高三数学大一轮复习讲义1
新教材高考数学一轮复习第一章1.1集合课件
(3)A
解析 (1)(数形结合)由数轴可知
所以A∪B={x|1≤x<4},故选C.
(2)满足x,y∈ N*,y≥x,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故
A∩B中元素的个数为4.
(3)∵A∪B={-1,0,1,2},
∴∁U(A∪B)={-2,3}.故选A.
A.{1,4} B.{1,4,5}
)
C.{4,5} D.{6,7}
答案 C
解析 由题意得∁UB={1,4,5},又A={2,3,4,5},所以A∩(∁UB)={4,5},故选C.
5.(202X江苏南京六校5月联考,1)已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|x<1},则
A∪B=
.
答案 (-∞,2)
D.[-4,4]
(2)(202X年1月8省适应测试)已知M,N均为R的子集,且∁RM⊆N,则
M∪(∁RN)=(
A.⌀
B.M
)
C.N
D.R
(3)(202X山东潍坊一模,1)设集合A={2,4},B={x∈N|x-3≤0},则A∪B=(
A.{1,2,3,4}
B.{0,1,2,3,4}
C.{2}
D.{x|x≤4}
= 2
=
=
1
,
4
或
1
2
= 0,
1
故 a=0 或4.
= 1,
解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:
(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集,还是其他类型的
集合.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验
2023年高考数学一轮复习讲义(新高考)第1章§1
§1.3 等式性质与不等式性质考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法Error! (a ，b ∈R )2．等式的性质性质1 对称性：如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 传递性：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3 可加(减)性：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 可乘性：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 可除性：如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .3．不等式的性质性质1 对称性：a >b ⇔b <a ；性质2 传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4 可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5 同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6 同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7 同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2．若a >b >0，m >0⇒b a <b ＋ma ＋m ；若b >a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ )(2)若b a>1，则b >a .( × )(3)若x >y ，则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b，则b <a .( × )教材改编题1．(多选)设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是( )A ．1122a b ＜B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>a bD ．ac 3<bc 3答案 ABC解析 因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以1122a b ＜，A 正确；因为y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >1b，B 正确；因为a ＋2b ＋2－a b ＝2(b －a )(b ＋2)b >0，所以a ＋2b ＋2>a b ，C 正确；当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3<b <5，则a ＋2b 的取值范围是______．答案 (－7,12)解析 ∵－3<b <5，∴－6<2b <10，又－1<a <2，∴－7<a ＋2b <12.题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案 B解析 p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·(1a －1b )＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)(2022·菏泽模拟)已知a ，b ，c ∈(0,3)，且a 5＝5a ，b 4＝4b ，c 3＝3c ，下列不等式正确的是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b答案 C解析 a 5＝5a ，即ln a a ＝ln 55，b 4＝4b ，即ln b b ＝ln 44，c 3＝3c ，即ln c c ＝ln 33，设f (x )＝ln x x ，则f (a )＝f (5)，f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，f ′(x )＝1－ln xx 2(x >0)，当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )＝ln x x 单调递减，当0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )＝ln x x 单调递增，因为a ，b ，c ∈(0,3)，f (a )＝f (5)，f (b )＝f (4)，f (c )＝f (3)，所以a，b，c∈(0，e)，因为f(5)<f(4)<f(3)，所以f(a)<f(b)<f(c)，a<b<c.教师备选已知M＝e2 021＋1e2 022＋1，N＝e2 022＋1e2 023＋1，则M，N的大小关系为________．答案 M>N解析 方法一 M－N＝e2 021＋1e2 022＋1－e2 022＋1e2 023＋1＝(e2 021＋1)(e2 023＋1)－(e2 022＋1)2 (e2 022＋1)(e2 023＋1)＝e2 021＋e2 023－2e2 022 (e2 022＋1)(e2 023＋1)＝e2 021(e－1)2(e2 022＋1)(e2 023＋1)>0.∴M>N.方法二 令f(x)＝e x＋1e x＋1＋1＝1e(e x＋1＋1)＋1－1ee x＋1＋1＝1e＋1－1ee x＋1＋1，显然f(x)是R上的减函数，∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N.思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1 (1)已知0<a<1b，且M＝11＋a＋11＋b，N＝a1＋a＋b1＋b，则M，N的大小关系是( )A．M>N B．M<N C．M＝N D．不能确定答案 A解析 ∵0<a<1 b ，∴1＋a>0,1＋b>0,1－ab>0.∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )>0，∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ＝e π－eππ－e ＝(e π)π－e ，又0<e π<1,0<π－e<1，∴(e π)π－e <1，即e π·πee e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ.题型二 不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a 2<ab <b 2C ．若c >a >b >0，则a c －a <b c －bD ．若a >b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c答案 D解析 对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题；对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a <b <0，但不满足a 2<ab <b 2，故B 选项为假命题；对于C 选项，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，a c －a ＝23－2>b c －b ＝12，故C 选项为假命题；对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c ＝a (b ＋c )－b (a ＋c )b (b ＋c )＝ac －bc b (b ＋c )＝(a －b )c b (b ＋c )>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D 选项为真命题．(2)(多选)若1a <1b<0，则下列不等式正确的是( )A.1a ＋b <1ab B ．|a |＋b >0C ．a －1a >b －1bD ．ln a 2>ln b 2答案 AC解析 由1a <1b<0，可知b <a <0.A 中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab ，即A 正确；B 中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故B 错误；C 中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故C 正确；D 中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故D 错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c | D.a c 2＋1>bc 2＋1答案 D解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >1b ，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，故B 错误；对于C ，若c ＝0，a |c |＝b |c |，故C 错误；对于D ，因为c 2＋1≥1，所以1c 2＋1>0，又a >b ，所以a c 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．思维升华 判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则( )A.1a <1b B.b a ＋a b >0C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案 C解析 因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b <0，A 不正确；b a <0，a b <0，则b a ＋a b<0，B 不正确；又a ＋b >0，即a >－b >0，则a 2>(－b )2，a 2>b 2，C 正确；由a >－b >0得a >|b |，D 不正确．(2)(多选)设a >b >1>c >0，下列四个结论正确的是( )A.1ac >1bcB ．ba c >ab cC ．(1－c )a <(1－c )bD ．log b (a ＋c )>log a (b ＋c )答案 CD解析 由题意知，a >b >1>c >0，所以对于A ，ac >bc >0，故1ac <1bc，所以A 错误；对于B ，取a ＝3，b ＝2，c ＝12，则ba c ＝23，ab c ＝32，所以ba c <ab c ，故B 错误；对于C ，因为0<1－c <1，且a >b ，所以(1－c )a <(1－c )b ，故C 正确；对于D ，a ＋c >b ＋c >1，所以log b (a ＋c )>log b (b ＋c )>log a (b ＋c )，故D 正确．题型三 不等式性质的综合应用例3 (1)已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是______，3x ＋2y 的取值范围是______．答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.延伸探究 若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则Error!∴Error!即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为(－32，232).(2)已知3<a <8,4<b <9，则a b的取值范围是________．答案 (13，2)解析 ∵4<b <9，∴19<1b <14，又3<a <8，∴19×3<a b <14×8，即13<a b<2.教师备选已知0<β<α<π2，则α－β的取值范围是________．答案 (0，π2)解析 ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0，又0<α<π2，∴－π2<α－β<π2，又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<π2.思维升华 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是( )A ．－3<c a<－1 B ．－1<c a <－13C ．－2<c a<－1 D ．－1<c a <－12答案 A解析 因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a>－3，将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得c a <－1，所以－3<c a<－1.(2)已知1<a <b <3，则a －b 的取值范围是________，a b的取值范围是________．答案 (－2,0) (13，1)解析 ∵1<b <3，∴－3<－b <－1，又1<a <3，∴－2<a －b <2，又a <b ，∴a －b <0，∴－2<a －b <0，又13<1b <1a，∴a 3<a b <1，又a 3>13，∴13<a b<1.综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b 的取值范围为(13，1).课时精练1．(2022·长春模拟)已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案 B解析 M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 若a <b <0，则a 2>b 2，故A 不成立；若Error!则a 2b <ab 2，故B 不成立；若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，b a >a b ，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确．3．已知－3<a <－2,3<b <4，则a 2b 的取值范围为( )A ．(1,3) B.(43，94)C.(23，34)D.(12，1)答案 A解析 因为－3<a <－2，所以a 2∈(4,9)，而3<b <4，故a 2b 的取值范围为(1,3)．4．若a >1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是( )A ．