数的开方复习
数的开方知识点及复习
数的开方知识点及复习知识点一：平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。
（2）开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.（3）平方根的表示：a 的平方根记作:a 2±±或a 。
a 叫做被开方 （4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算（5）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数②0有一个平方根，它是0本身③负数没有平方根。
（6）算术平方根的定义：非负数a 的正的平方根。
（7）算术平方根表示：一个非负数a 的平方根用符号表示为：“a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数 （8）算术平方根的性质:①正数a 的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。
注1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；(a≥0)是一个非负数, 即≥0;2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数； 3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1; 4).非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；5）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|=6).平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平 方 根，非负数a 的负平方根。
要特别注意： a ≠±a7).平方根与算术平方根的区别与联系：区别：①定义不同 ②个数不同： ③ 表示方法不同：联系:①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。
知识点二、立方根：（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。
如果x3=a ，则x 叫做a 的立方根。
记作：3a x = ,读作“三次根号a ” 。
（2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方（3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算 （4）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a>0，则03>a ②一个负数有一个负的立方根，即若a<0，则03<a ③0的立方根是0，即若a=0，则03=a 。
第16章 数的开方期中复习
第16章 数的开方复习（1）一、知识点1、平方根：如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根。
正数a 的平方根是a ±；0的平方根是0；负数没有平方根。
2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作a ；0的算术平方根是0。
3、立方根：如果x 3=a ，那x 叫做a 的立方根。
（1）a a =33；（2）33a a -=-4、形如a （a>0）的式子叫做二次根式。
5、二次根式a 的性质：（1）a>0； （2）a ≥0；（3）（a ）2=a （a>0）； （4）2a ＝a =⎪⎩⎪⎨⎧<-≥)0()0(a a a a6、二次根式的乘除法:7、最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
8、同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
9、二次根式相加减：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
合并同类二次根式与合并同类项类似，是同类二次根式的不能合并。
10、无限不循环小数叫做无理数。
11、有理数和无理数统称为实数。
12、实数与数轴上的点一一对应。
数轴上的点与实数是 的。
也就是说，数轴上的任一点必定表示一个 数（包括 数和 数）；反过来，每一个实数（ 数和 数）也都可以用数轴上的点来表示。
二、巩固练习1、0.49的平方根是 ；16的平方根是 ；25= 。
2、81的平方根是 ；()32-的立方根是3、若4+x 有意义，x .4、等式3392-∙+=-x x x 成立的条件是 。
5、使112112++=++x x x x 成立的条件是 . 6、当0≥a ，（a ）2= , 2a = 。
7、已知一个正方体的体积是1252cm ，则它的棱长为 cm 。
8、直接写出下列各式的计算结果 （1）=-2)3( ；（2）()=223 ；（3）=∙5213（4）=÷32311 ；（5）=7219、23-的相反数是 ，绝对值是 。
数的开方复习例题讲解与练习
平方根（一）平方根的定义：例1：求下列各数的平方根（1）25 （2）0.49 （3）641（4）16 例2：求下列各式中的x 的值（1）9x 2-25=0， （2）4（2x-1）2=36跟踪练习：1：求下列各数的平方根（1）2.56 （2）12125 （3）9 （4）（-100）2 （5）（±25）22.若a 的平方根是±3，那么a=3.解方程（1）3 x 2=27 （2）4（x-1）2=9（二）平方根的的性质：例3：已知一个正数的两个平方根是2m-4和3m-1,求这个正数。
跟踪练习：1.若3m-4和2m 是同一个数的平方根，求m 的值是多少？2.一个正数的平方根是2a-1和-a-5,求a 和这个正数。
(三)算术平方根例：说出下列各式的意义，并化简①16 ②±96.1 ③-9例：当x 为何值时，下列各式有意义？ ①1+x②x - ③32+x④11-+x x例：已知：a 、b 满足21｜a-1|+b+3 =0,求a 2+b 的值例 ：已知a 是5的整数部分，b 是5的小数部分，求a(b-5)的值。
