第二章定解问题.

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什么是定解问题

§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。

2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。

方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。

方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。

例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。

质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。

§1.3 定解条件。

一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。

例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。

定解条件和定解问题

定解条件和定解问题含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程,常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。

方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。

方程(组)中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程(组）的阶数。

如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的,否则就称为非线性的。

非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性.一、定解条件给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。

通解只要求满足方程,即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。

特解除了要求满足方程还要满足给定的外加(特殊)条件。

对偏微分方程也是如此,换句话说,只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。

描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件(或边值条件),他们统称为定解条件.初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件.边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件,即描述物理过程边界状态的数学条件。

定解条件：初始条件和边界条件的统称。

非稳态问题:定解条件包括初始条件和边界条件。

稳态问题：定解条件为边界条件。

1、弦振动方程（ 2(,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>）初始条件是指初始时刻（0t =)弦的位移和速度。

若以()x ϕ,()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件为：边界条件是指弦在两端点的约束情况,一般有三种类型。

(1)第一类边界条件(狄利克雷(D ｉｒi ｃhl ｅt)边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ,则边界条件为：(0,)(0,)u t g t =或 (,)(,)u l t g l t =当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。

数学物理方程-福州大学-江飞-2.1热传导方程及其定解问题的导出

n
k
u n
k1 u
u1 uΒιβλιοθήκη k k1u nu1
一般形式：u
u n (x,y,z)
g(x, y, z,t)
或
u
u n
g
泛定方程：u t
a2
2u x2
2u y2
2u z2
f
柯西
初始条件 u
a2u f
问题
t0
初边
u g
值边
热管道 1D : ut a2uxx f
t1
则有热源的热传导方程为 ut a2u f a2u F / c .
2. 扩散方程的导出
扩散物从浓度高流向浓度低
* Nerst扩散定律
在该点的扩散系数
扩散物在无穷小时段dt内沿法线方向流过一个无穷
小面积dＳ的质量dm与扩散物浓度沿曲面dＳ法线
方向的方向导数N 成正比，即
n
t1,t2
由能量守恒：Q流入 Q吸收
t2 k(x, y, z) udSdt
t1
n
N-L公式及交换下积分次
c(x, y, z)(x, y, z)[u(x, y, z,t2) u(x, y序, z,t1)]dxdydz
t2 t1
ctudxdydzdt
利用高维N-L积分公式，
左端 t2 k(x, y, z) udSdt
dm D(x, y, z) N dSdt
n
因此类似热方程推导：
t2 D(x, y, z) NdSdt
t1
n
(N(x, y, z,t2) N(x, y, z,t1))dxdydz
tN(x, y, z,t) x DxN x DyN x DzN

定解问题

2本征（特征）值问题在求解方程过程中，我们遇到如下问题：()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。

这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；方程相应于不同λ值的非零解称为本征函函数。

求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。

量子力学中的本征值问题经典力学中的物理量在量子力学中都对应于一个Hermitian operator。

任意一个Hermitian operator的本征函数都可以构成Hilbert空间的一个完备函数基。

而其他任意Hermitian operator的本征函数都可以用这个完备基展开，而且展开式是唯一的。

每个Hermitian operator的本征值对应于该物理量可能的观测值；每次测量该物理量总会以一定概率得到某个本征值，这个概率由测量时体系的波函数决定。

3分离变量法可以推广应用到各种定解问题，但它的应用也有一定的限制：1、常系数偏微分方程总能进行变量分离，而变系数偏微分方程则不一定。

2、二阶线性偏微分方程并不总是存在变量分离的解。

6分离变量法实际上是通过某种办法得到了问题的某一种完备基函数，然后将问题的解用该完备基展开，再利用定解条件确定展开系数，从而确定问题的解。

这一做法在量子力学中被广泛使用，尤其是在利用数值方法求解薛定谔方程的时候。

713非齐次方程—有界弦的受迫振动考虑有界弦的受迫振动，即研究定解问题：容易知道，直接应用分离变量法行不通(?)。

()()()()()()()()()()()[]()2,,0,,0,0,0,,0, 0,0,,0. 0,tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=+∈∈∞⎪⎪==≥⎨⎪==∈⎪⎩分离变量法处理问题的程序1、对方程和边界条件分离变量，如果边界条件是非齐次的，还要对边界条件进行处理。

