谈谈平面图形的重心
工程力学第四章 重心及截面的几何性质
yC
Wi yi W
zC
Wi zi W
二、均质物体的重心公式 若单位体积的重量γ=常量。以ΔVi表示微小部分Mi的体积，
以V=∑ΔVi表示整个物体的体积，则有 Wi Vi 和W V ，
代入重心公式得：
xC
Vi xi
V
yC
Vi
V
xC
FN Bl W
第二节 截面的几何性质
一、静矩
Sx
ydA
A
,
Sy
xdA
A
静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。
设该平面图形的形心C的坐标为xC 、yC ，
xc
xdA
A
Sy
AA
,
yc
A ydA S x AA
S x yC A , S y xC A
20
解：（一）组合法 取Oxy坐标系如图所示。
1
单位:mm
2
100
A1 (120 20) 20 2000 mm 2
x1 10 mm
y1
20
120 2
20
70 mm
A2 100 20 2000mm2
x2 50mm y2 10mm
120 20
xC
Ai xi A
第四章
重心及平面图形的几何性质
第一节 第二节
物体重心坐标公式
平面图形的几何性质
本章重点：
计算均质物体的重心坐标。
第一节 重心
重心：物体重力合力的作用点。重心相对于刚体的位置固定不变。
中考数学复习指导：从平分面积谈图形重心的确定
从平分面积谈图形重心的确定我们都遇到过这样一个问题：“画一条直线，把图1的面积两等分．”教师在教学中一般可引导学生得出三种方案（如图2）．实际上，根据图2中的直线a、b、c，还可进一步得出结论：各种方案下都可画出许多直线，如将直线a绕MN的中点O旋转，只要与边AF、BC都相交，则仍可平分面积．于是可以问：直线a、b、c交于一点吗？如果交于一点，这点就是图形的重心吗？笔者经过分析研究，利用物理学中的物体平衡时力矩相等原理，可以确定过图形的重心的直线与平分面积的关系，同时得到一种求图形重心位置的一个方法．1、经过平面图形重心的直线平分图形的面积吗？人教版八年级教材在用悬挂法找三角形的重心时，定义：由于三角形硬纸板的质地均匀，所以过三角形硬纸板顶点的铅垂线将硬纸板分成面积相等的两部分．但在《教案》中又指出：三角形的重心具有的特征是，过该点的任一直线将三角形的面积平分，笔者认为这句话值得商榷．如图3，设△ABC的重心为G，过重心G作DE∥AB，交AC于D，交BC于E，我们可以利用重心与相似三角形的性质，有S△DCE：S四边形ABED＝4：5，这说明经过重心的直线不一定将三角形面积平分．反之，平分三角形面积的直线也不一定经过重心．如将直线DE向边AB平移，使直线DE刚好平分△ABC的面积，这时，直线DE又没有经过重心G．那么，过什么样的图形重心的直线平分面积呢？我们知道，矩形的重心是对角线交点，经过对角线交点的直线必平分矩形的面积，反之，平分矩形面积的直线都经过对角线交点，即过重心，正六边形也有此性质，而三角形没有这样的性质．笔者经分析，发现当图形是中心对称图形时，经过图形重心的直线必平分其面积，如正六边形、正八边形、圆等；而图形不是中心对称图形时，经过图形重心的直线不一定平分其面积，如三角形、梯形、正五边形等．2、一个平面图形的重心如何确定？一条线段的重心，就是线段的中点，但是，如果当A点挂一个重为2g的物体，B点挂一个重为1g的物体时，假设线段本身不计重量，则整个系统的重心在何处？如图4，根据物理学知识，设重心C，易知AC＝13 AB．在图3中，如果将直线DE(过重心)的两边分开考虑，可发现，不但两边图形的面积不等，它们各自的重心到△ABC的重心的距离也是不等的．我们把图3转化为图4，图3中的△DEC看图4的质点A，把四边形ABED看成质点B，把面积看成重量．设△ABC、△DEC与四边形ABED的重心分别为G、O1、O2．如把△DCE看成一个质点O1，面积看成重量，设为m1；把四边形ABED看作一个质点O2，重量为m2．那么由力矩相等可得：重心G在线段O1O2上，且m1．GO1＝m2·GO2，由于GO1>GO2，可知m1<m2．由上分析我们可得：△ABC的重心G就是质点O1、O2组成的质点系(O1，O2)的重心．确定一个图形的重心，我们可以先分成几个简单的图形，分别求出各图形的重心与面积，再把这些简单图形看成一个个质点，这样，这个图形的重心就是由这些质点组成的质点系的重心，然后利用力矩相等求出图形的重心，而简单图形的重心我们可以用悬挂法等求得，如线段的重心是线段的中点，三角形的重心是中线的交点，平行四边形的重心是对角线的交点．以图1为例，我们将图形分为上下两个矩形APEF与BCDP，如图5，重心分别为O1、O2，整个图形的重心为G．假设AP＝BP＝1，AF＝2，BC＝4，在质点系(O1，O2)中，有S APEF·GO1＝S BCDP·GO2，①由①，可以求得重心C（53，56）．如图6，我们将图形补成矩形ABCH，设重心为T，在质点系(O3，E)中，有8TE＝2EO3，可求得重心T（53，56），与上面的点G相同．因此，在图2中，重心G在直线a上，又在直线b、c上，所以直线a、b、c交于一点，且这个交点就是重心G．另一方面，根据①式，若两矩形APEF、BCDP的面积不等，则重心G不是MN的中点O，当直线a绕点MN的中点O旋转后（a与边AF、BC相交），它只平分图形的面积而不经过图形的重心，这又说明平分图形面积的直线不一定经过重心．3、折线图的重心如何确定？图7是由两条线段组成的折线图，我们可以理解成由一条铁丝折成的．设线段AB的中点为D，线段BC的中点为E，我们把每条线段都看成质点，它们的重量可理解为线段的长度．这样，折线图的重心G就是质点系（D、E）的重心，由GD·AB＝GE·BC1②可得折线图的重心G的位置．图8是由三条线段组成的封闭折线图，可能看作由一条铁丝折成一个三角形，也可理解为空心△ABC．设三条线段的中点分别为D、E、F，折线图的重心就是质点系(D、E、F)的重心．利用②式先确定质点系(E、F)的重心H，然后再确定质点系(D、H)的重心G，点G就是空心△ABC的重心．实心三角形的重心与空心三角形的重心是否一样呢？