2019-2020学年高中数学第二章推理与证明 2.2.1 直接证明导学案苏教版选修2-2.doc

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2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修2_2

2.1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P70～P77的内容，回答下列问题． (1)哥德巴赫提出猜想的过程：
(1)哥德巴赫提出猜想的过程：
3＋7＝10,3＋17＝20,13＋17＝30⇒10＝3＋7,20＝3＋17,30＝
13＋17
偶数＝奇质数＋奇质数
x f4(x)＝f3(f3(x))＝1－14－×41x－x4x＝1－x8x，
x f5(x)＝f4(f4(x))＝1－18－ ×18－xx8x＝1－x16x， ∴根据前几项可以猜想fn(x)＝1－2xn－1x.
[答案] (1)1＋12＋13＋…＋2n－1 1>n2 (2)f3(x)＝1－x4x fn(x)＝1－2xn－1x
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和； (2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
[针对训练] 1．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式： x＋1x≥2， x＋x42＝x2＋x2＋x42≥3， x＋2x73 ＝x3＋x3＋x3＋2x73 ≥4， …… 归纳得：x＋xan≥n＋1(n∈N *)，则a＝________.
(2)23<23＋＋11，23<23＋＋22，23<23＋＋33，…
由此猜想：
2 3
<
2＋m 3＋m
(m为正实数)．上述推理是归纳推理还是
类比推理？
提示：归纳推理． (3)由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于
同一平面的两个平面平行．此推理是归纳推理还是类比推理？
提示：类比推理．
探究点一归纳推理在数、式中的应用 [典例精析] (1)已知下列各式： 1>12， 1＋12＋13>1， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2， …，请你归纳出一般性结论：______________.

_高中数学第二章推理与证明2

跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相加得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版选修2-2
第二章推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；