n >m >p B ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析 由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．(2022·杭州模拟)若(13)a <(13)b<1，则下列各式中一定成立的是( )A ．ln(a －b )>0B ．2b －a >1C ．－1a >－1bD ．log c a >log c b (c >0且c ≠1)答案 C解析 指数函数y ＝(13)x在(－∞，＋∞)上单调递减，由(13)a <(13)b<1可知，a >b >0.所以1a <1b ，则－1a >－1b ，故C 正确；a －b >0，但不一定有a －b >1，则不一定有ln(a －b )>0，故A 错误；函数y ＝2x 在(－∞，＋∞)上单调递增，b －a <0.则2b －a <20＝1，故B 错误；当0<c <1时，函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，则log c a <log c b ，故D 错误．6．(多选)(2022·济宁模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式不成立的是( )A ．xy >yz B ．xy >xzC ．xz >yzD ．x |y |>|y |z答案 ACD解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x >0>z ，若y <0，则xy <0<yz ，故A 错误；对于B ，因为y >z ，x >0，所以xy >xz ，故B 正确；对于C ，因为x >y ，z <0，所以xz <yz ，故C 错误；对于D ，因为x >z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 错误．7．(多选)设a ，b ，c ，d 为实数，且a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的有( )A．c2＜cd B．a－c＜b－dC．ac＜bd D.ca－db＞0答案 AD解析 因为a＞b＞0＞c＞d，所以a>b>0,0>c>d，对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2<cd，故选项A正确；对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故选项B错误；对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故选项C错误；对于D，因为a>b>0，d<c<0，则ad<bc，所以ca>d b，故ca－db＞0，故选项D正确．8．(多选)若0<a<1，b>c>1，则( )A.(b c)a>1B.c－a b－a>c b C．c a－1<b a－1D．log c a<log b a 答案 AD解析 对于A，∵b>c>1，∴bc>1.∵0<a<1，则(b c)a>(b c)0＝1，故选项A正确；对于B，若c－ab－a>cb，则bc－ab>bc－ac，即a(c－b)>0，这与0<a<1，b>c>1矛盾，故选项B错误；对于C，∵0<a<1，∴a－1<0.∵b>c>1，∴c a－1>b a－1，故选项C错误；对于D，∵0<a<1，b>c>1，∴log c a<log b a，故选项D正确．9．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)答案 >解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·烟台模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b>2.其中正确的不等式的序号为________．答案 ①④解析 因为1a <1b<0，所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立，所以b a ＋a b>2，故④正确．11．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________．答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b 解析 方法一 令a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝19＋49＝59，故a <2ab <12<a 2＋b 2<b .方法二 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2(a －12)2＋12<12，即a <2ab <12.又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.∵12<b <1，∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b .12．(2022·上海模拟)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________．答案 27解析 x 3y 4＝x 4y 2·1xy 2＝(x 2y )2·1xy 2≤81×13＝27，当且仅当x 2y＝9，xy 2＝3，即x ＝3，y ＝1时等号成立．13．(多选)(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式成立的是( )A ．c <bB ．b ≥1C ．b ≤aD ．a <c 答案 BD解析 ∵Error!两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .那么a ，b ，c ，d 的大小关系是________．答案 b >d >c >a解析 由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d 及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则ca的取值范围是________．答案 (－2，－12)解析 因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)．又a>b>c，所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0，所以1>－a＋ca>ca，即1>－1－ca>ca.所以Error!解得－2<ca<－12.即ca的取值范围为(－2，－12).16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x，女学生人数为y，教师人数为z，由已知得Error!且x，y，z均为正整数．①当z＝4时，8>x>y>4，∴x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x>y>z>x2，当x＝3时，条件不成立，当x＝4时，条件不成立，当x＝5时，5>y>z>52，此时z＝3，y＝4.∴该小组人数的最小值为12.。
2020届高考数学一轮复习讲义 第1章 1.1 集合的概念及运算
§1.1集合的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型以选择题为主，低档难度.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于AA B(或B A)集合相等如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集对于给定的两个集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集如果给定集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n，2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × ) (3)若{x 2，1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( √ ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) 题组二 教材改编2．若集合A ＝{x ∈N |x ≤ 2 020}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A答案 D3．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为______． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0 答案 B解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B. 5．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2<x <4}，则(∁R A )∪B ＝______________. 答案 {x |x ≤1或x >2}解析 由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}， 又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}， 所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－4x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或2解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝16－8a ＝0，解得a ＝2.综上，a 的值为0或2.题型一 集合的含义1．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．无数个答案 C解析 依题意有A ＝{－2，－1,0,1,2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1,2,5}，故B 中有3个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C 解析 因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32解析 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．题型二 集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M答案 D解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [2 018，＋∞)解析 由x 2－2 019x ＋2 018<0，解得1<x <2 018， 故A ＝{x |1<x <2 018}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 018}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练1 (1)(2018·辽宁实验中学期中)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －2≤0，则集合A 的子集的个数为( )A ．7B ．8C ．15D ．16 答案 B解析 由x ＋1x －2≤0，可得(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠2，解得－1≤x <2.又x ∈Z ，可得x ＝－1,0,1，∴A ＝{－1,0,1}．∴集合A 的子集的个数为23＝8.(2)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为__________． 答案 (－∞，1]解析 当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}，B ⊆A ， 所以在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，－m ≥－1，所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．题型三 集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2018·全国Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2>0，则∁R A 等于( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 故选B.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ⊆B C ．B ⊆A D ．A ∪B ＝R答案 D解析 ∵A ＝{x |x >2或x <0}，∴A ∪B ＝R . 命题点2 利用集合的运算求参数例3 (1)(2018·锦州模拟)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a >2D ．a ≥2 答案 D解析 集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}， 由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图．可知a ≥2.(2)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．答案 1解析 0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a ≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满足题意．(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1}解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练2 (1)(2018·葫芦岛检测)已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩(∁R B )等于( )A ．(2,4)B ．(－2,4)C ．(－2,2)D ．(－2,2] 答案 D解析 由题意得B ＝{x |y ＝lg(x －2)}＝(2，＋∞)， ∴∁R B ＝(－∞，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－2,2]．(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题例4 (1)对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝______________. 答案 [－3,0)∪(3，＋∞)解析 由题意知，A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}， A *B ＝(A －B )∪(B －A )＝[－3,0)∪(3，＋∞)．(2)设数集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________． 答案112解析 在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23≤x ≤34， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪14≤x ≤13， 长度为13－14＝112.综上，M ∩N 的长度的最小值为112.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练3 用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________. 答案 3解析 因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a <22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22<a <0或0<a <22时，C (B )＝2，不符合题意．