跟踪练习：1.一个数的算术平方根是a ，比这个数大1的数为（ ） A.a+1 B.a +1 C. a -1 D.a 2+1 2.一个数的算术平方根等于它本身，这个数是（ ） A.0 B.1 C.0或1 D.±1或03.若2)3(x -=x-3，则x 的取值范围为（ ）A.x ＞3B.x ≤3C.x ≥3D.x 为任意数4.估计88大小应在（ ）A.在9.1～9.2之间B.在9.2～9.3之间C.在9.3～9.4之间D.在9.4～9.5之间 5.定义“*”的运算法则为：x*y=4+xy ，那么（2*6）*8值为（ ）A.3B.4C.5D.66.当a= 时，3+2+a 的最小值为7.若x =3，则x= ，若2x =3，则x=8.若x -4+｜3x-y|=0，则 x+y=9.计算27-2)15(-+81-3×97210.已知m 是2+13的整数部分，n 是13的小数部分，求m-n 的值。
数的开方复习)教案
数的开方复习教案教学目标：1. 理解数的开方的概念和性质；2. 掌握数的开方的基本运算法则；3. 能够运用数的开方解决实际问题。
教学内容：一、数的开方的概念和性质1. 引入数的开方概念，解释平方根、立方根等；2. 探讨数的开方的性质，如正数的开方是正数，负数的开方是负数等。
二、数的开方的基本运算法则1. 介绍数的开方的基本运算法则，如同底数幂的除法、乘法等；2. 通过例题讲解和练习，使学生熟练掌握这些法则。
三、数的开方在实际问题中的应用1. 引入实际问题，如计算面积、体积等；2. 演示如何运用数的开方解决这些实际问题；3. 学生练习解决类似问题。
四、数的开方与乘方的关系1. 探讨数的开方与乘方的关系，如平方根与平方的关系等；2. 通过例题和练习，使学生理解并能够运用这种关系。
五、数的开方在各数域中的应用1. 介绍数的开方在实数域中的应用，如物理、化学等；2. 引导学生思考数的开方在复数域中的应用。
1. 采用讲解和练习相结合的方式，让学生掌握数的开方的概念和性质；2. 通过例题和实际问题，引导学生运用数的开方解决实际问题；3. 提供充足的练习机会，帮助学生巩固数的开方的基本运算法则。
教学评估：1. 课堂练习：及时检查学生对数的开方的理解和掌握程度；2. 课后作业：布置相关的习题，巩固学生的学习成果；3. 单元测试：定期进行测试，评估学生对数的开方的掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT：展示数的开方的概念、性质和运算法则；2. 练习题库：提供充足的练习题，供学生巩固学习内容；3. 实际问题案例：用于引导学生运用数的开方解决实际问题。
教学时间：1课时（45分钟）教学步骤：1. 引入：通过数轴或实物展示，引导学生回顾数的开方的概念和性质；2. 讲解：讲解数的开方的基本运算法则，并通过例题进行演示；3. 练习：学生练习解决一些数的开方的问题，教师进行指导和解答；4. 应用：引入实际问题，引导学生运用数的开方解决这些问题；扩展活动：1. 组织小组讨论，探讨数的开方在实际问题中的应用；2. 布置研究性学习任务，让学生深入研究数的开方在各数域中的应用。
《数的开方》期末复习资料
第12章 数的开方一、知识点1．平方根⑴定义:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根。
即如果a x =2，则x 叫做a 的平方根,记作a x ±=。
⑵平方根的性质：①任何一个正数．．的平方根有两个．．，它们互为相反数；②零的平方根是零；③负数没有平方根. 2．算术平方根⑴定义：正数．．a 的正的平方根．．．．．叫做a 的算术平方根,记作a ；0的算术平方根是0。
只有非负数．．．．．才有算术平方根．．．．．．．。
⑵算术平方根的性质：①算术平方根为非负数,即)0(0≥≥a a ； ②)0()(2≥=a a a .⑶a 的意义：①0≥a ；②0≥a 。
4．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①定义小同；②个数不同：一个正数有两个平方根,它们互为相反数,而一个正数的算术平方根只有一个；③表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±,正数a 的算术平方根表示为a ；④值的范围不同：正数的算术平方根一定是正数,正数的平方根是一正一负.（2）联系：①具有包含关系：平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中的正的那个；②存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；③O 的平方根与算术平方根都是0。
5．开平方：求一个非负数的平方根的运算．．叫做开平方。
6．注意分清±a 、a 、－a 7．立方根⑴定义:如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根,记作3a 。
⑵立方根的性质：①正数有一个正的立方根;②负数有一个负的立方根； ③0的立方根是0。
8．熟记以下整数的平方和立方400203611928917256162251519614169131441212111222222222=========，，，，，，，，729951283437216612556442738211625255762433333333322===========，，，，，，，，，，9．无理数⑴定义：无限不循环小数叫做无理数。
初二上第12章数的开方复习
a
,读作“根号a”
正数a的平方根可以记作为± a a称为被开方数
0 0
7的算术平方根记作 7 ,平方根记作 7 ,
3、立方根的表示方法：
数a的立方根用 a表示 读作“三次根号a”
3
如：5是125的立方根,
即： 3 125 5
4、立方根的性质：
（1）正数有一个正的立方根
（2）负数有一个负的立方根 （3）0的立方根还是0
0.01 ____;
（2）下列数中属于无理数的在下面划“√”
2 1 2 4; 3; ; ; 3.1 ; ( 2) 2 3 16 1 2 2 2 ( ) 中，属于分数的有哪些？ （3）下列各数中： 、 、 、 3 4 6 7 22 ; 3.14159; 7
（4）如果 (3x 5) 2 5 3x ，那么x的取值范围是什么？ （5）已知 y
练习
1.在数轴上找出表示
2、 3、 5 的数的点.
