上海市高二上学期10月月考数学试题

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上海市上海交通大学附属中学闵行分校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

交大附中闵行分校高二月考数学试卷2024.10一.填空题1. 已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为，则椭圆的标准方程__________.2. 两定点，，动点满足，则动点M 的轨迹方程为______.3. 已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率为___________.4. 已知双曲线渐近线与圆相切，则_________.5. 已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.6. 若点到直线l ：的距离为d ，则d 的取值范围是______．7. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P ，使，则椭圆的离心率e 的取值范围为__________.8. 已知双曲线，过点作直线和双曲线交于A ，B 两点.点A 在第一象限，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，则直线倾斜角的取值范围是__________.9. 已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______．10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为______．11. 双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另的x 13()15,0F -()25,0F (),M x y 128MF MF -=()2222:10x y C a b a b +=>>()20，312⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ()22210x y a a -=>22430x y y +-+=a =C 2221(0)9x y b b +=>1F 2F 2F C ,A B 1F AB V b ()2,1P --()()131225x y λλλ+++=+22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F 12120F PF ∠=︒22:41C x y -=(0,0)l C BH 2222x y 1(a b 0)a b +=>>2222x y 1(m 0,n 0)m n -=>>22198x y -=1F 2F 2F A B 120AF AF ⋅= 2220F B F A += 1F AB V一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为_________.12. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为 ______.二.选择题13. 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（）A 关于轴对称 B. 关于轴对称C. 关于轴对称D. 关于原点中心对称14. 已知点，，点P 为椭圆上动点，则的最小值为（）A. B. C.D. 15. 如图，已知双曲线的左焦点为F ，过点F 的直线垂直于双曲线C 的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C 的渐近线方程为（）.的()2222:10x y C a b a b -=>，C F P Q ，M N 12cos 13PM PQ PM PQ PQN ∠+=-=- ，C 2219x y +=2220x xy y -+=x y y x =()0,1A ()10B ,22:143x y C +=PA PB +4+4-22-2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>l ,A B ,A B ||3||7AF FB =A. B. C. D. 16. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 三.解答题17. 已知圆关于直线对称，且过点．（1）求证：圆与直线相切；（2）若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程．18. 如图：已知椭圆的内切圆的一条切线交椭圆于A 、B ,且切线AB 与圆的切点Q 在轴右侧．是椭圆的右焦点．（1）设点，试用两点间距离公式推导的表达式（用与的式子表示）；（2）判断的长是否为定值?如果是定值,求出此定值;如果不是,请说明理由．y x =y =y =y x =2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F ，1F C A B ，125tan 12F BF ∠=()22:00C x y ax by a ++-=>2y x =-()0,8P C 2160x y +-=l ()1,0C A B 、AB 4=l 22122:1(0)x y C a b a b+=>>2222:C x y b +=y (,0)F c 00(,)A x y AF 0x ,a c AQ AF +19. 动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M 的轨迹方程为．（1）求的方程；（2）过上的点P 作圆的切线PT ，T 为切点，求的最小值；（3）已知点，直线交于点A ，B ，上是否存在点C 满足若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．20. 已知直线与椭圆有且只有一个公共点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值.(,)Mx y 1:l y =2:l y =34||||y x <ΓΓΓ22:(4)1Q x y +-=||PT 40,3G ⎛⎫ ⎪⎝⎭:2(0)l y kx k =+>ΓΓ0GA GB GC ++= 0x y ++=222:1x E y a+=E λE P Q 20x y λ--=λE ABCD AC BD S ABCD S交大附中闵行分校高二月考数学试卷2024.10一.填空题【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】##05【4题答案】【5题答案】【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】【8题答案】【答案】【9题答案】【10题答案】【答案】【11题答案】.2213632x y +=221(0)169x y x -=>12⎡⎣⎫⎪⎪⎭π(0,)41+24【12题答案】【答案】20二.选择题【13题答案】【答案】D【14题答案】【答案】B【15题答案】【答案】B【16题答案】【答案】A三.解答题【17题答案】【答案】（1）证明略（2）或．【18题答案】【答案】（1）（2）是定值，定值为.【19题答案】【答案】（1）（2）2 （3）【20题答案】【答案】（1）（2）存，（3）在0y =247240x y --=0c AF a x a=-⋅a 2213y x -=34C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2212x y +=⎛ ⎝169。

上海市年高二数学上学期10月月考试题(含解析)

上海市2021-2021年高二数学上学期10月月考试题（含解析）(3,1)-和点(2,2)-的直线的点方向式方程是________.【答案】3153x y +-=- 【解析】【分析】先设直线上任一点坐标为(,)x y ，由直线上点的坐标，得到直线方向向量，进而可得出结果. 【详解】设直线上任一点坐标为(,)x y ，因为直线经过点(3,1)-和点(2,2)-，所以直线的方向向量为(2,2)(3,1)(5,3)=---=-a ，因此，直线的点方向式方程是：3153x y +-=-. 故答案为：3153x y +-=- 【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.220x y +-=和10mx y -+=的夹角为4π，那么m 的值为________. 【答案】3或13- 【解析】【分析】先由题意，分别得到两直线的斜率，再由直线的夹角公式，即可求出结果. 【详解】记直线220x y +-=和10mx y -+=的斜率分别为1k ，2k ，则12k =-，2=k m ，又两直线夹角为4π，所以1212tan41-π=+k k k k ，即2112--=-m m ，解得3m =或13m =-. 故答案为：3或13-【点睛】本题主要考查由直线的夹角求参数的问题，熟记直线的夹角公式即可，属于常考题型.1l 的斜率为2，2l 的倾斜角为1l 的倾斜角的2倍，则2l 的斜率为________.【答案】43- 【解析】【分析】记直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为β，根据题意求出tan β，即可得出结果. 【详解】记直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为β，因为直线1l 的斜率为2，所以tan 2α=，又2l 的倾斜角为1l 的倾斜角的2倍，所以22tan 44tan tan 21tan 143αβαα====---，即2l 的斜率为43-. 故答案为：43-【点睛】本题主要考查求直线的斜率，熟记斜率的定义，以及二倍角公式即可，属于基础题型.(3,2)P 与点(1,4)Q 最新直线l 对称，则直线l 的一般式方程为________.【答案】10x y -+= 【解析】【分析】先由题意求出P 、Q 两点的中点坐标，以及直线PQ 的斜率，得到所求直线的斜率，从而可求出结果.【详解】因为点(3,2)P 与点(1,4)Q 的中点坐标为(2,3)，直线PQ斜率为42113-==--PQ k ，又点(3,2)P 与点(1,4)Q 最新直线l 对称，所以直线l 过点(2,3)，且PQ l ⊥，因此直线l 的斜率为11PQkk ，所以，直线l 的方程为32y x -=-，整理得：10x y -+=. 故答案：10x y -+=【点睛】本题主要考查由两定点求其对称直线的方程，熟记直线的点斜式方程以及一般式方程即可，属于常考题型.(1,2)A -，(1,4)B ，若直线l 过点(2,3)M --，且A 、B 到直线l 的距离相等，则直线l 的一般式方程为________.【答案】10x y --=或330x y -+= 【解析】【分析】根据题意，分A 、B 两点在直线l 的同侧和不同侧，两种情况，分别求出直线斜率，即可求出结果.【详解】设直线l 的斜率为k ，因为点(1,2)A -，(1,4)B 到直线l 的距离相等，直线l 过点(2,3)M --，若A 、B 两点在直线l 的同侧，则//AB l ，即42111ABkk ，所以直线l 的方程为：32+=+y x ，即10x y --=；若A 、B 两点在直线l 的不同侧，则直线l 必过AB 中点(0,3)，即33302k ，所以直线l 的方程为：33y x =+，即330x y -+=. 故答案为：10x y --=或330x y -+=【点睛】本题主要考查求直线的一般式方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.a 、b 、c 满足230a b c ++=，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则b 与c 的夹角为____.【答案】34π 【解析】【分析】先由230a b c ++=得到23=--a b c ，分别代入a b b c ⋅=⋅和⋅=⋅b c c a ，求出2=-⋅b b c ，=-⋅c b c ，再由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】因为230a b c ++=，所以23=--a b c ，代入a b b c ⋅=⋅得：(23)--⋅=⋅b c b b c ，即2=-⋅b b c ；代入⋅=⋅b c c a 得：()23⋅=⋅--b c c b c ，即=-⋅c b c ，所以12cos ,22⋅⋅<>===-=-⋅⋅-⋅b c b c b c b cb c b c，因此b 与c 的夹角为34π.故答案为：34π 【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的数量积运算，以及向量的夹角公式即可，属于常考题型.ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+的最小值是________. 【答案】43【解析】【分析】先由题意，得到122∆∆==PBC ABC S S ，推出4sin ⋅=∠PB PC BPC，由向量数量积得到4cos sin ∠=⋅∠BPC B P PC C PB ，再由余弦定理得到288cos sin -∠≥∠BC BPC BPC ，令=∠x BPC ，84cos ()sin -=x f x x，用导数的方法求函数的最小值，即可得出结果.【详解】因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的一半，所以2∆∆=ABC PBC S S ，又4ABC S ∆=，所以12sin 2∆==⋅⋅∠PBC S PB PC BPC ，因此4sin ⋅=∠PB PC BPC，所以4cos cos sin ∠⋅⋅∠=∠⋅=BPCPB PC BP PC P C P B B C ；又由余弦定理可得：2222cos =+-⋅⋅∠BC PB PC PB PC BPC22co 88cos sin s ≥⋅-⋅∠-∠∠=PB PC PB PC BP BPCC BPC，当且仅当PB PC =时，取等号；所以24cos 88cos 84cos sin sin sin sin ⋅∠+≥∠-∠+-=∠∠∠∠BPC BPC BPCBP PC PB C BPC BPC BP BC C ，令=∠x BPC ，84cos ()sin -=xf x x，()0,x π∈；又2224sin (84cos )cos 48cos ()sin sin ---'==x x x xf x x x，由()0f x '>得1cos 2x <，所以3x ππ<<；由()0f x '<得1cos 2x >，所以03x π<< 所以()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；所以min 82()4332-==f x ，因此243⋅+≥PC PB BC . 故答案：43【点睛】本题主要考查求向量数量积的最值问题，熟记余弦定理，向量数量积的运算，基本不等式，以及导数的方法求最值即可，属于常考题型.8.如图，设AB a =，AC b =，AD c =是平面上两两不平行的三个非零向量，x ∈R ，有下列命题：① 最新x 的方程20ax bx c ++=可能有两个不同的实数解；② 最新x 的方程20ax bx c ++=一定没有实数解； ③ 最新x 的方程20ax bx +=的实数解为0x =或b x a=-；④ 最新x 的方程20ax bx +=没有非零实数解；其中真命题是_______ . 【答案】②④ 【解析】【分析】根据题意，结合平面向量基本定理，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为AB a =，AC b =，AD c =是平面上两两不平行的三个非零向量，对于①，方程20ax bx c ++=可化为，2=--c x a xb ，由平面向量基本定理分析可得：20ax bx c ++=最多有一个解，故①错；对于②，a ，b ，c 都是非零向量，方程20ax bx c ++=是最新向量的方程，因此方程在实数集内一定无解，故②正确；对于③，因为a ，b 都是不平行的非零向量，因此，由20ax bx +=得到()0+=ax b x ，所以0+≠ax b ，只能0x =，即实数解为0x =，故③错，④正确；故答案为：②④【点睛】本题主要考查命题真假的判断，以及平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型. 9.“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先由两直线垂直求出m 的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直，则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ，即(2)(42)0+-=m m ，解得2m =-或12m =；因此由“12m =”能推出“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”，反之不能推出，所以“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的充分非必要条件. 故选：B【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.210x my --=（0m <）的倾斜角为（）A. 2arctanm B. 2arctanm- C. 2arctanmπ+ D.2arctan mπ-【答案】C 【解析】【分析】记直线的倾斜角为α，根据斜率的定义，得到2tan α=m，从而可求出结果. 【详解】记直线的倾斜角为α，因为直线方程为：210x my --=，0m <，所以2tan α=m ，因此2arctan απ=+m. 故选：C【点睛】本题主要考查由直线方程求直线倾斜角，熟记斜率定义，以及反三角函数的表示即可，属于常考题型.11.将一圆的六个等分点分成两组相同的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x 、y 分别为点O 到两个顶点的向量，若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写出ax by +的形式，则+a b 的最大值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据题意，作出图形，分别用x 、y 表示出相邻的6个顶点的向量，即可求出结果. 【详解】要求+a b 的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下：（1）因为=OA x ，所以(,)(1,0)=a b ；（2）因为3=+=+OB OF FB y x ，所以(,)(3,1)=a b ；（3）因为2=+=+OC OF FC y x ，则(,)(2,1)=a b ；（4）因32=++=++=+OD OF FE ED y x OC x y ，则(,)(3,2)=a b ；（5）因为=+=+OE OF FE y x ，则(,)(1,1)=a b ；（6）因为=OF y ，则(,)(0,1)=a b ；因此，+a b 的最大值为325+=. 故选：C【点睛】本题主要考查由用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？【答案】见解析. 【解析】【分析】()1当两条直线不平行，即斜率不同时相交，()2当两条直线k 相同，b 不同时平行 ()3当两条直线k 相同，b 也相同时重合【详解】当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交．当m≠0且m≠2时，由＝得m ＝－1或m ＝3，由＝，得m ＝3.故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．【点睛】本题属于中档题，考查了两条直线的相交，平行，重合的条件，要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系，做此类题的时候应采用分类讨论的方法分情况得到所求的范围。

上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知a ，b 是两个不同的平面，直线l Ìa ，则“l b ^”是“a b ^”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在四面体ABCD 中，已知,AB CD AC BD ^^，若BCD △不是等边三角形，且点A 在平面BCD 上的投影O 位于BCD △内，则点O 是BCD △的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心15．已知0a >，设函数cos y x =在区间[],2a a 上的最大值为s ，在区间[]2,3a a 上的最大值为t ，当a 变化时，下列情况不可能发生的是（）A．12B．22三、解答题17．已知公差d不为0的等差数列【分析】根据题意，按正方形ABCD在棱柱中的位置分2种情况讨论，分析正四棱柱的数目，相加可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：①正方形作为对角面时，有6个，②正方形作为正四棱柱的底面或侧面，有6个，共有6+6=12种取法．故答案为：12.13．A【分析】由面面垂直的判定定理及面面垂直的性质，结合充分必要条件的定义即可判断.【详解】根据面面垂直的判定定理，可知若lÌa，则“l b^成立，满足充分^”则a b性；反之，若,la b a^Ì，则l与b的位置关系不确定，即不满足必要性；所以“l b^”的充分不必要条件，^”是“a b故选：A.14．D【分析】先证明CD^平面AOB，BD^平面AOC，进而可证得OB CD^，BD OC^，即可得解.【详解】如图，由题意可知OA^平面BCD，因为,CD BDÌ平面BCD，所以,^^，OA CD OA BD又,,,^Ç=Ì平面AOB，AB CD OA AB A OA AB所以CD^平面AOB，17．(1)2na n =；(2)124433n n n +++-.。

上海市2022高二数学上学期10月月考试题(含解析)

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
不妨设
∵ ，．
∴ 、．
∴点在以为圆心半径为圆上．
∴ 与的夹角为直线的倾斜角．
设
∴ ．
即，则．
又∵ ，．
∴ 、夹角．
故选．
16.三角形ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于D，M，若，AB=2，则AC=（）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
(2)记为，的夹角，求的取值范围.
【答案】(1) ，；(2) .
【解析】
【分析】
（1）先写出各向量的坐标表示,并求出数量积,再由等差中项列式整理即可；
（2）利用（1）中结果可得 ,再列出 ,进而求出 ,根据（1）中范围得到范围,从而得到范围
【详解】解：（1） , ,
, ,
, ,
,
，，成公差小于零的等差数列,
9.在△ABC中， °，M是AB的中点，若|AB|=2，|BC|=2 ，D在线段AC上运动，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先对、用、表示,并可将整理成关于的二次函数,由余弦定理可解得 ,即确定的范围,进一步求得其最小值
【详解】由题, ,
,
设 ,由余弦定理得, ,即 ,整理后可得 ,解得或（舍）
【答案】(1) ；(2) ；(3) ，Q .
【解析】
【分析】
（1）利用数量积的定义得到 ,设过点与轴的垂线的垂足为点 ,再利用三角形面积公式整理即可；
（2）由（1）可分别求出 , , ,从而得到点的坐标；
（3）由题,可得 ,代入的式子中得到关于的函数,根据的范围求取最值即可,从而得到此时点的坐标

