2019-2020年高考数学大一轮复习 8.1空间几何体学案理苏教版

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2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题8.1 空间几何体的表面积与体积(讲)(原卷版)

【最新考纲解读】【考点深度剖析】柱、锥、台、球等简单几何体的面积与体积(尤其是体积)是高考热点．【课前检测训练】【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )(3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( )(5)长方体既有外接球又有内切球．( )(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )【练一练】1．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cm D.32cm 2．一个棱长为2 cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为________ cm 3.3.一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．4.在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π【题根精选精析】考点1 几何体的表面积【1-1】【苏州市2019届高三调研测试】若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ▲ ．【1-2】【2019·江苏高考】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为________cm 3.【基础知识】圆柱的侧面积 rl S π2=圆柱的表面积 )(2l r r S +=π圆锥的侧面积 rl S π=圆锥的表面积 )(l r r S +=π圆台的侧面积 l r r S )(+'=π圆台的表面积 )(22rl l r r r S +'++'=π球体的表面积 24R S π=柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 【思想方法】多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．【温馨提醒】多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理；圆锥、圆柱、圆台的侧面是曲面，计算侧面积或长度时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. (1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理．考点2 几何体的体积【2-1】【江苏省南京市2019届高三9月学情调研】若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .【2-2】【苏州市2019届高三暑假自主学习测试】如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3:2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCD F ABDV V --=.【2-3】【江苏省诚贤中学2019届高三数学月考试题】正三棱锥S ABC -中，2BC =，SB =D E 、分别是棱SA SB 、上的点，Q 为边AB 的中点，SQ CDE ⊥平面，则三角形CDE 的面为．【基础知识】圆柱的体积 h r V 2π=圆锥的体积 h r V 231π=圆台的体积 )(3122r r r r h V '++'=π 球体的体积 334R V π= 正方体的体积 3a V =正方体的体积 abc V =【思想方法】若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．【温馨提醒】(1)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．(3)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．考点3 几何体的展开、折叠、切、截问题【3-1】(2019·南通期末)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为23，则四面体A-B1CD1的外接球的体积为________．【3-2】如图所示，已知三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 -ABC1的体积为________．【思想方法】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【温馨提醒】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个简单几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解简单几何体面积和体积计算难点的关键．【易错问题大揭秘】求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．。

新高考苏教版数学理大一轮复习训练8.1空间几何体及其表面积、体积(含答案解析)

8.1空间几何体及其表面积、体积一、填空题1．下边是对于四棱柱的四个命题：①如有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②如有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．此中，真命题的编号是 ________(写出全部真命题的编号 ) ．答案②④2．在三棱锥 S- ABC中，面 SAB，SBC，SAC都是以 S 为直角极点的等腰直角三角形，且 AB＝BC＝ CA＝，则三棱锥 S ABC的表面积是________．2-分析设侧棱长为a，则2a＝，a＝，侧面积为1a2＝，223×2×3323，表面积为 3＋ 3.底面积为4×2＝答案3＋33．给出以下四个命题：①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其他两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥④圆锥的极点与底面圆周上的随意一点的连线都是母线此中正确命题的个数为 ________个．分析①错误，如图 (1) ，由两个构造同样的三棱锥叠放在一同构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．②错误，如图(2)(3)所示，若△ ABC不是直角三角形，或假如是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．③错误，若六棱锥的全部棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必定要大于底面边长．④正确．答案 14．如下图，已知一个多面体的平面睁开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形构成，则该多面体的体积是 ________．1，侧棱长为 1，斜高为3分析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 2，连2122接极点和底面中心即为高，可求得高为2，因此体积 V＝3×1×1×2＝6 .2答案65．四位好朋友在一次聚会上，他们依据各自的爱好选择了形状不一样、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图盛满酒后他们商定：先各自饮杯中酒的一半，设节余的酒的高度从左到右挨次为h1， h2，h3，h4，则它们的大小关系有下列四种表述：①h2＞h1＞h4②h1＞h2＞h4③h3＞h2＞h4④h2＞h4＞h1此中表述必定正确的选项是 ________．分析此题若用公式推导将费时费劲，只需掌握住处剩酒为本来的一半以及酒杯的形状，h4为本来高度的一半应最小，第二个杯子为圆锥形，液面高度应当最高，故只有①正确．答案①6．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40 mm，满盘时直径120 mm，已知卫生纸的厚度为0.1 mm，则满盘时卫生纸的总长度大概是________m(π取3.14 ，精准到 1 m) ．分析卫生纸总长度为 π2－202 ≈3.14 ×32 000 ＝100 480(mm)≈100(m)．0.1答案1007．如图，一个四棱锥和一个三棱锥恰巧能够拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h 1、 h 2 、h ，则 h 1∶ h 2∶ h ＝________.分析如图，设三棱锥 P- ABE 的各棱长为 a ，则四棱锥 P - ABCD 的各棱长也为 a ，22 22于是 h 1＝a － 2a＝ 2 a ，232 26h 2＝ a － 2a ×3 ＝ 3 a ＝ h ， ∴ h 1 ∶h 2∶h ＝ 3∶2∶2.答案3∶2∶28．如图，已知正三棱柱 ABC- A 1B 1C 1 的底面边长为 2 cm ，高为 5 cm ，则一质点自点 A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周祥达点 A 1 的最短路线的长为 ________cm.分析依据题意，利用切割法将原三棱柱切割为两个同样的三棱柱，而后将其展开为如下图的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122 ＝13 cm.答案139．长方体的全面积为 11，十二条棱的长度之和为 24，则这个长方体的一条对角线长为 ________．分析设长方体的长、宽、高分别为 x 、 y 、 z ，则 4( x ＋y ＋z) ＝24，且 2xy ＋2yz ＋2xz ＝ 11.则 x 2＋y 2＋ z 2＝ ( x ＋y ＋z) 2－2xy － 2yz －2xz ＝36－ 11＝25，进而对角线长为 5.答案510．如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1C 1 中， AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1 ＝3，M 为线段 B 1B 上的一动点，则当 AM ＋ MC 1最小时，△ AMC 1的面积为 ________．分析2 22＝，于是如图，当 AM ＋ MC 最小时， BM ＝，因此 AM ＝，C 1M ＝，AC11281142221AM ＋ MC － AC由余弦定理，得 cos ∠AMC 1＝112AM ·MC 1 ＝－，231 3因此 sin ∠ AMC 1＝ 2 ，S △AMC 1＝ 2× 2×22×2＝ 3.答案311．如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴 l 旋转 180°后形成一个组合体，下边说法不正确的选项是 ________(填序号)．①该组合体能够切割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体；②该组合体仍旧对于轴 l 对称；③该组合体中的圆锥和球只有一个公共点； ④该组合体中的球和半球只有一个公共点．分析半圆绕 l 旋转后，可得半球，故组合体中只有一个球，因此①不正确，其余都正确．答案①12．正方体 ABCD A 1B 1 C 1D 1 的棱长为，点 M 是 BC 的中点，点 P 是平面 ABCD 内的- 2一个动点，且知足 PM ＝，P 到直线 A 1D 1 的距离为，则点 P 的轨迹是． 2 5________ 分析由 PM ＝，知点 P 在以 M 为圆心， 2为半径的圆上．又由 P 到直线 A 1D 1的2距离为，知点 P 在与 BC 平行且过 AB 中点的直线上，故点P 的轨迹是它们的5交点，即为两点．答案两个点13．如图，在透明塑料制成的长方体 ABCD-A 1 B 1C 1 D 1 容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC 固定于地面上，再将容器倾斜，跟着倾斜度的不一样，有以下四个说法：①水的部分一直呈棱柱状；②水面四边形 EFGH 的面积不改变；③棱 A 1D 1 一直与水面 EFGH 平行；④当 E∈AA1时， AE＋BF是定值．此中全部正确的命题的序号是________．分析察看图形并试验可知①正确，②不正确；③正确．④中AE＝B1F，BF＝A1E，因此 AE＋BF＝AA1为定值，故正确命题是①③④.答案①③④二、解答题14．直平行六面体的底面是菱形，过不相邻的两对侧棱的截面的面积是Q1和 Q2，求它的侧面积．分析如图，设直平行六面体A1 C的底面菱形边长为a，侧棱长为 l ， A1C 是直平行Q Q2六面体1? A1 ACC、B BDD是矩形，∴ Q1＝l ·AC? AC＝l . 同理 BD＝l，又底面是菱1112＝AC 2BD2＝Q12＋Q22? 2a·l ＝22，S＝4al ＝222.形 ? a 2 ＋2l2Q1＋Q Q＋Q42侧1215．给出一块边长为 2 的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积．分析取等边三角形三边的中点 A、B、C，连结 AB、BC、CA 得正三角形的三条中位线，以中位线为折线折起三角形，使三角形三极点重合，则得侧棱长与底面边长都等于 1 的三棱锥 S-ABC，作 SO⊥平面 ABC，连结并延伸 CO 交 AB 于 E，则 E 是 AB 的中点，连结 SE.由于 O 是△ ABC 的心里，22 3 3因此 OC ＝3CE ＝3× 2 ＝ 3在 Rt △SOC 中， SC ＝ 1，＝2－ OC 2＝ 1－1＝ 6，SO SC3 3故 V S-ABC ＝1△ABC ×SO ＝1×1× ×3S3 2CEAB SO13×1× 62＝ 6× 2 3 ＝ 12 .16．在四周体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四周体的体积的最大值；(2)当四周体的体积最大时，求其表面积．分析 (1)如图，在四周体 ABCD 中，设 AB ＝ BC ＝ CD ＝ AC ＝ BD ＝ a ， AD ＝ x ，取 AD 的中点为 P ， BC 的中点为 E ，连结 BP 、EP 、CP.获得 AD ⊥平面 BPC ，∴ V ABCD ＝V ABPC ＋V DBPC11＝ 3·S △ BPC ·AP ＋3S △BPC ·PD 1＝ 3·S △ BPC ·AD＝ 1 12x 2 a 2·x··a a － 4 －43 2＝ a3a 2－x 2 x212a 3a 2 1 3 6≤ 12·2 ＝8a (当且仅当 x ＝2 a 时取等号 )．∴该四周体的体积的最大值为18a 3.(2)由(1)知，△ ABC 和△ BCD 都是边长为 a 的正三角形，△ ABD 和△ ACD 是全63 21 6等的等腰三角形，其腰长为a ，底边长为 2 a ，∴ S 表＝2× 4 a＋2× 2×2 a ×2 6 2 a －4 a32610a＝ 2a＋ 2a ×43215a 2 ＝ 2 a＋ 4＝ 23＋15 24a .17．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为 1∶16，截去的圆锥的母线长是 3 cm ，求圆台的母线长．分析利用三角形相像比，由底面积之比为 1∶16.可设圆台的母线长为 l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r 、4r .3r依据相像三角形的性质得 3＋ l ＝ 4r ，解得 l ＝9.因此，圆台的母线长为 9 cm.18．一个正方体内接于高为 40 cm ，底面半径为 30 cm 的圆锥中，求正方体的棱长．分析如下图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为 x cm ，2x2240－ x则 OC ＝ 2 x ，∴ 30 ＝ 40 ，解得 x ＝120(3 － 2 2) ，∴正方体的棱长为 120(3 － 2 2) cm.。

