华科大数理方程课件——贝塞尔函数(2014)
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Bessel函数介绍
第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。
）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。
这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x= 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。
第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。
图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。
如果α不为整数，则Jα(x)和J−α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。
反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：于是两函数之间已不满足线性无关条件。
为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。
贝塞尔积分α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：（α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页）这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。
另一种积分表达式为：和超几何级数的关系贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图（在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。
）第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。
这种函数通常用Yα(x)表示，它们是贝塞尔方程的另一类解。
x = 0 点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。
Yα(x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作Nα(x)。
贝塞尔函数PPT课件
由条件(4），得
u 0 , u U (4)
z0
zh
u(, 0)
m1
(Cm
Dm
)
J
0
(
(0 m b
)
)
0
于是得
Cm Dm 0 (m 1,2, ) (11)
再由条件（5）得
u 0 (5) b
u(, h)
m1
m(0) h
(Cm e
m(0) h
(0)
Dm
e
)J0(
m
b
)
U
第31页/共37页
F r C1J0 r C2Y0 r
由 u(r, t) 的有界性, 可以知道 C2 0. 再由条件
u 0, r 1
知：J0 0, 即 是 J0( x) 的零点.
用
(n =1,2…) 表示
以上结果可得:
的正零点, 综合
第16页/共37页
方程
的特征值为：
相应的特征函数为： 这时方程
-0.5
第7页/共37页
Jn( x) 的零点和 Jn1( x) 的零点是彼此相间分 布，即 Jn( x) 的任意两个相邻零点之间有且仅有 一个 Jn1( x) 的零点，反之亦然；
1.0 J0( x)
0.5
J1( x)
o
246
-0.5
8 10 12
第8页/共37页
以
(n) m
(m 1, 2,
由条件（8）知 D 0 .
第28页/共37页
二、求本征值、本征函数
再由条件（9）得,
R(b) CJ0 ( b) 0
即，J0 ( b) 0 ，由此可知 b 是 J0 (x) 的零点。
贝塞尔函数PPT演示课件
1
r 2 sin 2
2u
2
k 2u
0
设u(r, ,) R(r)( )()，代入原方程
''() m2() 0
1
s in
d
d
s in
d ( 2 d
m2
sin 2 ) 0
d r 2 dR (k 2r 2 2 )R 0
要使等式两边成立，则x各次幂的系数为零
(1) (c2 v2 ) C0 0 (k 0)
(c2 v2 ) 0
c v
(2) [(c 1)2 v2 ]C1 0 (k 1)
(3) [(c k)2 v2 ]Ck Ck2 0 (k 2)
将c=v代入(2)，得C1=0
k 2u
0
u(,, z) R()()Z(z)
''() m2() 0
Z''(z) 2Z(z) 0
2
d 2R
d 2
dR
d
(k 2
2 ) 2
m2
R
0
x (k 2 2) y(x) R()
贝塞尔方程
x2
0
0
0
0
(1) etdt et 1 0 0
(2) 1 (1) 1
(3) 2 (2) 2!
(4) 3(3) 3! (n 1) n!
求证： 1 2
(x) ett x1dt
令t=u2
(1)m
2(2mv) m ! (m 1 v)
第五章 数理方程 贝塞尔函数
(1) 由 ( n m 1) ( n m )! 得 1 1 m J n ( x) 1 n2 m xn2m 2 m! n m ! 1 m 0 0 （２）取n=N , 在 J n x 中,由于m<N时， N m 1
a 2 t
5.1 贝塞尔方程的引入
(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz)
2V 2V 2 V 0 2 x y
由边界条件，可知
V
x2 y2 R2
0
在极坐标系下，问题可以写成
2V 1 V 1 2V 2 V 0 0 R 2 2 V | 0 R
2 k 1 d x k 1 k (2k 2) x 1 2 k 2 2 1 2 k 2 2 dx 2 k 1 ! 2 [ k 1 !] 1 1 n m 2m Jn x 1 x n2m 2 k 1 2 m! n×（－１） m ! x0 k m 1 2k 1 2 及k ! 1 ! : k 得 n 1 分别令n 0
所以级数从m=N开始 1 1 m J N ( x) 1 N 2 m x N 2m 2 m ! N m 1 m N
N N 1 N 4 x x x N (1) N N 2 N 4 2 N ! 2 ( N 1)! 2 ( N 2)!2! (1) N J N ( x)
y CJ n x DYn x
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
x 2 (1) x Y0 x J 0 x (ln C ) 2 m 0 (m !)2 2 2
n 1 m
2m m
贝塞尔函数
本征值 n n ， 本征函数 a0 0 2 n a n cos n bn sin n , n 1,2,
2
2
将 n n 2 代入另一方程得
2 P" P' 2 n 2 P 0
及
0
n 1得:
x2 x4 x6 x2k k J0 x 1 2 4 6 1 2 k 所以 2 2 2 2 2 2! 2 3! 2 k !
