八年级几何证明常见模型
初中常见数学模型几何和证明方法
初中常见数学模型几何和证明方法初中数学中的几何和证明方法是学习数学的重要内容之一。
通过几何学习，学生可以掌握基本的几何概念、性质和定理，进而培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
而证明方法则是通过推理和论证的方式验证和证明数学命题的正确性。
下面将对初中常见的几何模型和证明方法进行介绍。
一、几何模型1. 点、线、面：几何学的基本要素是点、线和面。
点是没有大小和形状的，用来表示位置；线是由无数个点组成的，它没有宽度和厚度；面是由无数个线组成的，它有宽度和厚度。
2. 直线和线段：直线是由无数个点组成的，它没有起点和终点；线段是直线的一部分，有起点和终点。
3. 角：角是由两条射线共同起点组成的，可以用度数来表示。
4. 三角形：三角形是由三条线段组成的，它有三个顶点、三条边和三个角。
5. 直角三角形：直角三角形是一个角为90度的三角形，其中的两条边相互垂直。
6. 平行四边形：平行四边形是四边形的一种，它的对边是平行的。
7. 圆：圆是由一个固定点到平面上所有到该点距离相等的点组成的图形。
以上是初中常见的几何模型，通过对这些模型的学习，可以帮助学生理解几何概念和性质，为后续的学习打下基础。
二、证明方法1. 直接证明法：直接证明法是通过一系列逻辑推理，从已知条件出发，推导出结论的过程。
这种证明方法通常可以通过图形、等式等形式来进行。
2. 反证法：反证法是通过假设所要证明的命题不成立，然后通过逻辑推理，推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
3. 数学归纳法：数学归纳法是通过证明当命题对于某个特定的数成立时，对于下一个数也成立，进而可以推导出对于所有数都成立的结论。
这种证明方法常用于证明与自然数相关的命题。
4. 反证法：反证法是通过假设所要证明的命题不成立，然后通过逻辑推理，推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
5. 用反证法证明：用反证法证明是指通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
初二数学30个重点几何模型
初二数学30个重点几何模型初二数学重点几何模型一、直线与角直线是几何中最基本的概念之一。
直线无法直接测量，但可以通过两个点的连线得到一条直线。
直线没有宽度和长度，只有方向。
在几何中，直线通常用字母表示。
角是由两条直线共享一个公共端点而形成的图形。
角度用度数来衡量，通常用小圆圈表示。
角度可以分为钝角、直角、锐角和平角四种类型。
钝角大于90度，直角等于90度，锐角小于90度，平角等于180度。
二、三角形三角形是由三条线段相连而形成的多边形。
三角形有很多种类，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。
等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，直角三角形则有一个角度等于90度。
三、四边形四边形是由四条线段相连而形成的多边形。
四边形有很多种类，包括正方形、矩形、平行四边形等。
正方形的四条边长度相等且四个角都是直角，矩形的四个角都是直角，平行四边形的对边平行且长度相等。
四、圆与圆周圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的图形。
圆周是圆的边界，也是圆的周长。
圆周上的任意两点与圆心相连，形成的线段称为弦。
圆周上的任意点与圆心相连，形成的线段称为半径。
圆周上的任意两点与圆心相连，形成的线段称为直径。
五、多边形多边形是由多条线段相连而形成的封闭图形。
多边形的边数可以是任意大于等于3的整数。
多边形根据边的长度或角的大小可以分为等边多边形、等角多边形和正多边形等。
等边多边形的所有边长度相等，等角多边形的所有角度相等，正多边形既是等边多边形又是等角多边形。
六、相似与全等相似是指两个图形的形状相似，但大小不同。
相似的图形具有对应角度相等和对应边成比例的特点。
全等是指两个图形的形状和大小完全相同。
全等的图形具有对应边相等和对应角度相等的特点。
七、平面镜与对称平面镜是一种可以反射光线的镜子。
平面镜的特点是光线入射角等于反射角，入射光线、反射光线和法线三者在同一平面上。
对称是指图形通过某个中心轴线或中心点对折后，两边或两部分完全重合。
初中几何46种模型大全
初中几何46种模型大全初中几何46种模型大全正文:几何是初中数学的重要分支,其中涉及到的模型数量和种类非常丰富。
下面,我们将介绍初中几何中的46种模型,包括它们的定义、性质、应用等。
1. 等腰三角形模型定义:一个等腰三角形的两条边长度相等,且它们的腰角度数相等。
性质:1. 等腰三角形的两条底边长度相等;2. 等腰三角形的两条顶角角度数相等;3. 等腰三角形的顶角和等于180度-底边长度的夹角。
应用:等腰三角形模型可以用来证明三角形的性质,如边长相等、角度相等等。
2. 直角三角形模型定义:一个直角三角形的两条直角边长度相等,且它们的斜角角度数相等。
性质:1. 直角三角形的两条直角边长度相等;2. 直角三角形的斜角角度数相等;3. 直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度的乘积。
应用:直角三角形模型可以用来解决直角三角形相关问题,如勾股定理等。
3. 等边三角形模型定义:一个等边三角形的三条边长度相等。
性质:1. 等边三角形的三条边长度相等;2. 等边三角形的任意两边长度都大于第三边;3. 等边三角形的任意角度数都小于180度。
