-一元二次方程的整数根分析
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
一元二次方程整数根问题的几种思维策略
一元二次方程整数根问题的几种思维策略一、利用判别式例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥-. 综上所述，54-≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m≠0 ∴ m=123.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a .（1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系；（2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根,∴ Δ=,04)2(22≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a ,∴ a+b ＞0,a －b ≥0.∴ b a ≥. …………………………2分（2） ∵ a ∶b，∴ 设2,a k b ==(k ＞0).解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=，得 -3x k k =-或.当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =.当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25k =-（不合题意，舍去）.∴ 4,a b ==. …………………………5分（3）当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）.设z ＝3x －y ，则3y x z =-.画出函数2812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分二、利用求根公式例2．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
一元二次方程整数根问题的解法技巧
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、 利用一元二次方程根与系数的关系求 解
・94・ 重庆
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期)
一元二次方程整数根问题的解法技巧
( 云南省曲靖市会泽县大井镇一中 654222) 朱家海
在近些年来的初中数学竞赛中, 经常出现含参数 的一个或几个一元二次方程有整数根的问题, 这类试 题或求整数根或求参数或求含参数的代数式的值, 其 类型繁多涉及的知识面广, 解法灵活多样且技巧性极 强. 本文试对这类问题的常用解法技巧系统归纳如下, 供读者参考.
x2 0 x2 0 bx 0 -
( 1) 判别式 ∃ = b2 - 4ac 为参数的一次式
① 结合已知, 利用 ∃ ≥ 0 求出参数的范围. 例 3 ( 1997 年江西省赣州地区初三数学竞赛题) k 为何整数时, 关于 x 的一元二次方程 kx 2 - 4x + 4 = 0 和 x 2 - 4kx + 4k 2 - 4k - 5 = 0 的根都是整数. 解析: 设两方程的判别式分别为 ∃ 1 , ∃ 2 , 则依题意, 有
- x ± 28 - 3x 2 , ∴ 当x 2 (x 2 - 7)
四、 方程中参数均为一次则分离参数求解
11 分离参数后, 依参数范围列不等式求解
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点，也是近几个全国初中数学竞赛考试的一个热点。
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解。
实际上，经常要用到根的判别式、完全平方数的特征和数整除性的性质，以及这几种方法的结合来解题。
下面举几个常见的例子：例1，当 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解法1：首先，m2-1≠0，m≠±1。
Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3。
用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2。
这时x1=6，x2=4。
解法2 ：首先，m2-1≠0，m≠±1。
设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5。
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根。
归纳：解法1先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题；解法2利用韦达定理，得到两个整数，再利用整数的整除性质求解。
例2，已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值。
分析：“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根。
我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来。
解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5。
例3，设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。
-一元二次方程的整数根
第6讲 一元二次方程的整数根精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累的成果。
我也是慢慢学来的，而且还要继续不断的学习。
-----阿贝尔知识方法扫描1．当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。
然后利用其根是整数的要求来解不定方程。
此时因参数k 的条件不同，常有两种处理方法。
其一是k 为整数，这时只需注意分式形式的解中，分子是分母的倍数即可；其二是k 为实数，此时应该消去参数k ，得到关于两根的关系式，也就是关于两根的不定方程，再解此不定方程即可。
2．我们知道一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有实数根x ＝ab 2∆±-。
所以要使整系数的一元二次方程方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.故处理此类问题，常可用判别式来解决。
又可细分为两类：（1）先求参数范围。
可利用题设参数的范围，直接求解；也可由不等式△≥0求出参数的范围.再求解。
（2）再设参数法，即设△＝k 2（k 是整数）。
当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解.此外，对有理系数的二次方程有有理根的问题，上述解法也是适用的。
3．韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质，我们也常用它来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题，常用的方法有：（1） 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.（2） 利用“当两根为整数时，其和、积必为整数”来解。
4．在含有参数的一元二次方程中，参数和未知数都是用字母表示的，通常是将未知数看作是主元必要时也可反过来将参数看成是主元，即将方程看成是以参数为未知数的方程，这种方法就是变更主元法。
（1）当方程中参数的次数为一次时，可将参数直接用未知数表示出来，再利用已知参数的范围或性质来求解。
一元二次方程的整数根问题讲解
一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于x 的一元二次方程()0222=++-x m mx .（1）证明:不论m 为何值,方程总有实数根;（2）m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明:()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵()22-m ≥0∴△≥0∴不论m 为何值,方程总有实数根;（2）解:()0222=++-x m mx ()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++= ∵m 为整数,21,x x 为正整数∴1=m 或2=m由题意可知:12≠m,∴2≠m ∴1=m .点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx∴01=-x 或02=-mx ∴mx x 2,121==. （2）若把题目改为“已知关于x 的方程()0222=++-x m mx .”结果又将如何? 例2. 已知关于x 的一元二次方程05242=+--m x x 有两个不相等的实数根.（1） 求实数m 的取值范围;（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m 的值.分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即0>∆,建立关于参数m 的不等式求解;（2）这里对参数m 的要求比较苛刻,有三点:①m 的值是整数;②保证方程的两个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的m 的值进行检验.解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:21>m ; （2）由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得:2521<<m ∵m 为整数∴1=m 或2=m .当1=m 时,0342=+-x x ,解之得:3,121==x x ,符合题意;当2=m 时,0142=+-x x ,解之得:32,3221-=+=x x ,不符合题意,舍去. 综上所述,整数m 的值为1.例3. 已知关于x 的一元二次方程()01222=+++-k k x k x .（1）求证:无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）如果方程的两个实数根为21,x x ,且k 与21x x 都为整数,求k 所有可能的值. 分析:（1）只需证明无论k 取何值,都有0>∆即可;（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为21,x x ,共有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明:()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）解:()01222=+++-k k x k x21122112±+=±+=k k x ∴k k x k k x =-+=+=++=2112,1211221或1,21+==k x k x 当k x k x =+=21,1时,k k k x x 11121+=+= ∵k 与21x x 都为整数 ∴1-=k 或1=k ;当1,21+==k x k x 时,111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵k 与21x x 都为整数 ∴0=k 或2-=k .综上所述,1-=k 或1=k 或0=k 或2-=k . 例4. 关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m .（1）求出方程的根;（2）m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数? 解:（1）由题意可知:01≠-m ,1≠m . ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴111,1121=--=-+=m m x m m x ; （2）∵m 为整数,21,x x 为正整数121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴11=-m 或21=-m∴2=m 或3=m .。
一元二次方程整数根问题求解方法导析
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（责任编辑 赵良河）
中学生数理化 （初中版 ・ 初三使用）
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$， )， 1， +!