2019-2020学年高三数学一轮复习立体几何教案.doc

2019-2020学年高三数学一轮复习立体几何教案教学目标了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；了解一些简单组合体（如正方体和球，正四面体和球）；教学重难点柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式的使用教学参考教材,教参,学案，优化探究授课方法自学引导，讲练结合教学辅助手段多媒体专用教室教学过程设计教学二次备课一、主干知识梳理1．侧面积公式：S=直棱柱侧，S=正棱锥侧，S=正棱台侧，S=圆台侧，S=圆柱侧，S=圆锥侧．2．体积公式：V=长方体= ，V=柱体，V=锥体，V=台体．3．球：V=球体，S=球面．二、基础自测自评1．若一个球的体积为π34，则它的表面积为_______．2．已知圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积是．3．若圆锥的母线长为3cm，侧面展开所得扇形圆心角为23π，则圆锥的体积为3cmD．v≤40 km/B．v＞40 km/ D．v≤40 km/h D．a＋c＞b学生课前预习师生共同回顾主干知识通过小题巩固公式的记忆及使用教学过程设计教学二次备课三、典例分析【例1】（1）一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2，则(1)圆台高为 (2)截得此圆台的圆锥的母线长为．（2）若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 .（3）三棱柱的一个侧面面积为S ，此侧面所对的棱与此面的距离为h ，则此棱柱的体积为．【例2】例2如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF //平面11ABC D ；（2）求证：1EF B C ⊥；（3）求三棱锥1B EFC V -的体积．四、课堂小结：了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；了解一些简单组合体（如正方体和球，正四面体和球）；练习：1．一个球的外切正方体的全面积等于26cm ，则此球的体积为 .2．等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为．课外作业优化探究变式训练1教学小结C DB FE D 1C 1B 1A A 1。

高三数学第一轮复习：空间几何体苏教版

高三数学第一轮复习：空间几何体苏教版【本讲教育信息】一、教学内容：空间几何体二、教学目标：1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实世界中简单物体的结构，了解柱、锥、台、球的概念。

2、了解画立体图形三视图的原理，并能画出简单几何图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图。

能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出立体图形的直观图。

3、掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积及体积计算公式，能直观感知空间几何体的展开图的形状，并能初步运用于实际问题之中。

三、知识要点（一）棱柱、棱锥、棱台1、棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．2、棱锥的特点：底面是多边形，各侧面是有一个公共顶点的三角形。

3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台。

（1）侧面是梯形．（2）两底是相似多边形．（二）圆柱、圆锥、圆台将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。

这条线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置这条边都叫做母线。

圆柱的特点：（1）两底互相平行且相等，平行底的截面是与底相等的圆．（2）所有的母线都相等且平行，并与底垂直．（3）通过轴的截面是以底为直径和母线为邻边的矩形（叫做圆柱的轴截面）．圆锥的特点：（1）所有母线都相等．（2）通过轴的截面是以母线为腰、底圆直径为底的等腰三角形（叫做圆锥的轴截面）．圆台的特点：通过轴的截面是以上、下底直径为底、母线为腰的等腰梯形． 4、球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.（三）重要概念：三视图画物体的三视图时，要符合如下原则：位置：正视图侧视图俯视图大小：长对正，高平齐，宽相等（四）斜二测画法水平放置图形斜二测画法规则：（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴、y 轴．画直观图时，把它画成对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′=45°（或135°）．它们确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段．（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．”（五）表面积公式1、S 直棱柱侧＝ch 其中c 为棱柱的底面周长，h 为直棱柱的高。

2019-2020学年高考数学一轮复习空间几何体的综合应用导学案.doc

3 ，试求该几何体的体积 V． 2
2.如图 ,四边形 ABCD 为矩形,且 AD 2, AB 1, PA 平面ABCD, PA 1 , E 为
BC 的中点.
(1)求证: PE DE ; (2)求三棱锥 C PDE 的体积; (3)探究在 PA 上是否存在点 G ,使得
EG // 平面PCD ,并说明理由.
,b/ ，且 a//b，则 //
【课堂研讨】例 1.如图，平行四边形 ABCD 中， BD CD ，正方形 ADEF 所在的平面和平面 ABCD 垂直， H 是
BE 的中点， G 是 AE , DF 的交点.
（1）求证： GH // 平面 CDE ；（2）求证： BD 平面 CDE ．
PE 2 时，求证：BG//平面 AEC。 ED
3.如图,直角梯形 ABCD 中, ABC BAD 90 ,AB=BC 且△ABC 的面积等于△ADC 面积的
1 ．梯形 ABCD 所在平面外有一点 P,满足 PA⊥平面 ABCD, PA PB ． 2
（1）求证:平面 PCD⊥平面 PAC ; （2）侧棱 PA 上是否存在点 E,使得 BE // 平面 PCD?若存在,指出点 E 的位置并证明;若不存在,请说明理由．
【课外作业】 1.如图一简单几何体的一个面 ABC 内接于圆 O， G,H 分别是 AE,BC 的中点,AB 是圆 O 的直径，四边形 DCBE 为平行四边形，且 DC 平面 ABC．（1）求证:GH//平面 ACD; （2）证明：平面 ACD 平面 ADE；
（3）若 A B=2，BC=1， tan EAB
长方形沿 CC1 对折，使平面 AA1C1C⊥平面 CC1B1B （如下右图），已知 D， E 分别是 A,B,， CC1 的中点．（1）求证：C1D∥平面 A,BE; （2）求证：平面 A1BE⊥平面 AA1B1B；（3）求三棱锥 C1-A1BE 的体积，

2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量教案(含解析)