应用:等边三角形模型可以用来证明三角形的性质,如边长相等、角度相等等。
4. 正方形模型定义:一个正方形的四条边长度相等。
性质:1. 正方形的四条边长度相等;2. 正方形的任意一个角都是90度;3. 正方形的任意两个角都是直角。
应用:正方形模型可以用来解决正方形相关问题,如面积、周长等。
5. 长方形模型定义:一个长方形的两条边长度相等,且它们的长度之和等于宽度。
性质:1. 长方形的两条边长度相等;2. 长方形的长、宽相等;3. 长方形的任意一个角都是直角。
应用:长方形模型可以用来解决长方形相关问题,如面积、周长等。
6. 菱形模型定义:一个菱形的四条边长度相等且互相平分,对角线互相垂直且相等。
性质:1. 菱形的四条边长度相等且互相平分;2. 菱形的对角线互相垂直且相等;3. 菱形的任意一个角都是45度。
初中数学9大几何模型(证明结论及推导)
初中数学9大几何模型（证明结论及推导）一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CDO ABCDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初二上册数学几何模型大全
以下是初二上册数学中常见的几何模型：
1. 三角形模型：用于研究三角形中的各种关系和定理，例如三角形的全等、相似和角平分线等。
2. 平行四边形模型：用于研究平行四边形的性质和判定，例如对角线相等、对角线互相平分等。
3. 矩形模型：用于研究矩形的性质和判定，例如四个角都是直角、对角线相等且互相平分等。
4. 菱形模型：用于研究菱形的性质和判定，例如四边相等、对角线互相垂直且平分等。
5. 勾股定理模型：用于研究勾股定理的证明和应用，例如直角三角形的三边关系等。
6. 圆模型：用于研究圆的性质和判定，例如圆周角定理、切线的判定和性质等。
7. 扇形模型：用于研究扇形的性质和面积计算，例如扇形的弧长和面积公式等。
8. 角平分线模型：用于研究角平分线的性质和判定，例如角的平分线与对边的关系等。
9. 中位线模型：用于研究中位线的性质和判定，例如中位线的长度等于它所截两边的平均值等。
10. 直角三角形模型：用于研究直角三角形的性质和判定，例如勾股定理的逆定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等。
以上是初二上册数学中常见的几何模型，掌握这些模型对于解决几何问题非常重要。
八年级下册数学几何模型大全
八年级下册数学几何模型大全
1. 三角形
- 基本概念：三边、三角形分类（等边、等腰、普通）、角度
分类（锐角、直角、钝角）
- 定理：直角三角形定理、勾股定理、正弦定理、余弦定理、
海龙公式、费马点定理
- 运用：解决三角形面积、周长、角度等问题，证明一些定理
和命题
2. 直线和角
- 基本概念：直线、线段、射线、角度、角的度量单位制
- 定理：同位角定理、平行线与角的性质、垂直线与角的性质、三角形内角和定理、外角和定理
- 运用：求解角度大小，证明一些定理和命题
3. 圆
- 基本概念：圆心、半径、圆弧、圆周、圆心角、弧度制
- 定理：圆心角定理、圆周角定理、相交弦定理、切线和切点、弦切角定理
- 运用：求解圆的周长、面积、角度大小，证明一些定理和命
题
4. 多边形
- 基本概念：多边形、多边形分类、对边、对角线、外接圆、
内切圆
- 定理：正多边形性质、凸多边形性质、不等式关系、欧拉公
式
- 运用：解决多边形面积、周长、角度等问题，证明一些定理
和命题
5. 空间几何体
- 基本概念：点、线、面、空间几何体分类、棱、顶点、底面、侧面、高、体积
- 定理：正方体、正四面体、正六面体、勾股锥体特点和性质、旋转体与内锥体特点和性质
- 运用：求解空间几何体的体积、表面积、证明一些定理和命
题。
初中数学八大基本图形几何模型及练习
初中数学八大基本图形几何模型及练习几何中的模型如同代数中的公式，是同学们快速解题的关键，如果平时多总结一些几何模型，对于几何的学习是非常有帮助的，一些学霸做题非常快，一部分原因就是如此。
今天来列举8个常考的几何模型，看到最后有惊喜！
一、相似三角形基本模型
相似三角形是几何证明中重要的应用之一，利用三角形相似可证明角相等、线段成比例（或等积式）以及求线段的长，所以能在复杂的图形中找到相似三角形的基本模型至关重要圆中得角相等的方法有很多，所以相似三角形常与圆相结合。
二、共顶点模型
又叫做手拉手模型，全等'、相似中最常见的一个类型。
三、半角模型
四、对角互补模型
邻边相等、对角互补是典型的旋转模型。
五、一线三等角模型
六、弦图模型
七、中点模型
倍长中线、中位线等都是很好的解题思路。
八、四点共圆模型
转发赠送此电子版。
初中数学42个几何模型证明
初中数学42个几何模型证明初中数学中有许多几何模型需要通过证明来推导出相应的结论。
下面是42个几何模型的证明，按照题目的难易程度进行排列。
1. 证明平行线之间的距离在任意两个平行线上的点处相等。
2. 证明对角线相等的平行四边形是矩形。
3. 证明等腰三角形的底角相等。
4. 证明直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
5. 证明等腰梯形两底角相等。
6. 证明三角形内角和为180度。
7. 证明一个等边三角形的内角都是60度。
8. 证明在一个同心圆中，半径较长的弦对应的圆心角较大。
9. 证明1/4圆面积公式：S = πr²/4。
10. 证明与弦垂直的半径平分弦。
11. 证明一个等腰三角形的高既是中位线也是角平分线。
12. 证明平行四边形的对角线互相平分。
13. 证明垂直于同一条直线的两条直线必相互垂直。
14. 证明等腰三角形的高通过顶点平分底边。