上海市进才2019 2020学年高二数学上学期10月月考试题(含解析)

【答案】（1），；（2）不存在，与k有关
【解析】
【分析】
(1)当时，写出，，，结合，利用待定系数法即可求解；
(2)将表示为坐标形式，建立方程组，得到，根据的取值，即可判断.
【详解】(1)当时，，，
因为，所以
则，解得：，
(2)因为
所以
则，得到
当时，等式不成立
所以
因为，所以的值不唯一，即，的值不唯一
16.设、、、…、是平面上给定的2019个不同点，则使成立的点M的个数为（）
A.0B.1C.5D.无数个
【答案】B
【解析】
【分析】
将、、、…、、表示为坐标，利用向量的坐标运算，即可求解.
【详解】在平面坐标系内，是，，，，。因为
所以
解得，
因为、、、…、给定，则固定，所以只有一个
则，解得：或
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量的模长以及数量积、向量的夹角的求法，属于中等题.
8.已知平面内三点A、B、C满足，，，则的值为________.
【答案】
【解析】
分析】
由勾股定理得到，从而得到，利用向量运算法则及向量的运算律求出值..
【详解】
,即
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面பைடு நூலகம்量的数量积以及向量的运算法则，属于基础题.
【详解】(1)
,得到
同理可得：，
则
即三角形是正三角形
(2)
由于、、…、为单位向量，则n边形内接于半径为的圆
表示n边形的周长
当时，为半径为1的圆的周长

上海市建平中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

上海市建平中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、填空题1．圆22:4O x y +=在点处的切线方程为. 2．抛物线22y x =的焦点坐标是.3．已知函数()f x =R ，则m 的取值范围为．4．已知1F ，2F 是椭圆22193x y+=的两个焦点，过1F 的直线交此椭圆于A ，B 两点．若228AF BF +=，则AB =；5．双曲线222x y k -=的焦距是10，则实数k 的值为．6．设集合{}23A m m =-<，22123x y B m m m ⎧⎪=+=⎨+-⎪⎩是双曲线}，则A B =I．7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,2B b ，双曲线的渐近线上存在一点P ，使得顺次连接,,,A B F P 构成平行四边形，则双曲线C 的离心率为．8．设P 是椭圆2214x y +=第一象限部分上的一点，过P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为M 、N ，则矩形OMPN 的面积的最大值为.9．若直线ax +y +b ﹣1＝0（a ＞0，b ＞0）过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，则11a b+的最小值是．10．已知抛物线对称轴为x 轴．若抛物线上的动点到直线34120x y +-=的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为．11．坐标平面上一点P 到点()1,0A ，(),2B a 及到直线1x =-的距离都相等．如果这样的点P 有且只有两个，那么实数a 的取值范围是．12．已知函数()2f x ax b =-，其中,R a b ∈，()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b的最小值为．二、单选题13．方程210x -+=的两个根可分别作为（）A ．椭圆和双曲线的离心率B ．两双曲线的离心率C ．两椭圆的离心率D ．以上皆错14．“222a b R +<”是“圆()()222x a y b R -+-=与坐标轴有四个交点”的（）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．非充分非必要条件．15．已知方程()()22222200b x a k x b a b b a ⎡⎤---=>>⎣⎦的根大于a ，则实数k 满足（）A ．bk a > B ．b k a < C ．a k b>D ．a k b<16．设曲线E 的方程为2249x y +=1，动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ）在E 上，对于结论：①四边形ABCD 的面积的最小值为48；②四边形ABCD 外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（）A ．①错，②对B ．①对，②错C ．①②都错D ．①②都对三、解答题17．已知,αβ是方程24420x mx m -++=的两个实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若()22f x αβ=+，求()f m 的最小值．18．已知p ：点()1,3M 不在圆()()2216x m y m ++-=的内部，q ：“曲线2122:128x yC m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”，s ：“曲线222:11x ym t m t C +=---表示双曲线”．(1)若p 和q 都成立，求实数m 的取值范围； (2)若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围．19．如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m 的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20m 的正方形.因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P 的移动速度为1.5m/s ，仪器的移动速度为1m/s .若仪器Р与仪器Q 的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q 在仪器P 的“盲区”中.(1)如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ，仪器Р在点A 处，仪器Q 在BC 上距离C 点4m 处，试判断仪器Q 是否在仪器P 的“盲区”中，并说明理由；(2)如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ，仪器P 从点A 出发向点D 移动，同时仪器Q 从点C 出发向点B 移动，在这个移动过程中，仪器Q 在仪器Р的“盲区”中的时长为多少？20．如图所示，已知动直线y kx =交圆()2224x y -+=于坐标原点O 和点A ，交直线4x =于点B ，若动点M 满足OM AB =u u u u r u u u r，动点M 的轨迹C 的方程为(),0F x y =．（1）试用k 表示点A 、点B 的坐标；（2）求动点M 的轨迹方程(),0F x y =；（3）以下给出曲线C 的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由．（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分） ①对称性；②顶点坐标（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）； ③图形范围； ④渐近线；⑤对方程(),0F x y =，当0y ≥时，函数()y f x =的单调性．21．已知直线0x y +与椭圆222:1x E y a+=有且只有一个公共点.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆E 上存在不同两点P 、Q 关于直线20x y λ--=对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)椭圆E 的内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于椭圆的左焦点，S 是四边形ABCD 的面积，求S 的最小值.。

2021-2022学年上海市浦东新区南汇中学高二(上)月考数学试卷(10月份) (解析版)

2021-2022学年上海市浦东新区南汇中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、填空题1．直线与平面所成角的范围是．2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是．3．从同一点出发的四条直线最多能确定个平面．4．“直线l在平面a外”是“直线1与平面a平行”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“非充分非必要”）5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与平面BCC1B1所成角的大小为．（结果用反三角函数值表示）6．一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是．7．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点A作平面A1BC1的垂线l，则直线l与直线CC1所成角的余弦值为．9．异面直线a，b成60°角，P是a，b外一定点，若过P点有且只有两条直线与a，b所成的角相等且等于θ，则θ的范围为．10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为．11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为．12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、K分别为线段A1D1、C1D1、FC的中点，下述四个结论：①直线AE、CF、DD1共点；②直线AE、BK为异面直线；③四面体ABFE的体积为；④线段AB上存在一点N使得直线AE∥平面NFC．其中所有正确结论的序号为．二、选择题13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C114．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交15．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．416．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且＝2B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DC．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1成成角最大且为60°D．无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30°三、解答题17．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M是棱A1B1的中点，N是棱A1D1的中点．（1）求直线AN与平面ABCD所成角的大小；（2）求异面直线AN与BM所成角的大小．（计算结果用反三角函数表示）18．如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB ＝BC＝2，AD＝1，FA⊥CD．（1）求点F到平面ABCD的距离；（2）证明：平面BCE∥平面ADF，并说明在平面EBC上，一定存在过C的直线l与直线FD平行．19．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且＝＝.（1）作出平面PQC和平面AA1D1D的交线（保留作图痕迹），并求证：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．20．如图1，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝，将图1沿直线BC折起，使得二面角A﹣BD﹣C为60°．如图2．（1）求证：AE⊥平面BDC；（2）求直线AC与平面ABD所成角的余弦值．21．如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．参考答案一、填空题1．直线与平面所成角的范围是．【分析】利用直线与平面所成角的定义，写出结果即可．【解答】直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．故答案为：[0，]．2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是异面或相交．【分析】以正方体为载体，列举出所有情况，从而得到一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是异面或平行．解：在正方体AC1中，①AD和CC1是异面直线，BC∥AD，BC⊥CC1，②AD和C1D1是异面直线，BC∥AD，BC和C1D1是异面直线，∴一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是异面或相交．故答案为：异面或相交．3．从同一点出发的四条直线最多能确定6个平面．【分析】利用平面的基本性质及推论直接求解．解：同一点出发的四条直线最多能确定平面个数：n＝＝6．故答案为：6．4．“直线l在平面a外”是“直线1与平面a平行”的必要不充分条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“非充分非必要”）【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可．解：“直线l在平面a外”包括了直线l与平面α平行，直线l与平面α相交两种情况，所以“直线l在平面a外”是“直线1与平面a平行”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与平面BCC1B1所成角的大小为arcsin．（结果用反三角函数值表示）【分析】根据线面角的定义可知所求角为∠D1BC1，根据长度关系可求得sin∠D1BC1，从而得到结果．解：由正方体特点知：C1D1⊥平面BCC1B1，∴直线BD1与平面BCC1B1所成角为∠D1BC1，设正方体棱长为a，则BD1＝a，∴sin∠D1BC1＝，∴∠D1BC1＝arcsin，∴直线BD1与平面BCC1B1所成角的大小为arcsin，故答案为：arcsin．6．一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是4．【分析】根据斜二测画法中原平面图形与直观图的面积比是2：1，计算即可．解：该多边形的直观图是一个边长为的正方形，正方形的面积为S正方形＝＝2，∴原多边形的面积是2×2＝4．故答案为：4．7．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是60°．【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a，b分别垂直于两个平面，则两条直线的夹角与二面角相等或互补，由于已知的二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案．解：根据二面角的定义则线面垂直的性质，∵二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，有两条异面直线a，b分别垂直于平面，设异面直线a，b的夹角为θ则θ＝60°．故答案为：60°．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点A作平面A1BC1的垂线l，则直线l与直线CC1所成角的余弦值为．【分析】连结DB1，则DB1⊥平面A1BC1，从而l∥DB1，直线l与直线CC1所成角为∠D1DB，由此能求出结果．解：如图，连结DB1，则DB1⊥平面A1BC1，∴l∥DB1，直线l与直线CC1所成角为∠D1DB，连结B1D1，在Rt△D1DB1中，设DD1＝a，则DB1＝，∴cos∠D1DB1＝＝．故答案为：．9．异面直线a，b成60°角，P是a，b外一定点，若过P点有且只有两条直线与a，b所成的角相等且等于θ，则θ的范围为（60°，90°）．【分析】将异面直线平移到P点，可确定∠BPE和∠EPD的角平分线与a，b所成角的大小，当直线在平面BPE内的射影为∠BPE的角平分线时，需60°＜θ＜90°能使得题意成立，从而得到结果．解：将异面直线a，b平行移动到点P处，记为直线BD，CE，则∠BPE＝60°，∠EPD＝120°，所以∠BPE的角平分线与a，b所成角为30°，∠EPD的角平分线与a，b所成角为60°，由题意若过P点有且只有两条直线与a，b所成的角相等且等于θ，则60°＜θ＜90°，此时直线在平面BPE内的射影为∠EPD的角平分线，故答案为：（60°，90°）．10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为或24．【分析】连接AB、CD，分点P在CA的延长线上和点P在线段CA上A、C之间两种情况，分别根据平行线的性质列出比例关系式，解之即可得到BD的长度，得到本题答案．解：连接AB、CD①当点P在CA的延长线上，即P在平面α与平面β的同侧时，∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD∴AB∥CD，可得∵PA＝6，AC＝9，PD＝8∴，解之得BD＝②当点P在线段CA上，即P在平面α与平面β之间时，类似①的方法，可得代入PA＝6，PC＝3，PD＝8，得，解得PB＝16∴BD＝PB+PD＝24综上所述，可得BD的长为或24故答案为：或2411．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为．【分析】首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．，投影面积最大应是线段AB相对的侧棱与投影面平行时取到，投影面的最小值应在正四面体的一面与投影面垂直时取到．解：由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段AB对称的两个等腰三角形，由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为×1×1＝当正四面体的与AB平行的棱与投影面垂直时，此时投影面面积最小，此时投影面是一个三角形，其底面边长为线段AB的投影，长度为1，此三角形的高是AB，CD两线之间的距离，取CD的中点为M，连接MA，MB可解得MA＝MB＝，再取AB中点N，连接MN，此线段长度即为AB，CD两线之间的距离，可解得MN＝，此时投影面的面积是××1＝，故投影面的取值范围是故答案为12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、K分别为线段A1D1、C1D1、FC的中点，下述四个结论：①直线AE、CF、DD1共点；②直线AE、BK为异面直线；③四面体ABFE的体积为；④线段AB上存在一点N使得直线AE∥平面NFC．其中所有正确结论的序号为①②．【分析】利用三点共线判断①是否正确；利用异面直线判定定理判断②是否正确；利用椎体体积公式判断③是否正确；利用线面平行性质定理判断④是否正确．解：对于①：延长DD1至G使得DD1＝D1G，由于G、F、C和G、E、A均为三点共线，故直线AE，CF，DD1共点，故①正确；对于②：对于①知直线AE，CF共面，记为平面α，其中BK∩α＝K，且K∉AE，由异面直线判断定理知直线AE，BK为异面直线，故②正确；对于③：四面体ABFE的体积即V三棱锥E﹣ABF，而S△ABF＝•1•＝，点E到底面ABF的距离为点A1到平面ABC1D1的距离的一半，即•＝，故V三棱锥E﹣ABF＝••＝≠，故③错误；对于④：假设存在点N在线段AB上使得直线AE∥平面NFC，由线面平行的性质定理知过AE的平面α与平面NFC交直线CF，应满足AE∥CF，这与①中结论矛盾，故假设错误，即不存在满足题设的点N，故④错误；故答案为：①②．二、选择题13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项．解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．14．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．15．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】两条异面直线不能确定一个平面；若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交；若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面；若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外．解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．故选：C．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且＝2B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DC．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1成成角最大且为60°D．无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30°【分析】选项A可由三角形的相似关系证得；由DB1⊥面A1BC1可知A1F⊥B1D；选项C，通过计算可知线面角最大值超过60°，故可判断C错误．解：对于A，F为BC1的中点时，也是B1C的中点，它们共面于平面A1B1CD，且必相交，设交点为E，连A1D和B1F，如图，根据△A1DE∽△FB1E，可得＝＝2，故A正确；对于B，在正方体中，DB1⊥面A1BC1，又A1F⊂面A1BC1，所以A1F⊥B1D，故B正确；对于C，当点F在B1C上移动时，直线A1F与平面BDC1所成角由小到大再到小，当F为BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大，如图，且F为B1C的中点时最大角的余弦值为＝＝，所以最大角大于60°，故C错误．故选：C．三、解答题17．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M是棱A1B1的中点，N是棱A1D1的中点．（1）求直线AN与平面ABCD所成角的大小；（2）求异面直线AN与BM所成角的大小．（计算结果用反三角函数表示）【分析】（1）由线面角的定义可知∠DAN为所求角；（2）根据异面直线所成角的定义，作出两直线所成角，归入三角形计算．解：（1）由正方体的性质可知，直线AN与平面ABCD所成角为∠DAN，易得tan∠DAN＝2，所以直线AN与平面ABCD所成角的大小为arctan2；（2）记棱B1C1的中点为G，连接BG、GM、GN，GM与B1D1的交点为H，连接BH，因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，G，N中点，所以GN∥A1B1∥AB，GN＝A1B1＝AB，即四边形ABGN为平行四边形，所以BG∥AN，所以∠MBG（或其补角）是异面直线AN与BM所成的角，在△MBG中，BM＝BG＝，MG＝，所以cos∠MBG＝＝，所以异面直线AN与BM所成角的大小为arccos．18．如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB ＝BC＝2，AD＝1，FA⊥CD．（1）求点F到平面ABCD的距离；（2）证明：平面BCE∥平面ADF，并说明在平面EBC上，一定存在过C的直线l与直线FD平行．【分析】（1）由线线垂直，得线面垂直，从而得出点F到平面ABCD的距离即为AF；（2）由面面平行得线线平行即可．解：（1）因为∠FAB＝90°，所以FA⊥AB，又FA⊥CD，AB、CD是相交直线，所以FA⊥平面ABCD，所以点F到平面ABCD的距离AF＝2；证明：（2）由题意得BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC＝B，AD∩AF＝A．所以平面BCE∥平面ADF．设平面DFC∩平面BCE＝l，则l过C点，因为平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE＝l，平面DFC∩平面ADF＝DF，所以DF∥l，证毕．19．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且＝＝.（1）作出平面PQC和平面AA1D1D的交线（保留作图痕迹），并求证：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．【分析】（1）由题意结合几何性质可作出两平面的交线，然后证明线面平行即可；（2）首先确定点R的位置，然后给出证明即可．解：（1）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面AA1D1D的线为D1M，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC～△PDM，所以，又因为，所以，所以PQ∥MD1．又MD1⊂平面A1D1DA，PQ不在平面A1D1DA内，故PQ∥平面A1D1DA．（2）当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA．证明：因为，即，故，所以PR∥DA．又DA⊂平面A1D1DA，PR不在平面A1D1DA内，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ⋂PR＝P，PQ∥平面A1D1DA．所以平面PQR∥平面A1D1DA．20．如图1，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝，将图1沿直线BC折起，使得二面角A﹣BD﹣C为60°．如图2．（1）求证：AE⊥平面BDC；（2）求直线AC与平面ABD所成角的余弦值．【分析】（1）取BD中点F，连结EF，AF，由余弦定理及勾股定理，可得AE⊥EF，由线面垂直的性质可得BD⊥AE，由线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BDC；（2）以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，求出直线AC的方向向量与平面ABD的法向量，代入向量夹角公式，可得直线AC与平面ABD所成角的余弦值．【解答】证明：（1）取BD中点F，连结EF，AF，则，，由余弦定理知：，∵AF2+EF2＝AE2，∴AE⊥EF，，又BD⊥平面AEF，AE⊂平面AEF，∴BD⊥AE，又∵EF∩BD＝F，EF，BD⊂平面BDC∴AE⊥平面BDC；解：（2）以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，则，，，设平面ABD的法向量为＝（x，y，z），由，得，取，则y＝﹣3，∴．∵，∴故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为．21．如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．【分析】（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P﹣AD﹣O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，则tan∠PAO＝，设AB＝a，则AO＝a，PO＝AO•tan∠POA＝a，MO＝a，tan∠PMO＝，∠PMO＝60°；（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB，故△AOE为直角三角形，OE＝PD＝＝a，所以tan∠AEO＝＝；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F，连EF，则四边形MFEG为平行四边形，从而MG∥FE，EF⊥平面PBC，F是AD的4等分点，靠近A点的位置．解：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P﹣AD﹣O的平面角．∵PO⊥面ABCD，∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．∴tan∠PAO＝，设AB＝a，AO＝a，∴PO＝AO•tan∠POA＝a，tan∠PMO＝＝．∴∠PMO＝60°．（2）连接AE，OE，∵OE∥PD，∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE⊂平面PBD，∴AO⊥OE．∵OE＝PD＝＝a，∴tan∠AEO＝＝；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN∴平面PMN⊥平面PBC．又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC．∴F是AD的4等分点，靠近A点的位置．。

