2019-2020年高三数学总复习教案新课标人教版(I)
2019-2020年高三数学第一轮复习教案三角函数新课标人教版
CABD2019-2020年高三数学第一轮复习教案三角函数新课标人教版一、知识要点：三角函数基本概念、三角函数的恒等变形(化简,求值,等式的证明)、三角函数的图象和性质1、三角变换基本解题方法：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理． 常用的技巧：升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法、利用倍角公式建立2α与α、α与的关系、角的配凑等2、对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合．一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究．3、易错点：要注意正切函数定义域的限制；在三角变形过程中要注意自变量取值区间的变化，以防出现增根或失根；凡遇到参数或字母时，注意分情况进行讨论。
4、主要数学思想：化归思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想 二、主干知识点、基本方法回顾练习： 1. 若是第三象限的角，且，那么的值为（ C ）A. 23B. －23C. 223D. －2232. 已知函数在［，］上单调递增，则实数的取值范围是（ A ） A ．（0， B ．（0，2 C ．（0，1 D ．3．先将的图象沿轴向右平移个单位，再将图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍，而保持它们的纵坐标不变，得到的曲线与的图象相同，则的解析式是（ C ） A ． B ． C ．D ．4．若为第二象限的角，则下列各式恒小于0的是（ B ） A ． B ． C ． D ． 5．已知，，则（ A ）A 、 2B 、 3C 、1D 、无法确定6. 如图是由三个相同的正方形相接，在△ABC 中，锐角∠ACB=，则=（C ） A ． B ． C ． D ．7．函数x x x y 2cos 3sin cos +=相邻两条对称轴的距离为（ C ）A ．2B ．C ．D ．8. 函数的递减区间是_____5,1212k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭_______，递增区间是______________，511,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭9.函数()3sin()(0)53kx f x k π=+≠有一条对称轴为，则_5_______。
2019-2020年高三数学一轮复习 第三节 两角和与差及倍角公式(1)教案 新人教版
2019-2020年高三数学一轮复习 第三节 两角和与差及倍角公式（1）教案 新人教版【考点导读】1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”． 【基础练习】1.sin163sin 223sin 253sin313+= ___________．2. 化简_____________．3. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝___________ ．4.化简：___________ ．5.化简：(cossin )(cos sin )(1tan tan )22222θθθθθθ+-+=____1___． 6.给出下列四个命题：①存在这样的，，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+； ②不存在无穷多个，，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+； ③对于任意的，，都有cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ④不存在这样的，，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+≠-． 其中假命题的序号有______②_______． 【范例解析】例1.化简：（1）42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+； （2(1sin cos )(sincos ))θθθθθπ++-<<．（1）分析一：降次，切化弦． 解法一：原式=2221(2cos 1)22sin()4cos ()4cos()4x x x x πππ----22(2cos 1)4sin()cos()44x x x ππ-=--2cos 22sin(2)2x x π=-．分析二：变“复角”为“单角”．3＋cos2x解法二：原式221(2cos 1)x -=22cos 2cos sin 2(sin cos )cos sin x x x x x x x =-⋅++．（2）原式2(2sincos2cos )(sin cos )θθθθθ+-22cos (sin cos )cos cos 2222cos cos 22θθθθθθθ--⋅==，，，原式=．点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等． 例2.化简：22221sinsin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-．分析一：从“角”入手，“复角”变“单角”． 解法一：原式=2222221sin sin cos cos (2cos 1)(2cos 1)2αβαβαβ+--- 222222221sin sin cos cos (4cos cos 2cos 2cos 1)2αβαβαβαβ=+---+2222221sin sin cos cos cos cos 2αβαβαβ=-++-222221sin sin cos (1cos )cos 2αβαββ=+-+-222221sin sin cos (1cos )cos 2αβαββ=+-+-222221sin sin cos sin cos 2αβαββ=++-22221(sin cos )sin cos 2ααββ=++-．分析二：从“名”入手，同化余弦式．解法二：原式=22221sin sin (1sin )cos cos 2cos 22αβαβαβ+--222221sin sin cos sin cos cos 2cos 22αββαβαβ=+--22221cos sin (sin cos )cos 2cos 22βαββαβ=---221cos sin cos 2cos 2cos 22βαβαβ=--221cos cos 2(sin cos 2)2ββαα=-+分析三：从“形”入手，平方和关系．解法三：原式=21(sin sin cos cos )2sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβαβαβ-+-211cos ()sin 2sin 2cos 2cos 222αβαβαβ=++-21cos ()cos(22)2αβαβ=+-+111[cos 2()1]cos(22)222αβαβ=++-+= 分析四：从幂入手，降次扩角． 解法四：原式=111(1cos 2)(1cos 2)(1cos 2)(1cos 2)cos 2cos 2442αβαβαβ--+++- 111(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2442αβαβαβαβαβ=--+++++- 111(1cos 2cos 2)cos 2cos 2222αβαβ=+-= 点评：三角函数的化简，要认真分析式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系，认真寻求解题的突破口． 例3.求证：21sin 4cos 41sin 4cos 42tan 1tan θθθθθθ+-++=-． 分析：左右同时化简．证明：原式等价于21sin 4cos 42tan 1sin 4cos 41tan θθθθθθ+-=++-． 左边=222sin 2cos 22sin 2sin 2tan 22sin 2cos 22cos 2cos 2θθθθθθθθθ+===+右边． 点评：恒等式的证明，一般由繁到简或左右同时化简，左右归一． 例4.已知．求证：． 分析：切化弦，变角． 证明：要证只要证3sin[()]sin[()]αββαββ+-=++即证3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin αββαββαββαββ+-+=+++ 只需证sin()cos 2cos()sin αββαββ+=+由已知得：．sin()cos 2cos()sin αββαββ∴+=+ 故原命题得证．点评：证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论的差异，消除差异．本题利用分析法，运用角的变换消除角的差异入手求证． 【反馈演练】1．化简．2．若，化简_________．3．若0＜α＜β＜，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则与的大小关系是_________．4．若sin cos tan (0)2παααα+=<<，则的取值范围是___________．5．若22sin 12()2tan sincos22f ααααα-=-，则___8___．6．化简：tan()tan tan tan tan()αβαβααβ+--=⋅+________．7．已知、均为锐角，且，则= 1 .8．化简：(sin cos 1)(sin cos 1)sin 2x x x x x+--+=_________．9．对任意的锐角α，β，下列不等关系中①sin(α+β)>sin α+sin β； ②sin(α+β)>cos α+cos β；③cos(α+β)<sin α＋sin β； ④cos(α+β)<cos α＋cos β． 其中正确结论的序号是____④______． 10．化简：222cos 12tan()sin ()44αππαα--⋅+．解：原式=222cos 12sin()4cos ()4cos()4απαπαπα--⋅--cos 22sin()cos()44αππαα=-⋅-．11．求证：222sin 22cos cos 22cos x x x x +=．证明：左边=2224sin cos 2cos cos 2x x x x +22222cos (2sin 12cos )2cos x x x x =+-==右边．12．化简：22sin sin 2sin sin cos()αβαβαβ+++．