八年级几何证明常见模型

八年级几何证明常见模型

（1）手拉手模型

【例题1】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，

连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB

（6） BH 平分∠AHC

（7） GF ∥AC

【变式练习】1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：

（1） △ABE ≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） AE 与DC 的交点设为H,BH

平分∠AHC

A

2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）△ABE≌△DBC

（2）AE=DC

（3）AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 【例题2】如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H

问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分∠AHE？

F

【变式练习】1：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二者相交于H.

问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立？

（2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？

（4）HD 是否平分∠AHE ？

2：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD.

问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立？

（2）AE 是否与CD 相等？

（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？

A

（4）HB 是否平分∠AHC ？

【例题3】如图1，AB=AE ，AC=AD ，∠BAE=∠CAD=90°． （1）证明：EC=BD ； （2）证明：EC ⊥BD ；

（3）如图2，连接ED ，若N 点为DE 的中点，连接NA 并延长与BC 交于点M ，证明：AM ⊥BC ．

H

A

B

C

E

【变式练习】1，⊿ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，

分别以AB、AC为直角边，向⊿ABC作等腰Rt⊿ABE和等腰Rt

⊿ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q。（1）

试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；（2）

如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你

能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由。（3）在（2）

的条件下，若BC=AG=24，请直接写出S⊿AEF=

（2）角平分线模型

【例题1】.如图1，OP是∠AOB的平分线，请你利用图形画

一对以OP为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个

全等三角形的方法，解答下列问题。

①、如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=600，AD、CE

是∠BAC、∠BCA的角平分线，相交于点F，请你判断并写出

EF与DF之间的数量的关系。

②、如图3，在△ABC中，∠ACB不是直角，而（1）中的其

他条件不变，请问，（1）中的结论是否任然成立?若成立，

请证明；若不成立，请说明理由。

A

O

M

N

E

F

图1

A

B

C

D

E

F

图2 A

B

C

D

E

F

图3

【变式练习】1、已知，21∠=∠，43∠=∠.

BAC AP ∠平分求证：.

2、在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠.

.求证：︒=∠+∠180C A

3、已知四边形ABCD 中，

..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：

图4

【例题2】如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P

是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．

D

P

C

B

A

【变式练习】1、在ABC ∆中，AB AC >，AD 是

是AD 上任意一点．

求证：AB AC PB PC ->-．

C

D

B

P

A

2、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100于D ，

求证：AD ＋BD ＝BC

ABC 中，BC ＝AC ，∠C ＝90°，∠A 的平分线交BC 于AC ＋CD ＝AB

A

C

B

D

C

4、如图1，AD∥BC，∠D＝90°，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，那

么AD、BC、AB三条线段有何数量关系？请你猜想并证明

(2) 如图2，将(1)中的∠D＝90°去掉，其余条件均不变，上述结论还成立

吗？请你推理并证明

（3）垂直模型

【例题1】如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(－3，0)、

B(0，3)，AD⊥BC于D交BC于D点，交y轴于点E(0，1)

(1) 求C点的坐标

(2) 如图2，过点C作CF⊥CB，且截取CF＝CB，连接BF，求△BCF的

面积

(3) 如图3，点P为y轴正半轴上一动点，点Q在第三象限内，QP⊥PC，

且QP＝PC，连接QO，过点Q作QR⊥x轴于R，求

OP

QR

OC

的值