材料力学--- 组合变形
材料力学10组合变形
材料力学10组合变形组合变形是指当结构受到外力作用时，由于各个零件的不同材料及尺寸性质的差异，导致各个零件产生不同的变形现象，从而使整个结构发生整体的变形。
组合变形是结构力学的重要内容，对于工程结构的设计、安全性评估和结构稳定性分析都至关重要。
本文将介绍组合变形的概念、分析方法和影响因素。
组合变形的概念：组合变形是指由于结构中不同零件的尺寸和材料性质的不一致，而导致结构在受力时产生的整体变形。
组合变形分为两类：一是刚体体变形，即结构在受力作用下整体平移、旋转或缩放；二是构件本身变形，即结构中各零件由于尺寸和材料的不一致而产生的内部变形。
组合变形的分析方法：组合变形的分析方法主要有两种：力法和位移法。
力法是指根据梁的变形方程和杨氏模量的定义，通过计算各零件在各个截面上的张力或弯矩，从而得到整体的变形情况。
位移法是指根据构件的位移和应变关系，通过求解位移方程组，从而得到整体的变形情况。
力法和位移法都是基于弹性理论，适用于较小变形和线性弹性材料的情况。
组合变形的影响因素：组合变形的大小与结构的几何形状、零件尺寸和材料性质有关。
影响组合变形的因素主要有以下几个方面：1.结构的几何形状：结构的几何形状对组合变形有重要影响。
例如，在长梁的弯曲变形中，梁的长度和曲率半径都会影响变形的大小。
2.零件的尺寸：零件的尺寸对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，梁的截面积和转动惯量会影响变形的大小。
3.零件的材料性质：零件的材料性质对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，梁的弹性模量和截面剪切模量会影响变形的大小。
4.外力的作用方式：外力的作用方式对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，集中力和均布力对变形的影响是不同的。
除了以上几个因素外，结构的边界条件和连接方式也会影响组合变形的大小。
此外，在实际工程中，结构中可能存在的缝隙、温度变化、材料老化等因素也会对组合变形产生影响。
对于设计工程结构来说，合理控制组合变形是非常重要的。
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
14-1组合变形-材料力学
Fz F sin
五、自由端的变形
z
A
y
y
FL3 cos
3EI z
z
B y
x
B z
FL3 sin
3EI y
B
z
y
查表7-1（3）
在 Fz B点的位移 z ：
例题14.1 图所示屋架结构。已知屋面坡度为1：2， 两屋架之间的距离为4m，木檩条梁的间距为1.5m， 屋面重（包括檩条）为1.4kN/m2。若木檩条梁采
"
Iy
Iy
'
M z y M y z
Iz
Iy
cos sin
M ( y z)
Iz
Iy
四、斜弯曲时的强度条件
1、中性轴的位置
M (
Iz
yo
sin
Iy
zo )
0
tan yo Iz tan
zo
和扭矩图如图c、d
危险截面在杆的根部（固定端）
（3）应力分析
B
M W
T
T Wp
在杆的根部取一单元体分析
y 0, x B , xy T
计算主应力
1
3
B
2
( B
2
)2
2 T
2 0
（4）强度分析
选择第三、第四强度理论
r3
入偏心拉伸的强度条
4
32
件校核
32.4106 32.4MPa 35MPa
满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cm
材料力学 第7章 组合变形
1
z x
1
式中M——危险截面的弯矩 T——危险截面的扭矩
2
y
2
例 3 某齿轮传动轴上装有两个直圆柱齿轮，C轮的输入功
率NkC=15kW，不考虑功率损耗，轴的转速n=850r/min， 直径d=50mm，材料的[]=50MPa，两轮节圆直径分别为 D1=300mm， D2=120mm，压力角=20，试校核轴的强度。
FAx
800
.
D
.
A
.
. .
C
.