2019-2020学年高中数学选修2-2第二章推理科与证明章末复习讲义

第二章推理与证明知识系统整合规律方法收藏1.图形中的归纳推理问题主要涉及某些固定图形的个数，所以常常需要转化成数列问题来求解，常用的思路有两种：(1)直接查个数，找到变化规律后再猜想；(2)观察图形的变化规律.2.探索性问题是数学中的一类重要问题，如探讨数列的通项、前n 项和、立体几何、解析几何中的性质等，在处理时，先采用合情推理猜想、再采用演绎推理的论证方法.3.对于较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“结论”，还是由“结论”靠向“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析或综合显得较为困难．为保证探索方向准确且过程快捷，人们又常常把分析与综合两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．把分析法与综合法两者结合起来进行思考，寻求问题的解答途径的方式就是人们通常所说的分析综合法，也就是常说的“两路夹攻，一攻就通”的证明思路.4.解决数学中的证明问题，既要掌握常用的证明方法的思维过程、特点，又要有牢固的数学基础知识．另外，还应掌握证明的一些常用方法与技巧，证明常用的方法与技巧有以下几种：(1)换元法．换元法是结构较为复杂且量与量之间的关系不甚明了的命题，通过恰当地引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结果，使其转化为便于研究的形式．常见的有代数换元与三角换元．在应用换元法时，要注意新变量的取值范围，即代换的等价性.换元法步骤：①设元(或构造元)――→ 转化②求解――→ 等量③回代――→ 等价原则④检验(2)放缩法．放缩法常用于证明不等式．欲证A ≥B ，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B ≤B 1，B 1≤B 2，…，B i ≤A 或A ≥A 1，A 1≥A 2，…，A i ≥B ，再利用传递性，以达到证明的目的，这种方法叫放缩法．应用放缩法时，放缩目标必须确定，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩方法有增项、减项或利用分式的性质、不等式性质、已知不等式、函数的性质等.其放缩技巧主要有以下几种：①添加或舍去一些项，如： a 2＋1>|a |；n n ＋1>n ；②将分子或分母放大(或缩小) 当a ，b ，c >0时，a b ＋c ＋b a ＋c ＋ca ＋b >a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋c ＋ca ＋b ＋c；③利用基本不等式，如：lg 3·lg 5<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 522＝lg 15<lg 16＝lg 4；④利用常用结论 ⅰ.1k的放缩：2k ＋k ＋1<22k <2k ＋k －1；ⅱ.1k 2的放缩(a)：1kk ＋1<1k 2<1k k －1(程度大)； ⅲ.1k 2的放缩(b)：1k 2<1k 2－1＝1k ＋1k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1(程度小)；ⅳ.1k2的放缩(c)：1k 2<44k 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1－12k ＋1(程度更小)；ⅴ.分式放缩还可利用真(假)分数的性质：b a >b ＋m a ＋m (b >a >0，m >0)和b a b >0，m >0). (3)判别式法．判别式法是根据已知或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出结论的方法．利用判别式法证明时，应先将问题转化为与二次三项式相关的问题，再利用判别式法求解，要注意二次项系数是否为零.此外还有导数法、添项法、几何法、构造函数法等. 5.用数学归纳法证题的步骤(1)证明当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1或n 0＝2)时结论正确.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确. 在完成了这两个步骤以后，就可以断定结论对于从n 0开始的所有正整数n 都正确. 应用数学归纳法证明时要注意以下几点：(1)步骤要完整、规范，即“两步一结论”缺一不可，且第二步证明一定要用到归纳假设. (2)n 的第一个值n 0应根据具体问题来确定.(3)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，并不一定都是证明n ＝k ＋1时结论也正确．如用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n－y n能被x ＋y 整除”，第一步应验证n ＝2时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋2时，命题也成立.(4)用数学归纳法可证明有关正整数的问题，但并不是所有的正整数问题都可以用数学归纳法证明的．例如：用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n (n ∈N *)的单调性就难以实现.一般来说，从n ＝k 时的情形过渡到n ＝k ＋1的情形时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难．做题时要注意具体问题具体分析.学科思想培优一、归纳推理和类比推理的应用例1 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289 B ．1024 C ．1225 D ．1378[解析] 由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n2(n ＋1)，正方形数构成的数列通项b n ＝n 2，则由b n ＝n 2(n ∈N *)可排除D.又由a n ＝n 2(n ＋1)，当a n ＝289时，即验证是否存在n ∈N *，使得n (n ＋1)＝578，经计算n 不存在；同理，依次验证，有1225×2＝49×50，且352＝1225，故选C.[答案] C 拓展提升解决此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，注意抽象出的是数列的哪类公式.例2 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________.[解析] 在进行类比推理时，应该注意平面图形中的点、线分别与空间图形中的线、面类比；平面图形的长度、面积分别与空间图形中的面积、体积类比，结论易得.[答案] S 21＋S 22＋S 23＝S 24 拓展提升类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、类比、归纳而得出结论．通常情况下，平面图形的边长、面积往往类比空间几何体的面积、体积.二、演绎推理的应用例3 将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)所有偶数都能被2整除，0 是偶数，所以0能被2整除；(2)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数； (3)通项公式a n ＝2n ＋3的数列{a n }为等差数列； (4)函数f (x )＝x 3是奇函数.[解] (1)所有偶数都能被2整除，(大前提) 0是偶数，(小前提) 0能被2整除．(结论)(2)循环小数是有理数，(大前提)0.332·是循环小数，(小前提)0.332·是有理数．(结论)(3)数列{a n }中，如果当n ≥2时，a n －a n －1为常数，则{a n }为等差数列，(大前提) 通项公式a n ＝2n ＋3时，若n ≥2，则a n －a n －1＝2n ＋3－[2(n －1)＋3]＝2(常数)，(小前提)通项公式a n ＝2n ＋3表示的数列{a n }为等差数列．(结论)(4)对于定义域关于原点对称的函数f (x )，若f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，(大前提)函数f (x )＝x 3的定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，即f (－x )＝－f (x )，(小前提)所以函数f (x )＝x 3是奇函数．(结论) 拓展提升用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提；有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提同时省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.三、直接证明例4 设a ，b ，c 为三角形三边，面积S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，试证：S <2a .[证明] (分析法)要证S <2a ，由于S 2＝2ab ，即2a ＝S 2b ，所以只需证S <S 2b，即证b <S ，因为S ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证b <12(a ＋b ＋c )，即证b <a ＋c ，由于a ，b ，c 为三角形三边，所以上式显然成立，于是原命题成立.(综合法)因为a ，b ，c 为三角形三边，所以a ＋c >b ，所以a ＋b ＋c >2b ，又因为S ＝12(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c ＝2S ，所以2S >2b ，所以S ·S >b ·S ，由于S 2＝2ab ，所以2ab >bS ，即2a >S ，所以原命题得证. 拓展提升知识链之间的等价联系是产生一题多解的本质所在，掌握了这个“法宝”，必然会促进解题能力的逐步提高.四、反证法例5 设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列. [解] (1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾， ∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列. 拓展提升当命题结论中出现“至多”“至少”“不可能”“都不”“不是”等否定性词语时，常用反证法．对于“否定”型命题，从正面证明需要证明的情况太多，直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.五、数学归纳法例6 用数学归纳法证明：对一切n∈N *,1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1.[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋1＋1，只需证3k 2k ＋1＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋3.因为3k ＋12k ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k 2k ＋1＋1k ＋12＝34k ＋12－1－1k ＋12＝1－k ＋12k ＋12[4k ＋12－1]＝－k k ＋2k ＋124k 2＋8k ＋3≤0，所以3k 2k ＋1＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋3，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋1＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立.由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立. 拓展提升本题在知道结果以后，执果索因，用分析法进行证明．在解题过程中数学归纳法通常与其他方法综合运用，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法.例7 已知点的序列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1，x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此猜想数列{a n }的通项公式，并加以证明. [解] (1)当n ≥3时，x n ＝x n －1＋x n －22；(2)a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝x 2＋x 12－x 2＝－12(x 2－x 1)＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝x 3＋x 22－x 3＝－12(x 3－x 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝14a ，由此猜想a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1a (n ∈N *)，用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，a 1＝x 2－x 1＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120a ，猜想成立；②假设当n ＝k (n ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1a 成立，那么，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋1＋x k2－x k ＋1＝－12(x k ＋1－x k )＝－12a k ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(k ＋1)－1a ，即当n ＝k ＋1时猜想也成立. 根据①和②，可知{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1a (n ∈N *).拓展提升由已知求出数列的前n项，提出猜想，然后再用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式的方法，证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k与a k＋1或S k与S k＋1之间的关系，从而为数学归纳法的实施做了必要的准备．。