欲使 "&， 则 ! 应 取 $， 故所求的整数 ! "$ 均为正整数， )! 注 意 到 !!) ， 的值为 $! 二、 判别式法 例" 设 # 为自然数， 且 13#31-! 若方程 "$%$#$#%)’"*1#$%&1#*/, 求 # 的值 ! - 的两根均为整数， 导析： 方程两根均为整数， 4 # ,1#$#%)’$%1#1#$%&1#*/’,1#$#*&’ ，
导析： 如果我们只把注意力盯在 两 个 方 程 及 ! 为 整 数 上 ， 很容易钻 的牛角尖 ! 进 “设法求出两个方程的根， 再去求出 ! 的值” 实际上， 由于两个方程都有实数根， 所以 ! *!’ ， ! "!’! 这样便躲过 一元二次方程的求根公式， 直接找到 ! 所在的范围 !
! *&+#$,"#$-!-$!’. 即 */#*/!!’ ， !"*!
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(基础)
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； （2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； （3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+； ④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦12||x x -== ⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨12x x -==⑩12||||x x +===(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)???2x 2+3x-4=0 (2)ax 2+bx=0(a≠0)【答案与解析】(1) 2x 2+3x-4=0a=2, b=3, c=-4,? ∵Δ=b 2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0? ∴方程有两个不相等的实数根.(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，? ∵Δ=b 2-4·a·0=b 2,? ∵无论b 取任何关数，b 2均为非负数，∴Δ≥0， 故方程有两个实数根.【总结升华】根据ac b42-的符号判定方程根的情况. 举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例2（1）】【变式】不解方程，判别方程根的情况：2210x ax a -++= .【答案】无实根.2．（2015?本溪）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0.【答案】k ＜2且k≠1； 【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0，解得：k ＜2且k ≠1．故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：证明根的情况---例3】 【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【思路点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k -6＝0，从而k ＝-7． 设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7． 【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12b x x a +=-，12c x x a=易得另一根及k 的值． 举一反三：【高清课堂：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（二）---例2】【变式】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值．【答案】另一根为-1；c 的值为-3．4．（2015?咸宁）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【答案与解析】解：（1）△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解方程得，x=，x1=2m，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．。
一元二次方程的求根公式及根的判别式
一元二次方程的求根公式及根的判别式主讲：黄冈中学高级教师余国琴一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名__________1.利用判别式例1.（2000年黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴22164(445)0m m m =---≥ 得54m ≥-综上所述，－45≤m ≤1∴x 可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m ≠0 ∴ m=1 例2．（1996年四川竞赛题）已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。
解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m=－(x 1+x 2)为负整数.∴244m m =+-一定是完全平方数设2244m m k +-=（k 为正整数）∴22(2)8m k +-=即：(2)(2)8m k m k +++-=∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩ 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。
当m=－5时 ，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。
2.利用求根公式例3.（2000年全国联赛）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=-由求根公式得222642(6)2(68)k k k x k k -++±-=-+即 12241,142x x k k =--=---- 由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=--=-++ 两式相减，得1224211x x -=++ 即 12(3)2x x +=-由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==-分别代入，易得k=310，6，3。
一元二次方程的整数根
所有可能的 p 值为 p = 3 或 p = 7 . 说明 :利用判别式是完全平方数 , 进而解 一个不定方程是求解一元二次方程整数根的 常用方法 . 例2 已知 a 、 b、 c 都是整数 , 且对一切 实数 x , 都有 ( x - a) ( x - 2 005) - 2 = ( x - b) ( x - c) 成立 . 求所有这样的有序数组 ( a , b , c) . 分析 : ( x - a) ( x - 2 005) - 2 = ( x - b) ( x - c ) 恒成立 , 即 x 2 - ( a + 2 005 ) x + ・ 2 005 a - 2 = ( x - b) ( x - c) 恒成立 , 这说明 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = 0 有两个整数根 b 、 c. 解 :由题设知 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = ( x - b) ( x - c) 恒成立 , 故 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = 0 有两个整数根 b 、 c. 所以 , Δ = ( a + 2 005) 2 - 4 ( 2 005 a - 2) = ( a - 2 005) 2 + 8 是完全平方数 . 令其为 n 2 , n 是正整数 , 则 ( n - a + 2 005) ( n + a - 2 005) = 8 . 由于 n - a + 2 005 与 n + a - 2 005 奇 偶性相同 , 且均大于 0 , 所以 , n - a + 2 005 = 2 , n - a + 2 005 = 4 , 或 n + a - 2 005 = 4 n + a - 2 005 = 2. 解得
二次函数与整数根的问题
整数根问题把传统的方程知识与古老的整数理论相结合; 不但涉及解方程、根的判别式等知识，而且又关联着整 除、奇数与偶数的性质等整数知识. 整数根也是研究初中数学中的“数”与“形”关联问题 的一个非常奇妙的“桥梁”； 通过对整数根的探索，能提高学生利用方程建立数学模 型来解决问题的能力和综合运用知识的能力.
a 1 2 x2 1 a 1 a 1
利用整除性求解
①从求根入手：若根可用有理式表示， 则求出根，结合整除求解；
a 1 = 1, 2
例2
当 m 是什么整数时，关于 x 的
2
一元二次方程 mx 4 x 4 0 与
x2 4mx 4m2 4m 5 0
④巧选主元：当方程中参数次数较低时，选择参 数为主元求解;
例 1 已 知 关 于 x 的 二 次方 程
2 a 1 x 2x a 1 0
的根都是整
数，求符合条件的整数 a.
a 1
4a
2
判别式为完全 平方，可求根
a 1 x1 1, x2 a 1
转化为分解分式
方程整数根
小专题---有理根、整数根问题（不深入）
解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本方法有： ①从求根入手：若根可用有理式表示， 则求出根，结合整除求解； ②运用判别式：在二次方程有解的前提下 运用判别式求出参数或根的取值范围， 通过枚举讨论、不等分析求解；或利用奇偶性求解 ③ 利用韦达定理的关系：有韦达定理得到含参数的关 系式，消元参数，利用因数分解、因式分解解含两根 的不定方程
整数，求 m.
