东南大学 信息学院 电磁场试卷

μ0 8π
或利用：
Iπ r 2 1 Ir = aα ，有： H1 = aα 2 π R1 2π r 2π R12
Wm1 =
μ0
2
∫
R1
0
H 2π rdr = ∫
2 1
R1
0
μ0 I 2 ⎛ I ⎞ 3 π 2 = r dr ⎜ ⎟ 16π ⎝ 2π a ⎠
I
则：
2
2
( J/m )
在 R1≤r≤R2 区域，利用安培环路定律：
x
（2）
2分
2．由于场为纯驻波，所以平均坡印亭矢量 S av = 0 ； 演算如下：
（3）
2分
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第 6 页
E = ( ax − j 0.5a y ) E0 cos kz ， H =
kE0
ωμ
( 0.5a
x
− ja y ) sin kz
；
⎛1 ⎞ S av = Re S = Re ⎜ E × H * ⎟ ⎝2 ⎠ ⎛ 5 ⎞ kE 2 = Re ⎜ j cos kz 0 sin kzaz ⎟ = 0 ωμ ⎝ 8 ⎠
瞬时坡印亭矢量为：
()
（3）
2分
E ( t ) = ( ax cos ωt + 0.5a y sin ωt ) E0 cos kz H (t ) = kE0
（4）
1分
ωμ
( 0.5a
x
cos ωt + a y sin ωt ) sin kz
（5）
1分
S (t ) = E (t ) × H (t ) = ( ax cos ωt + 0.5a y sin ωt ) E0 cos kz × = az kE0
δ=
2
ωμσ
（1） （2） （3） （4）
6分 2分 2分 2分
导体的趋肤深度与电导率的平方根成反比； 导体的趋肤深度与电磁波频率的平方根成反比； 导体的电导率越大，电磁波的频率越高，趋肤深度就越小。 注：如果答出（1）需解释定义，写出（2） （3） （4）各给 2 分
7． （5 分）简述电磁波在无穷大两种不同媒质分界面上发生全反射的两个条件。
H 2 = ar
Wm 2 =
2π r
μ0
2
∫
R2
R1
H 2π rdr =
2 2μ02 Nhomakorabea∫
R2
R1
μ0 I 2 R2 ⎛ I ⎞ π 2 ln rdr = ⎜ ⎟ R1 4π ⎝ 2π r ⎠
( J/m )
单位长度总磁场能量为：
Wm =
所以：
1 2 LI = Wm1 + Wm 2 2
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2
∂2 A ∂ϕ − με∇ 2 ∂t ∂t
(
)
∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A = μ J C − με
∂2 A ∂ϕ − με∇ ⇒ 2 ∂t ∂t ∂2 A ∂ϕ ⎞ ⎛ 2 ∇ A − με 2 = ∇ ⎜ ∇ ⋅ A + με ⎟ − μ JC ∂t ∂t ⎠ ⎝
（5）
2分
由
∇⋅E =
1分 1分 1分 1分
5． （6 分）简述均匀平面电磁波在均匀有耗媒质中的传输特性
1）在均匀有耗媒质中电场、磁场与传播方向三者之间相互垂直，仍是横电磁波； 2）电场和磁场的振幅呈指数衰减； 2分 3）波阻抗为复数，电场和磁场不是同相位； 2分 4）电磁波的相速与频率有关，出现色散现象； 2分
6． （4 分）均匀平面波在导体的趋肤深度与电导率的关系是什么？ 与电磁波频率的关系是什么？
ρ ∂A ∂ ρ = −∇ ⋅ − ∇ 2ϕ ⇒ ∇ 2ϕ − ( ∇ ⋅ A ) = − ∂t ∂t ε ε
∂ϕ ∂ϕ = 0 ，即 ∇ ⋅ A = − με ∂t ∂t
（6）
利用洛仑兹条件： ∇ ⋅ A + με 可将（5）和（6）化为：
（7）
1分
∂2 A ∇ A − με 2 = − μ J C ∂t
东
课程名称 适用专业
南
大
学
考
试
卷 （ A 卷）
07-08-2 得分
电磁场与波 信息工程
考试学期 考试形式
闭卷
考试时间长度 120 分钟
以下为答案及评分标准
——————————————————————————————————————
一．简答题（40 分） 1． （5 分）写出积分形式的 Maxwell 方程组及电流连续性方程
1．在一定的条件下，谐振腔的体积应尽量大，以增加谐振腔的储能； 2．在一定的条件下，谐振腔的封闭面应尽量小，以减小谐振腔的损耗； 3．在谐振腔内填充低损耗介质，以增加谐振腔的储能； 4．提高谐振腔壁导体的电导率，以减小谐振腔的损耗； 5．提高谐振腔内壁的光洁度，以减小谐振腔的损耗。 （以上只答出红色部分即可）注：答对任意 3 条给 3 分 ——————————————————————————————————————
3．求向负 z 方向传播的电磁波分量的极化方式，若为圆或椭圆极化，指出其旋向。 （3 分） （6 分）
解： （极化部分分值太小）
