线性规划的对偶理论及其应用
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用摘要线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解.关键词：线性规划；原问题；对偶问题；转化LinearProgrammingistheOriginalProblemandtheTransformationoftheDualProblemandApplicationsAbstract:Linearprogramminginoperationalresearchisresearchearlier,rapiddevelopmentandw ideapplication,themethodisanimportantbranchofmature,itisoneofthescientificmanagementofa uxiliarypeoplemathematicalmethod.Canfromdifferentanglestolinearprogrammingdualproble mforpolicymakerstoprovidemorescientifictheorybasis.Thisarticlemainlyprobesintothelinearp rogrammingproblemandtherelationshipbetweenthedualproblem,linearprogrammingproblem andthetransformationofthedualproblem,theapplicationoflinearprogrammingdualproblem.Thi sarticleisthecomplexoftheoriginalproblemintoitsdualproblemtobesolved,simplifiesthelinearp rogrammingproblem,enablesustorapidlyfindtheoptimalsolutionoflinearprogrammingproble m.Keywords:linearprogramming;theoriginalproblem;thedualproblem;conversion目录4.4非对称型原问题转化为对偶问题 (10)1引言线性规划问题是运筹学里的一个重要的分支，它的应用比较广泛，因而是辅助人们进行现代科学管理的一种数学方法.随着线性规划理论的逐步深入，人们发现线性规划问题具有对偶性，即每一个线性问题都伴有另外一个线性问题的产生，两者相互配对，密切联系，反之亦然.我们把线性规划的这个特性称为对偶性.于是，我们将其中的一个问题称为原问题，另一个问题则称为它的对偶问题.对偶性不仅仅是数学上的理论问题，而且也是线性规划中实际问题的内在经济联系的必然反映.我们通过对对偶问题的深入研究，发现对偶问题能从不同角度对生产计划进行分析，从而使管理者能够间接地获得更多比较有用的信息.2文献综述2.1国内外研究现状在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，有不少文章是探讨了原问题转化为对偶问题的方法以及对偶性质的证明，并在对偶理论的应用方面有所研究.如郝英奇，胡运权在[1]、[10]中主要介绍了线性规划中原问题与对偶问题中的一些基本概念，探究了实际问题中的数学模型以及解.孙君曼，冯巧玲，孙慧君，李淑君等在[2]中探讨了对偶理论中互补松弛定理在各种情况下的使用方法,使学生更好地掌握互补松弛定理的含义和应用方法.胡运权，郭耀煌，殷志祥等在[3]、[5]中系统的介绍了线性规划中原始问题与对偶问题的两种形式.郭鹏，徐玖平等在[6]、[8]中用不同例子来说明了原问题转化为对偶问题的必要性.崔永新等在[9]、[15]中探讨了对偶问题的相关定理以及对偶问题的可行解和最优解之间的若干性质.李师正，王德胜在[11]中探讨了如何用计算机计算对偶问题的最优解.岳宏志，蔺小林，孙文喻等在[12]、[14]中探讨了对偶理论的证明过程，并用常见的例子来说明对偶理论的基本思想和解题方法.曾波，叶宗文在[13]中主要从经济管理的实际问题中阐述了线性规划的基本概念，基本原理，对偶理论，灵敏度分析等.2.2国内外研究现状评价文献[1-15]分别探讨了线性规划问题中原问题转化为对偶问题的理论依据以及如何利用对偶理论去解决实际生产问题.文献中主要探讨了对称型的原问题转化为对偶问题的方法.没有全面介绍非对称型的原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，而且文献中对原问题转化为对偶问题的步骤提及甚少，大都一带而过，对应用中存在的问题也未给出详细深入的说明.2.3提出问题在线性规划问题中,根据实际生产中具体情况的需要,我们常常要把原问题与它的对偶问题进行转换,以解决一些复杂的线性规划问题,因而对偶问题的应用较为广泛.