数值分析第六章拟合

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数据拟合原理

数据拟合原理
数据拟合原理（准线拟合法）是一种通过已有的离散数据点来建立一个数学模型，以便预测或推断未知数据点的方法。

在数据拟合中，寻找一条数学函数曲线，使其能够穿过尽可能多的数据点。

这样的曲线被称为拟合曲线，其对应的函数称为拟合函数。

拟合函数的选择通常基于数据的特性和需求。

常用的拟合函数包括线性、多项式、指数、对数和三角函数等。

具体的选择需要根据数据的特征和分析目的来确定。

拟合的基本原理是最小化拟合函数与实际数据点的误差。

常用的误差度量方法有最小二乘法、最小平均绝对误差法等。

最小二乘法是最常用的拟合方法之一。

它通过最小化实际数据点到拟合曲线的垂直距离的平方和，来确定拟合函数的参数。

最小平均绝对误差法则是最小化实际数据点到拟合曲线的绝对误差的平均值。

拟合过程中，还要考虑拟合函数的复杂度和拟合优度。

复杂度指的是拟合函数所包含的参数个数或阶数。

拟合优度则描述了拟合函数对实际数据的拟合程度，常用的指标有决定系数R²
和调整决定系数R²_adj等。

需要注意的是，数据拟合仅仅是对已知数据进行预测或插值，并不能准确地预测未来的数据点。

因此，在进行数据拟合时需要注意模型的局限性和适用范围。

综上所述，数据拟合原理通过最小化拟合函数与实际数据点之间的误差，建立一个数学模型，以预测或推断未知数据点。

该方法依赖于选择合适的拟合函数和合适的拟合方法，同时要考虑拟合函数的复杂度和拟合优度。

数值分析课后参考答案06

第六章习题解答1、设函数01(),(),,()n x x x φφφ 在[,]a b 上带权()x ρ正交，试证明{}()nj j x φ=是线性无关组。

证明：设0()nj jj l x φ==∑，两端与01()(,,,)kx k n φ= 作内积，由()jx φ的正交性可知，200(),()((),())((),())()()n n b k j j j k j k k k k k a j j x l x l x x l x x l x x dx φφφφφφρφ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑⎰，于是有001(,,,)k l k n == ，即{}()nj j x φ=是线性无关组。

2、试确定系数,a b 的值使22(()cos )ax b x dx π+-⎰达到最小。

解：定义02,[,]f g C π∈上的内积为20fgdx π⎰，取011(),()x x x ϕϕ==，()s x ax b =+，()cos f x x =，则法方程为0001010111(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中()2000112,dx ππϕϕ=⨯=⎰，()2201018,xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()3211024,x xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()2001,cos f xdx πϕ==⎰，()21012,cos f x xdx ππϕ==-⎰，于是方程组为22312812824a b πππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得1158506644.,.a b ==-。

3、已知函数11()(,)f x x =∈-，试用二类Chebyshev 多项式()n U x 构造此函数的二次最佳平方逼近元。

解：法一、取20121(),(),(),x x x x x ϕϕϕ===()()()00112222235,,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，()()()011202203,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，同时由二类Chebyshev 多项式的性质知 ()()()11101211028,,,,,f f f x ππϕϕϕ---======⎰⎰⎰于是可得法方程为0122203220003220835c c c ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得0121.0308,0,0.7363c c c ===-，于是()f x 的二次最佳逼近元是2001122() 1.03080.7363x c c c x ϕϕϕϕ=++=-法一、二类Chebyshev 多项式2012()1,()2,()41U x U x x U x x ===-，取内积权函数()()x f x ρ==，于是11200114(,)(1)3f U fU dx x dx ρ--==-=⎰⎰，1121111(,)2(1)0f U fU dx x x dx ρ--==-=⎰⎰，112222114(,)(41)(1)15f U fU dx x x dx ρ--==--=-⎰⎰ 由()n U x 正交性及(,)2n n U U π=可得0000(,)8(,)3f U c U U π==，1111(,)0(,)f U c U U ==，2222(,)8(,)15f U c U U π==-，于是()f x 的二次最佳逼近元为001122()x c U c U c U ϕ=++=21632515x ππ- 4、设012{(),(),()}L x L x L x 是定义于[0,)+∞上关于权函数()xx eρ-=的首项系数为1的正交多项式组，若已知01()1,()1L x L x x ==-，试求出二次多项式2()L x 。