解：原式=22sin sin 2sin sin (cos cos sin sin )αβαβαβαβ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2sin sin αβαβαβαβ=++- 2222sin (1sin )sin (1sin )2sin sin cos cos αββααβαβ=-+-+ 2222sin cos sin cos 2sin sin cos cos αββααβαβ=++ 2(sin cos sin cos )αββα=+．2019-2020年高三数学一轮复习 第九节 三角函数的应用教案 新人教版【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角例1例2（1）变换的能力． 【基础练习】1．在200高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________．2．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好km ，那么x 的值为_______________ km ．3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km． 4．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离之间的大小关系为_______________．5．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B ，D ，已知为边长等于的正三角形，当目标出现于C 时，测得，，求炮击目标的距离解：在中，由正弦定理得：∴在中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠ ∴答：线段的长为． 【范例解析】例 1.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得B C D B D C C D s αβ∠=∠==，，，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高． 分析：构造三角形，根据正弦定理或余弦定理解决问题． 解：在中，． 由正弦定理得． 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．答：塔高为．点评：有关测量问题，构造三角形结合正弦定理或余弦定理求解． 例2.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行， 乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船 位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里， 当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解． 解法一：如图(2)，连结，由已知，ABCD第5题2或122060A A ==， 又12218012060A AB =-=∠，是等边三角形， ，由已知，，1121056045B A B =-=∠， 在中，由余弦定理，22212111211122cos 45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯． ．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里． 解法二：如图（3），连结，由已知，122060A A ==，， cos 45cos60sin 45sin 60=-， sin 45cos60cos 45sin 60=+．在中，由余弦定理，22221111211122cos105A B A B A A A B A A =+-22202204=+-⨯⨯．．由正弦定理11121112212(13)2sin sin 210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， ，即121604515B A B =-=∠，2(1cos15sin105+==．在中，由已知，由余弦定理，22212212221222cos15B B AB A B A BA B =+-22210(1210(1=+-⨯+⨯．，乙船的速度的大小为（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里．例2（2）例2（3）点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程． 例3.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南（）方向 300km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？分析：解决本题的关键是读懂题目，弄清题目条件，解法一： 如图(1)，设经过t 小时后台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为．若在t 时刻城市O受到台风的侵袭，则． 在中，由余弦定理得：2222OQ PQ PO PQ PO =+-⋅⋅又，，cos cos(45)OPQ θ∠=-︒， 故22400960090000OQ t t =-+．因此，22400960090000(1060)t t t -+≤+，即，解得． 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.解法二：如图（2）建立坐标系以O 为原点，正东方向为 在时刻t 时台风中心Q （）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是其中若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.点评：本题的设计抓住“台风中心的运动”以及“运动过程中台风半径的匀速扩张”两个主要特点.解法二是建立坐标系，转化为点和圆的位置关系求解. 【反馈演练】1．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距____________m ．2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为，现要将倾斜角改为，则坡底要伸长____1___km ．3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，东O 例3(1)东O例3（2）则此时船与灯塔的距离是__________海里．4．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，则第三条边的最小值是____________cm ．5．设是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ A ） A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=6．xx 年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）． 如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为， 那么的值等于 ．7．发电机发出的三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数，，，，则 0 ．8．某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点的距离表示成的函数，则 ，其中．9．如图，某人在高出海面600m 的山上P 处，测得海面上的航标A 在正东，俯角为，航标B 在南偏东，俯角为，则这两个航标间的距离为___600___m ．10．如图，隔河看两目标A ，B ，但不能到达，在岸边选相距的C 、D 两点，并测得， ，，（A ，B ，C ，D 在同一平面内），求两目标A ，B 之间的距 离．解：在中，，， 得，则． 在中，，，， 由正弦定理得：．CDBA第10题PCB A第9题第6题在中，由余弦定理229(323(3cos30AB =+-⨯⨯⨯︒，解得．答：两目标A ，B 之间的距离．11．在海岸A 处，发现北偏东方向，距离A 处海里的B 处有一走私船，在A 处北偏西方向，距离A 处2海里C 处的缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/小时的速度从B 处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向能最快追上走私船？ 解：设缉私艇用t 小时在D 处追上走私船， 则有，， 在中，，，， 由余弦定理得：，在中，由正弦定理：sin sin AC ABC BAC BC ∠=∠= ，即BC 与正北方向垂直， 在中，由正弦定理：1sin sin 2BD BCD CBD CD ∠=∠=，答：缉私艇沿东偏北方向能最快追上走私船．12．某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m ，为的中点，到的距离比的长小0.5m ，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？ 解：设，，连结BD ．则在中，2221()2cos60.2b b a ab -=+-设则21(1)3422(1)347,4t b a t t t t+-+=++=++≥ 等号成立时答：当时，建造这个支架的成本最低．BACD 地面 第12题CABD 第11题。
2019-2020年高三数学总复习 集合的概念和表示方法教案 理