但大部分书籍都只介绍了线性规划问题的基础知识，并没有给出原问题与对偶问题转换的具体步骤.因此本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，体会不同类型原问题的转化过程.3预备知识首先我先简单的介绍一些关于线性规划问题中的原问题和对偶问题的一些基本的知识.3.1对称形式的原问题我们将满足下列条件的线性规划问题称之为具有对称形式的线性规划问题.这类问题的变量都具有非负约束，当目标函数求极大值时，它的约束条件都取“≤”号，当目标函数求极小值时它的约束条件均取“≥”号.因而，这类数学模型的特点是：（1）所有的决策变量都是非负的；（2）所有的约束条件都是“≤”型；（3）目标函数是最大化类型.一般形式为：线性规划原问题的对称形式的]1[⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+++≤+++≤+++),,2,1(0.22112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m n mn m m n n n n ΛΛMΛΛ(3.1) 3.2非对称形式的原问题不是所有的线性规划问题都具有对称的形式，我们将没有对称形式的线性规划问题称之为非对称形式的线性规划问题.非对称形式的线性规划问题指的是一般情况下的线性规划问题，即是目标函数值求极小或者求极大；约束条件；，或是无限制的随意的组合.例如： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++=++≤++无约束321333323213123232221211313212111,0,0.x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s (3.2) 3.3对偶问题的定义在运筹学中，关于对线性规划的对偶规划给出的]2[定义如下.设给定的线性规划为：⎩⎨⎧≥≤0.X b AX t s (3.2) 其中()T n x x x X ,,,21Λ=，()nm ij a A ⨯=，()T m b b b b ,,,21Λ=，()n c c c C ,,,21Λ= 因此，定义它的对偶问题为：⎩⎨⎧≥≥0.Y C YA t s (3.4) 其中()m y y y Y ,,,21Λ=是行向量.(3.4)是对偶问题，(3.3)是原问题，(3.3)与(3.4)合在一起我们就称为是一对对称形式的对偶规划问题.3.4原问题转化为对偶问题的理论依据表所示：我们根据线性规划问题中约束条件和变量的对应关系，统一归纳为下]3[1表14原问题与对偶问题的转化一对对偶的线性规划问题表示了同一个问题的两个侧面，是从两个角度对同一个研究对象提出的极值问题，两类极值的问题都具有相同的目标函数值.我们发现在很多时候求解对偶问题比原问题更加容易，为决策者提供更多的科学理论依据，因此我们常常需要把原问题转化为对偶问题.4.1原问题与对偶问题的关系一对对偶的线性规划问题具有相互对应的关系：（1）原问题中的目标函数值是max，约束条件是“≤”的形式；对偶问题的约束条件是“≥的形式.min目标函数值为，”（2）原问题的价值系数和对偶问题的右端项对应，原始问题的右端项和对偶问题的价值系数对应.（3）原问题的变量和对偶问题的约束条件对应，即，原问题中有个n变量，那么对偶问题就有个m变量.m约束条件，那么对偶问题就有个n约束条件；原问题有个（4）对偶问题的系数矩阵就是原问题的系数矩阵的转置.用矩阵表示，原问题为：则对偶问题为：需要注意的是，我们所讨论的对偶问题一定是指一对问题，而原问题和对偶问题是相对的，它们互为对偶问题，一个问题可以是原问题也可以是对偶问题.4.2对称型原问题转化为对偶问题当线性规划问题为一般形式（3.1）时，我们将根据下面的四条规则转换为它的对偶问题：（1）原问题和它的对偶问题之间的系数矩阵互为转置.（2）原问题中变量的个数等于它的对偶问题的约束条件的个数.（3）原问题的右端常数就是对偶问题的目标函数的系数.（4）原问题的目标函数求极大时，约束条件是“≤”类型，而它的对偶问题的目标函数求极小，约束条件则为“≥”类型.形式：因此，它的对偶问题可以转变为如下的]4[例1生产计划问题云南一公司加工生产甲，乙两种产品，它的市场前景非常的好，销路也不成问题，各种制约因素主要有技术工人、设备台时和原材料供应.已知制造每吨产品的资源消耗系数、每天的资源限量和售价等参数如表2所示.问题：云南的这家公司应该怎样制定每天的生产计划，才能使它的产量得到最大？表2分析：为了建立此问题的数学模型，第一，要选定决策变量.第二，要确定问题的目标，即用来评价不同方案优劣的标准，这种目标总是决策变量的函数，称为目标函数.第三，我们把要确定达到目标时所受的限制条件，称之为约束条件.这里要决策的问题是，在现有人力、设备、矿石的限制下，如何确定产量使得产值自大？设1x 和2x 分别表示该公司A ，B 产品的数量，用z 表示产值，则每天的产值表示为2115090x x z +=，使其最大化，即2115090m ax x x z +=，称为目标函数.将制约因素表达出来，即有：人力不超过320工时，为3206821≤+x x ；设备不超过260台时有，2608621≤+x x ；原材料不超过300公斤有，30010421≤+x x 。