B 1500
2500
c max
FN M max A Wz
A FAy y
FC
FCx
FCy C
F B
F x
40 10 12 10 4 26.1 10 141 10 6
3 3
FN 40kN
12kNm M
100.5 MPa [ ]
第七章
作业
7-2 7-4 7-5 7-8 7-13 7-17 7-21
第七章
7.1 7.2
组合变形杆的强度
组合变形的概念 弯曲与拉伸（压缩）的组合
7.3
偏心压缩与截面核心
7.4 扭转与弯曲的组合 7.5 复合梁的强度计算
7.6
开口薄壁梁的切应力
组合变形杆的强度
7.1
组合变形概念
F
截面核心—— 在轴向压力作用下，使杆的横截面上只产 生压应力的载荷作用区域
偏心压缩与截面核心
五、截面核心
2.确定方法
压力作用区域。 当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力。 ay 截面核心 az
材料力学——8组合变形
F m
B
T 15kN m
M max 20kN m
W
15kN· m
D 3
32
(1 )
4
+
r3
20kN· m
-
M2 T2 157.26MPa [ ] W
例题8 传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩
m=1kN· m，皮带轮直径 D=300mm，皮带轮紧边拉力为 F1，松边拉力为F2。且F1=2F2，L=200mm，轴的许用 应力[]=160MPa。试用第三强度理论设计轴的直径
例3 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, []=100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度。 解：拉扭组合,危险点应力状态如图 T P A T P
P 450 10 3 6.37 MPa A 0.12
T 167000 35 .7MPa 3 Wn 0.1
P
P
1
1
a a
a a
未开槽前 立柱为轴向压缩
N P P P 1 2 A A (2a) 4a2
开槽后 立柱危险截面为偏心压缩;
P
1
P
1
a a
a a
P
1
Pa/2
1
N M P Pa 2 2P 2 2 A W 2 a a 1 2a 2 a a 6 2 P a2 开槽后立柱的最大压应力 8 2 P 4a 未开槽前立柱的最大压应力
2、相当应力计算 第三强度理论,计算相当力
2 0
r 3 1 3 2 4 2
第四强度理论,计算相当应力
r 4 2 3 2
3、强度校核
《材料力学》第八章组合变形
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
材料力学：第11章：组合变形
2
≤[σ]
2
M + 0.75T W
3
≤[σ]
πd
32
例：图示悬臂梁的横截面为等边三角形， 图示悬臂梁的横截面为等边三角形， C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 为形心 ｑ， 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： A）平面弯曲； （√ ）平面弯曲； （C）纯弯曲； ）纯弯曲； （B）斜弯曲； ）斜弯曲； （D）弯扭结合。 ）弯扭结合。
Mz y My σ′=− =− sin ϕ Iz Iz
σ ′′ = −
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
My z Iy
Mz =− cos ϕ Iy
Py
Mz
Pz
My
y z σ = σ ′ + σ ′′ = − M sin ϕ + cos ϕ I Iy z
下面确定中性轴的位置： 下面确定中性轴的位置： 设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则
α
ϕ
中性轴
ϕ
中性轴
二、位移计算 斜弯曲概念 为了计算梁在斜弯曲时的挠度， 为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法
fy = Py l
3
3EI Z
Pl3 = sin ϕ 3EI Z
Pl3 Pz l 3 fz = = cosϕ 3EI y 3EI y
ϕ
f =
2 fy
+f
2 z
tg β =
fy fz
=
Iy Iz
tg ϕ
tg β = tgα
α
β =α
ϕ
中性轴 总挠度f与中 总挠度 与中 性轴垂直
材料力学组合变形
材料力学组合变形材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形行为的学科。
组合变形是指将不同的材料组合在一起，并在外力作用下共同发生变形。
本文将探讨材料力学中的组合变形及其应用。
材料的组合变形主要有两种形式，即均匀变形和非均匀变形。
均匀变形是指组合材料中各个组分材料的变形均匀一致，不发生相对滑动或相对滑动微小。
在均匀变形中，组合材料的整体变形主要由各个组分材料的线弹性或体弹性共同引起。