J1 x
x 2
3 xd x5 x 2 k 1 k 3 J 0 x J 1 1 2 k 5 x 2 dx 2! 2 2! 3! 2 k ! k 1!
1 中,由于m<N时， N m 1 0
xN x N 1 x N 4 N (1) N N 2 N 4 2 N ! 2 ( N 1)! 2 ( N 2)!2! (1) N J N ( x)
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
结论： n 不为整数时, J n x 和 J n x 线性无关． 当 所以方程的通解可以表示为
y AJ n x BJ n x
5.2
贝塞尔方程的求解
如果选取 得到
A ctgn ,
1 B sin n
(n 1, 2,)
J n x cos n J n x Yn x sin n
当 n 不为整数时, J n x 和 Yn x 线性无关． 称 Yn x 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,
方程的通解也可表示为
y CJ n x DYn x
贝塞尔公式(精品课件)
样本标准差的表示公式数学表达式：•S—标准偏差（％）•n—试样总数或测量次数，一般n值不应少于20—30个•i—物料中某成分的各次测量值，1～n；[编辑］标准偏差的使用方法•在价格变化剧烈时,该指标值通常很高。
•如果价格保持平稳,这个指标值不高。
•在价格发生剧烈的上涨/下降之前,该指标值总是很低. [编辑]标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、（每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。
步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以 (n — 1)（“n”指样本数目）。
步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。
［编辑］六个计算标准偏差的公式[1][编辑]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ，则有σl i−X.。
.。
文档交流1 =σ2 = l2−X……σn = l n−X我们定义标准偏差（也称标准差）σ为（1）由于真值X都是不可知的，因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
［编辑]标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的，在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。
.。
.文档交流于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差）V i来代替真差σ，即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式（Bessel).它用于有限次测量次数时标准偏差的计算.由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式（1）是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
第4章-贝塞尔函数
级数解的导数为： y '
k 0
(
k )ck
x k1
y"
k 0
(
k
)(
k
1)ck
x k 2
20
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
代入方程(2)，
y 1 y (1 2 ) y 0 (2)
x
x2
( v 为任意实数)
得到
(n )(n 1)cn xn2 (n )cn xn2 cn xn
利用级数的比值判别法（或达朗贝尔判别法）
可以判定这个级数在除 x=0 点外的整个实数轴 上收敛，因此，级数式是贝塞尔方程的解．
28
下面我们分两种情况，找出方程贝塞尔的两个线性无 关的解，得到方程贝塞尔的通解：
（１） 1 及 2 不是整数， 将 1 代入式
y(x) (1)n
1
( x)2n
n0
n!(n 1) 2
18
由定理2知, 在 x=0点的邻域 x 0 内至少存在
一个下面形式的级数解
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
将此式代入方程
y
1 x
y
2
(1 x2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
19
y
1 x
y
(1
x
2 2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
31
我们可用
J
(x)
(1) n
n0
1
n!(n
( x )2n 1) 2
统一表示第一类贝塞尔函数(也称为第一类柱函数)。
数学物理方程----3-Bessel-函数PPT优秀课件
贝 塞
erx (r2 + pr + q) = 0 .