高中数学第二章推理与证明全章归纳总结新人教A版选修1-2

第二章推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为任何推理包括和两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们是什么，是根据前提推得的命题，它告诉我们是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的现象，归纳所得的结论是尚属未知的现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象）所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

2019_2020学年高中数学第二章推理与证明章末归纳整合课件新人教A版选修2_2

（1）请尝试求出P4(t)，即用一个cos x的四次多项式来表示cos 4x；
（2）利用结论：cos 3x＝4cos3x－3cos x，求出sin 18°的值(3×18°＝90°－2×18°)．
解：（1）cos 4x＝2cos22x－1＝2(2cos2x－1)2－1＝8cos4x－8cos2x
则f′(x)＝1－xl2n x (x＞e)，
显然，在x＞e时，f′(x)＝
1－ln x x2
＜0恒成立，即函数f(x)
在区间(e，＋∞)上单调递减．
又a＞b＞e，则f(b)＞f(a)，即lnbb＞lnaa.
故a，b∈R，a＞b＞e时，ba＞ab成立．
【例5】
设函数f(x)满足2f(x)－f
1 x
【答案】A 【解析】如果乙预测正确，则丙预测正确，不合题意；如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙＞乙，乙＞甲，因为乙预测不正确，而丙＞乙正确，故只有丙＞甲不正确，所以甲＞丙，与丙＞乙，乙＞甲矛盾，不合题意．所以只有甲预测正确，得甲＞乙，乙＞丙．故选A．
2．(2016 年山东)观察下列等式：
章末归纳整合
【知识构建】
【思想方法专题】
专题一归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论 “合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．演绎推理的主要形式是三段论，在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确，事实上，演绎推理是我们解决问题最常用的推理形式．
＝4x－
2 x
＋1，数列{an}
和{bn}满足下列条件：a1＝1，an＋1－2an＝f(n)，bn＝an＋1－an(n ∈N*)．