4 2m 1
判别式非完全平方式，不求 根．结合已知列不等式
9 2 m 1 81.
一元二次方程的公共根与整数根(讲义)
一元二次方程的公共根与整数根（讲义）知识点睛一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程a某2b某c0(a0)的实根情况，可以用判别式b24ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程a某2b某c0(a0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴b24ac为完全平方数；⑵bb24ac2ak或bb24ac2ak，其中k为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．例题精讲一、一元二次方程的公共根【例1】求k的值，使得一元二次方程某2k某10，某2某(k2)0有相同的根，并求两个方程的根．ABC【例2】设a,b,c为ABC的三边，且二次三项式某22a某b2与某22c某b2有一次公因式，证明：一定是直角三角形．【例3】三个二次方程a某2b某c0，b某2c某a0，c某2a某b0有公共根．⑴求证：abc0；a3b3c3⑵求的值．abc【例4】试求满足方程某2k某70与某26某(k1)0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．【例5】二次项系数不相等的两个二次方程(a1)某2(a22)某(a22a)0和abba的值．(b1)某(b2)某(b2b)0(其中a，b为正整数)有一个公共根，求baab222二、一元二次方程的整数根【例6】k为什么实数时，关于某的方程(6k)(9k)某2(11715k)某540的解都是整数？【例7】若关于某的方程6k9k某211715k某540的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______个．【例8】已知a是正整数，如果关于某的方程某3(a17)某2(38a)某560的根都是整数，求a的值及方程的整数根．【例9】若k为正整数，且关于k的方程(k21)某26(3k1)某720有两个相异正整数根，求k的值．【例10】关于某的二次方程(k26k8)某2(2k26k4)某k24的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．【例11】当m为何整数时，方程2某25m某2m25有整数解．【例12】已知关于某的方程4某28n某3n2和某2(n3)某2n220，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．【例13】求所有有理数r，使得方程r某2(r1)某(r1)0的所有根是整数．【例14】已知关于某的方程某2(a6)某a0的两根都是整数，求a的值．【例15】已知k为常数，关于某的一元二次方程(k22k)某2(46k)某80的解都是整数，求k的值．【例16】已知p为质数，二次方程某22p某p25p10的两根都是整数，请求出p的所有可能的值．【例17】已知12m40，且关于某的二次方程某22(m1)某m20有两个整数根，求整数m．abm2【例18】若一直角三角形两直角边的长，a、b(ab)均为整数，且满足．试求这个直角三ab4m角形的三边长．【例19】关于某的方程a某22(a3)某(a2)0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．【例20】已知方程a某23a28a某2a213a150(a是非负整数)至少有一个整数根，那么a．【例21】当m是什么整数时，关于某的一元二次方程m某24某40与某24m某4m24m50的根都是整数．【例22】设m为整数，且4m40，方程某222m3某4m214m80有两个整数根，求m的值及方程的根．【例23】当m为何整数时，方程2某25m某2m25有整数解．【例24】已知方程a某23a28a某2a213a150(a是非负整数)至少有一个整数根，那么a．【例25】若关于某的方程6k9k某211715k某540的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______个．【例26】设方程m某2(m2)某(m3)0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解．【例27】已知a是正整数，且使得关于某的一元二次方程a某22(2a1)某4(a3)0至少有一个整数根，求a的值．【例28】已知关于某的方程a2某2(3a28a)某2a213a150(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．【例29】已知b，c为整数，方程5某2b某c0的两根都大于1且小于0，求b和c的值．【例30】已知a，b都是正整数，试问关于某的方程某2ab某求出来；如果没有，请给出证明．，且某1某20，【例31】已知方程某2b某c0及某2c某b0分别各有两个整数根某1,某2及某1,某20．某1某20；⑴求证：某10，某20，某10，某2⑵求证：b1≤c≤b1；⑶求b,c所有可能的值．1(ab)0是否有两个整数解？如果有，请2【例32】设p、q是两个奇整数，试证方程某22p某2q0不可能有有理根．【例33】试证不论n是什么整数，方程某216n某70没有整数解，方程中的是任何正的奇数．【例34】求方程a3bab32a22b240的所有整数解．某y(a2)某【例35】已知a为整数，关于某,y的方程组的所有解均为整数解，求a的值．23某y(a1)某2a2【例36】求方程【例37】求所有的整数对(某,y)，使某3某2y某y2y34某24某y4y247．【例38】设m是不为零的整数，关于某的二次方程m某2(m1)某10有有理根，求m的值．【例39】当m是什么整数时，关于某的一元二次方程m某24某40与某24m某4m24m50的根都是整数．【例40】a是正整数，关于某的方程某3(a17)某2(38a)某560的根都是整数，求a的值及方程的整数根．【例41】已知a,b是实数，关于某,y的方程组y某3a某2b某有整数解(某,y)，求a,b满足的关系式．ya某b某y3的所有正整数解．某2某yy27【例42】已知p为质数，使二次方程某22p某p25p10的两根都是整数，求出所有可能的p的值．