图8中三条中线的交点O是实心的三角形重心，可以看到，在一般情况下，空心△ABC的重心G与实心△ABC的重心O 是不相同的，对质点系(D、E、F)来说，质点D、E、F的重量各代表AB、BC、CA的长度，如果AC≠BC，质点H就不是EF的中点，即H不在中线DC上，空心三角形的重心G也就不在DC上，因此，G与O不重合．当BC＝AC时，G在中线DC上；当AB＝AB ＝BC时，G与O才重合．一个图形可以看成是一块质地均匀的铁板，而实际生活中，许多物体是由不同材料组合而成的，质地是不均匀的，这时，我们可以把它分割成几个质地相对均匀的部分，利用折线图求重心的方法就可求出它的重心．例1 求图9所示的直角梯形的重心．解方法一：如图10，把直角梯形分为一个矩形ABED与一个△ECD．画矩形的对角线得重心F，画三角形的中线得重心O，连结FH，则梯形的重心G必在线段FH上，又S ABED＝8，S△ECD＝6，由三角形重心的性质与勾股定理，可得FH=再由8FG＝6GH，得FG方法二：把梯形放在坐标系中（如图11），可以求出重心G的坐标．我们把梯形分为矩形ABED 与△DCE ．设它们的重心分别为F 、H ，由F(1，2)，H （3，43），S ABED ＝8，S △ECD ＝6，可得梯形重心G 的横坐标x ＝183613867⨯+⨯=+，G 的纵坐标y ＝4286123867⨯+⨯=+，所以G 的坐标为（137，127） 例2 求图9所示的空心直角梯形的重心．解 方法一：用《几何画板》画重心(图12)．①分别取边AB 、BC 的中点E 、F ，连结EF ，用“度量长度”工具量得EF ＝ 3.2．设质点系(E 、F)的重心为P ，由4PE ＝5PF ，得PF ＝445EF ⨯+≈1.4，用“画圆”工具得到点P ． ②取边CD 的中点M ，连结PM ，量得PM ＝2.4．设质点系(P 、M)的重心为Q ，由(4＋5)PQ ＝5MQ ，得PQ ≈0.9，用“画圆”工具得到点Q ．③取边AD 的中点N ，连结QN ，量得QN ＝2.9．CD ＝5．设质点系(Q 、N)的重心为G ，由(4＋5＋5)QG ＝2NQ ，得QG ≈0.3，再用“画圆”工具得到点G ．则点C 就是空心梯形ABCD 的重心．方法二：用坐标确定重心．如图13建立坐标系，空心梯形的重心就是质点系(E 、F 、M 、N)的重心，E(0，2)、F(2.5，0)、M(3.5，2)、N(1，4)．则405 2.55 3.52124552X ⨯+⨯+⨯+⨯==+++ 425052241345528Y ⨯+⨯+⨯+⨯==+++ ∴G （2，138） 比较例1与例2，可知空心图形与实心图形的重心一般是不同的．。
九年级数学重心知识点讲解
九年级数学重心知识点讲解数学作为一门科学，承载着推理、逻辑和分析的核心原则。
在九年级数学课程中，我们将学习许多重要的知识点，其中一个关键的概念是“重心”。
在本文中，我将为大家深入讲解重心的概念、性质和应用。
一、重心的概念在几何中，重心是一个非常重要的概念。
它表示一个物体平衡的位置。
对于一个平面图形而言，重心是该图形所有点质量（或面积）的平衡点。
具体来说，重心是由图形的所有部分的质量均匀分布而得出的中心位置。
二、重心的性质重心有许多有趣的性质。
首先，无论形状如何，每个平面图形都有一个唯一的重心。
其次，当一个图形的面积不均匀分布时，重心的位置会相应地偏移。
例如，在一个矩形中，如果一边的宽度增加，重心会向那个方向移动。
此外，对于一个由多个图形组成的复杂图形，可以通过计算每个图形的重心位置，再根据其相对质量将其组合得出整个图形的重心位置。
三、重心在几何中的应用重心在几何中有着广泛的应用。
首先，重心可用于确定一个物体的平衡点。
在机械工程中，均衡轮和摆锤的设计都考虑到了重心的位置，以确保稳定性和平衡性。
其次，在建筑和航空工程中，重心的概念也被广泛应用。
例如，在建筑物的设计中，必须要考虑到重心的位置，以确保建筑物的整体结构稳定。
在飞机设计中，重心的位置直接影响到飞机的平衡和飞行性能。
四、重心的计算计算重心的方法不同于不同的图形。
对于简单的图形如三角形和矩形，可以直接应用已知的公式来计算重心的位置。
例如，对于一个等边三角形，重心位于三个垂直中线的交点处，而对于一个长方形，重心位于对角线的交点处。
对于更复杂的图形，可以将其分解为小部分，并计算每个小部分的重心位置，然后按照其相对质量将它们组合起来，得出整个图形的重心位置。
五、重心的变化和探究除了上述基本知识，重心的变化也是一个有趣的领域。
可以通过改变一个图形的形状或大小，来观察重心的位置如何变化。
此外，还可以通过使用材料和固定点，来改变一个物体的重心，以达到平衡。
重心法计算步骤范文
重心法计算步骤范文重心法（Centroid Method）是一种常用于计算不规则平面图形重心位置的方法。
重心是指平面图形的质心，也是平面图形在重力作用下的平衡点。
在物理学和工程学领域，重心法常用于计算物体的质量分布情况，对于平面图形而言，可以用来确定平面图形的平衡位置和应力分布。
重心法的计算步骤如下：1.给定一个平面图形，首先确定坐标系。
选择一个合适的坐标系是计算重心的第一步。
通常情况下，选择坐标系的原点为图形所在平面上的一些点，通常是图形的一些顶点。
选择x轴和y轴方向，使得计算重心时可以简化运算。
2.将平面图形划分为若干小面积元素。
为了计算重心，需要将平面图形划分为若干小面积元素，这些小面积元素可以是规则的，也可以是不规则的。
划分时要保证小面积元素的大小足够小，以便近似认为在每个小面积元素上的质量均匀分布。
3.计算每个小面积元素的质量。
根据实际情况，可以通过面积和密度来计算每个小面积元素的质量。
4.计算每个小面积元素的重心位置。
对于每个小面积元素，需要计算其重心位置。
对于规则形状的小面积元素，可以直接根据几何性质计算重心位置；对于不规则形状的小面积元素，可以采用数值方法或近似方法来计算重心位置。
5.计算整个平面图形的重心位置。
将所有小面积元素的质量和重心位置综合起来，计算整个平面图形的重心位置。