3第二章-有限差分方法基础

2.1.1 基本方程和定解问题
u t
2u x2
( 0)
求解域： (x, t) [0,1][0, ]
(2.1.1)
初始条件： u(x, 0) f (x)
边界条件： u(0, t) a(t), u(1, t) b(t)
(2.1.2)
方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。
根据数学分析中的知识，我们知道
2u (x,t) lim u(x x,t) 2u(x,t) u(x x,t)
x2
x0
x2
所以，二阶导数可以近似为
2u
x
2
n
k
un k 1
2ukn x2
ukn
un k 1
2ukn
un k 1
称为二阶中心差分。
容易证明：
un k 1
2ukn
un k 1
t
)
ut
(
x,
t
)
lim
t 0
u(
x,
t
t
)u 2t
(
x,
t
t
)
其中，lim 后面的项称为差商(difference quotient)。 t 0
当t足够小时，可以用差商来近似导数。
即：
u(x,t t) u(x,t)
ut (x,t)
t
u(x,t) u(x,t t)
ut (x,t)
t
u(x,t t) u(x,t t)
The Elements of Computational Fluid Dynamics
第二章有限差分方法基础
§2.1 有限差分方法概述 §2.2 导数的数值逼近方法 §2.3 差分格式的性质 §2.4 发展方程的稳定性分析

第二章分离变量法2

第三步：求特解，并叠加出一般解
求解了特征值问题后，将每特征值n 代入函数T (t )满足的方程 T ' (t ) 2 a 2T (t ) 0
可得 Tn (t ) Ane
2 2 n at
从而我们得到满足边界条件的一组特解 u n ( x , t ) Cn e
2 2 n a t
2
u t 0 ( x), 0 x l.
分析方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题仍用分离变量法求解。
第一步：分离变量
类似§ 2.1中步骤，设u( x, t ) X ( x)T (t )，代入上面的方程可得
X '' ( x) T ' (t ) 2 X ( x) a T (t )

2 (2k 1) Ck u0 sin d l 0 2l
l
举例
2 u u 2 x (0, l ), t 0 t a x 2 , u0 x [0, l ] u ( x, 0) x, l u (0, t ) u x (l , t ) 0, t 0
2 2 a 2 (n 1 (n 1 ) (1)n 2 2 ) u ( x, t ) 2 exp t sin 2 1 2 n 0 (n 2 ) l l
•
tan l
1 令 l , tan hl
上方程的解可以看作曲线y1 tan ，y2 交点的横坐标，如图：
显然它们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。这里只取正根 1 , 2 n , 于是得到特征值问题的无穷个特征值 n n2 ( n ) 2 , (n 1,2,3...) l 及相应的特征函数 X n ( x) Bn sin n x

《数理方程》第二章分离变量解法

解：设 u( x, t ) = X ( x)T (t ) 得到
T ′′( t ) X ′′( x ) = = −λ 2 a T (t ) X ( x)
如果
λ >0 则
X "+λX = 0 X ′(0) = 0 X ′(l ) = 0
X ( x ) = C cos λ x + D sin λ x
12
现确定积分常数
第二章定解问题的分离变量解法
1
第一节一维齐次方程、齐次边界条件混合问题的分离变量解法
⎧utt = a 2 u xx , 0 < x < l, t > 0 ⎪ (Ι) ⎨u |x =0 = 0, u |x =l = 0, t≥0 ⎪u | = ϕ ( x), u | = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l t t =0 ⎩ t =0
固有值问题
20
第二步：求固有值 λ 和固有函数 X(x)，以及 T(t)的表达式
n 2π 2 λn = ( n = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅) l
⎛ nπ a ⎞ Tn′(t ) + ⎜ ⎟ Tn (t ) = 0 ⎝ l ⎠
Tn (t ) = Cn e
这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波，其振幅 An sin nπ x 随不同的时间 t 0 而不同。 l
10
nπ x0 • 对任意一点 x , U n ( x0 , t ) = An sin(ωn t + δ n )sin 0 l
这表示在任意一点
x0 处都作简谐振动。
n=4
• 驻波
o
nπ U n ( x, t ) = An sin(ωn t + δ n )sin x l

数学物理方程课后参考答案第二章

第二章热传导方程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。

解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。

记杆的截面面积42l π为S 。

由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xuk t s x u k t s x u k dQ x x x x ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。