15. 证明两圆相切于切点处的半径互相垂直。
16. 证明正方体的面对角线相等。
17. 证明对角线的垂直平分线是平行四边形的对称轴。
18. 证明两直线平行，其上的任一点到另一直线的距离是相等的。
19. 证明半径等长的两圆相交，交点到两圆圆心的连线互相垂直。
20. 证明正方形的对边互相平分。
21. 证明矩形的对角线互相相等。
22. 证明底边垂直于直线平分子午线的梯形是等腰梯形。
23. 证明两对顶点互相对顶的平行四边形是全等的。
24. 证明外接圆的两切线互相垂直。
25. 证明两个互相垂直的直线的交角互为90度。
26. 证明外接圆的直径是角平分线。
27. 证明两条平行线割圆所得弦长度相等。
28. 证明两条互相垂直的直线之间的角度是90度。
29. 证明一个等腰梯形的中线平行于底边且长度等于底边长度之和的一半。
30. 证明三角形的外角等于不相邻的两个内角之和。
31. 证明一个等边三角形的外角都是120度。
32. 证明相似三角形的对应角相等。
33. 证明互余角和互补角之和等于180度。
初中几何十大模型 无水印
初中几何十大模型模型，可理解为数学定理（培训辅导机构总结归纳出来的定理）。
但是不是课本上出现的定理，故不能在证明题中直接使用其结论（需要证明一遍）。
模型主要作用还是简化图形，为证明或者添加辅助线提供思路。
一、 中位线模型 多个中点构造中位线【例】①在Rt △ABC 中，F 为斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，且满足∠DFE=90°，AD=3，BE=4，求线段DE 长度．②如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=°，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA二、 角平分线模型角平分线+垂线=等腰三角形角平分线+垂线=等腰三角形【例】如图所示，△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 是△ABC 的角平分线，交于F 点，求证：DF=EF三、 三垂直模型与弦图【例】在平面直角坐标系中，A （0,3），点B 的纵坐标为2，点C 的纵坐标为0，当A 、B 、C 三点围成的等腰直角三角形时，求B 、C 坐标。
四、 手拉手模型【例】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC五、 倍长中线与婆罗摩笈多模型倍长中线、倍长类中线、中点遇平行延长相交条件：1、两个等腰三角形2、顶角相等3、顶点重合结论：1、手相等2、三角形全等3、手的夹角相等4、顶点连手的交点得平分D【例】如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、ACFG .AD 为ABC ∆中线．求证：AD EG ⊥．六、 弦图与婆罗摩笈多模型【例】如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、ACFG ．过A 作AH BC ⊥于H，AH 与EG 交于P ．求证：①EP PG =，②2BC AP =．七、 将军饮马模型费马点“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
八年级上册数学重点模型
八年级上册数学重点模型一、三角形全等模型。
1. 平移型。
- 模型特点：两个三角形通过平移可以完全重合。
- 示例：在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
这是因为将△ABC沿着某一方向平移一定距离后可与△DEF重合。
- 解题思路：当遇到此类图形时，可直接利用全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）来证明两个三角形全等，进而得出对应边相等、对应角相等的结论。
例如，若已知AB = DE，BC = EF，AC = DF，可直接根据SSS判定△ABC≌△DEF。
2. 旋转型。
- 模型特点：一个三角形绕着某一点旋转一定角度后与另一个三角形重合。
- 示例：在等腰△ABC中，AB = AC，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE，此时AB与AD重合，AC与AE重合，∠BAC = ∠DAE。
- 解题思路：首先要找到旋转中心和旋转角度，然后根据旋转的性质（对应边相等，对应角相等），再结合全等三角形的判定条件来证明三角形全等。
如在上述例子中，因为AB = AD，AC = AE，∠BAC = ∠DAE，根据SAS可判定△ABC≌△ADE。
3. 翻折型（对称型）- 模型特点：一个三角形沿着某一条直线翻折后与另一个三角形重合，这条直线就是对称轴。
- 示例：在△ABC中，AD是BC边上的高，将△ABD沿AD翻折得到△AED，则△ABD≌△AED。
- 解题思路：根据翻折的性质，即翻折前后的图形全等，得到对应边相等和对应角相等。
在这个例子中，BD = ED，AB = AE，∠B = ∠AED等，再根据这些条件来解决相关问题，如求线段的长度或角的大小等。
二、等腰三角形模型。
1. “三线合一”模型。
- 模型特点：在等腰三角形中，底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合。
- 示例：在等腰△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，则AD也是BC边上的高和∠BAC的平分线。
初中所有几何模型
