函数的三要素

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专题1.1 函数概念及三要素(教师版)

第一讲函数的概念及三要素1．函数与映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A 中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数、映射的判断【例1】（1）若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )（2）集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x【举一反三】1．下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是A．M={x|x∈Z},N={y|y∈Z}，对应关系f:x→y,其中y=x2B．M={x|x>0,x∈R},N={y|y∈R}，对应关系f:x→y,其中y=±2x C．M={x|x∈R},N={y|y∈R},对应关系f:x→y,其中y=x2D．M={x|x∈R},N={y|y∈R}，对应关系f:x→y,其中y=2x2．下图中，能表示函数y=f(x)的图象的是( )A．B．C．D．考向二函数定义域求法类型一：已知解析式求定义域的定义域是。

【例2-1】（1）函数y=√3−xlgx(x−1)0的定义域是。

（2）函数y=√12+x−x2【举一反三】1．函数()f x =的定义域为。

2．函数f (x )=√2−x +log 2x 的定义域是。

第8讲函数的三要素

第8讲函数的三要素函数的三要素是指函数的定义、函数的参数和函数的返回值。

这三个要素是函数的基本组成部分，决定了函数的行为和功能。

1.函数的定义：函数是一段封装了特定功能的代码块，用于实现特定的任务。

函数的定义包括函数名、参数列表、返回类型和函数体。

函数名是用来唯一标识函数的名称，可以根据函数的功能来命名函数名，通常使用驼峰命名法。

参数列表是函数用来接收外部传入数据的部分。

参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。

返回类型是函数执行完任务后返回的数据类型。

返回类型可以是任意有效数据类型，可以是基本数据类型、数组、结构体等。

函数体是函数的具体实现逻辑。

函数体中包含了一组语句，用来实现函数的功能。

函数的定义示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例定义了一个函数名为add的函数，该函数有两个参数a和b，返回类型为int。

函数的功能是计算a和b的和，并将结果返回。

2.函数的参数：函数的参数是函数定义中的一部分，用来接收外部传入的数据。

函数的参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。

函数可以通过参数来获取外部传入的数据，并在函数体中使用这些数据进行计算或逻辑操作。

函数的参数可以分为两种类型：值传递和引用传递。

值传递是指将参数的值复制给函数内部的局部变量，函数内部对参数的修改不会影响外部变量的值。

引用传递是指将参数的地址传递给函数内部的指针变量，函数内部可以通过指针修改外部变量的值。

函数的参数示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例中的add函数有两个参数a和b，都是int类型的。

在函数体内，使用a和b进行计算，并将结果返回。

3.函数的返回值：函数的返回值是函数执行完任务后返回的数据。

函数可以根据实际需要选择是否返回值，以及返回的数据类型。

概率密度函数和累积分布函数

03
累积分布函数
累积分布函数
一、定义又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。其表达式为：
a
b S=a ×b
累积分布函数
二、累积分布函数图形
累积分布函数
三、累积分布函数的特点 1.有界性
2.单调性如果x1＜x2，则Fx(x1)＜ Fx(x2) 3.右连续性
概率密度函数
四、解读概率密度函数
当取值数量无限增大时，直方图外形无线趋近于概率分布图，直方图和概率分布图相同点：1.外形相似；2.x轴为随机变量取值范围；3.研究自变量对应的应变量无意义。直方图和概率密度函数不同点： 1.直方图x轴上数据数值可以不全覆盖；2.概率分布图x轴上数据为连续性数据，需全覆盖； 3.直方图图纵坐标为频数，当取值数量增大或分组组距越小时，纵轴覆盖数据范围越大； 4.概率分布图纵坐标分布图为密度，一般最大值不超过1。
概率密度函数
概率密度函数
概率只能小于等于1，而概率密度可以大于1，连续性随机变量在某点的概率为零，概率密度≠概率。单纯的讲概率密度没有实际的意义，它能反映数据分布的一种趋势，必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。区间[a，b]上的概率可由概率密度函数在该区间上求积分得到。
概率密度函数和累积分布函数
CONTENTS
目录
1 函数相关概念 2 概率密度函数
3 累积分布函数
01
函数相关概念
函数相关概念
一、函数三要素 1.自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 2.因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。 3.函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

函数三要素_经典习题

函数三要素一、定义域1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（7）复合函数定义域 1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②xx f -+=42)( ③ 1+=x x y④ xx y 1+=2. 求下列函数的定义域（1）8|3x |15x 2xy 2-+--=（1）2|1|)43(432-+--=x x xy （2）)103(log 22327---=x x y（－≦，－3）∪（－3，－1）∪[4，+≦] [－3，－2]∪（5，6）3. 求下列函数的定义域：（1）y=x x x -+||)1(0; (2)y=232531xx -+-; (3)y=1·1-+x x .{x|x ＜0且x ≠-1}. {x|-5≤x ≤5且x ≠〒3} ［1，+≦）.复合函数定义域：已知函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式得结果。

已知函数[()]f g x 的定义域为（a,b ），则f （x ）的定义域a ≤x≤b ，推导出…≤g （x ）≤…，即得f （x ）的定义域。

1.函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：（1）y=f(3x); (2)y=f(x 1); (3)y=f()31()31-++x f x （1）2()23f x + （2）2y =（3）|1|1y x =--2.函数(2)xf 的定义域为[1,2],求2(log )f x 的定义域 3已知()f x 的定义域为［－2，2］，求2(1)f x -的定义域。

高一数学：函数的三要素

函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数的定义域：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围函数y=f(x)的定义域的求法：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2的定义域为{r ︱r>0} ⑥)(x f =x 0的定义域是{x ∈R ︱x ≠0}注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。

【例1】求下列函数的定义域： ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.【练1】求下列函数的定义域：（1）()422--=x x x f （2）()2f x x =+ （3） y = （4）xx x y -+=||)1(0【2012高考四川文13】函数()f x =的定义域是____________。

（用区间表示）【2012高考广东文11】函数y x=的定义域为 .表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。

【例1】若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围【练1】已知函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的范围复合函数1.复合函数定义定义：设函数)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内函数)(x g u=复合而成的复合函数。

