矩阵的有关知识

1.1酉空间 1.1.1酉空间的定义定义1 设V 是复数域上线性空间，在V 上定义二元函数，称为内积，记作(,)αβ，它具有以下性质：1．(,)(,)αββα=，这里(,)βα是复数(,)αβ的共轭复数； 2．(,)(,)k k αβαβ=； 3．(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；4．(,)0αα≥，且(,)0αα=当且仅当α=0。

这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 为任意复数，这样的线性空间称为酉空间. 例1 设T T 1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==是n中的任意向量，定义内积为H 1122(,)n n a b a b a b αββα=+++=。

则n是一个酉空间，其中H β表示向量β的共轭转置向量。

1.1.2酉空间的有关概念（1）2α=称为向量α的长度或模或范数.（2）若21α=，则称α为单位向量；α≠0时，称21αα为将向量α单位化.（3）(,)αβ=0时，称向量α与向量β正交.（4）如果n 维酉空间V 的一个基中的向量两两正交，则称该基为V 的一个正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基. （5）设n n⨯∈A ，HA 表示矩阵A 的共轭转置矩阵， 即TH =A A 。

若A 满足H =A A ，则称A 是Hermite 矩阵； 若A 满足H =A A E ，则称A 是酉矩阵. （6）设12,,,n ααα是V 的一组基，称矩阵1112121222122(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为基12,,,n ααα的度量矩阵.（7）设V α∈，如果对于任意β∈ W 1，恒有(,)αβ=0，则称α与子空间W 1正交，记为1W α⊥.如果对于任意α∈W 1和任意β∈W 2，恒有(,)αβ=0，则称子空间W 1与子空间W 2正交，记为12W W ⊥.如果12W W ⊥，且12W +W =V ，则称W 2是W 1的正交补，记作1W ⊥.显然，11V W W ⊥=⊕。

（8）如果对任意,αβ∈V 都有(,)(,)σασβαβ=，则称线性变换σ为V 的酉变换.如果对任意,αβ∈V 都有(,)(,)σαβασβ=，则称线性变换σ为V 的Hermite 变换. （9）设n n⨯∈A 是Hermite 矩阵，nα∈,称H x Ax 为Hermite 二次型.1.1.3欧氏空间与酉空间的比较欧氏空间与酉空间相比，基础数域由实数域变成了复数域，内积的对称性变成了共轭对称性.因此，欧氏空间的结构与酉空间的结构是不相同的.但酉空间的内积近似于欧氏空间的内积.这样，酉空间有与欧氏空间平行的一套理论.学习过程中应注意相近但又不完全相同的地方（见下表）是正交矩阵，使y 定理1 (Schur 定理)设A 是n 阶复矩阵，证明：A 可酉相似于上三角矩阵T ，即存在n 阶酉矩阵U ，使得1H -==U AU U AU T .【证明】对n 作数学归纳法，当n =1时，命题显然成立。

现假设命题对n -1阶复矩阵成立，下证对n 阶复矩阵也成立.设x 为A 属于特征值1λ的特征向量，将其单位化121=e x x ，并将1e 扩充成n的一组标准正交基12,,,n e e e ，令112(,,,)n =U e e e ，则1U 是n 阶酉矩阵，且H 11H H H 21111212H 30(,,,)(,,,)0n n ⎛⎫**⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e eU AU U A e e e Ae Ae Ae B e λ 其中B 是n -1阶复矩阵，由归纳假设知，存在n -1阶酉矩阵Q ，使得21H n -*⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭Q BQ Q BQ λλ 令T 11⎛⎫= ⎪⎝⎭U U Q 00，则U 是n 阶酉矩阵，且T T 1HH 11H 11-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U AU U AU U AU Q Q 00001T T H 0110**⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭B Q Q λ0000 112H n 0 0****⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪* ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T Q BQ λλλλ. 定理2 设A 是n 阶复矩阵，证明：A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件是A 满足H H =A A AA （满足该式的矩阵A 称为正规矩阵）.【证明】 必要性 设矩阵A 酉相似于对角矩阵， 即存在酉矩阵U ，使1H 12(,,,)n diag -===U AU U AU Λλλλ则H =A U ΛU ，且H H =ΛΛΛΛ，于是H H H H H H H H H HHHHHHHHHH HH()()()() ()()()()========A A U ΛU U ΛU U ΛU U ΛU U ΛU U ΛU U ΛΛU U ΛΛU U ΛU U ΛU U ΛU U ΛU AA充分性 若A 满足H H =A A AA ，由Schur 定理知，存在酉矩阵U ，使得H =UAU T ，其中T 是上三角矩阵，于是H H H H H H H H H H H H ()()()()=====T T UAU UAU UA AU UAA U UAU UA U TT设() (0,)ij n ij t t i j ==>T 代入上式，并比较两边矩阵的对角线元素，得2222111112122222122222232222212,,n n n n nn nnt t t t t t t t t t t t t =++++=++++++=解之得0 ()ij t i j =<，即T 是对角矩阵，故A 酉相似于对角矩阵.定理3 证明：正规矩阵的不同特征值所对应的特征向量必正交. 证明留作习题。

