SXA225高考数学必修_例谈正难则反的“补集思想”
【高考数学二轮复习压轴题微专题】第19讲 正难则反与反证法-解析版
第19讲正难则反与反证法正与逆通常指事物矛盾的双方，反映在数学解题中，主要体现于解题的思维进程中，一般的解决问题的过程，总是先从正面入手进行思考，即从条件出发顺向的思考，这是解题的一种基本的思想方法.大量的习题都是循着正向思维来解决的，强化这种思维定式，在数学解题中有着决定性的作用，但有时会遇到从正面入手不易解决，即正向思维受阻的情况.根据事物往往互为因果，具有双向性和可逆性的特征，此时应从问题的反面去思考，“顺难则逆、直难则曲、正难则反”，顺向推导有困难就逆向推导，直接证明有困难就间接证明，正向求解有困难就反向逆找，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性，等式证明从左到右不顺利时就从右到左，即从对立的立场、角度、层次、侧面去进行思考，从而使问题获得解决“正难则反”的解题方法常能收到意料不到的功效，这种“逆”恰好弥补了“正”的不足。
正难则反的解题方法的运用主要包括两个方面：一是使用定义、定理、公式、法则时的逆向思维；二是运用思想方法时的逆向思维，它包括举反例、反证法、分析法、同一法、主客元的互换、分子有理化、补集思想等方法策略，因为运用逆向思维解题能打破常规，所以解法往往不落俗套.中国历史上流传至今的“草船借箭”与“司马光砸缸”的故事，其魅力概源于逆向思维.三国时代周瑜妒忌诸葛亮的才能，委托诸葛亮10日之内督造出10万支箭，这根本是办不到的，诸葛亮明知周瑜要害他但还是痛快地答应只需3天便可造出10万支箭，但诸葛亮压根就没有去造，而是“借”，并且不是从朋友，而是从敌人曹操那里去借，并且获得成功，这是诸葛亮处处留心观察天时、地利，精心筹划，随着实际情况而灵活运用的成果，这种开放性思考是周瑜辈所“望尘莫及”的.同样，司马光砸缸救人的故事也体现了逆向思维的功效.因为在一般人的思维中，有人落水，要救人必须让“人离开水”，而仅靠一起玩要的小伙伴，要做到把人营救出水缸是不可能的，司马光的机智在于面对紧急险情，果断地用石头把缸砸破，让“水离开人”，巧妙地运用“正难则反”的策略解决问题，在数学学习中应加强逆向思维的训练，注意以下几点：(1)数学命题中，定理不一定可逆，但定义总是可逆的，应当学会从正反两个方面运用定义，提升数学思维的灵活性的水平.(2)注意公式的逆用.逆用公式与顺用公式同等重要，有时将公式反用或适当改变公式形式再用，往往能收到化繁为简的效果.(3)对数学常规问题提法与推断进行逆向思考.(4)注意解题中的可逆性原则.正难则反分析体现得最完美的是反证法，证明一个数学命题，当直接证法难以实施时，则可考虑用反证法这一间接证法.但话说回来，何谓反证法?一般地，在证明一个命题时，从命题结论的反面人手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的逻辑推理，导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了“结论反面成立”的假设是错误的，从而达到了证明结论正面成立的目的，这样一种证明方法就是反证法.反证法是一种最常见的证明方法，成语“自相矛盾”中“以子之矛攻子之盾”，正是采用了反证法。
高中数学人教版(新教材)必修1教学设计1：1.3 第2课时 补 集
1.3 第2课时补集教学目标1.理解补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn 图.3.会求补集，并能解决一些集合的综合运算问题.教学知识梳理知识点一 补 集 自然语言对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 集合语言∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }图形语言性质①A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅； ②∁U U ＝∅，∁U ∅＝U 题型一 补集的运算例1 (1)已知全集U ＝{a ，b ，c }，集合A ＝{a }，则∁U A 等于( )A.{a ，b }B.{a ，c }C.{b ，c }D.{a ，b ，c } 『答案』C『解析』∁U A ＝{}x |x ∈U 且x ∉A ＝{}b ，c .(2)若全集U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}，则∁U A 等于( )A.{x |0<x <2}B.{x |0≤x <2}C.{x |0<x ≤2}D.{x |0≤x ≤2}『答案』C『解析』∵U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}，∴∁U A ＝{x |0<x ≤2}，故选C.反思感悟 求集合的补集，需关注两处：一是确认全集的范围；二是善于利用数形结合求其补集，如借助Venn 图、数轴、坐标系来求解.跟踪训练1 (1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A ＝________.『答案』{3,4,5}(2)已知全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合A ＝{b ，c ，d }，B ＝{c ，e }，则(∁U A )∪B 等于( )A.{b ，c ，e }B.{c ，d ，e }C.{a ，c ，e }D.{a ，c ，d ，e }『答案』C『解析』∁U A ＝{a ，e }，(∁U A )∪B ＝{a ，c ，e }.(3)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 等于( )A.{x |x <1或x ≥3}B.{x |x ≤1或x >3}C.