2019-2020年高三数学总复习集合的概念和表示方法教案理教材分析集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合．教学目标1. 初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法．2. 初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质．3. 掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力．任务分析这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握．教学设计一、问题情境1. 在初中，我们学过哪些集合？2. 在初中，我们用集合描述过什么？学生讨论得出：在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．3. “集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？学生讨论得出：“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，……4. 请写出“小于10”的所有自然数．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合．5. 什么是集合？二、建立模型1. 集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义）（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素．（3）集合中的元素与集合的关系：a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A；a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作aA．例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B．2. 集合中的元素具备的性质（1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的．（2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的．例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素．（3）无序性：集合中的元素无顺序．例：集合｛1，2｝与集合｛2，1｝表示同一集合．3. 常用的数集及其记法全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N．非负整数集内排除0的集合简称正整数集，记作N*或N+；全体整数的集合简称整数集，记作Z；全体有理数的集合简称有理数集，记作Q；全体实数的集合简称实数集，记作R．4. 集合的表示方法［问题］如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解？（1）列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．例：x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛1，2｝．（2）描述法描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛x｜x2－3x＋2＝0｝．②不等式x－3＞2的解集可表示为｛x｜x－3＞2｝．③Venn图法例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示为（1，2）．5. 集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．（2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，N．（3）空集：不含任何元素的集合，记作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝．注：对于无限集，不宜采用列举法．三、解释应用［例题］1. 用适当的方法表示下列集合．（1）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数．（2）平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P．（3）在平面a内，线段AB的垂直平分线．（4）不等式2x－8＜2的解集．2. 用不同的方法表示下列集合．（1）｛2，4，6，8｝．（2）｛x｜x2＋x－1＝0｝．（3）｛x∈N｜3＜x＜7｝．3. 已知A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．试用列举法表示集合A．（A＝｛0，3，5｝）4. 用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合．［练习］1. 用适当的方法表示下列集合．（1）构成英语单词mathematics（数字）的全体字母．（2）在自然集内，小于1000的奇数构成的集合．（3）矩形构成的集合．2. 用描述法表示下列集合．（1）｛3，9，27，81，…｝．（2）四、拓展延伸把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述．（1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（2）｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．（3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（4）｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝．点评这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点．这样做，通俗易懂，使学生便于学习和掌握．例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益．拓展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和认识．2019-2020年高三数学总复习频率与概率教案理教材分析频率与概率是两个不同的概念，但是二者又有密切的联系．如何从二者的异同点中抽象出概率的定义是本案例的主要内容．本节课蕴涵了具体与抽象之间的辩证关系．讲授过程中对教材处理稍有不当，可能直接影响学生对本节重点（即概念的理解）的掌握程度．因此，如何设计合适的实例，怎样引导学生理解和总结是处理好本节的关键，也是处理好本节教材的难点．教学目标通过本节课教学，使学生能理清频率和概率的关系，并能正确理解概率的意义，增强学生的对立与统一的辩证思想意识．任务分析由于频率在大量重复试验的前提下可以近似地叫作这个事件的概率，因此本节课应从具有大量重复试验的实例入手．为加深学生的理解程度，可采用学生亲自参与到试验中去，从操作中去体会，去总结．概率可看作频率理论上的期望值，从数量上反映了随机事件发生的可能性大小．因此，为巩固学生总结出的知识，最后还要回归到实例中去，让学生去运用，以符合认知过程．教学设计一、问题情境在日常生活中，我们经常遇到某某事件发生的概率是多少，如xx年2月5日《文汇报》登载的两则消息．本报讯记者梁红英报道：2月3日晚6点19分，一彩民购买的“江浙沪大乐透”彩票，同时投中10注一等奖，独揽48571620元巨额奖金，创下中国彩票史上个人一次性奖额之最．……据有关人士介绍，该彩民当时花了200元买下100注“江浙沪大乐透”彩票，分成10组，每组10注，每组的自选号码相同．结果，其中1组所选号码与前晚“江浙沪大乐透”xx015期开奖号码完全一致．本报讯记者江世亮报道：……对这种似乎不可能发生事件的发生，从数学概率论上将作何解释？为此，记者于昨日午夜电话连线采访了本市一位数学建模专家，他说，以他现在不完全掌握的情况来分析，像这名幸运者同时获得10个大奖的概率，可称得上一次万亿分之一的事件，通俗地讲就是接近于零．对文中的“万亿分之一”我们怎样理解呢？再如：天气预报说“明天降雨的概率是80%，我们明天出门要不要带伞？收音机里广播报道xx年冬某地“流行性感冒的发病率为10%”，我们这里要不要采取预防措施？……对这些在传播媒体上出现的数字80%，10%等，我们该作何理解呢？二、建立模型为了解决诸如以上的实际问题，我们不妨先从熟悉的频率的概念入手．首先，将全班同学平均分成三组，第一组做掷硬币试验，次数越多越好，观察掷出正面向上的次数，然后把试验结果和计算结果分别填入下表．表28-1第二组做抓阄试验．写五个阄，即分别标号为1，2，3，4，5，有放回地抓，每次记录下号数，次数越多越好．不妨统计一下各号数所占频率．第三组做摸围棋子试验．预先准备黑、白围棋子若干，然后给该组学生黑子30粒，白子10粒，让该组学生有放回地摸，次数为100次，每次摸出1粒，并记录下每次摸到的棋子的颜色，求出白子出现的频率．试验结束，让各组学生回答试验结果．第一组正面向上的频率必然接近，第二组结果肯定是每个号出现的频率接近，而第三组结果肯定位于附近．各组学生所得结果可能大于预定数，也可能小于预定数，但都比较接近．让学生讨论：出现与上述结果比较接近的数字受何因素影响？（学生思考，讨论，教师投影以下表格）历史上有些学者还做了成千上万次掷硬币的试验，结果如下表所示：表28-2观察上表后，引导学生总结：在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，而且随着试验次数的增加，一般摆动幅度的越小，而且观察到的大偏差也越少，频率呈现一定的稳定性．通过三组试验，我们可以发现：虽然，，三个数值不等，但是三个试验存在共性，即随机事件的频率随试验次数的增加稳定在某一数值附近．同时还可看出，不同的随机事件对应的数值可能不同．我们就用这一数值表示事件发生的可能性大小，即概率．（引出概率定义）定义可采用学生口述、教师补充的方式，然后可以投影此定义：一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆度幅度越来越小，这时就把这个常数叫作事件A的概率，记为P（A）．学生可考虑如下问题：（1）概率P（A）的取值范围是什么？（2）必然事件、不可能性事件的概率各是多少？（3）频率和概率有何关系？其中重点是问题（3），应启发、引导学生总结出：在大量重复试验的前提下，频率可以近似地称为这个事件的概率，而概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小．为加深对二者关系的理解，可以进行如下类比：给定一根木棒，谁都不怀疑它有“客观”的长度，长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量，不论尺或仪器多么精确，测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近．事实上，人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”值．这里测量值就像本节中的频率，“客观”长度就像概率．概率的这种定义叫作概率的统计定义．在实践中，经常采用这种方法求事件的概率．三、解释应用［例题］1. 把第三组试验中的黑棋子减少10粒，即20粒黑子，10粒白子，那么摸到黑子的概率约为多少？学生通过多次试验，可以发现此概率约为.2. 为确定某类种子的发芽率，从一批种子中抽出若干批做发芽试验，其结果如下：表28-3从以上的数据可以看出，这类种子的发芽率约为0.9．