材料力学--- 组合变形

例10-2-2 如图所示简支梁由28a号工宇钢制成，已知 F=25kN，l=4m， 15 ，许用应力[ σ ]=70MPa，试 按正应力强度条件校核此梁。
解:
(1)将集中力 F 沿 y 轴和 z 轴方向分解
Fy F cos 25 cos15 21.4kN
.
Fz F sin 25 sin15 6.47 kN
FN M max [ ] A Wz
z

max
(1)若F 的作用点在杆的一对称轴上， 则强度条件为： F M [ ] max A Wz
F M [ ]
max
其中 M Fe
A Wz
23
(2) 若F 的作用点不在杆的任一对称轴上
F y z
M Cy
故，梁安全。
17
§10.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合 工程实际中，常遇到如下受力的构件：
F2
F1 l 偏心拉伸 F M F F 轴向力 和横向 力同时 作用
偏心压缩
y z
FM y
Mz
18
一、轴向力和横向力同时作用
F2 z x y l F1 x

＋

＝

分析任一截面上应力
FN F1单独作用时： A F2单独作用时： My Iz
y0 I z tan tan z0 I y
sin cos M( z0 y0 ) 0 Iy Iz
Fz φ
D2
D1

z
F
中性轴 Fy y
可见，中性轴的位置并不依赖于力F的大小，而只与力 F和形心主轴 y 的夹角以及截面几何形状和尺寸有关。 三、最大正应力和强度条件 在中性轴两侧，距中性轴最远的点为最大拉、压应力点。 图中D1、 D2两切点应力最大： D1 , D 2
§10.2 斜弯曲 斜弯曲：杆件产生弯曲变形后，杆轴线不再位于外力 作用平面内。 一、正应力的计算 ： 1、将外载沿横截面的两个形心主轴分解，得:
Fy F cos ,
Fz F sin
M z Fy (l x) F (l x) cos M cos M y Fz (l x) F (l x) sin M sin
q z q cos 700 0.899 629N/m
q
=26°
z
②、内力分析——求Mzmax、Mymax
307 3 2 M z m ax 345.4Nm 8 8 2 qz L 629 3 2 B M y m ax 707.6Nm 8 8
12
q
A
L
M Cy M Cz Wy Wz
M Cz C max 2 bh hb2 6 6 110 3 6 2 10 3 6 117 .19MPa 2 9 2 9 40 80 10 80 40 10
max C max 117 .19 MPa 120 MPa
14
M z max
Fy l 24.1 4 24.1kNm 4 4
M y max
Fz l 6.47 4 6.47 kNm 4 4
28a号工宇钢的抗弯截面模量
Wz 508 cm3 , Wy 56.6cm3
max
M x max M y max 24 .110 3 6.47 10 3 Wz Wy 508 (10 2 ) 3 56 .6 (10 2 ) 3 (47.4 114 .3) 10 6 161 .7 MPa [ ]

M z max M y max sin cos M max ( z1 y1 ) [ ] Iy Iz Wz Wy
[ ] ,
max
[ ]
max
10
四、挠度的计算 自由端处由Fy引起的挠度为：
Fy l 3 Fl 3 cos wy 3EI z 3EI z
-
FN M max 52 10 3 20 10 3 99 MPa [ ] 100MPa A W 35.5 10 4 237 10 6
22
初选成功，即选20a号工字梁合适。
二、偏心拉伸（压缩）
F F
M
e



max
FN M max [ ] A Wz
例10-2-1 矩形截面木檩条如图，跨长L=3m，h=2b， 受集度为q=700N/m的均布力作用， []=10MPa，容 许挠度[w]=L/200 ，E=10GPa，试选择截面尺寸并校 核刚度。 解：①、外力分析——分解q
q y q sin 700 0.438 307N/m
y
其中 FN F1
其中 M F2 (l x)
19
FN My F1、 F2共同作用时： A Iz
FN M max max A Wz FN M max max A Wz 特别指出：运用上式计算最大应力时，弯矩 M 取绝 对值，而轴力 FN 取代数值。 强度条件： FN M max [ ] (1)若[ ] [ ] , 则 A Wz FN My A Iz
7
2、梁任意截面上的弯矩为：
z y z
O
x
x l
Fz F
φF y y
O
z y
A
z
z
x
M z M cos
M y M sin
x
y
Fz
F
l My引起A的应力： Mz引起A的应力：
φF y y
3、梁截面上任一点A（y,z）的应力为（考虑坐标符号）：
M y z M sin z Iy Iy
15
此梁满足强度要求。
例10-2-3 两端铰支矩形截面梁，其尺寸 h=80mm , b=40mm, 120 MPa , 校核梁的强度。 z z A B y
30kN
y C
30kN
100mm
D
h
x bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
100mm 100mm
A
My
B
C
1kNm 2kNm
D
x
+
2kNm
解:(1)画内力图，确定 危险截面:
中性轴
wz
φ
wy y
z
自由端处由Fz引起的挠度为：
Fz l 3 Fl 3 sin wz 3EI y 3EI y
w F
则，自由端处由F引起的总挠度为：
2 w w y wz2
wz I z 且 tan tan tan wy I y
由上式可见：
（1）对于矩形、工字形一类的截面，Iy ≠Iz，则 ，这表示 挠度方向垂直于中性轴但与外力平面不重合，为“斜弯曲”。 （2）对于方形、圆形一类的截面，Iy ＝Iz，则 ，此时的 挠度不仅垂直于中性轴而且与外力平面重合，为平面弯曲。11