可以通过加权平均的方式来计算重心位置，即将每个小面积元素的重心位置乘以其质量，然后将所有小面积元素的加权和除以总质量。
6.检查计算结果。
计算得到的重心位置应符合物理规律和实际情况，例如，对于对称形状的平面图形，重心位置应在对称轴上；对于不对称形状的平面图形，重心位置应在图形的中心偏离对称轴的方向。
总结起来，重心法计算步骤包括选择坐标系、划分小面积元素、计算质量和重心位置、综合计算重心位置和检查结果。
这种方法简单易行，适用于各种形状的平面图形，是一种常用的计算重心位置的方法。
平面重心计算公式
平面重心计算公式在物理学和工程学中，重心是一个非常重要的概念，它可以用来描述一个物体或系统的平衡性质。
在平面几何中，计算平面图形的重心是一个常见的问题，可以通过一些简单的公式来实现。
本文将介绍平面重心的计算公式，并通过一些例子来展示如何应用这些公式。
首先，让我们来看一下什么是平面重心。
在平面几何中，平面图形的重心可以被定义为一个点，该点与图形的每个点的位置乘以其质量（或者面积）的乘积之和等于零。
简单来说，重心就是一个平面图形的质量中心，它可以被用来描述图形的平衡性质。
对于一些简单的平面图形，我们可以通过一些简单的公式来计算它们的重心。
下面是一些常见的平面图形的重心计算公式：1. 矩形，对于一个矩形，其重心位于其对角线的交点处，即重心的横坐标为矩形中心的横坐标，纵坐标为矩形中心的纵坐标。
2. 三角形，对于一个三角形，其重心位于其三条中线的交点处，即重心的横坐标为三角形三个顶点横坐标的平均值，纵坐标为三角形三个顶点纵坐标的平均值。
3. 圆形，对于一个圆形，其重心位于其圆心处，即重心的横坐标和纵坐标均为圆心的坐标。
以上是一些简单的平面图形的重心计算公式，但对于一些更加复杂的图形，我们可以通过积分的方法来计算其重心。
下面我们将通过一些例子来展示如何应用这些公式和方法来计算平面图形的重心。
例1，矩形的重心计算。
假设有一个长为a，宽为b的矩形，我们可以通过上面提到的公式来计算其重心。
根据公式，矩形的重心位于其对角线的交点处，即重心的横坐标为矩形中心的横坐标，纵坐标为矩形中心的纵坐标。
因此，矩形的重心坐标为（a/2，b/2）。
例2，三角形的重心计算。
假设有一个三角形，其三个顶点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），我们可以通过上面提到的公式来计算其重心。
根据公式，三角形的重心位于其三条中线的交点处，即重心的横坐标为三角形三个顶点横坐标的平均值，纵坐标为三角形三个顶点纵坐标的平均值。
因此，三角形的重心坐标为（（x1+x2+x3）/3，（y1+y2+y3）/3）。
初二数学重心知识点
初二数学重心知识点
初二数学重心知识点如下：
1. 重心定义：一个平面图形的重心是指平面图形内所有点的坐
标平均值的点，即平面图形的质心。
2. 重心的位置：对于一个均匀分布的平面图形，重心位于几何
图形的对称轴上。
3. 三角形的重心：三角形的重心是三条中线的交点，即三个顶
点与对应中线交点的中点。
4. 四边形的重心：四边形的重心是对角线的交点的中点。
5. 合并图形的重心：当两个或多个平面图形合并成一个新图形时，新图形的重心可以由原来图形的重心根据面积的加权平均得到。
6. 求重心的方法：根据不同几何图形，求重心可以采用不同的
方法。
例如，对于三角形可以使用中线的交点，对于四边形可以使用
对角线的交点，对于不规则图形可以将其分解成多个规则图形来求解。
7. 重心的应用：重心是很多实际问题中的重要概念，例如在工
程设计中确定物体的平衡点、计算物体的形心位置等。
高中数学中的平面几何中心概念
高中数学中的平面几何中心概念平面几何是数学中的一门重要分支，而其中的中心概念更是数学研究的核心之一。
在高中数学中，平面几何中心概念的理解与运用对于学生的数学素养和解题能力具有重要的意义。
本文将介绍高中数学中的平面几何中心概念，探讨其特点与应用。
一、重心重心是平面图形的一个重要中心概念，它是平面图形对称轴的交点，并且具有坐标中心平均值的性质。
对于三角形而言，重心是三条中线的交点，称为三角形的重心；对于四边形而言，重心是对角线的交点，称为四边形的重心。
计算重心坐标的方法是将图形中所有点的对应坐标相加再取平均值，即重心的横坐标等于所有点的横坐标之和除以点的个数，纵坐标同理。
二、垂心垂心是三角形的一个重要中心概念，它是三角形三条高线的交点，并且具有同时到达三个顶点的特点。
垂心与重心的不同之处在于，垂心的坐标为三个顶点坐标的对应值之和。
在解决与垂心相关的问题时，我们可以利用垂心与顶点构成的垂直关系，来推导解决一些问题。
三、外心外心是三角形的一个重要中心概念，它是三角形三条边的垂直平分线的交点，并且具有同时到达三个顶点的特点。
外心的坐标可以通过求三角形三个顶点的中垂线的交点坐标来得到。
外心是一个圆心，称为三角形的外接圆心，外接圆的半径等于外心到顶点的距离。
四、内心内心是三角形的一个重要中心概念，它是三角形三条角平分线的交点，并且具有到达三个顶点的特点。
与外心不同的是，内心的坐标为角的对应点之和。
内心与角平分线的关系可以帮助我们解决一些与角度相关的问题，如角度的大小比较和证明。
五、三角形的矩心三角形的矩心是三角形三个顶点坐标的算术平均数，即三个顶点各个坐标之和除以3。
这种求矩心坐标的方法比较简单直接，具有直观性和易于计算的特点。
总结起来，高中数学中的平面几何中心概念有重心、垂心、外心、内心和矩心。
这些中心概念在解决与平面几何相关的问题时起到了重要的作用。
对于学生而言，理解这些概念的含义和性质，能够帮助他们更好地理解平面几何知识，提高解题的准确度和效率。
平面几何中的重心和垂心
平面几何中的重心和垂心平面几何是数学的一个重要分支，研究的是在平面内的各种几何形状、尺寸和位置关系。
其中重心和垂心是重要的概念，在几何中有广泛的应用和重要的理论价值。
本文将对这两个概念进行深入探讨，从定义、性质、应用等方面进行分析，以期使读者对平面几何有更深入的了解和认识。
一、重心重心是平面几何中常见的概念，指的是平面图形所包含的点集的平均位置。