［练习］某射击手在同一条件下进行射击，结果如下：表28-4（1）计算表中击中靶心的各个频率．（表中各频率分别为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91）（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？（由此（1）可知，这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9）四、拓展延伸“某彩票的中奖概率为”是否意味着买1000张彩票就一定能中奖？从概率的统计定义出发，我们先来考虑此题的简化情形：在投掷一枚均匀硬币的随机试验中，正面出现的概率是，这是否意味着投掷2次硬币就会出现1次正面呢？根据经验，我们投掷2次硬币有可能1次正面也不出现，即出现2次反面的情形，但是在大量重复掷硬币的试验中，如掷10000次硬币，则出现正面的次数约为5000次．买1000张彩票相当于做1000次试验，结果可能是一次奖也没中，或者中一次奖，或者多次中奖．所以“彩票中奖概率为”并不意味着买1000张彩票就一定能中奖．只有当所买彩票的数量n非常大时，才可以将大量重复买彩票这个试验看成中奖的次数约为（比如说买1000000张彩票，则中奖的次数约为1000），并且n越大，中奖次数越接近于.由此我们可以说，对于小概率事件，从理论上来讲，发生的可能性很小，甚至在一定条件下可能不会发生．但是，实际上小概率事件仍有发生的可能，如本节开头提到的万亿分之一的概率事件就发生了．点评针对这节课以概念为主，而又抽象的特点，案例设计了以学生动手试验为主，引导学生体会概念的教学方法，同时对这节中较抽象的内容：频率和概率的关系做了形象的类比，以便学生理解．这篇案例增加了试验内容，其目的是更有力地帮助学生理解定义．另外，例题与练习的配备有利于学生加深对这节内容的理解．因此，这节课的整体设计符合学生对新知识认识的规律，符合新课程标准的精神．。
2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版(I)
2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版(I)【教学目标】掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题.【知识梳理】1．定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．重要提示1．两个平面垂直的性质定理，即：“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面α的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β α=l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α．2．三种垂直关系的证明(1)线线垂直的证明①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直”；②利用“线面垂直的定义”，即由“线面垂直⇒线线垂直”；③利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”．(2)线面垂直的证明①利用“线面垂直的判定定理”，即由“线线垂直⇒线面垂直”；②利用“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面”；③利用“面面垂直的性质定理”，即由“面面垂直⇒线面垂直”；④利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面”.(3)面面垂直的证明①利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角；②利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直⇒面面垂直”.【点击双基】1、在三棱锥A-BCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD,⊿BCD是锐角三角形，那么必有……（）A、平面ABD⊥平面ADCB、平面ABD⊥平面ABCC、平面ADC⊥平面BCDD、平面ABC⊥平面BCDCB E H ASm AP n B α a γ β 2、直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,AC=AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是（ ）A 、aB 、 2 aC 、22a D 、 3 a 3、设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：① l ⊥α; ② l ∥β;③α⊥β,若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数是（ ）A 、3B 、2C 、 1D 、 04、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成的二面角A 1-BD-A 的正切值为 。
2019-2020年高三数学一轮复习立体几何(1)教案
2019-2020年高三数学一轮复习立体几何（1）教案第节教学目标平面基本性质及公理直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系教学重难点平面基本性质及公理的运用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判断，异面直线所成的角教学参考教材,教参,学案，优化探究授课方法自学引导，讲练结合教学辅助手段多媒体专用教室教学过程设计教学二次备课一、主干知识梳理1．平面的基本性质：公理：文字语言描述为______________________,符号语言表示为___________________；公理2：文字语言描述为____________________,符号语言表示为___________________；公理3：推论1推论2推论32．空间两条直线的位置关系有________、_________、_________．3．公理4：_______________________________；等角定理：_____________________．4．异面直线判定定理：5.异面直线所成的角的定义： ,范围是二、基础自测自评1．棱柱的侧面是________形，棱锥的侧面是_________形，棱台的侧面是____________形．2．圆柱、圆锥、圆台的轴截面形状分别是______、_______、________．3．用符号表示“点在直线上，在平面外”为_____________________．学生课前预习师生共同回顾主干知识通过小题巩固公式的记忆及使用4．与长方体的某一条棱平行的棱有______条，与它相交的棱有_______条，与它异面的棱有_______条．5．与正方体的某条面对角线异面的棱有_______条．6．三条直线两两相交，它们可以确定的平面有________个．教学过程设计教学二次备课三、典例分析【例1】例1填空题：（1）空间三条直线，若，则由直线确定________个平面．（2）把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表示出来．【例2】如图，在长方体中，为棱的中（1）画出由三点所确定的平面与长方体表面的交线；（2）画出平面与平面的交线．四、课堂小结：平面基本性质及公理直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系练习：下列说法正确的有________________．(填上正确的序号)①过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线；②过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直；③若，则；④若，则．课外作业优化探究变式训练1教学小结C A12019-2020年高三数学一轮复习第13课时线性规划教学案文【课题】常见不等式及线性规划【课时】第13课时【学习目标】1. 能用二元一次不等式组表示平面区域2. 能用线性规划求最值3. 能用线性规划解决一些简单的实际问题【知识点回顾】1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域（1） 一般地，直线把平面分成两个区域表示直线___________的平面区域表示直线___________的平面区域（2） 选点法确定二元一次不等式表示的平面区域（3） 二元一次不等式组表示的平面区域是不等式组中各个不等式表示平面区域的_________2.线性规划中的基本概念：约束条件，目标函数，可行域，最优解【基础知识】1．判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域（用“上方”或“下方”填空）（1）不等式表示直线 的平面区域；（2）不等式表示直线 的平面区域；（3）不等式表示直线 的平面区域.2. 已知点(1,2)和（1,1)在直线的异侧，则实数的取值范围是3. 已知点A （1，-1），B （5，-3），C （4，-5），则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是4. 设满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥120y x y x x ，则的最大值是5. 设不等式组1103305390x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，表示的平面区域为D ，若指数函数的图像上存在区域D 上的点，则的取值范围是6.已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集用区间表示为___________.7.已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为,若关于x 的不等式 的解集为,则实数c 的值为____.8.在平面区域上恒有,则动点所形成平面区域的面积为 .【例题分析】例1.设，其中满足条件,122010⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤x y y x 求的最大值和最小值变式:在本题约束条件下，求： ①的最大值和最小值②的最大值和最小值③的最大值和最小值例2.已知的三边长满足求的取值范围变式:已知变量x,y 满足约束条件004x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩,表示平面区域M,若-4≤a≤t 时,动直线x+y=a 所经过的平面区域M 的面积为7.