第三章 线性规划的对偶理论
s.t. AX=b X≥0 由于 AX=b 即 AX=b
AX≤b AX≥b
AX≤b -AX≤-b 所以，原问题可化为 max z=CX s.t. AX≤b -AX≤-b X≥0
A
X≤ -A
b
-b
14
设Y'：AX≤b的对偶变量（行向量） Y''：-AX≤-b的对偶变量（行向量） 按对称形式的对偶关系可得出原问题的对偶问题如下： min w =Y'b-Y''b= （Y'-Y''）b （Yb=bTYT） s.t Y'A-Y''A≥C （ YA=ATYT） Y'≥0，Y''≥0 令Y= Y'-Y''，则对偶问题为 min w =Yb s.t YA≥C Y符号不限 结论：原问题中约束条件为等式，对应的对偶变量 无非负要求；反过来同样成立。
s.t. 2y1+ y2+ 4y3 ≥2
2y1+2y2+ 4y4 ≥3 y1, y2 , y3 , y4 ≥ 0
解：2.首先将原式变形
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关系直接给 出其对偶规划。 （1）对原问题模型为“max，约束条件为≤”或“min，约 束条件为≥” 的形式，对应的对偶规划的变量大于 0 ；反之， 若原问题模型为“max，≥”或“min，≤” 的形式，对应的 对偶规划的变量小于0。 （ 2 ）原问题线性规划的决策变量大于 0 ，则对偶问题的模 型为“max，约束条件为≤”或“min，约束条件为≥” 的形 式；若原问题线性规划的决策变量小于0；则对偶问题的模型 为“max，≥”或“min，≤” 的形式。
线性规划的对偶理论(第一部分
对偶问题的约束条件 对应于原问题的目标 函数和约束条件的系 数。
对偶问题的可行解集 是原问题可行解集的 凸包。
原问题与对偶问题关系
弱对偶性
对于任意一对原问题和对偶问题 的可行解，原问题的目标函数值 总是大于或等于对偶问题的目标
函数值。
强对偶性
当原问题和对偶问题都存在可行 解时，它们的最优解对应的目标
强对偶性定理
若原问题和对偶问题都有可行解，则 它们分别存在最优解，且这两个最优 解的目标函数值相等。
在满足某些约束规格（如Slater条件） 的情况下，强对偶性成立。
互补松弛条件
在原问题和对偶问题的最优解中，如果某个约束条件的对偶变量值为正，则该约束 条件必须是紧的（即取等号）。
如果原问题（对偶问题）的某个变量在最优解中取正值，则其对应的对偶问题（原 问题）的约束条件必须是紧的。
标准形式
通常将线性规划问题转化为标准 形式，即求解目标函数的最小值 ，约束条件为一系列线性不等式 。
对偶问题定义与性质
对偶问题定义：对于 给定的线性规划问题， 可以构造一个与之对 应的对偶问题，该问 题的目标函数和约束 条件与原问题密切相 关。
对偶问题性质
对偶问题的目标函数 是原问题约束条件的 线性组合。
解决对偶间隙等关键问题
在实际应用中，由于原问题和对偶问题之间可能存在对偶间隙，导致对偶理论的实用性受到一定的限制。 未来可以研究如何缩小或消除对偶间隙，提高对偶理论的实用性和应用范围。
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简化了复杂问题的求解过程
对偶理论能够将一些复杂的线性规划问题转化为相对简单的对偶问题进行求解，从而降低了问题 的求解难度和计算量。
揭示了原问题和对偶问题之间的内在联系
线性规划对偶问题
线性规划对偶问题线性规划是一种优化问题的数学建模方法，在实际生产和管理中广泛应用。
线性规划问题通常包括最大化或最小化一个线性目标函数的约束条件下的一组线性不等式或等式。
对于一个线性规划问题，其对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的。
对偶问题有助于理解原问题的特性，并提供关于原问题的附加信息。
具体来说，对于一个原问题：最小化 C^T * X约束条件 A * X >= bX >= 0其中，C是目标函数的系数矩阵，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧向量。
对于原问题的对偶问题，其形式为：最大化 b^T * Y约束条件 A^T * Y <= CY >= 0其中，Y是对偶变量向量。
对偶问题的最优解被称为对偶可行解，对偶问题的最优解与原问题的最优解之间存在弱对偶性和强对偶性。
弱对偶性指的是对于原问题的任意可行解X和对偶问题的任意可行解Y，有C^T * X >= b^T * Y。
这意味着对于原问题的任意最优解X*和对偶问题的任意最优解Y*，有C^T * X* >=b^T * Y*。
强对偶性指的是如果原问题和对偶问题的任意一个都有有界解，那么它们必然存在一对最优解，使得C^T * X* = b^T * Y*。