【例43】设关于某的二次方程(k26k8)某2(2k26k4)某k24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．b为何值时，方程某2b某20和某22某b(b1)0有相同的整数根？并且求出它们的整数【例44】根？【例45】已知关于某的方程(a1)某22某a10的根都是整数，那么符合条件的整数a有___________个．【例46】求所有正实数a，使得方程某2a某4a0仅有整数根．【例47】方程(某a)(某8)10有两个整数根，求a的值．【例48】求所有的正整数a，b，c使得关于某的方程某23a某2b0,某23b某2c0,某23c某2a0的所有的根都是正整数．【例49】n为正整数，方程某2(31)某3n60有一个整数根，则n__________．【例50】求出所有正整数a，使方程a某22(2a1)某4(a3)0至少有一个整数根．【例51】已知方程(a21)某22(5a1)某240有两个不等的负整数根，则整数a的值是__________．【例52】不解方程，证明方程某21997某19970无整数根【例53】已知方程某21999某a0有两个质数根，则常数a________．【例54】已知方程某2m某m10有两个不相等的正整数根，求m的值．【例55】当m是什么整数时，关于某的方程某2(m1)某m10的两根都是整数？【例56】设方程m某2(m2)某(m3)0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解．【例57】已知a是正整数，如果关于某的方程某3a17某238a某560的根都是整数，求a的值及方程的整数根．【例58】若k为正整数，且关于k的方程k21某263k1某720有两个相异正整数根，求k的值．【例59】设a为质数，b，c为正整数，且满足292a2bc5094a1022b511cbc2求abc的值．。
论文：浅谈一元二次方程的整数根问题
此文发表在《中学数学杂志》2012年第6期（总第272期、教研版）上浅谈一元二次方程的整数根问题在各级各类的初中数学竞赛中,一元二次方程的整数根问题备受命题者的青睐,本文介绍几种求一元二次方程的整数根的方法以及与此有关的问题的解法.1、整系数一元二次方程整数根的求法：➊利用判别式：整系数一元二次方程有整数解时，判别式是完全平方数，利用这条性质可以确定整参数的值，但需验证这些值是否使方程的根为整数。
例1、设m 是整数，4<m<40,方程x 2-2(2m-3)x+4m 2-14m+8=0有两个整数根，求m 的值。
解：已知方程的判别式⊿=4(2m+1),它是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数。
又∵4<m<40，∴9<2m+1<81,从而2m+1=25或49, ∴m=12或者24。
代入已知方程，得：x=16,26或x=38,52.综上所述，所求m 的值为12，24。
➋利用韦达定理：利用韦达定理处理二次方程有两整数根，其思路是由x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a消去其中的参数，得整数根x 1,x 2的一个不定方程，解这个不定方程可求得其整数根，从而可确定方程中参数的值，最后需验证所求的参数值满足⊿≥0。
例2、求一切实数k,使得关于x 的方程:5x 2-5kx+66k-1=0的两根均为正整数。
解：设x 1,x 2是方程的正整数解，则⎩⎨⎧x 1+x 2=kx 1x 2=66k-15消去k,得：5x 1x 2=66(x 1+x 2)-1 ∴(5x 1-66)(5x 2-66)=4351=19×229不妨设x 1≤x 2,则 ⎩⎨⎧5x 1-66=195x 2-66=229∴x 1=17, x 2=59. ∴k=x 1+x 2=76 又⊿=25k 2-20(66k-1)=25×762-20×(66×76-1)=2102>0∴k=76为所求。
一元二次方程的整数根问题的解题策略分析
一元二次方程的整数根问题的解题策略分析摘要：一元二次方程的整数根问题是初中数学竞赛常见的题型，由于这类问题涵盖了整数的性质，一元二次方程的相关知识，并且融合了许多数学思想方法而备受命题者的青睐，然而笔者发现，许多学生在解答这类问题时，仍然没有系统的思考方法，还要走很多的弯路，有时对题目甚至无从下手。
本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行了整理，现分类讲解如下。
关键词：一元二次方程整数根整除根与系数关系一、利用一元二次方程两根的因式分解形式求解例1、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x2-mx-2m2-4=0的根为整数。
分析与解：由原方程得：x2-mx-2m2-4=4，分解因式，得(x+m)(x-2m)=4由于x、m均为整数，所以x+m、x-2m也为整数，故它们的取值有如下可能：解得，当m=0时，x=±2；当m=1时，x1=3,x2=-2；当m=-1时，x1=-3,x2=2；综上所述：当m=0、-1、1时，原方程的根为整数。
说明：当一元二次方程的根与参数都为整数时，可以利用因式分解将一元二次方程ax2+bx+c=zh整数（a≠0）化为a（x-x1）(x-x2)=整数（a≠0）的形式后再利用整除的性质求解。
二、利用一元二次方程根的判别式求解例2、m是何整数时，关于x的一元二次方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根。
分析与解：由题意可知，m2-1≠0，即m≠±1，△=36（m-3）2，发现△是一个完全平方式，即方程的两根是可以表示为两个有理式：再利用整除性，要使得x1,x2都是正整数，则m-1=1、6、2、3；m+1=1、12、2、6、3、4，即可解得m=2、3，又考虑到方程是两个不相等的实数根，所以m≠3，综上所述：m=2。
说明：当判别式△是一个完全平方式或完全平方数时，即一元二次方程的根可以用有理式表示，则可直接求出方程的两根，再结合整除的性质进行求解；例3、当m是何整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。
一元二次方程整数根问题
总结和展望
一元二次方程是数学中重要的一种方程类型，它具有广泛的应用和实际意义。未来，我们可以更深入地研究一 元二次方程的理论和应用，探索更多有趣的问题。