由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l kxu k t u c --∂∂=∂∂ρ或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。

解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。

§2.1 定解条件

2、定解问题的适定性
在求解的偏微分方程的定解问题时，必须首先确定三个关键问题： 1、定解问题存在性————有解；如果定解条件过多，互相矛盾，则定解问题无解。定解问题有解，要求所给定解条件数合适，且互相自洽，保证定解的存在。 2、定解问题的唯一性————解是唯一的；如果定解条件不足，则定解问题的解就不是唯一的。定解问题如果要求有唯一解，则所给定解条件数就要合适、充分，使得定解问题是唯一的。
K c
u ( x, t ) 0
2
①，系统被置于固定热源当中，即边界上的温度已知：
u(x,t)
S
(S , t)
②，通过边界单位时间流入系统内的热量已知，即：
q(x,t) n
xS
(S , t)
x S
根据Fourier定律： K u ( x , t ) n
u ( x , t ) t0 ( x ) , x V
2 2 例2、对于弦振动方程: u ( x , t ) tt u ( x , t ) 0
方程中存在时间的二次偏微分项，所以初始条件不但要给出t=0时刻的温度分布即可，还要给出t=0时刻的弦振动的运动速度，即：
第二章偏微分方程的定解问题
§2.1、定解条件
§2.2、定解问题的适定性
§2.3、偏微分方程的分类
1、定解条件
由受力分析得到的偏微分方程并不能唯一地确定系统的运动，要完全确定系统的运动还必须给定系统的边界条件和初始条件，一般来说，偏微分方程的通解含有多个待定常数，只有给定合适的边界条件和初始条件，才能唯一地确定这些待定常数。 (1)、在力学分析时，只考虑了介质内部的力学性质，并没有考虑介质通过表面和外界进行的相互作用，因此，微分方程只适合描述内部内部。 (2)、如果问题与时间有关，我们在进行力学分析时并没有考虑介质的历史状况，所以严格来说，系统的解是系统历史状态的函数。

数学物理方法习题解答完整

数学物理方法习题解答一、复变函数局部习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，那么上式中**1z zz z∆∆==∆∆】 3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，那么()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。

但33332200()(0)()lim lim ()()z z f z f x y i x y zx y x iy →→--++=++。

令y 沿y kx =趋于0，那么依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。

4、假设复变函数()z f 在区域D 上解析并满足以下条件之一，证明其在区域D 上必为常数。

〔1〕()z f 在区域D 上为实函数；〔2〕()*z f 在区域D 上解析；〔3〕()Re z f 在区域D 上是常数。

证明：〔1〕令()(,)(,)f z u x y iv x y =+。

由于()z f 在区域D 上为实函数，所以在区域D 上(,)0v x y =。

第二章定解问题

（k为热导率，与介质材料有关）
（3）热源强度（单位时间内单位体积源放出的热量）
F Q tV
3、建立方程：（1）在t时间内引起小段x的温度升高时，所需热量为
Q c( Ax)[u(x,t t) u(x,t)]
取 t 0
Q c Autxt
（2）在t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为
Q1(x) kux (x,t) At
l2
x
l
ut (x, t) t0 0
（2）如果泛定方程是关于时间变量 t 的 n 阶(n=1,2…) 方程，就必须给出 n 个初始条件，只有这样才可能给出具体问题的定解。
例长为 l 的细杆导热问题，设其初始温度均匀，记为u0 ，试写出该过程的初始条件。解：由题意，得
u(x,t) |t0 u0 , (0 x l)
1在?t时间内引起小段?x的温度升高时所需热量为qcaxuxttuxt??????取0t??tqcauxt????tq?2在?t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为1xqxkuxtat???3在?t时间内沿x轴由x?x处正向流出截面的热量为2xqxxkuxxtat???????4在?t内杆内热源在?x段产生的热量为qftaat??3qfxtaxat???根据能量守恒定律123qqqq???txxcauxtkuxtatkuxxtatfaxt?????????????xxtkuxxxuxtcufx???????令0x??取极限kf令0x??取极限txxuucc????txxudufxt??一维的热传导方程类似可得三维扩散热传导方程
所产生的扩散物质），试根据能斯特（Nernst)定律（通过界面d 流出的扩散物质为-Du d )和能量守恒定律导出扩散方程：
ut Du F, 其中D为扩散系数。