对偶问题的解决可以通过使用单纯形法或内点法等优化算法来进行求解。
对偶问题对线性规划问题的求解具有重要的应用价值和理论意义。
它可以用于确定原问题的可行解的界限，还可以提供原问题的敏感性分析和稳定性分析。
总之，线性规划的对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的，对偶问题为理解原问题的特性和提供附加信息提供了一种有力的工具。
优化问题中的对偶理论
优化问题中的对偶理论在数学中，优化问题是一种求解最优解的问题，而对偶理论则是用来解决优化问题中的复杂性的一种方法。
对偶理论的核心思想是将原问题转化为它的对偶问题，并在对偶问题中求解最优解。
本文将介绍优化问题中的对偶理论及其应用。
1. 对偶问题的定义对偶问题是指将一个优化问题转化为另一个优化问题的过程。
具体来说，对于一个原始问题（称为Primal Problem），我们可以通过构造一个对应的对偶问题（称为Dual Problem），来找到原始问题的最优解。
这个对应关系是双向的，即可以从原始问题得到对偶问题，也可以从对偶问题得到原始问题。
对于一个具体的优化问题，我们可以定义它的原始问题和对偶问题。
原始问题通常形式如下：Minimize f(x)subject to g_i(x) ≤ 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)是不等式约束，h_j(x)是等式约束。
而对偶问题的形式如下：Maximize g(λ, μ)subject to λ_i ≥ 0, i = 1, 2, ..., m其中，g(λ, μ)是对偶函数，λ_i和μ_j分别是对应原始问题中不等式约束和等式约束的Lagrange乘子。
2. 对偶问题的求解对于一个原始问题，我们可以通过下列步骤求解它的对偶问题：1）构造对偶函数：对偶函数是原始问题的Lagrange对偶，它定义为：g(λ, μ) = inf{ f(x) + ∑ λ_i g_i(x) + ∑ μ_j h_j(x) }其中，inf{}表示检查所有可行解的最小值。
2）求对偶问题：将对偶函数最大化，得到对偶问题的最优解。
3）寻找最优解：将对偶问题的最优解带回到原始问题中，可以获得原始问题的最优解。
这个过程可能看起来很抽象和复杂，但对偶理论的优点在于它可以将复杂的原始问题转化为相对简单的对偶问题，从而更容易求解。
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
(完整版)线性规划的对偶原理
线性规划的对偶原理3。
1 线性规划的对偶问题一、 对偶问题的提出换位思考家具厂的线性规划问题,该问题站在家具厂管理者的角度追求销售收入最大213050m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,50212034212121x x x x x x某企业家有一批待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。
他 需要与家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。
如果该企业家已对家具厂的经营情况有详细了 解，他可以构造一个数学模型来研究如何才能既让家具厂觉得有利可图,肯把资源出租给他, 又使自己付的租金最少.目标：租金最少；1y —付给木工工时的租金；2y -付给油漆工工时的租金2150120m in y y w +=所付租金应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益1）支付相当于生产一个桌子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个桌子的收入 502421≥+y y2）支付相当于生产一个椅子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个椅子的收入 30321≥+y y3）付给每种工时的租金应不小于零 0,021≥≥y y二、 原问题与对偶问题的数学模型1. 对称形式的对偶原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。
原问题:⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=0min X b AX CX z对偶问题:⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=0max Y C YA Yb w2. 非对称形式的对偶若原问题的约束条件全部是等式约束（即线性规划的标准型）,即⎪⎩⎪⎨⎧≥==0min X b AX CX z则其对偶问题的数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≤=是自由变量Y C YA Yb w max可把原问题写成其等价的对称形式:min z =CX AX ≥b AX ≤b X ≥0即 min z =CX⎥⎦⎤⎢⎣⎡-A A X ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b bX ≥0设Y 1=(y 1,y 2,…,y m ）， Y 2=（y m+1，y m+2，…,y 2m ）。