简单地说，就是几何形状所受重力作用的交点，也叫重心点。
例如，一个三角形、四边形等平面图形都有重心。
1.1 定义以三角形为例，设三角形的三个顶点为A、B、C，它们的重心为G，则G是满足以下条件的点：（1）G位于中位线上，即从三角形的每个顶点引出的中位线交于一点G。
（2）G到三角形的每个顶点的距离相等，即GA=GB=GC。
如果用向量表示，则重心的坐标可以用如下公式计算：$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow {\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\m athrm{OC}}\right)$其中，O是重心坐标原点。
1.2 性质重心是三角形的一个重要特点，具有以下性质：（1）重心是三角形的三条中线的交点。
（2）三角形的重心将三角形分成六个小三角形，其面积相等。
（3）重心到三角形三个顶点的距离相同，即重心到三角形三边的距离相等。
（4）连接重心和三角形的各顶点，得到的三角形面积之和等于原三角形面积的3倍。
这些性质说明了重心在三角形中的重要作用，例如求解三角形重心的坐标可以用于解决面积问题，也可以用于判定三角形的形状等。
1.3 应用重心在几何中的应用非常广泛，常见的应用有：（1）计算面积：可以通过重心的坐标计算三角形的面积，以及判定三角形分布情况。
（2）结构力学：一些结构力学问题，如吊桥、桥梁等需要计算重心，以便确定结构材料的应力和变形情况。
关于平面图形重心的几点说明
值恒为正数， 且存在常数 、Ｍ 使得／ｘ ） （ ＋Ｔ ＝ Ｍ／ｘ 对任何实数 都成立，其中Ｍ ＞ ０ （） 且 Ｍ ≠ １ 则／ｘ 可写为ｆｘ ＝ｅ（ 的形式， ， （） （） ｇ ） 其
（） ２当ａ＝１ ｃ 时， （） ， ≠０ ／ｘ 为准周期函数； （） ３ 当０≠ １ 时，由于 广 ＋ｂ＋—ｃ ： （ ） ＿ ｒ １
Ａ
Ｕ Ａ
Ｂ
图 ６
图４
方法二： 如图７ 连结 ， ， 分别作 ＡＡ Ｄ和 Ｃ
ＡＡ ＢＣ的重心 ０１ ２ 则四边形重心在 ０ ０ 、０ ， １２ 上， 连结 ＢＤ交 于点Ｅ， 四边形重心为 （， 设 二 ｝ 则有 ０ ０ ： ２ ＝ １ ０ ０ Ａ Ｃ： ａ Ｃ ＝ Ｅ ： Ｂ ＳＡＤ
有很多， 例如把 凹六边形补成 以 Ｏ Ａ、ｌＥ为邻 ＝ ） 边的矩形， 限于篇幅， 这里不再一一列举．上述 这些方法都运用了“ 中心对称图形的重心是它的 对称中心” 的性质． 三、 求一般 四边形 的重心
Ａ Ｂ
图７
若能运用“ 三角形的重心是三角形三条中线
交点” 的性质， 则我们可以解决另外一些平面 图 形的重心问题． 下面以一个普通四边形为例， 来 介绍它的具体运用：
数／ｘ 的全体： （） 存在非零常数 ， 对任意实数 ， 都有／ｘ＋Ｔ） ｙｘ成立．问题略） （ ＝Ｔ （） （
笔 者感兴 趣 的问题 是，满足 “（’ Ｔ ， ＋ ）＝
数， （） ｇ 得证． 且／ｘ ＝ｅ（ ． 设函数Ｙ＝／ｘ （ （）Ｘ∈Ｒ） 满足： 对任何实数
Ｘ 都有 ／ｘ＋ｂ ＝ａ （） ， ， （ ） ／ｘ ＋Ｃ 其中常数 ａ 、Ｃ 、ｂ
２１ 年第 １期 ０１ ２
数学教学
１—７ ２２
重心的坐标表示公式
重心的坐标表示公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：重心是物体平衡的位置，也是物体受到的重力作用点的位置。
在物理学和工程学中，重心的坐标表示公式是很重要的，它可以帮助我们计算物体的平衡点以及预测物体受力的情况。
在这篇文章中，我们将会介绍关于重心的坐标表示公式的相关知识。
我们来看一下什么是重心。
重心是指物体的所有部分所受重力的合力作用点。
当一物体受到重力作用时，它的重心将会处于物体的下垂线上，并且正好在该线上的某一点处。
在平衡状态下，物体的重心和支点的位置在同一垂直线上，这样物体才能保持平衡。
重心的位置可以用坐标表示出来，一般使用笛卡尔坐标系。
在笛卡尔坐标系中，通常以某一点为原点，建立x，y，z轴，根据这个坐标系的建立，我们可以得到物体重心的坐标。
在二维平面上，重心的坐标可以表示为（x，y），其中x表示重心在x轴上的坐标，y表示重心在y轴上的坐标。
重心的坐标表示公式的推导需要通过一些物理学和数学的知识，下面我们简单介绍一下推导的过程。
假设我们有一个二维平面上的物体，其质量分布在不同位置上，我们的目标是求得其重心的坐标。
根据重心的定义，我们可以得到以下公式：x_g = (m1*x1 + m2*x2 + … + mn*xn) / (m1 + m2 + … + mn)y_g = (m1*y1 + m2*y2 + … + mn*yn) / (m1 + m2 + … + mn)x_g和y_g分别代表物体的重心在x轴和y轴的坐标，m1，m2，…，mn代表物体不同部分的质量，x1，x2，…，xn代表不同部分的坐标。
通过上述公式，我们可以计算出物体重心的坐标，从而更好地了解物体的平衡点和受力情况。
在三维空间中，我们也可以用类似的方法求解物体的重心坐标。
在工程学和物理学领域，重心的坐标表示公式在很多实际应用中被广泛使用。
比如在建筑工程中，需要计算建筑物结构的重心位置，来保证建筑物的稳定性；在机械设计中，也需要计算机械零部件的重心位置，来优化设计方案。
数学中重心的概念及性质
数学中重心的概念及性质数学中的重心是指一个几何体内各点的平均位置。
这个概念和物理学中的质心非常相似，不过在数学中，我们可以将其应用于各种不同的几何体，包括平面图形、立体和连续体。
重心的性质包括平衡性、性质的保持和特殊几何体的特点，下面将分别对它们进行阐述。
首先我们来讨论重心的平衡性。
在平面几何中，重心是一个平面图形的质心，它是通过将图形划分为若干个小区域，并将每个小区域的质心连接起来求得的。
重心具有平衡性，这意味着如果我们将平面图形放在一个针尖上，它能够在平衡点保持平衡。
这是因为重心是图形的中心，质心的重力作用点正好处于平面图形的平衡点上。
同样，在立体几何中，重心也具有平衡性，能够保持立体图形在一点上的平衡。
