第5讲 离散型(完善泊松分布)

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其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为p的两 点分布或者(0-1)分布,记为 X ~ B (1, p ).
例 5:200 件产品中,有196件正品,4件次品, 今从中随机地抽取一件,若规定
1, 取 到 正 品 , X ( ) 0, 取 到 次 品.
则 P{X=1} = 196/200 = 0.98, P{X=0} = 4/200 = 0.02 . 故 X 服从参数为0.98的两点分布, 即 X~B(1, 0.98)。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
二项分布 B(n, p) 和两点分布B(1, p)之间的关系
设试验 E 只有两个结果: A 和 A 。记 记 p P ( A ),则 P ( A ) 1 p , 0 p 1 .
将试验 E 在相同条件下独立地进行 n 次, 记 X 为 n 次独立试验中A出现的次数。描述第 i 次试验的随机变量记作 Xi , 则 Xi ~ B(1, p), 且 X1, X2 , …, Xn相互独立 ( 随机变量相互独 立的严格定义将在第三章讲述)。则有
泊松分布的图形
例9:英国物理学家Rutherford观测到的关于放 射性物质放射出的 粒子在时间间隔 T内被 观测到的数目是一个遵从泊松分布的著名例子。 他观测了N=2608次, T 7.5s ,将每次观测到 的粒子数记录成表:
在N=2608次观测中,共观测到粒子数
M k N k 10094 个,因而平均每次观测
小结
本节首先介绍随机变量的基本概念与分 类,然后介绍离散型随机变量及其概率分布; 最后介绍三种常见的离散型概率分布:两点 分布、二项分布、泊松分布及其关系。 对于离散型随机变量,如果知道了其概 率分布,也就知道了它取各个可能值的概率。
X~B(n,p)
例8 已知100个产品中有5个次品,现从中 有放回地取3次,每次任取1个,求在所取 的3个中恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次,因此这3 次试验 的条件完全相同且独立,它是贝努里试验.
依题意,每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数, 则 X ~ B (3, 于是,所求概率为: 0.05), 2 2 P( X 2)C3 (0.05) (0.95) 0.007125
掷骰子:“掷出4点”,“未掷出4点”
新生儿:“是男孩”,“是女孩”
抽验产品:“是正品”,“是次品”

再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重 复”是指这次试验中各次试验条件相同 ),
每次试验成功的概率都是p,失败的概率 都是q=1-p.
这样的n次独立重复试验称作n重伯努里 试验,简称伯努里试验或伯努里概型.
二项分布与泊松分布的关系
历史上,泊松分布是作为二项分布的近似, 于1837年由法国数学家泊松引入的 。 定理1(泊松定理): 对二项分布 B(n,p), 当 n充分大, p又很小时,对 任意固定的非负整数 k,有近似公式
b ( k; n, p ) C p (1 p )
k n k
nk


k
2、
伯努里概型 和 二项分布
例6 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p,令X表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数. 我们来求X的概率分布.
X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数, 生男孩的概率为 p. 男 女 X =1 X =2 X =3 X =4 X=0
X的概率分布是:
X可取值0,1,2,3,4.
用X表示n重伯努里试验中事件A(成功) 出现的次数,则
k k P( X k )Cn p (1 p)n k , k 0,1,, n
P( X k ) 0 不难验证: (1)
(2) P( X k ) 1
k 0 n
当n=1时, k(1-p)1-k,k=0,1 P ( X = k )= p 称r.vX服从参数为n和p的二项分布,记作 称X服从0-1分布
k P{ X k } e k!
, k 0 , 1, 2 ,
.
其中λ>0 是常数, 则称 X 服从参数为λ的泊松 分布, 记作 X ~ P(λ) 。
P{ X k } 0, k 0, 1, 2, , k 易见 e 1 . k 0 k!
X= X1+X2+ … +Xn
二项分布的图形特点: X~B(n,p) 对于固定n及p,当k增加时 ,概率 P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少. Pk
..
0
..n
n=13,p=0.5
3. 泊松分布
设随机变量 X 所有可能取的值为: 0, 1, 2,…, 概率分布为:
p (k ; )
P{X=1} = P{恰有一个继电器接通}
P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.8 0.2 0.2 0.8 0.32 ,
P{X=2} = P{两个继电器都接通}
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.8 0.8 0.64 .
解:(1). 记 Ai={第 i 个继电器接通}, i =1, 2. 因两个继电器是否接通是相互独立的, 所以A1和A2相互独立,且 P(A1)=P(A2)= 0.8 . 下面求 X 的概率分布: 首先,X 可能取的值为: 0, 1, 2 . P{X=0} = P{表示两个继电器都没接通}
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0 .2 0 .2 0 .04 ,
例 11: 某一城市每天发生火灾的次数 X 服从参 数为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生 3 次 或3次以上火灾的概率。
解: P{X≥3}= 1-P{X<3} = 1-[ P{X=0}+P{X=1}+P{X=2} ] = 1-[ (0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!) ]e-0.8 ≈ 0.0474 .
P ( X 2)P( A1 A2 )(1 p) p
P( X 3)P( A1 A2 A3)(1 p)2 p