尔
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
函 数
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是
④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
西安交通大学 数学与统计学院
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
西安交通大学 数学与统计学院
定理 4 设二阶线性非齐次方程为
数
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)， ① 第
学
三
物
理 且y1*与y2*分 别 是
方
程
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，
章 贝 ②塞
尔
和
函
y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)
数 学
y = C1 y1 + C2 y2
第 三
物理是该方程的通解，其中
方
C1,
C2为任意常数.
程
章 贝
塞
尔
函
数
西安交通大学 数学与统计学院
定理 3 如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个
特解，Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则
数
第
学 物
y = Y + y*，
理 方
是线性非齐次方程的通解.
程
数
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有 第
学 物
重根
数理方程5 贝塞尔函数.ppt
T ' a2T 0
T (t) Aea2t
2V 2V V 0 亥姆霍兹方程（Helmholtz）
x2 y2求V改用极坐标源自在极坐标系下，V的问题可以写成2V
2
1
V
1
2
2V
2
V 0
0 R
V | R 0
再次分离变量,令 V , P ，代入化简得
P " ( ) 1 P ' ( )
dP dP dr dP
d dr d
dr
d 2P
d2
d 2P dr 2
r
方程转化为
r 2 F"r r F'r r 2 n2 Fr 0
这是n阶贝塞尔方程的标准形式.
Nanjing University of Posts and Telecommunications
5.2 贝塞尔方程的求解
数学物理方程
主讲：周澜
南京邮电大学 、理学院、应用物理系 E_mail: zhoul@ 答疑：周三中午11：30～13：00，教2＃103室
Nanjing University of Posts and Telecommunications
第五章 贝塞尔函数
➢ 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔 方程。 稳恒状态热传导问题—欧拉方程。 瞬时状态圆盘上的热传导问题—贝塞尔方程。 ➢ 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质.
m0
其中 c, am为常数。
Nanjing University of Posts and Telecommunications
逐将项此求级导数, 解有代入原方程中可得到：
(c
2
y'
华中科技大学课件贝塞尔函数课堂课件
r2
两端乘以 r 2 移项得
FG
G r 2 F rF r 2 F
,
G
F
于是有
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
医药&医学
6
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
由于温度函数 u(x, y,t)是单值的，所以V (x, y)也必
m um m 4(m 1)(n m 1)
则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上
是绝对收敛的。
医药&医学
17
y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
[(s 1)2 n2 ]a1 0,
[(s k)2 n2 ]ak ak2 0 (k 2, 3, )
(13) (15) (16)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
医药&医学
5
2V 1 V 1 2V V 0 (0 r R), (7)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
再令 V (r, ) F(r)G( ), 代入方程(7)得
F G 1 F G 1 FG FG 0,
r
u(x, y,t) V (x, y)T (t), 代入方程(1)得
VT a2 (Vxx Vyy )T,
用 1 乘之，得
a 2VT
T a 2T
Vxx Vyy V
( 0),
医药&医学
3
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2), u |x2 y2 R2 0,
u |t0 (x, y).
我们用u(x, y,t)来表示时刻 t 圆盘上点 (x, y)
华科大数理方程课件——贝塞尔函数的应用(2014)
由有界条件| R(0) | 知 D 0, 再利用条件(67)
R( B) 0得 J 0 ( B) 0, 即 B 是J 0 ( x) 0 的零点。
(n) ( 0) ) 0. 则得方程 以 m 表示 J 0 ( x) 的正零点， 即J 0 ( m (66)在有界条件及(67)下的固有值及相应固有函数 为
r u |t 0 h(1 ), u t |t 0 0. B
u | r B 0,
(62) (63) (64)
再由初始条件(64)中的第二式得
( 0) m
于是得
B
bm J 0 (( 0) ຫໍສະໝຸດ mBr ) 0,
bm 0 (m 1, 2, ).
16
1 u tt a (u rr u r ) (0 r B), r
2
根据叠加原理，方程(62)满足条件(63)的解为
( 0) (0) ( 0) a m a m m u (r , t ) (a m cos t bm sin t)J 0 ( r ). B B B m 1
2
(44) (45)
u | t 0 1 r 2 .
u (r , t ) C m e
m 1
(0) 2 ( m a) t
(46)
(0) J 0 ( m r ).