2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法讲义新人教A版选修2_2

2.2.1 综合法和分析法1．直接证明从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．2．综合法(1)定义：一般地，利用□01已知条件和某些数学□02定义、□03定理、□04公理等，经过一系列的□05推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． (2)框图表示：用P 表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P ⇒Q 1Q 1⇒Q 2Q 2⇒Q 3…Q n ⇒Q3．分析法定义：一般地，从要证明的□06结论出发，逐步寻求使它成立的□07充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(□08已知条件、□09定理、□10定义、□11公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．框图表示：用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q ⇐P 1P 1⇐P 2P 2⇐P 3…得到一个明显成立的条件综合法与分析法的比较1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( ) (2)分析法的推理过程要比综合法优越．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)证明不等式a ＋1－a <a －1－a －2(a ≥2)成立所用的最适合的方法是________． (2)在不等式“a 2＋b 2≥2ab ”的证明中：因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0所以a 2＋b 2≥2ab ，该证明用的方法是________．(3)角A ，B 为△ABC 内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分又不必要”)．答案 (1)分析法 (2)综合法 (3)充要探究1 综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.[证明] 证法一：∵a ，b 是正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.证法二：∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥21ab>0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.证法三：1a ＋1b＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab＋1≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．[结论探究] 本例已知条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥254.[证明] ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴a ＋b ≥2ab ，∴0<ab ≤14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b －254＝a 2＋1a ·b 2＋1b －254 ＝4a 2b 2－33ab ＋84ab ＝1－4ab 8－ab4ab≥0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥254. 拓展提升利用综合法证明问题的步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等． (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．【跟踪训练1】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .求证：B －C ＝π2.证明由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 及正弦定理得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，即sin B ⎝⎛⎭⎪⎫22si nC ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22si nB ＋22cos B ＝22，整理得 sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1.又00时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab ，∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．拓展提升(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．【跟踪训练2】在锐角三角形ABC 中，用分析法证明：t anA ·t anB ＞1. 证明要证明t anA ·t anB ＞1，只需证明si nA ·si nB cos A ·cos B ＞1.因为A ，B 为锐角，所以cos A ＞0，cos B ＞0.只需证明cos A ·co s B ＜si nA ·si nB ，只需证明cos A ·cos B －si nA ·si nB ＜0，即cos(A ＋B )＜0.因为C 为锐角，且A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 为钝角，所以cos(A ＋B )＜0成立，所以t anA ·t anB ＞1. 探究3 综合法与分析法的综合应用例3 已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋ba≥ a ＋b . [证明] 证法一：(分析法) 要证a b ＋ba≥a ＋b ，只要证a a ＋b b ≥ab (a ＋b )，即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )，即证a ＋b －ab ≥ab . 也就是要证a ＋b ≥2ab . 显然a ＋b ≥2ab 成立，故a b ＋ba≥ a ＋b . 证法二：(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式x ＋1x≥2(x >0)使左边向整式型过渡)方法一：∵a b ＋b ＋ba ＋a ≥2ab ·b ＋2ba·a ＝2a ＋2b ，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a b ＋ba≥ a ＋b . 方法二：∵⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋b a (a ＋b )＝a ＋b ＋a a b ＋b b a≥a ＋b ＋2a a b ·b ba＝a ＋b ＋2ab ＝()a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a b ＋ba≥a ＋b . 拓展提升实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径．【跟踪训练3】已知a ，b ，c 是互不相等的正实数，求证：b ＋c －aa＋ a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 证明证法一：(分析法) 要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3，只需证明b a ＋c a－1＋c b ＋a b－1＋a c ＋b c－1>3，即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6，而事实上，由a ，b ，c 是互不相等的正实数， ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c>2， ∴b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6，∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3得证．证法二：(综合法) ∵a ，b ，c 不相等，∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b c 不相等． ∴b a ＋a b>2，c a ＋a c>2，c b ＋b c>2. 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c>6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋a b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c－1>3，即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3.1.综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种“由因到果”的证明方法.2.分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判断条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……结论成立”.3.有些不等式的证明，需一边分析一边综合，称之为分析综合法．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系．分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.1．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >a >b D ．a >c >b答案 A 解析 a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6，∵0<3＋2<6＋5<7＋6，∴13＋2>16＋5>17＋6，∴a >b >c .2．若a >1,01 B ．a b<1 C ．log b a >0 D ．log a b <0 答案 D解析 ∵a >1,01，log b a <0，log a b <0.3．当a ∈________时，函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋3在[5，＋∞)上是增函数．答案 (－∞，6]解析因为f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋3在[5，＋∞)上是增函数，所以a －1≤5，解得a ≤6. 4．设a >0，b >0，c >0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．答案 9解析根据条件可知，欲求1a ＋1b ＋1c的最小值．只需求(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 的最小值，因为(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a ＝b ＝c时取“＝”)．5．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴1ab≥4.∴1a ＋1b ＋1ab＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab≥2ab ·2·1ab＋4＝8(当且仅当a ＝b 时取“＝”号)．∴1a ＋1b ＋1ab≥8.。