数值分析实验之拟合

>> y=[ 5.0 12.3 21.0 32.9 47.6 84.7];
>> plot(x,y,'.','MarkerSize',20)
对数据进行二次多项式拟合：
>> x=[ 30 45 60 75 90 120];
>> y=[ 5.0 12.3 21.0 32.9 47.6 84.7];
>> p=polyfit(x,y,2)
>> plot(x,y,'.','MarkerSize',20)
对数据进行线性拟合：
>> x=[ 30 45 60 75 90 120 ];
>> y=[ 5.6 8.5 11.1 14.5 16.7 22.4];
>> p=polyfit(x,y,1)
p =
0.1865 0.0800
画图观察拟合效果:
p =
0.0059 0.0009 -0.0950
画图观察拟合效果：
>> x0=30:10:120;
>> y1=polyval(p,x0);
>> plot(x0,y1,'.','MarkerSize',20);
>> hold on;
>> plot(x0,y1,'-','LineWidth',2);
y1 =
91.0000 -170.0000
画图观察拟合效果:
>> y1=polyval(p,x);
&g39;MarkerSize',20);

数值分析课件-6曲线拟合

第六章曲线拟合的最小二乘 /函数平方逼近初步实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:编号拉伸倍数强度编号拉伸倍数强度1 1.9 1.4135 5.522 1.314 5.253 2.1 1.8156 5.54 2.5 2.516 6.3 6.45 2.7 2.817 6.566 2.7 2.5187.1 5.37 3.53198 6.58 3.5 2.72087944218.98.5104 3.5229811 4.5 4.2239.58.112 4.63.524108.1i i y x ii y x 一.实例讲解6.2 数据拟合(最小二乘法)§2(())m nj j i i i j a x f ϕ===-∑∑2(())mi i i S x f ==-∑三、法方程组22δ∑==nj j j x a x S 0)()(ϕ由的函数为拟合系数),,1,0(n j a j =可知因此可假设01(,,,)n F a a a 2(())mnj j i i i j a x f ϕ===-∑∑因此求最小二乘解转化为二次函数四、加权最小二乘法(,)(0,1,,)i i x f i m = 对于一组给定的数据点(,)(0,1,,)i i x f i m = 在拟合的数据点中各点的重要性可能是不一样的()(,)0,1,,i i i i x x f i mρρ= 假设=表示数据点的权(或权重),权:即权重或者密度，统称为权系数.定义加权平方误差为222m i i i δρδ==∑2(())mi i i i S x f ρ==-∑-----(9)6.3 连续函数的最佳平方逼近§0102**222*[,],{,,,}[,].(),()();()[()()]()[()()]()().min n ni i i b a b a S f C a b span C a b S x S x a x f S x f x S x dx x f x S x dx S x f x ϕϕϕϕρρ=∈Φ∈Φ=⊂∀∈Φ=-=-=-∑⎰⎰ 设为的最佳平方逼近1. 最佳平方逼近问题-----(14)0(,)(,)(,)()()()(,)()()()0,1,,x n k i i k k i b k i k i a b k k k a a f d x x x dx d f x f x x dxk nG dϕϕϕϕϕρϕϕϕρϕ=⎧==⎪⎪⎪=⇒⎨⎪==⎪⎪=⎩⇒=∑⎰⎰ ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(01000n ϕϕϕϕϕϕ ),(),(),(11101n ϕϕϕϕϕϕ ),(),(),(10n n n n ϕϕϕϕϕϕ G =最小二乘法方法评注曲线拟和的最小二乘法是实验数据处理的常用方法。

数值分析实验插值与拟合

《数值分析》课程实验一：插值与拟合一、实验目的1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性；2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象；3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理；4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。