(51)
(0) 4J 2 m C m (0) 2 2 (0) , ( m ) J1 m
将 C m 代入(51)即得问题(44)-(46)的解为
(65) (66)
12
1 u tt a (u rr u r ) (0 r B), r
2
第五章-贝塞尔函数
第五章-贝塞尔函数n阶第一类贝塞尔函数()J xn第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()H xn第一类变形的贝塞尔函数()I xn开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。
从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5.1）得22222()V VVT a T x y∂∂'=+∂∂或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+=（5.4）22220V VV x y λ∂∂++=∂∂ （5.5）从（5.4）得2()a t T t Ae λ-=方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
贝塞尔函数
1 2
J 1 2 ( x)
Ynx n1 2 x dx x 2
n
J n1 2 ( x)
（与
J ( n1 2) ( x)
不一样！）
Y( n1 2) ( x)
2
( m 1, 2,) 的正交性。
rJ
0
R
n
(
m
(n)
R
r ) Jn(
k
( n)
R
r )d r
0, 2 2 R R 2 ( n) 2 (n) J ( ) J ( ), n 1 m n1 m 2 2
mk mk.
Jn (
m ( n)
R
r)
m 1 在【0，R】上，带权重r正交。
数值解，再用（1）式求
J v ( x)
的
当n为正整数或零时， 表达式为
，整数阶Bessel函数
(n k 1) (n k )!
（ 2）
k n 2 k
J n ( x)
(1) x J n ( x) k 0 k!(n k )! 2
第一类贝塞尔函数
k
n2k
nv
J v ( x)
k
（ 1）
(1) x J v ( x) k 0 k!(v k 1) 2
n 2 k
第一类贝塞尔函数
求
1.先求的
的方法： J v (x )
2.非整数阶Bessel函数也可以通过递推关系得出。
(v k 1)
当为整数时，例如， v n，
Yn ( x) lim
n
贝塞尔函数课件
3
正交性
贝塞尔函数之间具有正交性质，适合用于展开函数。
贝塞尔函数的计算方法
级数展开求解
可以使用贝塞尔函数的级数展开 式近似求解。
径向波动方程求解
使用贝塞尔函数表（示例）
贝塞尔函数是径向波动方程的解， 可用于求解相关问题。
通过查表，可以直接获取贝塞尔 函数的数值。
贝塞尔函数的在物理学中的应用
电磁场问题中的应用
贝塞尔函数用于描述电磁场分 布、辐射和散射等问题。
圆形共振问题中的应 用
贝塞尔函数用于解决圆形共振 腔中的电磁波问题。
量子力学中的应用
贝塞尔函数用于描述量子力学 中的球对称问题和径向波函数。
总结
在本课件中，我们介绍了贝塞尔函数的定义和基本类型，讨论了贝塞尔函数的性质和计算方法，以及它在物理 学中的应用。希望通过这些内容，您对贝塞尔函数有更全面的了解。
贝塞尔函数PPT课件
贝塞尔函数是一种数学函数，常用于解决各种科学领域中的物理和数学问题。 本课件将介绍贝塞尔函数的定义、类型、性质、计算方法以及在物理学中的 应用。
什么是贝塞尔函数
贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，它是贝塞尔微分方程的解。它广泛应用 于物理学、工程学和数学等领域，例如波动理论、振动问题和量子力学。