2.下列各式中,计算正确的是( ) 1 2 3 A.32 b6 ab 2 3ab 4 B. x y xy a4 2 C. (2) a 2 a D. a 2 1 a a 2 a a 3.阅读下面解答过程,判断是否正确,若不正确,请写出正确答案: 1 已知a为实数,化简 a 3 a a
1.什么是平方根？
知识回顾
如果一个数X的平方等于a，即x2＝a， 那么这个数X叫做a的平方根（也叫做 二次方根）。
平方根的性质 ★一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 ★零的平方根是零。
1 2.求出 36，1.44， 2 4
★负数没有平方根。
的平方根
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
第十三讲 数的开方期末复习辅导
一、 知识要点：
数的开方期末复习辅导
1、平方根的定义： 2、平方根的性质： 3、立方根的定义： 4、立方根的性质： 5、平方与开平方、立方与开立方互为______运算。 6、三个非负数： ， 7、平方根等于本身的数是 立方根等于本身的数是 算术平方根等于本身的数是 8、无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．
D．
D．± 的值为（ D．3 D． ）
2008
6． （2008•通州区二模）已知
的算术平方根与 2 的相反数的倒数的积是（
）
8． （2008•永州）下列判断正确的是（ ＜2
9． （2012•瑞安市模拟）下列各选项中，最小的实数是（ A．﹣3 10．在实数 为（ A．2 个 ） B． 3 个 ） C ．4 个 、 B．0 、0、 、3.1415、π、 C．
2
a 的平方根是____． b
2009
x 03． （天津）若 x、y 为实数，且 x 2 y 2 0 ，则 y
的值为（ ）
2/8
A ．1
B．－1
C．2
D．－2
04．已知 x 是实数，则 x x A． 1
x 1
的值是( )
1
B． 1
2008 2008
D．4 D．4 或﹣4
2．一个数的平方是 4，这个数的立方是（
3．下列给出的“25 的平方根是±5”的表达式中，正确的是（ =±5 ）
4.若|a﹣ |+（b+1） =0，则 A． 5．实数 A．a A．﹣1 7． A．﹣4 A． ＜ B． 的平方根为（ B．±a B．1 B．﹣16 B．2＜
02． （希望杯试题）设 x、y 都是有理数，且满足方程（ x−y＝____．
《数的开方》全章复习与巩固--知识讲解(提高)
《数的开方》全章复习与巩固—知识讲解（提高）责编：杜少波【学习目标】1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa-=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数， 如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点的对应关系数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应. 3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、平方根和立方根1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列说法其中错误的是（ ）A ．5是25的算术平方根B ．()24-的平方根是－4 C ．()34-的立方根是－4D ．0的平方根与立方根都是0【答案】B ；2、已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数．求M ＋N 的平方根． 【答案与解析】 解：∵36a -<<的所有整数有－1，0，1，2所有整数的和M ＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵2237-≤x ≈2，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数． ∴N ＝2∴M ＋N ＝4，M ＋N 的平方根是±2.【总结升华】先由已知条件确定M 、N 的值，再根据平方根的定义求出M ＋N 的平方根． 类型二、实数的概念与运算3、（2014秋•章丘市校级期末）设x 是的整数部分，y 是的小数部分，化简|x﹣y ﹣3|．【思路点拨】求出的范围，得出x=5，y=﹣5，代入求出即可．【答案与解析】 解：∵＜＜，∴5＜＜6， ∴x=5，y=﹣5， ∴|x ﹣y ﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3|=|7﹣| =7﹣．【总结升华】本题考查了估算无理数的大小和绝对值，解此题的关键是求出x 、y 的大小． 举一反三：【变式】 已知5＋11的小数部分为a ，5－11的小数部分为b ，则a ＋b 的值是 ；a －b 的值是_______.【答案】1;2117a b a b +=-=-；提示：由题意可知113a =-，411b =-.4、已知无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．求10−π的值．（结果精确到百分位）【思路点拨】先求出10−π的值的区间，再求出近似数． 【答案与解析】解：∵无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．∴3.1622－3.1416＜10−π＜3.1623－3.1415， 0.0206＜10−π＜0.0208， ∴10−π≈0.02．【总结升华】中间过程应多保留一位小数. 举一反三：【变式】（2015春•北京校级期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．小明的方法：∵＜＜，设=3+k （0＜k ＜1）， ∴（）2=（3+k ）2， ∴13=9+6k+k 2，∴13≈9+6k ，解得k ≈， ∴≈3+≈3.67．