2018年4月线性代数(经管类)试题

2018年4月高等教育自学考试全国统一命题考试

04184线性代数（经管类）试卷

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 设2阶行列式

121

2

1a a b b =-，

则12

12

1212

a a a a

b b b b +-=+-

A. 2-

B. 1-

C. 1

D.2

2. 设A 为3阶矩阵，且||=0A a ≠，将A 按列分块为123(,,)A a a a = ，若矩阵122331(,,),B a a a a a a =+++则||=B A. 0 B. a C. 2a D.3a

3. 设向量组123,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 A. 123,2,3a a a C. 122331,,a a a a a a --- B. 1123,2,a a a a - D.1223123,,2a a a a a a a +-+-

4. 设矩阵300

00

00000120022B ⎛⎫ ⎪

⎪

= ⎪- ⎪

⎝⎭

，若矩阵,A B 相似，则矩阵3E A -的秩为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4

5. 设矩阵120240001A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

，则二次型T

x Ax 的规范型为

A. 222123z z z ++

B. 222123z z z +-

C. 2212z z -

D.22

12z z +

二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

6. 设3阶行列式11

1213

21

222312

2

2

a a a a a a = ，若元素ij a 的代数余子式为ij A ，则

313233++=A A A .

7. 已知矩阵(1,2,1),(2,1,1)A B =-=- ，且,T

C A B = 则C = .

8. 设A 为3阶矩阵，且1||=3A -，则行列式1

*

132A A -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .

9.2016

2017

001123010010456100=100789001⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

.

10.

设

向

量

(1,0,0)T

β= 可由向量组

123(1,1,)(1,,1)(,1,1)T T T a a a ααα===，，线性表示，且表示法唯一，则

a 的取值应满足 .

11. 设向量组123(1,2,1)(0,4,5)(2,0,)T T T

t ααα=-=-=，，的秩为2，则

t = .

12. 已知12(1,0,1)(3,1,5)T T

ηη=-=-，是3元非齐次线性方程组Ax b =

的两个解，则对应齐次线性方程组Ax b =有一个非零解=ξ . 13.设2=3

λ-

为n 阶矩阵A 的一个特征值，则矩阵2

23E A - 必有一个特征值为 .

14.设2阶实对称阵A 的特征值为2,2- ，则2

A = .

15.设二次型22

111211(,)4f x x x x tx x =+- 正定，则实数t 的取值范围

是 .

三、计算题：本大题共有7小题，每小题9分，共63分。

16. 计算4阶行列式2

300123001230

1

2

D --=

-- .

17. 设1234

0000

000000

0a a A a a ⎛⎫ ⎪

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，其中0 (1,2,3,4),i a i ≠= 求1A - . 18. 设3阶矩阵A 与B 满足2

,AB E A B +=+ 其中111120211A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

，

求矩阵B.

19. 求向量组

1234(2,1,31)31,2,0)(1,3,42)(4,3,1)T T T T

αααα=-=-=-=-，，（，，，，，1的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示。 20.设线性方程组

1223

23123232234

x x x x x x b x x ax +=⎧⎪-+=-⎪⎨

-=⎪⎪++=⎩ 确定a ，b 为何值时方程组由无穷多解，并求出其通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。

21.已知=0λ是矩阵11

121321

222331

32

33a b a b a b A a b a b a b a b a b a b ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

（其中110,0a b ≠，） 的一个特征值，求A 的属于特征值=0λ的全部特征向量。

22.求正交变换x Qy = ，将二次型

222

123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++化为标准形。

四、证明题（本题7分）

23.设η为非齐次线性方程组Ax b =的一个解，

12ξξ，为导出组0Ax =的两个线性无关的解，证明向量组12ηηξηξ++，，线性无关。