二、实验内容1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。

2. 设]5,5[,11)(2-∈+=x xx f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。

不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。

(2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。

三、实验步骤1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件：⎩⎨⎧≠===ji j i x l ij j i ,0,,1)(δ的一组基函数{}ni i x l 0)(=，l i (x )的表达式为∏≠==--=nij j ji j i n i x x x x x l ,0),,1,0()(有了基函数{}ni i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为∑==ni i i n x l y x L 0)()((2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为1102110],,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=-则n 次多项式)())(](,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N差商表的构造过程：x i f (x i ) 一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商x 0 f (x 0) x 1 f (x 1) f [x 0, x 1]x 2 f (x 2) f [x 1, x 2] f [x 0, x 1,x 2]x 3 f (x 3) f [x 2, x 3] f [x 1, x 2,x 3] f [x 0, x 1,x 2,x 3]x 4 f (x 4)f [x 3, x 4]f [x 2, x 3,x 4]f [x 1, x 2,x 3,x 4]f [x 0, x 1,x 2,x 3,x 4]试验结果：2. MATLAB程序实现：试验结果：3. 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：（1）由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n ；（2）列表计算)2,,1,0(0n j xmi ji=∑=和∑==mi i j i n j y x 0),,1,0( ；（3）写出正规方程组，求出),,1,0(n k a k =；（4）写出拟合多项式∑==nk kk n xa x p 0)(。

数值分析中函数拟合问题

数值分析中函数拟合问题1.研究背景社会生产和科学实验过程中得到的数据结果往往都是离散的数据，如果我们以特定函数与其拟合，建立其系统的数据模型，那么对处理和解决实际问题将提供重要的依据。

离散数据的连续函数拟合问题实质上是一种研究函数的逼近问题，也是研究函数逼近实测数据的方法问题。

由于在工程实际中建立数学模型十分重要，所以，较好地解决离散数据的连续函数拟合问题是当今的课题之一。

本文运用最小二乘法的基本原理，就其MATLAB的实现方法进行了研究，简单介绍了曲线的拟合的几种办法以及其用MATLAB软件进行计算、分析的问题，给出了 MATLAB 实现的图形，并进行了对比。

采用MATLAB对实验数据进行处理，能够快捷的得到图文并茂的比较令人满意的处理结果。

2.思路和方法最佳平方逼近问题：求参数ai，i = 1，2,…，m，使得它可理解为使观测数据的均方差为最小。

这种用离散最佳平方逼近问题的解作为“多余观测”问题的解的方法被称为“最小二乘法”。

折中使其误差平方和最小的方法又称为最小二乘准则。

曲线拟合最常用的方法是线性最小二乘法，其基本思路是：令其中：是事先选定的一组函数：是待定系数，拟合准则是最小二乘准则，即是使n个点与对应点(xi,f(xi))距离平方和最小，即寻求a1,a2,…,am使J达到最小，只需利用极值的必要条件：得到关于a1,a2,…,am的线性方程组记方程组(2.4)可表示为当|R1(x),…,Rm(x)|线性无关时，R是满秩矩阵。

故可逆，于是方程组(2.5)有唯一解可以看出，只要F(x)关于待定系数a1,a2,…,am是线性的，在最小二乘准则下得到的方程组(2.4)关于a1,a2,…,am也一定是线性的，故称线性最小二乘法。

面对一组数据(xi,yi),i=1,2,…,n,用线性最小二乘法做曲线拟合时，首要的也是关键的一步是恰当的选取一组函数R1(x),…,Rm(x).如果通过分析，能够知道y与x之间的关系，通常可以将数据(xi,yi),i=1,2,…,n做出散点图，直观的判断应该用什么样的曲线去做拟合。