则t=_____________.例3.某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？例4.过平面区域202020x yyx y-+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，求当最小时的值【巩固迁移】1. 若点在直线的下方区域，则实数t的取值范围是2.已知110220xx yx y≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则的最小值为3.已知实数满足121yy xx y m≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数的最小值为-1，则实数m=4. 关于的不等式的解为或,则实数的取值范围为__________.5. 已知，求关于的方程有实数根的概率.6．若关于的不等式的解集中的整数恰有2个,则实数的取值范围是____7.设满足241,22x yx y z x yx y+≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则的最小值是____.8.已知不等式组1010330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D,若直线y=kx +1将区域D分成面积相等的两部分,则实数k的值是________________________________.回顾小结。
2019-2020年高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用人教版
2019-2020年高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用人教版考情动态分析函数是高中数学中的重要内容，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程，函数也是一条纽带，它把中学数学各个分支紧紧地连在一起，特别是新教材中的导数的涉入，使函数的内容更加充实、方法更加灵活，自然就成为高考的重点和热点．近几年高考试题中函数部分占有相当大的比重，所考查的内容主要有函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、反函数以及函数图象的变换等．其中多项式函数（含二次函数）、指数函数、对数函数仍是重点考核的内容．高考主要涉及：①直接通过具体函数考查某些性质；②以导数为工具围绕函数、不等式、方程综合考查；③函数与解析几何、数列等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题等综合性强的新颖试题．如xx年高考试题中的3、5、7、9题，xx年高考试题（江苏卷）中的8、11、22题，xx年高考试题（江苏卷）中的2、13、15、17、22题．二轮复习时要注意引导学生用函数的思想和方法去看待问题、解决问题，并揭示其内在联系．纵观近几年来的高考试题，以基础层次或中档难度的试题考查函数的图象，特别是图象的平移、对称变换，充分体现了图象在解题中的作用（数形结合的思想）．以中等难度、组合形式一题多角度考查函数的性质预计成为新的热点或方向．函数极易与不等式、方程、最值、参数的取值范围的探求及数形结合、解析几何综合在一起编拟综合性较强的高档解答题来测试对函数思想方法的理解与灵活运用，考查等价转化及数形结合、分类讨论等解题策略的理解和掌握程度．§1.1 函数的性质考点核心整合函数的性质主要体现在五个方面：1．能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域．确定函数定义域时，常从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不等于0；（2）偶次根式被开方数大于等于0；（3）对数式的真数大于零，底数大于0且不等于1；（4）指数为0时，底数不等于0．定义域经常和判定函数的奇偶性、求函数单调区间、求参数范围或解函数相关不等式相关联，在函数有意义的条件下转化求解．2．函数的值域在函数y= f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．确定函数的值域的原则：（1）当函数y = f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；（2）当函数y = f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；（3）当函数y = f (x )用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； （4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由实际问题的实际意义确定．值域的求法比较多，注意选择不同条件的适用性．如：判别式法、三角代换法、反函数法、不等式法、单调性法、图象法、数形结合法、导数法．值域往往与实际问题中的最优值或数列问题相关联． 3．函数的奇偶性如果对于函数y = f (x )定义域内的任意一个x ，都有f (-x ) = – f (x )[ f (-x ) = f (x )] ，那么函数f (x )就叫做奇函数（偶函数）．在此定义中，只有当函数定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称，这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判断． 4．函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f (x )，若对于任意x 1、x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2) [f (x 1)＞f (x 2)]，则称在区间D 上为单调函数．反映在图象上，若函数f (x )是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左向右是上升（下降）的．或如果函数f(x)在给定区间(a ，b )上恒有f '(x )＞0[f '(x )＜0]，则称f (x )在区间(a ，b )上是增（减）函数，(a ，b )为f (x )的单调增（减）区间． 5．函数的周期性设函数y = f (x )，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得任何x ∈D ，都有f (x + T ) = f (x )，则函数f (x )为周期函数，T 为y = f (x )的一个周期．周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现．注意从代数变换角度分析． 考题名师诠释【例1】设函数f (x ) = - x1 + |x |（x ∈R ），区间M = [a ，b ](a ＜b ），集合N = {y |y = f (x )，x ∈M }，则使M = N 成立的实数对(a ，b )A ．0个B ．1个C ．2个D 解析 由f (-x ) = -f (x )，可得f (x ) = - x1 + |x |是奇函数，故f (x )的图象关于原点成中心对称．当x ＞0时，f (x ) = -x1 + x，据此可以作出f (x )在x ∈R 上的图象（如图所示）．观察f (x )的图象可知，f (x )在R 上是减函数，要使M = [a ，b ](a ＜b )与N = {y |y = f (x )，x ∈M }相等，必须a ＜0，b ＞0（由图可知a 、b 同号显然不能满足题意）．故有⎩⎨⎧ f (a ) = b ，f (b ) = a ．即⎩⎨⎧ - a 1 - a = b ， - b 1 - b = a ．，解得a = b = 0，与题设a ＜b 矛盾，从而不存在满足题意的实数对(a ，b )，应选A ．答案 A评述 本题为存在性问题，它融函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及函数图象于一炉，颇有新意，解题时要善于从函数表达式中捕捉函数的性质，通过考察函数图象的特征来处理问题，这就需要我们有较强的数形转化能力．【例2】已知函数f (x ) = 13x 3 + 12ax 2+ 2bx + c 在(0，1)内取得极大值，在(1，2)内取得极小值，求b - 2a - 1的取值范围． 解 f '(x ) = x 2+ ax + 2b ．依题意，方程x 2+ ax + 2b = 0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2．于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>'<'>'0)2(0)1(0)0(f f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++>++>012020b a b a b不等式组表示的平面区域如右图所示，其中A (-2，1)，B (-1，0)，D (1，2)． 设C (a ，b )为可行域（阴影部分）内任一点，而b - 2a - 1的几何意义为直线CD 的斜率． 由图可知k BD ＞k CD ＞k AD ，故 14＜b - 2a - 1＜1．评述 通过对函数f (x )求导，将f (x )在(0，1)内取得极大值、在(1，2)内取得极小值的问题转化为研究二次方程f '(x ) = x 2+ ax + 2b = 0根的分布问题，利用二元一次不等式组的几何背景，联系斜率公式，运用数形结合的数学思想求得取值范围． 深化拓展若此题条件不变，结论改为：求a 2+ b 2的取值范围． 答案：1＜a 2+ b 2＜5【例3】设偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数（b ＞a ＞0），试判断F (x ) = (12)f (x ) – x在区间[-b ，-a ]上的单调性，并加以证明．解 ∵f (x )是偶函数，且在[a ，b ]上单调递增．∴f (x )在[-b ，-a ]上单调递减，f (x ) - x 在[-b ，-a ]上单调递减． 故F (x ) = (12)f (x ) - x在[-b ，-a ]上单调递增．证明：设-b ≤x 1＜x 2≤-a ，a ≤-x 2＜-x 1≤b ，∴F (x 1)F (x 2) = (12)f (x 1) - x 1(12)f (x 2) - x 2 = (12)f (x 1) – f (x 2) + (x 2 – x 1) = (12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)． ∵f (x )在上[a ，b ]单调递增，f (–x 1)＞f (–x 2)，∴f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＞0．