2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量§8.1空间几何体的结构、表面积与体积最新考纲1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征(2)旋转体的结构特征2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.空间几何体的表面积与体积公式概念方法微思考1．底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗？为什么？提示不一定．因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱．2．如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．( √ ) (4)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )(5)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( √ ) (6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × ) 题组二教材改编2．已知圆锥的表面积等于12πcm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A ．1cmB ．2cmC ．3cmD.32cm答案 B解析 S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， ∴r 2＝4，∴r ＝2.3．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)答案 ③⑤ 题组三易错自纠4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12πB.323πC ．8πD ．4π答案 A解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π，故选A.5.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．答案 1∶47解析设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ×12b ×12c＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47.题型一空间几何体的结构特征1．以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确． 2．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________．(填序号) 答案 ①②③解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确．综上，命题①②③不正确．思维升华空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定． (2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析．题型二空间几何体的表面积与体积命题点1 空间几何体的表面积例1(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π答案 B解析设圆柱的轴截面的边长为x ，则由x 2＝8，得x ＝22，∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B. 命题点2 求简单几何体的体积例2 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A ．3 B.32 C ．1 D.32答案 C 解析如题图，因为△ABC 是正三角形，且D 为BC 中点，则AD ⊥BC .又因为BB 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，故BB 1⊥AD ，且BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥平面BCC 1B 1，所以AD 是三棱锥A －B 1DC 1的高．所以V 三棱锥A －B 1DC 1＝13S △B 1DC 1·AD＝13×3×3＝1. 思维升华空间几何体表面积、体积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解．跟踪训练1 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，D 为棱B 1C 1上任意一点，则三棱锥D －A 1BC 的体积是______．答案233解析 VD －A 1BC ＝VB 1－A 1BC＝VA 1－B 1BC ＝13×S △B 1BC ×3＝233.题型三与球有关的切、接问题例3已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210C.132D ．310答案 C解析如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M . 又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝132. 引申探究1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4×34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 3．本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为32×2＝6，高为(32)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华“切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心． (2)“接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．跟踪训练2(2018·全国Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( ) A ．123B ．183C ．243D ．54 3 答案 B解析由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3. 设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2. 所以三棱锥D －ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( ) A ．一个圆台、两个圆锥 B ．两个圆台、一个圆柱 C ．两个圆柱、一个圆台 D ．一个圆柱、两个圆锥答案 D解析从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图：2．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( ) A ．32B.32πC.16πD.8π答案 B解析若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.3．(2018·辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( ) A ．圆面 B ．矩形面C ．梯形面D ．椭圆面或部分椭圆面答案 C解析将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.4．棱长为a 的正四面体的表面积是( ) A.36a 2B.312a 2C.34a 2D.3a 2 答案 D解析棱长为a 的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是4×34a 2＝3a 2. 5．(2019·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ＝136l 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V ≈25942l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取( )A.227B.258 C.15750 D.355113答案 C解析 V ＝13πr 2h ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫l 2π2h ＝112πl 2h ，由112π≈25942，得π≈15750，故选C. 6．(2018·四川棠湖中学月考)用一个平面去截正方体，则截面不可能是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．正方形D ．正六边形答案 A解析用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形； ④截面为六边形时，可以是正六边形． 7．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．答案 ②③④解析 ①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的三棱锥C 1－ABC ，四个面都是直角三角形．8．如图所示，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr＝________.答案233解析由水面高度升高r ，得圆柱体积增加了πR 2r ，恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有43πr 3＝πR 2r .故R r ＝233.9．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．答案 12解析设六棱锥的高为h ，则V ＝13Sh ，所以13×34×4×6h ＝23，解得h ＝1.设六棱锥的斜高为h ′，则h 2＋(3)2＝h ′2，故h ′＝2.所以该六棱锥的侧面积为12×2×2×6＝12.10．(2017·全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．答案 14π解析 ∵长方体的顶点都在球O 的球面上， ∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．设球的半径为R ，则2R ＝32＋22＋12＝14. ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎪⎫1422＝14π. 11．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．解设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157，圆锥的高h ＝l 2－r 2＝36r 2－r 2＝35·r ＝35·157＝53， V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π. 12．若E ，F 是三棱柱ABC —A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，求四棱锥A —BEFC 的体积．解如图所示，连接AB 1，AC 1.因为B 1E ＝CF ，所以梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积．又四棱锥A —BEFC 的高与四棱锥A —B 1EFC 1的高相等，所以V A —BEFC ＝11—A B EFC V ＝1211—.A BB C C V 又111—A A B C V ＝13111A B C S △·h ，111—ABC A B C V ＝111A B C S △·h ＝m ，所以111—A A B C V ＝m3，所以11—.A BB C C V ＝111—ABC A B C V －111—A A B C V ＝2m3，所以V A —BEFC ＝12×2m 3＝m3，即四棱锥A —BEFC 的体积是m3.13．已知边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将该菱形沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D —ABC 的体积为( ) A.a 36B.a 312C.3a 312 D.2a312 答案 D解析在边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将该菱形沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D —ABC 为正四面体，D 在底面的射影为正三角形的中心O ，h ＝OD ＝DE 2－OE 2＝34a 2－112a 2＝6a3，所以三棱锥D —ABC 的体积为V ＝13Sh ＝13·3a 24·6a 3＝2a312.14.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处．若该小虫爬行的最短路程为42m ，则圆锥底面圆的半径等于________m.答案 1解析把圆锥侧面沿过点P 的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP ＝4，PP ′＝42，则cos∠POP ′＝42＋42－(42)22×4×4＝0，且∠POP ′是三角形的内角，所以∠POP ′＝π2.设底面圆的半径为r ，则2πr ＝π2×4，所以r ＝1.15．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积．解因为AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.又球心O 在截面△ABC 上的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC 的外接圆的圆心，所以斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示)，设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径为R ，截面圆半径为r ，在Rt△O ′CO 中，由题设知sin∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12，所以∠O ′CO ＝30°，所以r R ＝cos30°＝32，即R ＝23r ，(*)又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入(*)得R ＝10 3. 所以球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(103)2＝1200π.球的体积为V ＝43πR 3＝43π×(103)3＝40003π. 16.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝4，EB ＝2 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值． (1)证明 ∵四边形DCBE 为平行四边形， ∴CD ∥BE ，BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC . ∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，且DC ∩AC ＝C ，DC ，AC ⊂平面ADC ，∴BC ⊥平面ADC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ADC . (2)解 ∵DC ⊥平面ABC ，DC ∥BE ， ∴BE ⊥平面ABC .在Rt△ABE 中，AB ＝4，EB ＝2 3. 在Rt△ABC 中，∵AC ＝x ， ∴BC ＝16－x 2(0<x <4)， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x ·16－x 2，∴V (x )＝V 三棱锥E －ABC ＝33x ·16－x 2(0<x <4)．∵x 2(16－x 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋16－x 222＝64，当且仅当x 2＝16－x 2，即x ＝22时取等号， ∴当x ＝22时，体积有最大值833.§8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲1.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．概念方法微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( ×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( ×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( √)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．( ×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．( ×) 题组二教材改编2．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C 为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.题组三易错自纠4．α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A．垂直B．相交C．异面D．平行答案 D解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．5.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M答案 D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．答案 3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．题型一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF ∥CD 1，EF <CD 1， ∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，如图所示．则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ，∴P ∈直线DA ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．题型二判断空间两直线的位置关系例2(1)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交答案 D解析由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．故选D.(2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝2ED ，CF ＝2FA ，则EF 与BD 1的位置关系是( )A ．相交但不垂直B ．相交且垂直C ．异面D ．平行答案 D解析连接D 1E 并延长，与AD 交于点M ，由A 1E ＝2ED ，可得M 为AD 的中点，连接BF 并延长，交AD 于点N ，因为CF ＝2FA ，可得N 为AD 的中点，所以M ，N 重合，所以EF 和BD 1共面，且ME ED 1＝12，MF BF ＝12，所以ME ED 1＝MFBF，所以EF ∥BD 1.思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．跟踪训练2(1)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.(2)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上) 答案 ③④解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④. 题型三求两条异面直线所成的角例3(2019·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25 C.35 D.45答案 D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝45，即异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.引申探究将上例条件“AA 1＝2AB ＝2”改为“AB ＝1，若异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”，试求AA 1AB的值．解设AA 1AB＝t (t >0)，则AA 1＝tAB . ∵AB ＝1，∴AA 1＝t .∵A 1C 1＝2，A 1B ＝t 2＋1＝BC 1，∴cos∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910. ∴t ＝3，即AA 1AB＝3. 思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练3(2018·全国Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A.22B.32C.52D.72答案 C解析如图，因为AB ∥CD ，所以AE 与CD 所成角为∠EAB .在Rt△ABE 中，设AB ＝2，则BE ＝5，则tan∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52.立体几何中的线面位置关系直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题．例如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥FA 且BE ＝12FA ，G ，H分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH ∥AD 且GH ＝12AD .又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，∴GH ∥BC 且GH ＝BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 ∵BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 为FA 的中点，∴BE ∥FG 且BE ＝FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH .∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．素养提升平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异．1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为( )A．4 B．3C．2 D．1答案 A解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．2．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案 C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC 与平面β的交线是( )A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案 C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是( )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面答案 A解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．5．(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33答案 C解析方法一将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图①所示，连接AD1，B1D1，BD.图①由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝2，AB1＝5，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝AB2＋AD2－2×AB×AD×cos∠DAB＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD＝3，所以B1D1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.方法二以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图②所示．图②由已知条件知B 1(0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(1，0，0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1，0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)．所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1，→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝25×2＝105. 所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105. 故选C.6．正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有________条．答案 6解析如图，在正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有BB 1，DD 1，A 1B 1，A 1D 1，D 1C 1，B 1C 1，共6条．7．(2019·东北三省三校模拟)若直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系为________．答案 l ∥α或l ⊂α解析 ∵直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β， ∴直线l ∥平面α，或者直线l ⊂平面α.8．在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________．。