（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，下面可参考使用）问题： （1）请你依照小明的方法，估算 ≈ （结果保留两位小数）； （2）请结合上述具体实例，m 的公式：已知非负整数a 、b 、m ，若a m ＜a+1，且m=a 2+b m ≈ （用含a 、b 的代数式表示）．【答案】（1）6.08；（2）．解：（1）∵＜＜，设=6+k （0＜k ＜1），∴（）2=（6+k ）2， ∴37=36+12k+k 2， ∴37≈36+12k ，解得k ≈， ∴≈6+≈6.08．故答案为：6.08；（2）若a ＜m ＜a+1，且m=a 2+b ，则m ≈a+．故答案为：．类型三、实数综合应用5、（2016春•南昌期末）已知实数x 、y 满足，求2x ﹣的立方根．【答案与解析】解：由非负数的性质可知：2x ﹣16=0，x ﹣2y +4=0， 解得：x=8，y=6．∴2x ﹣y=2×8﹣×6=8． ∴2x ﹣的立方根是2．【总结升华】本题主要考查的是非负数的性质、立方根的定义，求得x 、y 的值是解题的关键．举一反三：【变式】设a 、b 、c 都是实数，且满足08)2(22=+++++-c c b a a ， 求23a b c --的值.【答案】解：∵08)2(22=+++++-c c b a a∴220080a a b c c -=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得248a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴2341280a b c --=-+=.6、如图，数轴上A、B两点，表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．【思路点拨】首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．【答案与解析】解：∵数轴上A、B两点，表示的数分别为－13∴点B到点A的距离为13则点C到点A的距离也为13，设点C的坐标为x，则点A到点C的距离为－1－x=13∴x=－23【总结升华】此题主要考查了实数与数轴之间的定义关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点，则点C到点A的距离等于点B到点A的距离．两点之间的距离为两数差的绝对值．。
数的开方复习PPT课件
(6).3 (6)(36)
(7)37 522 723125
； / 活性氧化铝 氢氧化铝 高温氧化铝 分子筛 stb70rus
走几步过去，那做爹娘的赶快千恩万谢地接过窝头，拉着两个娃儿望北街走了。我小声儿对爹说：‘这个田掌柜可真够吝啬的， 自己吃白馍，却给人家小娃儿窝窝头！’。爹没有吭声，拉着我也拐往北街。走到一个包子铺前面的时候，爹站住了。他买了 十个还冒着热气儿的肉包子，并且叫伙计打包好了，然后对我说：‘你快去追上那一家子，把这些包子送给他们哇！唉，这些 逃难过来的人，拖家带口的，很难哪！’。回家的路上，我又说：‘那田掌柜可真够吝啬，自己吃白馍，却给人家小娃儿窝窝 头！’。爹却对我说：‘我们不能总是拿自己的想法来要求别人！那田掌柜已经挺不错了，知道拿两个现蒸的热窝头送给两个 饥饿的小娃儿吃。再说了，也许他们家当时再没有白馍了呢！’。爹说过的这些话，我到现在了还记得清清楚楚的。想一想啊， 这做人就应该是‘严于律己，宽以待人’呢！就拿咱这对门儿和隔壁的两家来说吧，他们都是居家过日子的人了，即便是有能 力帮助梁爷爷和梁奶奶医治伤痛，也不可能有精力就像咱们这样护理两位老人家啊！”耿英想一想也对，从此以后，就不再老 是瞧着那几个邻里人不顺眼了。79第六十三回 慷慨舍财尽全力|（护理老妇超复杂，兄妹三人日夜忙；慷慨舍财尽全力，梁老 妇人活过来。）当时，耿正兄妹三人的手里虽然并没有多少现成的银子，但昨晚“盛元酒店”的老板已经给他们开了一张二百 四十两纹银的收据，这个收据耿正是随身带着的。而且，昨儿晚上耿正已经听张老大说过，这位张老郎中是住在东大街上的； 而要到那里，就必定会途径“盛元酒店”的；所以，耿正无须担心没有现成的银子买药丸儿和膏药。“盛元酒店”柜台上的流 动银子有的是。当耿正匆匆进去说明事由之后，账房先生果然立马就顺利给他提取了一百两银子。然后，耿正就搀扶着张老郎 中慢慢地往东大街去了。张老郎中到家后，把三粒药丸儿和足够的膏药给耿正包好。耿正拿出银子，张老郎中只如数收取了安 宫神丸的费用，并没有考虑其他。耿正说：“这些膏药和您给梁爷爷涂的那些药膏的费用呢！还有啊，您老跑这一趟很累的， 也应该……”不等耿正说完，张老郎中就说话了：“那些就都不用了。这以后需要花的钱会很多的，你们也不容易啊！少收的 这一点点，就算是我帮了那俩可怜人了！”最后，张老郎中又拿起一个长嘴小壶，说：“你们就用这个小壶给老妇人灌药吧。 切记，灌药的时候，要把老人扶着坐起来。还有，壶里先不要放药水，等到把壶嘴慢慢地全部放入到喉咙里以后，再把药水倒 入壶里，并且等药水全部流完以后，再轻轻敲打壶身，确定壶嘴里已经没有一点药水了，才可以把壶嘴慢慢地抽出来；要不然， 如果不慎把药水灌入到了气道里边，那可是很危险的事情
数的开方复习
选择题
3．若 x ( 0 . 7 ) ，则 x =（
2
2
B
） (D) 0.49
(A) －0.7 （A）6
(B) ±0.7
(C) 0.7
4． 36 的平方根是（ （B）±6
D）
（C） 6 （D） ± 6 5.下列语句正确的是（ D ） （A）如果一个数的立方根是这个数本身，那 么这 个数一定是零； （B）一个数的立方根不是正数就是负 数； （C）负数没有立方根； （D）一个数的立方根与这个数同号，零的立 方根是零。
判断正误
8 的立方根是 ± 2 （1） 3 27
（2）互为相反数的立方根互为相反数；
（3）任何数的立方根只有一个； （4）3 64 的立方根是 4； （5）如果一个数的平方根与其立方根相同，
则这个数是1； （6）如果m是n的立方根，那么m·n≥0；
解答题
1、求下列各式中的x ： (1) 8 x 125;
3
3
(2)
( x 1) 8;
3
125 3 (3) 8( x 3) ; (4) ( x 2) 27
5 0
x （5）
6
64
（6）(2 x 1) 243 0
3
一、非负数性质的应用
习题
1.已知 2a b b 2 0 ,解关于
x
的方程 (a 2) x b a 1.