例如，当钢筋混凝土受到拉力作用时，钢筋和混凝土发生均匀的拉伸变形。
非均匀变形是指组合材料中各个组分材料的变形不一致，发生相对滑动或相对滑动巨大。
在非均匀变形中，组合材料的整体变形主要由各个组分材料的弹性、塑性和断裂等共同引起。
例如，当金属板与橡胶层组合时，金属板可以发生弯曲变形，而橡胶层则可以发生弹性变形和形变。
组合变形在实际应用中有着广泛的应用。
首先，组合变形可以通过调节组分材料的比例和形状来实现特定的力学性能。
例如，通过调节纤维增强复合材料中纤维的方向和分布，可以显著改变其强度和刚度。
此外，通过组合不同的材料，还可以实现热膨胀系数匹配、界面应力分散等功能，从而降低材料的应力集中和断裂风险。
其次，组合变形还可以实现材料的远程感应和控制。
例如，利用形状记忆合金和橡胶组合的智能材料，在外力作用下可以实现形状变化和应变分布的调控。
这种材料可以应用于自适应结构、智能传感器等领域。
此外，通过组合不同的材料，还可以实现流变性能的调控，进而应用于动态振动控制等领域。
最后，组合变形还可以实现材料的多功能性和复合性能。
通过组合不同材料的优势，可以实现多功能材料的设计和制备。
例如，通过合理选择纳米材料和纤维增强复合材料等，可以实现具备高强度、低密度、耐热和导电等多种特性的复合材料。
此外，通过组合不同材料的力学性能，还可以实现弹性材料、减振材料和防护材料的设计与制备。
综上所述，材料力学中的组合变形是一种重要的力学现象，具有广泛的应用前景。
29-31材料力学-组合变形
P 200 图. （2）
dP
P M
1maxAP1
M Wz1
350000350506
0.20.3 0.20.32
11.7M Pa
2max
P A
3 5 0 0 0 08.7 5MP a 0.20.2
15
[例5] 图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力；若将缺口
移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多
结果表明，最大压应力与许用应力接近相等，故无需重新 选取截面的型号。
11
二、偏心拉伸(压缩)
如果外力的作用线平行于杆件的轴线，但不通过杆件横截
面的形心，则将引起偏心拉伸(压缩)。
1、分解： P
x P y
z My
x z Mz
Py My
12
2、应力分析：
x z Mz P y
P
MZ
z
My y
My
xP
P A
发生最大拉应力，且
tmax
tmax
在截面的外侧边缘上发生最大压应力，且 cmaxcmax
最后，由抗拉强度条件 得
F P ≤ 45.1kN。
由抗压强度条件得
F P ≤ 171.3kN
为使立柱同时满足抗拉和抗压强度条件，压力FP不应超过
45.1kN 。
20
[例7] 方形截面杆的横截面面积在 mn 处减少一半，试求由轴
30
弯扭组合问题的求解步骤：
① 外力分析：外力向形心简化并分解。 ② 内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定
危险面。 ③应力分析：建立强度条件。
r3
My2 Mz2 Mn2 W
r4
My2Mz20.7 5Mn2 W
材料力学-第八章组合变形
M z y M y sin
Iz
Iz
x
M y z M z cos
Iy
Iy
x
y
z
y
z
M
y sin
z
cos
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横 截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示， 然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
A
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN (a)
500
解：
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
（1）分析载荷 如图b所示
5 kN
12 kN (b)
T 1.5 kN m
（2）作内力图 x
如图c、d、e、f 所示
(c)
MC MD
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
FN A
F (2a)2
1 4
F a2
（2）开槽后的正应力
My
FN F
My
Fa 2
FN
2
max
FN A
My Wy
F 2a2
Fa / 2 2a2 a2 /
6
2
F a2
2a
2a
z
a
所以：
2
1
8
y
§8.3 斜弯曲
F1
材料力学组合变形
材料力学组合变形材料力学是指材料在受力作用下产生的力学变形过程，组合变形是指在材料受到多个作用力时产生的整体力学变形过程。
材料力学组合变形是研究材料在受到多个作用力时的变形行为。
在材料力学中，材料的力学行为可以通过弹性模量、屈服强度、断裂强度等参数来描述。
当材料受到作用力时，会发生弹性变形和塑性变形。
弹性变形是指材料在受力后恢复到原始形状的变形；而塑性变形是指材料在受力后不完全恢复到原始形状的变形。