{x |x <1或x >3}D.{x |x ≤1或x ≥3}『答案』B『解析』U ＝R ，∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}.题型二 补集的应用例2 (1)设全集U ＝{1,3,5,7}，集合M ＝{1，|a －5|}，∁U M ＝{5,7}，则a 的值为________. 『答案』2或8『解析』由U ＝{1,3,5,7}，M ＝{1，|a －5|}，∁U M ＝{5,7}知M ＝{1,3}.∴|a －5|＝3，∴a ＝8或2.(2)已知A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}，∁U B ＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B . 解 ∵A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}，∴U ＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.而∁U B ＝{－1,0,2}，∴B ＝∁U (∁U B )＝{－3,1,3,4,6}.反思感悟 从Venn 图的角度讲，A 与∁U A 就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A )∩A ＝∅，(∁U A )∪A ＝U ，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.跟踪训练2 (1)已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x >2a ＋1}，若A ∩(∁R B )＝∅，则实数a 的取值范 围是_____________.『答案』{a |a <0}『解析』∁R B ＝{x |x ≤2a ＋1}.由A ∩(∁R B )＝∅，∴2a ＋1<1，∴a <0.(2)设全集U ＝{0,1,2,3}，集合A ＝{x |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 『答案』－3『解析』∵U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}.∴0,3是x 2＋mx ＝0的两个根，∴m ＝－3.题型三 集合的综合运算例3 (1)已知全集U ＝{}1，2，3，4，5，6，集合P ＝{}1，3，5，Q ＝{}1，2，4，则(∁U P )∪Q 等于( )A.{}1B.{}3，5C.{}1，2，4，6D.{}1，2，3，4，5『答案』C『解析』∵∁U P ＝{}2，4，6，∴(∁U P )∪Q ＝{}1，2，4，6.(2)已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________. 『答案』{a |a ≥2}『解析』∵∁R B ＝{x |x <1或x >2}且A ∪(∁R B )＝R ，∴{x |1≤x ≤2}⊆A ，∴a ≥2.反思感悟 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限集合混合运算可借助Venn 图，与不等式有关的可借助数轴.跟踪训练3 (1)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ≠N ，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N 等于( )A.MB.NC.ID.∅『答案』A『解析』如图所示，因为N ∩(∁I M )＝∅，所以N ⊆M ，所以M ∪N ＝M .(2)设集合A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∩B ＝{2}.①求a 的值及A ，B ；②设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )；③设全集U ＝A ∪B ，写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集.解 ①因为A ∩B ＝{2}，所以2∈A ，且2∈B ，代入可求得a ＝－5，所以A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}. ②由①可知U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2，所以∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， 所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. ③由②可知(∁U A )∪(∁U B )的所有子集为∅，{－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. 核心素养之数学运算根据补集的运算求参数典例 (1)设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m |,6}，∁U A ＝{5}，求实数m . 解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝5，|3－2m |≠5， 由m 2－m －1＝5，得m 2－m －6＝0，∴m ＝－2或m ＝3.①当m ＝－2时，|3－2m |＝7≠5，此时U ＝{3,5,6}，A ＝{6,7}，不符合要求，舍去；②当m ＝3时，|3－2m |＝3，此时，U ＝{3,5,6}，A ＝{3,6}满足∁U A ＝{5}.综上所述m ＝3.(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}，且A ⊆(∁U B )，求实数a 的取值范围.