下一步研究方向
贝塞尔函数作为一种重要的数学工具，在各个领域中仍有许多未解决的问题 和有待深入研究的方向。我们鼓励您继续探索和应用贝塞尔函数。
参考文献
1. Jiang, X., & Li, X. (2019). Applications of Bessel functions in physics. Physics Education, 54(6), 065010.
贝塞尔函数诺伊曼函数PPT文档43页
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
贝塞尔函数诺伊曼函数
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 1有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
数学物理方程第五章_贝塞尔函数
∞
y ( x) = ∑
式中, a 0 为任意常数.令
a0 =
1 2 Γ(n + 1)
n
根据 Γ 函数的性质,可得到关于系数的一个简洁的表达式
a2m
∞
( − 1) m = n+2m 2 m! Γ ( n + m + 1)
(n ≥ 0)
这样,我们得到了式(5.1.14)的一个特解
y1 ( x) = ∑
(−1) m x n+2m n+2m 2 ! Γ ( + + 1 ) m n m m =0
(−1) m J − N ( x) = ∑ − N + 2 m x − N +2m m!Γ(− N + m + 1) m =0 2
∞ m − N =l ∞
(−1) l + N = ∑ N + 2l x N + 2l (l + N )!Γ(l + 1) l =0 2
∞ l =0
=∑
(−1) l (−1) N x N + 2l N + 2l 2 (l + N )!l!
∑ k +1
k =0
∞
1
⎛ x ⎞ 1 Yn ( x) = J n ( x)⎜ ln + C ⎟ − π ⎝ 2 ⎠ π 2
2m
(n − m − 1)! ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ∑ m! ⎝2⎠ m =0
∞
− n+2m
⎛ x⎞ (−1) m ⎜ ⎟ ∞ n + m −1 m −1 1 1 1 ⎞ ⎝2⎠ ⎛ − ∑ +∑ ⎜ ∑ ⎟ π m =0 m!(n + m)! ⎝ k =0 k + 1 k =0 k + 1 ⎠
y ( x) = ∑
式中, a 0 为任意常数.令
a0 =
1 2 Γ(n + 1)
n
根据 Γ 函数的性质,可得到关于系数的一个简洁的表达式
a2m
∞
( − 1) m = n+2m 2 m! Γ ( n + m + 1)
(n ≥ 0)
这样,我们得到了式(5.1.14)的一个特解
y1 ( x) = ∑
(−1) m x n+2m n+2m 2 ! Γ ( + + 1 ) m n m m =0
(−1) m J − N ( x) = ∑ − N + 2 m x − N +2m m!Γ(− N + m + 1) m =0 2
∞ m − N =l ∞
(−1) l + N = ∑ N + 2l x N + 2l (l + N )!Γ(l + 1) l =0 2
∞ l =0
=∑
(−1) l (−1) N x N + 2l N + 2l 2 (l + N )!l!
∑ k +1
k =0
∞
1
⎛ x ⎞ 1 Yn ( x) = J n ( x)⎜ ln + C ⎟ − π ⎝ 2 ⎠ π 2
2m
(n − m − 1)! ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ∑ m! ⎝2⎠ m =0
∞
− n+2m
⎛ x⎞ (−1) m ⎜ ⎟ ∞ n + m −1 m −1 1 1 1 ⎞ ⎝2⎠ ⎛ − ∑ +∑ ⎜ ∑ ⎟ π m =0 m!(n + m)! ⎝ k =0 k + 1 k =0 k + 1 ⎠
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m
16
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13)
a 2 m (1) m
a0 , 2m 2 m!(n 1)( n 2) (n m)
由于 a 0 是任意常数，我们可以这样取值： 使一般项系数中 2 与 x 有相同的次数，并且同时 使分母简化。 为此取
8
G G 0,
r 2 F rF (r 2 ) F 0.
(9) (10) (11)
将 n 2代入方程(10)得
r 2 F rF (r 2 n 2 ) F 0,
该方程叫做 n 阶贝塞尔方程。 由边界条件(8)V | r R 0 可知 V ( R, ) F ( R)G( ) 0,
k 0
(a0 0),
(13)
其中 s 为常数， 下面来确定 s , a k (k 0, 1, 2, ). 为此，将(13)以及
y a k ( s k ) x s k 1 ,
k 0
k 0
带入方程(12)
y a k ( s k 1)( s k ) x s k 2
F ( R) 0.