数学兴趣小组
如果你对数学感兴趣，可以加入你的学校或社区的数学兴趣小组，和志同道合的伙伴一起学习和探索。
图像特征
一元二次方程的图像是抛物线， 开口方向由a的正负性决定。
实际应用
一元二次方程可以用来建模和解 决现实生活中的问题，例如物体 运动、金融分析和天文学等。
一元二次方程整数根的概念
一元二次方程的整数根是指方程的解为整数的情况。我们需要找出如何判断方程是否有整数根。
1 定理
如果一元二次方程x²+px+q=0有整数根，那么它的两个根的和p和积q都是整数。
找出一元二次方程整数根的步骤和技巧
1
Step 1
先使用整除性判别法、完全平方数判别
Step 2
2
法和勾股数判别法判断方程是否有整数 根。
如果方程有整数根，可以使用试除法找
出正负两个根的可能值。
3
Step 3
将可能值带入方程验证，如果能够满足 方程的等式，则找到了方程的整数根。
一元二次方程整数根问题的实际应用
2 推论
当p和q都是整数时，一元二次方程x²+px+q=0可能有整数根。
判断一元二次方程是否有整数根的方法
整除性判别法
若方程的常数项q是一个质数 或一个质因数个数不超过2的 合数，则该方程没有整数根。
完全平方数判别法
若方程的判别式b²-4ac是一 个完全平方数，则该方程有 整数根。
勾股数判别法
若方程的系数a、b、c都是整 数，且a、b、c的最大公约数 为1，且有一个解为a、b、c 的三元组满足勾股定理，则 该方程有整数根。
专题四(一元二次方程的整数解)
专题四（一元二次方程的整数解）方法一：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解.例1. 若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数的值有____________个。
思维点拨 先利用因式分解法求出方程的根，再利用整数理论进行分析。
1. 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有-___________ 个2. 已知k 是整数，且关于x 的方程22(1)3(31)180k x k x ---+=有两个不相等的正整数根，求k 的值。
方法二：从判别式入手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数设（2k ∆=），通过穷举，逼近求解。
例2 当m 为整数时，关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=是否有有理根？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由。
举一反三：已知方程2264320x x n n ---=的根式整数，求整数n 的值。
方法三：从变根主元入手，当方程中参数次数比较低时，可以考虑以参数为主元求解。
例4试求出所有这样的正整数a,使得二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根。
方法四：从韦达定理入手从根与系数的关系去消去参数，得关于两根的不定方程，借助因式分解、因式分解求解。
（重点）例1.求满足如下条件的所有k 值：使关于x 的方程2(1)(1)0kx k x k +++-=的根都是整数。
1.试确定一切有理数r,使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根。
2.若a 、b 都是整数，方程220080ax bx +-=的相异两根都是质数，则3a+b 的值为（ ）。
3.求使方程20x pqx p q -++=有整数根的所有整数p 和q 。
能力提升：1.已知a 、b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请把他们求出来；如果没有，请给出证明。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题整数根问题是指求解方程中的根为整数的问题。
对于一元二次方程，其解可以通过求根公式得到，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)要使方程的解为整数，那么√(b^2 - 4ac) 必须是一个整数，并且分子(-b ± √(b^2 - 4ac))能够被2a整除。
现在我们来讨论一元二次方程整数根问题的求解方法。
首先，我们需要判断方程是否有整数解。
根据韦达定理，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根x1和x2的和等于-b/a，两个根的乘积等于c/a。
因此，如果b^2 - 4ac是一个完全平方数，并且b也能够被2a整除，那么方程就存在整数解。
接下来，我们需要找出满足上述条件的完全平方数以及能够整除b的2a的因子。
对于完全平方数的判断，一种常见的方法是通过试除法，即从1开始逐个尝试将数字平方，并与b^2 - 4ac进行比较。
如果找到一个平方数等于b^2 - 4ac，则方程存在整数解；否则，方程不存在整数解。
对于能够整除b的2a的因子的查找，我们可以通过因式分解的方式来获取对应的因子。
具体步骤如下：1.判断方程是否有整数解：- 计算判别式D = b^2 - 4ac；-判断D是否为完全平方数：（此处省略使用试除法判断完全平方数的具体步骤）；-判断b是否能够被2a整除；2.若方程有整数解，则寻找满足条件的解：-进行因式分解：将2a进行因式分解，找出所有的因子；-判断每个因子能否整除b；-若能整除b，则代入一元二次方程并计算解；通过上述步骤，我们可以找到一元二次方程的整数根。
需要注意的是，在实际求解过程中，可能会遇到以下情况：-判别式D不是一个完全平方数；-方程的系数a和b的范围较大；-存在复数解或实数解而非整数解；对于D不是完全平方数的情况，方程不存在整数解。
此时，我们可以考虑使用其他方法，如试除法、辗转相除法等寻找方程的实数或复数解。
一元二次方程的整数解问题
张雪云（四川省成都外国语学校 ６１１７００）张雪云四川省资阳市人，研究生学历，中学一级，四川省赛课一等奖，主要研究方向：数学学科教学。