其次，重心的性质在一些特殊几何体中得到了保持。
在等边三角形中，重心是等边三角形的顶点到对边的垂线交点，它将等边三角形平分为六个全等的小三角形。
在等腰梯形中，重心位于两条对角线交点的中点，且重心将等腰梯形平分为两个全等的小梯形。
在等边五边形中，重心位于五边形的对角线交点处，它将等边五边形平分为十个全等的小三角形。
重心的保持性质使得我们可以通过重心来研究一些特殊几何体的性质，例如可用重心所构成的等边三角形来证明该等边三角形的一些性质。
最后，重心还有一些其他特殊的性质。
在平面几何中，重心到图形上任意点的线段长度之和是最小的。
这意味着重心是到图形上任意一点的最短路径的中点。
同样，在立体几何中，重心到立体图形上任意点的距离之和是最小的。
这个性质在优化问题中具有重要的应用价值，例如在路径规划和最优设计中。
重心还有一些其他有趣的性质。
例如，在一个由连接顶点和重心的线段组成的几何体中，每个线段的中点与对面线段的中点相连接，这些线段相交于一点，我们可以称之为浸心。
在一些特殊的几何体中，重心和浸心会重合，这些特殊的几何体被称为欧拉线。
总结来说，重心是一个几何体内各点的平均位置，它具有平衡性、性质的保持和特殊几何体的特点。
高中的数学重心概念总结
高中的数学重心概念总结数学中的重心（也称质心）是一个几何中心点，可以用来描述一个物体或图形的平均位置。
在高中数学中，重心概念常常用于解决几何问题和进行数学证明。
以下是对高中数学中重心概念的总结：1. 重心的定义：在几何中，一个物体或图形的重心是指其所有部分物质均匀分布时的平衡点。
简单地说，就是物体或图形的“中心”。
2. 重心的性质：- 对于一个平面图形，重心是图形对称性的中心点。
- 对于一个三维物体，重心是物体质量均匀分布时的平衡点。
- 在一个三角形中，重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点到相对边中点的连线的交点。
- 在一个四边形中，重心是对角线的交点。
- 在一个正多边形中，重心是各个顶点的连线的交点。
3. 重心的坐标计算：- 对于一个平面图形，可以使用代数方法计算重心的坐标。
比如，在一个由n个点组成的平面图形（可以是多边形），可以计算所有点的x坐标的平均值和y坐标的平均值，这两个平均值就是该图形的重心的坐标。
- 对于一个三角形，可以使用向量法计算重心的坐标。
重心坐标可以通过计算各个顶点坐标的向量和的三分之一得到。
4. 重心在几何中的应用：- 在计算图形的面积时，可以利用重心的坐标来简化计算。
- 在计算物体的转动惯量时，重心在计算公式中起到重要作用。
- 在设计结构物或者机械设备时，了解重心位置可以帮助设计者确定平衡和稳定性。
总而言之，重心是一个重要的几何中心概念，可以帮助我们理解图形和物体的平衡和稳定性。
通过计算重心的坐标，可以简化一些几何问题的计算过程。
在高中数学中，重心概念通常与三角形和多边形相关，在应用数学和物理学中也具有广泛的应用。
重心图形知识点总结初中
重心图形知识点总结初中一、平面图形的重心对于平面图形来说，它的重心是指在图形内部某个点，通过这个点，可以将图形的质量均匀地分配。
1. 直线段的重心直线段AB的重心在其中点C处。
2. 三角形的重心三角形的重心是三条中位线的交点G，即重心G是三角形三条中位线的交点。
3. 四边形的重心四边形的重心G是对角线交点O点与它的对边的中点连线的交点。
4. 正多边形的重心正多边形的重心在其内切圆的中心处。
5. 不规则图形的重心不规则图形的重心可以通过裁定法来求得。
即用一张薄纸将图形剪下来，然后将重心点放在支点上，使薄纸保持平衡，这时支点所在的位置就是图形的重心。
二、立体图形的重心对于立体图形来说，它的重心是指在图形内部某个点，通过这个点，可以将图形的质量均匀地分配。
1. 直方体的重心直方体的重心在其对角线的交点O点处。
2. 圆柱体的重心圆柱体的重心在其轴线上的中点处。
3. 球体的重心球体的重心在其球心处。
4. 锥体的重心锥体的重心在轴线上的$\dfrac{1}{4}$处。
5. 圆锥的重心圆锥的重心在轴线上的$\dfrac{1}{4}$处。
总结：每种图形都有其特定的求重心方法，而且这些方法可以通过几何分析和推导得到。
在解题时，我们可以根据图形的形状和性质来确定如何求其重心。
三、重心在实际生活中的应用重心在实际生活中有着广泛的应用，如：1. 设计建筑结构时，需要考虑建筑物的重心位置，以确保建筑物的稳定性和安全性。
2. 在机械设计中，需要考虑机械零件的重心位置，以确保机械能够平衡稳定地运动。
3. 在航天航空领域，需要考虑航空器和航天器的重心位置，以确保飞行器的平衡和飞行稳定性。
4. 在运动和运动器材设计中，需要考虑物体的重心位置，以确保运动器材的平衡性和稳定性。
总之，重心在许多领域都有着广泛的应用，它不仅仅是一个抽象的几何概念，还是实际生活中需要考虑的重要因素。
结语重心是平面图形和立体图形的一个重要概念，它在几何学和实际生活中都有着重要的应用。
例说平面图形的重心位置
例说平面图形的重心位置作者：王伟民来源：《中学数学杂志(高中版)》2012年第06期“重力在物体上的作用点叫做物体的重心”，这是物理学对物体重心的定义.任何一个物体都可看作由很多个质点（物理学中所讲的质点，指的是有一定质量但不占有空间的几何点）所组成，而每个质点都会受到地球吸引力（即重力）的作用，这些质点所受的重力，其效果可以用一个力来代替，即这些力的合力，合力的作用点即为该物体的重心.所以，要确定一个物体重心的位置，只需确定组成该物体的所有质点所受重力的合力即可——合力的作用点便是我们需要确定的点.对于平面状的物体来说，假设它由n个质点所组成，并设这n个质点的质量分别为m1，m2，…，mn，将物体置于横轴与水平面平行的铅直平面直角坐标系中，设这n个质点的坐标分别是：（x1，y1）、（x2，y2）…（xn，yn），与地球相比，若物体的尺度不大，组成物体的各质点所受地球的引力（即质点重力），方向可认为是互相平行的.