

因此，此定理结论成立。

由此定理的证明过程可知矩阵A 的{}1-逆一定存在，但由于122122,,B B B 的任意性得矩阵A 的{}1-逆不唯一。

6.2.2 {}1-逆的基本性质关于{}1-逆的基本性质，有如下定理。

定理2 设矩阵m n A C ⨯∈，R λ∈，则 （1）(1)(1)(1)(1)()(),()()T T H H A A A A ==；（2）若矩阵n n n A C ⨯∈，则(1)1A A -=，并且A 的{}1-逆是唯一的； （3）(1)(1)()A A λλ+=，其中100λλλλ+⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；（4）设,P Q 分别为m 阶和n 阶可逆矩阵，则(1)1(1)1()PAQ Q A P --=；（5）(1)rank()rank()A A ≤；（6）(1)AA 与(1)A A 都是幂等矩阵，且(1)(1)rank()rank()rank()A AA A A ==。

证明 利用6.1节定义3，可以直接验证此定理的（1）-（4）成立。

（5） 由于(1)(1)(1)rank()rank()rank()rank()A AA A AA A =≤≤，所以结论成立。

（6） 由于(1)2(1)(1)(1)()AA AA AA AA ==， (1)2(1)(1)(1)()A A A AA A A A ==，所以，(1)AA 与(1)A A 都是幂等矩阵。

又由于(1)(1)rank()rank()rank()rank()A AA A AA A =≤≤，所以(1)rank()rank()A AA =，同理(1)rank()rank()A A A =，因此，结论成立。

6.2.3 {}1-逆的计算定理1给出利用等价标准形求{}1-逆的方法。

例1 已知矩阵0130241545710A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，求{1}A ，并具体给出一个(1)A 。

解答 由于3401301002415010457100011000000010000000100000001000AE E O -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1100020201010000003211151000022013000000100000001000⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，现令1202100321P ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，1151022130********Q ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以矩阵A 的等价标准形为 100001000000PAQ ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，利用定理1可得2122122211221222122{1},,E B A Q P B C B C B C B B ⨯⨯⨯⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈∈∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭； 令122122,,B B B 均为零矩阵时，得到一个最简单的{1}-逆如下：(1)1151110010202022220100130********000100003210000001000A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。