对于组合变形而言，材料会受到多个作用力，因此其变形行为会更为复杂。
组合变形中，作用在材料上的多个力可以是同方向的也可以是不同方向的。
如果作用在材料上的力是同方向的，材料会受到共同作用力的影响，从而发生整体变形。
例如，在拉伸材料时，受到的力方向是相同的，材料会发生拉伸变形。
而如果作用在材料上的力是不同方向的，材料会受到不同方向的作用力，从而引起复杂的变形。
例如，在压缩材料时，受到的力方向是不同的，材料会发生挤压变形。
组合变形中，材料不仅会发生弹性变形和塑性变形，还会发生刚塑性变形和刚塑性折断。
刚塑性变形是指材料在受到力后发生弹性变形和塑性变形之前的刚性变形。
而刚塑性折断是指材料在受到力后发生弹性变形和塑性变形之后的断裂行为。
这些变形与断裂行为的发生受到材料的性质和作用力的大小和方向等因素的影响。
组合变形也可以通过应变和位移来描述。
应变是指材料单位长度或单位体积的变化，是描述材料变形的量度。
位移是指材料单位长度或单位体积的实际变化，是描述材料移动的量度。
通过应变和位移的变化，可以对材料力学组合变形进行分析和计算，从而得到材料变形的性质和行为。
总之，材料力学组合变形是材料在受到多个作用力时产生的整体力学变形过程。
通过研究材料的力学行为，可以了解材料在不同作用力下的变形行为，并进一步应用于工程设计和材料选择等领域。
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q y L2
③、应力分析—求 max
max
Mz My Wz W y
④、强度计算—确定截面尺寸
max
M z M y 6M z 6M y 3 (2 M z M y ) [ ] 2 2 3 Wz W y hb bh 2b
h 2b 118 .8mm
7
2、梁任意截面上的弯矩为：
z y z
O
x
x l
Fz F
φF y y
O
z y
A
z
z
x
M z M cos
M y M sin
x
y
Fz
F
l My引起A的应力： Mz引起A的应力：
φF y y
3、梁截面上任一点A（y,z）的应力为（考虑坐标符号）：
M y z M sin z Iy Iy
14
M z max
Fy l 24.1 4 24.1kNm 4 4
M y max
Fz l 6.47 4 6.47 kNm 4 4
28a号工宇钢的抗弯截面模量
Wz 508 cm3 , Wy 56.6cm3
max
M x max M y max 24 .110 3 6.47 10 3 Wz Wy 508 (10 2 ) 3 56 .6 (10 2 ) 3 (47.4 114 .3) 10 6 161 .7 MPa [ ]
Mzy M cos y Iz Iz
另外， 和 的正负号可由My和 Mz引起的变形是拉 8 还是压直接判断。
sin cos 则，F引起的应力为： M ( I z I y) y z
二、中性轴的位置 令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有： 显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线， 设其与z轴的夹角为α，则有：
M By 2kNm, M Cy 1kNm,
M Bz 1kNm
M Cz 2kNm
Mz
1kNm
x C D
A
B
而 Wy 1 bh2 , 6
Wz 1 b2 h 6 16
(2)校核强度:
B max
M By M Bz M By M Bz 2 Wy Wz bh hb2 6 6 3 2 10 6 110 3 6 2 9 2 9 93.75MPa 40 80 10 80 40 10
XA
YA A
T
Ty C
Tx _
B F
FN
M max 20 10 3 2 10 4 m3 200 cm3 Wz [ ] 100 10 6
52kN 20kN· m
查型钢表，初选取20a号工字 M 3，A＝35.5cm2 钢，Wz=237cm (3) 按压弯组合变形进行校核。
max
FN M max [ ] A Wz
z
max
(1)若F 的作用点在杆的一对称轴上， 则强度条件为： F M [ ] max A Wz
F M [ ]
max
其中 M Fe
A Wz
23
(2) 若F 的作用点不在杆的任一对称轴上
F y z
q
h
水坝
5
二、组合变形的研究方法 ——先分解而后叠加 具体步骤： ① 外力分析，确定基本变形：将外力分解为几组与之
静力等效的简单载荷，确定基本变形；
② 内力分析，确定危险截面：求每个外力分量对应的 内力并画内力图，确定危险面； ③ 应力分析，确定危险点：画危险面应力分布图， 确定危险点，叠加求危险点应力； ④ 强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度计算。
例10-2-2 如图所示简支梁由28a号工宇钢制成，已知 F=25kN，l=4m， 15 ，许用应力[ σ ]=70MPa，试 按正应力强度条件校核此梁。
解:
(1)将集中力 F 沿 y 轴和 z 轴方向分解
Fy F cos 25 cos15 21.4kN
.