解 若B ＝∅，则a ＋1>2a －1，即a <2，此时∁U B ＝R ，所以A ⊆(∁U B ).若B ≠∅，则a ＋1≤2a －1，即a ≥2，此时∁U B ＝{x |x <a ＋1或x >2a －1}，又A ⊆(∁U B )，所以a ＋1>5或2a －1<－2，所以a >4或a <－12(舍去). 所以实数a 的取值范围为{a |a <2或a >4}.『素养评析』(1)由集合的补集求解参数的方法①有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.②无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.(2)理解运算对象，掌握运算法则，选择运算方法，求得运算结果，充分体现了数学运算的数学核心素养.课堂小结1.全集与补集的互相依存关系(1)补集是集合之间的一种运算.求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(2)∁U A 的数学意义包括两个方面：首先必须具备A ⊆U ；其次是定义∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }，补集是集合间的运算关系.2.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A ，求A .达标检测1.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于()A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6}『答案』C2.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}『答案』D3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()A.{x|－2<x≤1}B.{x|x≤－4}C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}『答案』C4.设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则(∁U M)∪N＝________.『答案』{0,2,3}5.设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁U A与∁U B的关系是________. 『答案』∁U A∁U B『解析』∁U A＝{4,5,6，…}，∁U B＝{3,4,5,6，…}，∴∁U A∁U B.。
“正难则反”解题思想举例
‘ ◆
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－◆
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－．
－◆
・◆
－◆
一＋
证明
・ ．
连接 Ａ ，
‘
四边形 Ａ Ｃ Ａ Ｆ Ｂ Ｄ，Ｅ Ｇ都 是 正 方 形 ．
Ｂ＝ Ｇ＝９ ． ０。
。
．
．
由题 意 知 Ａ Ａ 又 Ａ ＝ Ｈ Ｇ＝ Ｂ， Ｈ Ａ
‘ ． ．
０
Ｄ
Ｃ
Ｄ
ｊ
’
． ．
Ｒ ＡＡ Ｈ￣ Ｒ Ａ Ｈ（ Ｌ ， ｔ Ｇ ｔ Ｂ Ｈ ） Ａ
获得．
例 ２ 已知两 个 正数 的立 方 和是 最 小 的质数 ， 求
证 ： 两个数之和不大于 ２ 这 ．
分析
若设 两个正 数为 ａ ｂ则 ｎ ＋６ ２ 现在 就 、 ， ： ，
是要 在此 条件 下 ， 比较 。＋ｂ与 ２的大 小． 里结 论 已 这
知 ， ｏ＋ ≤２ 而要 加 以证 明 ， 反 证 法 更 适 宜 ． 即 ｂ ， 用
四 、 执 因导 果 反
式从左至右每一项逐级 升幂排列这一 特点 ， 为减 轻计算 负担 ， 取倒序排列方式加 以解决．
解 ： 式 ： 一 ～２ 原 ２ ２ 一２ 一２ 一２ 一２ 一２ ’一２
＋２
：
２ （ 。 ２—１ ）一２ 一２ 一２ 一２ 一２ 一２ 一２ ＋２
． 。＋ 。．
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解题忠想荤铡
… ．
堑焦焦 直拳周１三堑釜 ． 农 Ｉ史 蕊 茔… 董
“ 正难则反” 解题思想 方法 在数学篇题 中时常运用 ，
“正难则反”策略在数学解题中的应用举例
【摘要】解题策略是解答数学问题时，总体上采取的原则、方针或方案。
解题策略不同于具体的解题方法，它是指导方法的原则，是解题途径的概括性认识和宏观把握。
在数学解题时，人们思考的习惯大多是正面的、顺向的。
可是有些数学问题如果正面的、顺向进行，则难以解决，这时就应该转为反面的、逆向思考，这就是正难则反策略。
这种策略提醒我们，顺向推导有困难时就逆向推导，正面求解有困难时就反面求解，直接求解不奏效时就间接进行，有着四两拨千斤之巧妙。
本文通过例题对“正难则反”解题策略进行了分析，充分体现了“正难则反”策略在解题时的强大功效。
【关键词】解题策略；正难则反；逆向思维中图分类号：g62文献标识码a文章编号1006-0278（2015）10-168-04一位农夫请了物理学家、工程师和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。
工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。
物理学家将篱笆拉成一条直线，假设篱笆有无限长，认为围起半个地球总够大了。
数学家一声不响地用很少的篱笆把自己围起来，说道：“我现在是在外面”。
无独有偶，为了修建一座动物园，决策者特意举行了专家论证会。