上海市同济大学第一附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

上海市同济大学第一附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、填空题1．不等式2230x x +-≤的解集为.2．对于正实数x ，代数式91x x ++的最小值为． 3．“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的条件．4．若圆柱的高为10，底面积为4π，则这个圆柱的侧面积为.5．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径的比为. 6．若正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，且高为1，则其体积为.7．在ABC V A =A ＝.8．若三个向量()3,3,2a =r ，()6,,7b m =r ，()0,5,1c =r 共面，则实数m 的值为．9．已知二面角AB αβ--为30°，P 是半平面α内一点，点P 到平面β的距离是1，则点P 在平面β内的投影到AB 的距离是．10．已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=o ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为.11．某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.12．在四面体PABC 中，2PD PA PB =+uu u r uu r uu r ，523PE PB PC =+uur uu r uu u r ，23PF PC PA =-+u u u r u u u r u u u r ，设四面体PABC 与四面体PDEF 的体积分别为1V 、2V ，则21V V 的值为.二、单选题13．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n ⊥α成立的是（）A ．α⊥β，m ⊂βB ．α∥β，n ⊥βC ．α⊥β，n ∥βD ．m ∥α，n ⊥m14．如图，在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）.A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为1R ，与该正方体每条棱都相切的球半径为2R ，过该正方体所有顶点的球半径为3R ，则下列关系正确的是（）A ．123::2R R RB ．123+=R R RC ．222123+=R R RD ．333123+=R R R16．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（）A ．13B ．12C ．23D ．34三、解答题17．已知函数21()sin 22f x x x =+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 18．据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米.(1)求该蒙古包的表面积（不含底面）；(2)求该蒙古包的体积.19．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC ==1AC 与底面ABCD 所成的角为45︒ .(1)求四棱锥1A ABCD -的体积；(2)求异面直线1A B 与11B D 所成角的大小.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面11AAC C 为菱形，点1A 在底面上的投影为AC 的中点D ，且2AB =.(1)求证：1BD CC ⊥；(2)求点C 到侧面11AA B B 的距离；(3)在线段11A B 上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11AA B B请求出1A E 的长；若不存在，请说明理由.21．设m 为给定的实常数，若函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ，使得00()()()f x m f x f m +=+成立，则称函数()f x 为“()G m 函数”．（1）若函数()2x f x =为“(2)G 函数”，求实数0x 的值；（2）若函数2()lg 1a f x x =+为“(1)G 函数”，求实数a 的取值范围；（3）已知()f x xb =+(b ∈R )为“(0)G 函数”，设()|4|g x x x =-.若对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x ≠时，都有2211()()2()()g x g x f x f x ->-成立，求实数t 的最大值．。

2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期10月月考数学试题一、填空题1．函数sin 21y x =+的最小正周期为_____．【答案】π【详解】试题分析：22T ππ== 【解析】三角函数的周期.2．设复数z 满足i 32i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则Im z =___________．【答案】－3【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，即可求解.【详解】由i 32i z ⋅=+可得：()()()32i i 32i 23i i i i z +⋅-+===-⋅-，所以Im 3z =-，故答案为：3-. 3．已知3 cos 5θ=-，则sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 【答案】35- 【分析】根据诱导公式化简求值.【详解】由诱导公式可知3sin cos 25πθθ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭. 故答案为:35- 4．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________【答案】相交或异面【分析】分为,b c 共面和不共面，可确定两种位置关系.【详解】若,a b 为异面直线，//a c当,b c 共面时，,b c 相交；当,b c 不共面时，,b c 异面故答案为相交或异面【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，属于基础题.5．已知向量(),1a x =，()2,3b =-，若//a b ，则实数x 的值是______．【答案】23-【分析】应用向量共线的坐标表示得230x +=，即可求x .【详解】由题意知：230x +=，解得23x =-. 故答案为：23- 6．如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________．【答案】8【分析】根据斜二测画法，还原出原图，根据原图与直观图的关系，求得边长，即可得答案.【详解】根据直观图，还原原图可得OABC ，如图所示：根据原图与直观图的关系可得，1,222OA O A OB O B ''''====OA OB ⊥，所以223AB OB OA =+=，所以原图形OABC 的周长为3+1+3+1=8，故答案为：87．若复数1z i =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的一个根，则||c di +=___【答案】2【分析】先由题意，得到2(1)(1)0++++=i c i d ，化简整理，再由复数相等，得到22c d =-⎧⎨=⎩，根据复数模的计算公式，即可求出结果.【详解】因为复数1z i =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的一个根，所以2(1)(1)0++++=i c i d ，整理得：(2)()0+++=c i c d ，因此200c c d +=⎧⎨+=⎩，解得22c d =-⎧⎨=⎩.所以||22+=-+=c di i .故答案为【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数模的计算公式，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,AA AB 的中点，则EF 与平面11BDD B 所成角的大小为______．【答案】π6【分析】连接1111B D AC 、相交于O ，连接BO ，1AB ，转化为求直线1A B 和平面11BDD B 所成的角，再利用线面垂直的判定定理可得1A BO ∠就是直线1A B 和平面11BDD B 所成的角，由1111sin 2∠==A O A BO A B 可得答.【详解】连接1A B ，由于,E F 分别是1,AA AB 的中点，所以1//EF A B ，所以直线EF 和平面11BDD B 所成的角的大小等于直线1A B 和平面11BDD B 所成的角，连接1111B D AC 、相交于O ，连接BO ，根据正方体的几何性质可知1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，所以111BB AC ⊥，又因为1111AC B D ⊥，1111B D BB B ⋂=，111、⊂B D BB 平面11BDD B ，所以11A C ⊥平面11BDD B ，所以1A BO ∠就是直线1A B 和平面11BDD B 所成的角，因为111A B AC =，所以1112=AO A B ，所以1111sin 2∠==A O A BO A B ，1π0,2⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦A BO ，所以1π6∠=A BO ，故EF 与平面11BDDB 所成角的大小为π6. 故答案为：π6.9．在ABC 中，若4A π∠=，tan()7A B +=，32AC =ABC 的面积为___________. 【答案】212 【分析】利用公式求出sin B ，利用正弦定理求出AB ，利用三角形的面积公式可求出结果.【详解】因为tan()7A B +=，所以tan 7C =-，sin 7cos C C =-，所以22sin 49cos C C =，所以22sin 4949sin C C =-，所以249sin 50C =，所以2sin 10C =2cos C = 所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=22272(==35，由正弦定理得sin sin AB AC C B =3725AC =，得723210735AB ==，所以ABC 的面积11221sin 3272222S AC AB A =⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：212 【点睛】关键点点睛：利用正弦定理、三角形面积公式求解是解题关键.10．已知a 、b 满足4a =，b 在a 方向上的数量投影为2-，则3a b -的最小值为______．【答案】10【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】设a 、b 的夹角为([0,])θθπ∈，因为b 在a 方向上的数量投影为2-，所以cos 2b θ⋅=-，因此(,]2πθπ∈，因此cos [1,0)θ∈-，所以2b ≥， 22223(3)961696cos a b a b a b a b b a b θ-=-=+-⋅=+-⋅⋅⋅，因此有23649a b b -=+，因为2b ≥，所以当2b =时，3a b -有最小值，最小值为2649210+⨯=，故答案为：1011．已知函数()f x sin ωx ωx(ω0)=>，x R ∈，若函数()f x 在区间()ω,ω-内单调递增，且函数()f x 的图象关于直线x ω=对称，则ω的值为______．【分析】化函数为f （x ）＝2sin （ωx π3+），由正弦函数的单调增区间求出x 的取值范围，结合题意列不等式组求出k 的值，再根据函数f （x ）的对称轴求出ω的值．【详解】函数()πf x sin ωx ωx 2sin ωx 3⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，x R ∈，函数()f x 在区间()ω,ω-内单调递增，ω0>，πππ2k πωx 2k π232∴-≤+≤+，k Z ∈；可解得函数()f x 的单调递增区间为：15π1π2k π,2k πω6ω6⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，k Z ∈，可得：15πω2k πω6⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，⋯① 1πω2k πω6⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，⋯②其中k Z ∈， ∴解得：25π0ω2k π6<≤-且2π0ω2k π6<≤+，k Z ∈， 5π206π206k k ππ⎧->⎪⎪∴⎨⎪+>⎪⎩，解得：15k 1212-<<，k Z ∈，可解得：k 0=，又由ππωx k π32+=+，k Z ∈；可解得函数()f x 的对称轴为：1πx k πω6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，k Z ∈，由函数()y f x =的图象关于直线x ω=对称，可得：2πω6=，可解得：ω=．【点睛】本题主要考查了函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象与性质的应用问题，正确确定k 的值是解题的关键，是中档题12．已知O 为ABC 的外心，3ABC π∠=，BO BA BC λμ=+，则λμ+的最大值为________ 【答案】23【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系，设(),B x y ，列方程用、λμ表示出x y ，，代入圆的方程，再利用不等式解出λμ+的范围即可.【详解】设ABC 的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为3ABC π∠=，所以23AOC π∠=，不妨设()A 1,0，12C ⎛- ⎝⎭，(),B x y ，则()1,BA x y =--，12BC x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()y BO x =--，，因为BO BA BC λμ=+，所以()112x x x y y y λμλμ⎧⎛⎫--+=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪-+=-⎪⎪⎪⎝⎭⎩，解得12121x y λμλμλμ⎧-⎪=⎪+-⎪⎨⎪⎪=⎪+-⎩，因为B 在圆221x y +=上，所以22122111λμλμλμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222112λμλμ⎫⎛⎫-+=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22132λμλμλμ+-+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，所以()()21210433λμλμ+-++≥，解得23λμ+≤或2λμ+≥，因为B 只能在优弧AC 上，所以23λμ+≤，故23【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.二、单选题13．若l 、m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面α，则“//l α”是“l m ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用线面垂直性质定理去判断“//l α”与“l m ⊥”逻辑关系即可解决.【详解】若l 、m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面α，则由//l α，可以得到l m ⊥，即“//l α”是“l m ⊥”的充分条件；由l m ⊥，可得//l α或l ⊂α，即“//l α”不是“l m ⊥” 的必要条件.故“//l α”是“l m ⊥”的充分不必要条件故选：A14．函数()3sin cos f x x x =-图象的一条对称轴方程为（）A ．π6x =B ．π3x =C ．2π3x =D ．7π6x = 【答案】C【分析】由和差公式化简函数，由整体法令πππ62x k k -=+∈Z ，，即可求解. 【详解】()π3cos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令πππ62x k k -=+∈Z ，，即2ππ3x k k =+∈Z ，，故函数图象的一条对称轴方程为2π3x =．故选：C15．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点B【答案】B 【分析】根据异面直线的定义判断即可.【详解】A 选项：四边形11A D SP 是平行四边形，1A S 与1D P 相交，故A 错；C 选项：四边形11D B BD 是平行四边形，1D R 与1DB 相交，故C 错；D 选项：四边形11D B BD 是平行四边形，1D B 与1DB 相交，故D 错；利用排除法可得选项B 正确.故选：B.16．已知直线l 垂直平面α，垂足为O ，在矩形ABCD 中1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O 、D 两点间的最大距离为（）A 5B 21C 3D ．322+【答案】B【分析】利用OD OE ED ≤+等号能成立时求得O 、D 两点间的最大距离即可解决【详解】取AB 中点E ，连接OE 、DE ，则1,2OE DE ==则O 、D 两点间的距离12OD OE ED ≤+=当且仅当O 、E 、D 三点依次共线时等号成立，此时平面ABCD ⊥平面α，直线AB 与平面α所成角为11π3(π)(π)π2248ABO BEO ∠=-∠=-=故选：B三、解答题17．已知复数2i()z a a =+∈R ，且(2i)z -是纯虚数．(1)求复数z ；(2)若复数2(i)()z m m -∈R 在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围．【答案】(1)12i z =-+(2)(1,2)【分析】（1）由纯虚数的定义列出方程得出复数z ；（2）由复数的四则运算结合复数2(i)z m -在复平面内对应的点所在象限，列出不等式得出m 的取值范围．【详解】（1）∵2i z a =+，∴2(2i)(2i)(2i)2i 4i 2i 2i 4i 2(22)(4)i z a a a a a a a -=+-=-+-=-++=++-，又(2i)z -是纯虚数，∴220a +=且40a -≠，即1a =-，∴12i z =-+．（2）由（1）得：12i z =-+，则2222(i)(12i i)[1(2)i]1(2)2(2)i z m m m m m -=-+-=-+-=----，∵复数2(i)()z m m -∈R 在复平面内对应的点在第四象限，∴()()2120220m m ⎧-->⎪⎨--<⎪⎩，解得132m m <<⎧⎨<⎩，故m 的取值范围为(1,2)．18．已知向量()31，a =，4a b ⋅=． (1)当4b =，求;a b + (2)求b 的最小值，并求此时向量a ，b 的夹角大小．【答案】(1)(2)最小值为2，此时a ，b 夹角大小为0【分析】（1）根据模长公式即可求解，（2）根据模长的坐标运算即可利用函数的性质求最值.【详解】（1）因()31312，a a =⇒=+= 因为222||2481628a b a a b b +=+⋅+=++=，所以27a b +=．（2）解法1:设,a b θ<>=，，因为40a b ⋅=>，所以02πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，由42cos 42cos cos =a b a b b a θθθ⋅==⇔=≥，当且仅当cos 1θ=即0θ=时取等;所以b 最小值为2，此时a ，b 夹角大小为0．解法2:设()，b x y =，由44a b y ⋅=⇒+=，所以2b x y =+==;故当x =1y =时b 最小值为2，此时cos ,1,0a ba b a b a b ⋅<>==⇒<>=．19．如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160D A A ∠=，14AD =，P 为1AD 的中点，(1)求证：直线1//C P 平面1AB C ；(2)求异面直线1AA 与1B P 所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)64【分析】（1）连接1BC 交1B C 于点Q ，可证得四边形1AQC P 为平行四边形，由此可得1//AQ C P ，利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）方法一：取11A D 中点E ，知1//PE AA ，则所求角为1B PE ∠，在1RT B PE 中，由长度关系可求得结果；方法二：以1A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接1BC 交1B C 于点Q ，连接AQ ，四边形11BCC B 为长方形，Q ∴为1BC 中点，又P 为1AD 中点，11BC AD =， 1AP C Q ∴=，又11//AD BC ，∴四边形1AQC P 为平行四边形，1//AQ C P ∴，AQ ⊂平面1AB C ，1C P ⊄平面1AB C ，1//C P ∴平面1AB C .（2）方法一：取11A D 中点E ，连接11,,PE B E B P ，,P E 分别为111,AD A D 中点，1//PE AA ∴， ∴1B PE ∠即为异面直线1AA 与1B P 所成角，1AA ⊥平面1111D C B A ，PE ∴⊥平面1111D C B A ，又1B E ⊂平面1111D C B A ，1PE B E ∴⊥；14AD =，1160D A A ∠=，111AA A D ⊥，112A D ∴=，123AA =，2211115B E A B A E =+=，1132PE AA ==，221122B P B E PE ∴=+=， 1136cos 422PE B PE B P ∴∠===，即异面直线1AA 与1B P 所成角的余弦值为64. 方法二：14AD =，1160D A A ∠=，111AA A D ⊥，112A D ∴=，123AA =；以1A 为坐标原点，11111,,A B A D A A 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()10,0,0A ，(3A ，()12,0,0B ，(3P ，(10,0,AA ∴=-，(1B P =-，111111cos ,23AA B PAA B P AA B P⋅∴<>===⋅ 即异面直线1AA 与1B P 20．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．且222222sin sin sin 2a A C b c c Ca b-+-=+-．(1)求角B 的大小；(2)求sin sin A C +的取值范围； (3)若2C π=，2BC =，O 为BC 中点，P为线段AO 上一点，且满足0BP CP ⋅=．求AP 的值，并求此时BPC △的面积S ．【答案】(1)3B π=(2)sin sin A C ∈⎝+ (3)1AP =，BPC △的面积S【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可；（2）根据（1）可得23A C π+=，得到2sin sin sin sin 3A C A A π⎛⎫+=+-⎪⎝⎭，再根据正弦的和差角公式与辅助角公式，根据角度的范围求解即可；（3）先根据直角三角形中的关系求解得1AP =，再设OCP α∠=，推导可得sin 2S α=，再根据sin sin 2ACCOA AOα∠==求解即可【详解】（1）由正弦定理及222222sin sin sin 2a A C b c c C a b -+-=+-，得2222222a c a b c c a c b -+-=+-，即2222222222222211a a a b c a c a c b a c b -+--==-+-+-，化简得222a cb ac +-=，故2221cos 22a cb B ac +-==．又()0,B π∈，故3B π=．（2）由（1）知，23A C π+=，故21sin sin sin sinsin sin 32A C A A A A A π⎛⎫+=+-=+⎪⎝⎭ 3sin 26A A A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.又203A π<<，则5666A πππ<+<，33sin ,362A π⎛⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故3,32sin sin A C ⎛⎤∈ ⎝+⎥⎦．（3）∵0BP CP ⋅=，∴PB PC ⊥，∵2BC =，O 为BC 中点，∴1PO =， ∵2a =，∴23AC =4AB =，∴()2223113AO +131AP ，设OCP α∠=，则2COP πα∠=-， ∴1sin 2PB PB BC α==，1cos 2PC PC BC α==， ∴12sin cos sin 22S PB PC ααα=⨯==，在直角ACO △中，()23239sin sin 2sin 213AC COA AO παα∠=-=== ∴当131AP =时，BPC △的面积S 23921．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，定义非零向量(,)OM a b =的“相伴函数”为sin cos ()y a x b x x =+∈R ，向量(,)OM a b =称为函数sin cos ()y a x b x x =+∈R 的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S(1)已知R α∈，()cos()2cos h x x x α=++，若函数()h x 为集合S 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；(2)已知点(,)M a b 满足条件：3a =，03b <≤OM 的“相伴函数”()y g x =在0x x =处取得最大值，当b 在区间3]变化时，求0tan 2x 的取值范围；(3)当向量(3,1)OM =时，“相伴函数”为()f x ，若110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程2()(2)()30f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[1,3] (2)[3,0)(3)(1,3](4,5)⋃【分析】（1）把()h x 化为sin cos a x b x 形式得“相伴向量”OM ，求出模后可得其范围；（2）写出“相伴函数”()y g x =，根据辅助角公式得最大值及最大值点0x ，由b 的范围得0x 的范围，再得出02x 的范围后可得0tan 2x 的取值范围；（3）由定义得()f x 并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程2()(2)()30f x a f x a +-+-=得()1f x =或()3f x a =-，()1f x =求得两根，然后作出函数()f x ，110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象，由图象可得()3f x a =-且31a -≠有两根的a 的范围．【详解】（1）()cos()2cos cos cos sin sin 2cos sin sin (2cos )cos h x x x x x x x x ααααα=++=-+=-⋅++， ∴函数()h x 的相伴向量(sin ,2cos )OM αα=-+，(sin OM ==∴cos 1α=时，max3OM=；cos 1α=-时，min1OM==.∴OM 的取值范围为[1，3]（2）OM 的相伴函数()sin cos )g x a x b x x ϕ=++ 其中cos ϕ=sin ϕ=.当22x k πϕπ+=+，Z k ∈，即022x k πϕπ=-+，Z k ∈时，()g x 取得最大值，∴013tan tan 22tan a x k b bπϕπϕ⎛⎫=-+=== ⎪⎝⎭，∵0b <≤∴0tan )x ∈+∞，∴0,()32x k k k Z ππππ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭，∴0222,2()3x k k k Z ππππ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭.∴0tan 2[x ∈.（3）1()cos cos )2sin 26f x x x x x x π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，当110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,266x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由2()(2)()30f x a f x a +-+-=，得：(()1)(()(3))0f x f x a ---=， ∴()1f x =或()3f x a =-，由()1f x =，即1sin 62x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0x =或23x π=，即∴()1f x =在110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个根，方程2()(2)()30f x a f x a +-+-=在110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在4个不相等的实数根，当且仅当()3f x a =-且31a -≠在110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数()y f x =在110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线3y a =-，如图，方程()3(4)f x a a =-≠在110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，当且仅当函数()y f x =在110,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图像和直线3(4)y a a =-≠有两个公共点，观察图像知：230a -<-≤或132a <-<，解得13a 或45a <<，所以实数a 的取值范围是(1,3](4,5)⋃.。