含未知参数的一元二次方程无法直接求具体解，即使通过求根公式也只能得到含参数的两个根和判别式，无法得到方程参数的值．但是在若题目中隐含方程有根的条件，可以通过该条件得到判别式不小于零的约束，根据这个约束条件可得方程的未知参数的范围．由于求根公式带有除法运算，如果已知方程的根为整数，那么求根公式的分母必须是分子的约数．通过题目中隐含的这两个条件，通常可得方程的解和未知参数只能是可数的几个值，只需要把这几个值通过枚举的方式列出来就是题目的解．下面就常见题型、常用技巧以及求解问题所用的知识点作细致的讨论．１．分解因式 因式分解是得到含参一元二次方程的根的最快捷的方式．能够因式分解的一元二次方程我们首选因式分解，它的核心在于利用质因数分解或分离常系数法求解，再利用整数的性质及整除性理论解决问题．例１ 已知一元二次方程（ｍ－２）ｘ２－（２ｍ－５）ｘ＋（ｍ－３）＝０的根都是整数，求整数ｍ的值．分析 用因式分解得到两根为１和ｍ－３ｍ－２，题中要求方程的根和参数ｍ都是整数，因此我们对ｍ－３ｍ－２分离常数，用整数的性质及整除性理论即可解决问题．解 根据题意得ｍ≠１且Δ＝１＞０，因式分解，得（ｘ－１）［（ｍ－２）ｘ－（ｍ－３）］＝０，解得ｘ１＝１，ｘ２＝ｍ－３ｍ－２＝１－１ｍ－２，因为ｍ为整数且根都为整数，所以ｍ－２＝±１，可得ｍ的值为２或０．例２ 已知一元二次方程ａ２ ｘ２－（４ａ２＋ａ）ｘ＋３ａ２＋７ａ－６＝０至少有一个整数根，求自然数ａ的值．分析 此题相对例１而言，只是方程较为复杂，我们仍然用因式分解分解方程，求出含参解，用整数的性质及整除性理论解决问题．解 因为ａ２ ｘ２－（４ａ２＋ａ）ｘ＋３ａ２＋７ａ－６＝０是一元二次方程，所以ａ≠０，因式分解，得［ａｘ－（ａ＋３）］［ａｘ－（３ａ－２）］＝０，解得ｘ１＝１＋３ａ，ｘ２＝３－２ａ，因为ａ为自然数，当ｘ１为整数根时，ａ＝１或３，当ｘ２为整数根时，ａ＝１或２．综上所述，ａ的值为１或２或３．例３ 当整数ｍ为何值时，关于ｘ的方程２ｘ２＋３ｍｘ＋ｍ２＝３有整数解．分析 此题相对例１、例２而言，共同之处是方程左边能因式分解，不同之处是方程的右边是一个不为０的常数３，从而不能解出含参解，针对这种情况，我们对质因数３进行分解，利用参数和根都为整数的条件用枚举的方法一一枚举．解 因式分解，得（ｘ＋ｍ）（２ｘ＋ｍ）＝３，因为ｍ，ｘ都是整数，所以ｘ＋ｍ＝３，２ｘ＋ｍ＝１，｛ｘ＋ｍ＝－３，２ｘ＋ｍ＝－１，｛·１３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版ｘ＋ｍ＝１，２ｘ＋ｍ＝３，｛ｘ＋ｍ＝－１，２ｘ＋ｍ＝－３，｛即ｘ＝－２，ｍ＝５，｛ｘ＝２，ｍ＝－５，｛ｘ＝２，ｍ＝－１，｛ｘ＝－２，ｍ＝１，｛所以ｍ＝±１或±５．注 当方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）可分解为（ｘ－ｍ）（ｘ－ｎ）＝ｋ（ｍ，ｎ，ｋ均为整数）时，可以将整数ｋ分解为两个整数ｋ１，ｋ２的乘积形式，即ｘ－ｍ＝ｋ１，ｘ－ｎ＝ｋ２｛或ｘ－ｍ＝ｋ２，ｘ－ｎ＝ｋ１，｛一一枚举求解．例４ 关于ｘ的一元二次方程（ｍ２－６ｍ＋８）ｘ２＋（２ｍ２－６ｍ－４）ｘ＋ｍ２－４＝０的两根都是整数，求实数ｍ的值．分析 本题的参数ｍ没有限定为整数的条件，因此我们考虑把参数ｍ消去，列出解的关系式，和例３一样利用质因数分解，通过枚举一一解出答案．解 因式分解，得［（ｍ－２）ｘ＋（ｍ＋２）］［（ｍ－４）ｘ＋（ｍ－２）］＝０，求得两根为ｘ１＝－１－４ｍ－２，ｘ２＝－１－２ｍ－４．显然ｘ１≠－１且ｘ２≠－１，则ｍ－２＝－４ｘ１＋１，ｍ－４＝－２ｘ２＋１，两式相减，得２＝－４ｘ１＋１＋２ｘ２＋１，整理化简，得ｘ２（ｘ１＋３）＝－２，因为ｘ１，ｘ２为整数，则ｘ１＝－５，ｘ２＝１，｛ｘ１＝－４，ｘ２＝２，｛ｘ１＝－２，ｘ２＝－２，｛ｘ１＝－１，ｘ２＝－１，｛（舍），所以ｍ＝３或６或１０３．２．韦达定理 当方程无法因式分解时，可考虑选择韦达定理进行参数枚举或消去参数．特别注意：用韦达定理一定要检验Δ≥０．例５ 已知ａ为正整数，关于ｘ的方程ｘ２＋（ａ＋１６）ｘ＋４２＝０的根都是整数，求ａ的值．分析 此题无法因式分解，我们可通过韦达定理得到根与系数的关系，利用参数和根为整数的约束条件分解质因数，直接枚举参数的值，从而解决问题．解 设方程的两根为ｘ１，ｘ２，则根据题意，得ｘ１＋ｘ２＝－（ａ＋１６）＜０，ｘ１ｘ２＝４２＞０，｛则ｘ１，ｘ２都是负整数，４２可分解为－１×（－４２）＝－２×（－２１）＝－３×（－１４）＝－６×（－７），所以ｘ１＋ｘ２＝－４３，－２３，－１７，－１３，所以ａ＝２７，７，１，－３，又因为ａ为正整数且Δ≥０，所以ａ＝２７，７，１．例６ 关于ｘ的方程ｋｘ２＋（２ｋ＋１）ｘ＋２ｋ－１＝０的根都是整数，求ｋ的值．分析 此题方程类型未明确，因此我们先对ｋ＝０和ｋ≠０两种情况进行讨论．当ｋ＝０时，方程转化为一元一次方程，易判断根的情况，进行取舍；当ｋ≠０时，通过韦达定理得到根的关系式，但此题的参数没有约束条件，和例５的情况不一样，因此我们考虑消去参数得到和、积关系式，对和、积关系式进行变形处理后，利用根为整数的条件分解质因数或分离常数求解．解 （１）当ｋ＝０时，ｘ－１＝０，ｘ＝１成立．（２）当ｋ≠０时，设两根为ｘ１，ｘ２，由韦达定理，得ｘ１＋ｘ２＝－（２ｋ＋１）ｋ＝－２－１ｋ，ｘ１ｘ２＝２ｋ－１ｋ＝２－１ｋ，烅烄烆①②由②－①，得 ｘ１ｘ２－ｘ１－ｘ２＝４，所以（ｘ１－１）（ｘ２－１）＝５，因为方程的根为整数，所以ｘ１－１＝１，－１，５，－５，ｘ２－１＝５，－５，１，－１，｛所以ｘ１＋ｘ２＝８或－４，·２３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期所以ｋ＝－１１０或１２，当ｋ＝－１１０时，Δ＝４２５＞０，成立；当ｋ＝１２，Δ＝４＞０，成立，所以ｋ＝－１１０或１２．综上所述，ｋ＝－１１０或１２或０．３．判别式法 不能因式分解，也无法用韦达定理消去参数，或者解为有理数时，可选择判别式法，通过计算Δ，若有整数解必然有Δ是个完全平方数，来解出参数．例７ 已知整数ｍ，ｎ满足２ｍ２＋ｎ２＋３ｍ＋ｎ－１＝０，求ｍ，ｎ的值．分析 可以把已知等式看做以ｍ为主元的一元二次方程，ｎ为其参数，根据方程有解可以得到Δ≥０，然后求解关于ｎ的不等式方程，从而得到参数的取值范围，又根据参数ｎ为整数的条件直接枚举，即可解决问题．解 将２ｍ２＋ｎ２＋３ｍ＋ｎ－１＝０看做关于ｍ的一元二次方程，即２ｍ２＋３ｍ＋ｎ２＋ｎ－１＝０，要使方程有实数解，则必有Δ＝－８ｎ２－８ｎ＋１７≥０，所以ｎ＋１２（）２≤１９８，即－１９８槡－１２≤ｎ≤１９８槡－１２，又因为ｎ为整数，所以ｎ＝－２，－１，０，１，当ｎ＝－２时，ｍ１＝－１，ｍ２＝－１２（舍去）；当ｎ＝－１时，ｍ无整数解；当ｎ＝０时，ｍ无整数解；当ｎ＝１时，ｍ１＝－１，ｍ２＝－１２（舍去）；综上所述，ｍ＝－１，ｎ＝－２或１．