高中数学第2章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明讲义(含解析)苏教版选

直接证明[对应学生用书P26]1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．2．综合法和分析法直接证明定义推证过程综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法已知条件⇒…⇒…⇒结论分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法结论⇐…⇐…⇐已知条件1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[对应学生用书P27]综合法的应用[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[思路点拨]从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析]∵a 2＋19≥2a 3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c 3，∴⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.[一点通]综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab .又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc 2＝2c ，同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a . ∵a 、b 、c 不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )，即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ，故1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，又因为aπ，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c . ∵PO ⊥π，a π，∴直线PO ⊥a . 又a ⊥b ，b平面PAO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面PAO .又c平面PAO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．分析法的应用[例2] 已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b.[思路点拨]本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析]要证明(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b 成立，只需证(a －b )24a <a ＋b －2ab <(a －b )24b 成立，即证(a －b )24a <(a －b )2<(a －b )24b 成立．只需证a －b 2a <a －b <a －b2b成立．只需证a＋b2a<1<a＋b2b成立，即证a＋b<2a且a＋b>2b，即b<a.∵a>b>0，∴b<a成立．∴(a－b)28a<a＋b2－ab<(a－b)28b成立．[一点通]在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，求证：P＜Q.证明：要证P＜Q，主要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2a(a＋7)＜2a＋7＋2(a＋3)(a＋4)，即证a2＋7a＜a2＋7a＋12，即证0＜12.因为0＜12成立，所以P＜Q成立．4．已知a、b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.证明：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥ab(a＋b)．即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，即证a＋b－ab≥ab.也就是要证a＋b≥2ab.因为a，b为正实数，所以a＋b≥2ab成立，所以ab＋ba≥a＋b.综合法与分析法的综合应用[例3] 已知0<a ≤1,00，b >0，c >0， ∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ，即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0. ∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc ) ＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a ) ＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )，又a ≤1，b ≤1，c ≤1， ∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0，∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立，即证明了1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1.[一点通](1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c . 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ab ＋c ＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )(a ＋b )(b ＋c )＝1，即a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.下面证明：a 2＋c 2＋ab ＋bcb 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋c 2＋ab ＋bc a 2＋c 2－ac ＋ab ＋ac ＋bc＝1. 故原等式成立．6．若a ，b ，c 是不全相等的正数．求证：lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立，即证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )成立，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，∵a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2≥abc >0，(*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立， ∴原不等式成立．1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P 1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P 2；当由P 1可以推出P 2时，结论得证．[对应学生用书P29]一、填空题1．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC中，由正弦定理得asin A＝bsin B.又∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B反之，若sin A>sin B，则a>b，∴A>B∴A>B是sin A>sin B的充要条件．答案：充要2．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1(判断大小)．解析：要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.答案：<3．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b4．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S 在底面ABC 上的射影为点O ， ∴SO ⊥平面ABC ，连接AO ，BO ， ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ， ∴BC ⊥平面SAO ， ∴BC ⊥AO . 同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心．答案：垂心5．已知函数f (x )＝10x，a ＞0，b ＞0，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．解析：由a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝10x在R 上是单调增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥f ()ab ≥f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≥B ≥C . 答案：A ≥B ≥C 二、解答题6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：f (a )＋f (c )＞2f (b )．证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数，所以a ＋c ＞2ac .因为b 2＝ac ，所以ac ＋2(a ＋c )＞b 2＋4b ，即ac ＋2(a ＋c )＋4＞b 2＋4b ＋4，从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2. 因为f (x )＝log 2(x ＋2)是增函数，所以log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2，即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2)．故f (a )＋f (c )＞2f (b )． 7．已知a >0，用分析法证明：a 2＋1a 2－2>a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，故只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(某某高考改编)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c ，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .。