高考数学大一轮复习8.1空间几何体学案理苏教版

第八章立体几何学案38 空间几何体导学目标： 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．自主梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面________，侧棱都________且__________，上底面和下底面是________的多边形．侧棱和底面________的棱柱叫做直棱柱．底面为________的直棱柱叫正棱柱．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．棱锥的底面是________，且顶点在底面的正投影是________，这样的棱锥为正棱锥．(3)棱台可由________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________．________被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台．2．旋转体的结构特征将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做________、________、________，这条直线叫做____．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做________．半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做________，球面围成的几何体叫做________，简称____．3．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用________画法，其规则是：(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使∠x′O′y′＝__________________，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于________________________的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y 轴的线段，长度变为____________．自我检测1．下列四个条件能使棱柱为正四棱柱的是________(填序号)．①底面是正方形，有两个侧面是矩形；②底面是正方形，有两个侧面垂直于底面；③底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直；④每个侧面都是全等矩形的四棱柱．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．3．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．4．长方体AC1中，从同一个顶点出发的三条棱长分别是a，b，c，则这个长方体的外接球的半径是________．5．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．探究点一空间几何体的结构例1给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．变式迁移1 下列结论正确的是________(填序号)．①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．探究点二空间几何体的直观图例2一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于________．变式迁移2 等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．探究点三简单组合体的有关计算例3棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积．变式迁移3 如图，一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥，则正方体的棱长是________cm.1．熟练掌握几何体的结构特征与对应直观图之间的相互转化，正确地识别和画出空间几何体的直观图是解决空间几何体问题的基础和保证．2．棱柱的分类(按侧棱与底面的位置关系)：棱柱⎩⎨⎧直棱柱――→底面为正多边形正棱柱斜棱柱3．正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决．4．圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面．5．用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S ′与原平面图形的面积S 之间的关系是S ′＝24S .(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体叫棱锥； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．2．如图为一个简单多面体的表面展开图(沿虚线折叠即可还原)则这个多面体的顶点数为________．3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角为45°，则这个圆台的高为________cm ，母线长为________cm ，上、下底面半径分别为________cm 和________cm.4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的________．(把所有可能的图的序号都填上)5．已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为2a的正三角形，则原△ABC的面积为_________________________________________________________．6．棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为________．7．(2011·四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．8．(2011·连云港模拟)棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在一个球面上，则此球的半径R为________．二、解答题(共42分)9．(12分)正四棱台AC1的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．10．(14分)用斜二测画法画出如图中水平放置的四边形OABC的直观图．11．(16分)一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大？学案38 空间几何体答案自主梳理1．(1)平行平行长度相等全等垂直正多边形(2)公共顶点正多边形底面中心(3)平行于棱锥底面相似正棱锥 2.圆柱圆锥圆台轴底面球面球体球 3.斜二测(2)45°(或135°)(3)x′轴、y′轴或z′轴(4)不变原来的一半自我检测1．③2．球体3．60°解析设母线长为l，底面半径为r，则πl＝2πr.∴rl＝12，∴母线与高的夹角为30°.∴圆锥的顶角为60°.4.a2＋b2＋c22解析长方体的外接球的直径长为长方体的体对角线长，即2R＝a2＋b2＋c2，所以R＝a2＋b2＋c22.5.2＋2解析把直观图还原为平面图形得：直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝2＋1，AD＝1，∴面积为12×(2＋2)×2＝2＋ 2.课堂活动区例1解题导引解决这种判断题的关键是：①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念；②正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，整体把握立体几何知识．答案③④⑤⑥解析①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC 1中的四棱锥C 1—ABC ，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.变式迁移1 ④ 解析①错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．②错误．如下图，若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．③错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．④正确．例2 解题导引本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力．要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系．答案 22a 2解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x 轴上(或与x 轴平行)的线段，其长度保持不变；在y 轴上(或与y 轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，所以，若设原平面图形的面积为S ，则其直观图的面积为S ′＝12·22·S ＝24S .可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S ′之间的关系是S ′＝24S ，本题中直观图的面积为a 2，所以原平面四边形的面积S ＝a224＝22a 2.变式迁移2 22解析∵OE ＝22－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24，∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.例3 解题导引解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托．解如图所示，△ABE 为题中的三角形，由已知得AB ＝2，BE ＝2×32＝3，BF ＝23BE ＝233， AF ＝AB 2－BF 2＝4－43＝ 83， ∴△ABE 的面积为 S ＝12×BE ×AF ＝12×3× 83＝ 2. ∴所求的三角形的面积为 2. 变式迁移3 120(3－22) 解析作轴截面，PO ＝40 cm ，OA ＝30 cm ，设BC ＝x ，则O 1C ＝22x ， ∴O 1C OA ＝O 1P OP ，即22x 30＝40－x40， ∴x ＝120(3－22)．课后练习区1．③ 2．7解析沿虚线折叠还原得几何体的直观图如下，则这个多面体的顶点数为7.3．14 14 2 7 21解析画出圆台的轴截面，如图，设O ′、O 分别是上、下底面的中心，作AE ⊥DC 于E ，则有∠DAE ＝45°.由于下底面周长是上底面周长的3倍，所以下底面半径是上底面半径的3倍，若设AE ＝x ，则DE ＝x ，AB ＝x ，CD ＝3x ，AD ＝2x ，于是轴截面的面积为：12·x ·(3x ＋x )＝392，解得x ＝14，则圆台的高等于14 cm ，母线长为142cm ，上、下底面半径分别为7 cm 和21 cm.4．①③5.6a 2解析在斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34(2a )2，∴S ＝6a 2.6. 2解析由题知球O 半径为32，球心O 到直线EF 的距离为12，由垂径定理可知直线EF 被球O 截得的线段长d ＝2×34－14＝ 2.7．2πR 2解析方法一设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2R cos α，圆柱底面半径为R sin α，∴S 圆柱侧＝2π·R sin α·2R cos α＝2πR 2sin 2α.当sin 2α＝1时，S圆柱侧最大为2πR 2，此时，S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2.方法二设圆柱底面半径为r ，则其高为2R 2－r 2.∴S 圆柱侧＝2πr ·2R 2－r 2，S ′圆柱侧＝4πR 2－r 2－4πr 2R 2－r2.令S ′圆柱侧＝0，得r ＝22R .当0<r <22R 时，S ′>0；当22R <r <R 时，S ′<0. ∴当r ＝22R 时，S 圆柱侧取得最大值2πR 2. 此时S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2.方法三设圆柱底面半径为r ，则其高为2R 2－r 2，∴S 圆柱侧＝2πr ·2R 2－r 2＝4πr 2R 2－r 2≤4πr 2＋R 2－r 22＝2πR 2(当且仅当r 2＝R 2－r 2，即r ＝22R 时取“＝”)．∴当r ＝22R 时，S 圆柱侧最大为2πR 2.此时S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2.8.64a 解析如图所示，设正四面体ABCD 内接于球O ，由D 点向底面ABC 作垂线，垂足为H ，连结AH ，OA ，则可求得AH ＝33a ， DH ＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝6a 3，在Rt △AOH 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2＝R 2，解得R ＝64a . 9．解如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O 1、O ，B 1C 1和BC 的中点分别是E 1和E ，连结O 1O 、E 1E 、O 1B 1、OB 、O 1E 1、OE ，则四边形OBB 1O 1和OEE 1O 1都是直角梯形．(4分)∵A 1B 1＝4 cm ，AB ＝16 cm ， ∴O 1E 1＝2 cm ，OE ＝8 cm ，O 1B 1＝2 2 cm ，OB ＝8 2 cm ，(8分)∴B 1B 2＝O 1O 2＋(OB －O 1B 1)2＝361 cm 2，E 1E 2＝O 1O 2＋(OE －O 1E 1)2＝325 cm 2，(10分) ∴B 1B ＝19 cm ，E 1E ＝513 cm.答这个棱台的侧棱长为19 cm ，斜高为513 cm. (12分)10．解 (1)画x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(4分)(2)在O ′x ′轴上取D ′、B ′，使O ′D ′＝OD ，O ′B ′＝OB (如图所示)，在O ′y ′轴上取C ′，使O ′C ′＝12OC .在O ′x ′轴下方过点D ′作D ′A ′∥O ′y ′，使D ′A ′＝12DA .(10分)(3)连结O ′A ′，A ′B ′，C ′B ′，所得四边形O ′A ′B ′C ′就是四边形OABC 的直观图．(14分)11.解 (1)画出圆柱和圆锥的轴截面，如图，设圆柱的底面半径为r ，则由三角形相似可得x 6＝2－r 2，解得r ＝2－x 3.(6分) 圆柱的轴截面面积S ＝2r ·x ＝2(2－x3)·x＝－23x 2＋4x .(12分)(2)∵S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6∴当x ＝3时，S 的最大值为6.(16分)。

