张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向
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张量分析
eijk有27个量，其中 个不为零。其标号中，每相 个量， 个不为零。 个量 其中6个不为零 其标号中， 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。位置变 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 它将改变正负号。 它将改变正负号。如
AB BA [C ij ] = [C ij ]T
r r 则有(板书演示 板书演示) 因为 eiA ⋅ e jA = δ ij ，则有 板书演示
AB BA C ik C kj = δ ij
或
AB BA [C ij ][C ij ] = [ I ]
BA 根据 [C ijAB ] = [C ij ]T ，可见
r r r ei × e j = eijk ek
12:17
16
r r r r r A × B = Ai ei × B j e j = Ai B j eijk ek
eijk = −ejik r r r r A× B = −B × A
易证
r r r ei ⋅ (e j × ek ) = eijk
上式亦可作为e 的定义。 上式亦可作为 ijk的定义。
aij b j = aik bk
ϕ ,i dxi = ϕ ,k dxk
12:17
7
如果标号不是字母，而是数字， 如果标号不是字母，而是数字，则不适用求和约 定，如
σ ii = σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ x + σ y + σ z(求和约定 求和约定) 求和约定
不求和) 其中 σ 11 = σ x , σ 22 = σ y , σ 33 = σ z (不求和 不求和 另外 (σ x + σ y + σ z )(σ x + σ y + σ z ) 应写成 σ iiσ jj ，不 因为后者的标号重复了4次 能写作σ iiσ ii，因为后者的标号重复了 次。 两矢量的点乘积应写成 r r r r A ⋅ B = Ai ei ⋅ B j e j
张量分析TensorAnalysisppt课件
的切线方向。矢量 r 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：
xi
gi
r xi
zj xi
ij
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基 矢量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；
基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds2 ijdxidxj
克罗内克符号的一些常用性质：
ijxi xj
x j xi
j i
ijki kj
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
1
e ijk
e ijk
1
0
当i,j,k是1，2，3的偶置换(123,231,312) 当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321) 当i,j,k的任意二个指标相同
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
D) 置换符号（续）
置换符号主要可用来展开三阶行列式：
a11 a1 2 a3 1 aa12 a22 a32 a11a22a33a12a23a3 1a13a1 2a32
a13 a23 a33 a11a23a32 a12a1 2a33 a13a1 2a32
量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，它们由以下的变换法则相联系；
AˆiyAjxxyij
逆变矢量用上标表示；因此上标也称为逆变指标。
(3) 协变矢量(一阶协变张量)
一个量被称为协变矢量或一阶协变张量，若它在坐标系 xi 中有三个分 量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，其变换法则相为；
张量基础知识
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量 的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换 时分量变换的规律。
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
张量分析课件-3.1 张量函数各向同性张量函数的定义和例
H f T c0G c1T c2T 2 ckT k
或
H
i
j
c0
i j
c1T
i
j
c2T
ilT
l
j
ckT
T i
l1
l1 l2
T
lk 1 j
若一个张量H（标量、矢量、张量）依赖于n 个张量 T1，T2，…，Tn（矢量、张量）而变化，即当T1，T2，…， Tn 给定时， H 可以对应地确定（或者说，在任一坐标系中， H 的分量都是T1，T2，…，Tn 的一切分量的函数），则称H 是张量T1，T2，…，Tn 的张量函数。记作
H F T1,T2,,Tn
3.1.2 张量函数举例
例3.1 矢量u 的标量函数 例3.2 矢量v 的标量函数
f u u1 u2
f v 1 v 2
2
例3.3 矢量F,u的标量函数
f F, u F u
例3.4 矢量v 的矢量函数u
u Fv kv k为给定常数
例3.5 矢量v 的矢量函数u
u Fv K v K为给定对称二阶常张量
例3.6 二阶张量T 的标量函数 例3.7 对称二阶张量 的标量函数
f
T
T
1 1
f
i i
例3.8 二阶张量T 的标量函数
f
为其旋转量 ~，即
f X1, X2,, Xn ~ f X~1, X~2,, X~n
对于任意的Q，则称此函数为各向同性函数。
,
J
T 3
张量分解学习PPT课件
.
26
CP分解
张量的低秩近似
◦ 然而在低秩近似方面，高阶张量的性质比矩阵SVD差
Kolda给出了一个例子，一个立方张量的最佳秩-1近似并不 包括在其最佳秩-2近似中，这说明张量的秩-k近似无法渐进 地得到
下面的例子说明，张量的“最佳”秩-k近似甚至不一定存在
X a1ob 1oc2a1ob2oc1a2ob 1oc1
纤维：x i j :
.