初中所有几何模型
初中几何中常见的模型包括但不限于以下几种：
1. 手拉手模型：这种模型通常涉及到两个三角形，其中一个三角形的顶点与另一个三角形的对应顶点相连。
根据角度和边的关系，可以证明这两个三角形是相似的或全等的。
2. 倍长中线模型：如果一个中线长度超过另一边的一半，则可以通过倍长中线来构造新的三角形，从而利用中线性质进行证明。
3. 平行线模型：通过平行线的性质，可以证明一些角的关系，或者利用平行线的传递性来证明一些线段的比例关系。
4. 角平分线模型：利用角平分线的性质，可以证明一些角或者线段的比例关系。
5. 直角三角形模型：通过直角三角形的性质，可以证明一些角或者线段的关系。
6. 对角线模型：利用对角线的性质，可以证明一些线段的比例关系，或者通过构造新的三角形来证明一些结论。
7. 旋转模型：通过旋转图形，可以证明一些结论或者找到一些新的等量关系。
8. 相似三角形模型：通过相似三角形的性质，可以证明一些角或者线段的比例关系。
9. 特殊四边形模型：对于一些特殊的四边形，如平行四边形、矩形、菱形等，可以利用它们的性质来证明一些结论。
以上是一些常见的初中几何模型，它们都是基于几何的基本性质和定理构建的。
掌握这些模型可以帮助学生在解决几何问题时更加高效和准确。
八年级几何模型
八年级上册几何模型归类一、三角形1、三角形内角和——180°2、三角形外角——等边△ABC中AE=CD，则∠BFG=60°3、两垂直4、麻花、箭头、鸭掌（设参消参用蝙蝠）二、全等三角形和轴对称A级中垂角截加三平1、中点平分线段、中线平分面积、中线倍长、斜边中点若AB=3，AC=5，则1<AD<4②若∠BAC=90°，AD=BD,则D是BC中点2、垂直平分线3.角平分线已知AE平分∠CAB，AC⊥BC，CD⊥AB则CE=CF4、截长补短5、加倍折半6、三线合一7、平行线①平行线构等腰②平行平分与等腰B 级知面一共补半蝶1.知二推三平行"二推三"2.面积法()三法：a.平行化等积法b.换底大法c 割补法3.一线三等角若∠B=∠C=∠EDF ，且ED=FD,则BD=CF ，BE=CD4.共顶点的等腰三角形OE 平分∠BEC 5.对角互补+等腰（隐角平分线——平分内角）若△ABC 是等边Δ，∠BDC 是120°则AD 平分∠BDC且BD+CD=AD若∠B+∠D=180°AB=BC,则BD 平分∠ABC作BE ⊥AD 、BF ⊥DC6.旋转的半角（补旋转）7.蝶形+等腰（隐角平分线——平分外角）C 级Famous(费马点、模板法、"SSA")1.模板法（以满足三条件的三角形为模板）如图，△ABC 中，∠ABC=60°，∠BAC=80°，AD 平分∠BAC ，CD 平分∠ACB ，求证：AB=CD1.模板法（以满足三条件的三角形为模板）AD 是等边△ABC 的高，E 、F 分别是线段AD 、AC 上的动点，且AE=CF ，当BF+CE 取最小值时，∠AFB=______若∠ABC=120°，AB=BC,∠D=∠EBF=60°则EF=AF+CF.(在DC 的延长线上取E'，使得CE'=AE)2.费马点若△ABC、△ADE都是等边△，则BD与CE交点就是费马点（即平面上到A、C、D三点距离之和最小的点）方法：先用手拉手推∠APE=60°，再用截取PQ=PA构手拉手推QE=PD①BD=CE②∠BPE=120°③AP平分∠BPE④BP=PC+AP⑤BD=PA+PC+PD3.SSA不全等形等腰直角三角形的全等中对一共补半蝶1.等腰RtΔ腰上中线——模板法若BE=CE，CD⊥AE则DE+DC=AD.∠ADC=∠BDE,∠AEC=∠BED2.高与中线相对3.一线三等角4.共顶点的等腰直角三角形5.等腰RtΔ+对角互补6.半搬角7.等腰RtΔ+蝶形三、最短路径例题3.如图，A,B在直线l的同侧，试在l上作点M、N，使点M在N的左侧，且MN=a，并且AM+MN+BN最短。
八年级上册几何证明经典模型
等边三角形的经典模型1．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下六个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°；⑥OC平分∠AOE．2．（10分）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC的大小变化吗？若变化，说明理由；若不变，请直接写出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．3．已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等边△ADE （顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ．（1）如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①BD=CE ，②AC=CE+CD ；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D 在边BC 的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系．4．（H 卷·25）如图，已知等边△ABC ，延长BC 至D ，E 在AB 上，使AE=CD ，连接DE ，交AC 于F 点，过E 作EG ⊥AC 于G 点．求证：FG=21AC21．D为等边△ABC外一点，且BD=CD，∠BDC=120°，点M，N分别在AB，AC上，若BM+CN=MN（1）∠MDN= 度；（2）作出△DMN的高DH，并证明DH=BD；（3）在第（2）的基础上，求证：MD平分∠BDH．