2019届一轮复习苏教版立体几何学案

专题08 立体几何一、柱体、锥体、台体的表面积圆柱（底面半径为r ，母线长为l ）圆锥（底面半径为r ，母线长为l ）圆台（上、下底面半径分别为r ′，r ，母线长为l ）侧面展开图底面面积2π底S r =2π底S r =22,ππ上底下底S r S r ='=侧面面积2π侧S rl =π侧S rl =()π侧S l r r ='+表面积()2π表S r r l =+ ()π表S r r l =+()22π表S r r r l rl ='++'+二、柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体柱体V Sh =(S 为底面面积，h 为高)，2π圆柱V r h =(r 为底面半径，h 为高)锥体13锥体V Sh =(S 为底面面积，h 为高)，213π圆锥V r h =(r 为底面半径，h 为高)台体(13)台体V S S S S h ='+'+(S ′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)，()223π1圆台V h r r r r ='+'+(r ′、r 分别为上、下底面半径，h 为高)【必记结论】（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等．三、平面的基本性质图形文字语言符号语言1如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α，B ∈α，C ∈α3经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面若点A ∉直线a ，则A 和a 确定一个平面α经过两条相交直线，有且只有一个平面a b P = ⇒有且只有一个平面α，使a α⊂，b α⊂经过两条平行直线，有且只有一个平面∥a b ⇒有且只有一个平面α，使a α⊂，b α⊂4如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P ∈α，且P ∈β⇒α∩β=l ，P ∈l ，且l 是唯一的5———l 1———l 2 ———l平行于同一直线的两条直线平行 l 1∥l ，l 2∥l ⇒l 1∥l 2四、球的表面积和体积 1．球的表面积和体积公式设球的半径为R ，它的体积与表面积都由半径R 唯一确定，是以R 为自变量的函数，其表面积公式为24πR ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为34π3R ．学-2．球的切、接问题的常见结论（1）若正方体的棱长为a ，则正方体的内切球半径是12a ；正方体的外接球半径是32a ；与正方体所有棱相切的球的半径是22a ．（2）若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，h ，则长方体的外接球半径是22212a b h ++．（3）若正四面体的棱长为a ，则正四面体的内切球半径是612a ；正四面体的外接球半径是64a ；与正四面体所有棱相切的球的半径是24a ．（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．五、空间两直线的位置关系空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：（1）从有无公共点的角度分类：学 +⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线（2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线注：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线（不同在任何一个平面内，没有公共点）．六、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类（1）直线和平面位置关系的分类①按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点②按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内③按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行（2）平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有一条公共直线． 2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示图形语言符号语言公共点直线a 与平面α相交a A α=1个直线a 与平面α平行a α∥0个直线a 在平面α内a α⊂无数个平面α与平面β平行αβ∥0个平面α与平面β相交l αβ= 无数个【常用结论】①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．七、直线与平面平行的判定与性质 1．直线与平面平行的判定定理文字语言平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行⇒线面平行图形语言符号语言 a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α作用证明直线与平面平行2．直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行⇒线线平行．图形语言符号语言 ,,a a b a b αβαβ⊂=⇒ ∥∥作用①作为证明线线平行的依据；②作为画一条直线与已知直线平行的依据．八、平面与平面平行的判定与性质 1．平面与平面平行的判定定理文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．简记为：线面平行⇒面面平行图形语言符号语言 a ⊂β，b ⊂β，a b P = ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β作用证明两个平面平行2．平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．简记为：面面平行⇒线线平行图形语言符号语言 ,,a b a b αβαγβγ==⇒ ∥∥作用证明线线平行3．平行问题的转化关系【常用结论】（1）如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．（2）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线．（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．（5）如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．（6）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．（7）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．九、直线与平面垂直1．直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．简记为：线线垂直⇒线面垂直图形语言符号语言 l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a b P = ⇒l ⊥α作用判断直线与平面垂直2．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行．简记为：线面垂直⇒线线平行．图形语言符号语言 ,a b αα⊥⊥⇒a b ∥作用①证明两直线平行；②构造平行线．【常用结论】（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．十、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．简记为：线面垂直⇒面面垂直图形语言符号语言 l ⊥α，l β⊂⇒α⊥β 作用判断两平面垂直2．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．简记为：面面垂直⇒线线平行图形语言符号语言 ,,,l a a l a αβαβαβ=⊂⊥⇒ ⊥⊥作用证明直线与平面垂直【常用结论】（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．3．垂直问题的转化关系1．已知直线a 和平面α，β，,,l a a αβαβ=⊄⊄ ，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是________________．2．一个正方体的体积为8，则这个正方体的内切球的表面积是________________．3．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是________________．4．一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为，则球的表面积为________________． 5．已知直线,m n 和平面α，满足,m n αα⊄⊂．则“m n ∥”是“m α∥”的________________条件． 6．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当DM ⊥________________时，平面MBD ⊥平面PCD ．7．已知 α，β是两个不重合的平面，下面说法错误的是________________． ①平面α内有两条直线a ，b 都与平面β平行，那么α∥β； ②平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β； ③若直线a 与平面α和平面β都平行，那么α∥β； ④平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β．8．若直线a ⊄α，给出下列结论：①α内的所有直线与a 异面；②α内的直线与a 都相交；③α内存在唯一的直线与a 平行；④α内不存在与a 平行的直线．其中成立的个数是________________．9．如图，在正方形123SG G G 中，E ，F 分别是1223G G G G ,的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使123G G G ,,三点重合于点G ，现给出下列五个结论： ①SG ⊥平面EFG ； ②SD ⊥平面EFG ；③GF ⊥平面SEF ；④EF ⊥平面GSD ；⑤GD ⊥平面SEF ．其中正确的是________________．10．将若干毫升水倒入底面半径为4cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为8cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是________________cm ． 11．在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是________________．12．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB =AF ∶FD =1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，求证：EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形．13．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11C D 的中点，F 为棱BC 的中点．（1）求证：直线AE ⊥直线DA 1；（2）在线段AA 1上求一点G ，使得直线AE ⊥平面DFG ？并说明理由．14．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ,,,分别是1111AB AC A B AC ,,,的中点．（1）求证：B C H G ,,,四点共面；（2）求证：平面1EFA ∥平面BCHG ．（1）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，确保不重复、不遗漏．（2）求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积．（3）求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．（4）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决．球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式：22d R r =-．（5）对于求解空间几何体表面积和体积的最值问题，①根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；②利用基本不等式或建立关于表面积和体积的函数关系式进行求解，注意利用函数的方法或者利用导数方法解决．学！（6）对于线面平行的基本问题，应注意：①判定定理与性质定理中易忽视的条件；②结合题意构造图形作出判断；③举反例否定结论或反证法证明．（7）在应用直线与平面垂直的判定定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线．（8）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．（9）在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．1．如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，∥AD BC ，222BC CD AD ===，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为________________．2．对于不重合的两条直线,l m 和不重合的两个平面,αβ，下列命题不正确的是________________． ①若,l m l β∥∥，则m β∥； ②若,m l αβα=⊂ ，则l β∥； ③若l αβα⊥⊥，，则l β∥； ④若,,l m m l βα⊥⊥⊥，则αβ⊥．3．设a ，b ，c 是空间的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面．其中真命题的个数是________________．4．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC =BC =1，∠ACB =90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ．要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________________．5．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m n m n αβ⊥⊥⊥,,，则αβ⊥；②若m n m n αβ⊥∥,∥,，则αβ∥；③若m n m n αβ⊥⊥,∥,，则αβ∥； ④若m n αβαβ⊥,∥,∥，则m n ⊥．其中所有正确的命题是________________．6．若半径为2的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积为8π时，圆柱的体积为________________． 7．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________________．8．如图，四棱锥中，，12AB BC AD ==，，，分别为线段，，的中点，与交于点，是线段上一点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．9．如图1所示，在Rt ABC △中，∠C =90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2所示．（1）求证：1A F BE ⊥；学！（2）线段1A B 上是否存在点Q ，使1AC ⊥平面DEQ ？说明理由．1．【答案】相交、平行或异面【解析】依据题意，b ，c 分别为a 在α，β内的射影，可判断b ，c 相交、平行或异面均可． 2．【答案】4π【解析】由正方体体积为8可知边长为2，所以内切圆半径为1，球的表面积为24π4πS R ==3．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V rπ⨯==π．【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．6．【答案】PC【解析】由相关定理可知，BD ⊥PC ．当DM ⊥PC 时，则有PC ⊥平面MBD ．而PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD ．所以应填PC ． 7．【答案】①②③【解析】对于①②，如图1，不能保证α，β无公共点，故①②错误．对于③，当a ∥α，a ∥β时，α与β可能相交，如图2，故③错误．对于④，平面α内所有直线都与平面β平行，说明α，β一定无公共点，则α∥β．故④正确．图1 图2【名师点睛】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交．判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点．解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断． 8．【答案】0【解析】∵直线a α，∴a ∥α或a ∩α=A ．如图，显然①②③④都有反例，所以应选A ．【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维． 9．【答案】①④【解析】因为SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，GE ∩GF =G ，所以SG ⊥平面GEF ，故①正确; 过平面外一点，垂直于该平面的只有一条直线，所以②错误; 因为∠GFE =45°，所以③错误;根据①得SG ⊥EF ，易得GD ⊥EF ，又SG ∩GD =G ，所以EF ⊥平面GSD ，故④正确; 由①知，⑤显然错误． 10．【答案】4【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为h cm ，则水面圆的半径为h tan30°=33h ，则由π×42×8=×(33h)2×πh ，解得h =4．11．【答案】9π2【解析】要使球的体积V 最大，必须使球的半径R 最大．由题意知球面与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439ππ()π3322R ==．13．【答案】（1）证明见解析；（2）所求G 点即为A 1点，理由见解析．【解析】（1）连接11AD BC ,，由正方体的性质可知，111DA AD DA AB ⊥⊥,，又1AB AD A = ，∴1DA ⊥平面11ABC D ，又AE ⊂平面11ABC D ，∴1DA AE ⊥．（2）所求G 点即为A 1点，证明如下：由（1）可知1AE DA ⊥，取CD 的中点H ，连接AH ，EH ，由DF AH DF EH AH EH H ⊥⊥= ,,，可证DF ⊥平面AHE ， ∵AE ⊂平面AHE ，∴DF ⊥AE ．又1DF A D D = ，∴AE ⊥平面1DFA ，即AE ⊥平面DFG ． 14．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）∵G ，H 分别是1111A B AC ,的中点，∴GH 是111A B C △的中位线，∴11GH B C ∥．又∵11B C BC ∥，∴GH ∥BC ，∴B C H G ,,,四点共面．（2）∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴EF BC ∥． ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，∴EF ∥平面BCHG ．∵1A G //=EB ，∴四边形1A EBG 是平行四边形，∴1A E GB ∥． ∵1A E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，∴1A E ∥平面BCHG ． ∵1A E EF E = ，∴平面1EFA ∥平面BCHG ．1．【答案】(32)π+【解析】由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，则表面积为2π2πππ122π11π12π3πrl rh r ++=⨯⨯+⨯⨯+⨯=+．2．【答案】①②③【解析】对于①，直线m 可能在平面β内，不正确；对于②，直线l 可以与m 相交，②不正确；对于③，直线l 可能在平面β内，③不正确；易知④正确，故命题不正确的是①②③． 3．【答案】0【解析】∵a ⊥b ，b ⊥c ，∴a 与c 可以相交、平行、异面，故①错．若a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 可能异面、相交、平行，故②错．若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 可以异面、相交、平行，故③错．同理，④错，故真命题的个数为0． 4．【答案】12【解析】设B 1F =x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF ．由已知可以得112A B =，矩形11ABB A 中，111111112tan tan 2B F A B FDB A AB B D AA ∠=∠==，，又111FDB A AB ∠=∠，所以1122B F B D =，故1221222B F =⨯=． 5．【答案】①④【解析】借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面,αβ互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面,αβ可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面,αβ可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m ααβ⊥,∥可得m β⊥，因为n β∥，所以过n 作平面γ，且g γβ= ，如图(4)所示，所以n 与交线g 平行，因为m g ⊥，所以m n ⊥．故④正确．7．【答案】3π4【解析】绘制圆柱的轴截面如下图所示，由题意可得11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径22131()22r =-=，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ()1π24V r h ==⨯⨯=．【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）如图，连接，∵，12BC AD =，∴，，∴四边形是平行四边形，∴为的中点．又是的中点，∴，又平面，平面，∴平面．（2）如图，连接，， ∵，分别是，的中点，∴，又平面，平面，∴平面．又是的中点，是的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面．又，∴平面平面，又平面，∴平面．9．【答案】（1）见解析；（2）线段1A B 上存在点Q ，使1AC ⊥平面DEQ ．理由见解析．（2）线段1A B 上存在点Q ，使1AC ⊥平面DEQ ．理由如下：如图所示，分别取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，连接DP ，QE ，PQ ，则PQ ∥BC ．又DE ∥BC ，所以DE ∥PQ ，所以平面DEQ 即为平面DEP ．由（1）知，DE ⊥平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1C ．又P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，所以A 1C ⊥DP ．又DP ∩DE =D ，DP ⊂平面DEP ，DE ⊂平面DEP ，所以A 1C ⊥平面DEP ．从而A 1C ⊥平面DEQ ．故线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ．个人总结________________________________________________________________________________________________________________________。