综上，S ＝{0，－22，22}，故C (S )＝3.1．设集合P ＝{x |0≤x ≤2}，m ＝3，则下列关系中正确的是( ) A ．m ⊆P B ．m P C ．m ∈P D ．m ∉P答案 D解析 P ＝[0，2]，m ＝3>2，故选D.2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅ D ．M ∪N ＝R答案 B解析 由题意得，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x <2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <0或x >12，所以M N .故选B. 3．设集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |2x ≥4}，则A ∩B 等于( ) A ．[2,4) B ．{2,4} C ．{3} D ．{2,3} 答案 D解析 由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，因为x ∈Z ，所以A ＝{0,1,2,3}，由2x ≥4，得x ≥2，即B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{2,3}．4．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 答案 A解析 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个． 故选A.5．设集合M ＝{－4，－3，－2，－1,0,1}，N ＝{x ∈R |x 2＋3x <0}，则M ∩N 等于( ) A ．{－3，－2，－1,0} B ．{－2，－1,0} C ．{－3，－2，－1} D ．{－2，－1}答案 D解析 因为集合M ＝{－4，－3，－2，－1,0,1}，N ＝{x ∈R |x 2＋3x <0}＝{x |－3<x <0}，所以M ∩N ＝{－2，－1}．6．(2018·呼和浩特联考)已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2<x≤2}，B ＝{1,2,3,5}，则(∁U A)∩B等于()A．{3,5} B．{2,3,5}C．{2,3,4,5} D．{3,4,5}答案 A解析由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则(∁U A)∩B＝{3,5}．故选A. 7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于() A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案 B解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.9．已知集合P＝{x|y＝－x2＋x＋2，x∈N}，Q＝{x|ln x<1}，则P∩Q＝________.答案{1,2}解析由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因为x∈N，所以P＝{0,1,2}．因为ln x<1，所以0<x<e，所以Q＝(0，e)，则P∩Q＝{1,2}．10．若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(∁U B)＝________________.答案{x|x<－1或x≥2}解析集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，∵log3(2－x)≤1＝log33，∴0<2－x≤3，∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，∴∁U B＝{x|x<－1或x≥2}，∴A∩(∁U B)＝{x|x<－1或x≥2}．11．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________． 答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________.答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________． 答案 [－2，2]解析 由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2. 16．已知集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1)解析 由题意知，A ＝[1，＋∞)，当B ＝∅，即12a >2a －1时，a <23.符合题意． 当B ≠∅时，令⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1<1，解得23≤a <1. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．。
高三数学第一轮总深刻复习培优版讲义(理)
高三数学第一轮总复习讲义（培优版）供理科生使用第一讲等差数列及其性质与前n项和第二讲等比数列及其性质与前n项和第三讲数列的通项公式与前n项和的求法第四讲数列的综合问题第一讲 等差数列及其性质与前n 项和【教学目标】1、 掌握等差数列的概念及通项公式；2、 理解并能应用等差数列的性质；3、 熟练掌握各种方法求等差数列的通项公式及前n 项和以及应用等差数列解决实际问题。
【重点难点】1、应用等差数列的性质解题；2、等差数列前n 项和公式理解、推导及应用;3、理解等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，会利用等差数列求和公式来研究n S 最值;【命题趋势】1、题型以选择题和解答题为主;2、选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用;3、解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n 项和与函数、不等式的综合问题。
【教学过程】 一、知识要点1. 等差数列的判定方法：（1）d a a n n =-+1（常数）{}n a ⇔是等差数列； （2）)(221*++∈+=N n a a a n n n {}n a ⇔是等差数列； （3）b k b kn a n ,(+=是常数）{}n a ⇔是等差数列；（4）B A Bn An s n ,(2+=是常数，)1≥n {}n a ⇔是等差数列. 2. 等差数列的性质.由等差数列{}n a 的通项公式d n a a n )1(1-+=可以推出许多性质,如: ①{}n a d ,0时>递增; {}n a d ,0时<递减; {}n a d ,0时=为常数列.②),()(*∈-+=N n m d m n a a m n .③),(*∈=--N n m d nm a a nm ;④若,s r q p +=+则,s r q p a a a a +=+特别地,k n k n n a a a +-+=2,若{}n a 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的和相等,且等于首末两项的和; ⑤若n n t t t r r r +++=+++ 2121,则n n t t t r r r a a a a a a +++=+++ 2121;{}n ka ,{}r ka n +也都是等差数列,公差是.kd⑦等差数列中依次k 项的和成等差数列，即 k k k k k S S S S S 232,,--成等差数列,其公差为d k 2⑧若{}n a ,{}n b 都是等差数列,公差分别为21,d d ,则{}n n pb ka +也是等差数列,其公差为21pd kd +.二、典例精析题型一、等差数列的证明例1. 已知数列{}n a 满足),2(44,411≥-==-n a a a n n 若,21-=n n a b （1）求证: {}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式题型二、等差数列的性质例2. 在等差数列{}n a 中,若,36121132=+++a a a a 求876a a a ++的值.例3. （2010广东惠州调研，改）已知{}n a 为等差数列，,87,105864531=++=++a a a a a a n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D.18变式：设公差为-2的等差数列{}n a 中,,5097741=++++a a a a 求99963a a a a ++++ 及99S 的值.例4. （07年辽宁，改）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,963==S S ，求151413a a a ++的值。
(通用版)高考数学一轮复习1.1集合讲义文
第一节集合一、基础知识批注——理解深一点 1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈ ；不属于，记为 ∁ . (4)五个特定的集合及其关系图：N*或 N＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A⊆B(或 B⊇A)． (2)真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，但集合 B 中至少有一个元素不属于 A，则称 A 是 B 的真子集， 记作 A∁B 或 B∁A. A∁B⇔Error!既要说明 A 中任何一个元素都属于 B，也要说明 B 中存在一个元素不属于 A. (3)集合相等：如果 A⊆B，并且 B⊆A，则 A＝B. 两集合相等：A＝B⇔Error!A 中任意一个元素都符合 B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合 A 中元 素的特性． (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集．记作∁.0，{0}，∁，{∁}之间的关系：∁≠{∁}， ∁∈{∁}，∁⊆{∁}，0∁∁，0∁{∁},0∈{0}，∁⊆{0}． 3．集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 A∩B，即 A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A∪ B，即 A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}． (3)补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且 x∁A}． 求集合 A 的补集的前提是“A 是全集 U 的子集”，集合 A 其实是给定的条件.从全集 U 中取出集合 A 的全 部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.二、常用结论汇总——规律多一点 (1)子集的性质：A⊆A，∁⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B. (2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∁＝∁，A∩B＝B∩A. (3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∁＝∁∪A＝A. (4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∁，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∁，∁A∁＝A. (5)含有 n 个元素的集合共有 2n 个子集，其中有 2n－1 个真子集，2n－1 个非空子集． (6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.三、基础小题强化——功底牢一点∁一∁判一判∁对的打“√”，错的打“ × ”∁ (1)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( ) (3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ) (4)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (5)若 A∁B，则 A⊆B 且 A≠B.( ) (6)对于任意两个集合 A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( ) (7)若 A∩B＝A∩C，则 B＝C.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)×(二)选一选1．已知集合 A＝{x∈R|0<3－x≤2}，B＝{x∈R|0≤x≤2}，则 A∪B＝( )A．[0,3] B．[1,2]C．[0,3)D．[1,3]解析：选 C 因为 A＝{x∈R|0<3－x≤2}＝{x∈R|1≤x<3}，所以 A∪B＝{x∈R|0≤x<3}.2．若集合 A＝{x∈N|x≤ 10}，a＝2 2，则下面结论中正确的是( )A．{a}⊆AB．a⊆AC．{a}∈AD．a∁A解析：选 D 因为 2 2不是自然数，所以 a∁A. 3．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则 A 中元素的个数为( )A．9B．8C．5D．4解析：选 A 法一：将满足 x2＋y2≤3 的整数 x，y 全部列举出来，即 (－ 1， －1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有 9个．故选 A.法二：根据集合 A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆 x2＋y2＝3 中有 9 个整点，即为集合 A 的元素个数，故选 A.(三)填一填4．若集合 A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1 或 x>3}，则 A∩B＝________.解析：由集合交集的定义可得 A∩B＝{x|－2<x<－1}．答案：{x|－2<x<－1}5．已知集合 U＝{－1,0,1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________. 解析：∵A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0,1}，∴∁UA＝{－1}．答案：{－1}考点一 集合的基本概念 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则 A∩B 中元素的个数为( )A．3 B．2C．1D．0{ } (2)已知 a，b∈R，若 a，ba，1 ＝{a2，a＋b,0}，则 a2 019＋b2 019 的值为( )A．1B．0C．－1D．±1[解析] (1)因为 A 表示圆 x2＋y2＝1 上的点的集合，B 表示直线 y＝x 上的点的集合，直线 y＝x 与圆 x2＋y2＝1 有两个交点，所以 A∩B 中元素的个数为 2. (2)由已知得 a≠0，则ba＝0，所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a＝1 或 a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知 a＝1 应舍去，因此 a＝－1，故 a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C[解题技法] 与集合中的元素有关的解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合 A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∁A}，则集合 B 中元素的个数为( )A．1B．2C．3D．