6
基本概念及记号
切片（slice）
水平切片：X i : :
侧面切片：X : j :
正面切片：X ::k ( X k )
.
7
基本概念及记号
内积和范数
◦ 设 X,Y¡I1× I2× L× IN
内积：
I1 I2
IN
X,Y
L x y i1i2LiN i1i2LiN
i11i21 iN1
R
X§A,B,C¨arobrocr r1
X
c1 b 1
c2 b2
L
cR b R
a1
a2
aR
三阶张量的CP分解
.
20
CP分解
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
A a 1 a2 LaR
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X (1) A C e B T X (2) B C e A T X (3) C B e A T
◦ 对于高阶张量，有
X ┈ λ ;A (1 ),A (2 ),L ,A (N ) Rra ( r 1 )o a ( r 2 )o L o a ( r N ) r 1
其展开形式为
X ( n ) A ( n ) d i a g ( λ ) A ( N ) e L e A ( n 1 ) e A ( n 1 ) e L e A ( 1 )T
【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数
按§2.5节三中（g）式面积矢量记法有：
dH 0 r u(r ) (r )dV
试证明物体 Ω 对o点的动量矩为：
H0 J ω
Ω
式中 称为物体 Ω 对o点的二阶惯性矩张量（注：J 不是四阶单位张量。但 J表达式中的 I是二阶单位张量）。 u (r ) ω r 证： H (r u) dV r (ω r ) dV (r r )ω (r ω)r ) dV
I u (ii ii ) (u j i j ) u j iiij ui ii u
设存在另一二阶张量 I ，且满足 u I I u 。则： u I u I o ; uo ∵ I I O ; I I （唯一性） ∴ 3．
A : J ( Amn imin ) : (ii i j ii i j ) Amnmi jn ii i j Amn imin A
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
A B （Aij ii i j） （ Bmn imin） （Aij Bmn )ii (i j im )in Aij Bjn ii in
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
A : B ( Aij ii i j ) : ( Bmn imin ) ( Aij Bmn )(ii im )(i j in ) Aij Bij
A P2 A P2
A0 P2 Φ0 P4
Φ0 P4
（3.1-11）
A : Φ0 A
0 0
的 n ; A ; A ; ; 分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四 阶单位张量。 上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质： u u V n 1． u A0 A0 ii ii ij ii i j （3.1-12） 2． I 为单位二阶张量。 ii i j 且记 A ; A 为 I 。即 I ii ii ij。并称
数学张量分析PPT课件
x y z
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
第1页/共92页
矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
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右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
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矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
张量分析课件
P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.
张量分析课件-2.3 二阶张量的不变量
3 J1 T 11 T 2 T 2 3
J2
T 11 T 12 T
2 1
T
2 2
2 T2 T 2 3
T
3 2
T
3 3
3 T3 T 3 1
T 13 T 11
T 11 T 12 T 13 2 2 J3 T 2 T T 1 2 3 3 3 3 T 1 T 2 T 3
张量分析 及连续介质力学
2.3 二阶张量的不变量
2.3.1 张量的标量不变量
对随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，可 以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张 量T 的标量不变量，简称为张量的不变量。
2.3.2
二阶张量的三个主不变量
J1 G : T liT li T ii
若u，v，w为任意线性无关的矢量，则
T u
T u
v w u T v w u v T w J1T u v w
T u v w T v w u T v T w T u v T w J 2
T u
T u v w T v T w J3
若T为正则二阶张量，则有Nanson 公式
T u T v J
T 3