函数三要素分别是

函数三要素分别是
函数三要素分别是：定义域A、值域C和对应法则f。

一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x 是自变量，y是x的函数。

x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。

函数的概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

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函数的定义与三要素

一、函数定义及其定义域研究函数必须树立定义域优先考虑．．．．．．．的原则！(很重要，但又很容易忽视)1．函数的定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A．①函数f(x)的图象与动直线x=m至多只有一个公共点！这是判断一个图象是不是函数图象的方法．②点(a，b)在函数y=f(x)的图象上⇔f(a)=b．③函数表示法——解析法、列表法、图象法．④两个函数为同一函数的充要条件是定义域与对应关系相同【即在定义域相同的条件下解析式可化为相同】．⑤设函数y=f(x)的定义域为集合P，若f(x)在集合Q上有意义，则Q⊆P．⑥区间表示法：设a<b，则{x|a≤x≤b}=[a，b]，{x|a<x<b}=(a，b)，R=(−∞，+∞)，…．2．映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．【函数与映射都是：一对一，或多对一．】3．若A中含有m个元素，B中含有n个元素，从A到B能建立多少个映射？4．给出函数的解析式，求函数的定义域所遵循的原则是：①f(x)g(x)中要求g(x)≠0；②√f(x)2n中要求f(x)≥0；③[f(x)]0中要求f(x)≠0；④y=a x（a>0，且a≠1），x∈R；⑤y=log a x（a>0，且a≠1），x>0；⑥y=tanx，x∈R，x≠kπ+π2，k∈Z；⑦通过加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数，则新函数的定义域是每个函数定义域的交集．⑧应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义．⑨求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错．5．不给出f(x)的解析式，函数f(x)，f(g(x))，f(ℎ(x))三者之间定义域的关系：【定义域都是指x的取值范围．】①已知f(x)的定义域是(a，b)，求f(g(x))的定义域：解不等式a<g(x)<b，其解集就是f(g(x))的定义域．②已知f(g(x))的定义域是(a，b)，求f(x)的定义域：利用a<x<b求g(x)的值域，该值域就是f(x)的定义域．③已知f(g(x))的定义域是(a，b)，求f(ℎ(x))的定义域：利用x∈(a，b)先求出g(x)的值域(c，d)，然后解不等式c<ℎ(x)<d，此不等式的解集就是f(ℎ(x))的定义域．【总之，求抽象函数的定义域，关键是抓住被同一个 f 作用的对象取值范围相同．】6．①|a|={a， a≥0，−a， a<0．②|a−b|=|b−a|（数轴上a，b两点间的距离）；③|−a|=|a|，④(a−b)2=(b−a)2．C n1∙C n1∙⋯∙C n1⏟m个=n m(个)．1．定义域必须用集合或区间的形式表示！2．集合{x|y=f(x)}的含义：即函数y=f(x)的定义域．3．要养成这样一个习惯：一研究函数问题，就指出该函数的定义域！二、函数解析式的求法【函数变量是个筐，代数式都可以装（变量替换）．例：对于f (x )=ax 2+bx +c ，f()=a 2+b +c ．】 1．函数解析式的求法：【函数与方程的思想；恒等式的变量替换，如：3x +4=(x +3)+(2x +1)．】（1）代入法【直接法，适用于①由f(x)求复合函数f[g (x )]，②由f(x +a)、f(x −a)、f(ax)、f(xa )等求f(x)；注意：由分段函数f(x)求复合函数f[g (x )]时，首先需要根据f(x)中对x 的分段，替换为对g(x)的分段．】（2）凑配法【整体替换法，适用于f (√x +1)、f (1+1x )、f(x +1x )、f(x −1x )等类型．】（3）换元法【如f (3x +1)=2x 2−3x +1．换元法与凑配法可以交替使用，如f (√x +1)，f (1+1x )等类型．】（4）待定系数法【告知函数类型，就要设出该函数表达式，如f(x)是一次函数，则可设f (x )=kx +b ；然后，①利用条件得恒等式，由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可．】（5）解方程组法【给出的方程同时含：①f(x)与f(−x)，或f(x)与f(a −x)；【前者x →−x ，后者x →a −x 】②一奇一偶函数f(x)与g(x)；【x →−x 】③f(x)与f(1x )，或f(x)与f(a x )；【前者x →1x ，后者x →ax 】方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！】（6）图象变换法【根据变换过程写解析式，或根据对称关系、相关关系等用代入法求曲线（或轨迹）方程．】（7）赋值法【给出可以求出解析式的恒等式时使用．】2．二次函数的解析式的三种形式(a ≠0)：①一般式：y =ax 2+bx +c ；对称轴是x =−b2a ；顶点(−b2a ，4ac−b 24a )．②顶点式：y =a(x −ℎ)2+k ；对称轴是x =ℎ；顶点(ℎ，k)．③两根式：y =a (x −x 1)(x −x 2)；对称轴是x =x 1+x 22；顶点(x 1+x 22，−a (x 1−x 22)2)．【提醒1】用待定系数法求二次函数的解析式按照③、②、①的顺序考虑去设解析式较好．【提醒2】f (x )=ax 2+bx +c =a (x −x 1)(x −x 2)：一般式与两根式的相互转化使用，常有利于解决问题．【已知一个零根x 1时，另一零根x 2可由韦达定理求出．】【提醒3】与二次函数有关的问题【值域，最值，单调性等】，要学会直接运用对称轴和图象解决！3．应用题中求函数解析式：关键是寻找等量关系，即同一个量用不同方式表达，由此就得到方程（或等式），从而就可得到函数解析式．注意：①没有给出字母变量的，一定要先设出来．②要根据实际意义，准确求出函数定义域．③不能用一个式子表示的，则需要用分段函数表示．（几何背景的应用题常需要用分段函数表示！）4．缴纳个人所得税也可以画线段示意图分段处理（分段纳税）．(还可建立分段函数模型)常见函数的平方表示：[f(x)]2=f 2(x)，(log a x )2=log a 2x ，(sinx )2=sin 2x ，(cosx )2=cos 2x ，(tanx )2=tan 2x ．基数免税 3% 10% 20% 3500元 1500元 3000元 4500元 26000元 25% 20000元 25000元 30% 35% 45%补充1．设f (x )，g(x)均为定义域相同的两段式的分段函数，①若分段标准一致，则y =f (x )±g(x)，y =f (x )∙g(x)，y =f(x)g(x)(g (x )≠0)等函数仍为两段式的分段函数． ②若分段标准不一致，则y =f (x )±g(x)，y =f (x )∙g(x)，y =f(x)g(x)(g (x )≠0)等函数均为三段式的分段函数． 