2
2、
a 3 (5 b) c 1 0,
2
a 则 的值为 bc
(3)
已知
2x y x 9
2
3 x 求3x 6 y的立方根。
0,
D）
填空题
第11章数的开方复习1__基础知识
第11章数的开方复习1__基础知识第11章数的开方复习课一基础知识学习目标1.进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；2.理解无理数和实数的意义；3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用一、知识归纳1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根。
a的平方根记作: 或。
求一个数a的平方根的运算叫做开平方.（2）平方根的性质①一个正数有个平方根，它们互为相反数②0有个平方根，它是。
③负数平方根。
（3）平方和开平方互为逆运算；2、算术平方根（1）算术平方根的定义：。
一个非负数a的平方根用符号表示为：“”，读作：“”，其中叫做被开方数（2）算术平方根的性质①正数a的算术平方根是；②0的算术平方根是；③负数算术平方根（3）重要性质：3、立方根（1）立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的（也叫）。
如果x3=a，则叫做的立方根。
记作：,读作“”。
求一个数的立方根的运算叫做。
（2）立方根的性质①一个正数的立方根是；②一个负数的立方根是；③0的立方根是。
（3）重要性质：4、实数基础知识（1）．无理数的定义: 叫做无理数（2）．有理数与无理数的区别：有理数总可以用或表示；反过来，任何或也都是有理数。
而无理数是小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。
（3）.常见的无理数类型○1一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···○2看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
○3有特定意义的数，如：π=3.14159265···○4.开方开不尽的数。
第12章_数的开方单元复习(含答案)
第十二章 数的开方复习（1） 应知 一、基本概念平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。
【注意】一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
【注意】①正数a 的算术平方根a 的双重非负性：⎩⎨⎧≥≥0a 0a②正数a 的平方根记作a ±立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或三次方根） 【注意】①一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
②33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
无理数：无限不循环小数叫做无理数。
【注意】无理数归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin 60o 等 实数：有理数与无理数统称实数。
二、基本法则1. 实数大小比较法则：见第二章“有理数大小比较法则”(加入无理数即可)。
2. 实数运算法则：见第二章“有理数运算法则”(加入无理数即可)。
【注意】实数的大小比较和运算通常可取它们的近似值来进行。
（2） 应会1. 平方根、立方根的符号表示。
2. ⋯17131052、、、、在数轴上的表示方法。
3. 实数的大小比较和运算。
（3） 例题1. 把下列各数填入相应的括号内：２，０，3，∙∙21.0，1-π，1.0-，144，()013-，722，020********.0属整数的有{ …}属无理数的有{ …} 2. 81.0的平方根是 ，425的算术平方根是 ，610-的立方根是 。
3. 21-的相反数是（ ） A 、21+B 、12- C 、21-- D 、12+-4. 0.4的算术平方根是（ ）A 、0.2 B 、±0.2 C 、510 D 、±5105. 下列实数227、sin 60°、3π、0、3.14159－2（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7. 化简273-的结果是( )．(A)7－2 (B) 7+2 (C)3(7－2) (D)3(7+2)。
数的开方知识点与复习
数的开方知识点与复习数的开方是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题和进一步学习数学知识中都有着广泛的应用。
下面让我们一起来详细了解数的开方的相关知识点，并进行复习巩固。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
即若 x²＝a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，记作±√9 ＝ ±3。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
3、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a。
0 的算术平方根是 0。
例如，4 的算术平方根是 2，即√4 ＝ 2。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2，记作³√8 ＝ 2。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0。
三、开方运算1、开平方运算求一个数的平方根的运算叫做开平方。
开平方运算与平方运算是互逆运算。
例如，因为(±5)²＝ 25，所以±√25 ＝ ±5。
2、开立方运算求一个数的立方根的运算叫做开立方。
开立方运算与立方运算是互逆运算。
例如，因为 3³＝ 27，所以³√27 ＝ 3。
四、实数1、实数的分类实数包括有理数和无理数。
有理数可以分为整数和分数，无理数是无限不循环小数。
例如，π、√2 等都是无理数；－3、0、2/3 等都是有理数。
2、实数与数轴上的点一一对应数轴上的每一个点都表示一个实数，反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。
15.3期末复习(第12章数的开方)
数学·人教版（RJ）
8．非负数 正数和零 统称为非负数． 定义： 我们已经学过的非负数有如下三种形式： (1)任何一个实数a的 绝对值 是非负数，即 |a| ≥0； 2n (2)任何一个实数a的 偶次方 是非负数，即 a ≥0； (3)任何一个非负数a的算术平方根 是非负数，即 a ≥0. 非负数有以下性质： (1)非负数有最小值零； (2)非负数之和仍然是非负数； (3)几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
-a a
(3)0的平方根和立方根都是 0
数学·人教版（RJ）
2.开平方与开立方 求一个非负数a的平方根 的运算，叫做开平方．其 中a叫做被开方数 . 求一个数a的立方根 的运算，叫做开立方．其中a 叫做被开方数 . 立方 都分别互为逆运 开平方与 平方 、开立方与 算． [点拨] (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术 平方根，再在求出的数前面加上“±”号；(2)根据平 方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关 系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方 根(立方根)．
2．用计算器计算 0.000064， 0.064， 64， 64000，你能 发现什么规律？
3
3
3
3
解： 0.0000 64＝0.04， 0.064＝0.4， 64＝4， 64000＝40. 被开立方数的小数点每向右(或向左)移动 3 位，其立方根的小数 点相应地向右(或向左)移动 1 位．
3
3
3
数学·人教版（RJ）
考点六
实数的运算
计算：|－3|＋(－2)3－(－3)2－110＋ 16.