2022-2023学年上海市高二上学期10月月考数学检测试题(含解析)

2022-2023学年上海市高二上学期10月月考数学检测试题一、填空题1．直线l 经过点(1,2)A -，且倾斜角为2π，则直线l 的方程为__．【正确答案】=1x -【分析】倾斜角为2π，即是垂直于x 轴，据此可以直接写出直线方程.【详解】由于倾斜角为2π，所以l 垂直于x 轴，直线方程为=1x -；故=1x -.2．若方程2224380x y kx y k +++++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是______．【正确答案】()(),14,-∞-⋃+∞【分析】根据题意得()24164380k k +-+>，再解不等式即可得答案.【详解】解：因为方程2224380x y kx y k +++++=表示一个圆所以，()24164380k k +-+>，即2340k k -->，解得4k >或1k <-.所以，实数k 的取值范围是()(),14,-∞-⋃+∞故()(),14,-∞-⋃+∞3．两条直线50x y a ++=与0x y a --=的交点在曲线2y x a =+上，则实数=a __．【正确答案】0或1-【分析】先求出两条直线50x y a ++=与0x y a --=的交点代入曲线2y x a =+，解方程即可得出答案.【详解】由500x y a x y a ++=⎧⎨--=⎩，解得23x a y a =-⎧⎨=-⎩．因为两直线50x y a ++=与0x y a --=的交点在曲线2y x a =+上，所以23(2)a a a -=-+，化为(1)0a a +=，解得0a =或1-．故0或1-4．若直线()2240x a y +++=与直线()1220a x y -++=平行，则实数a 的值为_________.【正确答案】3-根据两直线平行的条件列方程求得a 的值，然后检验，排除两直线重合的情况.【详解】由题意得()()2221a a ⨯=+-,即260a a +-=,解得3a =-或2a =.当2a =时，两直线方程都为：220x y ++=，两直线重合;当3a =-时，两直线方程分别为：240,210x y x y -+=--=,两直线平行.故答案为.3-本题考查利用两直线的平行求参数，属基础题，易错点是忽视重合的情况的排除.5．经过点P (3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（写出一般式）___．【正确答案】x+y-5=0或2x-3y=0【分析】当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距相等，可得其方程为2x ﹣3y ＝0；当直线不经过原点时，可得它的斜率为﹣1，由此设出直线方程并代入P 的坐标，可求出其方程为x +y ﹣5＝0，最后加以综合即可得到答案．【详解】当直线经过原点时，设方程为y ＝kx ，∵直线经过点P （3，2），∴2＝3k ，解之得k 23=，此时的直线方程为y 23=x ，即2x ﹣3y ＝0；当直线不经过原点时，设方程为x +y +c ＝0，将点P （3，2）代入，得3+2+c ＝0，解之得c ＝﹣5，此时的直线方程为x +y ﹣5＝0．综上所述，满足条件的直线方程为：2x ﹣3y ＝0或x +y ﹣5＝0．故x+y-5=0或2x-3y=0．本题给出直线经过定点且在两个轴上的截距相等，求直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题．6．已知点00(,)M x y 是圆222:()0O x y r r +=>外一点，则直线200x x y y r +=与圆O 的位置关系为__．【正确答案】相交【分析】先由点与圆的位置关系得22200x y r +>，再利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即可.【详解】因为点00(,)M x y 是圆222:()0O x y r r +=>外一点，所以22200x y r +>，又圆心O 到直线直线200x x y y r +=的距离2d r =，所以直线200x x y y r +=与圆O 相交.故相交.7．平面直角坐标系内，点(1,2)A ，点(13,1)B 到直线l 的距离分别为1,2，则满足条件的直线l 有__条.【正确答案】4【分析】动直线和点的距离不变，可理解为直线是圆的切线，对于本题，利用两圆的位置关系得出两圆公切线的条数，从而得到答案.【详解】把直线l 看成以(1,2)A 为圆心，1为半径的圆的切线，同时是以(13,1)B 为圆心，2为半径的圆的切线，由于两圆圆心距12AB =>+，所以两圆外离，根据外离的两圆的公切线有4条可知，所以满足条件的直线l 有4条.故48．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是__________．【正确答案】11b -<≤或b =【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线x =可得221(0)x y x +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x =（1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d =，结合图像可得b =；（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤.故11b -<≤或b =.方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果x 或y 有限制，需要数形结合进行分析.9．圆22640x y x y +-+=和圆22450x y x +--=交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是________.【正确答案】24y x =-+【分析】弦AB 的垂直平分线即两圆心连线.【详解】2222640(3)(2)13x y x y x y +-+=⇒-++=2222450(2)9x y x x y +--=⇒-+=弦AB 的垂直平分线即两圆心连线方程为24y x =-+故答案为24y x =-+本题考查了弦的垂直平分线，转化为过圆心的直线可以简化运算.10．已知圆C ：22(4)(3)4x y -+-=和两点(),0A m -，(),0(0).B m m >若圆C 上存在点M ，使得AM MB ⊥，则m 的最小值为______【正确答案】3【分析】根据题意，由A 、B 的坐标分析AB 中点的坐标以及AB 的值，进而求出以AB 的中点为圆心，半径12r AB =⨯的圆的方程，由圆与圆的位置关系可得圆C 与圆O 有交点，进而可得2525m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，解可得m 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，点(),0A m -，(),0(0)B m m >，则AB 的中点为()0,0，2AB m =，则以AB 的中点为圆心，半径12r AB =⨯的圆为222x y m +=，设该圆为圆O ，若圆C 上存在点M ，使得AM MB ⊥，则圆C 与圆O 有交点，必有22m OC m -≤≤+，即2525m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，又由0m >，解可得：3m 7≤≤，即m 的最小值为3；故3．本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程，属于基础题．11．设点(3,5)A ，点B 和C 分别为直线:220l x y -+=和y 轴上的两动点，则ABC 的周长的最小值为__．【正确答案】【分析】由题可求点A 关于y 轴的对称点M ，A 关于:220l x y -+=的对称点D ，然后利用数形结合即得.【详解】因为点(3,5)A ，则A 关于y 轴的对称点M 为(3,5)-，设A 关于:220l x y -+=的对称点为(),D a b ，则511323522022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得5,1a b ==，即()5,1D ，所以MC CA =，AB BD =，所以ABC 的周长为MC CB BD ++，则当,,,M C B D 共线时，ABC 的周长的值最小，此时三角形周长为22(53)(15)45DM =++-=故4512．将函数29103([0,10])y x x x =+-∈的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角(0)θθα≤≤，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为__（结果用反三角函数表示）．【正确答案】3arctan5【分析】作出函数图像，数形结合，确定当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于MOB ∠时，曲线C 将不是一个函数的图像，由此求得答案.【详解】先画出函数29103([0,10])y x x x =+-∈的图像,如图：2()9103([0,10])f x x x x =+-∈，函数图像是一个圆弧，圆心为(5,3)M -，与x 轴分别交于()()0,0,10,0O B ，设此时过原点和圆弧相切的直线为l ,由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于MOB ∠时，此时l 将逆时针旋转越过y 轴，y 轴将与旋转后的圆弧有两交点，此时曲线C 将不是一个函数的图像，故α的最大值为MOB ∠，因为(5,3)M -，故arct n 3a 5MOB ∠=,故3arctan5二、单选题13．已知直线21:20l x y t ++=和直线2:24230l x y t ++-=，则当1l 与2l 间的距离最短时，t的值为（）A ．1B ．12C ．13D ．2【正确答案】B【分析】利用平行线之间的距离公式可求出d 关于t 的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解.【详解】解：∵直线2:24230l x y t ++-=即为直线23202t x y -++=，∴直线1//l 直线2l ．∴1l 与2l 间的距离2222231552244512t t t d -⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=+ 12t =时取等号．∴当1l 与2l 间的距离最短时，t 的值为12．故答案选：B14．若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为，则实数a 的值为（）A ．0或4B ．0或3C ．2-或6D ．1-【正确答案】A【分析】根据直线被圆所截得的弦长为“,r d ”法求解.【详解】由圆的方程22()4x a y -+=可知，圆心坐标为(,0)a ，半径2r =．又直线被圆截得的弦长为所以圆心到直线的距离d =．又d =，所以|2|2a -=，解得4a =或0a =．故选：A ．15．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为A ．3B ．2C ．13-D ．12-【正确答案】A【详解】，，设底边为由题意，到所成的角等于到所成的角于是有，再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案是A ．16．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π【正确答案】A【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1122O l d -=，圆C 面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A.抛物线定义.三、解答题17．在ABC 中，三个顶点的坐标分别为(3,3)A ，(2,2)B -，(7,1)C -.(1)求直线BC 的方程；(2)求BC 边上的高AD 所在直线的方程；(3)求BAC ∠的平分线AE 所在直线的方程．【正确答案】(1)340x y ++=(2)360x y --=(3)0x y -=【分析】（1）利用两点求出斜率，用点斜式直接写出结果后整理化简即可；（2）由两直线垂直可知，1AD BC k k =-先得到AD k ，再由点斜式直接写出结果后整理化简；（3）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两端的距离相等，直接找出角平分线上一点满足的关系，并结合图形排除不符合的情况.【详解】（1）依题意得，直线BC 的方程为122(2)72y x ++=---，即340x y ++=；（2）依题意，BC AD ⊥，由两直线垂直可知，1AD BC k k =-，结合上一问，13BC k =-，故3AD k =，于是AD 所在直线方程为：33(3)y x -=-，即360x y --=；（3）设BAC ∠平分线AE 上的任意一点(,)P x y ，又ABC 顶点(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -，3(2)532AB k --==-，所以直线AB 方程为35(3)y x -=-，即5120x y --=，3113(7)5ACk -==--，直线AC 的方程为13(3)5y x -=-，即5120x y -+=，由角平分线的性质可知：点P 到直线AC 距离等于点P 到直线AB=，故512(512)x y x y --=±-+，即60x y +-=或0x y -=．结合图形，得AC AE AB k k k <<，即155AE k <<，直线60x y +-=的斜率为1-，不符题意，故舍去．故BAC ∠的平分线AE 所在直线的方程为0x y -=．18．已知点(4,0)A -，(2,0)B ，动点P 满足||2||PA PB =．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 经过点(0,2)M -且与曲线C 只有一个公共点，求直线l 的方程．【正确答案】(1)22(4)16x y -+=；(2)0x =或3480x y ++=．【分析】（1）设(,)P x y ，根据两点间距离公式结合条件即得；（2）由题可知直线与圆相切，分斜率存在和不存在讨论，结合点到直线的距离公式即得.【详解】（1）设(,)P x y ，因为点(4,0)A -，(2,0)B ，动点P 满足||2||PA PB =，2222(4)2(2)x y x y ++=-+，整理得2280x y x +-=，即22(4)16x y -+=，所以曲线C 方程为22(4)16x y -+=；（2）由22(4)16x y -+=，可知曲线C 为圆心为()4,0，半径为4的圆，所以直线l 与圆相切，当直线l 的斜率不存在时，直线:0l x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线2y kx =-，即20kx y --=，241k =+，解得34k =-，所以直线l 的方程为324y x =--，即3480x y ++=，综上，直线l 的方程为0x =或3480x y ++=．19．已知点(2,0)P 及圆22:6440C x y x y +-++=.（1）设过点P 的直线1l 与圆C 交于,M N 两点，当||4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于,A B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)22(2)4x y -+=（2）不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线2l 垂直平分弦AB【详解】试题分析：（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C 到P 的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d ，发现|CP|与d 相等，所以得到P 为MN 的中点，所以以MN 为直径的圆的圆心坐标即为P 的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y 得到关于x 的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的取值范围，利用反证法证明证明即可．试题解析：（Ⅰ）由于圆22:6440C x y x y +-++=的圆心()3,2C -，半径为3，CP =d =，所以d CP ==P 为MN 的中点，所以所求圆的圆心坐标为()2,0，半径为122MN =，故以MN 为直径的圆Q 的方程为：()2224x y -+=．（Ⅱ）把直线10ax y -+=及1y ax =+代入圆C 的方程，消去y ，整理得：()()2216190a x a x ++-+=，由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(),0-∞．设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在直线2l 上，所以2l 的斜率2PC k =，所以12AB k a ==，由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ．20．已知圆:O 221x y +=和定点()2,1A ，由圆O 外一点(),P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =.(1)求实数a b 、间满足的等量关系；(2)求线段PQ 长的最小值；(3)若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程.【正确答案】(1)230a b +-=；(3)226314555x y -⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）利用切线长公式结合条件可得()()2222121a b a b +-=-+-，即得；（2）表示出PQ 利用配方法即可求出PQ 的最小值；（3）由⊙P 与⊙O 有公共点，可得1r PO ≥-，只需求出OP 的最小值以及取得最小值时的,a b 的值，即可求出半径最小值的圆的方程.【详解】（1）由圆的切线的性质可得，222||||PQ OP OQ =-，又PQ PA =，∴()()2222121a b a b +-=-+-，∴230a b +-=；（2）∵230a b +-=，∴23b a =-+，∴PQ ====∴当65a =时，线段PQ ；（3）设P 半径为r ，∵⊙P 与⊙O 有公共点，⊙O 半径为1，∴11r PO r -≤≤+，即1r PO ≥-且1r PO ≤+，又OP ===∴当65a =时，min ||5OP =，此时35=b ，min 15r =-，∴当半径取最小值时，圆P 方程为：222631555x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即226314555x y -⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．21．已知直线:0l ax by c ++=和点00(,)P x y ，点P 到直线l 的有向距离(,)d P l 用如下方法规定：若0b ≠，(,)d P l =，若0b =，0(,)ax c d P l a+=．(1)已知直线1:34120l x y -+=，直线2:230l x +=，求原点O 到直线12,l l 的有向距离12(,),(,)d O l d O l ；(2)已知点(2,1)A 和点(3,1)B -，是否存在通过点A 的直线3l ，使得3(,)2d B l =？如果存在，求出所有这样的直线3l ，如果不存在，说明理由；(3)设直线4:cos 2sin 20l x y αα+-=，问是否存在实数0t >，使得对任意的参数α都有：点12(,0),(,0)F t F t -到4l 的有向距离()()1424,,,d F l d F l 满足()()1424,,1d F l d F l ⋅=？如果满足，求出所有满足条件的实数t ；如果不存在，请说明理由．【正确答案】(1)112(,)5=-d O l ，23(,)2=d O l (2)10y -=或4350x y --=(3)存在，t【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可.(2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程.(3)分sin 0α=和sin 0α≠，分别计算出()()1424,,,d F l d F l ，然后根据题意()()1424,,1d F l d F l ⋅=可得出关于t 和α的等量关系，进行求出t 的结果.【详解】（1）由直线1:34120l x y -+=，直线2:230l x +=，根据点到直线的有向距离公式得，112(,)5d O l ==-，22033(,)22d O l ⋅+==；即112(,)5=-d O l ，23(,)2=d O l （2）当直线3l 的斜率不存在时，直线3l 的方程为20x -=，此时3132(,)121d B l ⨯-==≠，舍去；当直线3l 的斜率存在时，直线3l 的方程为1(2)y k x -=-，化为120kx y k -+-+=，假设3(,)2d B l ==，则2340k k -=，解得0k =或43．所以存在直线3l 的方程为10y -=或4350x y --=；（3）当sin 0α=时，直线4:cos 20l x α-=，()()1424cos 2cos 2,,,cos cos t t d F l d F l αααα---==，由()()14242(cos 2)(cos 2),,1cos t t d F l d F l ααα---⋅==，整理得2224cos cos t αα-=， 22sin cos 1αα+=，∴23t =， 0t >，即t =当sin 0α≠时，直线4:cos 2sin 20l x y αα+-=，得()()1424,,,d F l d F l =由()()142422(cos 2)(cos 2),,1cos 4sin t t d F l d F l αααα---⋅==+，即222224cos cos 4sin 43cos t αααα-=+=-，2224cos 43cos t αα-=-或2224cos 3cos 4t αα-=-，解得23t =或22(3)cos 8t α+=，由题意对任意的参数α都有()()1424,,1d F l d F l ⋅=恒成立，所以t ，综上所述，存在实数0t >满足题目条件，即t =。