4解析：选 A 若 x∈B，则－x∈A，故 x 只可能是 0，－1，－2，－3，当 0∈B 时，1－0＝1∈A；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∁A，所以 B＝{－3}，故集合 B 中元素的个数为 1.2．若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a 等于( )A.92B.98C．0D．0 或9 8解析：选 D 若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax2－3x＋2＝0 只有一个实根或有两个相等实根．当 a＝0 时，x＝23，符合题意． 当 a≠0 时，由 Δ＝(－3)2－8a＝0，得 a＝9，8 所以 a 的值为 0 或98. 3.（2018·厦门模拟）已知 P={x|2<x<k,x∈N},若集合 P 中恰有 3 个元素，则 k 的取值范围为.∁解析：因为 P 中恰有 3 个元素，所以 P=｛3，4，5｝，故 k 的取值范围为 5<k≤6.∁答案：（5，6］考点二 集合间的基本关系 [典例] (1)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则( )A．B⊆A B．A＝BC．A∁BD．B∁A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合 A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件 B⊆A 的集合 B 的个数为( )A．2B．3C．4D．8(3)已知集合 A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若 B⊆A，则 m 的取值范围为________．[解析] (1)由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知 B＝{1,2,3,4}，比较 A，B 中的元素可知 A∁B，故选 C.(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0<x<3}＝{1,2}，又 B⊆A，∴满足条件 B⊆A 的集合 B 的个数为 22＝4，故选 C.(3)当 m≤0 时，B＝∁，显然 B⊆A.当 m>0 时，因为 A＝{x|－1<x<3}．若 B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，所以Error!所以 0<m≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．[答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中 A 不变，C＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件 A⊆B⊆C 的集合 B 的个数为( )A．1 B．2C．3D．4解析：选 D 因为 A＝{1,2}，由题意知 C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的 B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则 m 的取值范围为________． 解析：若 A⊆B，由Error!得 m≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)3．已知集合 A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若 B⊆A，则实数 m 的取值范围为________．解析：①若 B＝∁，则 Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2；②若 1∈B，则 12＋m＋1＝0，解得 m＝－2，此时 B＝{1}，符合题意；③若 2∈B，则 22＋2m＋1＝0，{ } 解得 m＝－52，此时 B＝ 2，12 ，不合题意．综上所述，实数 m 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)[解题技法]判定集合间基本关系的两种方法和一个关键两种①化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；方法 一个 关键②用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系 关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系，包括相等和 真子集两种关系考点三 集合的基本运算 考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1}D．{2,3,4}(2)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2 或 x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2} [解析] (1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}， ∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}． 又 C＝{x∈R|－1≤x＜2}， ∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}． (2)依题意得 A＝{x|x<－1 或 x>4}， 因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}． [答案] (1)C (2)D [解题技法] 集合基本运算的方法技巧 (1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助 Venn 图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于 A 且属于 B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集 U 是大范围，去掉 U 中 a 元素，剩余元素成补集．考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合 A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若 A∩B＝{x|x>4}，则实数 m 的取值范围是( )A．(－4,3)B．[－3,4]C．(－3,4)D．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知 A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若 A∩B＝{4}，则 a＝( )A．3B．2C．2 或 3D．3 或 1[解析] (1)集合 A＝{x|x<－3 或 x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选 B.(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4 或 2a＝4.若 a＋1＝4，则 a＝3，此时 B＝{4,6}，符合题意；若 2a＝4，则a＝2，此时 B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选 A.[答案] (1)B (2)A[解题技法]根据集合的运算结果求参数值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．[题组训练]1．已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B＝( )A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}解析：选 C 因为集合 B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，而 A＝{1,2,3}，所以 A∪B＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合 A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lg x<2}，则(∁RA)∩B＝( )( ) A. 12，100( ) B. 12，2[ ) C. 12，100D．∁[ ] ( ) ( ) 解析：选 A 由题意得 A＝ －1，12 ，B＝(0,100)，则∁RA＝(－∞，－1)∪ 12，＋∞ ，所以(∁RA)∩B＝ 12，100.3．(2019·合肥质量检测)已知集合 A＝[1，＋∞)，B＝Error!，若 A∩B≠∁，则实数 a 的取值范围是( )A．[1，＋∞)[ ) C. 23，＋∞解析：选 A 因为 A∩B≠∁，[ ] B. 12，1D．(1，＋∞)所以Error!解得 a≥1.[课时跟踪检测] 1．(2019·福州质量检测)已知集合 A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1<x≤4}，则集合 A∩B 中元素的个数为( )A．1 B．2C．3D．4解析：选 B 依题意，集合 A 是由所有的奇数组成的集合，故 A∩B＝{1,3}，所以集合 A∩B 中元素的个数为 2.2．设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )A．{2,6}B．{3,6}C．{1,3,4,5}D．{1,2,4,6}解析：选 A 因为 A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以 A∪B＝{1,3,4,5}．又 U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为 R，集合 A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则 A∩(∁RB)＝( )A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}解析：选 B ∵全集为 R，B＝{x|x≥1}，∴∁RB＝{x|x＜1}． ∵集合 A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}． 4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合 M＝{x|x<4}，集合 N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )A．M∩N＝MB．M∪(∁RN)＝MC．N∪(∁RM)＝RD．M∪N＝M解析：选 D 由题意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以 M∪N＝M.5．设集合 A＝Error!，B＝{x|ln x≤0}，则 A∩B 为( )( ) A. 0，12B．[－1,0)[ ) C. 12，1D．[－1,1]解析：选 A ∵12≤2x<2， 即2－ 1≤2x<21 2， ∴ － 1≤x<12， ∴ A＝ Error!.∵ lnx≤0， 即lnx≤ln1， ∴0<x≤1，∴B＝{x|0<x≤1}，∴A∩B＝Error!.6．(2019·郑州质量测试)设集合 A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若 A∩B＝A，则 a 的取值范围是( )A．(－∞，2]B．(－∞，1]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)解析：选 D 由 A∩B＝A，可得 A⊆B，又因为 A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以 a≥2.7．已知全集 U＝A∪B 中有 m 个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有 n 个元素．若 A∩B 非空，则 A∩B 的元素个数为( )A．mnB．m＋nC．n－mD．m－n解析：选 D 因为(∁UA)∪(∁UB)中有 n 个元素，如图中阴影部分所示，又 U＝A∪B 中有 m 个元素，故 A∩B 中有 m－n 个元素．8．定义集合的商集运算为BA＝Error!，已知集合 A＝{2,4,6}，B＝Error!，则集合BA∪B 中的元素个数为 ()A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，＝，则∪B ＝，B A {0，12，14，16，1，13}B A {0，12，14，16，1，13，2}共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________．解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组Error!解得Error!或Error!故A ∩B ＝，所以A ∩B 中含有2个元素．{(13，13)，∁1，1∁}法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}．(1)分别求A∩B，A∪(∁U B)；(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2<x<4}＝{x|2<x≤3}．易知∁U B＝{x|x≤2或x≥4}，所以A∪(∁U B)＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝{x|x≤3或x≥4}．(2)由B∪C＝B，可知C⊆B，画出数轴(图略)，易知2<a<a＋1<4，解得2<a<3.故实数a的取值范围是(2,3)．。
高三数学第一轮基础知识复习资料
高三数学一轮基础知识复习第一部分 集合1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。
4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数与导数12⑤换元法 法3（1① 若f(x)解出 ② 若 （2)； ③根据“45⑵)(x f 是奇函数f(－x)=－f(x)；是偶函数f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <；②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >；⑵单调性的判定定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）③复合函数法；④图像法。
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。
如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
1mxt-高三数学第一轮复习讲义
0,
2
上的最大
值和最小值;
(2)若f(x0)=
6 5
,
x0∈
4
,
2
,求cos2x0的值.
【分析】化为一角一函的形式再求周期和最值.
【解析】 (1)由f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1,得
f(x)= 3 (2sinxcosx)+(2cos2x-1)=
=2sin(2x+ ),
cos20 sin20
cos10
3sin10tan70 - 2cos40
【分析】用诱导公式及逆用两角和差的正、余弦公 式，将70°,10°,40°化成与20°有关的角,约分求解.
【解析】
cos20 s in20
cos10
3sin10tan70 - 2cos40
cos20cos10 s in20
2sin2 cos2
- cos2 2 2cos2 1 cos2
2sin2 cos2
sin2
2sin2 sin tan 2sincos cos
考点2 三角函数式求值
考点3 三角函数式的变换及应用
已知函数f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间
(2)f(x)=sin2x+sinxcosx- mcos2x
2
= 1 cos 2x + 1 sin2x- m cos2x
= 1［2sin2x-(12+m)cos22x］+ 1 .