解：|－3|＋(－2)3－(－3)2－110＋ 16 ＝3＋(－8)－9－1＋4 ＝3－8－9－1＋4 ＝－11.
数的开方知识点与复习
数的开方知识点与复习在数学中，数的开方是一个常见的运算方法。
开方是求一个数的平方根，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。
本文将介绍数的开方的基本概念和方法，并提供相关的复习知识点。
一、开方的概念开方是数学中的一种运算方法，用于求给定数的平方根。
开方运算的结果称为方根。
例如，2的平方根是√2，记作√2 = 2^(1/2)。
二、整数的平方根1. 完全平方数的平方根完全平方数是指可以写成某个整数的平方的数。
例如，4、9、16等都是完全平方数。
完全平方数的平方根一定是一个整数。
例如，√4 = 2，√9 = 3。
2. 非完全平方数的平方根非完全平方数的平方根是无限不循环小数，不能精确表示为一个整数或有限小数。
我们通常使用近似值来表示非完全平方数的平方根。
例如，√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732。
三、分数的平方根分数的平方根是指对一个分数进行开方运算。
分数的平方根可以是一个整数或者一个无限循环小数。
例如，√(1/4) = 1/2，√(1/9) = 1/3。
四、小数的平方根小数的平方根是指对一个小数进行开方运算。
小数的平方根可以是一个无限循环小数，或者是一个不能写成有限小数或无限循环小数的数。
例如，√0.25 = 0.5，√0.8 ≈ 0.894。
五、负数的平方根在实数范围内，负数的平方根是无法表示为一个实数的。
这是因为假设有一个实数x，它的平方等于一个负数，即x^2 = -a，其中a为正数。
根据乘法的性质，两个正数相乘的结果是正数，因此不存在一个实数的平方等于负数。
六、复数的平方根为了解决负数的平方根问题，我们引入了虚数单位i，定义为i = √(-1)。
利用虚数单位i，我们可以定义复数，其中实部和虚部都可以是实数。
例如，√(-4) = 2i，√(-9) = 3i。
复习知识点：1. 完全平方数的特点；2. 完全平方数的平方根是一个整数；3. 如何使用近似值表示非完全平方数的平方根；4. 分数和小数的平方根的计算方法；5. 负数的平方根无法表示为一个实数，需要引入虚数单位i来定义复数；6. 虚数单位i的定义及其应用。
数的开方复习教案
数的开方复习教案第一章：数的开方概念复习1.1 目标：让学生复习并掌握数的开方的概念。
1.2 教学内容：数的开方的定义。
平方根、立方根等基本根式的概念。
1.3 教学步骤：1. 复习数的开方的定义，解释开方是将一个数的平方根求出来的运算。
2. 举例说明平方根和立方根的概念，让学生理解并能够区分它们。
3. 让学生进行一些数的开方练习，巩固所学的概念。
1.4 作业：完成练习题，包括求平方根和立方根的题目。
第二章：数的开方计算方法复习2.1 目标：让学生复习并掌握数的开方的计算方法。
2.2 教学内容：数的开方的计算方法。
估算平方根和立方根的方法。
2.3 教学步骤：1. 复习数的开方的计算方法，解释如何使用计算器或手工计算数的开方。
2. 教授估算平方根和立方根的方法，让学生能够快速准确地估算出数的开方。
3. 让学生进行一些数的开方计算练习，巩固所学的计算方法。
2.4 作业：完成练习题，包括数的开方计算和估算题目。
第三章：数的开方在实际问题中的应用复习3.1 目标：让学生复习并掌握数的开方在实际问题中的应用。
3.2 教学内容：数的开方在实际问题中的应用实例。
3.3 教学步骤：1. 举例讲解数的开方在实际问题中的应用，如计算物体的体积、求解方程等。
2. 让学生分组讨论并找出其他实际问题中应用数的开方的情景。
3. 让学生进行一些实际问题中的数的开方练习，巩固所学的应用方法。
3.4 作业：完成练习题，包括数的开方在实际问题中的应用题目。
第四章：数的开方与其他数学概念的联系复习4.1 目标：让学生复习并掌握数的开方与其他数学概念的联系。
4.2 教学内容：数的开方与其他数学概念的联系，如平方、立方等。
4.3 教学步骤：1. 讲解数的开方与其他数学概念的联系，如平方根与平方、立方根与立方的关系。
2. 举例说明数的开方在其他数学概念中的应用，如解方程、求解函数等。
3. 让学生进行一些数的开方与其他数学概念联系的练习，巩固所学的联系。
12.6数的开方复习
3
1 2x
互为相反数，求
解：根据题意得
x y
的值
ｙ－1＝－（１－２ｘ）
ｙ＝ ２ｘ
即ｙ－1＝ ２ｘ－１
x 则 y
＝
1 2
实数和数轴
1. 无限不循环小数 叫做无理数.