2．给出分段函数f (x )={f 1(x )，x ≤a ，f 2(x )，x >a ．如何解不等式（或方程）：f(g (x ))≥f(ℎ(x))．方法一：就g (x )，ℎ(x)与a 的大小关系分四种情形，将两边代出后求解；方法二：令g (x )=a ，ℎ(x )=a ，解出x 的值，得到（能分段代出两边的）标准后，分段求解．3．若f (x )=a n x n +a n−1x n−1+⋯+a 2x 2+a 1x +a 0，且f (t )=0，则f(x)必含有因式(x −t)；必要时可以用竖式除法或待定系数法将f(x)因式分解；若x =x 0为f(x)的极值点，则x =x 0必为方程f (x )=f(x 0)的重根．4．y =ax 2+bx +c =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a 在a 确定的情况下，抛物线的形状（即开口大小）也就随之确定！5．三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的解析式：【其图象(a >0)的各种情形你知道吗？】①若已知f (x )=0的三个根为x 1，x 2，x 3，则可设f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(x −x 3)．②若已知f (x )=0的两个根为x 1，x 2，则可设f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(x −m)．③若已知f (x )=0的一个根为x 1，则可设f (x )=a (x −x 1)(x 2+mx +n)．6．三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有极值的充要条件是：f′(x )=3ax 2+2bx +c =0有两个不等实根．【由f′(x )=3ax 2+2bx +c =3a (x −x 1)(x −x 2)的图象可知．】三、值域，最值1．观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值．2．配方法（对称轴法）：对于型如f (x )=ax 2+bx +c ，x ∈[m ，n]的形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴x =−b2a 完成．可以结合图象完成求值域或最值．【配方其实也是为了找出对称轴！】3．换元法：代数换元法，三角换元法．运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略．使用换元法时，一般来说，需求两次值域，一次在换元时求新元的取值范围，一次在换元后求新函数值域． ①y =ax +b +k √cx +d ，令t =√cx +d ．（注意：该函数有时可直接快速判定单调性！）②y =a f (x )，令u =f(x)，则y =a u ； ③y =log a f(x)，令u =f(x)，则y =log a u ；④y =f(a x )，令t =a x ，则y =f(t)； ⑤y =f(log a x)，令t =log a x ，则y =f(t)；⑥令a x +a −x =t ，则a 2x +a −2x =t 2−2(t ≥2)； ⑦令√1−x +√1+x =t ，则√1−x 2=t 2−22．无参函数先定性，定性之后再前行！定性：是指先确定函数定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图象等性质；然后再结合性质去解题.a a 1 a 2 函数符号的使用：p =kV ⇒p (V )=kV ，y =ax 2+bx +c ⇒y (x )=ax 2+bx +c ，但对于后者习惯用f(x)．在使用函数符号时，“y =⋯”，根据需要可改用“f (x )=⋯”．【y 即f(x)，f(x)即y ，因为y =f(x)．】如：判断函数单调性和奇偶性及周期性等，就应该使用函数符号f(x)．⑧y=ax+b±k√c2−x2，令x=csinα，α∈[−π2，π2]（或令x=ccosα，α∈[0，π]）．⑨x∈R时，令x=tanα，α∈(−π2，π2)；⑩令sinx+cosx=t，则sinxcosx=t2−12．4．图象法（数形结合法）：(直观实用！)■①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成．②求f(x)=max{f1(x)，f2(x)，⋯，f n(x)}或f(x)=min{f1(x)，f2(x)，⋯，f n(x)}的值域，可先分别作出其中所含函数：f1(x)，f2(x)，⋯，f n(x)的图象，再利用它们的交点分段确定f(x)的图象，从而确定值域或最值．③根据函数表达式的几何意义【分式→斜率？平方和（的算术根）→距离？等】，作出图象，求出值域或最值．5．单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值． (优先考虑！)■6．有界性法：含x2，|x|，√x，x(x∈(m，n))，a x，sinx，cosx的函数，若可用y表示它们，则常利用其有界性来求值域或最值．7．基本（均值）不等式法：利用a+b2≥√ab或a+b+c3≥√abc3(一正二定三相等)等公式来求值域或最值，一定要看等号能否成立，否则用数形结合法、单调性法完成，如y=x+kx(k>0)．【还要注意柯西不等式的应用．】8．判别式法：用于y=f(x)=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2．（a12+a22≠0，分子、分母无公因式，且x无人为限制．）先化成(a2y−a1)x2+(b2y−b1)x+(c2y−c1)=0，再运用∆≥0求值域（但要注意讨论二次项系数为0的情况）．附：若含参数的函数f(x)=a1x 2+b1x+c1a2x2+b2x+c2的值域为[a，b]，求所含参数的值．方法①：利用判别式法；方法②：利用a≤a1x 2+b1x+c1a2x2+b2x+c2≤b恒成立且等号也可成立．9．导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值．(万能方法！)■⒑分类讨论法：对于含参数的函数求值域或最值，最常用的方法是数形结合、分类讨论．通常先作出函数的一般图象（形状），再由函数图象左右移动悟出讨论标准！二次函数f(x)=ax2+bx+c，x∈[m，n]的最值问题（对称轴含参数问题、区间含参数问题）是最典型的．注意是否需要讨论开口方向，①对称轴x=−b2a与x轴上区间[m，n]的两端点m，n的三种位置关系；②对称轴x=−b2a 与x轴上区间[m，n]的中点m+n2的两种位置关系；同理：对于函数f(x)=k|x−a|+b，x∈[m，n]的最值问题（对称轴含参数问题），可参照上述思路解决．补充1．求函数值域问题，从方程角度讲，就是关于x的方程．．在定义域内有解．．，从而求参数y的取值范围问题！求函数值域问题，从图象角度讲，就是函数图象上每一点的纵坐标．．．组成的集合！2．求函数值域与求最值方法是相同（通）的，既可求出值域而确定最值，也可求出最值而确定值域．3．可学会使用的符号：①f(x)max=f(p)，f(x)min=f(q)；②f(x)max=max{f(p)，f(q)}=⋯，f(x)min=min{f(p)，f(q)}=⋯．【含参数时可根据f(p)−f(q)的符号分类确定。

