函数的三要素

第一章函数

第一讲函数的概念

【知识归纳】

(1) 映射

映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中

的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B

中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.

一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射

辨析：

①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；

②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；

③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；

④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；

⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都

有原象，即A中元素的象集是B的子集.

映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；

(2) 映射观点下的函数概念

如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).

（3）函数概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y = f (x)，x∈A.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集.

（4）函数的表示方法

1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.

【经典例题】

例1 以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？

（1）集合A = {P | P 是数轴上的点}，集合B = R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）集合A = {P | P 是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y ) | x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3）集合A = {x | x 是三角形}，集合B = {x | x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）集合A = {x | x 是新华中学的班级}，集合B = {x | x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.

练1 已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射？并说明理由： （1）A=N ，B=Z ，对应法则：“取相反数”；

（2）A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”； （3）A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”；

（4）A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.

例2

1. 函数y = f (x )表示（ ）

A ．y 等于f 与x 的乘积

B ．f (x )一定是解析式

C ．y 是x 的函数

D ．对于不同的x ，y 值也不同

2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是 ( )

A B C D

3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）

A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应

B ．函数的定义域和值域一定是无限集合

C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了

D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素

4. 已知f (x ) = x 2

+ 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .

5. 已知f (x ) = x 2

(x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.

x y o x y o x y o x y o

第二讲 函数的定义域

【知识归纳】

1.函数的定义域：

函数的定义域是指使得函数有意义的自变量x 的取值。（注：专指x 的取值范围。） 2.函数定义域的求法：

(1)由函数的解析式确定函数的定义域；

(2)由实际问题确定的函数的定义域；

(3)不给出函数的解析式，而由)(x f 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域。 注：1、具体函数的定义域

（1）若()f x 是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

（2）若()f x 是偶次根式，则函数的定义域是使（被开方数）根号内的式子大于或等于0的实数集合；

（3）若()f x 是对数函数，则函数的真数要大于0； （4）若0

()f x x =，则x 不等于0 。

（5）指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. （6）正切函数的角的终边不能在y 轴上. （7）分段函数：

①分段函数是一个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. （8）复合函数定义域的求法：

①已知)(x f y =的定义域是A ，求()[]x f y ϕ=的定义域的方法为解不等式：A x ∈)(ϕ，求出x 的取值范围.

②已知()[]x f y ϕ=的定义域为A ，求)(x f y =的定义域的方法:A x ∈，求)(x ϕ的取值范围即可.

（9）若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

（10）若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 2、抽象函数的定义域求解：