关于“怎样才能捉住老虎”这个问题，有专家建议找最勇敢的人并配置最先进的装备；有专家建议挖最隐蔽的陷阱并投放最美味的诱饵；还有的专家建议花重金到别的动物园购买老虎幼仔……但决策者对这些建议均感到不满意。
“我只需要用一个拓扑变换，把笼子内部变成外部，而把外部变成内部。
不管哪里有老虎，都可以用这种办法捉到。
”一位拓扑学家的话使决策者恍然大悟：即使没有办法把老虎关在动物园的笼子里，却完全可以把动物园建到有老虎的地区，让老虎在自然环境下生活，把参观者关进活动的“笼子”，使之在密封的汽车里游览。
要把老虎关进笼子里，的确不是件容易的事，但把游人关进“笼子”里却很简单。
这种思维方式称为“正难则反”。
有许多数学问题，从正面入手不容易找到解决途径，有时虽有线索，但困难重重。
如果改由反面入手，通过逆向的探索常常能出奇制胜。
正难则反——补集思想的一些简单运用
正难则反——补集思想的一些简单运用●基本内容在集合这一节中，我们知道了补集与全集的概念。
我们也了解到，某一个集合的补集必定是相对于某个特定的全集而言的。
而对于某一件事、某一道题，全集是特定的，在已知一个子集的条件下，我们也就有了两个选择，是选择从这个子集即正面入手，还是反过来另辟蹊径，从问题的对立面即反面入手呢？当然，大家都会说，那个简单就选择那个；对，就是这样，反难则易，正难则反。
这个小专题我们讲的就是反面容易、正面很难的情形。
正难则反——补集思想的一些简单运用。
●案例探究例1：已知集合2=-++=∈，若A R-≠∅，求实{4260,}A x x mx m x R数m的取值范围．解题分析：集合A是方程24260-++=①x mx m的实数解组成的集合，A R-≠∅意味着方程①的根有：(i)两负根；(ii)一负根、一零根；(iii)一负根、一正根三种情况．分别求解相当麻烦．上述三种情况虽可概括为方程①的较小的根<，但求解此不等式也并不简单，如果考虑A R -≠∅的反面：A R -=∅，则可先求方程①的两根均非负时m 的取值范围，然后运用补集思想求解A R -≠∅时m 的取值范围．解： 设全集23{168240}{1}2U m m m m m m =∆=--≥=≤-≥或方程24260x mx m -++=的二根12,x x 均非负时的等价条件是：2121231164(26)0,240,0260,3m m m x x m m x x m m ⎧≥≤-⎪⎧∆=-+≥⎪⎪+=≥≥⎨⎨⎪⎪=+≥≥-⎩⎪⎩或m 即 ∴32m ≥∴A R -=∅时，实数m 的取值范围是3{}2m m ≥ ∴A R -≠∅时，实数m 的取值范围是3{}2m m ≥关于U 的补集{1}m m ≤- ∴AR -≠∅时，实数m 的取值范围是{1}m m ≤- [点评]在讨论比较复杂的情况时，可考虑先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略．具体地说，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合U ，则U 的补集即为所求．一般地说，当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确时，宜考虑用补集的思想方法。
巧用“正难则反”策略解决数学问题
巧⽤“正难则反”策略解决数学问题2019-09-16摘要：本⽂通过列举⼀系列例题，分别从证明问题，参数问题，排列组合问题，概率问题，展⽰了在正⾯⼊⼿解题繁琐、困难的情况下，考虑从问题的反⾯切⼊却迎刃⽽解；从“反⾯进攻”往往是攻克数学“堡垒”的有效⽅法。
关键词：策略解题；正难则反；反⾯进攻在解决数学问题的⽅法中，分析法、常量与变量的换位、补集法、反证法、同⼀法等⽅法、技巧都是对“正难则反”的解题策略的应⽤。
这些⽅法技、巧通常是从逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转⾓度等转化⽅法上⼊⼿的。
解题⼀般总是从正⾯⼊⼿，习惯正向思维；但有些数学问题如果从正⾯⼊⼿，求解繁琐、难度较⼤，不妨打破思维常规采⽤“正难则反”策略，即考虑问题的相反⽅⾯，结合补集思想，利⽤“对⽴事件”，往往能开拓解题思路、简化运算过程，下⾯举例说明。
1 证明问题例1：如果⼀个整数的平⽅是偶数，那么这个整数本⾝也是偶数，试证之。
分析：由“ 整数的平⽅是偶数”这个条件，很难直接证明“这个整数本⾝也是偶数”这个结论成⽴，因此考虑从反⾯⼊⼿⽤反证法证明。
证明：假设整数不是偶数，那么可写成n=2κ+1，κ∈Z 则这与已知条件⽭盾，则假设不成⽴，故整数n本⾝也是偶数。
例2：已知函数f（x）对其定义域内的任意两个实数a，b ，当a证明： f（x）=0⾄多有⼀个实数根。
解析：假设f（x）=0⾄少有两个实数根x1，x2，设，则f（x1）所以假设错误，故f（x）=0⾄多有⼀个实数根。
点评：1.1 反证法的步骤：（1）假设命题反⾯成⽴；（2）从假设出发，经过推理得出与题设⽭盾，或者与定义、公理、定理⽭盾；（3）得出假设命题不成⽴是错误的，即所求证命题成⽴。
1.2 ⽭盾的来源：（1）与原命题的条件⽭盾；（2）导出与假设相⽭盾的命题；（3）导出⼀个恒假命题。
1.3 适⽤环境：待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“⾄少”、“⾄多”、“唯⼀”等字眼时。
2 参数问题例3：已知集合P={x│4≤x≤5，x∈R} ，Q ={x│κ+1≤x≤2κ-1，x∈R}，求P∩Q≠Q时，实数κ的取值范围。
“对立统一”,“正难则反”——数学破题技法(六)
“对立统一”，“正难则反” ——数学破题技法（六）哲学上有个“矛盾”概念，所谓矛盾，即事物自身包含的既对立又统一的关系。
简言之，矛盾就是对立统一。
也就是说，矛盾双方，你中有我，我中有你，相互包含，相互贯通，在一定条件下，矛盾双方可以相互转化，这里“关键在于条件”，有了条件，矛盾双方有了转化的可能，数学上的“正难则反”就是一种“转化”。
既然正面遇上困难，那就回头是岸，向反方向走去。