函数知识点(详细)

第二章函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值X 围。

（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。

（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数例:求函数xy 111+=的定义域。

③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1．求函数()2143432-+--=x x xy 的定义域。

例2．求函数()02112++-=x x y 的定义域。

④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）确定值域的原则：先求定义域（3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的X 围出发，推出()y f x =的取值X 围。

1.2函数三要素

1.2 函数的三要素1.2.1 函数的定义域1．对函数定义域的理解：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，是研究函数的重要内容.在给定函数的同时应该给定函数的定义域.如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的x 的取值范围或使实际问题有意义的x 的取值范围.2．确定函数定义域的方法：（1）如果()x f 是整式，那么函数的定义域是实数集R ;（2）如果()x f 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;（3）如果()x f 是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合; （4）如果()x f 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各集合的交集;（5）实际问题中，定义域要满足实际问题有意义. 例1求下列函数的定义域：（1）373122+++-=x x y ；（2）02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=.解：（1）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠+≥+-.073,022x x 解得R ∈x ，且37-≠x . 所以，函数的定义域为.37,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠∈x x x 且R（2）要使函数有意义，必须⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠->-≥-.023,112,012,022x x x x x 解得221≤<x 且23,1≠≠x x .所以，函数的定义域为]2,23()23,1()1,21( .例2 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图1.2-1），若矩形底边长为x 2，求此框架围成的面积y 与x 的函数式，并求它的定义域.解：设x AB 2=，则CD 弧长为x π，于是22xx l AD π--=. ∴221222x x x l x y ππ+--⋅=lx x ++-=224π.由题意知⎪⎩⎪⎨⎧>-->,022,02x x l x π π+<<∴20l x . 所以，所求函数式为lx x y ++-=224π,其定义域为（π+2,0l）. 例3 已知函数54322++-=kx kx x y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围.分析：本题已知函数的定义域为R ，说明函数恒有意义，也就是分母恒不为0. 解：由题意知0542≠++kx kx 的解集为R .当0=k 时，函数53254322-=++-=x kx kx x y 的定义域为R . 当0≠k 时，由()02042<-=∆k k ，解得450<<k .所以，所求k 的取值范围是.45,0⎪⎭⎫⎢⎣⎡说明：给定定义域求参数的取值范围，要注意对二次项系数k 的讨论. 3．复合函数的定义域：（1）已知()f x 的定义域，求[()]f g x 的定义域：若()f x 的定义域为[],a b ，则函数[]()f g x 的定义域是使()a g x b ≤≤有意义的x 的集合，也就是不等式()b x g a ≤≤的解集.（2）已知[()]f g x 的定义域，求()f x 的定义域：若[()]f g x 的定义域为[],a b ，则函数()x g 在[]b a x ,∈上的取范围就是()f x 的定义域.例4 （1）已知函数()x f 的定义域为[]4,0，求函数()2xf 的定义域；（2）已知函数()12+x f 的定义域为[]3,1-，求函数()x f 的定义域；（3）已知函数()22-x f 的定义域为[)+∞,1，求函数)2(x f 的定义域.解：（1） ()x f 的定义域为[]4,0，C图1.2-1402≤≤∴x .解得22≤≤-x .所以，函数)(2x f 的定义域为[]2,2-.（2） ()12+x f 的定义域为[]3,1-，31≤≤-∴x ，7121≤+≤-∴x .所以，函数)(x f 的定义域为[]7,1-. （3）函数()22-x f 的定义域为[)+∞,1，12≥∴x ，122-≥-∴x ，即函数()x f 的定义域为),1[+∞-.12-≥∴x，即2-≥x . 所以，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛2x f 的定义域[)+∞-,2.方法提炼：由()x f y =的定义域，求复合函数()()x g f y =的定义域，实质上是已知中间变量()x g u =的值域，求自变量x 的取值范围.练习1： 1.函数()x x x y +-=1的定义域为(C)A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1} 2.若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数()()12-=x x f x g 的定义域是(B) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4] D ．(0,1) 3.函数x xy lg 21+-=的定义域为__________.答案：[)2,11.2.2 函数的解析式求函数解析式的常用方法有：（1）由实际问题建立函数关系式；（2）对函数特征已明确的函数，一般可用待定系数法；（3）对“已知()()x h x g f =][，求()x f 的解析式”的问题，一般用换元法；（4）若给出函数方程，一般可用构造方程组解出函数法；（5）复合函数，一般可用代入法.例5 （1）已知()x f 是一次函数，且有()[]89+=x x f f ，求()x f ；（2）已知()x f 是二次函数，且()()()11,00++=+=x x f x f f ，求()x f . 解：（1）设()b ax x f +=.由题意，有()[]()()b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2.由已知，得892+=++x b ab x a .⎩⎨⎧=+=∴.8,92b ab a 解得⎩⎨⎧==,2,3b a 或⎩⎨⎧-=-=.4,3b a()23+=∴x x f 或()23--=x x f .（2）设()()02≠++=a c bx ax x f .由()00=f ，得0=c .∴()()02≠+=a bx ax x f .又由()()11++=+x x f x f ，得()()1122+++=+++x bx ax x b x a ，即()()11222+++=++++x b ax b a x b a ax .⎩⎨⎧=++=+∴.1,12b a b b a 解得.21==b a ().21212x x x f +=∴ 方法提炼：本题给出的函数是模型函数（如一次函数、二次函数等），求函数的解析式一般用待定系数法.例6 已知()x x x f21+=+，求()x f .解：方法一 (换元法) 令1+=x t ()1≥t ，则()21-=t x .()()()112122-=-+-=∴t t t t f .()()112≥-=∴x x x f .方法二（配凑法）由题意，有()x x x f21+=+()112-+=x .所以()12-=x x f . 又11≥+x ，()()112≥-=∴x x x f .方法提炼：形如()()()x h x g f =求()x f 一般使用换元法时，换元时一定要注意所换元的取值范围. 例7 （1）已知()()232+=-+x x f x f ，求()x f 的解析式；（2）已知()x xf x f 3)1(2=+，求()x f 的解析式. 解：（1）（取反消元法）()()232+=-+x x f x f ， ① ∴()()232+-=+-x x f x f . ②由①,②，解之得().323+=x x f （2）（取倒消元法）()x xf x f 3)1(2=+， ①∴xx f x f 3)(2)1(=+. ②由①,②，消去)1(x f ，得().22xx x f -=方法提炼：“()()232+=-+x x f x f ”和“()x xf x f 3)1(2=+”是以函数为未知元的等式，叫做函数方程.一般可考虑构造方程组解出函数解析式.例8 设()x f 是R 上的函数，且满足()10=f ，并且对任意实数y x ,有()()()12+--=-y x y x f y x f ，求()x f 的解析式.解：取y x =,则()()()120+--=x x x x f f . 而()10=f ,∴().12++=x x x f方法提炼：本题给出的是抽象函数,求函数的解析式一般用赋值法.练习2：1.已知2211)11(xx x x f +-=+-，则f (x )的解析式为(C) A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x 2 2.已知幂函数)(x f 的图象过点)3,3(，则)(x f 的解析式为．答案：21x y =3.已知二次函数()x f y =的最小值为4，且()()620==f f ，求()x f 的解析式. 答案：().6422+-=x x x f1.2.3 函数的值域与最值1．函数值域的理解：函数的值域是全体函数值所组成的集合.是函数的三要素之一，它由定义域和对应法则确定.2．确定函数值域的方法：（1）当函数()x f y =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数()x f y =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所对应的实数y 的集合；（3）当函数()x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及对应法则唯一确定；（4）当函数()x f y =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定. 3．常见函数的值域：（1）一次函数()0≠+=k b kx y 的值域为R .（2）二次函数()02≠++=a c bx ax y ：当0>a 时，值域为),44[2+∞-ab ac 当0<a 时，值域为]44,(2ab ac --∞.（3）反比例函数()0≠=k xky 的值域为{}0,≠∈y y y R . 4．函数的最值：最大值：一般地，设函数()x f y =)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有()M x f ≤；②存在I x ∈0，使得()M x f =0.那么，称M 是函数()x f y =的最大值.最小值：一般地，设函数()x f y =)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有()M x f ≥；②存在I x ∈0，使得()M x f =0.那么，称M 是函数()x f y =的最小值.注意：（1）函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在I x ∈0，使得()M x f =0；（2）函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的I x ∈，都有()M x f ≤（或()M x f ≤）.例9 求下列函数的值域:(1)xy 1=； (2)x y -=3. 