上海市实验学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

上海市实验学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、填空题1．“直线l 垂直于平面α内无数条直线”是“l α⊥”的条件．2．直线与平面所成角的取值范围是.（弧度制）3．直线l 与平面α的位置关系有.4．在长方体1111ABCD A B C D -中，如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么222cos cos cos αβγ++=．5．已知直角三角形ABC 中，3AC =，4BC =，若EC ⊥平面ABC ，2EC =，则E 到斜边AB 的距离为.6．在长方体1111ABCD A B C D -中，若17,24AA AB ==，则直线11B C 到平面11A BCD 的距离是.7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB BC AA ===1AD 与1DB 所成角的余弦值为.8．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q ，R 分别是面111111,A B C D BCC B ，11ABB A 的中心，给出下列结论：①PR 与BQ 是异面直线；②RQ ⊥平面11BCC B ；③平面//PQR 平面1D AC ；④过P ，Q ，R 的平面截该正方体所得截面是边长为2的等边三角形，以上结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是.10．已知边长为ABC V ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且//DE BC ，以DE 为折痕，把ADE V 折起至A DE ' ，使点A '在平面BCED 上的射影H 始终落在BC 边上，记2ADE S A H=' 的面积，则S 的取值范围为.11．四面体ABCD 中，已知2AB =，1119,8,22AD BC CD ===，则异面直线AC 与BD 所成角的正弦值是.二、单选题12．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334 ,l l l l l l ⊥⊥⊥，，则下面结论一定正确的是（）A ．14l l ⊥B ．14//l l C ．14l l 、既不垂直也不平行D ．14l l 、的位置关系不确定14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（）A ．若,//m n n α⊥，则m α⊥B ．若//,m ββα⊥，则m α⊥C ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥D ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成的角为π4，底面ABCD 为直角梯形，,22π,1ABC BAD AD PA BC ∠=∠====，点E 为棱PD 上一点，满足()01,PE PD λλ=≤≤则下列结论正确的个数为（）①CD ⊥平面PAD ；②在棱PD 上不存在点E ，使得//CE 平面PAB ；③当12λ=时，异面直线CE 与AB 所成角的余弦值为5④点P 到直线CD A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个三、解答题16．如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB =2,BC =2,14CC =,M 为棱1CC 上一点．(1)若11C M =,求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值;(2)若12C M =,求证BM ⊥平面11A B M ．17．（1）用文字语言叙述“直线与平面平行的判定定理”；（2）把（1）中的定理写成“已知:……，求证:……”的形式；（3）证明直线与平面平行的判定定理.18．如图，在平行四边形ABCD 中，2,120AB BC ABC =∠=︒，E 为线段AB 的中点，M 为线段DE 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折成A DE ' ，使得A M '⊥平面BCD ，F 为线段A C '的中点.(1)求证：//BF 平面A DE¢(2)求直线FM 与平面A DE ¢所成角的余弦值.19．已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，P 是底面ABC V 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α，β，γ.求证：(1)π2αβγ++>；(2)3arcsinαβγ++≤20．已知数列{}{}n n a b 与满足:()112310,,N ,2nn n n n n n b a a b a b n *++++-++==∈且2,4a a ==₁₂(1)设2121N ,n n n c a a n +*-=+∈证明：{}n c 是等比数列；(2)设242,N k k S a a a k *=+++∈ ，证明：4176nk k kS a =<∑()N .n *∈。