∴0＜(12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＜1．∴F (x 1)F (x 2)＜1．故F (x 1)＜F (x 2)．∴F (x )为[-b ，-a ]上的增函数． 评述 本题是采用定义法证明函数的单调性，也是最通用的方法，此外还有利用基本函数性质递推、导数法等方法．【例4】（xx 年上海模拟）已知集合M D 上满足下列性质的函数的全体：对于定义在D 中的任何两个自变量x 1、x 2(x 1≠x 2)，都有|f (x 1) – f (x 2)|＜|x 1 – x 2|成立． （1）当D = R 时，f (x ) = x cos+ sin[∈(0，π)]是否属于M D ，为什么？ （2）当D = R +时，试证明函数f (x ) = ax(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）是否存在一个集合D R +时，使得函数f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ？给出你的结论，并说明理由．（1）解 设任意x 1、x 2∈R (x 1≠x 2)，|f (x 1) – f (x 2)| = |( x 1 – x 2)cos| = |cos|| x 1 – x 2|，∵∈(0，π)，∴|cos|∈[0，1）． 又∵| x 1 – x 2|＞0，∴|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立． 故f (x ) = x cos+ sin ，∈(0，π)属于M D ．（2）证明 当D = R +时，f (x ) = a x(0＜a ＜1)不属于M D ． 举例：令x 1 = a n，x 2 =a n + 1（n ∈N *），此时| x 1 – x 2| = |a n – a n + 1| = an (n + 1)＜a ． 而|f (x 1) – f (x 2)| = |n – (n + 1)| = 1＞a ，则|f (x 1) – f (x 2)|＞| x 1 – x 2|． ∴f (x ) = ax(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）解 存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ．设x 1、x 2∈R +，且x 1≠x 2． 若|f (x 1) – f (x 2)| = |a x 1 – a x 2|=a | x 1 – x 2|x 1x 2＜| x 1 – x 2|成立，∵| x 1 – x 2|＞0，∴只需x 1x 2＞a 成立．故存在D = (a ，+∞)时，任取x 1、x 2∈(a ，+∞)都有|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立． ∴存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ． （注：D 的存在是不唯一的，对于的非空子集均正确） 考能提升训练 一、选择题1．（xx 年全国卷Ⅰ，理7）设b ＞0，二次函数y = ax 2+ bx + a 2– 1的图象为下列之一，则a 的值为……………………… （ ） A ．1B ．-1C ．-1-52D ．-1+52（1） （2） （3） （4）2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞0，f (2) = (a + 1)(2a – 3)，则a 的取值范围是…………………………………………………… （ ） A ．a ＜32B ．a ＜32且a ≠-1C ．a ＞32或a ＜-1D ．-1＜a ＜323．(xx 年黄冈模拟)设函数f (x ) = log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x xx ) = 8，则f (x 12) + f (x 22)+ … + f (x xx 2)的值等于………………………………… （ ） A ．4B ．8C ．16D ．2log a 84．函数在y = a x 在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a 等于………………（ ） A ．12B ．2C ．4D ．145．(xx 年全国卷Ⅰ，8)设0＜a ＜1，函数f (x ) = log a (a 2x– 2a x– 2)，则使f (x )＜0的x的取值范围是 A ．(-∞，0) B ．(0，+∞) C ．(-∞，log a 3) D ．(log a 3，+∞)二、填空题6．(xx 年北京海淀模拟)函数y = x 2的图象F 按向量a = (3，-2)平移得到F'，则F' 的解析式为 ．7．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (12 - x ) = f (12 + x )，则f (1) + f (2) + f (3) = ．三、解答题8．已知函数y = 12log a (a 2x )·log a (ax )(2≤x ≤4)的最大值是0，最小值是- 18，求a 的值．9．已知f (x )是定义在[-1，1]上的奇函数，当a 、b ∈[-1，1]，且a + b ≠0时，有f (a ) + f (b )a + b＞0．（1）判断函数f (x )的单调性，并给以证明；（2）若f (1) = 1，且f (x )≤m 2– 2bm + 1对所有x ∈[-1，1]，b ∈[-1，1]，恒成立，求实数m 的取值范围．10．(xx 年山东卷，19)已知x = 1是函数f (x ) = mx 3– 3(m + 1)x 2+ nx + 1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m ＜0．（1）求m 与n 的关系表达式； （2）求f (x )的单调区间；（3）当x ∈[-1，1]时，函数y = f (x )的图象上任意一点的斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．简明参考答案一、1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 二、6．y = x 2– 6x + 7 7．0三、8．129．（1）增函数，证明略；（2）m ∈(-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞)． 10．（1）n = 3m + 6；（2）f (x )在(-∞，1 + 2m )，（1，+∞）上单调递减，在(1 + 2m，1)上单调递增；（3）-43＜m ＜0．。
2019-2020年高三数学立体几何专题复习教案
,
2
2
EF d 2 m2 n2 2mncos
③向量方法： 只要在两个半平面内各有棱的垂线、 （不必相 交），则向量、 所成的角的大小等于所求二面 角或其补角的大小。 另法： 设、分别为两个半平面的 法向量 ，则 它们所成的角的大小等于所求二面角或其补 角的大小。 对于棱未给出的二面角的求法可通过“作平 行线”法或“找公共点”法寻求棱。
问题十： 求距离 1． 立体几何主要研究以下八种距离：点点
距、点线距、点面距、线线距（平行线间 距离与异面直线间的距离） 、线面距、面 面 距及球面上两点间的 距离（课本 9.10 ）。 （ 1）无论哪种距离， 其定义原则有以下两条： 一是惟一性，二是最短原则。 （ 2）以上距离之间有些可以互相转化， 如两 平行线间距离可以转化成点线距，线面距与
距离公式可求出二面角，公式为：
问题八： 求平面的斜线与平面所成角 1． 传统几何方法： ①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的 角，通过直角三角形求解。 ②利用三面角定理（即最小角定理）求。 2． 向量方法： 设为平面的 法向量 ，直线与平
面所成的角为，则
a, n , a, n 0,
2
2
a, n
, a, n
d l 2 m2 n 2 2mncos
①定义。在具体问题中异面直线的给出是异
③三垂线定理及其逆定理：过一个半平面内
面线段形式表示的，因此由异面直线所成角
一点作另一半平面的垂线，过垂足在另一个
的定义我们可以选择两条线段的四个端点，
半平面内作棱的垂线得棱上一点（即斜足） ，
过其中一个端点作另外一条线段的平行线，
斜足与面上一点的连线和斜足与垂足连线所
①求公垂线段的长度
同一个半平面内的几何元素之间的关系是 不
2019-2020学年新人教A版必修一 函数 复习 教案
通过总结和归纳集合与函数的知识,能够使学生综合运用知识解决有关问题,培养学生分析、探究和思考问题的能力,激发学生学习数学的兴趣,逐步培养学生应用数学思想(数形结合、分类计论思想等)解决实际问题的能力.合作学习一、提出问题①第一节是集合,分为几部分?②第二节是函数及其表示,分为几部分?③第三节是函数的基本性质,分为几部分?④画出本章的知识结构图.二、应用示例【例1】若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有()A.P∩Q=⌀B.P⫋QC.P=QD.P⫌Q【例2】求函数y=x2+1的最小值.【例3】求函数y=的最大值和最小值.【例4】函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数三、变式训练1.设集合M={x|x>1},P={x|x2-6x+9=0},则下列关系中正确的是()A.M=PB.P⫋MC.M⫋PD.M∩P=R2.定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且x∉A∩B},则(A*B)*A等于()A.A∩BB.A∪BC.AD.B3.求函数f(x)=-的单调区间.四、作业课本P44复习参考题第5,7题.参考答案一、提出问题①分为:集合的含义与表示、集合间的基本关系和集合的基本运算三部分.②分为:函数的概念(定义、定义域、值域),函数的表示(列表法、图象法、解析法)两部分;其中又把函数的概念拓展为映射.③分为:单调性、最值和奇偶性三部分.④第一章的知识结构图如图所示,二、应用示例【例1】解析:从选项来看,本题是判断集合P,Q的关系,其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域,则集合P是数集;集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合,则集合Q是点集.故P∩Q=⌀.