解：（1）∵0x ≠，∴01≠x.所以，函数的值域是()()+∞∞-,00, . （2）∵0x ≥，3x 3,0x ≤-≤-∴. 所以，函数的值域是(]3,∞-.方法提炼：对于一些比较简单的函数，其值域可通过直接观察法得到.如利用01≠x，0≥x 等. 例10 （1）求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域；（2）求函数2211xx x y +++=的值域. 解：（1）将函数配方，得()412+-=x y ..∵[]2,1-∈x ，由二次函数的性质可知：当x=1时，4min =y ，当1x -=时，8max =y . 所以，函数的值域是[4，8].（2）原函数可化为()()0112=-+-x y x y .当1≠y 时，R ∈x .由()()()011412≥----=∆y y ，解得2321≤≤y . 当1=y 时，解得0=x ，此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211. 所以，函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.方法提炼：（1）配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；（2）“二次型分式函数”可以转化为一元二次方程后用判别式法求值域.例11 求下列函数的值域：（1）1-+=x x y ；（2）82++-=x x y 的值域.解：（1）方法一：令t x =-1()0≥t ,则12+=t x .∴4321122+⎪⎭⎫⎝⎛+=++=t t t y .又0t ≥，由二次函数的性质可知当0=t 时，1min =y ,当+∞→t 时，+∞→y . 所以，函数的值域为[)+∞,1.方法二：易知函数在定义域),1[+∞上单调递增.()11min ==∴f y .所以函数的值域为[)+∞,1.（2）方法一：82++-=x x y 可以看成数轴上的点()x P 到定点()2A ，()8-B 间的距离之和，如图1.2-2所示.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，1082==++-=AB x x y . 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，1082=>++-=AB x x y . 所以，函数的值域为[)+∞,10. 方法二：原函数可化为()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤--=.262),28(10,862x x x x x y当8-≤x 时，1062≥--x ，即10≥y ；当28<<-x 时，10=y ；当2≥x 时，1062≥+x ，即10≥y .图1.2-3 A B P图1.2-2图1.2-4所以，函数的值域为[)+∞,10.方法提炼：第（1）题方法一采用的换元法把一个函数变为简单函数后再求值域，对应二次函数的图象如图1.2-2所示；第（2）题函数解析式具有明显的几何意义，方法一采用的是数形结合法求值域；方法二采用的转化成分段函数后求值域，其对应分段函数的图象如图1.2-4所示.例12 已知函数()()R ∈++-=x a ax x x f 6242.（1）求函数的值域为),0[+∞时a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数()32+-=a a a f 的值域. 解：(1）∵函数的值域为),0[+∞,∴()0624162=+-=∆a a ，即0322=--a a 0.∴1-=a 或23=a . （2）对一切x ∈R ，函数值均非负, ∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0，即-1≤a≤23,∴a+3＞0. ∴()]23,1[,417)23()3(22-∈++=+-=a a a a a f . ∵二次函数()a f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴()419)23(min -==f a f ，()4)1(max =-=f a f . ∴()a f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419. 函数的最值与值域的关系：(1)函数的最大值和最小值统称为函数的最值；(2)函数y=f(x)的最值是函数图象最高点与最低点的纵坐标；(3)一个函数一定存在值域,但不一定存在最值(当值域是开区间时),最值是值域为闭区间时的端点值.练习3：1.函数xa x f =)(（0>a ，且1≠a ）在]2,1[上的最大值比最小值大2a，则a 的值为．答案：2321或2.设函数21)(2++=x x x f 的定义域是]1,[+n n （n 是正整数），那么在)(x f 的值域中共有个整数．答案：22+n3.求函数y ＝3xx 2＋4的值域．答案：⎣⎡⎦⎤－34，34.习题1.2一、选择题1．（2008，全国）函数x x y +-=1的定义域为（D ）A ．{}1≤x xB ．{}0≥x xC ．{}01≤≥x x x 或D ．{}10≤≤x x 2．函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为（ A ）A ．{}3,0,1-B ．{}3,2,1,0C ．{}31≤≤-y yD ．{}30≤≤y y3．已知函数()12-x f 的定义域为]3,3[-，则()x f 的定义域为（ C ）A ．[]2,2-B ．[]2,0C ．[]2,1-D ．]3,3[- 4．（2010，山东）函数()()2log 31x f x =+的值域为（ A ） A.()0,+∞ B.)0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D.)1,+∞⎡⎣5．函数()log (1)[0,1]xa f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为( B )A .41 B. 21C. 2D. 4 6．函数()[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+=1,0,423,0,1,622x x x x x f 的最大值为（ B ）A ．11B ．6C ．4D ．2117．用{}b a ,m in 表示b a ,两个数中的最小值，设(){}x x x f ,2m in 2-=,则()x f 的最大值为( C )A ．-2 B.-1 C.1 D.28．函数()x f 的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)．函数()()x f x x g ⋅=，那么函数g (x )的值域为(B)A ．[0,2]B ．[0，94]C ．[0，32] D ．[0,4]二、填空题9.已知二次函数()x f 的图象经过A(-1,3),B(0,1),C(2,3)三点,则()x f 的解析式为 .答案：()x f =x 2-x+110.已知()x f 是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1对x R 恒成立，则()x f =__________. 答案：1()33f x x =+. 11.函数962++-=x x y 在区间[]()3,<<b a b a 上有最大值9，最小值7-，则=a _______，（第8题）=b __________.答案：2-；012.（2011上海文14）设()x g 是定义在R 上，以1为周期的函数.若函数()()x g x x f +=在区间[]1,0上的值域为[]5,2-，则()x f 在区间[]3,0上的值域为________.答案：[]7,2-三、解答题13．求下述函数的定义域：（1）()()021122lg -+-+-=x x x x y ； (2)()()024534lg -++=x x x y . 解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-,01,012,022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<.1,43,2x x x所以-3＜x ＜2且x≠1. 所以，函数的定义域为（-3，1）∪(1,2). （2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->.54,21,43x x x 所以，函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 14.已知函数()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83,试求函数()()x f x f y 21-+=的值域. 解:令()x f u 21-=,则0≥u ,()()2121u x f -=. ()11212+--=∴u y . ()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83, ()94121832≤-≤∴u , 解得2131≤≤u . ()11212+--=u y 当2131≤≤u 时是关于u 的增函数,又31=u 时,97=y ; 21=u 时,87=y . ∴()()x f x f y 21-+=的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97. 15.（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x +=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足()()x x f x f 32=-+，求()f x . 解：（1）∵3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+， ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）.（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，2()lg (1)1f x x x =>-. （3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+， ∴2a =，7b =.∴()27f x x =+.（4）()()x x f x f 32=-+ ①把①中的x 换成x -,得()()x x f x f 32-=+- ②①2⨯-②，得()x x f 93=,()x x f 3=∴.16.求下列函数的值域：（1）y =；（2）312x y x +=-；（3）y x =+ （4）|1||4|y x x =-++；（5）22221x x y x x -+=++；解：（1）设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =.又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2].（2）313(2)773222x x y x x x +-+===+---. ∵702x ≠-，∴7332x +≠-. ∴函数312x y x +=-的值域为{}3≠∈y y R . （3）设0t =≥，则21x t =-.∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤. ∴原函数值域为(,5]-∞. （4）23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩， ∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞.（5）∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R . 由22221x x y x x -+=++,得2(2)(1)20y x y x y -+++-=. （*） ①当20y -=，即2y =时，（*）即为300x +=.∴∈=0x R .②当20y -≠，即2y ≠时，∵R ∈x 时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴△22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥.∴15y ≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[1,5].。