由物理学平行力的合成法则可知，这些质点所受重力之合力的作用点，坐标（x，y）满足：该坐标点实际上是物体的质心（即物体的质量中心），由上式可知，质心横坐标和纵坐标分别是组成物体各质点的横坐标及纵坐标相对于各质点质量的加权平均数.当各质点所受重力相互平行时，物体的重心与质心重合.若离地球较近的物体尺度很大，比如像月亮那么大，虽然组成物体的各质点所受重力仍竖直向下，但这些均“竖直向下”的力，其方向已不再平行，此时物体的重心与质心通常不再重合.而数学中所讲的几何体的重心，指的是质量分布均匀的物体，各部分所受重力方向均平行的情形，即物体的质心.一个物体分成再多的部分，每一小部分仍然会占有一定的几何空间，所以，质点只能是一种理想化的物理模型.求一个几何体的重心，通常是将该物体分成有限的几部分，并将这几部分看作重力集中在各部分重心的质点，再利用上述坐标公式确定出整个几何体的重心.利用物体的重心坐标公式，我们探讨一下几种常见平面图形的重心位置.1 轴对称图形及中心对称图形的重心利用轴对称图形的性质及重心坐标公式，可以证明轴对称图形的重心一定在其对称轴上.如图1，EF是某任意一个轴对称图形的对称轴，由于对称轴两侧的部分是全等形，而几何图形的重心相对于该图形的位置是确定的，所以，这两部分的重心P与Q也关于直线EF对称.以P为坐标原点，PQ为x轴正方向建立平面直角坐标系，设这两部分的质量均为m，并设PQ=l，则Q点的坐标为（l，0），所以，整个轴对称图形的重心坐标（x，y）满足：利用“轴对称图形的重心在其对称轴上”这一重要结论，我们很容易确定一些轴对称图形的重心位置，比如，线段的重心在线段的中点，矩形的重心在矩形两对角线的交点，圆的重心在该圆的圆心等.用同样的方法我们可以证明，中心对称图形的重心，在该图形的对称中心.例如，平行四边形的重心，在两条对角线的交点.2 三角形的重心如图2，对于任意△ABC，以顶点B为坐标原点，AC边的高所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A、C两点的横坐标相等.设两点的坐标分别为A（x0，y1）和C（x0，y2），则AC=y1-y2（y1>y2）.。
谈谈平面图形的重心
谈谈平面图形的重心谈谈平面图形的重心宝坻三中杨春来在新人教版八年级“课题学习重心”一节，在教学中学生通过实验很容易得到：线段的重心是线段的中点；平行四边形的重心是它的对角线的交点。
通过悬挂法又可以得到三角形的重心是它的三条中线的交点。
而对于任意多边形的重心也可以用悬挂法得到。
问题是，用悬挂法无法找出课本上或作业本上多边形的重心。
怎么画出课本上或作业本上多边形的重心呢？课本一开始就告诉我们：“在一块均匀的木板上，找到一个点，如果用一个手指顶住这点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块木板的重心。
”其实找重心的问题就是找平衡点的问题。
由平衡我们自然可以想到杠杆原理，想到阿基米德。
阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出了杠杆原理。
怎样使杠杆保持平衡？阻力×支点到阻力作用线的距离=动力×支点到动力作用线的距离,即阻力×阻力臂=动力×动力臂,即F1×L1=F2×L2。
动力作用点、阻力作用点和支点在同一直线上。
我们以四边形ABCD为例来研究如何找多边形的重心。
重心就是平衡点，也就是杠杆原理中的支点。
如果我们把四边形ABCD的木板支起来，保持平衡，那么支点周围一定存在着很多对“动力作用点和阻力作用点”，并且这个支点一定在连接两个作用点的线段上。
我们不妨先连接四边形的一条对角线，把四边形ABCD分成两个三角形，分别作出它们的重心G1，G2，并把这两个重心连起来，得到线段G1G2；再连接四边形的另一条对角线，再把四边形ABCD 分成两个三角形，分别作出它们的重心G3，G4，再把这两个重心连起来。
得到线段G3G4；线段G1G2与线段G3G4的交点就是四边形ABCD的重心。
GG4?BCD 的面积() = 22.93 厘米3GG3?ABD 的面积() = 22.93 厘米3GG2?ACD 的面积() = 28.71 厘米3GG1?ABC 的面积() = 28.71 厘米3ACD 的面积 = 15.46 厘米2ABC 的面积 = 22.61 厘米2BCD 的面积 = 25.68 厘米2ABD 的面积 = 12.40 厘米2GG2 = 1.86厘米GG1 = 1.27厘米GG4 = 0.89厘米GG3 = 1.85厘米B可见：GG 1*△ABC 的面积=GG 2*△ACD 的面积,GG 3*△ABD 的面积=GG 4*△BCD 的面积。
平面几何中的垂心与重心
平面几何中的垂心与重心在平面几何中，垂心与重心是两个重要的概念，它们在解决各类几何问题中起着重要的作用。
本文将详细介绍垂心与重心的定义、性质以及在几何问题中的应用。
一、垂心的定义与性质1. 定义：垂心是指一个三角形内部，三条高线的交点。
三角形的高线是从三个顶点分别作出的垂直于对边的线段。
2. 性质：a) 在任意三角形中，垂心存在且唯一。
b) 垂心到三角形的三个顶点的距离均相等，即垂心是三角形的外接圆心。
c) 垂心到三个顶点连线的中点连成的三角形与原三角形相似且相对应的边平行。
d) 垂心到三个顶点连线的中点连成的三角形的面积是原三角形面积的二分之一。
二、重心的定义与性质1. 定义：重心是指一个三角形内部，三条中线的交点。
三角形的中线是从三个顶点分别作出的连接对边中点的线段。
2. 性质：a) 在任意三角形中，重心存在且唯一。
b) 重心到三角形的三个顶点的距离满足一定的比例关系，即重心是三角形内到顶点距离之和最小的点。
c) 重心将三角形分成六个小三角形，其中三对小三角形的重心共线。
d) 重心到三边的距离满足一定的比例关系，即重心与顶点对边的距离之比为2:1。
三、垂心与重心的应用1. 定位几何中的应用：在定位几何问题中，垂心和重心常用于确定几何图形中特殊点的位置。
例如，我们可以利用垂心来确定一个三角形的外接圆，并进一步应用外接圆相关的性质来解决问题。
而重心则可用于确定三角形内的某一点，并结合重心性质来求解与该点相关的问题。