20_数值分析5_6曲线拟合

0x, 1x, , nx, n m,
{jx} ( C[a,b] ) 在点集 {x0,x1, , xm} 上线性无关 . 问题在曲线族 y ( x )

n j0
c j j ( x ) 中寻找一条曲线
y*(x),
使其能按照某种原则去拟合数据(5.92), 用 y*(x) 代替数据 (5.92) 反映的函数关系.
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
10
2
c (t ) c 0 e
10
1
kt
c , k 为待定系数
10
0
0
2
4
6
8
半对数坐标系(semilogy)下的图形
曲线拟合问题的提法
已知一组（二维）数据，即平面上 m+1个点（xi,yi) i=0,1,…m, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 y + + +
(5.97)
* c0 ( f , 0 ) * c1 ( f , 1 ) * cn ( f , n )
证 (必要性) 记
F (C ) ( A C Y , A C Y )

m
i0
A ( C C *) 0
A (C
C *), A ( C C *) 0 .
F ( C ) F ( C *)
方程 ATAC* ATY 叫做最小二乘的法方程或正规方程.
由 ATA 的正定性, 知法方程的解存在且唯一.
五、最小二乘法的精度
拟合曲线对数据的拟合精度, 可用误差平方和来刻画.

数值分析中的插值和拟合

数值分析中的插值和拟合数值分析是一门运用数学方法和计算机技术来解决实际问题的学科，其中的插值和拟合是其中的两个重要概念。

一、插值在数值分析中，插值是指在已知数据点的情况下，利用一定的数学方法来估计在此数据范围之外任意一点的函数值。

常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。

以拉格朗日插值为例，假设已知数据点(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) ，其中 xi 不相同，Lagrange 插值问题就是要找到一个函数p(x)，使得：p(xi) = yi (0 <= i <= n)并且 p(x) 在区间 [x0, xn] 上为连续函数。

然后，根据拉格朗日插值多项式的定义，拉格朗日插值多项式Lk(x) 可以定义为：$$ L_k(x) = \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i}$$然后，定义插值多项式 p(x) 为：$$ p(x) = \sum_{k=0}^n y_k L_k(x) $$这样，我们就可以通过计算插值多项式来估计任意一点 x 的函数值了。

二、拟合拟合是在给定一组离散数据点的情况下，通过一定的数学方法来找到一个函数 f(x)，使得该函数可以较好地描述这些数据点之间的关系。

拟合方法主要包括最小二乘法和非线性拟合等。

以最小二乘法为例，假设有 m 个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xm, ym) ，要找到一个函数 f(x)，使得该函数与这些数据点的误差平方和最小，即：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - f(x_i))^2 $$最小二乘法就是要找到一个函数 f(x)，使得 S 最小。

假设这个函数为：$$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n $$则 S 可以表示为：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - a_0 - a_1 x_i - a_2 x_i^2 - ... - a_nx_i^n)^2 $$接下来，我们需要求解系数a0, a1, …, an，在满足式子 (2) 的情况下，使得 S 最小。

数值分析(计算方法)总结

第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。

科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。

由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发，按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。