注 对于二元方程可看做关于一个元的二次方程，由ｍ，ｎ为实数，则Δ≥０，从而求出ｎ的取值范围，应有“多元转为少元”的意识．例８ 已知关于ｘ的方程ｘ２－８ｘ－ｎ２＋８ｎ＋３３＝０的根都是整数，求整数ｎ的值．分析 此题如果我们继续用例７的方法，即Δ≥０，我们发现时ｎ２－８ｎ－１７≥０，解集为ｎ≥槡３３＋４或ｎ≤－槡３３＋４，若用枚举的方法将非常繁琐，因此我们可以令ｎ２－８ｎ－１７＝ｔ ２，通过配方和因式分解，结合质因数分解来解决问题．解 因为方程ｘ２－８ｘ－ｎ２＋８ｎ＋３３＝０有解，所以Δ＝４ｎ２－３２ｎ－６８≥０，又因为方程的根都是整数，所以Δ＝４（ｎ２－８ｎ－１７）为完全平方数，即ｎ２－８ｎ－１７为完全平方数．设ｎ２－８ｎ－１７＝ｔ ２，ｔ为自然数，所以（ｎ－４）２－ｔ ２＝３３，即（ｎ－４＋ｔ）（ｎ－４－ｔ）＝３３，注意到ｎ－４＋ｔ≥ｎ－４－ｔ，所以ｎ－４＋ｔ＝３３，ｎ－４－ｔ＝１，｛或ｎ－４＋ｔ＝１１，ｎ－４－ｔ＝３，｛或ｎ－４＋ｔ＝－３，ｎ－４－ｔ＝－１１，｛或ｎ－４＋ｔ＝－１，ｎ－４－ｔ＝－３３，｛解得ｎ＝２１，ｔ＝１６，｛或ｎ＝１１，ｔ＝４，｛或ｎ＝－３，ｔ＝４，｛或ｎ＝－１３，ｔ＝－１６，｛所以ｎ＝２１，１１，－３，－１３．注 当方程存在有理数解时，令Δ＝ｔ ２，其中ｔ为自然数，此时分两种情况：如果判别式Δ为二次式，通过配方和因式分解，结合质因数分解等数论方法求解；如果判别式Δ为一次式，将原参数用ｔ表示，解出两根关于ｔ的表达式，从而求出ｔ．·３３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版。
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第6讲 一元二次方程的整数根精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累的成果。
我也是慢慢学来的，而且还要继续不断的学习。
-----阿贝尔知识方法扫描1．当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。
然后利用其根是整数的要求来解不定方程。
此时因参数k 的条件不同，常有两种处理方法。
其一是k 为整数，这时只需注意分式形式的解中，分子是分母的倍数即可；其二是k 为实数，此时应该消去参数k ，得到关于两根的关系式，也就是关于两根的不定方程，再解此不定方程即可。
2．我们知道一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在△＝b 2－4ac ≥0时有实数根x ＝ab 2∆±-。
所以要使整系数的一元二次方程方程有整数根，必须△＝b 2－4ac 为完全平方数，并且－b ±∆为2a 的整数倍.故处理此类问题，常可用判别式来解决。
又可细分为两类：（1）先求参数范围。
可利用题设参数的范围，直接求解；也可由不等式△≥0求出参数的范围.再求解。
（2）再设参数法，即设△＝k 2（k 是整数）。
当△＝k 2为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当△＝k 2为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解.此外，对有理系数的二次方程有有理根的问题，上述解法也是适用的。
3．韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质，我们也常用它来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题，常用的方法有：（1） 从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程.（2） 利用“当两根为整数时，其和、积必为整数”来解。
4．在含有参数的一元二次方程中，参数和未知数都是用字母表示的，通常是将未知数看作是主元必要时也可反过来将参数看成是主元，即将方程看成是以参数为未知数的方程，这种方法就是变更主元法。
（1）当方程中参数的次数为一次时，可将参数直接用未知数表示出来，再利用已知参数的范围或性质来求解。
（2）当方程中参数的次数为二次时，可考虑以参数为主元构造一个二次方程，再运用前述的方法（如利用判别式，韦达定理）来处理。
经典例题解析例1．(1995年山东省初中数学竞赛试题)k 为什么整数时，方程(6－k )(9－k )x 2－(117－15k )x ＋54＝0的解都是整数？分析 此方程的系数均为整数，而且方程的左边可以直接分解成两个整系数的一次因式，故可考虑直接求根来解答此题。
另外此题的条件中并未说明方程是一元二次方程，故还应考虑二次项系数为0，原方程是一次方程的情况。
解 若k=6, 则x=-2; 若k=9, 则x=3；若k ≠6且k ≠9，原方程可化为 [(k-6)x-9][(k-9)x-6] = 0 ,故方程的二根为 x 1＝69-k ，x 2＝96-k .为使x 1 和x 2都是整数，则应有k -6 = ±1,±3,±9 ， k=-3,3,5,7,9,15;还应有k -9 = ±1,±2, ±3,±6, k=3,6，7,8,10,11,12，15. 所以k=3,7,15时，x 1 和x 2都是整数，综上所述，当k 值为3，6，7，9，15时方程的解都是整数。
例2 (2000年全国初中数学联赛试题)设关于x 的二次方程(k 2－6k ＋8)﹒x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋k 2＝4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.分析 此题也可通过直接求根法求出二根，但是它的条件与例1不同，例1中的参数k 是整数，而本题中的参数k 是实数。
因此求得二根后不能像例1那样讨论，因为使x 1（或x 2）为整数的实数k 有无穷多个，所以要先消去k ，得到关于x 1，x 2的不定方程，先求出这个不定方程的整数解，然后再反过来求k 的值。