例2 设有两个Hermite 矩阵A 和B ，证明：=AB BA 成立的充分必要条件是存在一个酉矩阵U ，使11,--U AU U BU 都为对角矩阵.【证明】充分性 若存在酉矩阵U ，使111212diag(,,,), diag(,,,)n n --==U AU U BU λλλμμμ，则有 111122diag(,,,)n n --==U ABU U ABU λμλμλμ，故 =AB BA 。

必要性 因为H =A A ，所以H H =A A AA ，即A 是正规矩阵，从而存在酉矩阵1U ，使 11H 11111r n r n -⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭E U AU U AU E λλ （1） 其中12,,,r λλλ互异，且12r n n n n +++=.由=AB BA ，得H H H H 11111111()()()()=U AU U BU U BU U AU 。

（2）由式（1）和式（2）可得1H 11111r -⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭B U BU U BU B 。

由于H =B B ，所以H (1,2,.)i i i r ==B B ，从而12,,,r B B B 都是正规矩阵，即存在酉矩阵i Q ，使1 (1,2,,)i i i i i r -==Q B Q D ，其中i D 为对角矩阵.令112r r ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，Q D U ΛQ D ， 则2U 是n 阶酉矩阵，Λ为n 阶对角矩阵，且T 1111122T r r r r -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B Q B Q U U B Q B Q T 1111T r r r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q B Q D ΛQ B Q D 令12=U U U ，则U 为n 阶酉矩阵，且111r n r n -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭E U AU E λλ， 1-=U BU Λ。

于是必要性得证。

1.2 Householder 矩阵1.2.1 Householder 矩阵的定义 定义2 设nw ∈为单位向量，则称矩阵H 2-E ww 为Householder 矩阵，或为Householder 变换，记作H ，即H 2=-H E ww1.2.2 Householder 矩阵的性质(1) Householder 矩阵H 是酉矩阵. 证明略(2)若H 是 Householder 矩阵，则H =H H ，2=H H 。

证明略(3) Householder 矩阵H 仅有两个不同特征值-1和1，其中1是n -1重的，-1是单重的.而且w 是属于特征值-1的单位特征向量. 【证明1】Householder 矩阵H 的特征多项式为H H 1H 1det((2))det((1)2) (1)det((1)2)(1)(1)n n ----=+=+=+E E ww E ww w w λλ-λ-λ-λ-λ所以，1λ=是矩阵H 的n -1重特征值；1λ=是矩阵H 的单特征值.又因为H H (2)2()=-=-=-Hw E ww w w w w w w ，故w 是属于特征值-1的单位特征向量.注意 在以上证明中使用了行列式的性质：若A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且m n >，则 det()det()m n m n -±=±E AB E BA λλλ.【证明2】将单位向量w 扩充成酉空间n的一组标准正交基，2,,,n εεw ，则22,,n n εεεε=-==Hw w H H 。

从而 2211(,,,)(,,,)1n n εεεε-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭H w w ， 即H 酉相似于对角矩阵daig (1,1,,1)-，所以，H 仅有两个不同特征值-1和1，其中1是n -1重的，-1是单重的.而且w 是属于特征值-1的单位特征向量.(4)设,n∈x y ，且≠x y ，22=x y ，(,)x y 是实数.则必定存在Householder矩阵H ，使=Hx y【证明】 由(,)x y 是实数知，H H H H H (,),()=∈==∈x y y x y x y x x y ，取2-=-x yw x y ，令H 2=-H E ww ，则 HH H22H H H H H H 2222H 22(2)222() =()()()()=()()⎛⎫--=-=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭---+--=--------=--=-x y x y Hx E ww x x ww x x x x y x y x x y x x x y x x y y yx x y x x y x y x y x y x y x x y x x y yx y故命题成立. (5) 设,n∈x y ，且≠y 0，则存在常数p ∈及Householder 矩阵H ,使p =Hx y【证明】 若H(,)=x y y x 是实数，取22p =x y，或22p =-x y.并选择正负号，使p ≠x y ，此时22222222p =±==x x y y y x yy，且 H H H 22(,)()p p p ===±∈x x y y x y x y xy由性质(4)有Householder 矩阵H ，使p =Hx y .若H(,)=x y y x 是虚数，则H (,)0=>x y y x ，取H 2H2p =xy x yy x ，或H 2H2p =-x y x yy x故 H HHH H 22H22(,)()p p p ===±=±∈xx y x x y y x y x y x y xyyy x ，并选择正负号，使p ≠x y ，由性质(4)有Householder 矩阵H ，使p =Hx y .例3 设()TT 1,2,2,(1,0,0)==x e .求Householder 矩阵H ，及实数p ，使p =Hx e 。