数值分析实验插值与拟合

数值分析实验插值与拟合插值是指根据已知的数据点，通过其中一种数学方法来构造一个函数，使得该函数在已知的数据点上与被插值函数相等。

插值方法可以分为两类：基于多项式的插值和非多项式插值。

基于多项式的插值方法中，最常用的是拉格朗日插值和牛顿插值。

拉格朗日插值方法通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的所有点。

牛顿插值方法则通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的前m+1个点。

非多项式插值方法中，最常用的是分段线性插值和样条插值。

分段线性插值方法将插值区间划分为多个小段，在每一段内使用线性函数来逼近被插值函数。

样条插值方法则使用分段低阶多项式来逼近被插值函数，保证了插值函数和原函数在插值区间内的连续性、光滑性。

拟合是指在给定的离散数据点集合上，通过选取一个函数，使得该函数与数据点之间的误差最小化。

拟合方法可以分为两类：线性拟合和非线性拟合。

线性拟合方法中，最简单的是最小二乘法。

最小二乘法拟合是通过最小化观测数据与拟合函数的残差平方和来选择最佳函数参数。

在实验中，最小二乘法常用于线性回归问题，例如估计一个直线或者平面来拟合数据。

非线性拟合方法中，最常用的是非线性最小二乘法和局部加权回归。

非线性最小二乘法通过将非线性拟合问题转化为线性问题，使用最小二乘法来寻找最佳参数。

局部加权回归方法则通过给予不同数据点不同的权重，以更好地逼近数据点。

在数值分析实验中，插值与拟合可以应用于各种实际问题。

例如，在地理信息系统中，通过已知的地理坐标点来插值出未知点的地理信息。

在气象学中，通过已知的气象数据点来插值出未知点的气象信息。

在工程学中，通过已知的测量数据点来拟合出一个最佳的拟合函数来预测未来的测量值。

需要注意的是，插值和拟合的精度在很大程度上取决于数据的分布和拟合函数的选择。

如果数据点过于稀疏或者数据点中存在异常值，可能导致插值和拟合结果不准确。

因此，在进行插值和拟合之前，需要对数据进行预处理，例如去除异常值、平滑数据等。

《数值分析》插值多项式和多项式拟合给出对应近似多项式

3.多项式插值拟合3．某过程测涉及两变量x 和y, 拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的近似多项式，已知xi 与yi 之间的对应数据如下：（1）请用次数分别为3，4，5，6的多项式拟合并给出最好近似结果f(x)。

（2）请用插值多项式给出最好近似结果下列数据为另外的对照记录，它们可以作为近似函数的评价参考数据。

（1）多项式拟合对于[](),f x C a b ∈及[],C a b 中的一个子集01{(),(),,()}n span x x x φφφφ=，存在()*S x ϕ∈，使得 22()min ()()S x f x S x ϕ∈- 存在且唯一，则有最优解为****0011()()()()n nS x a x a x a x φφφ=+++ (3-1) 其中***01,,,na a a 是下面法方程组的解，法方程用内积表示为： *0001000*1011111*01(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n a f a f a f φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(3-2) 这里(,),(,)i j i f φφφ是函数的内积，对[],a b 上的非负连续函数()g x ，如果存在()x ρ，使得()()0ba g x x dx ρ=⎰，则()x ρ是[],ab 上的一个权函数。

此时对于内积为()0(,)()()m i j k i k j k k x x x φφρφφ==∑，()0(,)()()mi k i k k k f x x f x φρφ==∑。

拟合的误差使用最佳拟合函数()*S x 与()f x 的平方误差，即2222**2222deff s fs δ=-=- (3-3)其中：()2**220[()()]mk k k k f s x f x s x ρ=-=-∑，()2*220[()()]mk fx f x s x ρ==-∑。