解 将原方程变形得 (k －2)(k －4)x 2＋(2k 2－6k －4)x ＋(k －2)(k ＋2)＝0. 分解因式得 [(k －2)x ＋k ＋2][(k －4)x ＋k －2]＝0.显然，k ≠2，k ≠4.解得x 1＝－42--k k = 421---k ； x 2＝－22-+k k =241---k . 于是有 1241+-=-x k ， 1422+-=-x k （x 1≠-1, x 2≠-1） 两式相减消去k 整理得 x 1x 2＋3x 1＋2＝0即 x 1(x 2＋3)＝－2.于是有 ⎩⎨⎧=+-=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=.23,121x x 或⎩⎨⎧=+-=.23,121x x 解得⎩⎨⎧-=-=;2,221x x 或⎩⎨⎧-==;4,221x x 或⎩⎨⎧-==;5,121x x 或⎩⎨⎧-=-=.1,121x x (舍去) 因为 1241+-=-x k ,当 x 1 = -2 时， k=6; 当 x 1 = 2 时， k=310;当 x 1 = 1 时， k=3. 经检验，k =6，3，310 都满足题意。
. 例3．（2000年广东奥林匹克学校高中入学考试数学试题）求当m 为何整数时，关于x 的一元二次方程mx 2-6x+9=0与x 2-4mx+4m 2-4m-5=0的根都是整数。
分析 从此题的两个方程无法得到用有理式形式表示的二根，但方程有整数根的前提是有实数根，我们可以先求出两个方程有实根的条件，从而求出参数m的取值范围，再由m 是整数的条件，确定其值。
不过最后还得代入验证此时的方程是否根都是整数。
解 依题意有⎪⎩⎪⎨⎧≥----≥--≠0)544(4)4(036)6(0222m m m m m 解得145≤≤-m ，且m ≠0.又m 为整数，故m = ±1。
当m =1时，方程mx 2-6x+9=0的二根均为1，方程x 2-4mx+4m 2-4m-5=0的二根为-1和5，符合要求。
当m =-1时，方程mx 2-6x+9=0的二根均不是整数,不符合要求.所以仅当m=1时，方程的两根都是整数。
例4． (1996年上海市初中数学竞赛试题)若关于x 的方程ax 2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数根，且a 为整数，求a.分析 此题和上题不同在于：若利用判别式求出参数a 的取值范围，计算后会发现，满足此范围的整数a 有无数多个，无法一一验证。
注意到要使整系数的一元二次方程方程有整数根，必须判别式为完全平方数。
本题的判别式是关于参数a 的一次式，一般可以设其为t 2（t 为非负整数），再将方程的根用t 表示出来从而求得其整数解。
解 当a = 0时，方程为-6x-2=0，无整数解。
当a≠0时，方程为一元二次方程，要使方程至少有一个整数根，必须判别式为完全平方数。
∵△=4(a-3)2-4a(a-2)=4(9-4a), ∴9-4a 为完全平方数。
设9-4a = t 2（t 为正奇数，且t≠3）, 则 a=492t -. 此时，方程的二根为 x 1,2=a t a 2262±+- = -1+ a t ±3= -1 + 4932t t -± = -1+29)3(4tt -± x 1= -1+t +34 , x 2= -1+t-34 要使x 1为整数，而t 为正奇数，只能t=1，此时a=2;要使x 2为整数，t 只能为1,5,7，此时a = 2,-4,-10.综上所述，a 的值为2,-4,-10.例5 (2004年全国初中数学联赛试题)已知方程x 2-6x-4n 2-32n=0的根都是整数，求整数n 的值。
分析1 此题与上题的差别在于其判别式是关于参数的一次式，而是二次式，就不能用代入法了。
此类问题一般采用因式分解的方法求解。
解法1 因二次方程的根都是整数， 故△=4n 2+32n+9应为完全平方数。
设 4n 2+32n+9=k 2(k>0,k 为整数)，即(2n+8)2-k 2=55，所以 (2n+8+k)(2n+8-k)=55因2n+8+k> 2n+8-k, 故可得如下4个方程组⎩⎨⎧=-+=++1825582k n k n ，⎩⎨⎧=-+=++5821182k n k n ，⎩⎨⎧-=-+-=++5582182k n k n ，⎩⎨⎧-=-+-=++1182582k n k n 分别解得n=10,n=0,n=-18,n=-8.分析2 因4n 2+32n+9=k 2又可以看作是关于n 的一元二次方程，本题也可以再用判别式来求解。
解法2 因二次方程的根都是整数，故△1=4n 2+32n+9应为完全平方数。
设 4n 2+32n+9=k 2(k>0,k 为整数)，即4n 2+32n+9-k 2=0。
将其看作关于n 的一元二次方程，其判别式也应为完全平方数，即△2=322-4×4×(9-k 2)=16(k 2+55) 为完全平方数设k 2+55=t 2, (t>0,t 为整数), 即 (t + k)( t - k)=55因t+k>t-k 故可得如下4个方程组⎩⎨⎧=-=+155k t k t ,⎩⎨⎧=-=+511k t k t ，⎩⎨⎧-=--=+551k t k t , ⎩⎨⎧-=--=+115k t k t , 分别解得k=27, 3, -27或-3，于是 4n 2+32n+9=272，或4n 2+32n+9=33，分别解得n=10, n=-18,n=-8, n=0. 所以整数n 的值为-18,-8,0,10.例6（1996年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试题）求使关于x 的方程 (a+1)x 2-(a 2+1)x+2a 3-6=0有整数根的所有整数a解 当a=-1时，方程为 -2x-8=0,x=-4 为整数根；当a≠-1时，Δ=-7a 4-8a 3+2a 2+24a+25若a≥2，由于-a 4+2a 2<0,-6a 4+24a<0,-8a 3+25<0,所以Δ<0，原方程无实根； 若a≤-2，由于-4a 4-8a 3<0,-2a 4+25<0,-a 4+2a 2<0,24a<0,所以Δ<0，原方程无实根； 当a=0时，原方程变为x 2-x-6=0 ，二根为-2，3；当a=1时，原方程变为2x 2-2x-4=0 ，二根为 -1，2。
综上所述，仅当a=-1,0,1,原方程才有可能有整数根评注1 本题条件中的有整数根，应该理解成至少有一个整数根。
2 本题中的判别式是一个四次式，不易求出其取值范围。
上面的解法是先对判别式的取值用分类讨论结合放缩的方法求出其范围来，再对这个范围中的整数逐一讨论。