1、函数的定义、表示及三要素(最新 )

1. 函数的定义设A 、B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使得对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 与之对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：()x f y =，A x ∈.其中x 叫自变量，它的取值范围叫做函数的定义域；如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()a f y =或a x y =，所有函数值构成的集合{}|(),y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．☆ 函数的三要素：定义域、对应关系和值域;其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系一确定，则值域也就确定了.2. 映射设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()x f ，于是y =()x f ，x 称作y 的原象．映射f 也可以记为B A f →:，→x ()x f ，其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广），由所有象()x f 构成的集合叫做映射f 的值域，通常记作()A f ．3．一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射．4．函数与映射：对定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内变化．于是函数也就是数集到数集的映射．映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．这里要注意：在映射中，要求元素的对应形式是“多对一”或“一对一”，一一映射中元素的对应形式必须是“一一对应关系”．5．函数的表示方法：表示函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种．列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．图象法：对于函数()x f y =（A x ∈）定义域内的每一个x 值，都有唯一的y 值与它对应．把这两个对应的数构成有序实数对()y x ,作为点P 的坐标，即P ()y x ,，则所有这些点的集合F 叫做函数()x f y =的图象，即{}(,)|(),F P x y y f x x A ==∈．这就是说，如果F 是函数()x f y =的图像，则图像上的任一点的坐标()y x ,都满足函数关系()x f y =；反之，满足函数关系()x f y =的点()y x ,都在图象F 上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．解析法：如果在函数()x f y =, A x ∈中，()x f 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法（也称为公式法）．6．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如⎩⎨⎧≤+>-=0,230,12x x x x y 、423-+=x y 等．7．求函数定义域：在中学阶段，所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数x 的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量x 所代表的具体量的允许范围．①分母不为零；②偶次方根下非负；③对数函数真数大于零；④0x y =，0≠x . 研究函数时常会用到区间的概念：定义名称符号数轴表示{}b x a x ≤≤ 闭区间 []b a ,{}b x a x << 开区间 ()b a ,{}b x a x <≤ 半开半闭区间 )[b a ,{}b x a x ≤<半开半闭区间](b a ,例题1：求下列函数的定义域（1）()43-=x xx f （2）()2x x f =（3）()2362+-=x x x f （4）()14--=x x x f☆ 如何判断两个函数是否为同一个函数：①看定义域是否相同，如果相同再看对应关系（解析式）是否一样.例题2：下列哪一组中的函数()x f 与()x g 相等？（1）()1-=x x f ， ()12-=xx x g （2）()2x x f =， ()()4x x g =（3）()2x x f = ， ()36x x g =例题3:画出下列函数的图象，并写出函数的定义域和值域.（1）x y 3= （2）xy 8=（3）54+-=x y （4）762+-=x x y例题4：已知函数()62-+=x x x f . （1）点（3，14）在()x f 的图象上吗？（2）当4=x 时，求()x f 的值；（3）当()2=x f 时，求x 的值.例题5：已知()12+=x x f ，则()()1-f f 的值等于（） A.2 B.3 C.4 D.5例题6:已知函数()x f 的定义域为()0,1-，则函数()12+x f 的定义域为（）A.()1,1-B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 C.()0,1- D.⎪⎭⎫⎝⎛1,21例题7:用区间表示下列数集：（1）{}=≥1x x （2）{}=≤<42x x （3）{}=≠->21x x x 且例题8:求下列函数的值域.（1）()1123≤≤-+=x x y ；（2）()x x f -+=42（3）x x y 422+--=例题9:已知函数()2211x x x f -+=.（1）求()x f 的定义域；（2）若()2=a f ，求a 的值；（3）求证：()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1求函数解析式(1) 配凑法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式，一般也可以用换元法；例题1：已知函数()x x x f 21+=+，求()x f ；例题2：已知函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f ；(2) 换元法求函数解析式：形如()[]x g f y =的函数解析式；例题3：已知()x x f 2sin cos 1=-，求()x f 的解析式.(3) 待定系数法求函数解析式:已知所求函数类型；例题4：已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ，求()x f .(4) 方程组法求函数解析式：已知()x f 和⎪⎭⎫⎝⎛x f 1的关系式或者()x f 和()x f -的关系式.例题5：已知函数()x f 的定义域为()∞+，0，且()112-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x f ，求()x f ；函数的单调性与最值1、函数单调性定义：设函数()x f 在区间I 上有定义，如果对于这个区间上任意两个点和，当21x x <时，恒有()()21x f x f <，则称函数()x f 在区间I 上单调递增；如果对于这个区间上任意两个点和，当21x x <时，恒有()()21x f x f >，则称函数()x f 在区间I 上单调递减；单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.如果函数()x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()x f y =的单调区间.2、最值：对于任意的I x ∈,都有()M x f ≤或者()N x f ≥,这个N M 和便是函数()x f 在区间I 上的最大值和最小值. 用定义法判断函数的单调性例题1：已知函数()12-=x x f []()6,2∈x ，求函数的最大值和最小值.例题2：用定义法判断函数()12++=x x x f 在区间)(∞+-,1上的单调性.函数单调性的等价定义对于定义在D 上的函数()x f ，设1x ，D x ∈2，21x x <，则有：（1）()()()x f x x x f x f ⇔>--02121是D 上的单调递增函数；（2）()()[]()()x f x x x f x f ⇔>-⋅-02121是D 上的单调递增函数；（3）()()()x f x x x f x f ⇔<--02121是D 上的单调递减函数；（4）()()[]()()x f x x x f x f ⇔<-⋅-02121是D 上的单调递减函数.2x 1x 1x 2x函数的奇偶性一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么函数()x f 就叫做偶函数.（偶函数的图象一定是关于对称）一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么函数()x f 就叫做奇函数.（奇函数的图象一定是关于对称）判断函数的奇偶性方法：1.不对称：函数()x f 为非奇非偶函数；2.对称例题8:判断下列函数的奇偶性.（1）()4x x f = （2）()5x x f = （3）()xx x f 1+= （4）()21xx f = （5）()1122-+-=x x x f （6）()2433xx x f -+-=()x f y =求出定义域判断定义域是否关于原点对称 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧①()()x f x f =-，则()x f 为偶函数 ②()()x f x f -=-，则()x f 为奇函数③若以上两个式子都不满足，则()x f 为非奇非偶函数④若以上两个式子都满足，则()x f 既是奇函数又是偶函数函数。