2
2
由tanα=2得
sin
2
2sin cos sin2 cos2
2tan 1 tan2
01-2020届高三理数一轮讲义：1.1-集合(练习版)
第1节集合最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A≠⊂B或B≠⊃A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A 图形表示{x|x∈A，且集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈U，且x∉A}x∈B}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.[微点提醒]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.()2.(必修1P12A5改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 019}，a＝22，则()A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P3.(必修1P12B1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________.4.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A.{x|－1<x<2}B.{x |－1≤x ≤2}C.{x |x <－1}∪{x |x >2}D.{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}5.(2019·南昌模拟)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }.若P ∪M ＝P ，则实数a 的取值范围为( ) A.[－1，1] B.[1，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________.考点一 集合的基本概念【例1】 (1)(2019·湖北四地七校联考)若集合M ＝{x ||x |≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}，则( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.M ∩N ＝∅D.N ⊆M(2)若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A.1B.3C.7D.31规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4(2)设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A ，3∉A ，则实数a 的取值范围为________.考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A.A ≠⊂BB.B ≠⊂AC.A ⊆BD.B ＝A(2)(2019·郑州调研)已知集合A ＝{x |x 2－5x －14≤0}，集合B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________.规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.【训练2】 (1)(2018·唐山模拟)设集合M ＝{x |x 2－x >0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <1，则( )A.M NB.N MC.M ＝ND.M ∪N ＝R(2)若将本例(2)的集合A 改为A ＝{x |x 2－5x －14>0}.其它条件不变，则m 的取值范围是________.考点三 集合的运算 多维探究角度1 集合的基本运算【例3－1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A.A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32B.A ∩B ＝∅C.A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32D.A ∪B ＝R(2)(2018·天津卷)设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A.{x |0<x ≤1} B.{x |0<x <1} C.{x |1≤x <2}D.{x |0<x <2}角度2 抽象集合的运算【例3－2】 设U 为全集，A ，B 是其两个子集，则“存在集合C ，使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A∩B＝∅”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心. 【训练3】(1)(2019·延安模拟)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{－1，1}D.{0}(2)(2019·新乡模拟)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤x<a}，若A∩B只有一个元素，则a＝()A.0B.1C.2D.1或2[思维升华]1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()A.{0}B.{1}C.{1，2}D.{0，1，2}2.设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.63.(2019·佛山质检)已知全集U＝{0，1，2，3，4}，若A＝{0，2，3}，B＝{2，3，4}，则(∁A)∩(∁U B)＝()UA.∅B.{1}C.{0，2}D.{1，4}4.(2018·石家庄质检)设集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，则下列结论正确的是()A.(∁R A)∩B＝{x|x<－1}B.A∩B＝{x|－1<x<0}C.A∪(∁R B)＝{x|x≥0}D.A ∪B ＝{x |x <0}5.已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |2x ≥8}，则集合A ∩B 的子集的个数为( ) A.1B.2C.3D.46.(2019·豫北名校联考)已知集合M ＝{x |y ＝x －1}，N ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，则 ∁R (M ∩N )＝( ) A.[1，2) B.(－∞，1)∪[2，＋∞) C.[0，1]D.(－∞，0)∪[2，＋∞)7.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( ) A.0B.1C.2D.38.(一题多解)(2018·中原名校联考)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围为( ) A.(0，1] B.[1，＋∞) C.(0，1)D.(1，＋∞)二、填空题9.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则(∁R S )∩T ＝________.10.已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2＋3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________.11.(2019·福州质检)已知集合A ＝{1，3，4，7}，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈A }，则集合A ∪B 中元素的个数为________.12.集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.能力提升题组 (建议用时：10分钟)13.(2018·河南百校联盟联考)若集合A ＝{x |y ＝lg(3x －x2)}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1＋4x ＋1，x ∈A ，则A∩(∁R B)等于()A.(0，2]B.(2，3)C.(3，5)D.(－2，－1)14.已知集合A＝{x|y＝4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为()A.(－∞，－3]∪[2，＋∞)B.[－1，2]C.[－2，1]D.[2，＋∞)15.(2019·皖南八校联考改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集个数是________.16.集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是________.。
高三数学第一轮总复习讲义数列
高中数学总复习讲义（培优版）供理科生使用数列四讲第一讲 数列的概念及简单表示教学目标了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 教学重难点1.本部分主要考查数列的基本概念及表示方法、通项公式的求法以及数列的性质．2.题型多以选择、填空题为主，有时也作为解答题的一问，难度不大. 教材知识再现一．基础知识1．数列的概念：按一定 排列的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做数列的 。
从函数的角度看：数列可以看作是一个定义域为 或它的有限子集，当自变量从小到大依次取值时对应的一列 。
2．数列的表示方法：（1）列表法；（2）图示法：数列的图像是离散的点，而不是曲线； （3）通项公式法：用含)(n f a a n n n =，即的式子表示（4）递推公式法： 3．数列的分类：（1）按项数的多少可分为 和 ；（2）按数列中相邻两项的大小关系可分为 、 、 和 。
4．（1）数列{}n a 的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321（2）的关系与n n S a ： ⎩⎨⎧≥-==-.2111n S S n S a n nn ，，，基本方法 用函数的思想方法处理数列问题（数列的本质是函数） （1）如何理解数列是函数？ （2）如何求数列的通项公式？（3）如何判断数列的单调性及求数列中的最大(小)项？ （4）如何求数列的前n 项和公式？经典习题奠基1.数列⋅⋅⋅,95,74,53,32,1的一个通项公式是2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1，则这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 3．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋an ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 4，已知数列{}n a 的通项公式⎩⎨⎧-⋅=-52321n a n n122+==k n kn )(N k ∈，则=⋅34a a 5. 已知数列{}n a 的通项公式为n q pn a n +=，且23,2342==a a ，则=8a 关键要点点拨1．求通项公式的技巧根据数列的前几项写出数列的通项公式时，常用到“观察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法，即先找出各项相同的部分(不变量)，再找出不同的部分(可变量)与序号之间的关系，并用n 表示出来．不是所有的数列都有通项公式，一个数列的通项公式在形式上可以不唯一 2.数列中最大项与最小项的求法考点一 由数列的前几项求数列的通项公式[例1] 下列可作为数列{}⋅⋅⋅,2,1,2,1,2,1:n a 的通项公式的是（ ）A.1=n aB.21)1(+-=n n aC. 2sin 2πn - D. 23)1(1+-=-n n a1.已知数列⋅⋅⋅,13,10,7,2则72是该数列的（ ） A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项2.写出下列各数列的一个通项公式 （1）3,5,7,9，…（2）⋅⋅⋅,3231,1615,87,43,21 （3）⋅⋅⋅---,63,51,43,31,23,11.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．3.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与n 之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)建立合理的联想、转换而使问题得到解决.考点二 由n a 和n S 的关系求通项[例2]数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)1(3,111≥==+n S a a n n ，则=6a 3. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1+=n n S n ，则=51a 4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，求{}n a 的通项公式 （1）Sn ＝2n 2－3n ； （2）Sn ＝4n ＋b .n a 和n S 的关系通常用)2(1≥-=-n S S a n n n ，注意验证1=n考点三 由数列的递推关系求通项公式[例3] 数列{}n a 满足2,3311=-=+n a a a n n ，求nan 的最小值为（ ） A.9.5 B.10.6 C.10.5 D.9.6变式：若本例条件变为：数列{a n }满足下列条件：a 1＝1，且对于任意的正整数n (n ≥2，n ∈N*)，有2a n ＝2n a n －1，则a 100的值为________．5. 已知数列{}n a 中，)2()1(1,111≥--==-n n n a a a n n ，则=16a6.分别求满足下列条件的数列的通项公式（1）)12(,011-+==+n a a a n n （2）)2(1,111≥-==-n a n na a n n 由a 1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等．1．对于形如“a n ＋1＝a n ＋f (n )”型的递推关系式求通项公式，只要f (n )可求和，便可利用累加的方法． 2.对于形如)"("1n g a a nn =+型的递推关系式来求通项公式，只要)(n g 可求积，便可以利用累积或迭代的方法。
高考数学一轮复习讲义第一章集合概念和其基本运算
高考数学一轮复习讲义第 一章集合概念与其基本运
A 中不等式的解集应分三种情况讨论：
①若 a＝0，则 A＝R； ②若 a<0，则 A＝x|4a≤x<－1a；
③若 a>0，则 A＝x|－1a<x≤4a.
(1)当 a＝0 时，若 A⊆B，此种情况不存在． 当 a<0 时，若 A⊆B，如图，
当(a＋1)2＝1，即 a＝0 或 a＝－2 时， ①a＝0 符合要求． ②a＝－2 时，a2＋3a＋3＝1 与(a＋1)2 相同，不符合题意． 当 a2＋3a＋3＝1，即 a＝－2 或 a＝－1. ①当 a＝－2 时，a2＋3a＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意． ②当 a＝－1 时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意． 综上所述，a＝0.∴2 013a＝1.
，∴00<<aa≤≤22 .
又∵a>0，∴0<a≤2.
综上知，当 B⊆A 时，－12<a≤2.
(3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时，A＝B.
由(1)、(2)知，a＝2.