高中数学第2章推理与证明 2.2.1 直接证明课件苏教选修12苏教高二选修12数学课件

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12/8/2021
第三十九页，共三十九页。
_______③_.
a＋b
a＋b
①a> 2 > ab>b；②b> ab> 2 >a；
a＋b
a＋b
③b> 2 > ab>a；④b>a> 2 > ab.
第三十一页，共三十九页。
3.求证：log1519＋log2319＋log3219<2. 证明因为log1ba＝logab，
所以(suǒyǐ)左边＝log195＋2log193＋3log192 ＝log195＋log1932＋log1923
第2章——
推理与证明 (tuīlǐ)
第一页，共三十九页。
2.2 直接证明与间接(jiàn 证明 jiē)
2.2.1 直接证明
[学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法(fāngfǎ)——综合法和分析法. 2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.
第二页，共三十九页。
1 预习(yùxí)导学
2 课堂讲义(jiǎngyì)
击破
3 当堂检测
挑战自我，点点落实重点难点，个个
当堂训练，体验(tǐyàn)成功
第三页，共三十九页。
[知识链接] 1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
答综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而(cóng ér)得到的每一个结论都是正
即证a2＋b2≥2ab.
第十九页，共三十九页。
∵a2＋b2≥2ab对一切实数(shìshù)恒成立，
∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立.

高中数学第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明(第1课时)课堂探究新人教A版选修1-2(

究新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明（第1课时）课堂探究新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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堂探究新人教A版选修1-2探究一综合法的应用综合法是中学数学证明中常用的一种方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结论的真实性．简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．【典型例题1】已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥错误!.思路分析:根据题意进行适当配凑，再利用基本不等式进行证明即可．证明：∵a2＋错误!≥错误!,b2＋错误!≥错误!,c2＋错误!≥错误!，∴错误!＋错误!＋错误!≥23a＋错误!b＋错误!c＝错误!（a＋b＋c)＝错误!。

∴a2＋b2＋c2≥错误!。

规律小结综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0（a∈R）．②（a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab,错误!2≥ab，a2＋b2≥错误!。

③若a，b∈（0，＋∞），则错误!≥错误!，特别是错误!＋错误!≥2.【典型例题2】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明:CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.思路分析：解答本题可先明确线线、线面垂直的判定及性质定理，再用定理进行证明．证明：（1）在四棱锥P－ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC。

2020学年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教A版选修2_2

∴b，c 为方程 x2＋ax＋1a＝0 的两根， ∴Δ＝a2－4a≥0，即 a3≥4. ∴a≥3 4> 3 287＝32，这与 a≤32矛盾， ∴a，b，c 中至少有一个大于32.
短板补救案·素养培优
规范解答(九) 反证法在证明问题中的应用
典题示例
【典例】 (12 分)已知 a，b，c∈（0，1） . 求证：（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不能都大于14 .
∵a2n＝an－1·an＋1，b2n＝bn－1·bn＋1， ∴2anbn＝an－1bn＋1＋bn－1an＋1 ＝apn·bn·q＋bqn·an·p， ∴2＝qp＋pq. ∵当 p≠q 时，qp＋pq＞2 或qp＋pq≤－2 与qp＋pq＝2 矛盾． ∴假设不成立，即{cn}不是等比数列．
题型二用反证法证明唯一性命题【例2】若函数f(x)在区间[a，b]上的图像连续，且 f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x) 在(a，b)内有且只有一个零点．
变式训练
1．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝ an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
证明假设{cn}是等比数列．则当 n≥2 时，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1) ∴a2n＋2anbn＋b2n ＝an－1an＋1＋an－1bn＋1＋bn－1an＋1＋bn－1bn＋1. 设{an}，{bn}的公比分别为 p，q(p≠q)．
变式训练
2．求证：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
解析已知：点P在直线a外．求证：过点P与直线a平行的直线有且只有一条．证明：∵点P在直线a外， ∴点P和直线a确定一个平面，设该平面为α，在平面α内，过点P作直线b，使得b∥a，则过点P有一条直线与a平行．