全等与坐标轴的经典模型1、已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．2．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．（1）求AB的长度；（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE；（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？4.如图1，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4），（1）如图，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；（2）在（1）的条件下，如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连结MD，过点D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．角平分线综合的经典模型1．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN．（1）如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；（2）在（1）的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系；（3）如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM 的面积．等腰直角三角形综合的经典模型1．已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．（1）如图1，若AB=8，点D是AC边上的中点，求S△BCD；（2）如图2，若BD是△ABC的角平分线，请写出线段AB、AD、BC三者之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若D、E是AC边上两点，且AD=CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，连接BE、GE，求证：∠ADB=∠CEG．2．如图，已知△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM⊥AE于点M，连结BE．（1）请判断线段AD、BE之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：AM=CM+BE．3．如图△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°．（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；（2）探索DC与BE的夹角的大小；（3）求证：FA平分∠DFE；（4）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的数量关系和位置关系．.4.已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．最短路径的经典模型1．如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（）2．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为 .3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4 B．4 C．4.8 D．54．如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC 最小，此时∠PDC= ．5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=8，D为AB的中点，P为BC上一个动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是．等腰三角形动点的经典模型1．如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动．设运动时间为t秒．（1）若点P的速度为3cm/s，用含t的式子表示第t秒时，BP= cm，CP= cm（2）若点Q运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒钟△BPD与△CQP全等，说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢1cm/s时，点Q的运动速度为多少时？能够使△BPD与△CQP全等？2．如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点A向点C以4cm/s的速度运动．若点P、Q两点分别从点B、A同时出发．（1）经过2秒后，求证：①△BPD≌△CQP ；②∠DPQ=∠B（2）若△CPQ的周长为18cm，问经过几秒钟后，△CPQ为等腰三角形？4．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？规律题的经典模型1、如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长n次后得到的△A2016B2016C2016的面积为（）A.72016B.72015C.72017D.720182.