2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第八章立体几何与空间向量8.1 Word版含答案

考试内容等级要求柱、锥、台、球及其简单组合体A柱、锥、台、球的表面积与体积A平面及其基本性质A直线与平面平行、垂直的判定及性质B两平面平行、垂直的判定及性质B空间向量的概念A空间向量共线、共面的充分必要条件B空间向量的加法、减法及数乘运算B空间向量的坐标表示B空间向量的数量积B空间向量的共线与垂直B直线的方向向量与平面的法向量B空间向量的应用B§8.1空间几何体的表面积与体积考情考向分析本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算．命题形式主要以填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想．1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3【知识拓展】1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )。

2019-2020学年高考数学一轮复习空间几何体学案.doc

2019-2020学年高考数学一轮复习空间几何体学案1、空间图形的直观图的画法——斜二侧画法：规则：（1）____________________________________________________________．（2）____________________________________________________________．（3）____________________________________________________________．（4）____________________________________________________________．2．仔细观察下面的几何体，他们有什么共同特点？(1) (2) (3) （4）3．棱柱的定义：一般地_________________________________________的几何体叫棱柱； ___________________________叫底面；__________________________叫棱柱的侧面．底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱的特点：_____________________________________________________________；棱柱的表示：_____________________________________________________________．4．下面几何体有什么共同特点？5．棱锥的定义：_____________________________________________________________；棱锥的特点：_____________________________________________________________；棱锥的表示图（2）记为三棱锥ABC S ．6．棱台的定义：_____________________________________________________________；棱台的特点：上下两底面平行，侧面是梯形．7．多面体的概念：___________________________________________________________例题剖析例1 画水平放置的正三角形的直观图．（1）（2） S A BC2的正方体的直观图．例2 画棱长为cm2．用斜二测画法画出下列水平放置的图形的直观图．（1）（2）课堂小结（1）通过例题弄清空间图形的直观图的斜二侧画法方法及步骤. （2）棱柱、棱锥、棱台的有关概念；多面体图形的识别数学（理）即时反馈作业编号：0351．关于“斜二测”直观图的画法，下列说法中正确的是（）A ．原图中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度变为原来的一半B ．原图中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度不变C ．画与直角坐标系xOy 对应的y O x '''时，y O x '''∠必须是45D ．在画直观图时，由于选轴不同，所得直观图可能不同2．如图231-，直观图表示的平面图形是（）A ．任意三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 3．如图231-，△C B A '''中， 135='∠B ，2=''=''C B B A ，那么原平面图形的面积_____________________________________________．4．如图241-，四边形C B A O ''''为四边形ABCD 的直观图，且C B A O ''''为边长是cm 2的菱形，则四边形ABCD 的面积为__________________________2cm ．5．利用斜二测画法画图，下列说法中正确的是_______________________． ①角的水平放置直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍然相等； ③平行四边形的直观图是平行四边形； ④正方形的直观图是正方形.6、棱柱的侧面是_____ 形；棱锥的侧面是________形；棱台的侧面是________形．7、正方体是___________________________棱柱，是__________________________面体8．画出图251-中水平放置的平面图形的直观图（不要求写画法）.9．如图261-，△C B A '''是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC .图1-23 图1-24 y''A 'B'图1-26图1-2510．用斜二测画法画长、宽、高分别为cm 2、cm 4、cm 3的长方体的直观图.11、抛物线22y px =的准线的方程为2-=x ，该抛物线上的每个点到准线2-=x 的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和相切的圆，（Ⅰ）求定点N 的坐标；（Ⅱ）是否存在一条直线l 同时满足下列条件：① l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点，且AB 中点为)1,4(E ；② l 被圆N 截得的弦长为2．。

(通用版)2019版高考数学一轮复习第8章立体几何1第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图教案理

