《高等数学》极限与连续

1 4 n (1)n1
n (1)n1
2, , , ,
, ; {
}
23
n
n
3, 3 3, , 3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
三、数列的极限
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a xn a
(n N)
几何解释 :
(
a xN 1
因此该数列发散
.
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2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a 1, 从而有
xn a a 1 a
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a
则有
xn M ( n 1, 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界.
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例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n >
N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
1
的开区间(
a
1 2
,
a
1 2
)
内,
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三、数列的极限
观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
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观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
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问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于 1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn
1
(1)n1
1 n
)
xN2 a
即 xn ( a, )
(n N)
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例如,
1,2 23
,3 4
,
, n , n 1
xn
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
散
xn (1)n1 趋势不定
1 (n 1)2
1 n 1
(0,1), 欲使
只要
1 ,
n 1
即 n
1 1.
取
N [ 1 1] ,
则当 n N 时, 就有
xn 0 ,
故
lim
n
xn
lim
n
(1)n (n 1)2
0Leabharlann Baidu
也可由
xn 0
1 (n1)2
说明: N 与 有关, 但不唯一. 取
N
1
1
不一定取最小的故N也. 可取
N
1. 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
及
且 a b.
取
因
lim
n
xn
a,
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xn
ab 2
同理, 因
lim
n
xn
b,
故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
从而
xn
ab 2
矛盾取. 故Nb假2a设ma不xxn真Nba1!, 因Nbb222此aa,收则敛当数n列3a>a2的2bNb极时x限nx, nx必n3满唯ba22a足一b 的. 不等式
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例1. 已知
证明数列 的极限为1.
证:
xn 1
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n
1
因此 ,
取
N
[1 ],
则当
n
N
时, 就有
n (1)n 1
n
故
lim
n
xn
lim n (1)n n n
1
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例2. 已知
证明
证: xn 0
X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
1 2
1 22
1 2n ;
Xn
1
1 2n
1
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
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二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
[
1
]
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为 0 .
证: xn 0
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此
,
取
N
1
ln
ln q
, 则当 n > N
时,
就有
qn1 0
故
lim qn1 0
n
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二、收敛数列的性质
第一章 极限与连续
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质
第一章
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正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1, A2 , A3 , , An ,
S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为
证: 设数列
是数列 的任一子数列 .
若
则 0, N ,当
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk N
xN
*********************
N
从而有
xnk a
, 由此证明
lim
k
x
n
k
a.
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说明:
由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 , 则原数列一定发散 .
例如，
发散 !
lim
k
x
2k
1
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内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
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思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列;
x1 , x2 , , xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8, ,2n , ;
{2n }
1 , 1 , 1 , 248
1 , 2n
,
;
1 {2n }
1,1,1, ,(1)n1 , ; {(1)n1 }
1 n
给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
有
xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有
xn 1 成立.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
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3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
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4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
2.
已知
x1
1,
xn1
1 2xn
(n
1, 2,
),
求 lim xn
n
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
a 1
不对! 此处 lim xn
n
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作业 P31 2 (单) , 3，4, 5