T u v
T 1
2.3.3
二阶张量的矩
J 二阶张量T 的n 阶矩 n ，其中来自J trT T 1
i i
j J2 trT T T i jT i
j k J3 trT T T T i jT T k i
1 ij l m 1 i l i l J 2 lmT iT j T iT l T lT i 2 2
J2
T 11 T 12 T
2 1
T
2 2
2 T2 T 2 3
T
3 2
T
3 3
3 T3 T 3 1
T 13 T 11
T 11 T 12 T 13 2 2 J3 T 2 T T 1 2 3 3 3 3 T 1 T 2 T 3
张量分析 及连续介质力学
2.3 二阶张量的不变量
2.3.1 张量的标量不变量
对随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，可 以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张 量T 的标量不变量，简称为张量的不变量。
2.3.2
二阶张量的三个主不变量
J1 G : T liT li T ii
若u，v，w为任意线性无关的矢量，则
T u
T u
v w u T v w u v T w J1T u v w
T u v w T v w u T v T w T u v T w J 2
T u
T u v w T v T w J3
若T为正则二阶张量，则有Nanson 公式
T u T v J
T 3
T u v
T 1
2.3.3
二阶张量的矩
J 二阶张量T 的n 阶矩 n ，其中来自J trT T 1
i i
j J2 trT T T i jT i
j k J3 trT T T T i jT T k i
1 ij l m 1 i l i l J 2 lmT iT j T iT l T lT i 2 2
张量分析基础
二阶张量的表示
P1 T11 P = T 2 21 P3 T31 T12 T22 T32 T13 Q1 T23 Q 2 T33 Q 3
傀标表示必须成对出现
爱因斯坦求和规则：傀标表示法
Pi =
∑T Q
j =1 ij
3
j
( i = 1, 2 ,3) ( i , j = 1, 2 ,3)
x1* a11 * x 2 = a 21 * x 3 a 31
a12 a 22 a 32
a13 x1 a 23 x 2 a 33 x 3
Neuman原理
物质张量、场张量
— 物质张量是建立晶体在外场作用下的响应与外场之间关系的物理性 能，物质张量受到晶体对称性的制约，如弹性系数 — 场张量：外场张量及晶体对外场响应后所产生的新的物理量，不受 晶体对称性的制约，如应力、电场 — 晶体响应，受外场、物理性能和晶体对称性的共同影响，如应变
—二次曲面方程系数与张量分量 具有相同的变换规律； —二次曲面方程称为张量S的示 性二次曲面； —示性二次曲面可描述具有二阶 对称张量性质的物理特性；
示性二次曲面的主轴
二次曲面的主轴方程
S x + S x + S x =1
2 1 1 2 2 2 2 3 3
x2 a
2
+
y2 b
2
+
z2 c
2
=1
P Q
Neuman原理
— 一个晶体的任何物理性能的对称性必须包括晶体点群的对称性， 即 G物性G点群； — 例1：属于立方晶系的晶体的介电系数可以是各向同性的； — 例2：属于立方晶系的晶体的介电系数不可以只有一个四次对称轴。
晶体对称性对二阶对称张量的制约
张量基础知识分解
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率 张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定 律可表示为
J E
11 12 13 21 22 23 31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分
量来描述，这种物理量就是二阶张量。
2.2 张量的数学定义
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量
的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换
时分量变换的规律。
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐标之间变换的规律。
二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3, 在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个 矢量p,故有
p p1e1 p 2e2 p 3e3 p * 1e * 1 p * 2e * 2 p * 3e * 3
点操作时发生改变，这称为赝标量。
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、
电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描 述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 为： f ( f 1, f 2, f 3) 。
或表示成分量形式
Ji ijEj （i 1, 2 , 3 )
j 1
3
矩阵形式
J 1 11 12 13 J 2 21 22 23 J 3 31 32 33
张量分析各章要点
各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
第3章张量分析(清华大学张量分析你值得拥有)精品PPT课件
(T
)
T