第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特理解空间直线、平面位置关系的定义．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空理解直线的方向向量与平面的法向量．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看到的线画实线，看不到的线画虚线．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( )(4)在正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( )(6)菱形的直观图仍是菱形．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：选B.根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析：选B.根据选项A、B、C、D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．(教材习题改编)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体为________．答案：四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2. 答案：矩形8空间几何体的结构特征[典例引领](1)下列结论正确的是( )A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台(2)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A 错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错．(2)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台．【答案】(1)B (2)B空间几何体概念辨析问题的常用方法[通关练习]1．给出下列命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③显然错误．2．下列说法正确的是( )A．以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解析：选D.球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，A错误．对于B，如图，满足有两个面平行，其余四个面都是等腰梯形，但它不是棱台，故B错．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．C错误．由母线的概念知，选项D正确．空间几何体的三视图(高频考点)空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题．高考对三视图的考查主要有以下三个命题角度：(1)由空间几何体的直观图识别三视图；(2)由空间几何体的三视图还原直观图；(3)由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图．[典例引领]角度一由空间几何体的直观图识别三视图(2018·惠州市第三次调研考试)如图所示，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视图为( )【解析】从几何体的左面看，对角线AD1在视线范围内，画实线，棱C1F不在视线范围内，画虚线．【答案】 B角度二由空间几何体的三视图还原直观图(2017·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A ．3 2B ．2 3C ．2 2D ．2【解析】由三视图还原为如图所示的四棱锥A －BCC 1B 1，从图中易得最长的棱长为AC 1＝AC 2＋CC 21＝（22＋22）＋22＝23，选B. 【答案】 B角度三由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图(2018·广州市综合测试(一))如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )【解析】由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．【答案】 D三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )解析：选B.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.空间几何体的直观图[典例引领]如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形【解析】如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2 cm，所以OC＝OD2＋CD2＝（42）2＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形，因此选C.【答案】 C若本例中直观图为如图所示的一个边长为1 cm的正方形，则原图形的周长是多少？解：将直观图还原为平面图形，如图．可知还原后的图形中OB＝22，AB＝12＋（22）2＝3，于是周长为2×3＋2×1＝8(cm)．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.[通关练习]1．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：选D.由斜二测画法可知在原四边形ABCD 中DA ⊥AB ，并且AD ∥BC ，AB ∥CD ，故四边形ABCD 为矩形．2．在等腰梯形ABCD 中，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．解析：因为OE ＝（2）2－12＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ′＝24.所以直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.答案：22常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．根据几何体的三视图判断几何体的结构特征(1)三视图为三个三角形，一般对应三棱锥；(2)三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥；(3)三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥；(4)三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱；(5)三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱．明确三视图与几何体的数量关系正(主)视图、侧(左)视图的高就是空间几何体的高；正(主)视图、俯视图的长就是空间几何体的最大长度；侧(左)视图、俯视图中的宽就是几何体的最大宽度．易错防范(1)台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．(2)空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．(3)对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．1．下列说法正确的有( )①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选 A.①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．2.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.3．如图所示，上面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )A．①②B．②③C．③④D．①⑤解析：选D.圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件；故截面图形可能是①⑤.4．(2018·惠州市第三次调研考试)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B. 2C. 3 D．2解析：选 C.根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD，其中VB⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.5．(2017·高考全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A．10 B．12C．14 D．16解析：选B.由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为（2＋4）×22×2＝12，故选B.6．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________．解析：由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝24S＝52(cm2)．答案：5 2 cm27．如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是________．解析：过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．答案：两个圆锥的组合体8．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．解析：由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．答案：29.如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2 cm.由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝（62）2＋62＝6 3 (cm)．10.如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥VABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求△AEF周长的最小值．解：如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．取AA1的中点D，连接VD，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°.在Rt△VAD中，AD＝VA·sin 60°＝3，所以AA1＝2AD＝6，即△AEF周长的最小值为6.1．某几何体的正视图和侧视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图(2)，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为( )A．48 B．64C．96 D．128解析：选C.由题图(2)及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC，设CB与y轴的交点为D，则易知CD＝2，OD＝2×22＝42，所以CO＝CD2＋OD2＝6＝OA，所以俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选C.2．一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )解析：选D.由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.3．(2018·福建泉州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )A ．圆弧B ．抛物线的一部分C ．椭圆的一部分D ．双曲线的一部分解析：选D.根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.4．(2018·广东文雅中学、江西南昌二中联考)某四面体的三视图如图所示，在该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是( )A ．2B ．4C ．2＋ 5D ．4＋2 5解析：选C.由三视图可得原几何体如图所示，由三视图知该几何体的高PO ＝2，底面ABC 是边长为2的等腰直角三角形，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，则BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥PC ，所以直角三角形有△PBC 和△ACB ，易求得PC ＝22＋12＝5，又BC ＝2，所以S△PBC＝12×2×5＝5，又S △ABC ＝12×2×2＝2，所以该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为2＋5，故选C.5．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．解：(1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．6．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．解：(1)正六棱锥．(2)其侧视图如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝3a，AD的长是正六棱锥的高，即AD＝3a，所以该平面图形的面积S＝12·3a·3a＝32a2.。

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第八章立体几何学案文.docx

第八章立体几何必过教材关圆柱圆锥圆台侧面展开图^2nr<；/A /2K9f 針侧面积公式S圆柱测=2 n rl S圆毎侧=皿rl Sifil台侧=n （厂+厂'）12.空间几何体的表血积与体积公式名称几何表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S农而积=S侧+2S底V=Sh锥体（棱锥和圆锥）s浜面积=s^+s底v=\sh台体（棱台和圆台）S表面积= S^］+S上+S下卩=*s上+S F+伍瓦）力球$=4 兀# 4 .V=~Tllt［小题体验］1.（2018 •南京高三年级学情调研）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27 IT cm3,则该圆柱的侧面积为________ coil解析：设正方形的边长为cm,贝ij兀/・m=27ir,得日=3,所以侧面积2JI X3X3=18 n cn/ .答案：18兀2.（2018 •海安高三质量测试）已知正三棱锥的体积为36^3 cm3,高为4 cm,则底面边长为cm.第・节空间几何体的表血积与体积解析:设正三棱锥的底面边长为a cm,则其面积为S= 企,由题意知卜乎/乂4 = 36羽, 解得$=6羽.答案：6^33. _______ 正三棱柱AB&A^G 的底面边长为2,侧棱长为〃为％中点，则三棱锥A-BM 的体积为 __________ .解析：在正三棱柱ABC ・AA G 中，因为 ADLBC, ADI.BBx, BB\CBC=B, 所以肋丄平面〃/G.所以 VA ・ B\DG=gs/\B\DC 、・ /JZ?=|x|x2 X^3 X^3 = 1.答案：1• •}.刘过易错关1. 求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易汕错.2. 易混侧面积与表面积的概念. ［小题纠偏］1. （教材习题改编）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为______ ,球的表面积与圆柱的侧面积之比为 ________ ・答案：2 : 31 : 12. 己知某正三棱锥的高为1,体积为申，则该正三棱锥的侧面积为 ________ .解析：如图，设正三棱锥为V- ABC,其底面边长为日，％为正三棱锥的高，所以 /XU*,所以尸2,所以0〃=¥><2X*=¥，所以斜高旳=鹅+1匚学所以侧面积S=3X*X2X 军=2羽.〃考点一空间几何体的表面积基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. _________________________________ 棱长为2的正四面体的表面积是・解析：每个面的面积为：|x2X2X^=^•所以正四面体的表面积为心/i 答案：4^32. 一个六棱锥的体积为2心其底而是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧而积为 __________ ・解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为力，侧而的斜高为力‘・由题意，W|><6X^X22X 力=2萌，所以力=1,所以斜高力'=心+ £ 2 = 2, 所以 Sb=6X*X2X2=12. 答案：12 3.如图所示，在边长为5+A /2的正方形/!财中，以/为圆心画一个扇形，以。

高考数学一轮总复习第八篇立体几何教案理苏教版

1 则 3×（
3)
2
×
h＝
3
2
2
，解得
32 h＝ 2 .
又底面正方形的对角线长为 2× 3＝ 6.
所以 OA＝
32 2
2＋
6 2
2＝
6.
故球的表面积为 S 球＝ 4π×（ 6) 2＝ 24π .
(2) 因为在直三棱柱中 AB＝3， AC＝ 4， AA1＝ 12，AB⊥ AC，所以 BC＝ 5，且 BC为过底面 ABC 的截面圆的直径，取 BC中点 D，则 OD⊥底面 ABC，则 O 在侧面 BCC1B1 内，矩形 BCC1B1的对
法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视．
3 【训练 2】 (2014 ·苏州模拟 ) 一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm和 6 cm，高是 cm.
2
(1) 求三棱台的斜高；
(2) 求三棱台的侧面积和表面积．
解
(1) 设 O1、 O 分别为正三棱台 ABC－ A1B1C1 的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则
在边长为 4 的正方形纸片 ABCD中， AC与 BD相交于 O，剪去△ AOB，将剩余部分沿 OC， OD 折叠，使 OA， OB重合，则以 A， B， C，D， O为顶点的四面体的体积为 ________． (2) 如图所示，在直三棱柱 ABC－A1 B1 C1 中，△ ABC为直角三角形，∠ ACB＝90°， AC＝ 4， BC ＝CC1＝ 3. P 是 BC1 上一动点，沿棱柱表面使 CP＋ PA1 最小，则最小值为 ________．
D1D＝ D1E2＋ ED2＝
3 2＋ 3 2＝ 3(cm) ．
2
2
(2) 设 c、 c′分别为上、下底的周长， h′为斜高，

