2014年高考北京卷数学理试题及答案解析

2014年高考北京卷数学理试题及答案解析

一、选择题

1. [2014•北京理卷]

1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( )

.{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D

【答案】C

【解析】∵{}2,0=A ，∴{}{}{}2,02,1,02,0==I I B A . 2.[2014•北京理卷]

下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）

.A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+

【答案】A

【解析】由初等函数的性质得选项B 在()1,0上递减，选项C 、D 在()+∞,0为减函数，所以排除B 、C 、D. 3.[2014•北京理卷]

曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩

（θ为参数）的对称中心（ ）

.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上

【答案】B

【解析】曲线方程消参化为()()1212

2

=-++y x ，其对称中心为()2,1-，验证知其满足x y 2-=.

4.[2014•北京理卷]

当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）

.7A .42B .210C .840D

【答案】C

【解析】2105671=⨯⨯⨯=S . 5.[2014•北京理卷]

设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）

.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】当01q 数列{}n a 递减；01

若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪

-+≥⎨⎪≥⎩

且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）

.2A .2B - 1.2C 1

.2

D -

【答案】D

【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0

最小值，联立⎩⎨

⎧=+-=0

20y kx y ，解之得⎪⎭⎫

⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .

7.[2014•北京理卷]

在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()

1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）

（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 【答案】D

【解析】设顶点D 在三个坐标面xoy 、yoz 、zox 的正投影分为'1D 、'2D 、'

3D ，则

211='

='BD AD ，2=AB ，∴22222

11=⨯⨯⨯=S ，

2222122=⨯⨯=='OCD S S ，2222

1

33=⨯⨯=='OAD S S .

8.[2014•北京理卷]

有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不

低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B

【解析】假设AB 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件. 二、填空题

9.[2014•北京理卷]

2=-+y x 0

2=+-y kx A

=-x y

复数2

11i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭

________.

【答案】1-

【解析】()()()1221111122

2

2-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i i i i . 10.[2014•北京理卷]

已知向量a r 、b r 满足1a =r

，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r ，则λ=________.

【答案】5

【解析】∵

0=+λ，∴-=λ，∴515

|

|||===

a b λ. 11.[2014•北京理卷]

设双曲线C 经过点()2,2，且与2

214

y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；

渐近线方程为________.

【答案】 112

32

2=-y x ；x y 2±=

【解析】设双曲线C 的方程为λ=-224x y ，将()2,2代入λ=-=-32422

2，∴双曲线方程为112322=-y x .令

04

22

=-x y 得渐近线方程为x y 2±=. 12.[2014•北京理卷]

若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8

【解析】∵038987>=++a a a a ，098107<+=+a a a a ，∴0,098<>a a ，∴8=n 时数列{}n a 前n 和最大. 13.[2014•北京理卷]

把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 【答案】36

【解析】363261

32233=⨯⨯=A A A .

14.[2014•北京理卷]