平面直角坐标系中有一点A（1，1），对点A进行如下操作：第一步，作点A关于x轴的对称点A1，延长线段AA1到点A2，使得2A1A2=AA1；第二步，作点A2关于y轴的对称点A3，延长线段A2A3到点A4，使得2A3A4=A2A3；第三步，作点A4关于x轴的对称点A5，延长线段A4A5到点A6，使得2A5A6=A4A5；…则点A2的坐标为，点A2015的坐标为．若点A n的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式．3.杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：a+= ．按照前面的规律，则()5b4．．如图△ABC中，∠A=68°，A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点．A2是∠A1BC，∠A1CD的平分线的交点，依此类推．∠An等于_____度.5、如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，依此类推，若OA1=1，则△A2016B2016A2017的边长为（）A．2016 B．4032 C．22016 D．22015。
初中数学几何模型归纳
初中数学几何模型归纳1. 直线模型：直线是最基本的几何图形，可以用直线方程y = kx + b 来表示。
其中，k 是斜率，b 是截距。
2. 点模型：点是几何图形中的基本元素，可以用坐标(x, y) 来表示。
3. 线段模型：线段是由两个端点确定的有限长度的直线部分。
线段可以用起点和终点的坐标来表示。
4. 射线模型：射线是由一个端点和一个方向确定的无限延伸的直线部分。
射线可以用起点和方向向量来表示。
5. 角模型：角是由两条射线的公共端点和这两条射线之间的夹角组成的。
角可以用顶点、始边和终边来表示。
6. 三角形模型：三角形是由三条边和三个内角组成的多边形。
三角形可以用三边的长度和三个内角的大小来表示。
7. 四边形模型：四边形是由四条边和四个内角组成的多边形。
四边形可以用四边的长度和四个内角的大小来表示。
8. 圆模型：圆是由一个圆心和一个半径确定的平面上的所有点到圆心的距离都等于半径的图形。
圆可以用圆心和半径来表示。
9. 椭圆模型：椭圆是由两个焦点和一个长轴、短轴确定的平面上的所有点到两个焦点的距离之和等于常数的图形。
椭圆可以用两个焦点和长轴、短轴的长度来表示。
10. 双曲线模型：双曲线是由两个焦点和一个实轴、虚轴确定的平面上的所有点到两个焦点的距离之差等于常数的图形。
双曲线可以用两个焦点和实轴、虚轴的长度来表示。
11. 正多边形模型：正多边形是由相等的边和相等的内角组成的多边形。
正多边形可以用边数和内角度数来表示。
12. 梯形模型：梯形是由一对平行边和一对非平行边组成的四边形。
梯形可以用两对边的长度和夹角来表示。
13. 矩形模型：矩形是由四个直角和两对相等的边组成的四边形。
矩形可以用两对边的长度和夹角来表示。
14. 正方形模型：正方形是特殊的矩形，它的四个边都相等且四个角都是直角。
正方形可以用边长来表示。
15. 三角形面积模型：三角形的面积可以通过底边长度和高来计算，公式为S = (底边长度×高) / 2。
八年级几何证明常见模型
在几何证明中，有一些常见的模型经常被用到。
这些模型涵盖了几何学中的基本概念和性质，帮助我们理解和证明各种几何定理。
本文将介绍几个八年级常见的几何证明模型。
1.直角三角形证明模型直角三角形是指一个角为90度的三角形。
直角三角形的几何证明常用于证明勾股定理，即在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
例如可以通过构造等辅助角、相似三角形等来证明这一定理。
2.等腰三角形证明模型等腰三角形是指两边相等的三角形。
等腰三角形的几何证明常用于证明等腰三角形的性质，例如等腰三角形的底角相等，等腰三角形的高线经过顶角等。
可以利用等辅助角、对称性等方法来进行证明。
3.平行线证明模型平行线是指在同一个平面内，不相交且不重合的两条直线。
平行线的几何证明常用于证明平行线之间的性质，如对应角相等、内错角相等、外错角相等等。
可以通过构造等辅助线、利用同位角等方法来进行证明。
4.圆证明模型圆是由平面内到一点距离恒定的所有点的集合。
圆的几何证明常用于证明圆的性质，如圆心角是其对应弧的两倍、弧长公式等。
可以通过构造切线、利用角平分线等方法来进行证明。
5.直线与平面证明模型直线与平面的几何证明常用于证明直线与平面之间的性质，如直线与平面的交点个数、直线与平面的夹角等。
可以通过构造垂线、相似三角形等方法来进行证明。
6.多边形证明模型多边形是由若干个边和角组成的图形。
多边形的几何证明常用于证明多边形的性质，如多边形内角和定理、多边形外角和定理等。
可以通过利用相似三角形、构造垂线等方法来进行证明。
以上是八年级几何证明中常见的六个模型。
通过熟练掌握这些模型，可以帮助我们更好地理解和应用各种几何性质和定理，在几何学的学习中取得更好的成绩。
当然，在实际证明过程中，我们也可以灵活运用不同的模型，根据具体问题来选择合适的证明方法。
八年级几何证明常见模型完整版