2. 问题求解中的应用：a) 垂心与重心在求解三角形的面积、角平分线、高线等问题中具有重要作用。
b) 垂心和重心的性质能够帮助我们推导、解决各类几何问题，例如判断三角形是否为等腰三角形、是否为直角三角形等。
综上所述，垂心与重心是平面几何中的两个重要概念。
它们的定义及性质不仅有助于我们理解和描述三角形的特点，还能够应用于各类几何问题的解决。
通过深入研究垂心与重心的性质与应用，我们能够更好地理解和运用平面几何的基础知识，为解决实际问题提供便利。
教学小学生认识几何中心
教学小学生认识几何中心几何中心是几何学中的一个重要概念，它是指在一个图形中，某个特定点与图形的其他部分有着特殊的关系。
对于小学生来说，认识几何中心是培养他们几何思维和观察能力的重要一环。
本文将探讨如何教学小学生认识几何中心，并给出一些实用的教学方法。
一、认识重心重心是最常见也是最容易理解的几何中心之一。
在平面图形中，重心是指一个点，它与图形的每个点到该点的距离之和最小。
对于小学生来说，可以通过一些简单的实践活动来帮助他们理解重心的概念。
首先，可以让学生在纸上画出不同形状的图形，如三角形、矩形、五边形等。
然后，让他们找出这些图形的重心。
可以告诉学生，重心位于图形的中心位置，是图形的“平衡点”。
通过观察图形的对称性和边界线与重心的关系，可以帮助学生更好地理解重心的概念。
接下来，可以让学生进行一些实践活动，如用纸板剪下一个特定形状的图形，然后在图形上找出重心，并在该点上固定一根细线。
让学生通过细线悬挂图形，观察图形是否能够平衡。
通过这种方式，学生可以更加直观地理解重心的作用。
二、认识外心外心是指一个点，它与图形的每个顶点的距离相等。
对于小学生来说，可以通过一些游戏和实践活动来帮助他们理解外心的概念。
首先，可以让学生在纸上画出一个三角形，并找出三角形的外心。
告诉学生，外心是一个特殊的点，它与三角形的每个顶点的距离相等，可以将这个点想象成一个“中心”。
通过观察外心与三角形的关系，可以帮助学生更好地理解外心的概念。
接下来，可以进行一些实践活动，如让学生使用尺子测量三角形的每条边的长度，并计算出各边的中点。
然后，让学生将中点连接起来，找出连接线的交点，这个交点就是三角形的外心。
通过这种方式，学生可以更加直观地理解外心的作用。
三、认识内心内心是指一个点，它与图形的每条边的距离相等。
对于小学生来说，可以通过一些实践活动来帮助他们理解内心的概念。
首先，可以让学生在纸上画出一个三角形，并找出三角形的内心。
告诉学生，内心是一个特殊的点，它与三角形的每条边的距离相等，可以将这个点想象成一个“中心”。
二重积分求重心的公式
二重积分求重心的公式二重积分求重心的公式是一种数学方法，用于计算平面图形的重心位置。
在物理学、工程学、建筑学等领域中，重心是一个非常重要的概念，它可以帮助我们确定物体的平衡点、稳定性等重要参数。
因此，掌握二重积分求重心的公式对于这些领域的学生和专业人士来说是非常必要的。
我们需要了解什么是重心。
重心是一个物体内部所有质点的平均位置，也就是物体的质心。
在平面图形中，重心是指平面图形内部所有点的平均位置。
重心的位置可以用坐标系中的坐标表示，通常用(x,y)表示。
接下来，我们来看看如何用二重积分求平面图形的重心。
假设我们要求一个平面图形的重心，首先需要将该图形分成若干个小区域，然后对每个小区域进行计算。
具体来说，我们需要计算每个小区域的面积和重心坐标，然后将它们加权平均得到整个图形的重心坐标。
假设我们要求一个平面图形的重心，其面积为A，重心坐标为(x0,y0)，则有以下公式：x0 = (1/A) * ∬x*dAy0 = (1/A) * ∬y*dA其中，∬表示对整个图形进行积分，x和y分别表示坐标轴上的变量，dA表示微元面积。
这两个公式可以用二重积分的方法来计算。
具体来说，我们需要将平面图形分成若干个小区域，然后对每个小区域进行计算。
对于每个小区域，我们需要计算它的面积和重心坐标。
假设该小区域的面积为dA，重心坐标为(x,y)，则有以下公式：x = (1/A) * ∬xdAy = (1/A) * ∬ydA其中，∬表示对该小区域进行积分，x和y分别表示坐标轴上的变量，dA表示微元面积。
这两个公式可以用二重积分的方法来计算。
我们将每个小区域的面积和重心坐标加权平均得到整个图形的重心坐标。
具体来说，我们需要将每个小区域的面积乘以它的重心坐标，然后将它们相加，最后除以整个图形的面积即可得到整个图形的重心坐标。
二重积分求重心的公式是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们计算平面图形的重心位置。
在物理学、工程学、建筑学等领域中，重心是一个非常重要的概念，掌握二重积分求重心的公式对于这些领域的学生和专业人士来说是非常必要的。
平面图形重心探究
平面图形重心探究
根据一个线段的中心是线段中点之后，可以继续推导出一个三角形的中心是三边中线的交点。
如下图：
那么可以猜想：一个四边形连接对角线可以出现两个三角形，那么这两个三角形重心的连线与平行四边形对角线的交点就是四边形的重心。
先以平行四边形举例：
如上图，因为平行四边形的对角线相互平分，所以两三角形的重心连线就是另一组对角线，所以又与书上给出的平行四边形两条对角线的交点就是平行四边形的中心这条理论相和。
由此可以继续推导，根据初一下数学书关于四边形那一章，任意N边形都可以被分割为(N-1)个三角形。
那么这些三角形的重心连线是否也是图形中心呢？
这是一个任意四边形，被分割成了两个三角形，根据猜想这两个三角形的中心连线与对角线交点就是这个四边形的重心。
那么，其他图形呢？
这是一个任意五边形，这个图形被分割成了三个三角形，这三个三角形的中心连线是一个三角形，那么，根据猜想，这个有三个三角形重心构成的三角形的重心就是整个五边形的重心。
结论：继续推导，六边形可以被分割成四个三角形，这四个三角形的重心连线就是一个四边形，而这个四边形又能被分割成两个三角形，这两个三角形的重心连线与四边形的对角线交点就是这个四边形的重心，也就是这个六边形的重心。