注意:
(1)用根号表示的数不一定是无理数.如：
16
(2)无理数不一定都是用根号表示的数.如：π (3)无理数有无数多个.
(4)无理数可分为正无理数和负无理数.
2、
有理数和无理数
统称实数.
３、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表 示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实 数。即： 实数和数轴上的点是一 一对应的．
实数如何分类?
正有理数 有限小数或 有理数0 负有理数 无限循环小数 实数 无理数正无理数 无限不循环小数 负无理数
正有理数 正实数 正无理数 实数 零 负有理数 负实数 负无理数
选择题：
下列几种说法中，正确的（ ）
Ａ．无理数包括正无理数．０和负无理数． Ｂ. Ｃ. 无理数不是实数． 无理数是带根号的数.
Ｄ．无理数是无限不循环小数．
１．点Ａ在数轴上和原点相距
点所表示的数为_____ ２.设
2、平方根的性质：
*一个正数有（2 ）个平方根，且它们（ 互为相反数 *零只有（1 ）个平方根； *负数（没有平方根 ）。
）；
算术平方根的概念 正数a的正的平方根叫做a的算术平
方根，记作
a
，读作“根号a”。
注：０的算术平方根是０。
开平方 求一个非负数的平方根的运算叫做开平方
平方和开平方 互为逆运算 是的 2c 1 c 3 0
第12章 数的开方复习
一、知识点：1.平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
正数a 有两个平方根，它们互为相反数，记作a ±，a 称为被开方数．0的平方根只有一个，就是0，记作00=．负数没有平方根。
2. 算术平方根：正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”．3. 开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．4. 立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。
任何数（正数、负数或零）都有一个立方根．数a 的立方根，记作3a ，读作“三次根号a ”，a 称为被开方数，3称为根指数。
5. 开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
6. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。
7. 实数：有理数与无理数统称为实数。
8. 实数与数轴上的点一一对应．二、知识点应用：一、 选择题1．9的平方根是A ．±3 B. ±3 C ． 3 D ． 81 2．估计3131与5的大小关系是（ ） A ．3131＜5B ．3131＞5C ．3131＝5 D ．3131≤5 3．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．2-与38-B ．2-与12- C ．2-与2 D ．2与2(2)- 4．能与数轴上的点一一对应的是（ ）A ．整数B ．有理数C ．无理数D ．实数5．下列数0.618，3-，0， 71-，π4，22+中，无理数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 46．若8k （k 为大于0的自然数）的算术平方根是整数，则正整数k 的最小值为A ． 1 B. 2 C. 4 D. 87．已知5,3a b ==，则a b +的值为（ ）A ．14B ．4C ．14或4D ．2或2-8．下列说法中，正确的是（ ）A ．(-2)2的平方根是2B ． -1的立方根是±1C ． 100=±10D ． -6是6的一个平方根9．若m =30-3，则m 的范围是A ．1 < m < 2B ．2 < m < 3C ．3 < m < 4D ．4 < m < 510．用计算器检验，正确的是（ ）A ．7512+= B ．752-= C ． 7535⨯= D ． 以上答案都正确11．若330x y +=，则x 与y 的关系是( )A ． x+y =0B ． x+y ≠0C ．x=yD ． x y =1二、填空题12．化简: 2(3)-=_________; 364_______=.13．当a=_______时， 32a -的值是4.14．算术平方根等于它本身的数是________________.15．在横线上写出3个无理数________________________________.16．已知a 、b 为两个连续整数，且a ＜5＜b ，则a +b =___________. 17．若22(3)0m m n -+-=，则m n +的立方根为___________.三、解答题18．计算(1) 14449+ (2) 22178- (3) 31804-+-（4）3335410.027279-+--20．已知3x=4，y是81的平方根，求x+y的立方根是多少？m的客厅,求每一块地板砖的边长.21．用大小完全一样的200块正方形地板砖铺一间面积为18222．用长为50cm，宽为45cm，高为12cm的长方体实心铁块，能造出一个棱长为多少厘米的正方体实心铁块？24．（1）已知2x-3的立方根是5，求x的立方根。
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知识要点
4、二次根式的运算：
乘 a． b ab （a≥0，b≥0）
除
运 算
a
b
a
b
（a≥0，b＞0）
加减运算： （1）化简二次根式；
（2）合并同类二次根式。
知识要点
5、实数与数轴
（1）无限不循环小数叫做无理数。
如： 2，3，5，，3 2，3 3 等。
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例1：计算. 32
9x 6
x 4
2x
1 x
解：原式 2 x 3 x 2 x
3 x
你做对了吗!