高考数学一轮复习讲义第 一章集合概念与其基本运
探究提高
在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是 合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不 等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循 “不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问 题的解答． 分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类 讨论；④归纳结论．
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. 交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 补集的性质：
高考数学一轮专项复习讲义-集合(北师大版)
§1.1集合课标要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集或N*)Z Q R R＋符号N N＋(2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，那么称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)．(3)相等：对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫作空集，记作∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示集合语言图形语言记法运算并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁U A常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.4．∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(×)(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(√)2．设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁R A)∩B等于()A．{x|2<x≤3}B．{x|7<x<10}C．{x|2<x<3或7≤x<10}D．{x|2<x≤3或7<x<10}答案C解析因为∁R A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．3．已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________.答案2解析因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2.4．已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．答案[2，＋∞)解析因为B⊆A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.题型一集合的含义与表示例1(1)(2023·长春模拟)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，则A ∩B 的子集个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案D解析集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，集合B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}表示直线x ＋y ＝0上的所有点，因为直线x ＋y ＝0经过圆心(0,0)，所以直线与圆相交，所以A ∩B 的元素个数为2，则A ∩B 的子集个数为4.(2)已知集合A ＝{0，m ，m 2－3m ＋2}，且2∈A ，则实数m 的值为()A ．2B ．3C ．0D ．－2答案B解析因为集合A ＝{0，m ，m 2－3m ＋2}，且2∈A ，则m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ∈{0,2,3}．当m ＝0时，集合A 中的元素不满足互异性；当m ＝2时，m 2－3m ＋2＝0，集合A 中的元素不满足互异性；当m ＝3时，A ＝{0,3,2}，符合题意．综上所述，m ＝3.思维升华解决集合含义问题的关键点(1)一是确定构成集合的元素．(2)确定元素的限制条件．(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．跟踪训练1(1)(2023·苏州模拟)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，C ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }，则C中元素的个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案B解析因为集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，C ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }，所以C ＝{5,6,7,8}．即C 中元素的个数为4.(2)若含有3，b a ，{a 2，a ＋b,0}，则a 2024＋b 2024＝________.答案1解析，b a，{a 2，a ＋b ,0}，显然a ≠0，所以ba ＝0，即b ＝0；此时两集合分别是{a,1,0}，{a ，a 2,0}，则a 2＝1，解得a ＝1或a ＝－1.当a ＝1时，不满足互异性，故舍去；当a ＝－1时，满足题意．所以a 2024＋b 2024＝(－1)2024＋02024＝1.题型二集合间的基本关系例2(1)(2023·海口质检)已知集合A ＝{x |x >5}，B ＝{x |1－log 2x <0}，则()A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R答案A解析因为集合A ＝{x |x >5}，集合B ＝{x |1－log 2x <0}＝{x |x >2}，所以A ⊆B .(2)已知集合A ＝{x |x <－1或x ≥3}，B ＝{x |ax ＋1≤0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是()A.－13，B.－13，1C ．(－∞，－1)∪[0，＋∞)D.－13，(0,1)答案A 解析∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，即ax ＋1≤0无解，此时a ＝0，满足题意．②若B ≠∅，即ax ＋1≤0有解，当a >0时，可得x ≤－1a，要使B ⊆A ，>0，－1a<－1，解得0<a <1；当a <0时，可得x ≥－1a，要使B ⊆A ，<0，－1a≥3，解得－13≤a <0，综上，实数a 的取值范围是－13，思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练2(1)已知集合M ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，N ＝{x |x ＝m 2，m ∈M }，则集合M ，N 的关系是()A ．MNB ．NMC ．M ⊆∁R ND ．N ⊆∁R M答案B解析因为M ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }＝{x |－1≤x ≤1}，N ＝{x |x ＝m 2，m ∈M }＝{x |0≤x ≤1}，所以NM .(2)设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，当x ∈Z 时，集合A 的非空真子集的个数为________；当B ⊆A 时，实数m 的取值范围是________．答案254{m |m ≤－2或－1≤m ≤2}解析易得A ＝{x |－2≤x ≤5}．若x ∈Z ，则A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集的个数为28－2＝254.①当m －1≥2m ＋1，即m ≤－2时，B ＝∅，B ⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}≠∅，因此，要使B ⊆A －1≥－2，m ＋1≤5，解得－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤－2或－1≤m ≤2}．题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M ＝{x |x <4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N 等于()A ．{x |0≤x <2}|13≤x <2C ．{x |3≤x <16}|13≤x <16答案D解析因为M ＝{x |x <4}，所以M ＝{x |0≤x <16}；因为N ＝{x |3x ≥1}，所以N |x ≥13所以M ∩N |13≤x <16(2)(多选)已知M ，N 均为实数集R 的子集，且N ∩(∁R M )＝∅，则下列结论中正确的是()A ．M ∩(∁R N )＝∅B ．M ∪(∁R N )＝RC ．(∁R M )∪(∁R N )＝∁R MD ．(∁R M )∩(∁R N )＝∁R M 答案BD解析∵N ∩(∁R M )＝∅，∴N ⊆M ，如图，若N 是M 的真子集，则M ∩(∁R N )≠∅，故A 错误；由N ⊆M 可得M ∪(∁R N )＝R ，故B 正确；由N ⊆M 可得∁R N ⊇∁R M ，故C 错误，D 正确．命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(多选)已知A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A ∪B ＝A ，则m 的值可能为()A ．－13B.13C ．0D ．－12答案BCD解析由题意知A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，由x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3，所以A ＝{2，－3}，因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，当B ＝∅时，m ＝0，满足题意；当B ≠∅时，B －1m ＝2或－1m＝－3，解得m＝－12或m＝13，综上，m＝0或－12或13.(2)(2024·本溪模拟)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁R B)＝A，则实数a的取值范围为()A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案A解析因为B＝{x|x>a}，所以∁R B＝{x|x≤a}，又A∩(∁R B)＝A，所以A⊆∁R B，又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0,1]．思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．跟踪训练3(1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则()A．(∁R A)∪B＝{x|0≤x<3}B．(∁R A)∩B＝{x|1<x<2}C．A∩B＝{x|2<x<3}D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集答案ACD解析由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}，所以∁R A＝{x|0≤x≤2}，对于A，因为B＝{x|1<x<3}，所以(∁R A)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正确；对于B，因为B＝{x|1<x<3}，所以(∁R A)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B错误；对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正确；对于D，因为A∩B＝{x|2<x<3}，所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正确．(2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为()A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案B解析因为集合A ，B 满足A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x <a －1}，且A ∩B ＝∅，则a －1≤1，解得a ≤2.题型四集合的新定义问题例5(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“·”是G 上的一个代数运算，即对所有的a ，b ∈G ，有a ·b ∈G ，如果G 的运算还满足：①∀a ，b ，c ∈G ，有(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；②∃e ∈G ，使得∀a ∈G ，有e ·a ＝a ·e ＝a ；③∀a ∈G ，∃b ∈G ，使a ·b ＝b ·a ＝e ，则称G 关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有()A ．G ＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群B ．G |x ＝1k ，k ∈Z ，k ≠0{x |x ＝m ，m ∈Z ，m ≠0}关于数的乘法构成群C ．实数集关于数的加法构成群D ．G ＝{m ＋2n |m ，n ∈Z }关于数的加法构成群答案CD解析对于A ，若G ＝{－1,0,1}，则对所有的a ，b ∈G ，有a ·b ∈{1,0，－1}＝G ，满足乘法结合律，即①成立，满足②的e 为1，但当a ＝0时，不存在b ∈G ，使得a ·b ＝b ·a ＝e ＝1，即③不成立，故A 错误；对于B ，因为a ＝12∈G ，且b ＝3∈G ，但a ·b ＝12×3＝32∉G ，故B 错误；对于C ，若G ＝R ，则对所有的a ，b ∈R ，有a ＋b ∈R ，满足加法结合律，即①成立，满足②的e 为0，∀a ∈R ，∃b ＝－a ∈R ，使a ＋b ＝b ＋a ＝0，即③成立，故C 正确；对于D ，若G ＝{m ＋2n |m ，n ∈Z }，则对所有的a ＝m 1＋2n 1，b ＝m 2＋2n 2∈G ，有a ＋b ＝(m 1＋m 2)＋2(n 1＋n 2)∈G ，∀a ，b ，c ∈G ，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )成立，即①成立，当a ＝b ＝0时，a ＋2b ＝0，满足②的e ＝0，即②成立，∀a ＝m ＋2n ∈G ，∃b ＝－m －2n ∈G ，使a ＋b ＝b ＋a ＝0，即③成立，故D 正确．思维升华集合新定义问题的“三定”(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．跟踪训练4(多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为()A．集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集C．封闭集一定是无限集D．若A为封闭集，则一定有0∈A答案BD解析对于A，在集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误；对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确；对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确．课时精练一、单项选择题1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M＝{1,3}，则()A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案A解析由题意知M＝{2,4,5}．2．(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于()A．{－2，－1,0,1}B．{0,1,2}C．{－2}D．{2}答案C解析方法一因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}．方法二因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1，0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．3．(2024·南京模拟)集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集个数为()A．2B．4C．8D．16答案B解析A＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，故子集个数为22＝4.4．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表示空集的是()A．(∁U A)∩B B．A∩BC．(∁U A)∩(∁U B)D．A∩(∁U B)答案D解析由Venn图表示集合U，A，B如图，由图可得(∁U A)∩B＝∁B A，A∩B＝A，(∁U A)∩(∁U B)＝∁U B，A∩(∁U B)＝∅. 5．(2024·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m等于()A．0或4B．1或4C．0D．4答案A解析∵B⊆A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，∴m＝4或m＝m2，当m＝4时，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，满足题意；当m＝m2时，得m＝0或m＝1，当m＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，满足题意；当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性．综上，m可取0,4.6．已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁R N，则()A．M∩N≠∅B．M⊆NC．N⊆M D．M＝N答案A解析因为x∉∁R N，所以x∈N，又因为x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠∅，故A正确；由于题目条件是存在x，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故B，C，D错误．7.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为()A．(－∞，1]∪(2，＋∞)B．(－∞，0)∪(1,2)C．[1,2)D．(1,2]答案A解析B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝R，即∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}，所以∁U(A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．8．设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为()A．7B．8C．9D．10答案B解析当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}；当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7}，综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.