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2019-2020年高考数学大一轮复习 8.1空间几何体学案理苏教版导学目标： 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．自主梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面________，侧棱都________且__________，上底面和下底面是________的多边形．侧棱和底面________的棱柱叫做直棱柱．底面为________的直棱柱叫正棱柱．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．棱锥的底面是________，且顶点在底面的正投影是________，这样的棱锥为正棱锥．(3)棱台可由________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________．________被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台．2．旋转体的结构特征将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做________、________、________，这条直线叫做____．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做________．半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做________，球面围成的几何体叫做________，简称____．3．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用________画法，其规则是：(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使∠x′O′y′＝__________________，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于________________________的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y 轴的线段，长度变为____________．自我检测1．下列四个条件能使棱柱为正四棱柱的是________(填序号)．①底面是正方形，有两个侧面是矩形；②底面是正方形，有两个侧面垂直于底面；③底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直；④每个侧面都是全等矩形的四棱柱．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．3．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．4．长方体AC1中，从同一个顶点出发的三条棱长分别是a，b，c，则这个长方体的外接球的半径是________．5．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．探究点一空间几何体的结构例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．变式迁移1 下列结论正确的是________(填序号)．①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．探究点二空间几何体的直观图例2 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于________．变式迁移2 等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．探究点三简单组合体的有关计算例3 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积．变式迁移3 如图，一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥，则正方体的棱长是________cm.1．熟练掌握几何体的结构特征与对应直观图之间的相互转化，正确地识别和画出空间几何体的直观图是解决空间几何体问题的基础和保证．2．棱柱的分类(按侧棱与底面的位置关系)：棱柱⎩⎨⎧直棱柱――→底面为正多边形正棱柱斜棱柱3．正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决．4．圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面．5．用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S ′与原平面图形的面积S 之间的关系是S ′＝24S .(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体叫棱锥； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．2．如图为一个简单多面体的表面展开图(沿虚线折叠即可还原)则这个多面体的顶点数为________．3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角为45°，则这个圆台的高为________cm ，母线长为________cm ，上、下底面半径分别为________cm 和________cm.4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的________．(把所有可能的图的序号都填上)5．已知水平放置的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′(斜二测画法)是边长为2a 的正三角形，则原△ABC 的面积为_________________________________________________________．6．棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．7．(xx·四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．8．(xx·连云港模拟)棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在一个球面上，则此球的半径R为________．二、解答题(共42分)9．(12分)正四棱台AC1的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．10．(14分)用斜二测画法画出如图中水平放置的四边形OABC的直观图．11．(16分)一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大？学案38 空间几何体答案自主梳理1．(1)平行平行长度相等全等垂直正多边形(2)公共顶点正多边形底面中心(3)平行于棱锥底面相似正棱锥 2.圆柱圆锥圆台轴底面球面球体球 3.斜二测(2)45°(或135°)(3)x′轴、y′轴或z′轴(4)不变原来的一半自我检测1．③2．球体3．60°解析设母线长为l，底面半径为r，则πl＝2πr.∴rl＝12，∴母线与高的夹角为30°.∴圆锥的顶角为60°.4.a2＋b2＋c22解析长方体的外接球的直径长为长方体的体对角线长，即2R＝a2＋b2＋c2，所以R＝a2＋b2＋c22.5.2＋2解析把直观图还原为平面图形得：直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝2＋1，AD＝1，∴面积为12×(2＋2)×2＝2＋ 2.课堂活动区例1 解题导引解决这种判断题的关键是：①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念；②正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，整体把握立体几何知识．答案③④⑤⑥解析①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC1中的四棱锥C1—ABC，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.变式迁移1 ④解析①错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．②错误．如下图，若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．③错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．④正确．例2 解题导引本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力．要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系．答案 22a 2解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x 轴上(或与x 轴平行)的线段，其长度保持不变；在y 轴上(或与y 轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，所以，若设原平面图形的面积为S ，则其直观图的面积为S ′＝12·22·S ＝24S .可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S ′之间的关系是S ′＝24S ，本题中直观图的面积为a 2，所以原平面四边形的面积S ＝a224＝22a 2.变式迁移2 22解析∵OE ＝22－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24，∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.例3 解题导引解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托．解如图所示，△ABE 为题中的三角形，由已知得AB＝2，BE＝2×32＝3，BF＝23BE＝233，AF＝AB2－BF2＝4－43＝83，∴△ABE的面积为S＝12×BE×AF＝12×3×83＝2.∴所求的三角形的面积为 2.变式迁移3 120(3－22)解析作轴截面，PO＝40 cm，OA＝30 cm，设BC＝x，则O1C＝22x，∴O1COA＝O1POP，即22x30＝40－x40，∴x＝120(3－22)．课后练习区1．③2．7解析沿虚线折叠还原得几何体的直观图如下，则这个多面体的顶点数为7.3．14 14 2 7 21解析画出圆台的轴截面，如图，设O′、O分别是上、下底面的中心，作AE⊥DC于E，则有∠DAE＝45°.由于下底面周长是上底面周长的3倍，所以下底面半径是上底面半径的3倍，若设AE＝x，则DE＝x，AB＝x，CD＝3x，AD＝2x，于是轴截面的面积为：12·x·(3x＋x)＝392，解得x＝14，则圆台的高等于14 cm，母线长为142cm，上、下底面半径分别为7 cm和21 cm.4．①③5.6a2解析在斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34(2a )2，∴S ＝6a 2.6. 2解析由题知球O 半径为32，球心O 到直线EF 的距离为12，由垂径定理可知直线EF 被球O 截得的线段长d ＝2×34－14＝ 2.7．2πR 2解析方法一设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2R cos α，圆柱底面半径为R sin α，∴S 圆柱侧＝2π·R sin α·2R cos α＝2πR 2sin 2α.当sin 2α＝1时，S圆柱侧最大为2πR 2，此时，S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2.方法二设圆柱底面半径为r ，则其高为2R 2－r 2.∴S 圆柱侧＝2πr ·2R 2－r 2，S ′圆柱侧＝4πR 2－r 2－4πr 2R 2－r2.令S ′圆柱侧＝0，得r ＝22R .当0<r <22R 时，S ′>0；当22R <r <R 时，S ′<0. ∴当r ＝22R 时，S 圆柱侧取得最大值2πR 2. 此时S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2.方法三设圆柱底面半径为r ，则其高为2R 2－r 2，∴S 圆柱侧＝2πr ·2R 2－r 2＝4πr 2R 2－r 2≤4πr 2＋R 2－r 22＝2πR 2(当且仅当r 2＝R 2－r 2，即r ＝22R 时取“＝”)．∴当r ＝22R 时，S 圆柱侧最大为2πR 2.此时S 球表－S 圆柱侧＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2.8.64a 解析如图所示，设正四面体ABCD 内接于球O ，由D 点向底面ABC 作垂线，垂足为H ，连结AH ，OA ，则可求得AH ＝33a ，DH ＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝6a 3，在Rt △AOH 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2＝R 2，解得R ＝64a . 9．解如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O 1、O ，B 1C 1和BC 的中点分别是E 1和E ，连结O 1O 、E 1E 、O 1B 1、OB 、O 1E 1、OE ，则四边形OBB 1O 1和OEE 1O 1都是直角梯形．(4分)∵A 1B 1＝4 cm ，AB ＝16 cm ， ∴O 1E 1＝2 cm ，OE ＝8 cm ，O 1B 1＝2 2 cm ，OB ＝8 2 cm ，(8分)∴B 1B 2＝O 1O 2＋(OB －O 1B 1)2＝361 cm 2，E 1E 2＝O 1O 2＋(OE －O 1E 1)2＝325 cm 2，(10分) ∴B 1B ＝19 cm ，E 1E ＝513 cm.答这个棱台的侧棱长为19 cm ，斜高为513 cm. (12分)10．解 (1)画x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(4分)(2)在O ′x ′轴上取D ′、B ′，使O ′D ′＝OD ，O ′B ′＝OB (如图所示)，在O ′y ′轴上取C ′，使O ′C ′＝12OC .在O ′x ′轴下方过点D ′作D ′A ′∥O ′y ′，使D ′A ′＝12DA .(10分)(3)连结O ′A ′，A ′B ′，C ′B ′，所得四边形O ′A ′B ′C ′就是四边形OABC 的直观图．(14分)11.解 (1)画出圆柱和圆锥的轴截面，如图，设圆柱的底面半径为r ，则由三角形相似可得x 6＝2－r 2，解得r ＝2－x 3.(6分) 圆柱的轴截面面积S ＝2r ·x ＝2(2－x3)·x＝－23x 2＋4x .(12分)(2)∵S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6∴当x ＝3时，S 的最大值为6.(16分)。

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