微分方程定解问题的基本概念

微分方程定解问题的基本概念微分方程是数学中的一个重要分支，它用来描述物理、经济、生物等学科中的现象和问题。

微分方程定解问题则是微分方程研究的重点，它对于解决实际问题具有非常重要的作用。

一、微分方程的基本概念微分方程是描述变量之间的变化关系的方程，其形式通常为：y′ = f(x, y)其中y′ 表示 y 对 x 的导数，f(x, y) 表示 x 和 y 的函数关系。

微分方程的解是一组函数，它满足微分方程和附加条件（称为初值条件或边界条件）。

二、定解问题的基本概念定解问题是指在微分方程中确定初始条件或边界条件，求得微分方程的解。

定解问题可以分为初值问题和边值问题。

初值问题是在一个点（通常为 x0）给出一个函数值（通常为y(x0)）和其导数值（通常为y′(x0)），求解函数在另一点的取值。

初值问题通常用初值问题解法求解。

边值问题是在一段区间内给出一个函数值和其导数值，求解函数在该区间的取值。

边值问题通常用曲线拟合法或数值法求解。

三、常见的定解问题常见的定解问题包括：1.一阶常微分方程的初值问题。

例如：y′ = f(x, y), y(x0) = y02.一阶常微分方程的边值问题。

例如：y′ = f(x, y), y(a) = ya, y(b) = yb3.二阶常微分方程的初值问题。

例如：y′′ = f(x, y, y′), y(x0) = y0, y′(x0) = y0′4.二阶常微分方程的边值问题。

例如：y′′ = f(x, y, y′), y(a) = ya, y(b) = yb四、定解问题的应用定解问题在物理、工程、金融等领域中有广泛的应用。

例如：1.物理学中的定解问题：在自然界中的各种物理现象中，微分方程定解问题经常被用于对各种现象和性质的研究和分析。

2.工程学中的定解问题：设计和分析各种工程系统时，微分方程定解问题经常被用于模型的建立和计算。

3.金融领域中的定解问题：在金融领域中，微分方程定解问题被用来分析各种金融产品的产生和变化，预测市场走势等。

第二章热传导方程习题解答

齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2015-11-27
9 / 51
热传导方程及其定解问题的导出
解: 与第1题类似, 取导线轴为 x 轴, 在时刻 t1 到 t2 介于 [x1 , x2 ] 的导线段的热量增加为: 从导线的其它部分流入的热量, 从侧面流入的热量以及电流通过 [x1 , x2 ] 这段产生的热量之和, 即 ( ) ∫ t2 ∫ x 2 ∫ t2 ∫ x 2 ∫ x2 ∫ t2 ∂ ∂u i2 r k ωdxdt − k1 P(u − u0 )dxdt + 0.24 dxdt. ∂x ω t1 x1 ∂x t1 x1 x1 t1 因此根据热量平衡就可得导线温度满足的方程为 ∂u k ∂2 u k1 P 0.24i2 r = − (u − u0 ) + . 2 ∂t cρ ∂x cρω cρω
Example 1.4
设一均匀的导线处在周围为常数温度 u0 的介质中, 试证: 在常电流作用下导线的温度满足微分方程 ∂u k ∂2 u k1 P 0.24i2 r = − (u − u0 ) + , 2 ∂t cρ ∂x cρω cρω 其中 i 及 r 分别表示导体的电流及电阻, P 表示横截面的周长, ω 表示横截面的面积, 而 k1 表示导线对于介质的热交换系数.
Ω Ω t2 t1
∂N dtdxdydz. ∂t
根据质量守恒, 并注意到 Ω, t1 , t2 的任意性, 得所求方程为 ( ) ( ) ( ) ∂N ∂ ∂N ∂ ∂N ∂ ∂N = D + D + D . ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2015-11-27
6 / 51

数学物理方程谷超豪版第二章课后答案.doc

第二章热传导方程§ 1热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dQ k 1(u u 1 )dsdt又假设杆的密度为，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。

解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度u u( x,t) 。

记杆的截面面积 l 2为 S 。

t 到 tt 内流入截面坐标为 x 到 xx 一小段细杆的热量为 4由假设，在任意时刻dQu s t k u2u s x tkxs t k1x x x xx 2 xt 到 tt 在截面为杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。