比如：与排列组合、概率有关的试题，往往应走“正繁则反”的道路，而一切否定式的命题，则应首选反证法.因为原命题与其逆否命题一定等价，只要推倒了命题结论的反面，正面自然顺理成章地成立. ▲典例示范【例1】 求证：抛物线没有渐近线.【分析】 二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线？人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？“正难反收”，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？【证明】 不妨设抛物线方程为y 2=2px . 假定此抛物线有渐近线y =kx+b , ∵x =py22, 代入直线方程，化简得：ky 2-2py +2pb =0. ①可以认为：曲线与其渐近线相切于无穷远处，即如方程①有实根y 0, 那么，y 0→∞,或y y•y '=→1,010令, 方程①化为：2pby ′2-2py ′+k =0. ②方程②应有唯一的零根, y ′=0代入②得：k =0.于是抛物线的渐近线应为y=b . 这是不可能的，因为任意一条与x 轴平行的直线y=b , 都和抛物线有唯一公共点(•b pb,22), 因而y=b 不是抛物线的渐近线，这就证明了：抛物线不可能有渐近线.【例2】 设A 、B 、C 是平面上的任意三个整点（即坐标都是整数的点），求证：△ABC 不是正三角形.【分析】 平面上的整数点无穷无尽的多，可以组成无穷无尽个各不相同的三角形，要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么办？正难反做！【解答】 假定△ABC 为正三角形，且A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3)均为整点，不妨设x 2≠x 1, ∵k AB =1212x x y y --, ∴直线AB 的方程为：).(112121x x x x y y y y ---=-即x (y 2-y 1)-y (x 2-x 1)+x 2y 1-x 1y 2=0. 点C (x 3, y 3)到AB 的距离..)()()()(2122122112123123y y x x y x y x x x y y y x d -+--+---=但是|AB |=212212)()(y y x x -+- ∴S △ABC =d AB ∙||21= (x 3y 2-x 2y 3)+(x 2y 1-x 1y 2)+(x 1y 3-x 3y 1).即S △ABC 为有理数. 另一方面， S △ABC =].)()[(43||432122122y y x x AB -+-=①∵|AB |≠0, ∴S △ABC 为无理数. ② ①与②矛盾，故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.【例3】 设f (x )=x 2+a 1x +a 2为实系数二次函数,证明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于.21【分析】 三数中至少有一个不小于21的情况有七种，而三数中“都小于21”的情况只有一种，可见“正面”繁杂，“反面”简明，也应走“正难反收”的道路. 【解答】 假定同时有：| f (1)|<21、| f (2)|<21、 | f (3)|<21, 那么：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+<--<+<--<+<-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-•③217a a 3219•②27a a 229•①21a a 2321a a 392121a a 242121a a 121212121212121 ①+③: -11<4a 1+2a 2<-9 ④ ②×2: -9<4a 1+2a 2<-7 ⑤ ④与⑤矛盾，从而结论成立.【小结】 “正难反收”中的“难”有两种含义，一是头绪繁多，所以难于处理.因为“繁”，所以“难”，处理不当即陷入“剪不断，理还乱”的困境；二是试题的正面设置，使人感到无法可求，无章可循，从而找不到破解的头绪，从而无从下手。
运用正难则反的补集思想解题
运用正难则反的补集思想解题例1 已知A={x|x2+(k+2)x+1=0，x∈R}，若A∩R+= ，求k的取值范围。
解析：若从正面直接求k的范围，则有三种情况，分别求出较繁，而通过补集来求解则极为简捷。
因为方程x2+(k+2)x+1=0的根不可能为零，且两根必定同号，故A∩R+≠的条件是⊿=(k+2)2-4≥0，x1+x2=-(k+2)>0，解得k≤-4。
所以，当A∩R+= 时，k的取值范围是k>-4。
例2.若关于方程a x2-4x+a+1=0至多有一个非负实数根，求实数a的取值范围。
解析：(1)先求问题的反面，再求其补集。
(i)a=0时,方程-4x+1=0,x=1/4,符合题意.(ii)a不=0时,判别式=16 -4a(a+1)>=0,得-1/2-根号17 /2<=a<=-1/ 2+根号17 /2即全集U={a|-1/2-根号17 /2<=a<=-1/2+根号17 /2,a不=0} 如果二个根都是非负根,则有:x1+x2=4/a>=0,得a>0x1x2=(a+1)/a>=0,得a>0或a=<-1即:a>0,设为A={a|a>0}故:至多有一个非负实数根,a的取值范围是:A在U中的补集={a|-1/2-根号17/2<=a<0}综合(i)(ii)得:-1/2-根号17/2<=a<=0“否命题”与“命题的否定形式”区别格式：原命题是“若p则q”否命题是“若非p，则非q”，命题的否定形式是“若p则非q”。
区别：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。