2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．,,a b c R ∈，,,a b c 成等比数列是2b ac =的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分 C ．充要 D ．既不充分也非必要【答案】A【分析】将“,,a b c 成等比数列”与“2b ac =”相互推导，根据能否推导的情况，判断出充分、必要条件. 【详解】当“,,a b c 成等比数列”时，2b ac =；当“2b ac =”时，可能0a b c ===，此时“,,a b c 不成等比数列”.所以“,,a b c 成等比数列”是“2b ac =”的充分非必要条件. 故选：A【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比中项的性质，属于基础题. 2．关于函数()()π4sin 23f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R 有下列命题：①4π3y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数；②要得到函数()4sin 2g x x =-的图像，只需将()f x 的图像向右平移π3个单位；③()y f x =的图像关于直线π12x =-对称； ④()y f x =在[]0,2π内的单调增区间为5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦和11π,2π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．其中正确命题的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】对于①，化简函数的解析式即可判断函数的奇偶性；对于②，利用三角函数的图象的平移求解析式即可；对于③，通过x 的值，代入函数的解析式，判断函数是否取得最值即可；对于④，利用函数y =sin x 的单调性即可判断．【详解】对于①，因为π()4sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以4π8ππ7π4sin 24sin 23333y f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π4sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然4π3y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是非奇非偶函数，故①不正确；对于②，将()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到()ππ4sin 24sin 2π33y x x ⎡⎤⎛⎫=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4sin2x =-，所以要得到函数()4sin 2g x x =-的图象，只需将()f x 的图象向右平移π3个单位长度，故②正确；对于③，当π12x =-时，πππ()4sin 24sin 41232f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()y f x =的图象关于直线π12x =-对称，故③正确；对于④，因为函数π()4sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由222232k x k πππππ-≤-≤+，Z k ∈，得1212k x k π5ππ-≤≤π+，Z k ∈，所以()y f x =在[]0,2π内的增区间为5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦和11π17π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故④不正确；综上：①④不正确，②③正确，故正确命题的个数为2. 故选：B.3．已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论： ①3450a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值； ③221a b +>； ④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞. 正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】由M 与N 的位置关系有3450a b -+<，数形结合法判断M 位置，结合11b a +-的几何意义判断a b +、11b a +-的范围，应用点线距离公式有222225()34a b +>+判断③. 【详解】将(0,1)N -代入有304(1)590⨯-⨯-+=>，而M 与N 在3450x y -+=的两侧，则3450a b -+<，①错误；由上知：3450a b -+<且0a >，则M 在直线上方与y 轴右侧部分，所以54a b +>，故a b +无最值，②错误；由上图知：M在直线左上方，则2221a b +>=，③正确；由3450x y -+=过5(0,)4且0a >且1a ≠，即M 在直线上方与y 轴右侧部分，而11b a +-表示(1,1)-与M 连线的斜率，由图知：193(,)(,)144b a +∈-∞-⋃+∞-，④正确. 故选：B4．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l的距离为2d >，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． ∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．二、填空题5．已知两条直线1l ：4x 2y 30+-=，2l ：2x y 10++=，则l l 与2l 的距离为______．【分析】将2l ：2x y 10++=化为4x 2y 20++=，再由平行线间的距离公式即可求出结果. 【详解】因为2l ：2x y 10++=可化为4x 2y 20++=，所以l l 与2l 的距离为d .【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，熟记公式即可，属于基础题型.6．已知(),2a k =-，()3,5b =-，且a 与b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______．【答案】1066,,355⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;【分析】由已知得0a b ⋅<且,a b 不共线，结合向量的坐标运算可得出关于k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围.【详解】因为(),2a k =-，()3,5b =-，且a 与b 的夹角为钝角，所以0a b ⋅<且,a b 不共线，则()()()(),23,531005230k k k ⎧-⋅-=--<⎪⎨--⨯-≠⎪⎩，解得103k >-且65k ≠，即1066,,355k ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1066,,355⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7．已知直线260x a y ++=与直线(2)320a x ay a -++=平行，则a 的值为__________．【答案】0或1-##-1或0【详解】若直线260x a y ++=与直线(2)320a x ay a -++=平行，则2(2)3a a a -=，且2(2)a b a ≠-，解得：0a =或1a =-． 8．已知11iz i(i 是虚数单位)是方程210x ax -+=()a R ∈的一个根，则z a -=__________. 【答案】1【分析】先利用复数的除法运算求出z ，然后代入方程求出a ,利用共轭复数和模的定义求解即可.【详解】(1)(1)2(1)(1)211i i ii i i z i i ---===-+--=+， 210i ai ∴++=，解得 0a =，1z a z i ∴-===，故答案为：19．过点()3,4P 且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l 的斜截式方程是______．【答案】22y x =-或8493y x =+ 【分析】由题意设直线l 为()43y k x -=-，从而求得在坐标轴上的截距，再利用三角形面积公式得到关于k 的二次方程，解之即可.【详解】由题意所求直线l 的斜率必存在，且不为0，设其斜率为(0)k k ≠，则直线l 方程为()43y k x -=-，令0x =，得43y k =-，令0y =，得34k x k-=，故所围三角形面积为1344312k k k--=，即2(34)2k k -=，当0k >时，上式可化为2926160k k -+=，解得2k =或89k =；当0k <时，上式可化为2922160k k -+=，方程无解；综上：直线 l 的斜截式方程是22y x =-或8493y x =+. 故答案为：22y x =-或8493y x =+. 10．无穷等比数列{}()*,n n a n a ∈∈N R 的前n 项和为n S ，且lim 2n n S →+∞=，则首项1a 的取值范围是_______．【答案】()()0,22,4;【分析】利用无穷等比数列的前n 项和的极限得到1,a q 的关系，再由01q <<即可求得1a 的取值范围.【详解】因为在无穷等比数列{}()*,n n a n a ∈∈N R 中，1lim 21n n a S q→+∞==-，即()121a q =-，因为01q <<，所以当01q <<时，12011,0q a <<<<-；当10q -<<时，14112,2q a <<<<-；综上：102a <<或124a <<，即()()0,22,4a ∈.故答案为：()()0,22,4.11．已知圆C 与圆D ：224230x y x y +--+=关于直线4250x y +-=对称，则圆C 的方程为_______．【答案】222x y +=【分析】已知圆D ：224230x y x y +--+=，化为标准方程可得圆心坐标及半径，圆C 与圆D 关于直线对称，转化为两圆心关于直线对称，半径相等，求出圆C 的圆心，则可得圆C 的方程. 【详解】因为22224230(2)(1)2x y x y x y +--+=⇒-+-=，设圆C 的圆心为(),C a b ，又因为圆C 与圆D 关于直线4250x y +-=对称，即圆心(2,1)D 与(,)a b 关于直线4250x y +-=对称，所以1(2)1221425022b a a b -⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，所以，圆C 的方程为222x y +=12．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P满足PA PB=P ，A ，B 不共线时，△P AB 面积的最大值是________.【答案】【解析】设(1,0)A ，(1,0)B -，(,)P x y ，=化简得22(3)8x y ++=，当点P 到(AB x轴）距离最大时，PAB ∆面积的最大值. 【详解】设(1,0)A ，(1,0)B -，(,)P x y=22(3)8x y ++=如图，当点P 到(AB x 轴）距离最大时，PAB ∆面积的最大值， PAB ∴∆面积的最大值是1222222⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，属于中档题．13．若圆1C ：221x y +=和圆2C ：22680x y x y k +---=没有公共点，则实数k 的取值范围是_______．【答案】()()25,911,+--∞【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解即可．【详解】化圆2C ：22680x y x y k +---=为()()223425x y k -+-=+，则25k >-，圆心坐标为()3,425k + 圆1C ：221x y +=的圆心坐标为()0,0，半径为1，要使圆1C ：221x y +=和圆2C ：22680x y x y k +---=没有公共点，则12251C C k +或12251C C k +，而129165C C +=，所以5251k >+或5251k <+，解得259k -<<-或11k >，故实数k 的取值范围为()()25,911,+--∞.故答案为：()()25,911,+--∞.14．过点A （11,2）作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有___ 【答案】32【分析】化简圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数．【详解】将圆的方程化为标准方程得：（x +1）2+（y ﹣2）2＝169， ∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r ＝13，∵A 到圆心的距离d 22(111)(22)=++-=12， ∴最短的弦长为222r d -=10，则圆心（﹣1，2），半径r ＝13过点A （11，2）的最短的弦长为10，最长的弦长为26，（分别只有一条）还有长度为11，12，…，25的各2条，则共有弦长为整数的2+2×15＝32条．故答案为32【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，实际上是求弦长问题，容易出错的地方是：除最小最大弦长外，各有2条．15．如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心足正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中. 已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的育区中的时长约为________秒（精确到0.1）【答案】4.4【分析】以O 为坐标原点,建立适当的平面直角坐标系,求得,P Q 的坐标和直线PQ 的方程,圆O 方程,运用点到直线的距离公式,以及直线和圆相交的条件,解不等式即可得到所求时长. 【详解】以O 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系：由题意可设(10,10 1.5),(10,10)P t Q t -+-，所以直线PQ 的方程为：20 2.5(10)(10)20ty t x ---=-，圆O 方程为：221x y +=，因为直线PQ 与圆O 有交点，所以220 2.5102120 2.5120tt t -+-≤-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，化为23161280t t +-=，解得87803t -≤≤，所以点Q 在点P 的盲区中的时长约为4.4秒. 故答案为：4.4【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，直线和圆的位置关系,坐标法和二次不等式的解法,属于中档题.16．若实数x 、y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是______. 【答案】{}0[4,20]⋃【详解】令(),0y a x y b a b =-=≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，且题设等式化为2242a b a b +-=.于是，a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分，即点O 与弧ACB 并集.故{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.从而，{}[]2204,20x a b =+∈⋃.三、解答题 17．(1)若动点M 到定点1,2的距离与到定直线3y x =-的距离相等，求动点M 的轨迹方程；(2)已知动直线()10kx y k -+=∈R 和圆221x y +=相交于A 、B 两点，求弦AB 的中点的轨迹方程【答案】(1)=1y x -- (2)220(1)x y y y +-=≠【分析】（1）根据题意可知动点M 的轨迹是经过定点1,2且垂直于定直线3y x =-的直线，据此解答即可；（2）先由直线的定点得到()0,1A ，再由中点坐标公式求得()2,21B x y -，将B 点代入圆221x y +=即可求得弦AB 的中点的轨迹方程.【详解】（1）注意到定点1,2在定直线3y x =-上，所以动点M 的轨迹是经过定点1,2且垂直于定直线3y x =-的直线m ，则1m k =-，直线m 为()211y x +=-⨯-，即动点M 的轨迹方程为=1y x --.（2）动直线10kx y -+=经过定点()0,1，而点()0,1在圆221x y +=上，设定点为点A ，即()0,1A ，设弦 AB 的中点坐标为(),x y ，则点B 的坐标为()2,21x y -，把B 点代入圆221x y +=，得22(2)(21)1x y +-=，化简得220x y y +-=，所以弦AB 的中点的轨迹方程为220(1)x y y y +-=≠. 18．如图，点C 是半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上的点．(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求OC OD +的最小值：(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE CD ⋅的取值范围．【答案】2 (2)12,122⎡+⎢⎣⎦【分析】（1）借助题设条件建立直角坐标系，运用向量模的计算公式建立函数求解；（2）借助题设运用向量的数量积公式和三角变换公式建立三角函数探求.【详解】（1）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 反方向为y 轴，建立直角坐标系，如图，则22(1,0),(0,1),,22A B C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设(,0)(01)D t t ≤≤，则22,22OC OD t ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以22222222OC OD t ⎛⎫⎛⎫+=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当22t =时，min 22OC OD +=，即OC OD +的最小值为22. .（2）由题意11,0,0,22D E ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(cos ,sin )C θθ，30,π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1111cos ,sin cos ,sin 1sin cos 2222CE CD θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2πsin 124θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为30,π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π444θ-≤-≤，故π2sin ,142θ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以12,122CE CD ⎡⎤⋅∈+⎢⎥⎣⎦．19．如图，半圆O 的直径2AB =，点C 在AB 的延长线上，1BC =，点P 为半圆上异于A ，B 两点的一个动点，以点P 为直角顶点作等腰直角PCD ，且点D 与圆心O 分布在PC 的两侧，设PAC θ∠=．(1)将线段PC 的长度表示为θ的函数；(2)求四边形ACDP 面积的最大值，并求取得最大值时tan θ的值．【答案】(1)298cos PC θ=-，π02θθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(2)5；3【分析】（1）根据题意先求得2cos PA θ=，再利用余弦定理将线段PC 的长表示为θ的函数；（2）将四边形ACDP 面积表示为角θ的函数，再利用三角函数的性质即可求得最值. 【详解】（1）依题设易知APB △是以APB ∠为直角的直角三角形，又2,AB PAB θ=∠=，所以2cos PA θ=，在PAC △中，3,AC PAC θ=∠=，由余弦定理得2222cos PC PA AC PA AC θ=+-⋅2224cos 912cos 98cos θθθ=+-=-，所以298cos PC θ=-π02θθ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（2）设四边形ACDP 面积为S ，则211sin 22APCPCDS SSAP AC PC θ=+=⋅⋅+()2112cos 3sin 98cos 22θθθ=⨯⨯⨯+-()31sin 254cos 222θθ=+⋅-35sin 22cos 222θθ=-+()954242θϕ=+-+()55sin 2,22θϕ=-+其中34cos ,sin ,55ϕϕϕ==为锐角，因为43sin 5ϕ=<所以π03ϕ<<，又因为π02θ<<，所以π2π3θϕ-<-<，所以当π22θϕ-=时，S 取得最大值为55=522+，所以四边形ACDP 面积的最大值为5，此时，π22θϕ=+，所以π3sin πcos 325tan 2tan 4π2sin 4cos 52ϕϕθϕϕϕ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+==-=-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，又由22tan tan 21tan θθθ=-得22tan 31tan 4θθ=--，解得tan 3θ=或1tan 3θ=-（舍去），故tan 3θ=.20．如图，已知满足条件3i 3i z -=-（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 对应的点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面xOy 上的复数()i ,z x y x y =+∈R 对应的点为(),x y ，定直线m 的方程为360x y ++=，过()1,0A -的一条动直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是弦PQ 中点．(1)若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直； (2)当23PQ =l 的一般式方程；(3)设t AM AN =⋅，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由．【答案】(1)证明见解析 (2)1=0x +或4340x y -+= (3)是，5t =-【分析】（1）通过圆心C 和A 计算出l 的斜率l k ，m 的斜率已知为m k ，计算1l m k k ⋅=-即可证明l 与m 垂直；（2）对直线l 的斜率是否存在分类讨论，利用几何方法222PQ R d =-d 是圆心到直线的距离，R 是圆的半径）求解斜率；（3）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时通过数值直接计算即可；斜率存在时，l 先与圆的方程联立求从而求解出AM 的坐标表示，同理l 与m 联立求解出AN 的坐标表示，由此计算t 是否为定值.【详解】（1）因为3i i z -=，所以()22:34C x y +-=，所以圆心()0,3C ，半径2R =；又因为()1,0A -，所以()30301l k -==--，而13m k =-，所以1l m k k ⋅=-，所以l 与m 垂直；（2）当直线l 的斜率不存在时，:1l x =-，此时1d =，所以P Q ===题意；当l 的斜率存在且为k 时，():1l y k x =+，即0kx y k -+=，则2d R ==，所以由PQ =1=，解得43k =，此时:4340l x y -+=；综上：直线l 的方程为1=0x +或4340x y -+=；（3）当直线l 的斜率不存在时，易知()()51,3,1,,1,03M N A ⎛⎫---- ⎪⎝⎭，所以()50,3,0,3AM AN ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以5t AM AN =⋅=-，即5t =-；当直线l 的斜率存在且为k 时，设():1l y k x =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立()()22134y k x x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，消去y ，得()()2222126650k x k k x k k ++-+-+=，所以2122321M x x k k x k +-+==+，()22311M M k ky k x k +=+=+，即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭，所以222133,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭；又由()1360y k x x y ⎧=+⎨++=⎩，可得365,1313k k N k k ---⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，故()()()()()()()()()222225351131555113113113k k k k k k t AM AN k k k k k k -+-++--=⋅=+==-++++++，综上：t 为定值，且5t =-.【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的综合应用，难度较难.（1）复数的常见轨迹问题：()00z z r r -=>表示以0z 对应的点为圆心，半径为r 的圆；(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >表示以12,z z 对应的点为焦点，2a 为长轴长的椭圆；（2）定值问题的计算，可采用由特殊到一般的思路去解答.21．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足()241n n S a =+，若数列{}n b 满足122,4b b ，且等式211n n n b b b 对任意2n ≥成立．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）将数列{}n a 与{}n b 的项相间排列构成新数列1122,,,,,,,n n a b a b a b ，设该新数列为{}n c ，求数列{}n c 的通项公式和前2n 项的和2n T ；（3）对于（2）中的数列{}n c 前n 项和n T ，若λnn T c 对任意*n ∈N 都成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）21n a n =-；（2）2,2,n n n n c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，21222n n T n +=+-；（3）(,1]-∞．【分析】（1）由4Sn ＝（an +1）2，n ＝1时，4a 121(1)a =+，解得a 1，n ≥2时，4an ＝4（Sn ﹣Sn ﹣1），化为：（an +an ﹣1）（an ﹣an ﹣1﹣2）＝0，根据数列{an }的各项均为正数，可得an ﹣an ﹣1＝2，利用等差数列的通项公式可得an ．（2）数列{bn }满足b 1＝2，b 2＝4，且等式bn 2＝bn ﹣1bn +1对任意n ≥2成立．利用等比数列的通项公式可得bn ．进而得出c n ，T 2n ．（3）Tn ≥λ•c n ，即n 2+2n +1﹣2≥λc n ，对n 分类讨论即可得出．【详解】（1）由24(1)n n S a =+，即2421n n n S a a =++，所以2111421n n n S a a +++=++，两式相减得，2211142()n n n n n a a a a a +++=-+-，故11()(2)0n n n n a a a a +++--=，因为0n a >，所以12n n a a +-=．又由2114(1)a a =+得11a =．所以，数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．所以，数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．（2）由题意，数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，故2nn b =．所以，2,,2,.n n n n c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 的前n 项和12(12)2212n n nS +=='---．所以，21222n n n nT S S n +=+=+-'．（3）当n 为偶数时，设2n k =（*k ∈N ），由（2）知，21222k k T k +=+-，22kk c =，由22k k T c λ≥⋅，得21222k k k λ++-≥⋅，即212222222k k kk k λ++--≤=+，设22()22k k f k -=+，则2211(1)22(3)(1)(1)()222k k k k k k k f k f k +++---++-=-=-，所以，当3k ≤时，()f k 单调递增，当3k ≥时，()f k 单调递减．因为3(1)2f =，当3k ≥时，22()222kk f k -=+>，所以，min3[()](1)2f k f ==．所以，32λ≤．当n 为奇数时，设21n k =-（*k ∈N ），则212122222k kk k k T T c k +-=-=+--，222k k =+-，由2121k k T c λ--≥⋅，得222(21)k k k λ+-≥⋅-，即22221k k k λ+-≤-，设222()21k k g k k +-=-，则212(1)2222(1)()2121k k k k g k g k k k +++-+-+-=-+- 222(23)30(21)(21)k k k k k +-+=>-+，故()g k 单调递增，min [()](1)1g k g ==，故1λ≤．综上，λ的取值范围是(,1]-∞．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

上海市奉贤中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

试卷第51 页，共33 页
1．
arctan
3 2
参考答案：
【分析】根据直线斜率与倾斜角关系可得解.
【详解】Q A(0,0) ， B (2,3) ，
\ 直线
AB
的斜率为 kAB
=
3 2
，即 tana
=
3 2
，
\a
=
arctan
3 2
.
故答案为：
arctan
3 2
.
2．6
【分析】先计算出
r a
-
r b
与直线 2x +
y +1=
0 垂直，所以 kl
´ ( -2 )
=
-1 ，解得 kl
=
1 2
，所以直线 l
的方程为
y
-
3
=
1 2
(
x
+
2)
，化简可得
y
=
1 2
x
+
4
.
答案第11 页，共22 页
故答案为：
y
=
1 2
x
+
4
4．1 【分析】根据空间共面向量定理，结合向量的坐标运算，列出等量关系，求解即可.
切的球的球心为O2 ，因为球O1 、球 O2 与平面 ABB1A1 都相切，令切点分别这 D, E ，有 O1O2 / / DE ，又球 O1 、球O2 与平面 ACC1A1 都相切，则 O1O2 / / 平面 ACC1A1 ，又 DE Ë 平面 ACC1A1 ，于是 DE / / 平面 ACC1A1 ，而 DE Ì 平面 ABB1A1 ，平面 ABB1A1 I 平面 ACC1A1 = AA1 ，因此

上海市第六十中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

上海市第六十中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、填空题1．已知等差数列{}n a 满足1612a a +=，47a =，则3a =. 2．已知数列{}n a 中，11a =，()11n n a a n n -=+>，则4a =. 3．空间三个平面最多将空间分成个部分（填数字）. 4．已知数列{}n a 中，112a =，131n n a a +=+，则n a =. 5．已知等比数列{}n a 是严格减数列，其前n 项和为12,n S a =，若123,2,3a a a 成等差数列，则lim n n S →∞=. 6．已知数列{}n a 是等差数列，10a >，公差0d <，n S 为其前n 项和，满足1385a a S +=，则当n S 取得最大值时，n =．7．已知等比数列{a n }满足()212345log 5a a a a a =，等差数列{b n }满足33b a =，则12345b b b b b ++++=．8．设,αβ表示两个平面，l 表示直线，,,A B C 表示三个不同的点，给出下列命题： ①若,,,A l A B l B αα∈∈∈∈，则l α⊂；②,αβ不重合，若,,,A A B B αβαβ∈∈∈∈，则AB αβ=I ； ③若,l A l α⊂∈，则A αÏ；④若,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线，则α与β重合. 其中假命题的序号是.9．已知通项公式为22n a kn n =--的数列{}n a 为严格增数列，则实数k 的取值范围是. 10．在数列{}n a 中，11a =，()2*122,1n n n a a n n n -=≥∈-N ，则数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nT =．二、单选题11．用数学归纳法证明：()2222222112213n n n +++++++=L L （n 为正整数）从k 到1k +时，等式左边需增加的代数式是（）A ．22(1)k k ++B ．222(1)k k k +++C ．2(1)k +D ．21k +12．AOB V 的斜二测直观图A O B '''V 如图所示，则AOB V 的面积是（）A B ．2C ．D ．413．对于数列{}n a ，以下命题正确的个数有（）①若()2*4,n n a n =∈N ，则{}n a 为等比数列；②若()2*21,n n n a a a n ++⋅=∈N ，则{}n a 为等比数列；③若*2,,m n m n a a m n +⋅=∈N ，则{}n a 为等比数列.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个三、解答题14．（1）用符号语言表示下列语句，并画出图形：直线AB ，AC 分别在平面α，β内，且点A 在平面α与平面β的交线l 上．（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是A 1B 1，AD ，BB 1的中点，平面α过M ，N ，P 三点，则平面α截此正方体的截面为一个多边形，（ⅰ）仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）；（ⅱ）若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长． 15．已知函数()11f x x =+，数列 a n 是正项等比数列，且101a =， (1)计算()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)用书本上推导等差数列前n 项和的方法，求()()()()()1231819f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++的值.16．已知数列{}n a 满足11a =，设该数列的前n 项和为n S ，且n S ，1n S +，12a 成等差数列.(1)用数学归纳法证明：1212n n n S --=（n是正整数）；(2)求数列{}n a 的通项公式.17．保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米．(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米?(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n n S a +=-，数列{}n b 满足2log 1nn a b n =+，其中*N n ∈. (1)证明2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ；(3)求使不等式1321111111n m b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n 都成立的最大实数m 的值.。