线性规划问题的对偶性
线性规划问题的对偶性线性规划（Linear Programming）是数学规划的一个重要分支，用于解决一类特定的优化问题。
在线性规划问题中，我们需要在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
对于一般的线性规划问题，我们往往可以通过对偶性理论来找到一个等价的对偶问题，从而更好地求解原始问题。
1. 对偶问题的引入在线性规划问题中，我们通常会面临一个最大化或最小化一个线性目标函数的任务，同时需要满足一系列线性约束条件。
假设我们的线性规划问题为：最大化（或最小化）：cx约束条件：Ax ≤ b其中，c是一个长度为n的向量，x是变量向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个长度为m的向量。
对于这个线性规划问题，我们可以引入一个新的向量y作为拉格朗日乘子，引入一个新的变量w作为对偶变量。
这样，我们可以构建原始问题的拉格朗日函数：L(x, y, w) = cx + yT(Ax - b) - wT(Ax - b)其中，y和w分别是拉格朗日乘子和对偶变量。
2. 对偶问题的建立在引入拉格朗日函数之后，我们可以分别对拉格朗日乘子y和对偶变量w进行极小化和极大化，建立相应的对偶问题。
对于拉格朗日乘子y，我们可以将拉格朗日函数改写为：L(x, y) = (c + ATy)x - yTb注意到，c + ATy为常数向量，可以表示为q。
因此，我们可以得到对偶问题：最小化：qTx约束条件：ATy ≥ 0同样地，对于对偶变量w，我们可以将拉格朗日函数改写为：L(x, w) = (c - ATw)x + wTb同样，我们可以得到对偶问题：最大化：wTb约束条件：ATw ≤ c3. 对偶问题的性质通过对拉格朗日函数的极小化和极大化，我们建立了与原始问题等价的对偶问题。
对偶问题不仅仅是一个等价的数学表达形式，而且具有许多重要的性质。
首先，根据对偶问题的建立，我们可以得知对偶问题的目标函数是原始问题的一个下界。
也就是说，对于任意可行解x和对偶变量w和y，有如下不等式成立：cx ≥ qTx ≥ wTb其次，若原始问题的最优解存在且有限，那么对偶问题的最优解也存在且有限，并且两者的目标函数值相等。
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
线性规划的对偶理论(第2部分)
灵敏度分析（Sensitivity Analysis）
对偶问题的解可以用于分析原问题参数变化对最优解的影响。通过对偶问题的灵敏度分析，可以 了解原问题解的稳定性以及参数调整对最优解的影响程度。
Part
05
目标规划与多目标决策
目标规划基本概念
目标函数
在目标规划中，目标函数表示决策者希望优化的目标，可以是最 大化或最小化某个或多个变量的函数。
约束条件
约束条件限制了决策变量的取值范围，确保解在实际可行域内。
优先级与权重
不同目标之间可能存在冲突，通过设定优先级和权重可以权衡各 个目标的重要性。
分支定界法的步骤
分支定界法主要包括分支、定界和剪枝三个步骤。首先，将原问题分解为若干个子问题；其次，对每个子问题分别求 解，并更新上下界；最后，通过剪枝策略删除不可能得到最优解的子问题，以减少计算量。
分支定界法的优缺点
分支定界法具有适用范围广、可求得全局最优解等优点；但同时也存在计算量大、求解效率不高等缺点。 因此，在实际应用中需要根据问题的特点和要求选择合适的算法。
多目标决策方法
线性加权法
将多个目标函数线性加权为一个综合目标函数，通过求解该综合目 标函数的最优解来实现多目标决策。
理想点法
先确定每个目标的理想值，然后构造一个评价函数来衡量实际解与 理想解之间的差距，通过最小化该评价函数来求解多目标决策问题。
分层序列法
将多个目标按照重要程度排序，依次求解各层目标的最优解，最终得 到综合考虑所有目标的满意解。
要点三
混合整数规划的应用 案例
混合整数规划在实际应用中有着广泛 的应用，如生产调度中的任务分配问 题、物流运输中的路径优化问题等。 通过运用混合整数规划方法，可以有 效地解决这些问题，提高生产效率和 运输效率。
运筹学对偶理论
min w 5 y1 9 y2 4 y3
y1 3y2 2 y3 2
s.t.2
y1 3 y1
y
2 2y
2y 2
3 1 4 y3
3
y1
y1
y2 0,
y2
y3
0,
5
y
无约束
3
LP1: max z=3x1+2x2
xx11++22xx2 2≤+5x3
=5
st.