答案:A点评:判断用描述法表示的集合间关系时,一定要搞清两集合的含义,明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集,形如集合{(x,y)|x,y∈P(x,y),x,y∈R}是点集,数集和点集的交集是空集.【例2】解:方法一(观察法)∵函数y=x2+1的定义域是R,∴观察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函数y=x2+1的最小值是1.方法二:(公式法)函数y=x2+1是二次函数,其定义域是x∈R,则函数y=x2+1的最小值是f(0)=1.点评:求函数最值的方法:观察法:当函数的解析式中仅含有x2或|x|或时,通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,≥0等,直接观察写出函数的最值;公式法:求基本初等函数(正、反比例函数,一次、二次函数)的最值时,应用基本初等函数的最值结论(看成最值公式),直接写出其最值.【例3】解:(判别式法)由y=得yx2-3x+4y=0,∵x∈R,∴关于x的方程yx2-3x+4y=0必有实数根.当y=0时,则x=0,故y=0是一个函数值;当y≠0时,则关于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程,则有Δ=(-3)2-4×4y2≥0.∴0<y2≤.∴-≤y<0或0<y≤.综上所得,-≤y≤.∴函数y=的最小值是-,最大值是.点评:形如函数y=(d≠0),当函数的定义域是R(此时e2-4df<0)时,常用判别式法求最值,其步骤是:①把y看成常数,将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0;②分类讨论m=0是否符合题意;③当m≠0时,关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R,则此一元二次方程必有实数根,得n2-4mk≥0,即关于y的不等式,解不等式组-此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域,从而得函数的最大值和最小值.【例4】解析:函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴是直线x=a,由于函数f(x)在开区间(-∞,1)上有最小值,所以直线x=a位于区间(-∞,1)内,即a<1.g(x)==x+-2a,下面用定义法判断函数g(x)在区间(1,+∞)上的单调性.设1<x1<x2,则g(x1)-g(x2)=(x1+-2a)-(x2+-2a)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)(1-)=(x1-x2)-.∵1<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1>0.又∵a<1,∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)<g(x2).∴函数g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,函数g(x)在区间(1,+∞)上没有最值.答案:D三、变式训练1.解析:P={3},∵3>1,∴3∈M.∴P⫋M.答案:B2.解析:设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7},于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B.答案:D点评:解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质,本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去由它们公共元素组成的集合.3.解:函数的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞).设y=,u=x2-1,当x≥0时,u=x2-1是增函数,y=是增函数,∴函数f(x)=-在[1,+∞)上是增函数.当x≤0时,u=x2-1是减函数,y=是增函数,∴函数f(x)=-在(-∞,-1]上是减函数,即函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,-1].点评:复合函数是指由若干个函数复合而成的函数,它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系,其单调性的规律为:“同增异减”,即复合函数y=f[g(x)],如果y=f(u),u=g(x)有相同的单调性时,函数y=f[g(x)]为增函数,如果具有相异(即相反)的单调性,则函数y=f[g(x)]为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是:①求复合函数的定义域;②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性;③依据复合函数的单调性规律口诀:“同增异减”,判断或写出函数的单调性或单调区间.注意:本题如果忽视函数的定义域,会错误地得到单调递增区间是[0,+∞),单调递减区间是(-∞,0].其避免方法是讨论函数的性质时要遵守定义域优先的原则.。
2019-2020年高三数学第一轮复习教案人教版
2019-2020年高三数学第一轮复习教案人教版【教学目标】1．让学生掌握函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法；2．让学生了解函数图象的自对称和两函数图象之间的相互对称问题．【教学重点】函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法 【教学难点】自对称和相互对称的区别【例题设置】例1、例2、例3（函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法），例4（函数的对称问题）【教学过程】一、函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法 〖例1★ 点评：将点改为函数图象或曲线解法类似，其步骤大致如下：将所求曲线上的任意一点，求其关于点（或直线）的对称点，再将点的坐标代入原方程，即可得到所求的轨迹方程．因此所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题,只要记住对称点的写法,问题便迎刃而解.〖例2〗 已知函数，则其关于原点对称的函数解析式为 ；关于直线对称的函数解析式为 ． 答案：；当对称轴斜率为1时，点坐标符合口诀：用代，用代．〖例3〗 已知定义在上的奇函数的图象与函数的图象关于点对称，且当时，，求的解析式．解：① 设（）为的图象上的任意一点，则其关于点的对称点（）必在的图象上，故 ∴当时， ② 当时，，且为奇函数∴33()()()f x f x x x =--=--= 综上所述， ．〖例4〗 设函数的定义域为，则下列命题中： ① 若为偶函数，则的图象关于轴对称； ② 若是偶函数，则的图象关于直线对称； ③ 若，则的图象关于直线对称； ④ 若，则的图象关于直线对称； ⑤ 与图象关于直线对称． ⑥ 与图象关于直线对称．其中正确命题的序号为： ． 答案：④⑥★点评：其中注意④⑤的区别，指的是的图象自身的一种对称关系；而与是函数通过复合变换后得到的两个新的函数图象，要求的应是这两个函数图象的对称关系．二、函数图象本身的对称性（自身对称）命题1：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于直线对称． 推 论：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．命题2：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于点对称． 推 论：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于点对称．三、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 命题3：函数与的图象关于直线对称． 命题4：函数与的图象关于点成中心对称．下面只给出命题1的证明，其它命题及推论的证明类似． 证法一：由知函数为偶函数，其图象关于轴对称思考： 情形一中的范围是如何给出的，为何要限定其范围？另一方面，将的图象向右（）或向左（）平移个单位得到的图象，故函数的图象关于直线对称．证法二：由知点与点都是函数上的点，而的中点为，即点关于直线对称，由点的任意性可知，函数的图象关于直线对称．证法三：设点为函数的图象上的任意一点，其关于直线对称的点为． ∵对于一切的，都有∴0000(2)[()]()f a x f a a x f x y -=--==即点也在函数的图象上 由点的任意性可知，函数的图象关于直线对称．四、函数的周期性命题5：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数是以为周期的周期函数． 命题6：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数是以为周期的周期函数．【课堂小结】1．所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题，要牢记例1的结论；2．给出的如果是函数自身的一个关系，则：若前系数互为相反数，则是有关对称性；若前系数相同，则有关周期性．3．自对称和相互对称的区别：第一类，是反映函数自身内部的对称关系；第二类中，是研究由函数复合变换后得两个新的函数图象间的关系．【教后反思】2019-2020年高三数学第一轮复习教案数列的求和方法及应用[素质教育目标] 一、 知识目标要求学生熟练掌握和运用等差、等比数列的前n 项和的公式及一个数列求前n 项和的基本方法和技巧。
2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版
2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版【教学目标】正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题。