八年级几何证明常见模型HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】八年级几何证明常见模型姓名（1）手拉手模型【例题1】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB（5） △EGB ≌△CFB（6） BH 平分∠AHC（7） GF ∥AC【变式练习】1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC【例题2】如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H 问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？【变式练习】1：如图两个等腰直角三角形问 否成相的夹∠2：∠AHC ？【例题3】如图1，AB=AE ，AC=AD ，∠B（1）证明：EC=BD ； （2）证明：EC ⊥BD ；（3）如图2，连接ED ，若N 点为DE 的中于点M ，证明：AM ⊥BC ．【变式练习】1，⊿ABC 中，AG ⊥BC 点，分别以AB 、AC 为直角边，向⊿腰Rt ⊿ACF ，过点E 、F 作射线GA 的Q 。
（1）试探究EP 与FQ 之间的数论； （2）如图2，若连接EF 交G （1）中的结论你能判断EH 与FH 的由。
初中数学几何模型大全及解析
初中数学几何模型大全及解析一中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE．（1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.二角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为 .三手拉手模型【例】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 .四邻边相等的对角互补模型五半角模型六一线三角模型七弦图模型八最短路径模型【两点之间线段最短】1、将军饮马2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】综合练习已知：如图1，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．⑴求证：EG=CG且EG⊥CG；⑵将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．⑶将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？。
八年级几何八大模型知识点
八年级几何八大模型知识点几何学是数学中的分支之一，主要研究空间、图形、位置等相关内容。
而在初中数学中，几何学也是非常重要的一部分。
在八年级的几何学中，重要的知识点就是八大模型，本文将为大家详细介绍这些模型的概念、性质以及相关的应用。
第一、第二模型：等角三角形和等边三角形等角三角形与等边三角形是初中数学中相对简单的几何模型，但是在应用中也是十分重要的。
根据定义，等角三角形是指三角形三个内角相等，而等边三角形则是三边相等的三角形。
对于这两个模型，其基本性质就是：等角三角形三边成比例，等边三角形三角形的三个内角都是60度。
第三、第四模型：全等三角形和相似三角形全等三角形是指三角形的三个内角分别相等，对应的三边也分别相等；而相似三角形则是指三角形的三个内角分别相等，但是对应的三边只是成比例的关系。
这两个模型在初中数学中也是非常重要，其应用包括测量地图距离、解决三角函数问题等等。
第五、第六模型：矩形和正方形矩形和正方形都是四边形的一种，其特点是四个内角都是直角，对边平行，例如：矩形的对边长度相等，而正方形的四个边长度也相等。
这两个模型在应用中也非常多，例如：房屋面积计算、画画制作、建筑设计等等。
第七、第八模型：菱形和平行四边形菱形和平行四边形同是四边形，其特点是每条对角线相互垂直，对角线互相平分，例如：菱形每一组相邻的角相等，而平行四边形也是如此。
这两个模型的应用，例如：手提袋的设计、钻石切割等等。
除了上述八大模型，初中几何学中还涉及到很多其他的模型，例如：圆、直线、角等等。
对于这些模型，我们需要掌握它们的概念、性质，以便于在应用中准确使用。
总之，在初中数学学习中，几何学内容占有很重要的地位，特别是八大模型更是基础之中的基础。
如果能够熟练掌握这些模型的概念、性质，以及相关的应用，将会对今后学习和生活中有所帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级几何证明常见模型
（1）手拉手模型
【例题1】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，
连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB
（6） BH 平分∠AHC
（7） GF ∥AC
【变式练习】1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：
（1） △ABE ≌△DBC
（2） AE=DC
（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） AE 与DC 的交点设为H,BH
平分∠AHC
A
2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
（1）△ABE≌△DBC
（2）AE=DC
（3）AE与DC的夹角为60。
（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 【例题2】如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H
问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？
F
【变式练习】1：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二者相交于H.