2x1+ x2 ≤4 +x4 = 4
0
0
1
3
x1
1
0
0
2
x2
0
1
0
0
0
0
0
0
x4
x5
b
0
05
1
04
0
19
0
00
-1/2
0
3
1/2
02
-2
11
-3/2
0
6
5/2 -3/2 3/2
3/2 -1/2 3/2
-2
11
-1/2 -1/2 13/2
单纯形算法的矩阵表示
LP: max z = CX st. AX ≤ b
X≥0
max z = CX + 0XS st. AX +I XS = b ( I式 )
3.2.4 强对偶性定理（对偶定理）
如果原问题存在最优解X*，则其对偶问题一定具 有最优解Y*，且 CX * b'Y *
• 如果原问题存在最优解，假设其对应的基是B，即
X
* B
B 1b,
X
* N
0
第2章线性规划讲义的对偶问题
称CBB-1为单纯形乘子
19
二、对偶问题的基本性质
1. 对称性
2. 弱对偶性
推论：
(1)原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数 值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其 原问题目标函数值的上界。
(2)如原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题无 可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数值无界，则 其原问题无可行解。
35
三、分析cj的变化 线性规划目标函数中变量系数cj的变化仅仅影响到检验 数，所以将cj的变化直接反映到最终单纯形表中，只可 能出现表2-9中的第一、二两种情况。
例5：在美佳公司例子中， (1) 若家电Ⅰ的利润降至1.5元/件, 而家电Ⅱ的利润增 至2元/件, 美佳公司最优生产计划有何变化? (2) 若家电Ⅰ的利润不变, 而家电Ⅱ的利润在什么范围 内变化时, 该公司的最优生产计划不发生变化。
28
练习： 用对偶单纯形法求解下述LP问题：
min w x1 4x2 3x4 x1 2x2 x3 x4 3
st. 2x1 x2 4x3 x4 2 xi 0(i 1,2,3,4)
29
min z cx
注: 若LP问题的标准形式为:
Ax b
st
.
x
0
其对偶单纯形法的求解步骤确定换入基变量的原则如下:
目标函数求极小值时，约束方程均为≥
2
二、对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式的LP问题(LP1)：
M Z c 1 x a 1 c 2 x x 2 c n x n
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1 a 2 x 1 1 a 2 x 2 2 a 2 n x n b 2
运筹学--线性规划的对偶理论
对偶单纯形法求解思路
对偶单纯形法
20
对偶单纯形法
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对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是所有线性规划问题的通用 解法，它只能从检验数已经符合最优化条件的 基本解开始求解。
22
对偶单纯形法
1- 约束条件为“≥”
初始解可以是非可行解。当检验数都为负数时，就 可以进行基变换，不需要加入人工变量。
2- 变量多于约束条件
对于变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶单 纯形法计算可以减少计算工作量。 变量少，约束条件很多的线性规划问题，可以将其 变换为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。
23
对偶单纯形法示例1
24
对偶单纯形法示例1
25
对偶单纯形法示例1
26
灵敏度分析
线性规划问题的最优解，是在设定问题模型中 的������������������、������������、������������都为已知常数的前提下求解得到 的。 对于许多实际问题，这些系数都是采用经验法 或统计、预测方法得到的估计值。
这里需注意区分xi是最优表中的基变量还是非 基变量：
如果xi为非基变量，如产品C的原材料消耗系数pi发 生变化时，判断和求解的方法与前一种情况相同， 即检查xi的检验数是否满足最优条件；
59
灵敏度分析示例1
如果xi是基变量（例如产品A或产品B的资源消耗系 数p1或p2发生变化），那么p������的变化将引起基矩阵B 的变化。B的变化将影响单纯形法迭代过程中几乎 所有的计算项目，问题只能重新迭代。
32
灵敏度分析示例1
33
线性规划的对偶模型
对偶在物流优化中的应用
1 2 3
运输优化
对偶模型可以用于优化运输方案，通过合理安排 运输路线和车辆调度，降低运输成本和提高运输 效率。
仓储优化
在仓储优化方面，对偶模型可以帮助企业合理规 划仓库布局和库存管理，提高仓储效率和降低库 存成本。
配送优化
