离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论

第3章命题逻辑的推理理论

3.1 推理的形式结构

一、有效推理

数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程，而前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。

定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B 也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。

关于定义3.1还需要做以下几点说明：

1．由前提A1,A2,…,A k推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。因而前提的公式不一定是序列，而是一个有限的公式集合，若将这个集合记为Г，可将由Г推B 的推理记为Г├B。若推理是正确的，则记为ГB，否则记为ГB。这里，可以称Г├B和{ A1,A2,…,A k}├B 为推理的形式结构。

2．设A1,A2,…,A k，B中共出现n个命题变项，对于任何一组赋值α1,α2,…,αn(αi =0或者1，i=1,2,…,n)，前提和结论的取值情况有以下四种：

(1) A1∧A2∧…∧A k为0，B为0.

(2) A1∧A2∧…∧A k为0，B为1.

(3) A1∧A2∧…∧A k为1，B为0.

(4) A1∧A2∧…∧A k为1，B为1.

由定义3.1可知，只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。

3．由以上的讨论可知，推理正确，并不能保证结论B一定为真，这与数学中的推理是不同的。

例3.1判断下列推理是否正确：

(1){p,p→q}q

(2){p,q→p}q

解只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是否出现前提合取式为真，而推论为假的情况。

(1)由表3.1可知，没有出现前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(1)中推理正确，即{p,p→q}q.

(2)由表3.1可知，在赋值为10情况下，出现了前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(2)推理不正确，即{p,q→p}q.

表3.1

对于本例这样简单的推理，不用写真值表也可以判断推理是否正确。在(1)中，当q 为假时，无论p是真是假，p∧(p→q)均为假，因而不会出现前提合取式为真，结论为假的情况，因而推理正确。而在(2)中，当q为假，p为真时，出现了前提合取式为真，结论为假的情况，因而推理不正确。

二、有效推理的等价定理

定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当

(A1∧A2∧…∧A k )→B

为重言式。

证首先证明其必要性。若A1,A2,…,A k推B的推理正确，则对于A1,A2,…,A k,B中所含命题变项的任意一组赋值，不会出现A1∧A2∧…∧A k为真，而B为假的情况，因而在任何赋值下，蕴涵式(A1∧A2∧…∧A k )→B均为真，故它为重言式。

再证明其充分性。若蕴涵式(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式，则对于任何赋值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件为假的情况，即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧A k

为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。

由此定理知，推理形式：

前提：A1,A2,…,A k

结论：B

是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式。(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。于是，推理正确

{A1,A2,…,A k} B

可记为

A1∧A2∧…∧A k B

其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。

而判断命题公式永真性有三个方法：

1．真值表法

2．等值演算法

3．主析取范式法

下面用例子说明。

例3.2判断下面推理是否正确：

(1)若a能被4整除，则a能被2整除；A能被4整除。所以a能被2整除。

(2)若a能被4整除，则a能被2整除；A能被2整除。所以a能被4整除。

(3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳了。

(4)若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了30℃。

解解上述类型的推理问题，首先应该将简单命题符号化。然后分别写出前提、结论、推理的形式结构，接着进行判断。

(1)设

p：a能被4整除。

q: a能被2整除。

前提：p→q，p

结论：q

推理的形式结构：(p→q)∧p→q (3.1)

由例3.1可知，此推理正确，即(p→q)∧p q。

(2)设p，q的含义同(1)。

前提：p→q，q

结论：p

推理的形式结构：(p→q)∧q→p (3.2)

当然可以用真值表法、等值演算、主析取范式等方法来判断(3.2)式是否为重言式。但在此推理中，容易看出01是(3.2)式的成假赋值，所以(2)推理不正确。

(3)设

p：马芳下午看电影。

q：马芳下午去游泳。

前提：p∨q，┐p

结论：q

推理形式结构：((p∨q)∧┐p)→q (3.3)

用等值演算法来判断(3.3)式是否为重言式。

((p∨q)∧p)→q

┐((p∨q)∧┐p)∨q

((┐p∧┐q)∨p)∨q

((┐p∨p)∧(┐q∨p))∨q

┐q∨p∨q

1

这说明(3.3)式为重言式，所以推理正确。

（4）设

p：下午气温超过30℃。