二、多项选择题9．已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则()A．M∪N＝N B．M∩N＝NC．∁I M⊆∁I N D．(∁I N)∩M＝∅答案AD解析因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误；又I为全集，集合M，N⊆I，则∁I M⊇∁I N，(∁I N)∩M＝∅，C错误，D正确．10．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是() A．－1B．0C．1D．2答案ABC解析A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示关于x的方程ax＝1的解集，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝∅，符合题意；当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1，综上可得a＝0或±1.三、填空题11．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N＋，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为________．答案4且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，解析根据题意，A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N＋(3,5)，(4,4)．12．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________.答案－3解析当m＝1或m＝2或m＝3时，A∪B＝{1,2,3,4,5}，所有元素的和为15，不符合题意；当m≠1且m≠2且m≠3时，A∪B＝{1,2,3，m,4,5}，由题意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3.13．高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是________．答案29解析由题意画出Venn图，如图所示，由Venn图知，参加比赛的人数为26，所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29.14．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________.答案{x|－3<x<0}{x|－3<x<0或x≥3}解析由题意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3<x<3}，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}．因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3<x<0}＝{x|－3<x<0或x≥3}．15．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．下列选项中可能成立的是()A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，(M，N)是一个戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素答案BD解析对于A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对于B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误；对于D，设M＝{x∈Q|x<2}，N＝{x∈Q|x≥2}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．16．设集合M＝{1,2,3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令x A为A中最大数与最小数之和，则所有这样的x A的算术平均值为________．答案13解析集合M的非空子集共有(212－1)个，其中，最小值为1的子集可视为{2,3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个，同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的子集共有20个．最大值为12的子集可视为{1,2,3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个，同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10的子集共有29个，…，最大值为1的子集共有20个．所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20，最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋ (20)所以x A的算术平均值为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20＋12×211＋11×210＋10×29＋…＋20212－1＝13(211＋210＋29＋ (20)212－1＝13×1－2121－2212－1＝13.。
2021-2022年高考数学大一轮复习精品讲义 第一章 集合与常用逻辑用语(含解析)
2021-2022年高考数学大一轮复习精品讲义第一章集合与常用逻辑用语（含解析）你知道高考题是怎样命制的吗？看完本讲内容，洞晓了高考命题的5大常用手段，你就明白了教材经典题目的重要性．你还会陷入“高考高于天，教材放一边”的备考误区吗？编写本讲的目的，我们旨在提醒您：一轮复习要“抓纲靠本”，“纲”就是考纲，“本”就是课本．要重拾起被遗忘忽视的课本，重温基础知识，重做典型题目，重视教材“母题”的引领作用，发挥教材母题做一当十的功效．在此，仅以xx新课标全国卷两套试题为例进行说明，以佐证教材习题的重要性．教材这样练《人教A版·选修2－1》P69例4.斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且高考这样变(xx·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两教材这样练《人教B版·必修5》P30练习A.写出下面数列{a n}的前5项：1．a1＝2，a n＝12an－1(n＝2,3,4，…)；高考这样变(xx·新课标全国卷Ⅱ)数列{a n}满足1教材这样练《人教A版·必修5》P14例5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的高考这样变(xx·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高教材这样练《人教A版·必修1》P39B 组第3题．已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，＋∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断．高考这样变(xx·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x 的取值范围是________．总之，教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法和研究资源．不少试题所涉及的思想方法，都源于教材．高考数学一轮复习中，要做到对教材中的经典题目能够熟练地求解，掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵．研读教材、汲取营养，充分发挥例题、习题潜在的功能，发挥教材“母本”的作用．为减少考生翻阅教材、查找典型题目之苦，充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势，我们在人教A版、人教B版、北师大版等教材中优中选优地筛选了一些经典题目，做为课前自检基础知识使用，就是充分发挥教材母题的引领带动作用．二、重视经典题目的发散思维本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展，其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和多领悟．如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题，那么这一讲是教给学生“怎么做”的问题．在平时的复习备考中，做海量试题必不可少，但绝非上策．应当充分发挥典型试题的带动作用和举一反三的功能，注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成．多题一解有利于培养学生的求同思维，一题多解有利于培养学生的求异思维，一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性．多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过程中，发挥主观能动性，多思考，多总结，而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展，多发散，帮学生举一反三、悟通练透．本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试：(一)经典“题根”的发散茫茫题海，寻根是岸．木有本，水有源，题有根．在平时的训练中，可将一些经典的题目做为“题根”，在题目发散中，要学会演变题目条件、背景，变换设问，在不断变换的过程中，将此类问题厘清弄透，从一个个小问题中获取大知识，让其“枝繁叶茂”、“生机盎然”，从而彻底打通各知识点间的关节．示例：利用基本不等式求最值(二)考查角度的发散高考中的一些热门考点，虽知年年必考，但学生往往却在这类考点上失分，究其原因，主要是此类考点考查灵活、角度多变．为将这类考点练深练透，有必要对这类考点进行多维探究．备考不留死角，高考不留遗憾！角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，若本题条件变为：已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________. 本题的条件变为：已知a ＞0，b＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________. 本题的条件和结论互换，即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b的最小值为________.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1,则1a ＋1b的最小值为________．[解析] ∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1, ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4,即1a ＋1b的最小值为4,当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.[答案] 4已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．本题的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________.利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2,都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立,则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 [类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．第一章集合与常用逻辑用语第一节集__合对应学生用书P5基础盘查一元素与集合(一)循纲忆知1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(二)小题查验1．判断正误(1)一个集合中可以找到两个相同的元素( )(2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合( )(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A( )(4)零不属于自然数集( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．(人教A版教材练习)选择适当的方法表示下列集合：(1)由小于8的所有素数组成的集合；(2)不等式4x－5<3的解集．答案：(1){2,3,5,7} (2){x|x<2}基础盘查二集合间的基本关系(一)循纲忆知1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．(二)小题查验1．判断正误(1)若A＝B，则A⊆B( )(2)若A B，则A⊆B且A≠B( )(3)N*N Z( )(4)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材例题改编)集合{a，b}的所有子集为________________．答案：{a}，{b}，{a，b}，∅基础盘查三集合的基本运算(一)循纲忆知1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．(二)小题查验1．判断正误(1)若A∩B＝A∩C，则B＝C( )(2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素( )(3)并集定义中的“或”能改为“和”()(4)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(人教A版教材习题改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝________.答案：{2,4}3．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________________.答案：{x|x≤2或x≥10}对应学生用书P6考点一集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉. (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图． 2．常见数集及其表示符号自然数集用N 表示，正整数集用N *或N ＋表示，整数集用Z 表示，有理数集用Q 表示，实数集用R 表示．[提醒] 解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[题组练透]1．(xx·洛阳统考)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9解析：选D 集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．2．现有三个实数的集合，既可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，也可以表示为{a 2，a ＋b,0}，则a2 015＋b2 015＝________.解析：由已知，得b a＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 015＋b2 015＝(－1)2 015＝－1.答案：－13．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－32[类题通法]1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．考点二集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)；(2)真子集：若集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则A B(或B A)；(3)性质：∅⊆A；A⊆A；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(4)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.[提醒] 写集合的子集时不要忘了空集和它本身．[典题例析]1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C ⊆B的集合C的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D 用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2．已知集合A＝{x|x2－2 015x＋2 014＜0}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________．解析：由x2－2 015x＋2 014＜0，解得1＜x＜2 014，故A＝{x|1＜x＜2 014}．而B＝{x|x＜m}，由于A⊆B，如图所示，则m≥2 014.答案：[2 014，＋∞)[类题通法](1)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．(2)当题目中有条件B⊆A时，不要忽略B＝∅的情况！[演练冲关]1．(xx·中原名校联盟一模)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________.解析：由B ⊆A ，则x 2＝4或x 2＝2x .当x 2＝4时，x ＝±2，但x ＝2时，2x ＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x 2＝2x 时，x ＝0或x ＝2，但x ＝2时，2x ＝4，这与集合元素的互异性相矛盾．综上所述，x ＝－2或x ＝0.答案：0或－22．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1， 则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4. 答案：(－∞，4]考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．集合的并、交、补运算： 并集：A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }； 交集：A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }；补集：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }；U 为全集，∁U A 表示集合A 相对于全集U 的补集． 2．集合的运算性质(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；(4)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .[提醒] Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．[一题多变][典型母题]已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，则A ∩B ＝ .[解析] y ＝x 2－2x ＝x －12－1≥－1，y ＝－x 2＋2x ＋6＝－x －12＋7≤7，∴A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， 故A ∩B ＝{y |－1≤y ≤7}. [答案] {y |－1≤y ≤7}[题点发散1] 若集合A 变为A ＝{x |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，其他条件不变，求A ∩B . 解：因A 中元素是函数自变量，则A ＝R ， 而B ＝{y |y ≤7}，则A ∩B ＝{y |y ≤7}．