对偶模型可以用于优化配送方案，通过合理安排 配送路线和车辆调度，提高配送效率和降低配送 成本。
05
案例分析
案例一：生产计划优化问题
01
背景描述
某制造企业需要制定生产计划，以满足市场需求并最大化利润。生产计
划需要考虑原材料供应、生产能力、市场需求等多个因素。
02 03
对偶模型建立
通过对原问题建立线性规划模型，并引入对偶变量，可以构建一个与原 问题等价的对偶问题。对偶问题可以更好地描述企业决策者的目标，例 如最小化生产成本或最大化市场份额。
02
对偶问题是凸优化问题，其解是唯一的。
03 对偶问题具有封闭解，即存在一个封闭形式的解。
对偶问题的求解方法
直接法
通过求解对偶问题的约束条件和 目标函数，得到对偶问题的最优
解。
迭代法
通过迭代求解对偶问题，逐步逼近 最优解。
拉格朗日乘数法
利用拉格朗日乘数法求解对偶问题， 得到最优解。
03
对偶模型的应用
对偶解法
通过求解对偶问题，可以得到最优配送路径。对偶解法在处理大规模、多目标优化问题时具有较高的计 算效率，并且能够提供更好的优化效果。
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对偶在金融优化中的应用
投资组合优化
对偶模型可以用于优化投资组合， 帮助投资者确定最佳的投资组合 方案，以实现风险和收益的平衡。
线性规划问题的对偶理论及应用
线性规划问题的对偶理论及应用线性规划问题的对偶理论及其应用线性规划是一种优化问题，它要求我们在给定的限制条件下，最大化或最小化目标函数。
这个问题在数学、经济学和管理学中有重要的应用。
线性规划问题的对偶理论是一种有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的问题。
一、线性规划问题线性规划问题的一般形式为：\begin{aligned} \max_{\boldsymbol{x}} \ & \boldsymbol{c}^{T} \boldsymbol{x} \\ \text {s.t. } & \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \leq \boldsymbol{b} \\ & \boldsymbol{x} \geq \boldsymbol{0}\end{aligned}其中，$\boldsymbol{x}$ 是一个 $n$ 维列向量，$\boldsymbol{c}$ 是一个 $n$ 维列向量，$\boldsymbol{A}$ 是一个$m \times n$ 的矩阵，$\boldsymbol{b}$ 是一个 $m$ 维列向量。
我们要求出一个满足所有限制条件的 $\boldsymbol{x}$，使得目标函数 $\boldsymbol{c}^{T} \boldsymbol{x}$ 最大（或最小）。
二、线性规划问题的对偶理论线性规划问题的对偶理论是一个重要的工具，它可以将原问题转化为一个对偶问题，从而得到一些有用的信息。
对于一个线性规划问题，我们可以构造它的对偶问题如下：\begin{aligned} \min_{\boldsymbol{y}} \ & \boldsymbol{b}^{T} \boldsymbol{y} \\ \text {s.t. } & \boldsymbol{A}^{T} \boldsymbol{y} \geq \boldsymbol{c} \\ & \boldsymbol{y} \geq \boldsymbol{0}\end{aligned}其中，$\boldsymbol{y}$ 是一个 $m$ 维列向量。
运筹学第二章——第八节—线性规划的对偶理论
四、对偶问题经济学含义——影子价格
因为Z*=Y*=Yb 所以：Δ Z/ Δ b=Y b——资源的量 Z——目标函数 经济学含义：资源每变动一个单位，目标函 数（利润、总产值等）变动的大小。 资源对生产做出的贡献。（影子价格） 是对现有资源实现最大效益的一个评价，叫 机会成本。
V*X=0， Y*U=0，其中V是对偶问题的剩余变量，U是 原问题的松弛变量。
（七）原问题在单纯性法迭代过程中的检验 数对应于对偶问题的一个基本解。（对应性 定理） 原问题 XB XN 对应基B检验数 0 CN-CBB-1BN 对偶问题的变量 -YS1 -YS2 XS –CBB-1 -Y
对偶问题性质的启示
原问题 有最优解 无可行解 有可行解无上界 无有限最优解 对偶问题 有最优解 无可行解 无有限最优解 有可行解但无下界
由互补松弛性定理可知： 当U>0，即AX <b时，资源未充分利用时，影 子价格为0。
二、原问题与对偶问题之间的转化
1、目标函数 MAX——Min 2、约束条件——变量 约束条件n个——变量n个 约束条件≥0 ——变量≤ 0 约束条件≤ 0 ——变量 ≥ 0 约束条件=0——变量无约束 要点：max为反向关系（约束条件——变量）
二、原问题与对偶问题之间的转化
3、变量——约束条件 变量m个——约束条件m个 变量≥0——约束条件≥ 0 变量≤ 0 ——约束条件≤ 0 变量无约束——约束条件=0 4、目标函数中变量的系数C为对偶问题中约 束条件的右端常数项b，个数对等变动。
