高考数学讲义导数及其应用.板块四.导数与其它知识综合5-其它.教师版

题型五：导数与其它知识综合

【例1】 函数20()(4)x

f x t t dt =-⎰在[1,5]-上的最大和最小值情况是（ ）

A ．有最大值0，但无最小值

B ．有最大值0和最小值323

- C ．有最小值32

3

-

，但无最大值 D ．既无最大值又无最小值 【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】选择

【关键词】

【解析】 332

220

()(4)22033

x

x t x f x t t dt t x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰，2()4(4)f x x x x x '=-=-，

从而()f x 在[1,0]-上单调递增，在(0,4)上单调递减，在[4,5]上单调递增，

故()f x 在0x =时取到极大值0，在4x =时取到极小值32

3

-，

又732(1)33f -=-<-，25(5)03f =-<，故()f x 在区间[1,5]-上的最大值为0，最小值为32

3

-．

【答案】B

【例2】 设函数321()(2)232a

f x x x b x =-+--有两个极值点，其中一个在区间(0,1)内，另一个在区间

(1,2)内，则

5

4

b a --的取值范围是 ． 【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】

【解析】 2()(2)f x x ax b '=-+-，由题意知()0f x '=的两根分别在区间(0,1)与(1,2)上，又()f x '的图

象是开口向上的抛物线，故有(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩，即2030620b a b a b ->⎧⎪--<⎨⎪-->⎩，从而有2326b a b a b <⎧⎪

+>⎨⎪+<⎩

，

它们表示的平面区域为下图的阴影部分所示（不包括边界）：

(4,5)

23

O

b

a

板块四.导数与其它知识综合

5

4

b a --表示的是区域内的点(,)a b 与点(4,5)的连线的斜率，如图所求，当(,)a b 为(3,0)时，斜率取到最大值5，这个最大值取不到；当(,)a b 为(1,2)时，斜率取到最小值1，这个最小

值也取不到，但中间的值都能取到，从而5

4

b a --的取值范围为(1,5)．

【答案】(1,5)

【例3】 已知a ≥0，函数2()f x x ax =+．设1,2a x ⎛

⎫∈-∞- ⎪⎝

⎭，记曲线()y f x =在点()11,()M x f x 处的切

线为l ，l 与x 轴的交点是()2,0N x ，O 为坐标原点．

⑴ 证明：2

1212x x x a

=+；

⑵ 若对于任意的1,2a x ⎛

⎫∈-∞- ⎪⎝

⎭，都有916a OM ON ⋅>u u u u r u u u r 成立，求a 的取值范围．

【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2010，西城，二模，题18

【解析】 ⑴ 对()f x 求导数，得()2f x x a '=+，

故切线l 的斜率为12x a +，

由此得切线l 的方程为21111()(2)()y x ax x a x x -+=+-．

令0y =，得22111211122x ax x x x x a x a

+=-+=++．

⑵ 由(

)

2

11

1,M x x ax +，211,02x N x a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，得3

11

2x OM ON x a ⋅=+u u u u r u u u r ． 所以0a =符合题意，

当0a >时，记3111()2x g x x a =+，1,2a x ⎛

⎫∈-∞- ⎪⎝

⎭．

对1()g x 求导数，得()()

()

21112

1432x x a g x x a +'=+， 令1()0g x '=，得13,42a a x ⎛⎫=-

∈-∞- ⎪⎝⎭

． 当1,2

a x ⎛

⎫

∈-∞- ⎪

时，1()g x '的变化情况如下表：

所以，函数1()g x 在,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在3,42a

a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，

从而函数1()g x 的最小值为2

327432

a g a ⎛⎫-

= ⎪⎝⎭． 依题意22793216a a >，解得23a >，即a 的取值范围是2,3⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

．

综上，a 的取值范围是2{0},3⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

U ．

【答案】⑴略；⑵a 的取值范围是2{0},3⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

U ．

【例4】 设12x x ，是32

1()32

a b f x x x x -=

++（0a b a ∈>R ，

，的两个极值点，()f x 的导函数是()y f x '=， ⑴如果1224x x <<<，求证：(2)3f '->；

⑵如果2a ≥，且212x x -=，12()x x x ∈，时，函数2()()2()g x f x x x '=+-的最小值为()h a ，求()h a 的最大值．

⑶如果12x <，212x x -=，求b 的取值范围．

【考点】导数与其它知识综合 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】

【解析】 ⑴2()(1)1f x ax b x '=+-+，12x x ，是方程()0f x '=的两个根，

由1224x x <<<且0a >得(2)0

(4)0f f '<⎧⎨

'>⎩421016430

a b a b +-<⎧⇒⎨

+->⎩①②

，

(3)⨯-+①②得420a b ->，

∴(2)42(1)14233f a b a b '-=--+=-+>．

⑵∴()0f x '=的两个根是12x x ，，∴可设12()()()f x a x x x x '=--， ∴122212()()()2()()g x a x x x x x x a x x x x a

⎛⎫

=--+-=--+ ⎪⎝

⎭

，

∵12()x x x ∈，，∴20x x -<，10x x ->，又2a ≥，∴12

0x x a

-+>． ∴1212()()g x a x x x x a ⎛

⎫

=--+ ⎪⎝

⎭

212()a x x x x a

⎛⎫=--+ ⎪⎝

⎭

2

2122x x a a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

≤21112a a a a ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，

1()2g x a a ⎛⎫

-++ ⎪⎝⎭

≥．

当且仅当212x x x x a -=-+，即12111

12x x x x a a

+=-=+-时取等号． ∴1()2h a a a ⎛⎫=-+

+ ⎪⎝

⎭（2a ≥）．当2a ≥时，21()10h a a ⎛

⎫'=--< ⎪⎝⎭

． ∴()h a 在[2)+∞，上是减函数．∴max 9

()(2)2h a h ==-．

⑶由第⑴问知121211b x x a

x x a -⎧

+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，由120x x ≠，

两式相除得12121211(1)x x b x x x x +--=

=+，即12

11

1b x x =--+． ①当102x <<时，由121

0x x a

=

>20x ⇒>，∴212x x -=，即212x x =+．