上海市松江二中2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

上海市松江二中2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为底面1111D C B A 上一点．若//AP 平面BEF ，则AP 与平面1B A 范围是．12．空间给定不共面的A ，B ，C ，D 四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A ，B ，C ，D 中有三个点到的距离相同，另一个点到前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________二、单选题13．已知m ，n 是异面直线，α，β是两个不同的平面，且m α⊂，n β⊂，则下列说法正确的是（）A ．若//m β，则n α∥B ．若αβ⊥，则m n ⊥C ．若m β⊥，则n α⊥D ．若m β⊥，则αβ⊥14．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos b a C =，则ABC 为（）①对于任意给定的点Q ，存在点②对于任意给定的点P ，存在点③对于任意给定的点R ，存在点④对于任意给定的点P ，存在点其中正确的结论是（）A ．①B 三、解答题17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 上一点.(1)试确定点P 的位置，使得(2)在（1）的条件下，求异面直线18．已知向量m ⎛= ⎝u r (1)若m n∥，且x ∈(2)设()f x m n =⋅ ，求函数19．如图所示，四面体43AB =，ABC ∠(1)求证：AC BD ⊥．(2)若二面角B AC D --为45 ，求直线20．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC PA ⊥平面ABCD 且PA a =.。

2022-2023学年上海市新中高级中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市新中高级中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题、、、是某长方体四条棱的中点，则直线AB和直线CD的位置关系是（）.1．设A B C DA．相交B．平行C．异面D．无法确定【答案】A【分析】在长方体中，延长ME，DC，AB，即会得到直线AB和直线CD的位置关系.【详解】ME EF，因为A，B，C，D为棱的中点，所以延长DC，AB都会交EF中点如图，延长ME使H处，所以直线AB和直线CD的位置关系为相交.故选：A.2．下列给出的命题正确的是（）A．两条互相垂直的直线确定一个平面B．平行于同一条直线的两个平面平行C．不共面的四点中，任何三点不共线D．所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱.【答案】C【分析】依据空间中直线与直线垂直定义、直线与平面平行及平面与平面平行的知识、平面公理2（基本事实）及推论、棱柱的定义及分类依次判断即可.【详解】对于A，根据空间中两条直线互相垂直的定义，互相垂直的两条直线可以是异面直线，故A 错误；对于B ，当两平面相交，这两个平面外的一条直线与交线平行时，这两个相交平面同时平行于这条直线，故B 错误；对于C ，不共面的四点中，假设有三点共线，则这三点可以确定一条直线，另一点在直线上或在直线外，均有四点共面，与前提矛盾，故假设错误，不共面的四点中，任何三点不共线，故C 正确；对于D ，当所有侧面均为正方形的四棱柱的底面为不是正方形的菱形时，这个四棱柱不是正四棱柱，故D 错误. 故选：C.3．如图所示，在斜三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ︒∠=，且1BC AC ，过1C 作1C H ⊥平面ABC ，垂足为H ，则点H 在（）A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．ABC 内部【答案】B【分析】先通过线线垂直证明AC ⊥面1ABC ，进而可得面ABC ⊥面1ABC ，由面面垂直的性质定理可得要过1C 作1C H ⊥平面ABC ，只需过1C 作1C H AB ⊥即可，则答案可求. 【详解】连接1AC ，1BC AC ，BA AC ⊥，且1BC BAB ，AC ∴⊥面1ABC ，又AC ⊂面ABC∴面ABC ⊥面1ABC ，面ABC ⋂面1ABC AB =，要过1C 作1C H ⊥平面ABC ，则只需过1C 作1C H AB ⊥即可，故点H 在直线AB 上故选：B.4．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫像多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π.给出下列三个结论：①正方体各顶点的曲率为2π； ②任意三棱锥的总曲率均为4π；③将棱长为3的正方体正中心去掉一个棱长为1的正方体所形成的几何体的总曲率为8π. 其中，所有正确结论的序号是（） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【分析】根据几何体顶点的曲率和几何体总曲率的定义求解. 【详解】①因为正方体的每个顶点有3个面角，每个面角是2π，所以正方体在各顶点的曲率为2322πππ-⨯=，故正确；②如图所示：，A 点的曲率为：2BAC DAC BAD π-∠-∠-∠ ，B 点的曲率为：2ABC ABD CBD π-∠-∠-∠， C 点的曲率为：2ACB ACD BCD π-∠-∠-∠， D 点的曲率为：2ADC ADB BDC π-∠-∠-∠，则三棱锥的总曲率均为()()8ABC ACB BAC DAB ABD BDA π-∠+∠+∠-∠+∠+∠，()()4ADC ACD DAC BCD BDC CBD π-∠+∠-∠-∠+∠+=，故正确；③此几何体有16个顶点，每个顶点的曲率为2322πππ-⨯=，所以该几何体的总曲率为1682ππ⨯=，故正确. 故选：D二、填空题5．“点A 在直线l 上”用符号语言可以表示为_____________. 【答案】∈A l【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案. 【详解】A 在直线l 上，即∈A l 故答案为：∈A l6．设A ∠和B ∠的两边分别平行，若45A ∠=︒，则B ∠的大小为___________. 【答案】45°或135°##135°或45° 【分析】根据等角定理即可得到答案.【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补. 故答案为：45°或135°.7．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的体积为________．【答案】2π【详解】由底面周长为2π可得底面半径为1，S 底＝πr2＝π，V ＝S 底·h ＝2π.8．用斜二测画法画水平放置的边长为4的正方形的直观图，则这个直观图的面积为_________;【答案】【分析】由斜二测画法画出正方形的直观图，计算可得. 【详解】方法一：如图，由直观图的斜二测画法知，边长为4的正方形OABC 的直观图为平行四边形O A B C ''''，且45C O A '''∠=︒，4O A ''=，2O C ''=，其高sin 452C D O C ''''=⋅︒=，所以其面积为42S O A C D '''''=⋅=. 方法二：由斜二测画法的直观图的面积是原图面积的24倍，因此，直观图面积为224424⨯=. 故答案为：42.9．已知三棱锥-P ABC ，设点O 是P 在底面ABC 上的投影，若,,PA PB PC 与底面ABC 所成角相等，则点O 是ABC 的________心. 【答案】外【分析】根据PA ，PB ，PC 与底面ABC 所成角相等得到点P 在底面ABC 的投影O 到三角形ABC 三个顶点A ，B ，C 的距离相等，即可得到点P 在平面ABC 上的投影是ABC 的外心.【详解】因为PA ，PB ，PC 与底面ABC 所成角相等，所以顶点P 在底面ABC 的投影O 到三角形ABC 三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以点P 在平面ABC 上的投影是ABC 的外心. 故答案为：外.10．如图，已知空间四边形ABCD 两对角线AC 和BD 的长分别为8和10，所成的角为60，依次连接各边中点所得四边形EFGH 的面积是_________;【答案】3【分析】根据E ，H ，G ，F 分别为AB ，AD ，CD ，BC 中点得到四边形EFGH 为平行四边形，且152EH FG BD ===，142EF GH AC ===，根据AC 与BD 所成角为60︒得到平行四边形EFGH 的一个内角为60︒，然后求面积即可.【详解】因为E ，H ，G ，F 分别为AB ，AD ，CD ，BC 中点，所以EH BD FG ，EF AC HG ，且152EH FG BD ===，142EF GH AC ===，所以四边形EFGH 为平行四边形，因为AC 与BD 所成角为60︒，所以平行四边形EFGH 的一个内角为60︒，所以1245sin 601032EFGH S =⨯⨯⨯⨯︒=.故答案为：103.11．异面直线a 、b 所成角为3π，直线c 与a 、b 垂直且分别交于A 、B ，点C 、D 分别在直线a 、b 上，若1AC =，2AB =，3BD =，则CD =________．【答案】11或17【分析】过B 作BE //AC 且过D 作DE ⊥BE 于E ，连接BE 、CE ，要注意E 、C 在AB 的同侧或异侧两种情况，结合已知有3DBE π∠=，再过C 作CF ⊥BE 于F ，求出DE 、EC 的长度，在Rt △DEC 中应用勾股定理求CD .【详解】由题意，过B 作BE //AC 且过D 作DE ⊥BE 于E ，连接BE 、CE ，如下示意图，∴由题设知：面ABEC 为直角梯形且3DBE π∠=，过C 作CF ⊥BE 于F ，则CF =AB =2，3BD =，可得DE 33BE =32，∴如图1，易得EF =12，则EC 17，在Rt △DEC 中，CD 2211DE EC +如图2，易得EF =52，则EC 41在Rt △DEC 中，CD =2217DE EC +=. 故答案为：11或1712．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为64，点,E F 分别是线段1,BC CC 的中点，点G 在四边形11BCC B 内运动（含边界），若直线1A G 与平面AEF 无交点，线段CG 的取值范围为___________.【答案】32,25⎡⎤⎣⎦【分析】分别取线段11B C 、1B B 的中点P 、Q ，连接1A P 、1A Q 、PQ ，证明平面//AEF 平面1A PQ ，可得当G 与P （或Q ）重合时，CG 取最大值，当G 在PQ 的中点R 时，CG 有最小值，利用勾股定理求得线段CG 的取值范围．【详解】分别取线段11B C 、1B B 的中点P 、Q ，连接1A P 、1A Q 、PQ ，连接EF ，1BC ，由三角形中位线定理可得1//PQ BC ，1//EF BC ，∴//PQ EF ，又∵PQ ⊂平面1A PQ ，EF ⊄平面1A PQ ，∴//EF 平面1A PQ ，同理可证，//AE 平面1A PQ ，又AE EF E ⋂=，∴平面//AEF 平面1A PQ ，故点G 在线段PQ 上运动（含端点位置）．当G 与P （或Q ）重合时，()222211max 4225CG CP CC C P =+=+==；当G 在PQ 的中点R 时，()()()2222min 25232CG CR CP RP =-=-==．∴32,25CG ⎡⎤∈⎣⎦．故答案为：32,25⎡⎤⎣⎦.三、解答题13．如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，3AB AC ==，25BC =17AA =127BB =点E 是BC 的中点.(1)求证:⊥AE 平面1BCB ;(2)求直线11A B 与平面1BCB 所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）根据1AA ⊥平面ABC ，11BB AA 得到1BB ⊥平面ABC ，即可得到平面1BCB ⊥平面ABC ，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE BC ⊥，然后利用面面垂直的性质定理即可得到⊥AE 平面1BCB ；（2）根据11AA BB ，点F 为1BB 中点得到11AF A B ∥，即可将直线11A B 与平面1BCB 所成角转化为直线AF 与平面1BCB 所成角，由（1）的结论可得AFE ∠为直线AF 与平面1BCB 所成角，然后利用勾股定理得到EF ，AE 的长度，即可求直线11A B 与平面1BCB 所成角的正切值. 【详解】（1）∵1AA ⊥平面ABC ，11BB AA ，∴1BB ⊥平面ABC ， ∵1BB ⊂平面1BCB ， ∴平面1BCB ⊥平面ABC ， ∵AB AC =，点E 为BC 中点， ∴AE BC ⊥， ∵平面1BCB 平面ABC BC =，AE ⊂平面ABC ，∴⊥AE 平面1BCB .（2）取1BB 中点F ，连接AF ，EF ， ∵11AA BB ，17AA =，127BB =，点F 为1BB 中点，∴四边11AFB A 为平行四边形，11AF A B ∥，∴直线11A B 与平面1BCB 所成角和直线AF 与平面1BCB 所成角相等， ∵⊥AE 平面1BCB ，∴AFE ∠为直线AF 与平面1BCB 所成角， ∵点E 为BC 中点，25BC =， ∴5BE =，2352AE =-=，()25723EF =+=，∴23tan 323AFE ∠==，所以直线11A B 与平面1BCB 所成角的正切值为33. 14．（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明;（2）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为11DD CC 、的中点，求证:平面//AEC 平面1BFD .【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）写出面面平行的判定定理，然后用反证法证明即可；（2）根据1111ABCD A B C D -为正方体，E ，F 为1DD ，1CC 中点得到AE BF ∥，1EC D F ∥，然后利用面面平行的判定定理证明即可.【详解】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，即a α⊂，b α⊂，a b P =，a β∥，b βαβ⇒∥∥，证明：假设l αβ=，∵a β∥，a α⊂，l αβ=，∴a l ∥，同理可得，b l ∥， ∴ab ，与a b P =矛盾，所以l αβ=不成立，所以αβ∥.(2)取1CC 中点F ，连接1D F ，BF ，EF ，∵1111ABCD A B C D -为正方体，E ，F 为1DD ，1CC 中点， ∴AB EF ∥，AB EF =，1ED CF ∥，1ED CF =，∴四边形ABFE ，1ED FC 为平行四边形，AE BF ∥，1EC D F ∥，∵AE ⊄平面1BFD ，EC ⊄平面1BFD ，BF ⊂平面1BFD ，1D F ⊂平面1BFD ， ∴AE ∥平面1BFD ，EC ∥平面1BFD ，∵AE ⊂平面AEC ，EC ⊂平面AEC ，AE EC E ⋂=， ∴平面AEC ∥平面1BFD .15．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体叫做“鳖臑”，如图所示，四面体PABC 中，PA ⊥平面,,ABC AC BC D =是棱AB 的中点，2AP AB ==.(1)判断四面体PACD 是否为鳖臑.若是，请写出每个面的直角（只需写出结论）;若不是，请说明理由.(2)若四面体PABC 是鳖臑，求二面角A BC P --的大小;(3)若60ACB ∠=，求点A 到平面PCB 的距离.【答案】(1)是，直角分别为PAC ∠，PAD ，PDC ∠，ADC ∠； (2)3 221【分析】（1）根据“鳖臑”的定义判断即可，然后根据四面体PACD 的结构特征写直角；（2）根据四面体PABC 为“鳖臑”得到AC BC ⊥，根据PA ⊥平面ABC 得到PA BC ⊥，即可得到BC ⊥平面PAC ，根据线面垂直的性质得到BC PC ⊥，即可得到PCA ∠为二面角A BC P --的平面角，然后求角即可；（3）根据60ACB ∠=︒得到三角形ABC 为等边三角形，然后利用等体积的方法求点A 到平面PCB 的距离即可.【详解】（1）四面体PACD 是“鳖臑”，直角分别为PAC ∠，PAD ，PDC ∠，ADC ∠.（2）∵四面体PABC 为“鳖臑”，∴ABC 为直角三角形，∵AC BC =，2AB =，∴AC BC ⊥，2AC BC ==∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥，∵PA AC A =,PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC ，∵PC ⊂平面PAC ，∴BC PC ⊥，∵平面ABC ⋂平面PBC BC =，∴PCA ∠为二面角A BC P --的平面角，∵2226PC =+=，∴23cos 36PCA ∠==，所以二面角A BC P --的平面角为3arccos3. （3）取BC 中点E ，连接PE ， ∵60ACB ∠=︒，∴三角形ABC 为等边三角形，2AC BC AB ===， ∴222222PC =+=22PB 2222+=∵PC PB =，点E 为BC 中点，∴()22217PE =-12772PCB S =⨯= 设点A 到平面PCB 的距离为d ，P ABC A PCB V V --=，1112327323d ⨯⨯=，解得221d = 所以点A 到平面PCB 的距离为217. 16．设四边形ABCD 为矩形，点P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，若1,2PA AB BC ===.(1)求异面直线PC 和AB 所成角的余弦值;(2)在BC 边上是否存在一点G ，使得点D 到平面PAG 2，若存在，求出BG 的值，若不存在，请说明理由;(3)若点E 是PD 的中点，在PAB 内确定一点H ，使CH EH +的值最小，并求出此时HB 的值.【答案】(1)5(2)存在，1BG =(3)5【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面PAD ，由异面直线夹角的定义得到PC 和AB 所成的角为CPD ∠，在CPD △中，由边角关系求解即可.（2）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，不放设(02)BG x x =≤≤，则21AG x =+，再根据P AGD D APG V V --=得1x =，进而得答案.（3）延长CB 到C '，使得C B CB '=，连接C E '，过E 作EE AD '⊥于E '，利用三点共线，两线段和最小，得到min 41()2CH EH +=，过H 作HH AB '⊥于H '，连接HB ，在Rt HH B '△中，求解HB 即可. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD PA ⊥，又因为底面ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥，又,,AD PA A AD PA =⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又//AB CD ，故异面直线PC 和AB 所成角的大小为PCD ∠，因为5PD =，1CD =，所以tan 5PD PCD CD∠== 故直线PC 与AB 所成角的大小为arctan 5；（2）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，不妨设(02)BG x x =≤≤，则21AG x =+ 因为PA ⊥平面ABCD ，D 到平面PAG 的距离为2，由等体积法得P AGD D APG V V --=，即11233AGD APG S PA S ⋅=⋅△△ 因为21111,1222AGD APG S AD AB S AP AG x =⋅==⋅=+△△，代入数据解得1x =，即[]10,2BG =∈，故存在点G ，当1BG =时，使得点D 到平面P AG 的距离为2；（3）延长CB 到C '，使得C B CB '=，连接C E '，过E 作EE AD '⊥于E '，则22141104CH EH C H EH C E EE C E '''''+=+=+=+ 当且仅当,,C H E '三点共线时等号成立，故min 41()CH EH +=过H 作HH AB '⊥于H '，连接HB ，在Rt HH B '△中，12,33HH H B ''==，22HB HH H B ''∴=+22125333⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．