迭代矩阵谱半径PPT课件
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《数值分析》10
迭代法的收敛性
Convergence of iterative method
迭代矩阵谱半径
Spectral radius
对角占优矩阵
diagonally dominant matrix
.
1
原始方程: A x = b 迭代格式: x(k+1) = B x(k) + f
设方程组的精确解为 x*,则有
(1) lim (k) 0 liB m k 0
k
k
(2) lim (k) 0 ||B | |1
k
lim [x(k) x*]0
k
limx(k) x*
k
迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 收敛 ！！
.
3/315
命题 若||B||<1,则迭代法 x(k+1) =B x(k) +f 收敛
||x(k+1) – x(k) ||= ||(x*– x(k)) – (x* – x(k+1))||
≥||(x*– x(k)) || – ||(x* – x(k+1))|| ≥ ||(x*– x(k))|| –||B|| ||(x* – x(k))|| = ( 1 - || B ||) ||(x* – x(k))||
(BS)2 Ans= 2
(2) A2=[2, -1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, -2]
0 1/ 2 1/ 2
BJ
1
0
1
1/ 2 1/ 2 0
D=diag(diag(A2)) B2=D\(D-A2) max(abs(eig(Bj)))
(BJ)1.1180Ans= 1.1180
.
9/915
0 1/ 2 1/ 2 BS 0 1/ 2 1/ 2
0 0 1/ 2
(BS)1/2
DL=tril(A2) B2=DL\(DL-A2) max(abs(eig(B2)))
Ans= 1/2
两种迭代法之间没有直接联系
对矩阵A1,求A1 x = b 的Jacobi迭代法收敛, 而Gauss-Seidel迭代法发散;
对矩阵A2,求A2 x = b 的Jacobi迭代法发散, 而Gauss-Seidel迭代法收敛.
.
1100/15
误差估计定理
定理4.2 :设x*为方程组 Ax=b 的解 若||B||<1,则对迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 有
(1) ||x(k)x*| | ||B|| ||x(k)x(k1)||
.
5/515
定理4.1 迭代法 x(k+1) = B x(k) + f 收敛
<=> 谱半径ρ(B) < 1
证: 对任何 n 阶矩阵B都存在非奇矩阵P使
B = P –1 J P
其中, J 为B的 Jordan 标准型
J1
J
J2
J
r
nn
.
其中, Ji 为Jordan块
i 1
Ji
1
i ni ni
6/615
其中,λi 是矩阵B的特征值, 由 B = P –1 J P B k = (P –1 J P) (P –1 J P) ···(P –1 J P)= P –1 J k P
迭代法
x(k+1) = B x(k) + f 收敛 <=> limBk 0 k limJk 0 k
lkimik 0
1||B||
(2)
||x(k)x*| | ||B|k | ||x(1)x(0)|| 1||B||
.
1111/15
证 由||B||<1,有
limx(k) x*
k
x(k+1)–x* =(Bx(k)+f ) – (Bx*+f ) =B(x(k) – x* )
|| x(k+1) – x* || ≤ ||B|| || x(k) – x* || 所以
||x(k)x*| | ||B|| ||x(k)x(k1)|| 1||B||
||x(k)x*| | ||B|k | ||x(1)x(0)|| 1||B||
.
1133/15ห้องสมุดไป่ตู้
n
.
1122/15
所以 ||x(k)x*| | 1 ||x(k1)x(k)||
1||B||
x(k+1)–x(k) =(Bx(k)–f ) – (Bx(k-1)–f ) =B(x(k) – x(k-1) )
||x(k+1)–x(k)|| ≤ ||B || || x(k) – x(k-1) ||
误差估计:
x* = B x* + f
x(k+1) – x*= B(x(k) – x*)
记 (k) = x(k) – x* ( k = 0, 1, 2, 3, ······ )
则有
(k+1) = B (k) (k) = B (k-1) ( k = 1, 2, 3, ······ )
.
2/215
(k) = B (k-1)=B2 (k-2)=···=Bk (0)
所以
lim(k) 0
k
.
4/415
矩阵A的谱
设n阶方阵A的n个特征值为: 1,2,,n
则称集合 {1,2,,n}
为A的谱. 记为 ch A
特征值取模最大
矩阵A的谱半径 (A)m 1kna|xk|
注1: 当A是对称矩阵时, ||A||2 = (A)
注2: 对 Rn×n 中的范数|| ·||,有
(A) ≤ || A ||
证: 由(k) = B (k-1),得 || (k)|| ≤ || B|| || (k-1)||
( k = 1, 2, 3, ······ )
|| (k)|| ≤ || B||k || (0)||
|| B|| < 1
li|m |(k)| |li|m B ||k | |(0 )| |0
k
k
(i = 1, 2,···, r)
| i | 1 m 1iar x|i |1
(i = 1, 2,···, r) 谱半径 (B) < 1
.
7/715
例 线性方程组 A x = b, 分别取系数矩阵为
1 2 2
A1 1 1
1
2 2 1
2 1 1
A2 1 1
1
1 1 2
试分析Jacobi 迭代法和 Seidel 迭代法的敛散性
0 2
(1) BJ 1 0
2 2
(BJ)1
A1=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1]
2
1 0
D=diag(diag(A1)); B1=D\(D-A1); max(abs(eig(B1)))
Ans= 1.2604e-005
.