Fz F sin 25 sin15 6.47 kN
ez ey
FM y y z Mz
F
My
y
Mz
则强度条件为：
max
max
F M y M z [ ] 其中 M y Fey A W y Wz M z Fez F M y M z [ ] A W y Wz
24
[ 例 10-3-2] 图 示 压 力 机 ， 最 大 压 力 F=1400kN，机架用铸铁作成，许用 拉应力[σ]+=35MPa，许用压应力[σ]=140MPa，试校核该压力机立柱部分 的强度。立柱截面的几何性质如下： yc=200mm ， h=700mm ， A=1.8×105mm2，Iz=8.0×109mm4。 解：由图可见，载荷 F 偏离立柱轴线， 其偏心距为： FN e e=yc+500=200+500=700mm。 M
其中 FN F1
其中 M F2 (l x)
19
FN My F1、 F2共同作用时： A Iz
FN M max max A Wz FN M max max A Wz 特别指出：运用上式计算最大应力时，弯矩 M 取绝 对值，而轴力 FN 取代数值。 强度条件： FN M max [ ] (1)若[ ] [ ] , 则 A Wz FN My A Iz
max
max
(2)若[ ] [ ] [ ] ,
则
FN M max [ ] A Wz
max Max{ max , max } [ ]
20
[例10-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试 T YA 选择工字梁型号。 Ty XA D
例10-2-1 矩形截面木檩条如图，跨长L=3m，h=2b， 受集度为q=700N/m的均布力作用， []=10MPa，容 许挠度[w]=L/200 ，E=10GPa，试选择截面尺寸并校 核刚度。 解：①、外力分析——分解q
q y q sin 700 0.438 307N/m
y
M Cy M Cz Wy Wz
M Cz C max 2 bh hb2 6 6 110 3 6 2 10 3 6 117 .19MPa 2 9 2 9 40 80 10 80 40 10
max C max 117 .19 MPa 120 MPa
M Cy
故，梁安全。
17
§10.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合 工程实际中，常遇到如下受力的构件：
F2
F1 l 偏心拉伸 F M F F 轴向力 和横向 力同时 作用
偏心压缩
y z
FM y
Mz
18
一、轴向力和横向力同时作用
F2 z x y l F1 x
＋
＝
分析任一截面上应力
FN F1单独作用时： A F2单独作用时： My Iz
q z q cos 700 0.899 629N/m
q
=26°
z
②、内力分析——求Mzmax、Mymax
307 3 2 M z m ax 345.4Nm 8 8 2 qz L 629 3 2 B M y m ax 707.6Nm 8 8
12
q
A
L
z
F F
500
yc
C h
y
任一截面上的力如图：
其中： FN F , M Fe
F
25
在偏心拉力 F 作用下，横截面上由各内力产生的应力 如图：
e
F F , A
aM
Myc Feyc , Iz Iz
bM
My2 Fey2 Iz Iz
y0 I z tan tan z0 I y
sin cos M( z0 y0 ) 0 Iy Iz
Fz φ
D2
D1
z
F
中性轴 Fy y
可见，中性轴的位置并不依赖于力F的大小，而只与力 F和形心主轴 y 的夹角以及截面几何形状和尺寸有关。 三、最大正应力和强度条件 在中性轴两侧，距中性轴最远的点为最大拉、压应力点。 图中D1、 D2两切点应力最大： D1 , D 2
M z max M y max sin cos M max ( z1 y1 ) [ ] Iy Iz Wz Wy
[ ] ,
max
[ ]
max
10
四、挠度的计算 自由端处由Fy引起的挠度为：
Fy l 3 Fl 3 cos wy 3EI z 3EI z
§10.2 斜弯曲 斜弯曲：杆件产生弯曲变形后，杆轴线不再位于外力 作用平面内。 一、正应力的计算 ： 1、将外载沿横截面的两个形心主轴分解，得:
Fy F cos ,
Fz F sin
M z Fy (l x) F (l x) cos M cos M y Fz (l x) F (l x) sin M sin
中性轴
wz
φ
wy y
z
自由端处由Fz引起的挠度为：
Fz l 3 Fl 3 sin wz 3EI y 3EI y
w F
则，自由端处由F引起的总挠度为：
2 w w y wz2
wz I z 且 tan tan tan wy I y