设 Ak = {第k发命中},k =1, 2, …,
于是
P(X=1)=P(A1)=p,
P ( X 2)P( A1 A2 )(1 p) p
P( X 3)P( A1 A2 A3)(1 p)2 p
注:若将本例中的“有放回”改为”无放回 ”,那么各次试验条件就不同了,不是贝努 里概型,此时,只能用古典概型求解.
C C P( X 2) 0.00618 C
请思考: 古典概型与贝努里概型不同,有何区别?
1 2 95 5 3 100
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求,但有下述要求: (1)每次试验条件相同; (2)每次试验只考虑两个互逆结果A或 A , P( A ) 1 p ; 且P(A)=p , (3)各次试验相互独立. 可以简单地说,
概率论与数理统计 第 五 讲
教师:王大荣 北京工业大学实验学院 基础部数学办公室2-305
§2.2
离散型随机变量
2.2.1 离散型随机变量的概率分布
定义1 :设离散型随机变量 X 所有可能取 的值为 x1 , x 2 , , 且有
P ( X x k ) p k , k 1, 2 , 。
所以,X的分布律为
(2). 因线路是并联电路,所以 P(线路接通) = P(只要一个继电器接通) = P{X≥1} = P{X=1}+P{X=2} = 0.32+0.64 = 0.96.
2.2.2 常见离散型随机变量的概率分布 1. 两点分布 若随机变量X只可能取0或1两个值,其 概率分布为 P{X=1}= p , P{X=0} = q.
4k
P{ X k}C p (1 p) ,
k 4 k
k 0,1,2,3,4
例7 将一枚均匀骰子抛掷3次, 令X 表示3次中出现“4”点的次数 不难求得, X的概率分布是:
1 k 5 3k P{ X k}C ( ) ( ) , 6 6
k 3
k 0,1,2,3
一般地,设在一次试验中我们只考虑两个 互逆的结果:A或 A , 或者形象地把两个互 逆结果叫做“成功”和“失败”.
k!
e ,

其 中 np, k n .
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件。如:地震、火山爆发、特 大洪水、意外事故等。
由泊松定理,n次伯努利试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布。
例12:某出租汽车公司共有出租车400辆,设每 天每辆出租车出现故障的概率为0.02,求:一天 内没有出租车出现故障的概率。 解: 将观察一辆车一天内是否出现故障看成一 次试验 E。因为每辆车是否出现故障与其它车 无关, 于是, 观察400辆出租车是否出现故障就 是做 400 次伯努利试验。设 X 表示一天内出现 故障的出租车数, 则 X ∼ B(400, 0.02)。 令 = np = 400×0.02 = 8 ,于是, P{一天内没有出租车出现故障} = P{X=0} = b(0;400,0.02) ≈(80/0!)e-8 = 0.0003355.
k
确定常数 a 。 解:依据概率分布的性质
P ( X k ) 0 , P ( X k ) 1 . k
欲使上述数列为概率分布,应有
a ae 1. a0 与 k! k 0
k
从中解得
ae .

这里用到了幂级数展开式
k 0



k
k!
e .
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分 布律,其中 p1 , p2, …满足
(1). p k 0 , k 1, 2 , ;
(2).

k
p k 1 .
用这两条性质判断 一个数列是否是概 率分布。
概率分布也可用下面表格的形式给出:
例1:设随机变量 X 的概率分布为
P ( X k ) a , k 0, 1, 2, , 0 为常数。 k!

可见
P( X k)(1 p) p
k 1
k1,2,
这wk.baidu.com是求所需射击发数X的概率分布.
例 4:
如上图所示,电子线路中装有两个并联继电器。 设这两个继电器是否接通具有随机性,且彼此 独立。已知各电器接通的概率为0.8,记X为线 路中接通的继电器的个数。 求 (1). X 的概率分布;(2). 线路接通的概率。
常常表示为:
1 2 0 X ~ 0.01 0.18 0.81
这就是X的概率分布.
例3. 某射手连续向一目标射击,直到命中为 止,已知他每发命中的概率是 p,求所需射击 发数X 的概率分布. 解: 显然,X 可能取的值是1,2,… , 为计算 P(X =k ), k = 1,2, …, 设 Ak = {第k发命中},k =1, 2, …, 于是 P(X=1)=P(A1)=p,
到的粒子数
k
M 10094 3.87 N 2608
带入P(k,3.87),得下表
例10:某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次 数X服从参数 =3 的泊松分布。求: (1). 一分钟内恰好收到3次寻呼的概率; (2).一分钟内收到2至5次寻呼的概率。
解: (1). P{X=3} = (33/3!)e-3 ≈ 0.2240; (2). P{2≤X≤5} = P{X=2} + P{X=3} + P{X=4} + P{X=5} = [ (32/2!) + (33/3!) + (34/4!) + (35/5!) ]e-3 ≈ 0.7169.

例2:某篮球运动员投中篮圈概率是0.9,求其 两次独立投篮后,投中次数 X 的概率分布。 解:X 可取的值为 :0, 1, 2,且 P(X=0) = (0.1)(0.1) = 0.01, P(X=1) = 2(0.9)(0.1) = 0.18 , P(X=2) = (0.9)(0.9) = 0.81 . 易见: P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 .
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