注意：对“全”、“都”的否定，只需在其前面加一个“不”即可，而对“一定”的否定却不一样，不是“不一定”，而是“一定不”例1. 原命题：（1）若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；（2）菱形的对角线互相垂直；（3）面积相等的三角形是全等三角形。
人教版数学备课资料解读《反证法与正难则反的思想方法》
解读《反证法与正难则反的思想方法》一、知识要点概述对一些数学命题的证明，如果从正面入手进行解答比较困难或较为繁杂时，可从反面或侧面进行考虑，通过先解决其反面问题，利用补集思想，进而使问题得到解决，这种解决问题的方法，就是正反则反的思想方法.反证法就是正反则反的思想方法的重要体现.从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了原命题的结论，从而使命题获得了证明，这种证题方法叫做反证法.反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，是“正难则反”的思想方法中的一种.反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。
实施反证法证题的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.二、解题方法指导正难则反的思想方法是一种间接解决数学问题的基本方法，在解决一个数学问题时，如果运用直接从正面入手比较困难或者过程较繁杂时，可采用从反面考虑.采用正难则反的思想方法解决数学问题时，一般来讲，常见题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显、具体、简单的命题；或者直接从正面难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.三、范例剖析例1已知等差数列a ，b ，c 中的三个数都是正数，且公差不为零，求证：它们的倒数所组成的数列1a ，1b ，1c不可能成等差数列. 证明：假设数列1a ，1b ，1c 成等差数列，则2b =1a ＋1c①，由已知条件得2b=a+c ，即b=a+c 2， ②，代入①得4a+c =1a ＋1c ，∴4a+c =a+c ac，整理，得(a ﹣c)2=0，∴a=c ，代入②式，得a=b=c ， 与数列公差不为0，产生矛盾.∴1a ，1b ，1c不可能成等差数列. 点拨：本题抓住“不可能”的否定性结论使用反证法，并结合题设条件，导出a ，b ，c 构成一个常数列，与公差不为零矛盾，从而肯定原命题正确.例2下列三个方程中，至少有一个方程有实数解，求实数a 的取值范围.(1)x 2+4ax-4a+3=0，(2)x 2+(a-1)x+a 2=0，(3) x 2+2ax-2a=0.解：设(1)、(2)、(3)方程的判别式分别为：△1、△2、△3.假设三个方程均无实数解，则⎩⎪⎨⎪⎧ △1=(4a)2﹣4(3﹣4a)<0△2=(a ﹣1) 2﹣4a 2<0△3=(2a) 2﹣4(﹣2a)<0，解得：﹣32＜x ＜﹣1， 即当﹣32＜x ＜﹣1时，三个方程均无实数解， 所以三个方程中至少有一个方程有实数解的实数a 的取值范围为：a ≥﹣1或a ≤﹣32. 点拨：“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单.本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R ），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a 的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集.两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻.例3给定实数a ，a ≠0且a ≠1，设函数y ＝x ﹣1ax ﹣1(其中x ∈R 且x ≠1a)，证明：①经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x 轴；②这个函数的图像关于直线y ＝x 成轴对称图像.证明：①设M 1(x 1,y 1)、M 2(x 2,y 2)是函数图像上任意两个不同的点，则x 1≠x 2，假设直线M 1M 2平行于x 轴，则必有y 1＝y 2，即x 1﹣1ax 1﹣1＝x 2﹣1ax 2﹣1，整理得a(x 1－x 2)＝x 1－x 2∵x 1≠x 2，∴ a ＝1，这与已知“a ≠1”矛盾，因此假设不对，即直线M 1M 2不平行于x 轴.② 由y ＝x ﹣1ax ﹣1得axy －y ＝x －1,即(ay －1)x ＝y －1,所以x ＝y ﹣1ay ﹣1， 即原函数y ＝x ﹣1ax ﹣1的反函数为y ＝x ﹣1ax ﹣1，图像一致. 由互为反函数的两个图像关于直线y ＝x 对称可知，函数y ＝x=1ax=1的图像关于直线y ＝x 成轴对称图像.点拨：对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a ≠1互相矛盾.第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练.例4已知直线a,b 是异面直线，A 、B 是a 上相异两点，C 、D 是b 上相异两点，求证：AC 、BD 是异面直线.证明：如图，假设直线AC 、BD 不是异面直线，则它们必共面.∴A 、B 、C 、D 在同一平面内α，∴AB ⊂α,CD ⊂α,即a ⊂α,b ⊂α,这与a,b 是异面直线矛盾，∴AC、BD 是异面直线.点拨：利用反证法证明两条直线是异面直线的主要方法，具体过程是假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，推导出这两条直线共面，即这两条直线可能相交也可能平行，产生矛盾，从而肯定两条直线是异面直线.