【知识梳理】O1．斜线长定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短．B A2．重要公式C D如图，已知OB 平面于B ，OA 是平面的斜线，A 为斜足， 直线AC 平面，设OAB=1，又CAB=2， OAC= ．那么cos =cos 1cos 2． 3．直线和平面所成的角①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角 中最小的角．②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平 面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行 或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角．4．三垂线定理和三垂线定理的逆定理 名称语言表述图示字母表示应用①证两直线垂直 ②作点线距 ③作二面角 的平面角在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 三垂线定理斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.三垂线在平面内的一条直线, 定理的同上如果和这个平面的一条逆定理斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.重要提示三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面 直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓 住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”． 【点击双基】1．下列命题中，正确的是 ( ) (A)垂直于同一条直线的两条直线平行 (B)平行于同一平面的两条直线平行(C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线(D)a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是两条相交直线，则a 、b 也是相交直线 2．直线a 、b 在平面内的射影分别为直线a 1、b 1，下列命题正确的是( ) (A)若a 1b 1，则a b (B)若a b ，则a 1b 1 (C)若a 1b 1，则a 与b 不垂直 (D)若a b ，则a 1与b 1不垂直3．直线a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则a 与b 是 ( )(A)异面直线 (B)相交直线(C)异面直线或相交直线 (D)异面直线或平行直线4．P 是△ABC所在平面外一点，若P 点到△ABC各顶点的距离都相等，则P 点在平面ABC 内的射影是△ABC的 ( )(A)外心(B)内心(C)重心5．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各边的距离都相等，且P点在平面ABC内(D)垂心的射影在△ABC的内部，则射影是△ABC的( )(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心6．P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若PA BC，PB AC，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的( )(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心7．从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成的角为．这两条斜线段在平面内的射影成的角为(90<180)，那么与的关系是(A)<(B)>(C)(D)8．已知直线l1与平面成30角，直线l2与l1成60角，则l2与平面( )所成角的取值)范围是((A)[0,60] (B)[60,90] (C)[30,90] (D)[0,90]【典例剖析】例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对棱也互相垂直．已知：四面体ABCD中，AB CD，AD BC；A 求证：AC BD；证法一：作AO平面BCD于O， ca连OB、OC、OD ，∵AB CD ，∴OB CD，同理，由AD BC得OD BC，∴O是△BCD的垂心，∴OC BD，从而AC BD．bD BO证法二：设=a，=b，=c，则=b a，=c a，=c b，∵AB CD，AD BC，∴a(cb)=0，c(ba)=0，则ac=ab，ac=cb．∴ab=cb，即abcb=0，从而有b(ca)=0，故．例2．如图，在三棱锥PABC中，ACB=90，ABC=60，PC平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分别是PA、PB的中点，设△MNC所在平面与△ABC所在平面交于直线l．(1)判断l与MN的位置关系，并进行证明；(2)求点M到直线l的距离．P解：(1)l MN，证明如下：∵M、N分别是PA、PB的中点，MQ N∴MN ∴MN AB，MN平面ABC，AB平面ABC，平面ABC．又∵MN平面MNC，A B平面MNC平面ABC=l，∴MN l．l (2)取AC的中点Q，连MQ，则MQ而PC平面ABC，∴MQ平面ABC．PC， D作QD直线l于D，连MD，则MD直线l．线段MD的长即为M到直线l的距离．在Rt△ABC中，可求得AC=4，∴QC=2．又MQ=PC=3，QCD=30，∴QD=QC=．于是MD==2．例3.如图，P 是ΔABC 所在平面外一点，且PA⊥平面ABC 。
分段函数的几个问题高三数学总复习教案 新课标 人教版 教案
分段函数的几个问题高三数学总复习教案与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解的方法．一、求分段函数的函数值例1 已知函数求f{f[f(a)]} (a<0)的值。
分析求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由a<0, f(a)=2a，又0<2a <1, ,,所以，。
注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．二、求分段函数的解析式例2 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示：(I)写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)；(II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?解析： (I)由图l可得市场售价与时间的关系为由图2可得种植成本与时间的函数关系为（0≤t≤300）。
(II)设t时间的纯收益为h(t)，由题意得h(t)=f(t)-g(t)再求h(t)的最大值即可。
注：观察图1，知f(t)应是一个关于t的一次分段函数，观察图2可知g(t)是关于t的二次函数，可设为顶点式，即设g(t)=a(t-150)2+100。
三．求分段函数的最值例3．求例2中的利润函数（即上市的西红柿收益）在何时上市可使西红柿的纯收益最大？解析：当0≤t≤200时，配方，整理，得所以当t=50时，h(t)取得区间[0,200]上的最大值100；当200<t≤300时，配方，整理，得。
所以当t=300时，h(t)取得(200,300]上的最大值87.5。
综上，由100>87.5知，h(t)在区间[0,300]上可取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。
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2019-2020年高三数学总复习教案新课标人教版(I)
函数的单调性有广泛的应用，利用它可以解方程与不等式，求最值，求参数的取值范围。
也可以证明等式与不等式等问题，其中有些问题的解法巧妙、简捷。
现举例如下：1．比较大小
例1．比较与的大小：
解：，
由于及0<lg8<lg9，即，
又∵ y=lgx是(0,+¥)上的增函数，
∴。
2．解方程
例2．解方程。
解：∵ y=a x(a>1)在R上是增函数，
又∵,
∴,
,
(1)+(2),,
当时取“=”号，
∴解得，
∴原方程的解是。
3．证方程至多有一个实根
例3．试证方程x3+x+1=0至多有一个实根。
证：（反证法）。
令f(x)=x3+x+1，则原方程写为f(x)=0. 设f(x)=0至少有两个实根x1,x2，且x2>x1,
∴ f(x1)=f(x2)=0 (1)
∵ f(x)=x3+x+1在R上是增函数，
又∵ x2>x1, ∴ f(x2)>f(x1) (2)
由(1),(2)知，两者矛盾，
故方程x3+x+1=0至多有一个实根。
4．解不等式
例4．解不等式(2x-1)5+2x-1<x5+x.
解：原不等式两边的结构都是t5+t的形式，故令f(t)=t5+t, 则原不等式可写为
f(2x-1)<f(x),
∵ f(t)=t5+t在R上是增函数，
∴由f(2x-1)<f(x)得2x-1<x，解得：x<1.
∴原不等式的解是x<1。
5．求值
例5．已知(4x+y)7+x7+5x+y=0，求5x+y的值。
解：把条件等式变形为(4x+y)7+(4x+y)=-(x7+x).令f(t)=t7+t，则上式可写为f(4x+y)=-f(x).
又∵ f(x)=x7+x是奇函数，f(-x)=-f(x),
∴ f(4x+y)=f(-x),
∵ f(t)=t7+t在R上是增函数，
∴由f(4x+y)=f(-x)得4x+y=-x故5x+y=0。
6.求最大（小）值
例6．求函数最大（小）值。
解：令，则
∴在[-3，4]上是增函数，
∴当x=-3时y最小=；
当x=4时，。
例7．求函数在上的最小值。
解：把条件式化为，可以证得f(x)在上是减函数，在上是增函数，
∴当。
注：利用的单调性。
7．证条件不等式
例8．已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1，求证：。
证：条件不等式两边皆为两个互为倒数的代数式之和，于是令,且1>x2>x1>0,则
∴在(0,1)上是减函数，
又∵, ∴.
即。
例9．已知|a|<1, |b|<1,|c|<1，求证abc+2>a+b+c.
证：令函数f(a)=abc+2-a-b-c=(bc-1)a+2-b-c, 视它为关于a的一次函数。
∵ |b|<1, |c|<1, ∴bc-1<0,
故一次函数f(a)在(-1,1)上是减函数，
又f(1)=(1-b)(1-c)>0,
∴ f(a)>0，即abc+2>a+b+c.
8．证函数的性质
例10．试证函数f(x)=x-asinx(x∈R, 0≤a<1)具有反函数。
证：设x1, x2是任意两个实数，且x1<x2,
则
∵,
∴,
∴, 而x2-x1>0, ∴ f(x2)>f(x1).
∴函数f(x)在0≤a<1条件下，在R上是增函数，因而f(x)存在反函数。