所以任意N边形可以用分割成几个三角形的方法确定中心。
以上全部均为猜想，尚无证明。
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谈谈平面图形的重心
宝坻三中杨春来
在新人教版八年级“课题学习重心”一节，在教学中学生通过实验很容易得到：线段的重心是线段的中点；平行四边形的重心是它的对角线的交点。
通过悬挂法又可以得到三角形的重心是它的三条中线的交点。
而对于任意多边形的重心也可以用悬挂法得到。
问题是，用悬挂法无法找出课本上或作业本上多边形的重心。
怎么画出课本上或作业本上多边形的重心呢？
课本一开始就告诉我们：“在一块均匀的木板上，找到一个点，如果用一个手指顶住这点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块木板的重心。
”其实找重心的问题就是找平衡点的问题。
由平衡我们自然可以想到杠杆原理，想到阿基米德。
阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出了杠杆原理。
怎样使杠杆保持平衡？阻力×支点到阻力作用线的距离=动力×支点到动力作用线的距离,即阻力×阻力臂=动力×动力臂,即F1×L1=F2×L2。
动力作用点、阻力作用点和支点在同一直线上。
我们以四边形ABCD为例来研究如何找多边形的重心。
重心就是平衡点，也就是杠杆原理中的支点。
如果我们把四边形ABCD的木板支起来，保持平衡，那么支点周围一定存在着很多对“动力作用点和阻力作用点”，并且这个支点一定在连接两个作用点的线段上。
我们不妨先连接四边形的一条对角线，把四边形ABCD分成两个三角形，分别作出它们的重心G1，G2，并把这两个重心连起来，得到线段G1G2；再连接四边形的另一条对角线，再把四边形ABCD 分成两个三角形，分别作出它们的重心G3，G4，再把这两个重心连起来。
得到线段G3G4；线段G1G2与线段G3G4的交点就是四边形ABCD的重心。
GG4∙BCD 的面积() = 22.93 厘米3
GG3∙ABD 的面积() = 22.93 厘米3GG2∙ACD 的面积() = 28.71 厘米
3
GG1∙ABC 的面积() = 28.71 厘米3ACD 的面积 = 15.46 厘米2
ABC 的面积 = 22.61 厘米2BCD 的面积 = 25.68 厘米2ABD 的面积 = 12.40 厘米2GG2 = 1.86厘米
GG1 = 1.27厘米GG4 = 0.89厘米GG3 = 1.85厘米
B
可见：GG 1*△ABC 的面积=GG 2*△ACD 的面积,
GG 3*△ABD 的面积=GG 4*△BCD 的面积。
木板的面积*厚度h*密度ρ就是木板的重量，由于木板质地相同即密度均为ρ，薄厚均匀即厚度均为h ，因此上面的两个等式就可以转化为
GG 1*△ABC 木板的重力=GG 2*△ACD 木板的重力, GG 3*△ABD 木板的重力=GG 4*△BCD 木板的重力。
所以我们用手指顶住G 点，四边形ABCD 木板就能平衡了。
我们改变一下四边形ABCD 的形状，再看看
B
GG4∙BCD 的面积() = 40.38 厘米3
GG3∙ABD 的面积() = 40.38 厘米3GG2∙ACD 的面积() = 39.13 厘米3GG1∙ABC 的面积() = 39.13 厘米3ACD 的面积 = 19.64 厘米2
ABC 的面积 = 30.05 厘米2BCD 的面积 = 29.26 厘米2ABD 的面积 = 20.44 厘米2GG2 = 1.99厘米
GG1 = 1.30厘米GG4 = 1.38厘米GG3 = 1.98厘米
B
GG4∙BCD 的面积() = 13.46 厘米
3
GG3∙ABD 的面积() = 13.46 厘米3GG2∙ACD 的面积() = 31.44 厘米3GG1∙ABC 的面积() = 31.44 厘米3ACD 的面积 = 26.10 厘米2
ABC 的面积 = 15.38 厘米2BCD 的面积 = 36.06 厘米2ABD 的面积 = 5.41 厘米2GG2 = 1.20厘米
GG1 = 2.04厘米GG4 = 0.37厘米GG3 = 2.49厘米
B
类似的，我们可以把任何多边形分成两部分，分别找出它们的重心，并把它们连起来；再把这个多边形分成两部分，分别找出它们的重心，并把它们连起来。
这两条连线的交点就是这个多边形的重心。
在教学过程中，我们发现：因为过平行四边形重心的任意直线可以把这个平行四边形面积两等分；三角形的中线把三角形面积两等分，所以一些同学就认为：过几何图形重心的直线都能把几何图形面积两等分。
其实这是错误的。
请看：下图G 是三角形ABC 的重心，直线EF 把三角形ABC 分成两部分。
AFEC 的面积 = 10.34 厘米2
BEF 的面积 = 8.32 厘米2
B
C
A
AFEC 的面积 = 10.01 厘米2
BEF 的面积 = 8.65 厘米2
B
C
A
我们知道：过梯形中位线中点的直线把梯形面积两等分。
显然梯形的重心不是梯形中位线中点，应该在它下方，在两底中点连线上。
在教学过程中，我们还发现：因为平行四边形顶点与重心的连线把平行四边形面积四等分；三角形顶点与重心的连线把三角形面积三等分。
所以一些学生就认为多边形的顶点与重心的连线都能把多边形面积等分。
其实这也是不正确的。
请看下面的实验：
AGC 的面积
BCG 的面积ABG 的面积B
C
A
DAG 的面积 = 5.67 厘米2
CGD
的面积 = 5.67 厘米2BCG 的面积 = 5.67 厘米2ABG 的面积 = 5.67 厘米2D
B
DAG 的面积 = 4.99 厘米2
CDG 的面积 = 6.30 厘米2BCG 的面积 = 6.61 厘米
2
ABG 的面积 = 5.58 厘米2
B
在教学中，我们应鼓励学生大胆的猜想，更应该鼓励他们去验证和证明自己的猜想。
使学生逐步掌握探究问题的方法，养成有猜想就应该论证它是不是成立的习惯。
不经过论证的猜想它只是个猜想而已，不能把它看成真命题。
2011/5/29/0/56。