Mzy M cos y Iz Iz
另外， 和 的正负号可由My和 Mz引起的变形是拉 8 还是压直接判断。
sin cos 则，F引起的应力为： M ( I z I y) y z
二、中性轴的位置 令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有： 显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线， 设其与z轴的夹角为α，则有：
第十章 组合变形
1
第十章
§10.1
§10.2 §10.3 §10.4
组合变形
组合变形的概念
斜弯曲 拉伸(压缩)与弯曲的组合 弯曲与扭转的组合
§10.1
组合变形的概念
一、组合变形：由两种或两种以上基本变形组合而成 的变形，称为组合变形（combined deformation)
P
R
Ｍ
P
P
hγ
4
P
z
F F
500
yc
C h
y
任一截面上的力如图：
其中： FN F , M Fe
F
25
在偏心拉力 F 作用下，横截面上由各内力产生的应力 如图：
e
F F , A
aM
Myc Feyc , Iz Iz
bM
My2 Fey2 Iz Iz
q y L2
③、应力分析—求 max
max
Mz My Wz W y
④、强度计算—确定截面尺寸
max
M z M y 6M z 6M y 3 (2 M z M y ) [ ] 2 2 3 Wz W y hb bh 2b
h 2b 118 .8mm

max


max
(2)若[ ] [ ] [ ] ,
则
FN M max [ ] A Wz
max Max{ max , max } [ ]
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[例10-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试 T YA 选择工字梁型号。 Ty XA D
3 (2M z M y ) b 59.4mm 2[ ]
3
⑤、校核刚度
wmax w
2 y max
w
2 z max
5L4 ( q y ) 2 ( q z ) 2 384 E I z Iy
13
1.44 10 2 m [ w] L 1.5 10 2 m 200
q
h
水坝
5
二、组合变形的研究方法 ——先分解而后叠加 具体步骤： ① 外力分析，确定基本变形：将外力分解为几组与之
静力等效的简单载荷，确定基本变形；
② 内力分析，确定危险截面：求每个外力分量对应的 内力并画内力图，确定危险面； ③ 应力分析，确定危险点：画危险面应力分布图， 确定危险点，叠加求危险点应力； ④ 强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度计算。
A Tx
C
B F
A
30° 2m
C
1m
B F
FN
_ 52kN 20kN· m
解：(1)选工字梁为研究对 象受力如图所示： 分解：
Tx 52 kN, Ty 30 kN
M
T 60kN
M A 0 : T 2 sin 30 3F 0
画内力图如上： 21
由弯矩图和轴力图知：C 截面左侧为危险截面。 (2) 暂不考虑轴力影响，只 按弯曲正应力强度条件初 选工字梁型号，有：
max
max
应力分布如图所示：
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若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直 接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点 的位置。 D D
1 1
z
z D2 y 中性轴
D2
y
中性轴
强度条件：
（ ）若 [ ] [ ] [ ], 则 1
max
（2）若 [ ] [ ] , 则
M By 2kNm, M Cy 1kNm,
M Bz 1kNm
M Cz 2kNm
Mz
1kNm
x C D
A
B
而 Wy 1 bh2 , 6
Wz 1 b2 h 6 16
(2)校核强度:
B max
M By M Bz M By M Bz 2 Wy Wz bh hb2 6 6 3 2 10 6 110 3 6 2 9 2 9 93.75MPa 40 80 10 80 40 10
XA
YA A
T
Ty C
Tx _
B F
FN
M max 20 10 3 2 10 4 m3 200 cm3 Wz [ ] 100 10 6
52kN 20kN· m
查型钢表，初选取20a号工字 M 3，A＝35.5cm2 钢，Wz=237cm (3) 按压弯组合变形进行校核。
max
ez ey
FM y y z Mz
F
My
y
Mz
则强度条件为：


max

max
F M y M z [ ] 其中 M y Fey A W y Wz M z Fez F M y M z [ ] A W y Wz
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[ 例 10-3-2] 图 示 压 力 机 ， 最 大 压 力 F=1400kN，机架用铸铁作成，许用 拉应力[σ]+=35MPa，许用压应力[σ]=140MPa，试校核该压力机立柱部分 的强度。立柱截面的几何性质如下： yc=200mm ， h=700mm ， A=1.8×105mm2，Iz=8.0×109mm4。 解：由图可见，载荷 F 偏离立柱轴线， 其偏心距为： FN e e=yc+500=200+500=700mm。 M