88/15
0 2 2 BS 0 2 3
0 0 2
DL=tril(A1) B1=DL\(DL-A1) max(abs(eig(B1)))
迭代法的收敛性
Convergence of iterative method
迭代矩阵谱半径
Spectral radius
对角占优矩阵
diagonally dominant matrix
.
1
原始方程: A x = b 迭代格式: x(k+1) = B x(k) + f
设方程组的精确解为 x*,则有
(1) lim (k) 0 liB m k 0
k
k
(2) lim (k) 0 ||B | |1
k
lim [x(k) x*]0
k
limx(k) x*
k
迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 收敛 ！！
.
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命题 若||B||<1,则迭代法 x(k+1) =B x(k) +f 收敛
||x(k+1) – x(k) ||= ||(x*– x(k)) – (x* – x(k+1))||
≥||(x*– x(k)) || – ||(x* – x(k+1))|| ≥ ||(x*– x(k))|| –||B|| ||(x* – x(k))|| = ( 1 - || B ||) ||(x* – x(k))||
(BS)2 Ans= 2
(2) A2=[2, -1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, -2]
0 1/ 2 1/ 2
BJ
1
0
1
1/ 2 1/ 2 0
D=diag(diag(A2)) B2=D\(D-A2) max(abs(eig(Bj)))
(BJ)1.1180Ans= 1.1180
.
9/915
0 1/ 2 1/ 2 BS 0 1/ 2 1/ 2
0 0 1/ 2
(BS)1/2
DL=tril(A2) B2=DL\(DL-A2) max(abs(eig(B2)))
Ans= 1/2
两种迭代法之间没有直接联系
对矩阵A1,求A1 x = b 的Jacobi迭代法收敛, 而Gauss-Seidel迭代法发散;
对矩阵A2,求A2 x = b 的Jacobi迭代法发散, 而Gauss-Seidel迭代法收敛.
.
1100/15
误差估计定理
定理4.2 :设x*为方程组 Ax=b 的解 若||B||<1,则对迭代格式 x(k+1) = B x(k) + f 有
(1) ||x(k)x*| | ||B|| ||x(k)x(k1)||
.
5/515
定理4.1 迭代法 x(k+1) = B x(k) + f 收敛
<=> 谱半径ρ(B) < 1
证: 对任何 n 阶矩阵B都存在非奇矩阵P使
B = P –1 J P
其中, J 为B的 Jordan 标准型
J1
J
J2
J
r
nn
.
其中, Ji 为Jordan块
i 1
Ji
1
i ni ni
6/615
其中,λi 是矩阵B的特征值, 由 B = P –1 J P B k = (P –1 J P) (P –1 J P) ···(P –1 J P)= P –1 J k P
迭代法
x(k+1) = B x(k) + f 收敛 <=> limBk 0 k limJk 0 k
lkimik 0
1||B||
(2)
||x(k)x*| | ||B|k | ||x(1)x(0)|| 1||B||
.
1111/15
证 由||B||<1,有
limx(k) x*
k
x(k+1)–x* =(Bx(k)+f ) – (Bx*+f ) =B(x(k) – x* )
|| x(k+1) – x* || ≤ ||B|| || x(k) – x* || 所以
||x(k)x*| | ||B|| ||x(k)x(k1)|| 1||B||
||x(k)x*| | ||B|k | ||x(1)x(0)|| 1||B||
.
1133/15ห้องสมุดไป่ตู้
n
.
1122/15
所以 ||x(k)x*| | 1 ||x(k1)x(k)||
1||B||
x(k+1)–x(k) =(Bx(k)–f ) – (Bx(k-1)–f ) =B(x(k) – x(k-1) )
||x(k+1)–x(k)|| ≤ ||B || || x(k) – x(k-1) ||
误差估计:
x* = B x* + f
x(k+1) – x*= B(x(k) – x*)
记 (k) = x(k) – x* ( k = 0, 1, 2, 3, ······ )
则有
(k+1) = B (k) (k) = B (k-1) ( k = 1, 2, 3, ······ )
.
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(k) = B (k-1)=B2 (k-2)=···=Bk (0)
所以
lim(k) 0
k
.
4/415
矩阵A的谱
设n阶方阵A的n个特征值为: 1,2,,n
则称集合 {1,2,,n}
为A的谱. 记为 ch A
特征值取模最大
矩阵A的谱半径 (A)m 1kna|xk|
注1: 当A是对称矩阵时, ||A||2 = (A)
注2: 对 Rn×n 中的范数|| ·||,有
(A) ≤ || A ||
证: 由(k) = B (k-1),得 || (k)|| ≤ || B|| || (k-1)||
( k = 1, 2, 3, ······ )
|| (k)|| ≤ || B||k || (0)||
|| B|| < 1
li|m |(k)| |li|m B ||k | |(0 )| |0
k
k
(i = 1, 2,···, r)
| i | 1 m 1iar x|i |1
(i = 1, 2,···, r) 谱半径 (B) < 1
.
7/715
例 线性方程组 A x = b, 分别取系数矩阵为
1 2 2
A1 1 1
1
2 2 1
2 1 1
A2 1 1
1
1 1 2
试分析Jacobi 迭代法和 Seidel 迭代法的敛散性
0 2
(1) BJ 1 0
2 2
(BJ)1
A1=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1]
2
1 0
D=diag(diag(A1)); B1=D\(D-A1); max(abs(eig(B1)))
Ans= 1.2604e-005
.
88/15
0 2 2 BS 0 2 3
0 0 2
DL=tril(A1) B1=DL\(DL-A1) max(abs(eig(B1)))