1．由于此时的波是驻波，因此不能用均匀平面波的公式 H =
1 k0 × E 直接求解， （或 Z
者可以拆为两个传播方向相反的均匀平面波分别用阻抗关系求解再合并）
由 Maxwell 方程，和 E = ax − j 0.5a y E0 cos kz V/m 得：
根据斯涅尔折射定律有： k1 sin θ1 = k2 sin θ 2 ， 或由于一般非磁性媒质有 μ1 = μ 2 ≈ μ0 ，有
ε1 sin θ1 = ε 2 sin θ 2 ，
全反射即为：当 0° < θ1 < 90° 时，有 θ 2 = 90° 。 当 k1 > k2 或 ε1 > ε 2 时，若 θ i ≥ arcsin ⎜
（3）
学号
定义：
E=−
∂A − ∇ϕ ， ∂t ∂D ，B = μ H，D = ε E ∂t ∂E ， ∂t
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由：
∇ × H = JC +
⇒ ∇ × B = μ J C + με
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(4)
1分
将两定义（1） （2）代入： ⇒ ∇ × ∇ × A = μ J C − με 由矢量恒等式 ∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − ∇ A
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4． （4 分）写出理想导体表面电磁场的边界条件
理想导体表面的边界条件为：
n × H1 = J S 或 H1t = J S n × E1 = 0 或 E1t = 0 n ⋅ B1 = 0 或 B1n = 0 n ⋅ D1 = ρ S 或 D1n = ρ S
（1） （2） （3） （4）
解：
1．设单位长度内导体带有电荷 ρl ，外导体带有 − ρl ，
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利用高斯定理（需说明选取的高斯面） ：
E = ar
ρl (R1 ≤ r ≤ R2 ) 2πε r
由： U =
∫
R2
R1
E ⋅ dl = ∫
= 2πε R ln 2 R1
R2
R1
ρl ρ R dr = l ln 2 2πε r 2πε R1
(
)
H= =
1 j ⎛∂ ⎞ ∇× E = ( a y + j0.5ax ) E0 cos kz ⎤ ⎜ ⎟⎡ ⎦ − jωμ ∂z ⎠ ⎣ ωμ ⎝
kE0
ωμ
( 0.5a
kE0
x
− ja y ) sin kz cos ωt + a y sin ωt ) sin kz
（1）
3分
H (t ) =
ωμ
( 0.5a
（1） 3分
得： C0 =
ρl
U
可以用 Laplace’s eq 电位方程求解。
2．利用静电比拟法可得（需说明哪些量替换） ：
G0 =
2πσ R ln 2 R1
（2）
2分
3．设内导体中电流为 I，外导体中电流为-I 由于认为外导体厚度为 0，所以只求 R1≤r≤R2 区域的电感： r≤R1 单位长度的自感为： L10 =
S
∂
1 ⎛1 ⎞ H ⋅ B + E ⋅ D ⎟ dV − ∫ J ⋅ EdV ⎜ V 2 V 2 ⎝ ⎠
（1）
或
∇i( E × H ) = −
∂ ⎛1 1 ⎞ ⎜ H ⋅B + E⋅D⎟− J ⋅E ∂t ⎝ 2 2 ⎠
2分
坡印亭定理的物理含义为： 坡印亭定理反映了电磁场中能量守恒及转换关系，即当体积内无其他能源时，经 体积表面 S 流出的功率流， 等于单位时间内体积 V 中电磁能量的减少与体积 V 中功率 的损耗之和。 （2） 3 分 或为： 当体积内无其他能源时，经体积表面 S 流入的功率流之和，等于体积中功率的损 耗与单位时间内体积 V 中内的电磁能量的增加。
ωμ
( 0.5a
x
cos ωt + a y sin ωt ) sin kz （6）
3 kE02 sin 2kz sin 2ωt 16 ωμ
2分
3 kE02 ⎛ λ⎞ S ⎜ t , ⎟ = az sin 2ωt 16 ωμ ⎝ 8⎠
3．-z 方向的电磁波分量为： E = 0.5 ax − j 0.5a y E0 e 由于 Φ x − Φ y = 且 Exm ≠ Eym， 且向-z 方向传播，所以为左旋椭圆极化波。
二． （10 分）如图所示无限长同轴传输线，内、外导体均为理想导体，半径分
（设外导体的厚度为 0） 别为 R1 和 R2， 1．若内外导体间填充理想介质，介电常数为ε，求同轴线单位长度的电容。 （3 分） 2．若内外导体间填充非理想介质，导电率为σ，求同轴线单位长度的漏电导。 （2 分） 3．若内外导体间填充理想介质，内外导体和介质的磁导率都为 μ0，求同轴线内外导 体间的单位长度的电感。 （5 分）