另外，由于圆盘上的温度是有限的， 特别在圆心 处也应如此，由此可得
| F (0) | ,
9
因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题 r 2 F rF (r 2 n 2 ) F 0, (11)
F ( R) 0
| F (0) | ,
的固有值与固有函数。 若令 x
x r , 并记 F (r ) F y ( x), 则
Fr y x , Frr ( y xx ) y xx , 将上式代入方程(11)可得 (12) x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
k 0
(12) (13)
(a0 0),
得到方程(12)的一个特解，记作 J n ( x)
J n ( x) a 2 m x
m 0 n2m
x n2m (1) n 2 m , (18) 2 m!(n m 1) m 0
m
J n ( x)称为 n 阶第一类贝塞尔函数。 又由于
3
这个问题归结为求解下列定解问题：
u t a 2 (u xx u yy ) (0 x 2 y 2 R 2 ), u | x 2 y 2 R 2 0,
(1) (2) (3)
u |t 0 ( x, y ).
应用分离变量法求这个问题的解。为此，令 u( x, y, t ) V ( x, y)T (t ), 代入方程(1)得
另外
a0 a0 a2 2 , 2( 2 n 2) 2 1 (n 1) a0 a2 a4 4(2n 4) 2 4(2n 2)( 2n 4) a0 4 , 2 2 1(n 1)( n 2)
a2m a0 (1) 2 m , 2 m!(n 1)( n 2) (n m)
2
5.1
贝塞尔方程及贝塞尔函数
一、贝塞尔方程的导出 在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或 薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会遇到 贝塞尔方程。下面，我们以圆盘的瞬时温度分 布为例来导出贝塞尔方程。 设有半径为 R 的圆形薄盘，上下两面绝热， 圆盘边界上的温度始终保持0度， 且初始温度 分布为已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。 我们用u( x, y, t )来表示时刻 t 圆盘上点 ( x, y ) 处的温度函数。
方程(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程， 它的解称为贝塞尔函数。 (有时称之为柱函数)。
10
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
(12)
二、贝塞尔函数 由微分方程解的理论知：方程(12)有如下形式 的广义幂级数解：
y ( x) a k x s k
G( ) G( 2 ),
求解常微分方程的边值问题
G G 0,
G( ) G( 2 ),
可得
G0 ( ) 1 a0 2
n2
(n 0, 1, 2, )
Gn ( ) a n cos n bn sin n . (n 1, 2, )
( s k ) 2 n 2 a k a k 2 x s k 0,
k 2
13
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13)
( s 2 n 2 )a 0 x s [( s 1) 2 n 2 ]a1 x s 1
(7)
(8)
V | r R 0.
再令 V (r , ) F (r )G( ), 代入方程(7)得
1 1 F G F G 2 FG FG 0, r r
r2 两端乘以 FG
移项得
G r 2 F rF r 2 F G F
,
附录：
函数的基本知识
( x) e t t x1dt ( x 0),
0
(1) 定义
(1) 1,
1 ( ) . 2
(2) 函数的递推公式
( x 1) x( x ), ( x 0).
特别的，当 x 为正整数 n 时，有
(n 1) n!
14
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13) (15) (16)
[( s 1) 2 n 2 ]a1 0,
[( s k ) 2 n 2 ]a k a k 2 0 (k 2, 3, )
情形1 如果 n 不为整数(包括0)和半奇数， 先取 s1 n, 代入(15)得 a1 0, 代入(16)得
k 0
可得
s k sk a ( s k ) x a ( s k 1 )( s k ) x k k
k 0
k 0
n
2
a
k 0
k
x
s k
a k x s k 2 0,
k 0
sk 2 sk a x a ( s k 1 )( s k ) ( s k ) n x k 2 0, k
11
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y( x ) a k x s k
k 0
(12) (13)
(a0 0),
y a k ( s k ) x s k 1 ,
k 0
y ak ( s k 1)( s k ) x s k 2
2 2 2
我们采用平面上的极坐标系，则得定解问题
2V 1 V 1 2V 2 V 0 (0 r R), 2 2 r r r r
(7)
V | r R 0.
(8)
6
2V 1 V 1 2V 2 V 0 (0 r R), 2 2 r r r r
(6)
5
u t a 2 (u xx u yy ) (0 x 2 y 2 R 2 ), u | x 2 y 2 R 2 0,
(1) (2) (3)
u |t 0 ( x, y ).
