自动控制理论—数学模型

R
2
ui
R1 i2
u
R i R i R i u 1 2 1 1 2 2 i
O
R i u 2 2 O
1 ( R ) I( s ) R I( s ) 0 1 1 12 Cs
R I ( s ) ( R R ) I ( s ) U ( s ) 1 1 1 2 2 i
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2 ( T T s T s 1 ) ( s ) K U ( s ) K ( T s 1 ) M ( s ) a m m u a m a c
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传递函数的基本概念
[例2-6] 求下图的传递函数：
C i1
1 i dt R i R i 0 1 1 1 1 2 C
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控制系统的微分方程
[例2-1]：写出RC串联电路的微分方程。 解：根据KVL定律
u Ri u i c
du c ic dt
du c i C ，代入①得： 由②： dt
du c u Rc u c i dt
①
②
这是一个线性定常一阶微分方程。
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[例2-2]：写出RLC串联电路的微分方程。 [解]：据基尔霍夫电路定理：
m m 1 s b s b s b Y ( s ) b m m 1 1 0 G ( s ) n 称为环节的传递函数 n 1 X ( s ) a s a s a s a n n 1 1 0
n n 1 m m 1 ( a s a s a s a ) Y ( s ) ( b s b s b s b ) X ( s ) n n 1 1 0 m m 1 1 0
第二章 控制系统 的数学模型
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本章的主要内容
控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式 各种数学模型的相互转换
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概述
概述
[数学模型]： 我们把描述系统或元件的动态过程中各变量之间相 互关系的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。
可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求--综合
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传递函数的基本概念
( n ) ( n 1 ) ( m ) ( m 1 ) a y ( t ) a y ( t ) a y ( t ) b x ( t ) b x ( t ) b x ( t ) n n 1 0 m m 1 0
控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线 性系统，定常系统和时变系统。
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概述
[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠 加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等 于两个作用函数单独作用的响应之和。 线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处 理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。 [线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微 分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方 程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。 宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的 质量随着燃料的消耗而变化）。
~ u g ( M c ) 之间的关系： ⑸消去中间变量：推出 K T a T m T K m 0 ( u u ) K ( T M M ) g g m a C c 1 K 0 1 K 1 K 0 0 显然，转速 既与输入量 u g 有关，也与干扰 M c有关。
2.2.1、传递函数的基本概念 传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输出量 的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。 复习拉氏变换 设系统或元件的微分方程为： 式中：x（t）—输入，y（t） —输出 a , b ( i 0 ~ n ,j 0 ~ m ) 为常系数 i j
将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）

，反馈环节： uf
kf

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2.2 控制系统复域数学模型
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传递函数的基本概念
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。 利用传递函数，可以：
不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在 输入作用下的动态过程。
了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 --分析
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非线性环节微分方程的线性化
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应 的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在 经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程 应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大 的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可 在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到 等效的线性环节。 设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)， y B y f (x 若取某一平衡状态为工作点，如下图中 ) y0 y0 A(x0, y0 ) 的 。A点附近有点 A y0 ( x x ,y y ) ，当x 很小时， 为B AB段可近似看做线性的。 0 x 0 x0 x x
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概述
古典控制理论中，采用的是单输入单输出 描述方法。主要是针对线性定常系统，对于 非线性系统和时变系统，解决问题的能力是 极其有限的。
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2.1 控制系统的时域数学模型 ——微分方程
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控制系统的微分方程
微分方程的编写应根据组成系统 各元件工作过程中所遵循的物理定理 来进行。例如：电路中的基尔霍夫电 路定理，力学中的牛顿定理，热力学 中的热力学定理等。
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非线性环节微分方程的线性化
2、非线性元件（环节）微分方程的线性化 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系 统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分 方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特 性： （1）线性叠加原理：系统的总输出可以由若干个输 入引起的输出叠加得到。 （2）均匀性原理：输入输出域内保持比例因子不变
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线性系统微分方程的编写例子[例2-4]
[例2-4]：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
ug
ue-
-
+
u1
+
u
功率 2 放大器
M c
ua
负载
uf
[解]：⑴该系统的组成和原理；
测速发电机
⑵该系统的输出量是 ，输入量是ug ，扰动量是 M
c
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线性系统微分方程的编写例子[例2-4]
当传递函数和输入已知时Y(s)=G(s) X(s)。通过反变换可求出时 域表达式y(t)。
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传递函数的基本概念
[关于传递函数的几点说明]
传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分 方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理 性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函 数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数 的各种系统。 传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。 只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。 传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多 个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其 它的输入量一概视为零。 传递函数忽略了初始条件的影响。 传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的 阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。
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相似系统和相似量
[需要讨论的几个问题]： 1、相似系统和相似量： 我们注意到例2-2和例2-3的微分方程形式是完全 一样的。
d 2uo du o LC RC u o ui 2 dt dt
m x f x kx F
可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系 统也可以有相同形式的数学模型。 [作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
R I ( s ) U ( s ) 2 2 O
U ( s ) 1 1 Ts 0 G ( s ) U s ) 1 Ts i(
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RRC T 1 2 R1 R2
R1 R2 R2
控制系统的微分方程
[例2-3] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。 输入量为外力F，输出量为位移x。 [解]：图1和图2分别为系 F kx k 统原理结构图和质量块 F 受力分析图。图中，m m m 为质量，f为粘性阻尼系 x f 数，k为弹性系数。 m x fx
图1 图2
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： m x f x kx F 这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。
ui
L
R
i
C
uo
uo
ui
输入 输出
di 1 L Ri idt u i ① dt C 1 o idt ② C
u

du o 由②： i C ，代入①得： dt
d 2uo du o LC RC u o ui 2 dt dt
这是一个线性定常二阶微分方程。
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建立控制系统数学模型的方法 分析法——对系统各部分的运动机理进行分析，物理 规律、化学规律 实验法——人为施加某种测试信号，记录基本输出响 应。
输 出 （ 已 知 ） 输 入 （ 已 知 ） 黑 匣 子
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数学模型的几种表示方式
数学模型 时域模型 频域模型 复域模型 状态空间模型
令M s) 0，得转速对电枢电压的传递函数： c( K ( s ) u G ( s ) u 2 U ( s ) T T s T s 1 a am m 令U ) 0，得转速对负载力矩的传递函数： a(s K ( T s 1 ) ( s ) m a G ( s ) m 2 M ( s ) T T s T s 1 c am m 最后利用叠加原理得转速表示为： ( s ) G ( s ) U ( s ) G ( s ) M ( s ) u a m c
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线性系统微分方程的编写步骤
3.线性系统微分方程的编写步骤： ⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理 的方程。 ⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。
⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部 件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关 系的微分方程。
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传递函数的基本概念
[例2-5]求电枢控制式直流电动机的传递函数。 [解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为： 方程两边求拉氏变换为：
2 d m d d c T T T K u K ( T m ) a m2 m u a m a c dt dt dt
⑶速度控制系统方块图：
ug u e
-
运放Ⅰ
u1
运放Ⅱ
u2
功放
ua
M
电动机
c

uf
⑷各环节微分方程：
测速
u k ( u u ) k ( u u k u 运放Ⅰ： u 2 1 1 1 1 g f) 1 e ， 运放Ⅱ： 2
u2 功率放大：u a k 3
T T T k u k ( T M M ) 电动机环节： a mm n am a c c
频率特性，波特图
Leabharlann Baidu
1传递函数2 结构图－信号流图
1、微分方程－输入量和状态变量都是连续的 2、差分方程－离散系统
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常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号 流图，频率特性以及状态空间描述等。 例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程 求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行 分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第 一步也是最重要的一步。