数值分析实验之拟合

数值分析实验之拟合拟合是数值分析中的重要内容之一，通过对已知数据进行拟合，可以得到未知数据的近似值，从而进行预测和分析。

本次实验的目的是通过拟合方法，对给定的数据集进行曲线拟合，并分析拟合结果的准确性和适用性。

实验步骤：1.数据收集：从已有的数据集中选择一组适当的数据用于拟合实验。

这些数据可能是实验数据、调查数据或者通过其他方法获得的数据。

为了方便分析，我们选择一个二次曲线的数据集作为示例。

2. 选择拟合模型：根据数据的性质和曲线的特点，选择合适的拟合模型。

在本次实验中，我们选择二次曲线模型进行拟合。

该模型可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是待求的参数。

3.参数估计：通过最小二乘法等统计方法，对待求参数进行估计。

最小二乘法是常用的参数估计方法，它通过最小化残差的平方和来确定最佳参数估计值。

在本次实验中，可以利用MATLAB或者其他数值计算软件来实现最小二乘法。

4.拟合结果评估：将估计获得的参数代入拟合模型中，得到拟合曲线，并将其与原始数据进行对比。

在本次实验中，可以通过绘制原始数据和拟合曲线的图像，观察拟合效果的好坏。

5.拟合结果分析：分析拟合结果的准确性和适用性。

可以从图像上观察拟合曲线与原始数据的拟合程度，如果两者重合度较高，则拟合结果较为准确。

此外，还可以比较拟合曲线的误差和残差等指标，来评估拟合结果的质量。

实验结果分析：通过以上步骤，我们得到了二次曲线拟合的结果。

拟合曲线与原始数据的重合度较高，说明拟合效果较好。

此外，通过计算拟合曲线的误差和残差，可以得到更加准确的评估结果。

在本次实验中，我们选择了二次曲线模型进行拟合。

然而，在实际应用中，并不是所有的数据都适合二次曲线模型。

根据实际情况，选择合适的拟合模型非常重要。

如果选择不当，将会导致拟合结果的不准确和误导性。

总结：拟合是数值分析中一项重要的实验内容，通过对已知数据进行拟合，可以获得未知数据的近似值，并进行预测和分析。

Chapter6曲线拟合_数值分析

第六章曲线拟合
6.1.2 曲线拟合问题
仍然是已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近似函数 f(x) 来拟合这些数据。
但是① m 很大；
②
yi 本身是测量值，不准确，即 yi f (xi)
这时没必要取 f(xi) = yi , 而要使 i=f(xi) yi 总体上
定理6.3.3 设A是n×k阶矩阵，x∈Rn, 那么下列三种情况是等价的： ①x⊥R(A); ②AＴx=0; ③x∈N(AＴ). 这里，N(AＴ)={AＴx=0, x∈Rn}称为AＴ的核子空间. 证：由N(AＴ)的定义， ②与③显然等价. 下面证明①与②等价. 记A=(α1,α2,…，αk)，那么，αi∈R(A) (i=1,2,…,k). 假设x⊥R(A), 即αiＴx=0 (i=1,2,…，k). 从而AＴx=0. 另一方面，如果AＴx=0, 那么有z∈Rk，使Az=y∈R(A). 这时，yＴx=zＴAＴx=0,即x⊥y. 由z的任意性，得Az是任意的，因此x⊥R(A).
• 设U是Rn中的子空间， x∈Rn. 如果x与U中任意向量正交，称向量x与子空间U正交，记为x⊥U. • 设U，V是Rn中两个子空间，如果任意x∈U 和任意y∈V是正交的，称子空间U与子空间V正交，记为U⊥V. • 设U，V是Rn中互补的子空间. 如果U⊥V，那么称U，V互为正交补子空间，记U=V⊥ 或V=U⊥. 可以证明，一个子空间的正交补子空间是惟一的.
法方程组(或正规方程组)
例1
数据 ti 0 20 40 60 80 100 fi 81.4 77.7 74.2 72.4 70.3 68.8
6.3 线性最小二乘问题
设A是m×n阶矩阵(m>n), 称线性方程组 Ax=b (1) 为超定方程组; 这里x∈Rn,b∈Rm. 如果A的秩r(A)=n, 称A为列满秩矩阵. 记残向量r=b-Ax，考虑确定一个向量x，使‖r‖2 2＝‖b-Ax‖2 2, 达到最小的问题称为线性最小二乘问题，这样的x称为方程组(1) 的最小二乘解.

数值分析中的插值与拟合

数值分析中的插值与拟合插值和拟合是数值分析中常用的技术，用于估计或预测数据集中缺失或未知部分的数值。

在本文中，我们将讨论插值和拟合的概念、方法和应用。

一、插值插值是通过已知数据点之间的连续函数来估计中间数据点的数值。

插值方法可以根据不同的数据和需求选择合适的插值函数，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值。

1.1 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。

通过已知的n个数据点，可以构建一个n-1次的插值多项式。

这个多项式通过已知数据点上的函数值来准确地经过每一个点。

1.2 牛顿插值牛顿插值方法也是一种多项式插值方法，通过差商的概念来构建插值多项式。

差商是一个递归定义的系数，通过已知数据点的函数值计算得出。

牛顿插值可以通过递推的方式计算出插值多项式。

1.3 埃尔米特插值埃尔米特插值是一种插值方法，适用于已知数据点和导数值的情况。

它基于拉格朗日插值的思想，通过引入导数信息来逼近数据的真实分布。

埃尔米特插值可以更准确地估计数据点之间的值，并且可以保持导数的连续性。

二、拟合拟合是通过一个模型函数来逼近已知数据点的数值。

拟合方法旨在找到最适合数据集的函数形式，并通过最小化误差来确定函数的参数。

常见的拟合方法包括最小二乘法、多项式拟合和曲线拟合。

2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化数据点到拟合函数的误差平方和来确定最佳拟合曲线或曲面。