例5 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏灯，为节约用电，现要求把其中的三盏灯关掉，但不能关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_____种.解析：关掉第一盏灯的方法有7种，关掉第二盏灯、第三盏灯时要分类讨论，情况较为复杂，换一个角度，从反面着手考虑，因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为在6盏亮灯中插入3盏暗灯，且任何两盏暗灯不相邻，且暗灯不在两端，即在6盏亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3盏暗灯，其方法有C 35=10种，故满足条件的关灯方法共有10种.点拨：对某些排列组合问题，若从正面考虑分类情况种类较多，不易解决时，利用间接法从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理.所谓间接法就是先不考虑附加条件，求出所有的排列或组合数，然后从中减出不符条件的排列数和组合数就可以间接地求出符合条件的排列数或组合数.例6解关于x 的不等式log a x-1>3-log a x(0<a <1).解：在全集I ={x|log a x ≥1}中，解不等式log a x-1≤3-log a x ，即解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ log a x-1≥03-log a x >0log a x-1≤(3-log a x)2,得解集A{x|1≤log a x ≤2}，其补集为{x|log a x >2,0<a <1}∴原不等式的解集为x ∈(0,a 2).点拨：对于有些不等式(如无理不等式等)，需要等价转化为几个不等式组进行求解，过程较为繁琐，但若运用正难则反的思想方法只需解一个不等式组，从而缩短了解题过程，减少了运算量.例7若椭圆x 22+y 2=a 2(a ＞0)与连结两点A(1,2)、B(3,4)的线段没有公共点，求a 的范围. 解析：设a 的允许值集合的全集I={a|a ∈R,a >0},先求椭圆和线段AB 有公共点时a 的取值范围.由已知易得线段AB 的方程是y=x+1，x ∈[1,3],由y=x+1代入x 22+y 2=a 2，并整理得a 2=32x 2+2x+1,x ∈[1,3], 由此可得92≤a 2≤412,∵a ＞0,∴322≤a ≤822， 故当椭圆与线段AB 无公共点时，a ＞822或0＜a ＜322. 点拨：本题若从正面进行解答需分两种情况考虑：A 、B 两点都在椭圆内部与A 、B 两点都在椭圆外部，其运算量大.但从反面入手进行求解，则避免了讨论，计算简洁.一般地，如果对于有些解析几何问题，正面解答需分类讨论，运算量大，则可着眼于问题的对立面，用补集思想化繁为简，迅速、准确地解题.例8试求常数m 的范围,使曲线y=x 2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.解析：“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，问题转化为“抛物线y=x 2上存在两点关于直线y=m(x -3)对称，求m 的取值范围”，再求出m 的取值集合的补集即为原问题的解.抛物线上两点(x 1，x 12)，(x 2，x 22)关于直线y=m(x ﹣3)对称，满足 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 12+x 222=m(x 1+x 22-3)x 12﹣x 22x 1﹣x 2=﹣1m，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 12+x 22=m(x 1+x 2﹣6)x 1+x 2=-1m ,消去x 2得，2x 12+2m x 1+1m 2+6m+1=0.∵x 1∈R ，∴△=(2m )2﹣8(1m 2+6m+1)＞0，∴(2m+1)(6m 2﹣2m+1)＜0，∴m ＜-12, 即当m ＜-12时抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称，而原题要求所有弦都不被直线垂直平分，那么所求m 的范围为m ≥-12. 点拨：①在运用正难则反的思想方法解题时，一定要搞清结论的反面是什么，这里“所有的弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分”的反面是“至少存在一条弦能被直线y=m(x-3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直线y=m(x-3)垂直平分”.②在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探求.。
高中数学常见思想方法总结