函数的概念-三要素的求法(整理版)

函数的概念,三要素的求法一、函数的概念：1．函数的概念：函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数记作：y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x ) | x ∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B 的子集.（2）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.（3）典型例题：1. 函数y = f (x )表示（） A ．y 等于f 与x 的乘积 B ．f (x )一定是解析式 C ．y 是x 的函数 D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2 + 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2 (x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.2.映射x y o x y o x y o xy o映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y ∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B 不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：⑴ A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”；⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”；⑶A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”； ⑷A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.二、函数的三要素——定义域、值域、对应法则（a ）函数定义的理解.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.(b) 区间的概念（1）不等式a ≤x ≤b ，用闭区间[a ，b ]表示；（2）不等式a ＜x ＜b ，用开区间(a , b )表示；（3）不等式a ≤x ＜b (或a ＜x ≤b )用半开半闭区间[a ，b ](或(a ，b ])表示；（4）x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 分别表示为[a ，+∞)，(a , +∞)，(–∞, b ]，(–∞, b ).1.定义域的求法：例1：列函数中哪个与函数y = x 相等？（1）1()2f x x =-；（2）()32f x x =+；（3）1()12f x x x =++-.（4）3212+=x y（5）1||142-+-=x x y（6）||13x x x y +-=求函数的定义域的类型：一、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

函数知识点归纳

函数知识点归纳函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的对应关系。

从我们日常生活中的各种现象到科学研究中的复杂模型，函数都发挥着关键作用。

下面就让我们来系统地归纳一下函数的相关知识点。

一、函数的定义函数的定义可以简单地理解为：对于给定的一个数集 A 中的每一个元素 x，按照某种确定的对应关系 f，在另一个数集 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 是集合 A 到集合 B 的一个函数。

记作y ＝ f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量。

需要注意的是，函数的定义中有两个关键点：一是“每一个”，意味着对于集合A 中的任何一个元素都要有对应的结果；二是“唯一确定”，即对于一个自变量 x，只能有一个因变量 y 与之对应。

二、函数的表示方法1、解析法用数学式子表示两个变量之间的对应关系，如 y ＝ 2x ＋ 1。

2、列表法通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，例如给出 x 的一些值，然后对应列出 y 的值。

3、图像法用图像来直观地展示函数关系，比如常见的一次函数图像是一条直线，二次函数图像是抛物线。

三、函数的三要素1、定义域指自变量x 的取值范围。

确定定义域时需要考虑分式的分母不为零、偶次根式的被开方数非负、对数的真数大于零等情况。

2、值域函数值 y 的取值集合。

值域的确定方法通常有观察法、配方法、反解法、判别式法等。

3、对应法则是函数的核心，它规定了自变量 x 如何对应到因变量 y。

四、常见函数类型1、一次函数形如 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数，其图像是一条直线。

2、二次函数一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），图像是一条抛物线。

当 a ＞0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。

3、反比例函数形如 y ＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0），图像是双曲线。

4、指数函数形如 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1），当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。

函数的三要素

函数一、定义域求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况：①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。

例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f（2）()f x =131-+--x x ；（3）1()2f x x =-，求()y f x =，(1)y f x =+的定义域例2．简单的抽象函数的定义域的求法解题思想：①求定义域就是求x 的范围 ②放在括号里的范围相同1．已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x -2）的定义域.2．若函数(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________3．已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域.二、函数的解析式例3．（1）已知ƒ (x+1)= x 2+x 求ƒ (x)（2）已知ƒ (x -x 1) = (x +x 1)2 求ƒ (x)( 3 ) 已知2ƒ (x) + ƒ (x 1)= x 求函数ƒ (x)（4）已知ƒ[ ƒ (x) ]= 2x – 1, 求一次函数ƒ (x)练习：1. 已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +；2. 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．3．已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式；4. 已知3311()f x x x x +=+，求()f x例4．若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．三、函数的值域例5: 求函数541x y x +=-的值域。

函数的三要素论文

函数的三要素——“f ”的意义一元函数符号f （x ）是leibniz 于1692年引进的，f （x ）具有三层含义，也称为函数的三要素：1. x 是自变量，其取值范围称函数的定义域。

2. f （x ）是因变量，即y ，那些和x 的值对应的y 值的集合称函数的值域。

3. f 是x 到y 上的对应关系，f 是函数三要素的核心。

有时也用符号：f ：x →y ，或者y=f （x ）表示一元函数，x 是自变量，它是关系所施加的对象，f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述。

y 是自变量x 的函数，当x 为允许的某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值，y= f （x ）仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”。