空间中，两直线异面是两直线没有公共点的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.【详解】两直线异面，则两条直线没有公共点，充分性满足；反之，两直线没有公共点，两直线异面或平行，必要性不满足.故两直线异面是两直线没有公共点的充分不必要条件.故选：A2．下列命题正确个数为（）①三点确定一个平面；②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直；③同时垂直于一条直线的两条直线平行；④底面边长为2表面积为12．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据平面、线面垂直、线线垂直与平行、正四棱锥的表面积等知识确定正确答案.【详解】①，在一条直线上的三个点，不能确定一个平面，所以①错误.②，若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线可能在这个平面内，所以②错误.③，同时垂直于一条直线的两条直线可能异面，所以③错误.④2=，所以正四棱锥的表面积为122422122⎛⎫⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，所以④正确.故正确的命题个数为1个.故选：B3．异面直线a，b，若a⊂α，b⊂β，且⋂=cαβ，则直线c与a，b的关系是（）A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C ．c 至多与a ，b 中的一条相交D ．c 至少与a ，b 中的一条相交【答案】D【分析】假设c 与a ，b 都不相交，结合线面、面面关系及平行公理得到与题设矛盾的结论，即可确定正确选项.【详解】当c 与a ，b 都不相交时，由c 与a 在α内，则//a c . 由c 与b 都在β内，则//b c .由公理4知：//a b ，与已知条件矛盾，故c 至少与a ，b 中的一条相交. 如图，直线c 与a ，b 的位置关系有以下三种情况.故选：D4．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为（）. A ．26a B ．212a C ．218a D ．224a【答案】C【解析】根据棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，得到每个小正方体的棱长为3a求解.【详解】每个小正方体的棱长为3a ，表面积为：222626393a a a ⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，所以27个小正方体的表面积为22227183a a ⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查正方体的结构特征及表面积的求法，还考查了空间想象的能力，属于基础题.5．空间三条射线P A ，PB ，PC 满足∠APC =∠APB =60°，∠BPC =90°，则二面角B -P A -C 的度数（） A ．等于90°； B ．等于60°；C ．是小于120°的钝角；D ．是大于120°小于135°的钝角【答案】C【分析】做出二面角的平面角，利用余弦定理得到平面角的余弦值，从而得到答案.【详解】过点B 在平面APB 内作BA ⊥P A 于点A ，过点A 在平面APC 内作AC ⊥P A ，交PC 于点C ，连接BC ，如下图：则∠BAC 就是二面角的平面角，设P A =m ，由∠APC =∠APB =60°，∠BPC =90°，可得：2,3PB PC m AB AC m ====，22BC m =，在△ABC 内，由余弦定理得：(22233221cos 3233m m mBAC m m+-∠==-⋅⋅又1cos 02BAC -<∠<，则90120BAC <∠<故选：C6．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EFC 1B 1将三棱柱分成体积为V 1和V 2两部分，那么V 1∶V 2的比值可以为（） A ．3∶2 B ．4∶3 C ．5∶6 D ．7∶5【答案】D【分析】根据题意结合相关体积公式运算求解.【详解】设ABC 的面积为S ，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为h ，则其体积为V Sh = 根据题意可知：几何体AEF —A 1B 1C 1为三棱台，则可知底面面积分别为14S S 、，高为h ，则其体积为1111734412V S S S S h Sh ⎛=+⨯= ⎝ ∴21751212V V V Sh Sh Sh =-=-=,则1275:7:51212S Sh V V ==∶ 故选：D.二、填空题7．若球1O 、2O 表面积之比124S S =，则它们的半径之比12RR =_____．【答案】2【详解】由211222444S R S R ππ==得122R R =8．若一条直线同时平行于两个相交平面，则该直线与这两个平面的交线的位置关系是______．【答案】平行【分析】作出辅助线，由线面平行的性质进行证明即可. 【详解】平行，理由如下：如图，//,//AB AB αβ，l αβ=，过AB 作平面ABDC ，交平面α于CD ，作平面ABFE 交平面β于EF ，根据线面平行的性质可知：//,//AB AB CD EF ，所以//CD EF ，若,CD EF 中某条直线与l 重合，则结论得证；当,CD EF 均不与l 重合时，因为CD α⊂，EF α⊄，所以//EF α，因为EF β⊂，l αβ=，由线面平行的性质可知：//EF l ，所以//AB l .故答案为：平行9．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为____ 【答案】1：8【详解】考查类比的方法，11111222221111314283S hV S h V S h S h ⋅⨯＝＝＝＝，所以体积比为1∶8.10．正四棱柱的高为底面边长的2倍，则其体对角线与底面所成角的大小为_________. 【答案】454π【分析】如图所示，其体对角线与底面所成角为DAC ∠，解三角形即得解. 【详解】解：如图所示，设,2AB BC x CD x ===，所以2AC x =. 由题得CD ⊥平面ABC ,则其体对角线与底面所成角为DAC ∠, 因为2AC CD x ==,所以45DAC ∠=. 故答案为：4511．用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为，容器的高为10cm ，制作该容器需要______ cm 2的铁皮【答案】【详解】试题分析：由题意可知，该容器的底面半径为10，母线长为102，所以该容器的侧面积为101021002.ππ⨯⨯=【解析】本小题主要考查圆锥的侧面积的计算.点评：计算圆锥的侧面积，关键是找清楚圆锥的底面半径、母线长以及高，然后代入公式计算即可.12．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为32，则它的斜高为_______．【答案】33【分析】利用勾股定理计算出斜高.【详解】依题意，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为32，则它的斜高为()2282329183322⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：3313．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若//EF 平面1AB C ，则线段EF 的长度等于______．2【分析】根据//EF 平面1AB C ，得到EF 为△ACD 的中位线，即可求出线段EF 的长度【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =， ∴22AC =．又E 为AD 中点，//EF 平面1AB C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC平面1AB C AC =，∴//EF AC ，∴F 为DC 中点，∴122EF AC ==．故答案为：2.14．一平面截一球得到面积为12π的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则该球的表面积等于__________．【答案】64π【分析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的体积．【详解】设球的半径为R ，则球心到这个圆面的距离是2R ，设截面圆的半径为r ，则2π12r =,∴212r =, ∴22122R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：4R =，所以球的表面积22πππ44464S R ==⨯=. 故答案为：64π．15．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在11A C 上，11114A E AC =且1AE xAA yAB zAD =++，则x y z ++= _____【答案】321.5 【分析】根据线性运算结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由题意可得：11114A E AC =,则()1111111111111114444AE AA A E AA AC AA A B A D AA AB AD =+=+=++=++ ∴11,4x y z ===，则32x y z ++= 故答案为：32.16．如图所示，在ABC 中，90ACB ︒∠=，30BAC ︒∠=，1BC =.在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC ，AB 相切于点C ，M ，与AC 交于点N ），则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为________.【答案】5327π 【解析】几何体是图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积. 【详解】几何体是图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，且球是圆锥的内切球，所以圆锥的底面半径是1，高为3，球的半径为r ，可以得到3tan 303OC r BC ===，所以圆锥的体积为2131333ππ⋅⋅⋅=，球的体积为34343()3327ππ⋅=，所以阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为3435332727πππ-=，故答案为：5327π. 【点睛】该题考查的是有关旋转体的体积的求解问题，在解题的过程中，注意分析几何体的特征，涉及到的知识点有锥体的体积公式和球的体积公式，属于简单题目. 17．如图，设A 是棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为；⑤体积为．其中正确的结论是____________．（要求填上所有正确结论的序号）【答案】①②⑤ 【详解】解：如图，原来的六个面还在只不过是变成了一个小正方形，再添了八个顶点各对应的一个三角形的面，所以总计6+8=14个面，故③错；每个正方形4条边，每个三角形3条边，4×6+3×8=48，考虑到每条边对应两个面，所以实际只有12×48=24条棱．②正确；所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置，原来的棱的数目是12，所以现在的顶点的数目是12．或者从图片上可以看出每个顶点对应4条棱，每条棱很明显对应两个顶点，所以顶点数是棱数的一半即12个．①正确； 2，所以正方形总面积为6×12×a 2=3a 2，三角形总面积为8×12×12a 2sin60°32，表面积（3a 2，故④错；体积为原正方形体积减去8个三棱锥体积，每个三棱锥体积为8×16（2a ）3=16a 2，剩余总体积为a 3-16a 3=56 a 3⑤正确．故答案为①②⑤．18．平面几何中的有些命题，可拓展为立体几何中的类似的命题．例如：平面上一矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 和AD 所成的角分别为α和β，则有cos 2α+cos 2β=1成立；可拓展为在空间一长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1和棱AA 1、AB 、AD 的分别为α、β、θ，则有cos 2α+cos 2β+cos 2θ=1成立．现在有平面几何中的一个命题：正三角形内任意一点到各边的距离之和等于该正三角形的高；请你也拓展为在空间一个类似的命题：___________________________________【答案】正四面体内任意一点到各面的距离之和等于该正四面体的高.【分析】根据题意，先证明正三角形内任意一点到各边的距离之和等于该正三角形的高，再拓展为正四面体内任意一点到各面的距离之和等于该正四面体的高，并证明之. 【详解】如图：P 为正三角形ABC 内任意一点，到三边的距离分别为123,,h h h ，边长为m ，高为h ，则有()1231231111122222ABCSmh mh mh mh m h h h ==++=++ ，123h h h h ∴++= ；类似地，在正四面体A BCD - 中，设各面的面积为S ，高为，Q 为正四面体A BCD -内任意一点，Q 点到各面的距离分别为1234,,,h h h h ，则有正四面体的体积12341111133333A BCD V Sh Sh Sh Sh Sh -==+++ ，1234h h h h h ∴=+++ ，即正四面体内任意一点到各面的距离之和等于该正四面体的高.故答案为：正四面体内任意一点到各面的距离之和等于该正四面体的高.三、解答题19．已知三棱柱ABC A B C '''-的底面为直角三角形，两条直角边AC 和BC 的长分别为4和3，侧棱AA '的长为10.（1）若侧棱AA '垂直于底面，求该三棱柱的表面积.（2）若侧棱AA '与底面所成的角为60︒，求该三棱柱的体积.【答案】（1）132（2）303 【解析】（1）根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可．（2）作出棱柱的高，结合三棱柱的体积公式进行求解即可．【详解】[解]（1）因为侧棱AA '⊥底面ABC ，所以三棱柱的高h 等于侧棱AA '的长，而底面三角形ABC 的面积162S AC BC =⋅=，周长43512c =++=，于是三棱柱的表面积2132ABC S ch S ∆=+=全.（2）如图，过A '作平面ABC 的垂线，垂足为H ，A H '为三棱柱的高.因为侧棱AA '与底面所成的角为60︒，所以60A AH '∠=︒，可计算得sin 6053A H AA ''=⋅︒=. 又底面三角形ABC 的面积6S =，故三棱柱的体积653303V S A H '=⋅=⨯=.【点睛】本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算，根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性质，结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键．20．如下图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，O '、O 分别为上、下底面的圆心，E 为上底面圆周上一点，已知60DO E '∠=︒，圆柱侧面积等于64π.（1）求圆柱的体积；（2）求异面直线BE 与DO 所成角θ的大小.【答案】（1）128π；（2）1135【分析】（1）由轴截面ABCD 为正方形可得圆柱的高与底面直径相等,进而求得r ,再得到体积即可；（2）找到直线DO 的平行线O B ',使O BE θ'=∠,由余弦定理求出O BE '∠即可【详解】解：（1）由题,可设底面半径为r ,轴截面ABCD 为正方形,2h r ∴=()2264S r r ππ∴=⋅=侧4r ∴=()()22128V r r ππ∴=⋅=（2）作EF ⊥底面AOB 交圆周于点F ,连接OF 、FB 、O B 'EF FB ∴⊥60DO E '∠=︒，60AOF ∴∠=︒30ABF ∴∠=︒Rt ABF ∆中,3BF =由（1）,可得(222228+3=112EB EF FB =+=∴EB =47DO OB '=且轴截面ABCD 为正方形,DO BO '∴是平行四边形,//O B DO '∴O BE θ'∴=∠222228480O B O O OB ''=+=+=5O B '∴=∴根据余弦定理可得,22221135cos 224547O B BE O E O BE O B BE ''+-'∠=='⋅⨯⨯1135θ∴=【点睛】本题考查圆柱的侧面积,体积,考查异面直线求角,考查余弦定理的应用,考查运算能力21．在长方体ABCD －1111A B C D 中（如图），1AD=AA =1，2AB =，点E 是棱AB 的中点．(1)《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由；(2)求四面体1D CDE 的体积；(3)求直线CD 与平面DED 1所成角的大小．【答案】(1)四面体1D CDE 是鳖臑,理由见解析； (2)13； (3)45︒.【分析】（1）在长方体中1D D ⊥平面DEC ，故有两个面是直角三角形，再证明DEC 和1CED △为直角三角形即可；（2）根据三棱锥体积公式直接计算；（3）找出线面角，根据等腰直角三角形直接计算即可.【详解】(1)1,2AD AB ==，点E 是棱AB 的中点，2,DE EC ∴==又2CD =，222DE CE DC ∴+=，故DE CE ⊥，因为1D D ⊥平面DEC ，则1D D CE ⊥，又1DE D D D ⋂=，1,DE D D ⊂平面1D DE ，CE ∴⊥平面1D DE ，1CE D E ∴⊥，∴四面体1D CDE 的四个面都是直角三角形，故四面体是鳖臑.(2)由（1）知，四面体1D CDE 的体积1111111223323D CDE CDE V V DD S -==⋅=⨯⨯△. (3)由（1）知CE ⊥平面1D DE ，所以CDE ∠即为直线CD 与平面DED 1所成角，因为Rt DEC △中，DE EC =，所以45CDE ∠=︒.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，60ABC ∠=︒，PC ⊥平面ABCD ，1PC =，E 为PA 的中点．(1)求证：平面EDB ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A EB D --的正切值；(3)求点E 到平面PBC 的距离．【答案】(1)证明见解析 233【分析】（1）设AC BD O =，连接EO ，由已知得//OE PC ，从而得到EO ⊥平面ABCD ，由此能证明平面EDB ⊥平面ABCD（2）过点O 作OF 垂直BE 于F 点，连接AF ，由线面垂直的判定可得AO ⊥平面BDE ，BE ⊥平面AOF ，得到二面角A EB D --的平面角为AFO ∠，求解直角三角形得答案．（3）在底面作OH BC ⊥，垂足为H ，根据//OE 平面PBC 可知点E 到平面PBC 的距离就是点O 到平面PBC 的距离OH ，求出OH 即可求出点E 到平面PBC 的距离．【详解】(1)证明：设AC BD O =，连接EO ，菱形ABCD ，O ∴是AC 中点， E 为PA 的中点，//OE PC ∴，PC ⊥平面ABCD ，EO ∴⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面EDB ，故平面EDB ⊥平面ABCD ；(2)解：过点O 作OF 垂直BE 于F 点，连接AF ，由AO BD ⊥，EO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以AO OE ⊥，又BD OE O =，,BD OE ⊂平面BDE ，AO ∴⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以AO BE ⊥，OF BE ⊥，AO OF O =，,AO OF ⊂平面AOF ，BE ⊥平面AOF ．∴二面角A EB D --的平面角为AFO ∠，因为底面ABCD 是边长为1的菱形，60ABC ∠=︒，1PC =，则ABC 为等边三角形，所以1122AO AC ==，32OB =，又1122OE PC ==，所以221BE BO OE =+=，所以34OB OE OF BE ⋅==，在直角AFO 中，1232tan 334AO AFO OF ∠===． (3)解：在底面作OH BC ⊥，垂足为H ，PC ⊥平面ABCD ，OH ⊂平面ABCD ，所以PC OH ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面PCB ，所以OH ⊥平面PCB ，所以//OE 平面PBC ，所以点E 到平面PBC 的距离就是点O 到平面PBC 的距离OH ，在Rt BOC 中，32BO =，12OC =，1BC = 所以34OB OC OH BC ⋅==，即点E 到平面PBC 的距离为34．。