[题点发散2] 若集合A 、B 中元素都为整数，求A ∩B . 解：A ∩B ⊆{y |－1≤y ≤7}，又因为y ∈Z ， 故A ∩B ＝{－1，0,1,2,3,4,5,6,7}．[题点发散3] 若集合A 、B 不变，试求∁R A ∪∁R B . 解：∵A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， ∴∁R A ＝{y |y ＜－1}，∁R B ＝{y |y ＞7}， 故∁R A ∪∁R B ＝{y |y ＜－1或y ＞7}．[题点发散4] 若集合A 、B 变为：A ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，求A ∩B .解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ，y ＝－x 2＋2x ＋6⇒x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1.于是，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，故A ∩B ＝{(3,3)，(－1,3)}．[类题通法]解集合运算问题应注意以下三点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．考点四 集合的新定义问题(重点保分型考点——师生共研)[典题例析]1．如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.2.已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1解析：选B 由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确，由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确，由“权集”的定义可知a ja i需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误，选B.[类题通法]解决集合创新型问题的方法(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．[演练冲关]1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.2．对于任意两个正整数m ，n ，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m ⊕n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊕n ＝m ×n .例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝12，a ，b ∈N *}的元素有________个．解析：m ，n 同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m ，n 一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合M 的元素共有15个．答案：15对应A 本课时跟踪检测一一、选择题1．(xx·广州测试)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选C ∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4，故选C.2．(xx·江西高考)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3)解析：选C 由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}，∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 3．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：选B 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2}，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，∴B A ，故选B.4．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)解析：选D 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2＞0}＝{x |－1＜x ＜1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]， 所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D.5．(xx·西安一模)设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2，故选C.6．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n ＋4|n ∈Z }，所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z 除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；若a ，b 属于同一‘类’，则有a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，所以a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]，反过来，如果a －b ∈[0]，也可以得到a ，b 属于同一“类”，故④正确．故有3个结论正确．二、填空题7．已知A ＝{0，m,2}，B ＝{x |x 3－4x ＝0}，若A ＝B ，则m ＝________. 解析：由题知B ＝{0，－2,2}，A ＝{0，m,2}，若A ＝B ，则m ＝－2. 答案：－28．(xx·重庆高考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________.解析：由题意，得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故∁U A ＝{4,6,7,9,10}，所以(∁U A )∩B ＝{7,9}．答案：{7,9}9．(xx·昆明二模)若集合A ＝{x |x 2－9x ＜0，x ∈N *}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪4y∈N *，y ∈N *，则A ∩B中元素的个数为________．解析：解不等式x 2－9x ＜0可得0＜x ＜9，所以A ＝{x |0＜x ＜9，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又4y∈N *，y ∈N *，所以y 可以为1,2,4，所以B ＝{1,2,4}，所以A ∩B＝B ，A ∩B 中元素的个数为3.答案：310．(xx·南充调研)已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2] 三、解答题11．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 所以a ＝5或a ＝－3.(2)由(1)可知，当a ＝5时，A ∩B ＝{－4,9}，不合题意， 当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}． 所以a ＝－3.12．(xx·福州一模)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件对应学生用书P8基础盘查一 四种命题及其关系 (一)循纲忆知 1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(二)小题查验 1．判断正误(1)“x 2＋2x －3<0”是命题( ) (2)“sin 45°＝1”是真命题( )(3)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(人教A 版教材习题)已知命题：若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根．则其逆否命题为____________________________________．答案：若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0 基础盘查二 充分条件与必要条件(一)循纲忆知理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(二)小题查验1．判断正误(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件( )(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立( )(3)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立( )答案：(1)√(2)√(3)√2．(人教A版教材练习)在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．答案：(1)必要(2)充分(3)充要对应学生用书P8考点一命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．[提醒] 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．[题组练透]1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④[类题通法]1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．充分条件与必要条件的相关概念(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分又不必要条件．2．从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{p(x)}，B＝{q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．[提醒] 充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．[典题例析]1．(xx·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD.当四边形ABCD 中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．2．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 由q⇒綈p且綈p⇒/q可得p⇒綈q且綈q⇒/p，所以p是綈q的充分不必要条件．[类题通法]充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．[提醒] 区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．[演练冲关]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件．2．(xx·石家庄第一次模拟)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.考点三 充分必要条件的应用(题点多变型考点——全面发掘)[一题多变][典型母题]已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3].[题点发散1] 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[题点发散2] 本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[类题通法]利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .对应B 本课时跟踪检测二一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(xx·陕西高考)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选B 原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.3．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．4．(xx·湖北高考)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C是A∩B≠∅”的( )A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件解析：选C 若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁U C.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．5．命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：选C 命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.6．在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)等于( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1与l2平行，这是假命题，因为当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f(p)＝2.二、填空题7．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：38．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4。
高考数学一轮复习基础精品讲义
③ 会根据命题中的常用逻辑用语，对集合进行运算和转化.
S 归纳总结
T（Textbook-Based）——同步课堂
体系搭建 一、知识框架
二、知识概念
（一)集合定义
1、集合：我们把要研究的对象称为集合（A）； 集合中的对象称为元素（a）；
2、元素的关系：属于（a∈A）；不属于（ a A ）；
3、集合的分类：有限集；无限集；空集（Φ）； 4、集合的表示方法：列举法；描述法；Venn 法； 5、集合的性质：互异性；确定性；无序性；
1
（二）集合之间的关系
类型
符号语言表述
子集
A B(或 B A)
Venn 图表示
B
A
A(B)ห้องสมุดไป่ตู้
真子集
A B(或 B A)
集合相等
A=B
（三)集合之间的基本运算 1、交集、并集、补集
运算类型
交集
B
A
A=B
并集
补集
符号表示 A B=｛x|xA，且 xB｝ A B={x|xA，或 xB})
12345 ③{ , , , , } ______________________________________________________．
34567
考点四：子集的定义
例 1、设集合 A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}满足 A B，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．｛a｜a ≥2｝ B．｛a｜a≤1｝
（）
①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2} {1，0，2}
④ ∈{0，1，2} ⑤ ∈{0}
A.5
B.2
C.3
D.4
高三数学第一轮的复习讲义
高三数学第一轮的复习讲义一.复习目标：1.了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率;2.会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率.二.知识要点：1.相互独立事件的概念： .2.是相互独立事件，则 .3.次试验中某事件发生的概率是，则次独立重复试验中恰好发生次的概率是 .三.课前预习：1.下列各对事件 (1)运动员甲射击一次，“射中环”与“射中环”， (2)甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中环”与“乙射中环”， (3)甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”， (4)甲、乙二运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有 (1)，(3) .相互独立事件的有 (2) .2.某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第次击中目标的概率是;②他恰好击中目标次的概率是; ③他至少击中目标次的概率是，其中正确结论的序号①③ .3.件产品中有件次品，从中连续取两次，(1)取后不放回，(2)取后放回，则两次都取合格品的概率分别是、.4.三个互相认识的人乘同一列火车，火车有节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是 ( )5.口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套只，白色手套只，现从中随机地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是 ( )甲多乙多一样多不确定四.例题分析：例1.某地区有个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的)，假定工厂之间的选择互不影响.(1)求个工厂均选择星期日停电的概率;(2)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. 解：设个工厂均选择星期日停电的事件为.则.(2)设个工厂选择停电的时间各不相同的事件为.则，至少有两个工厂选择同一天停电的事件为，. 小结：个工厂均选择星期日停电可看作个相互独立事件.例2.某厂生产的产品按每盒件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂.质检办法规定：从每盒件产品中任抽件进行检验，若次品数不超过件，就认为该盒产品合格;否则，就认为该盒产品不合格.已知某盒产品中有件次品.(1)求该盒产品被检验合格的概率;(2)若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率.解: (1)从该盒件产品中任抽件，有等可能的结果数为种，其中次品数不超过件有种，被检验认为是合格的概率为.(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为答：该盒产品被检验认为是合格的概率为;两次检验得出的结果不一致的概率为.例3.假定在张票中有张奖票()，个人依次从中各抽一张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，(1)分别求第一，第二个抽票者抽到奖票的概率，(2)求第一，第二个抽票者都抽到奖票的概率.解：记事件：第一个抽票者抽到奖票，记事件：第一个抽票者抽到奖票，则(1)，，(2)小结：因为≠，故A与B是不独立的.例 4. 将一枚骰子任意的抛掷次，问点出现(即点的面向上)多少次的概率最大?解：设为次抛掷中点出现次的概率，则，∴，∵由，得，即当时，，单调递增，当时，，单调递减，从而最大.五.课后作业：1.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数的正方体玩具)先后抛掷次，至少出现一次点向上的概率是 ( )2.已知盒中装有只螺口与只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第次才取得卡口灯炮的`概率为： ( )3.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是 ;4.甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.求该题被乙独立解出的概率。