最小二乘法适用于线性和非线性拟合问题，可以用于拟合各种类型的非线性函数。

2.2 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法。

通过多项式的线性组合来近似已知数据集的数值。

多项式拟合可以通过最小二乘法或其他优化算法来确定拟合函数的系数。

2.3 曲线拟合曲线拟合是一种用曲线函数来逼近已知数据点的拟合方法。

曲线函数可以是非线性的，并且可以根据数据的特点进行选择。

曲线拟合可以通过优化算法来确定拟合函数的参数。

三、应用插值和拟合在数值分析中有广泛的应用。

数值分析拟合实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析方法对一组已知数据点进行拟合，掌握线性插值、多项式插值、样条插值等方法的基本原理和实现过程，并学会使用MATLAB进行数值拟合。

二、实验内容1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，适用于数据点分布较为均匀的情况。

其基本原理是通过两个相邻的数据点，利用线性关系拟合出一条直线，然后通过该直线来估算未知的值。

2. 多项式插值多项式插值是一种较为精确的插值方法，通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。

其基本原理是利用最小二乘法求解多项式的系数，使得多项式在已知数据点上的误差最小。

3. 样条插值样条插值是一种更灵活的插值方法，通过构造一系列样条曲线来逼近已知数据点。

其基本原理是利用最小二乘法求解样条曲线的系数，使得样条曲线在已知数据点上的误差最小。

三、实验步骤1. 线性插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`linspace`生成插值点：xi = linspace(1, 5, 100);（3）使用MATLAB内置函数`interp1`进行线性插值：yi = interp1(x, y, xi, 'linear');（4）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');2. 多项式插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`polyfit`求解多项式系数：p = polyfit(x, y, 3);（3）使用MATLAB内置函数`polyval`进行多项式插值：yi = polyval(p, xi);（4）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');3. 样条插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`spline`进行样条插值：yi = spline(x, y, xi);（3）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');四、实验结果与分析1. 线性插值线性插值方法简单易行，但精度较低，适用于数据点分布较为均匀的情况。

数值分析插值与拟合实验

数值分析插值与拟合实验数值分析是一门研究利用数字计算方法解决数学问题的学科。

插值与拟合是数值分析的重要内容之一，可以用于数据分析、信号处理以及数学建模等领域。

本实验将使用MATLAB软件进行插值与拟合的实验，主要包括插值多项式与拟合曲线的构造，以及评价拟合效果的方法。

实验一：插值多项式的构造1. Lagrange插值Lagrange插值是一种构造多项式来拟合已知数据点的方法。

给定n 个数据点(xi, yi)，其中xi不相等，Lagrange插值多项式可以写成：P(x) = ∑(i=0 to n) yi * l_i(x)其中l_i(x)是Lagrange基函数，定义为：l_i(x) = ∏(j=0 to n,j!=i) (x-xj)/(xi-xj)通过计算l_i(x)，然后将其乘以相应的数据点yi，最后相加就可以得到插值多项式P(x)。

2. Newton插值Newton插值使用差商的概念来构造插值多项式。

首先定义差商F[x0,x1,...,xn]如下：F[x0]=f(x0)F[x0,x1]=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)F[x0,x1,x2]=(F[x1,x2]-F[x0,x1])/(x2-x0)...F[x0,x1,...,xn] = (F[x1,x2,...,xn] - F[x0,x1,...,xn-1])/(xn-x0)其中f(x)是已知数据点的函数。

然后，利用差商来构造插值多项式：P(x) = ∑(i=0 to n) F[x0,x1,...,xi] * ∏(j=0 to i-1) (x-xj)通过计算差商F[x0,x1,...,xi]和对应的乘积∏(x-xj)，最后相加得到插值多项式P(x)。

实验二：拟合曲线的构造1.多项式拟合多项式拟合是通过构造一个多项式函数来拟合已知数据点的方法。

假设给定n个数据点(xi, yi)，可以使用多项式函数来表示拟合曲线：P(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n其中a0, a1, ..., an是待确定的系数。

数值分析第六章 拟合

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