函数的本质含义，即通过f 的作用，把所有的x 作用到y 上去。

当然，也有观点称函数的两要素，即定义域、对应法则，因为有函数的定义域和对应法则，就决定了函数的值域。

例1：设函数f （x ）的定义域是[0,1]，求函数f （x 2）的定义域。

分析1：函数f （x 2）是一个复合函数，令u=x 2分解为两个初等函数y=f （u ），u=x 2则由题意y=f （u ）的定义域是[0,1]，则u=x 2∈[0,1]，所以可以得到x ∈[-1,1].解法一：略分析2：也可以这样理解，题设函数f （x ），在法则f 的要求下，自变量x 只允许取0到1的值，即x ∈[0,1]，在相同的f 的要求下，函数f （x 2）中的x 2也只允许取0到1的值，即x 2∈[0,1]，所以x ∈[-1,1]。

解法2：略变式训练：已知函数f （2x-1）的定义域为[0,1），求f （1-3x ）的定义域。

例2：判断下列函数，哪组为同一函数？A. f （x ）=x 与f （x ）B. f （x ）=x 与f （x ） C .f （x ）=x 0与y=1 说明：做题时往往不考虑值域，这是因为在定义域和对应法则确定后，函数值域也随之确定。

函数的概念(定义域,值域,解析式)

讲解新课：一．函数定义及函数三要素1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。

3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。

当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。

因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。

函数三要素

一、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

判断两个函数是否相同需要判断哪两个要素：例1：下列四组函数中，是同一组函数的是（） A ．()f x x =，()g x =()f x =()2gx =C.()211x f x x -=-，()1g x x =+ D. ()f x =()g x =二、求函数定义域1.具体函数的定义域：1）分式函数：()()f x yg x =，定义域要求()0g x ≠。

2）偶次根式)*2,y n k k N ==∈的定义域要求()0f x ≥。

3）()0y f x =⎡⎤⎣⎦的定义域要求()0f x ≠。

4）对数函数的复合函数()()log 0,1a y f x a a =>≠的定义域要求()0f x >。

例2：求下列函数的定义域1)())1f x x =- 2)()1111f x x=++3) ()()22log 32f x x x =--- 4）()f x =2.抽象函数的定义域：如果一个函数没有给出具体的解析式，那么这个函数就叫做抽象函数。

1）已知()f x 的定义域为[],a b ，则求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，我们令()a g x b ≤≤，解出来的x 的范围就是()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。

2）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f x 的定义域时，我们求出()g x 在[],a b 上的值域就是()f x 的定义域。

3）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，先根据()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域按照2）中的方法求出()f x 的定义域，再根据()f x 的定义域按照1）中的方法求出()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域。

例3： 1）已知()f x 的定义域为()1,2，求()12f x -的定义域。

2）已知()12f x -的定义域为()1,2，求()f x 的定义域。

函数的概念三要素的求法

函数的概念三要素的求法函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。

函数有许多不同的定义方式，但最常见和最基本的定义是：函数是一个集合，它把一个给定的输入（称为自变量）映射到一个特定的输出（称为因变量）。

函数在数学中有广泛的应用，在几乎所有的数学分支中都起着重要的作用。

一个函数通常用一个方程式或者一段描述来表示。

例如，y=f(x)表示了一个函数，其中y是x的函数，并且通过方程式y=f(x)可以计算出y的值。

这里的f表示函数的名称或者函数符号。

一个函数由三个要素组成，它们分别是定义域、值域和对应关系。

首先是定义域。

定义域是函数的自变量（一般用x表示）的所有可能取值的集合。

换句话说，定义域是使得函数有意义的自变量的值。

在实际问题中，定义域可以是各种各样的数集，例如实数集、整数集、有理数集等等。

有时候，由于特定的限制条件，定义域可能只是一个特定的子集，而不是整个数集。

需要注意的是，对于一些函数，定义域可能有一些特殊的限制，例如分母不能为零或者不能取负数等等。

其次是值域。

值域是函数的因变量（一般用y表示）的所有可能取值的集合。

换句话说，值域是函数所能达到的所有值的集合。

值域可以是实数集、整数集、有理数集等等，根据具体问题的要求而定。

需要注意的是，对于有些函数，值域可能有一些特殊的限制，例如函数值只能取正数或者只能取整数等等。

最后是对应关系。

对应关系指的是自变量和因变量之间的一一对应关系。

换句话说，对于定义域中的每一个自变量值，函数有唯一确定的因变量值与之对应。

这个对应关系可以用函数图像、函数表等方式表示，以形象直观地展示函数的特点。

需要注意的是，函数的对应关系是唯一的，不会有两个不同的自变量值对应同一个因变量值的情况发生。

在求解一个函数的三要素时，首先要确定函数的定义域。

根据具体的问题，分析自变量可能的取值范围，排除那些使得函数无意义的自变量值。

然后要确定函数的值域。

根据具体问题的要求，分析因变量可能的取值范围，找出函数所能达到的所有值。

函数“三要素”的解题策略

课程篇函数“三要素”是指函数的定义域、值域、对应关系（解析式），它是函数教学的重点内容之一，是学生学好函数的关键，函数三要素的基本解题思想，涵盖了函数教学的全过程，多法探讨，多法求证。

通过问题探索，方法使用，使知识点之间相互融合，相互贯通，相互渗透，从而达到以点带面，使函数之间的转化变得更加灵活，也为初学者更好地掌握函数作为一种数学工具而具有的重要作用。

一、函数的定义域（1）当函数是以解析式的形式给出时，定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值范围。

（2）函数定义域用区间或集合给出时，一般转化为解不等式组的问题。

（3）常见的函数定义域的求解类型：①若函数f （x ）是整式，其定义域为砸；②若函数f （x ）是分式，其定义域是使分母不为零的实数集合；③若函数f （x ）是二次根式（或偶次根式），其定义域是使被开方数为非负数的自变量的实数集合；④若函数f （x ）含零次幂，则其定义域是使零次幂的底数不为零的自变量的取值集合；如：f （x ）=x 0，x |x ≠0{}；⑤若函数f （x ）是由几个代数式用运算符号连接而成的，则其定义域是使各项都有意义的几个集合交集；练习：（1）y =31-x√；（2）y =x +1x ；（3）y =2x+3√+x x -1；⑥若函数f （x ）是复合函数，则其定义域由复合的各基本函数的定义域所组成的不等式组取交集确定；如：已知函数f （x ）的定义域为［-1，1］，则函数f （2x-1√）的定义域是______.二、函数的值域函数值域解答常用的方法：（1）观察法；（2）配方法；（3）分离常数法；（4）图像法；（5）Δ判别式法；（6）换元法；（7）导函数法等。

例：求下列函数的值域：（1）y =x √+1；（2）y =x 2+4x +16；（3）y =2x -1x +1；（4）y =x 2-x x 2-x +1；（5）y =2x -x-1√；（6）f （x ）=y =2x+4√-x+3√；分析：（1）观察法：y |y ≥1{}。