问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立？
（2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？
（4）HD 是否平分∠AHE ？
2：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD.
问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立？
（2）AE 是否与CD 相等？
（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？
A
（4）HB 是否平分∠AHC ？
【例题3】如图1，AB=AE ，AC=AD ，∠BAE=∠CAD=90°． （1）证明：EC=BD ； （2）证明：EC ⊥BD ；
（3）如图2，连接ED ，若N 点为DE 的中点，连接NA 并延长与BC 交于点M ，证明：AM ⊥BC ．
H
A
B
C
E
【变式练习】1，⊿ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，
分别以AB、AC为直角边，向⊿ABC作等腰Rt⊿ABE和等腰Rt
⊿ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q。
（1）
试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；（2）
如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你
能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由。
（3）在（2）
的条件下，若BC=AG=24，请直接写出S⊿AEF=
（2）角平分线模型
【例题1】.如图1，OP是∠AOB的平分线，请你利用图形画
一对以OP为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个
全等三角形的方法，解答下列问题。
①、如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=600，AD、CE
是∠BAC、∠BCA的角平分线，相交于点F，请你判断并写出
EF与DF之间的数量的关系。
②、如图3，在△ABC中，∠ACB不是直角，而（1）中的其
他条件不变，请问，（1）中的结论是否任然成立?若成立，
请证明；若不成立，请说明理由。
A
O
M
N
E
F
图1
A
B
C
D
E
F
图2 A
B
C
D
E
F
图3
【变式练习】1、已知，21∠=∠，43∠=∠.
BAC AP ∠平分求证：.
2、在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠.
.求证：︒=∠+∠180C A
3、已知四边形ABCD 中，
..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：
图4
【例题2】如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P
是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．
D
P
C
B
A
【变式练习】1、在ABC ∆中，AB AC >，AD 是
是AD 上任意一点．
求证：AB AC PB PC ->-．
C
D
B
P
A
2、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100于D ，
求证：AD ＋BD ＝BC
ABC 中，BC ＝AC ，∠C ＝90°，∠A 的平分线交BC 于AC ＋CD ＝AB
A
C
B
D
C
4、如图1，AD∥BC，∠D＝90°，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，那
么AD、BC、AB三条线段有何数量关系？请你猜想并证明
(2) 如图2，将(1)中的∠D＝90°去掉，其余条件均不变，上述结论还成立
吗？请你推理并证明
（3）垂直模型
【例题1】如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(－3，0)、
B(0，3)，AD⊥BC于D交BC于D点，交y轴于点E(0，1)
(1) 求C点的坐标
(2) 如图2，过点C作CF⊥CB，且截取CF＝CB，连接BF，求△BCF的
面积
(3) 如图3，点P为y轴正半轴上一动点，点Q在第三象限内，QP⊥PC，
且QP＝PC，连接QO，过点Q作QR⊥x轴于R，求
OP
QR
OC
的值
【变式练习】1、如图（1），已知△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC
，AE 是过A 的一
条直线，且B 、C 在A 、E 的异侧，BD⊥AE 于D ，CE⊥AE 于E （1）试说明：BD=DE+CE ．
（2）若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD ＜CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请直接写出结果；
（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD ＞CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
2、已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB=AC ，
90=∠BAC ，O 为BC 中点，若M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持AN=CM.
①、 是判断△OMN 的形状，并证明你的结论.
②、 当M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动时，四边形AMON 的面积如何变化？
思路：两种方法：
（4）半角模型
条件：.
18021
0=+=γθβα且
思路：（1）、延长其中一个补角的线段
（延长
CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB
到F ，使FB=DN ，连AF ）
结论：①MN=BM+DN ②AB C CMN 2=∆ ③AM 、AN
分别平分∠
BMN 和∠DNM
（2）、对称（翻折）
思路:分别将△ABM
和△ADN 以AM 和AN 为对称轴
翻折，但一定要证明
M 、P 、N 三点共线.（∠B+∠D =0
180且AB=AD ） 例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ， 求证：①.∠MAN=
45
②.
AB
C CMN 2=∆
③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.。