为了求解方程(5)满足条件(6)的非零解， (5) Vxx V yy V 0, (6) V | x y R 0.
ak 2 ak . (k 2, 3, ). k ( 2n k )
(17)
由(17)可知
a1 a3 a5 0,
15
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13) (17)
ak 2 ak . (k 2, 3, ). k ( 2n k )
u |t 0 ( x, y ).
于是有
T a 2T 0,
Vxx V yy V 0.
方程(4)的解为
T (t ) Ae
a 2 t
.
由边界条件(2)有
V | x 2 y 2 R 2 T ( t ) 0,
V | x 2 y 2 R 2 0.
1 a0 n . 2 (n 1) 利用递推公式 n(n) (n 1), 则一般项系数变为
a2m 1 (1) n 2 m 2 m!(n m 1)
m
17
将此系数表达式代回(13)中，
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k
( s k ) 2 n 2 a k a k 2 x s k 0,
k 2
比较上式两边系数则有 ( s 2 n 2 )a0 0,
(14) (15) [( s 1) 2 n 2 ]a1 0, [( s k ) 2 n 2 ]a k a k 2 0 (k 2, 3, ) (16) 由于 a0 0, 从(14)可得 s1 n, s 2 n. 下面分三种情形讨论
m
lim
u m 1 um
x2 lim m 4( m 1)( n m 1)
0 1
则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上 是绝对收敛的。
18
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k
16
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13)
a 2 m (1) m
a0 , 2m 2 m!(n 1)( n 2) (n m)
由于 a 0 是任意常数，我们可以这样取值： 使一般项系数中 2 与 x 有相同的次数，并且同时 使分母简化。 为此取
8
G G 0,
r 2 F rF (r 2 ) F 0.
(9) (10) (11)
将 n 2代入方程(10)得
r 2 F rF (r 2 n 2 ) F 0,
该方程叫做 n 阶贝塞尔方程。 由边界条件(8)V | r R 0 可知 V ( R, ) F ( R)G( ) 0,
k 0
(a0 0),
(13)
其中 s 为常数， 下面来确定 s , a k (k 0, 1, 2, ). 为此，将(13)以及
y a k ( s k ) x s k 1 ,
k 0
k 0
带入方程(12)
y a k ( s k 1)( s k ) x s k 2
F ( R) 0.
另外，由于圆盘上的温度是有限的， 特别在圆心 处也应如此，由此可得
| F (0) | ,
9
因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题 r 2 F rF (r 2 n 2 ) F 0, (11)
F ( R) 0
| F (0) | ,
的固有值与固有函数。 若令 x
x r , 并记 F (r ) F y ( x), 则
Fr y x , Frr ( y xx ) y xx , 将上式代入方程(11)可得 (12) x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
k 0
(12) (13)
(a0 0),
得到方程(12)的一个特解，记作 J n ( x)
J n ( x) a 2 m x
m 0 n2m
x n2m (1) n 2 m , (18) 2 m!(n m 1) m 0
m
J n ( x)称为 n 阶第一类贝塞尔函数。 又由于
3
这个问题归结为求解下列定解问题：
u t a 2 (u xx u yy ) (0 x 2 y 2 R 2 ), u | x 2 y 2 R 2 0,
(1) (2) (3)
u |t 0 ( x, y ).