3
J1T T
2
J
T 2
T
J
T 3
G
O
由于
T3
J1TT 2
J
T 2
T
J
T 3
G
，T
n
均可用
T 2 来表达。
也就是说，H f (T ) f (T 2 ,T ,G) k0G k1T k2T 2
ki ki
J1T
,
J
T 2
,
J3T
H-C等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。
二阶张量的二阶张量函数
➢ 经典《解析几何》中，解析地描述一个几何图形 的运动，有两种不同的思想。一种思想：图形不 动，移动坐标。但运动是相对的，于是另一种思 想：坐标不动，图形移动。
➢ 注意：运动学思想之重要！
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
考察一个最简单的图形，一个矢量 u 。研究两种相
对的旋转运动下，矢量的表达，以及矢量的标量
通过正交变换，使 X i X i
从而使 f ( Xi ), (i 1, 2, , n)
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
各向同性张量函数 例子请见《张量分析》的92 ~ 93页。
矢量的标量函数
• Cauchy基本表示定理： 矢量 vi (i 1, 2, , m) 的标量函数 f (vi ) 为各向同性 f 可表示为内积 vi v j (i 1, 2, , m) 的函数。
H f (N ) H k0G k1N k2 N 2
ki
ki
(
J1N
,
J
N 2
,
J
N 3
)
例：应力应变关系
张量ppt
示多重求和。
例如：
33
aij xi xj
aij xi x j
i1 j1
★ 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，
一般应加求和号。如：
3
a 1b1c1 a 2b2c2 a 3b3c3 aibici i 1
24
张量基本概念
★ 一般说不能由等式
aibi aici
bi ci
两边消去ai导得
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d xj d xi d xi d xj d xj
即：如果符号 的两个指标中，有一个和同项中其它
因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成
的另一个指标，而 自动消失。
29
符号ij 与erst
类似地有
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jk kl il
符号ij 与erst
➢ 常用实例
1. 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。 它具有如下重要性质：
✓ 每个基矢量的模为1，即 ei e j 1 (当i＝j时) ✓ 不同基矢量互相正交，即 ei e j 0 (当i≠j时)
上述两个性质可以用ij 表示统一形式：
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi i1
Appendix A.1
张量基本概念
➢求和约定
如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次， 则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。 该重复的指标称为哑指标，简称哑标。
3
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张量分解
内积：
I1 I2
IN
X,Y
L
x y i1i2L iN i1i2L iN
i1 1 i2 1 iN 1
（Frobenius）范数：
X
I1 I2
IN
X , X
L
x2 i1i2L iN
i1 1 i2 1 iN 1
8
秩一张量/可合张量
◦ N阶张量 X ¡ I1×I2×L ×IN 是一个秩一张量，如果它能被写
张量的（超）对角线
10
展开（matricization/unfolding/flattening）
◦ 将N阶张量 X 沿mode-n展开成一个矩阵X(n) X(1)
三阶张量的mode-1展开
11
n-mode（矩阵）乘积
◦ 一个张量X ¡ I1×I2×L ×IN 和一个矩阵 U ¡ J×In 的n-mode
◦ 以一个三阶张量 X 为例，假定成分个数 R 已知，目标为
R
§ ¨ min X Xˆ Xˆ
s.t. Xˆ rar obr ocr λ; A, B,C
r 1
◦ 作为ALS的一个子问题，固定 B 和 C ，求解
min A
X(1) Adiag(λ) C e
BT
F
得 Adiag(λ) X(1) Ce
1
i
B
1 1 2 i
1 i
C
1 i
1 i
25
张量的低秩近似
◦ 相对于矩阵的SVD来说，高阶张量的秩分解唯一性不需要 正交性条件保证，只需满足：
N
kA(n) 2R N 1
n1
这里 kA 表示矩阵 A 的k-秩：任意k列都线性无关的最大
的k
张量及应用
x 1 a 1x 1 1 a 1x 2 2 a 1x 3 3 x 2 a 2x 1 1 a 2x 2 2 a 2x 3 3 x 3 a 3x 1 a 3x 2 2 a 3x 3 3
ei Aijej i 为自由指标，j 为哑标
表示
e 1 A 1e 1 A 1e 2 2 A 1e 3 3 e 2 A 2e 1 A 2e 2 2 A 2e 3 3 e 3A 3e 1 A 3e 2 2 A 3e 3 3
或