由假设，在时刻x 到 xx 一小段中产生的热量为4k 1dQ2k 1 u u l x tu u s x t1l1又在时刻 t 到 tt 在截面为 x 到 xx 这一小段内由于温度变化所需的热量为dQc u x,tt u x,t s x c u s x t由热量守恒原理得：3t tcu s x t k2us x t4k 1u u s x tt tx2 xl1消去 sx t ，再令x 0 ， t 2 u 0 得精确的关系：cuk 4k 1 u ut x 2 l1u k 2u 4ka 22 u4k或t cx2c 1u u 1x2c 1u u 1ll其中a2kc2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。

解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域为，则从时刻 t 1 到 t 2 流入此闭曲面的溶质，由 dMDudsdt ，其中 D 为扩散系数，得nt 2D udsdtMt 1 snt 2t 2C udvdtM 1C u x, y, z, t 2 u x, y, z, t 1 dxdydzCudtdvt 1tt 1t两者应该相等，由奥、高公式得：t 2uuut 2C udvdtMD D D dvdt M 1t 1xx y y z zt 1t其中 C 叫做孔积系数 =孔隙体积。

传热学第二章

刘彦丰华北电力大学工程应用的两个基本目的：•能准确地预测所研究系统中的温度分布；•能准确地计算所研究问题中传递的热流。

要解决的问题：温度分布如何描述和表示？温度分布和导热的热流存在什么关系？如何得到导热体内部的温度分布？第二章导热基本定律及稳态导热刘彦丰华北电力大学本章内容简介2-1 导热基本定律2-2 导热微分方程式及定解条件2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热（一维稳态导热）2-4 通过肋片的导热分析2-5 具有内热源的导热及多维导热回答问题1和2回答问题3具体的稳态导热问题刘彦丰传热学Heat Transfer 华北电力大学一、温度分布的描述和表示像重力场、速度场等一样，物体中的温度分布称为温度场。

1、温度分布的文字描述和数学表示，如：在直角坐标系中非稳态温度场),,,(τz y x f t =稳态温度场),,(z y x f t =一维温度场二维温度场三维温度场)(x f t =),(τx f t =),(y x f t =),,(τy x f t =),,(z y x f t =),,,(τz y x f t =2-1 导热基本定律刘彦丰传热学Heat Transfer华北电力大学2、温度分布的图示法传热学Heat Transfer 2、温度分布的图示法等温线传热学Heat Transfer二、导热基本定律(傅立叶定律)1822年，法国数学家傅里叶（Fourier ）在实验研究基础上，发现导热基本规律——傅里叶定律.法国数学家Fourier: 法国拿破仑时代的高级官员。

曾于1798-1801追随拿破仑去埃及。

后期致力于传热理论，1807年提交了234页的论文，但直到1822年才出版。

刘彦丰华北电力大学在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比于垂直于该截面方向上的温度梯度和截面面积，方向与温度梯度相反。

1、导热基本定律的文字表达：nntgradt q ∂∂−=−=λλ2、导热基本定律的数学表达：t+Δt tt-Δt刘彦丰华北电力大学3、意义已知物体内部的温度分布后，则由该定律求得各点的热流密度或热流量。

地下水动力学第二章

2.1.3 渗流连续性方程
连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程水均衡的基本思想：
对某一研究对象，流入－流出＝V 研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体
大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。
为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。
vx
K xx
H x
vy
K yy
H y
vz
K zz
H z
(vx )
x
x
(K xx
H x
)
[
x
K xx
H x
x
(K xx
H x
)]
由于在一般情况下，水的密度变化很小，可视近似不变，故
x
K xx
H x
x
K
xx
H x
(vx )
x
x
(K xx
H x
)
渗流连续
性方程化简
(v
x
x
)
( v y
d 1 dVb Vb
dp 1 dVb 1 dVv 1 de
Vb Vb 1 e
e (1 e)
p
如果取出水平面积为1个单位，高度为 m的岩土柱体(其体积Vb=m×１)来分析，而且近似认为该柱体不发生侧向变形,体积的变形直接反映在该柱体的高度m的变化 .
dp 1 dm
m
对此式积分 m m0 (1 p)
p
t p t
t
根据 d 和dp dH ,得 p H
dp
t p t
t
(nz) z [(1 e) H e H ]