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法212数学

第六页，共二十八页。
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些
作为条件使用( )
①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、
定理、定义等；④原命题的结论．
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
解析：由反证法的定义，可将①②③作为条件使用，
而④(原命题的结论)不能作为条件使用．
答案：C
第七页，共二十八页。
第二章推理(tuīlǐ)与证明
第一页，共二十八页。
2.2 直接证明与间接证明 2．2.2 反证法
[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法(重点).2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题(重点、难点)．
第二页，共二十八页。
1．反证法 (1)反证法是间接证明的一种基本方法． (2)一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫作反证法．
归纳升华 1．反证法证明唯一性命题的适用类型：当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于从假设的结论中易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单． 2．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．
第十八页，共二十八页。
[变式训练] 用反证法证明：过已知直线 a 外一点 A 只有一条直线 b 与已知直线 a 平行．
第二十一页，共二十八页。
[迁移探究 1] (变换条件)已知 a，b，c∈(0，2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a 不能都大于 1.
证明：假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a 都大于 1. 因为 a，b，c∈(0，2) 所以 2－a>0，2－b>0，2－c>0. 所以（2－2a）＋b≥ （2－a）b>1. 同理（2－2b）＋c≥ （2－b） c>1.

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2019-2020学年高中数学第二章推理与证明 2.2.1 直接证明导学案苏教
版选修2-2
班级姓名学号组别
1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；
2. 了解综合法的思考过程和特点，会用综合法证明问题；
2. 了解分析法的思考过程和特点；会用分析法证明问题；
了解综合法、分析法的思考过程和特点，会运用这两种方法.
分析法的思考特点的理解，综合法、分析法的应用.
※复习回顾
在以往的学习中，你学过哪些证明的方法？这些方法是如何进行的呢？
※预习检测
I.阅读课本《选修2-2》P82-84内容.
II.预习自测：
1．什么是直接证明？综合法、分析法的思维过程你能用图示分别表示出来吗？
2．设a b
，为两个不相等的正数，且+=1
a b，分别用分析法、综合法证明：
1
4
a b
+>
1
.
I.解决“预习自测”和“我思我疑”中的问题.
II.解决下列问题
问题1 已知,0a b >,求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.
问题2 .
问题3 设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.
求证：PD 垂直于ABC ∆所在的平面.
※点拨提炼
比较综合法与分析法的证明过程，分析两种方法各有怎样的特点？在实际运用时，如何利用它们的特点解决问题？
※当堂巩固
1. 求证
2. 设a b ，是两个相异的正数，求证：关于x 的一元二次方程222()420a b x abx ab +++=没有实数根.
3. ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +，求证：60A B +=.
直接证明课后作业2015-4-3
班级学号姓名评价
1. ，你认为在综合法与分析法两种方法中较为方便的是 .
2.不等式①233x x +>；②2b a a b
+≥；③||||||a b a b +≤+；④222a b c ++ab bc ac ≥++，其中恒成立的有 .
3.已知0y x >>,且1x y +=,那么下列结论正确的是（） A.22x y x y xy +<
<< ； B.22x y xy x y +<<<； C.22x y x xy y +<<< ； D.22
x y x xy y +<<<. 4.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,则其浓度为；若再加入m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .
5.分别用综合法与分析法证明下列各题
（1）已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(52)(12)(103)A B C -，
，，，，，求证：ABC ∆为直角三角形.
（2）求证：当
1a >
<（1）//PA EDB 平面；（2）DE PB ⊥.
7.（选做）已知0a b >>,求证:22
()()828a b a b a b a b -+-<.。