Ux Uy Uz 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：
( U tiU j U xji)b i x p ix U jx i j
写出其普通记法
在坐标变换时其值保持不变，即满足
(x 1 ,x 2 ,x 3 )(x 1 ,x 2 ,x 3 )
如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。 时间是否标量？
1.5.3 矢量（Vector）
满足以下变换
关系的三个量 定义一个矢量
{a
i
}
设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为
1.5.3 矢量（Vector）
ai ii ai
ai ii ai
ai ii ikak
哑标换成 k
ikak ii ikak
A31 A32
A13 A23 A33
指标任意排列，经过行列调 整总可用右边表示，两个置 换符号分别反映行、列调换 及指标重复时的正、负及零
令 Ai j i j
即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换， 展开化简，将得其余三式。
二维置换符号 e (,1,2)
张量分析课件-3.4 二阶张量的二阶张量函数
上式存在极限的条件是： （1）当T 的特征根= 时， H 的特征根= 。 1 2 （2）极限 lim 存在，因而k0，k1，k2 也接近于相应 2 1 1 2 极限。 III. T 的特征方程具有三重根 1=2=3 具有三重根的能化为对角型标准形的张量只能是球形张量， 故T 为球形张量，考虑→，2→ 的极限过程，H=f (T )表
于三个特征值的集合，与特征值得排序无关。特征值的集合取
T T T , J2 , J3 决于特征方程的系数 J1 ），因此 k0，k1，k2是主不变
T T T , J2 , J3 量 J1 函数，从而H 是 T 的各向同性函数。
II. T 的特征方程具有二重根 1=2≠3
2 1
lim
T 3G 1 2 f T lim T 2G T 1G
3.4.3 同时化为对角型标准形的函数
设二阶张量T 的二阶张量函数 H=f (T )，当T 在某一组基
矢量中化为对角型标准形时，H 在同一组基矢量中也化为对 角型标准形，并设 H 的特征根 i（i=1，2，3)为T 的特征根 i（i=1，2，3)的函数，而与T 的其他性质无关，即
i i j i 1 , 2 , 3
H f T 1 2 1 1 2 2 3 3 1 3 1 2 T 2 1 3 3 1 2 1 3 2
2 2 G 1 2 2 T 3 2 1 3 2
T
i j
3 2 1 J11 J 21 J 3 T 0 0 O
3 2J J J J J
2 2 1 3
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右特征矢量：
u1 0u2 u3 0
∵
u1
0u2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0u3
0
u1 0u2 u3 0
;∴
是方程组（1）的非零解。
u1 0
u
2
a
u 3 0
（a是任意实数）
uai2
A u ( i 1 i 3 i 2 i 1 i 2 i 2 i 3 i 1 ) ( a i 2 ) a i 2 1 u
（3.4-4）
（3.3-3）和（3.3-4）是关于 u1, u2, u3的齐次线性代数方程 。方程有非零解的充要条件是方程组的系数行列式为零。
或者说A有非零的右特征矢量和左特征矢量的充要条件是：
d e t( A I) 0
( a )
d e t( A * I) 0
( b )
∵
d e t ( A I ) * d e t ( A * I ) d e t ( A I )
ω
1 2
e
:
A
1 2
(eijk
iii
j
ik
)
:
(
Amnimin
)
1 2
eijk
Ajk
ii
1 2
( A23i1
A31i2
A12i3
A32i1
A21i3
A13i2
)
1 2
(2A23i1
在。但特征方程（3.4-6）至少有一个实特征值。因此可以 肯定二阶张量至少有一个右特征矢量和一个左特征矢量。
以下对(实)正交二阶张量、(实)对称二阶张量和(实)反对称 二阶张量的特征值问题进行分析。
一、正交二阶张量特征值问题
由特征方程（3.4-6）可知，实A的三个特征值至少有一个 是实数，另外两个或是实数或是一对共轭复数。对正交二
( A a)[( A b) ( A c)] ( A a) [( A b) c b ( A c)]
2 ( A a) (b c) a [( A b) ( A c)]
2a [( A b) c b ( A c)] 3a (b c)
，使得：
A u u ; F u A u ; F
（3.4-1） （3.4-2）
若（3.4-1）的u存在，则称u是 A的右特征矢量； λ 是 A的
右特征值；若（3.4-2）的u存在，则称u是 A的左特征矢量 ； λ 是 A的左特征值。
设V中标准正交坐标系为 {i1, i2, i3} 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为：
01 1
0
11
1 0
uu12
0 0
1 0 01u3 0
（2）
（1）式和（2）式关于u1, u2, u3的系数行列式的值分别均
为0。因此 u1, u2, u3 有非零解。也就是说与特征值 λ1 = 1对
应的左、右特征矢量都存在。
(d Q )d eQ te I t) ( dQ e I t)(
∴
2deQ t (I)0
因此得出结论： 正交二阶张量 Q，当det Q =1时存在右特征矢量 r。其对应 的特征值λ = 1。且：