应用分离变量法求这个问题的解。为此，令 u( x, y, t ) V ( x, y)T (t ), 代入方程(1)得
另外
a0 a0 a2 2 , 2( 2 n 2) 2 1 (n 1) a0 a2 a4 4(2n 4) 2 4(2n 2)( 2n 4) a0 4 , 2 2 1(n 1)( n 2)
a2m a0 (1) 2 m , 2 m!(n 1)( n 2) (n m)
2
5.1
贝塞尔方程及贝塞尔函数
一、贝塞尔方程的导出 在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或 薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会遇到 贝塞尔方程。下面，我们以圆盘的瞬时温度分 布为例来导出贝塞尔方程。 设有半径为 R 的圆形薄盘，上下两面绝热， 圆盘边界上的温度始终保持0度， 且初始温度 分布为已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。 我们用u( x, y, t )来表示时刻 t 圆盘上点 ( x, y ) 处的温度函数。
方程(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程， 它的解称为贝塞尔函数。 (有时称之为柱函数)。
10
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
(12)
二、贝塞尔函数 由微分方程解的理论知：方程(12)有如下形式 的广义幂级数解：
y ( x) a k x s k
G( ) G( 2 ),
求解常微分方程的边值问题
G G 0,
G( ) G( 2 ),
可得
G0 ( ) 1 a0 2
n2
(n 0, 1, 2, )
Gn ( ) a n cos n bn sin n . (n 1, 2, )
( s k ) 2 n 2 a k a k 2 x s k 0,
k 2
13
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13)
( s 2 n 2 )a 0 x s [( s 1) 2 n 2 ]a1 x s 1
(7)
(8)
V | r R 0.
再令 V (r , ) F (r )G( ), 代入方程(7)得
1 1 F G F G 2 FG FG 0, r r
r2 两端乘以 FG
移项得
G r 2 F rF r 2 F G F
,
附录：
函数的基本知识
( x) e t t x1dt ( x 0),
0
(1) 定义
(1) 1,
1 ( ) . 2
(2) 函数的递推公式
( x 1) x( x ), ( x 0).
特别的，当 x 为正整数 n 时，有
(n 1) n!
14
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13) (15) (16)
[( s 1) 2 n 2 ]a1 0,
[( s k ) 2 n 2 ]a k a k 2 0 (k 2, 3, )
情形1 如果 n 不为整数(包括0)和半奇数， 先取 s1 n, 代入(15)得 a1 0, 代入(16)得
k 0
可得
s k sk a ( s k ) x a ( s k 1 )( s k ) x k k
k 0
k 0
n
2
a
k 0
k
x
s k
a k x s k 2 0,
k 0
sk 2 sk a x a ( s k 1 )( s k ) ( s k ) n x k 2 0, k
11
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y( x ) a k x s k
k 0
(12) (13)
(a0 0),
y a k ( s k ) x s k 1 ,
k 0
y ak ( s k 1)( s k ) x s k 2
2 2 2
我们采用平面上的极坐标系，则得定解问题
2V 1 V 1 2V 2 V 0 (0 r R), 2 2 r r r r
(7)
V | r R 0.
(8)
6
2V 1 V 1 2V 2 V 0 (0 r R), 2 2 r r r r
(6)
5
u t a 2 (u xx u yy ) (0 x 2 y 2 R 2 ), u | x 2 y 2 R 2 0,
(1) (2) (3)
u |t 0 ( x, y ).
为了求解方程(5)满足条件(6)的非零解， (5) Vxx V yy V 0, (6) V | x y R 0.
ak 2 ak . (k 2, 3, ). k ( 2n k )
(17)
由(17)可知
a1 a3 a5 0,
15
y ( x) a k x s k
k 0
(a0 0),
(13) (17)
ak 2 ak . (k 2, 3, ). k ( 2n k )
u |t 0 ( x, y ).
于是有
T a 2T 0,
Vxx V yy V 0.
方程(4)的解为
T (t ) Ae
a 2 t
.
由边界条件(2)有
V | x 2 y 2 R 2 T ( t ) 0,
V | x 2 y 2 R 2 0.
1 a0 n . 2 (n 1) 利用递推公式 n(n) (n 1), 则一般项系数变为
a2m 1 (1) n 2 m 2 m!(n m 1)
m
17
将此系数表达式代回(13)中，
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k
( s k ) 2 n 2 a k a k 2 x s k 0,
k 2
比较上式两边系数则有 ( s 2 n 2 )a0 0,
(14) (15) [( s 1) 2 n 2 ]a1 0, [( s k ) 2 n 2 ]a k a k 2 0 (k 2, 3, ) (16) 由于 a0 0, 从(14)可得 s1 n, s 2 n. 下面分三种情形讨论
m
lim
u m 1 um
x2 lim m 4( m 1)( n m 1)
0 1
则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上 是绝对收敛的。
18
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k