例2：计算.(
0.5 2
1 3
)
(
1
8
75)
解：原式
1 2
2
1
3
1
8
75
22 3
2
3
2 4
5
3
（12
1 4
）
2
（5
2 3
）
3
解 题 过
2 4
2
13 3
3
程
注意:不是同类二次根式的二次根式(例如 2 、 3 不能合并)
（2）有理数与无理数统称为实数。
正有理数
有理数0
有限小数或无限循环小数
实数
负有理数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
（3）实数与数轴上的点一一对应。
复习题
选择题
1．下列说法中正确的是（C）．
(A) 4是8的算术平方根 （B）16的平方根是4 (C) 6 是6的平方根 （D）-a 没有平方根
2．下列各式中错误的是（D）．
（1）
8 27
的立方根是 ±
2 3
（2）互为相反数的立方根互为相反数；
（3）任何数的立方根只有一个；
（4）3 64 的立方根是 4；
（5）如果一个数的平方根与其立方根相同， 则这个数是1；
（6）如果m是n的立方根，那么m·n≥0；
解答题
1、求下列各式中的x ：
(1) 8x3 125;
(2) (x 1)3 8;
（济南市，2003中考）已知： a 1 2 3
求 a2 2a 1 a2 a
习题
1.已知 2a b b 2 0 ,解关于 x
的方程 (a 2)x b2 a 1.
2.若
a
1 3
8
1 8
7
1 7
6
1 6
5
1 52
则：A. a 0 C. a 0
B. a 0 D. a 为任何数
9、与数轴上的点具有一一对应关系的是：（ B ）
（A）无理数
（B）实数
（C）整数
（D）有理数
选择题
10、下列说法中，不正确的是： （ B ）
（A）绝对值最小的实数是0 （B）平方最小的实数是0 （C）算术平方根最小的实数是0 （D）立方根最小的实数是0
填空题
1. 有理数 和 无理数 统称为实数.
（A）无限小数都是无理数 （B）带根号的数都是无理数 （C）循环小数是无理数 （D）无限不循环小数是无理数
7、 a 是无理数，则a是一个： （ C ）
（A）非负实数
（B） 正实数
（C）非完全平方数 （D） 正有理数
选择题
8、下列说法中，错误的是： （ D ）
（A） 2 是无限不循环小数 （B） 2 是无理数 （C） 2 是实数 （D） 2 等于1.414
（A）± 0.36 ±0 .6 （B） 0 .36 0 .6 （C） 1 .44 1 .2 （D） 1 .44 ±1 .2
选择题
3．若 x 2 ( 0 . 7 )2，则 x =（ B ）
(A) －0.7 (B) ±0.7 (C) 0.7 (D) 0.49
4． 36 的平方根是（ D ）
随堂练习 ☞
计算： （1）5 2 8 7 18；（2） 28 9 112
（3）3 40
2 5
2
110；（4）12
1 27
1 3
（3）负数没有平方根。
2、立方根：若 x3 = a，则x = 3 a
性质： （1）任何数都只有一个立方根；
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根
是负数；零的立方根是零。
知识要点
3、二次根式：形如 a （a≥0）的式子，叫做二
次根式。
性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
性质 2：( a )2 = a (a≥0) a （a≥0）
(3) 8(x 3)3 125 ; (4) (x 2)3 5 0
27
（5）x6 64
（6）(2x 1)3 243 0
解答题
2、对于下面的题目，你的答案是什么？为什么？
（1）化简：
（2）（3a 4）2 3a 4
8 x2 y ( x 0) 成立的条件是什么？
3、对于下面的题目，怎样解答最简单？
2.1 2绝对值是
,相反数是
,倒数
是
.
3. 数轴上的点与 实数 具有 一一 对应关系.
4. 下列说法：（1）带根号的数是无理数；（2）无限 小数都是无理数；（3）无理数都是无限小数；
（4）在实数范围内，一个数不是有理数，则一定是 无理数，不是正数，则一定是负数。其中错误的有
___3___个。
判断正误
1．掌握平方根与立方根的概念和性质。 2．掌握二次根式的概念、性质和运算。 3. 掌握无理数和实数的概念与分类,知道实数与数轴的一
一对应关系.
学习目标
1计算
(
0.5 2
1 3
)
(
ห้องสมุดไป่ตู้
1
8
75)
2.无理数的个数有：_____
7,
a , , 3 27 ,0.010010001‥‥,
3
21 4
3.判断大小（并写出你判断的依据）：
（A）6 （B）±6 （C） 6 （D）± 6
5.下列语句正确的是（ D ）
（A）如果一个数的立方根是这个数本身，那 么这 个数一定是零； （B）一个数的立方根不是正数就是负 数； （C）负数没有立方根； （D）一个数的立方根与这个数同号，零的立 方根是零。
选择题
6、下列说法中，正确的是： （ D ）
（1）3与 7
(2) 5 3与3 5
4．已知 a 2 3 ，a的整数部分为x，小数部
2
x 2y
分为y，求 x 2 y
知识要点
1、平方根：若 x2 = a，则x = ± a （a≥0） 算术平方根：正数a的正的平方根；记作 a
性质：（1）正数有两个平方根，且互为相反数。
（2）零只有一个平方根。