（五）若原问题和对偶问题具有可行解，若 原问题或对偶问题之一有最优解，则另一个 对偶问题也必有最优解，且最优值相同。 （主对偶性定理） 证明 含义： 若原问题有一个对应于基B的最优解，则 CBB-1为对偶问题的最优解。
对偶问题的原理及应用
对偶问题的原理及应用1. 前言对偶问题是优化领域中一种重要的问题转化和求解方法，它通过转化原始问题为对偶问题，进而解决原始问题或者获得问题的一些有用信息。
本文将介绍对偶问题的原理以及其在优化问题中的应用。
2. 对偶问题的原理对偶问题是数学规划中一类常用的问题转化方法，它通过对原始问题进行变换，得到一个与原始问题等价的新问题。
对偶问题从不同的角度来看待原始问题，从而为求解或优化原始问题提供了一种新的视角。
对于一个标准形式的原始优化问题，其数学表示可以写成：minimize c^T xsubject to Ax <= bx >= 0其中，x是优化变量，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
对偶问题则可以表示为：maximize b^T ysubject to A^T y <= cy >= 0其中，y是对偶变量。
对偶问题的目标函数与原始问题的约束函数形式相似，而对偶问题的约束函数则与原始问题的目标函数形式相似。
3. 对偶问题的应用对偶问题在优化领域中的应用非常广泛，下面将介绍对偶问题在线性规划、凸优化和机器学习等领域的具体应用。
3.1 线性规划线性规划是对偶问题应用最为广泛的领域之一。
在线性规划中，对偶问题能够提供原始问题的下界，并且可以通过对偶问题的求解得到原始问题的最优解。
此外，在有些情况下，原始问题与对偶问题之间存在强对偶性，即原始问题与对偶问题的最优解相等。
3.2 凸优化对偶问题在凸优化中也有很多应用。
凸优化问题具有许多良好的性质，其中之一就是对偶问题的存在性和强对偶性。
通过对偶问题的求解，可以获得凸优化问题的最优解，并且可以通过对偶变量的解释来获得关于原始问题的一些有用信息。
3.3 机器学习对偶问题在机器学习中也有广泛的应用。
例如，在支持向量机（SVM）中，对偶问题的求解可以将原始问题转化为一个更简单的形式，从而提高求解效率。
此外，对偶问题还可以提供关于支持向量和间隔的有用信息，从而帮助理解和解释模型的性质。
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1 弱对偶定理 定理 对偶问题(min)的任何可行解Y0，其目标函数值总是不 小于原问题(max)任何可行解X0的目标函数值 2 最优解判别定理
定理 若原问题的某个可行解X0的目标函数值与 对偶问题某个可行解Y0的目标函数值相等， 则X0, Y0分别是相应问题的最优解
2
3 弱对偶定理推论
第二章 线性规划的对偶理论及其应用
2.3 线性规划的对偶定理 2.5 对偶单纯型算法
2.3 线性规划的对偶定理
• 为了便于讨论，下面不妨总是假设
原问题 :
max f ( x) = CX AX b s.t. X0
对偶问题 :Байду номын сангаас
min g ( y) = Yb YA C s.t. Y 0
4
6 原问题检验数与对偶问题的解
在最优解的单纯型表中，都有原问题虚变量(松 弛或剩余) 的检验数对应其对偶问题实变量 (对 偶变量)的最优解，原问题实变量(决策变量) 的 检验数对应其对偶问题虚变量 (松弛或剩余变量) 的最优解。 因此，原问题或对偶问题只需求解其中之一就 可以了。
例1
5
2.5 对偶单纯型算法 1 迭代步骤 1 确定出变量 找非可行解中最小者，即 min{ bi | bi<0}，设第 i*行的为 负，则i*行称为主行，该行对应的基变量为出变量，xi*'
2
确定入变量
最大比例原则
( 2 .3 .1)
cj - zj min a i* j < 0 j a i* j
– 设 j* 列满足(2.3.1)式， j* 列称为主列，xj* 为出变量 3 以主元 ai*j* 为中心迭代 4 检查当前基础解是否为可行解 – 若是，则当前解即为最优解 – 否则，返回 步骤 1 6 例2
3
5互补松弛定理
定理1 设X0, Y0分别是原问题和对偶问题的可行 解，U0为原问题的松弛变量的值、V0为对 偶问题剩余变量的值。X0, Y0分别是原问题 和对偶问题最优解的充分必要条件是 Y0 U0 + V0 X0 = 0 定理2 在线性规划问题的最优解中，如果对应某 一约束条件的对偶变量值为非零，则给约束 条件取严格等式；反之如果约束条件取严格 不等式，则其对应的对偶变量一定为零。
如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max)问题无可行解 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max) 问题无可行解，则原问题为无界解 注：存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况
4 强对偶定理
定理 如果原问题和对偶问题都有可行解，则它们都 有最优解，且它们的最优解的目标函数值相等。