Q r r ; ( d e tQ 1 )
若det Q = -1 ，则：
（3.4-7）
AA ijiiij ; uuiii Auu ; (AI)uo
uAu ; u(AI)o
可分别写成：
( A i j i i i j i j i i i j ) ( u m i m ) o ; ( u m i m ) ( A i j i i i j i j i i i j ) o
特征值λ2 = i , λ3 = -i 对应的右和左实特征矢量。与λ1 =
1对应的右和左特征矢量如果存在，则应当满足（3.4-3）
和（3.4-4）式。即：
01 0
1
11
1 0
uu12
0 0
1 0 01u3 0
（1）
和
3.4 二阶张量特征值、特征方向
二阶张量A实现 V到V的线性变换（这种变换通过二阶张量
与矢量的点乘实现）。对给定的二阶张量A , V中是否存在 这样的矢量u使得A点乘u所得到的矢量 A·u方向与 u相同，
而大小发生变化。这类问题称为二阶张量的特征值问题。
设A为给定的二阶张量。那么A的特征值问题归结为u ∈V
A13 A23 0
该式表明反对称二阶张量或有一个零特征值和二个复特征 值；或三个特征值为零。即反对称二阶张量至少有一个零 特征值( λ = 0)，那么：
Arro
即存在一个单位矢量 r 使得：
r A r r ( r ) ( rr ) 0
由于反对称二阶张量 A无非零实特征值。因此 A是退化二 阶张量( det A = 0 ) 。退化二阶张量本质上已不是二阶张量 。对反对称（退化）二阶张量可与一矢量对应。按矢量空
或
A11 A12
A21
A22
A13 A23
uu1200
A31
A32 A33u3 0
（3.4-3）
A11 A21
A12
A22
A31 A32
uu1200
A13
A23 A33u3 0
dQ e*t(Q [ ( 1 )I) ]de Q t( [1 )I ()*] dQ e ( t 1 [ )I ] ( dQ e ( t 1 [ )I ) (]
∴
2deQ t[( (1 )I) ]0
因此得结论：
正交二阶张量Q，当det Q = -1时存在右特征矢量 r 。其对
3a (b c) 2 ( A a) (b c) a [( A b) c] a [b ( A c)]
( A a) [( A b) c] ( A a) [b ( A c)] a [( A b) ( A c)]
I3 (A) 唯一确定。对特征值问题，由特征方程确定了特征
特征值后，将特征值 λ1, λ2, λ3代入特征问题的（3.4-3） 、（3.4-4）式中可确定是否存在特征矢量。
例15： 试求二阶张量 A i1 i3 i2 i1 i2 i2 i3 i1的特征值。并确定A是否
存在右和左特征矢量。如果存在试求出特征矢量。
∵
[( A I ) a][( A I ) b][( A I ) c]
[( A I ) a][( A b b) ( A c c)]
( A a a) [( A b) ( A c) ( A b) c b ( A c) 2b c]
)表达式中的矢量a、b、c的取值只要满足 a(bc)0 ，则
a、b、 c 的取值不改变行列式 det ( A- λ I ) 的值。因此 A
的三个不变量I1(A) , I2(A) , I3(A)与a、b、c的选取无关。 由（3.4-6）可知，对给定的二阶张量A 。特征方程的系数
是不变的，且特征值λ1, λ2, λ3由不变量 I1(A) , I2(A) , I3(
( A a) [( A b) ( A c)]
令 ： I 1 (A ) a ( b 1 c ) (A a )( b c ) a [A ( b ) c ] a [ b (A c )]
I 2 ( A ) a ( b 1 c ) ( A a ) [ ( A b ) c ] ( A a ) [ b ( A c ) ] a [ ( A b ) ( A c ) ]
阶张量这里只讨论存在的实特征值和其对应的特征矢量。
设Q是正交二阶张量；r、 λ是Q的右特征矢量和实特征值。
∵
Q * ( Q I ) Q * Q Q * I ( Q I ) *
若det Q =1，则：
(d Q * e )d tQ e tI( ) ( 1 )dQ e tI( )*
解：
由det (A- λI )得：
0 0 1
1 1 0 0
2(1)(1)0
1 0 0
解之得：
1 1; 2 i ; 3 i
显然λ2, λ3代入（3.4-3）和（3.4-4）式中所确定的u1, u2,
u3是复数。即 u = ui ii是复矢量。因此二阶张量A不存在与
u12a(i12i2 i3)
因此：
u A12a(i1 2i2 i3)(i1i3 i2i1 i2i2 i3i1)
1 2a(i1
2i2
i3)
1u
u12a(i12i2 i3)
是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。
由该例可以看出二阶张量 A 的同一特征值对应的右和左特 征矢量是不相同的。且与复特征值对应的实特征矢量不存
∴ (a)、(b)两式是关于λ的三次相同的代数方程。也就是说
A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得：
dA e I t ) ( [A ( I ) a ] [A ( I ) b ]A [ ( I ) c ] 0 a ( b c )
将该式代入(c)式得：
3 I1 (A )2 I2 (A ) I3 (A ) 0
（3.4-6）
该式称为二阶张量 A 的特征方程。且由特征方程可确定特
征值λ1, λ2, λ3。式中 I1(A) , I2(A) , I3(A)称 A的第一、第 二、第三不变量。由(c)式及行列式的定义可知det(A- λ I