完全平方公式

年级八年级课题完全平方公式课型新授教学媒体多媒体

教学目标知识

技能

1．经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一

步发展符号感和推理能力．

2．会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．过程

方法

进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．

情感

态度

了解数学的历史，激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索算法的多样化，有意

识地培养学生的创新能力．

教学重点(a±b)2＝a2±2ab＋b2的推导及应用．

教学难点完全平方公式的推导和公式结构特点及其应用．

教学过程设计

教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习旧知

探究，计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；

（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；

（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；

（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．

答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．

二、探究新知

1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2．

（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab －ab+b2=a2－2ab+b2．

2.归纳完全平方公式

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即学生利用多项式与

多项式相乘的法则

进行计算，观察计算

结果，寻找一般性的

结论，并进行归纳

教师让学生利用多

项式的乘法法则进

行推理.

教师让学生用自己

的语言叙述所发现

的规律，允许学生之

间互相补充，教师不

急于概括．

这里是对前边

进行的运算的

复习，目的是

让学生通过观

察、归纳，鼓

励他们发现这

个公式的一些

特点，如公式

左右边的特

征，便于进一

步应用公式计

算

公式的推导既

是对上述特例

的概括，更是

从特殊到一般

的归纳证明，

在此应注意向

学生渗透数学

9801120010000)1100(9922=+-=-=()()()2

22228164244n mn m n n m m n

m ++=+⋅⋅+=+

教学程序及教学内容

师生行为

设计意图 （a +b ）2=a 2+2ab +b 2，

（a －b ）2=a 2－2ab +b 2

3．归纳完全平方公式的特征： （1）左边为两个数的和或差的平方；

（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍．

4.【例1】运用完全平方公式计算： ⑴ ()24n m +； ⑵ 2

99 【解析】 (1) (2) 【点拨】展开后的式子有三项，能合并的要合并. 5．利用完全平方公式计算： （1）（－x +2y ）2； （2）（－x －y ）2； （3）（x +y －z ）2；

解析：（1）题可转化为（2y －x ）2或（x －2y ）2

，再运

用完全平方公式； （2）题可以转化为（x +y ）2，利用和的完全平方公式；

（3）题利用加法结合律变形为［（x +y ）－z ］2

，或［x +（y －z ）］2、［（x －z ）+y ］2

，再用完全平方公式计算；

思考 ⑴（a +b ）2与（－a －b ）2相等吗？为什么?

⑵（a －b ）2与（b －a ）2相等吗？为什么? ⑶（a －b ）2与a 2－b 2相等吗？为什么?

6．添括号：∵4+5+2与4+(5+2)的值相等;4-5-2与

4-(5+2)的值相等.所以可以写出下列两个等式: (1)4+5+2=4+(5+2) (2)4-5-2=4-(5+2) 左边没括号,右边有括号,也就是添了括号,•同学们可

不可以出添括号法则来呢? 添括号其实就是把去括号反过来。

学生分组讨论，合作交流，归纳完全平方公式的特征。

部分学生板演，然后学生交流分析过程：此题需灵活运用完全平方公式。

学生思考，教师点

拨。

学生在做题时，不

要鼓励他们直接套用公式，而应让学生理解每一步的运

算理由。

.分组讨论,最后。 师生行为 的思想方法：特例—归纳—猜

想—验证一用

数学符号表示．

在学习过程中，例题的设置是

由浅入深，让 每个学生感到学有所成，感 受到学习数学

的乐趣.整个过程贯穿完全平

方公式的结构特征及由一般

到特殊的思想的体验，亲身

经历了数学魅力所在.注意完

全平方公式中容易出现的问

题，让学生掌握。

教学程序及教学内容

设计意图 添括号法则是:

添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;•如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.

也是:遇"加"不变,遇"减"都变.

【例2】计算： ()()3232+--+y x y x ；

【解析】若用平方差公式，原式应=22)()(-.根

据公式特点，两个括号中相同的项为a ，相反的项为b ，只须把题中相同的项都填入第一个括号，把相反的项 (从同一个括号中择取) 都填入第二个括号.

解：

【点拨】对于例2这类乘法，若两个括号内的项全部相同或相反，则不可用平方差公式，而可用完全平方公式. 三、课堂训练 1．运用完全平方公式计算 （1）（x +6）2； （2）（－y －5）2；

（3）（－2x +5）2． 2．下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正?

（1）（a + b ）2 = a 2 +b 2； （2）（a – b ）2 =a 2 – b 2

． 3．拓展应用。

已知x +y =8，xy =12，求x 2+y 2的值．

4．()92

2++=+nx x m x ,则m = ，n = . 5．若,4,3==-ab b a 则=+2

2b a . 6．若2)4(2=+m ，则)5)(3(++m m =_________. 四、小结归纳 完全平方公式特征的口诀：首平方，尾平方，二倍乘积在中央。

（1）左边为两个数的和或差的平方；

（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍．

五、作业设计

习题 15．2 第2、3、4、5、6、7、8、9题．

学生认真总结并适

当练习。

教师适当讲解，学

生要理解解题过程。

学生独立思考，自

主完成练习。教师

给予讲评，教师要重点关注学生是否

掌握完全平方公式

的结构特征。

学生要学会应用完全平方公式特征的口诀进行解题。

让学生掌握添括号法则。

正确的将平方差公式和完全平方公式结合起来应用。 有意识地培养学生的创新能力．

学生通过练习，巩固刚刚学习的新知识，在此基础上，加深知识的应用。

()()9124)32(32322

22

2-+-=--=+--+y y x y x y x y x