高中常见数学思想方法我们通常认为数学思想就是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想.而且数学思想方法是数学学科的精髓,是数学素养的重要内容之一,学生只有领会了数学思想方法,才能有效地应用知识,形成能力,在我们解决问题、进行数学思维时,也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.所以我们总结了以下几种常见的数学方法并附带例题加以说明，让学生对数学思想方法有更深刻的认识.方法一函数与方程的思想方法函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.高考数学命题近年来经历了以“知识立意”到以“问题立意”再发展为以“能力立意”的过程，试图体现突出能力与学习潜能的考查，使知识考查服务于能力考查；试图突出数学的思想方法的层次，即数学思想方法、逻辑学中的方法和具体的数学方法.函数与方程的思想方法作为基本的数学思想方法之一，在知识的互相联系、互相沟通中起到了纽带作用.因此，函数与方程的思想方法一直为近几年的高考重点，大小试题中均有体现.用函数与方程的思想方法解题时，要领悟其实质，充分考虑其可行性，不可生搬硬套.【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><.（1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由.【分析】 （1）利用公式n a 与n S 建立不等式，容易求解d 的范围；（2）利用n S 是n 的二次函数，将n S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题.【解】（1） 由3a ＝12a d +＝12,得到1a ＝12－2d ，所以12S ＝121a ＋66d ＝12(12－2d )＋66d ＝144＋42d >0，13S ＝131a ＋78d ＝13(12－2d )＋78d ＝156＋52d <0.解得：2437d -<<-. （2）解法一：（函数的思想）n S ＝21115(1)(12)222na n n d dn d n ++=+- ＝22124124552222d d n d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 因为0d <，故212452n d ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦最小时，n S 最大. 由2437d -<<-得12465 6.52n d ⎛⎫<--< ⎪⎝⎭，故正整数n ＝6时212452n d ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦最小，所以6S 最大.解法二：（方程的思想）由0d <可知12313a a a a >>>> .因此，若在112n ≤≤中存在自然数n ，使得0n a >，10n a +<，则n S 就是1S ，2S ， ，n S 中的最大值． 121300S S >⎧⎨<⎩⇒1150260d a d a d ⎧+>->⎪⎨⎪+<⎩⇒6700a a >⎧⎨<⎩,故在1S 、2S 、…、12S 中6S 的值最大．【点评】 数列的通项公式及前n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析,即用函数方法来解决数列问题；也可以利用方程的思想，利用不等式关系，将问题进行算式化，从而简洁明快.由此可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性.【例1】 在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为A,B ，右顶点为F ，设过点T （m t ,）的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x ，),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.【解】 （1）由题意知)0,2(F ，)0,3(A ，设),(y x P ，则4)3()2(2222=---+-y x y x化简整理得29=x . （2）把21=x ，312=x 代人椭圆方程分别求出)35,2(M ，)920,31(N 直线)3(31:+=x y AM ① 直线)3(65:--=x y BN ② ①、②联立得107,3T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）),9(m T ， 直线)3(12:+=x m y TA ，与椭圆联立得)8040,80)80(3(222++--m m m M 直线)3(6:-=x m y TB ，与椭圆联立得)2020,20)20(3(222+-+-m m m N A BO F直线2222222224020203(20)8020:3(80)3(20)20208020m m m MN y x m m m m m m +⎛⎫-+++=- ⎪--++⎝⎭--++, 化简得222220103(20)204020m y x m m m ⎛⎫-+=-- ⎪+-+⎝⎭令0y =，解得1x =，即直线MN 过x 轴上定点(1,0).【点评】 本题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力.而且，本题在解决问题时，无论求点的坐标，还是求点P 的轨迹方程，都灵活运用了方程的思想，特别是在证明过程中更是很好地利用方程的有关知识，使问题画繁为简，华难为易.方法二 数形结合的思想方法数形结合，是中学数学最重要的思想方法之一.著名数学家华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离.”这精辟地阐述了数形结合的重要性，它不仅是一个重要的数学思想，而且是一种重要的解题方法，因而数形结合的能力必然是历年高考的一个重点.所谓数形结合的思想方法，就是由数学问题所呈现的条件和结论，通过研究数式问题的几何意义，或者研究几何问题的代数意义，设法沟通数学问题在数量关系和空间形式的内在联系，使隐含条件明朗化，复杂问题简单化，抽像问题具体化，开拓题的新思路，以便最终找到解决问题的带有数形信息转换特征的数学方法.正确利用数形结合，应注意三个原则：（1）等价性原则数形信息的转换应该是等价的、充要的.要注意由于图形的直观性，往往可以成为严格推证的启导，但有时不能完整表现数的一般性，考虑问题可能不完备.（2）双向性原则数形结合的含意是双向的，即考虑问题既注意代数问题几何化，也注意几何问题代数化，而不仅仅指前者.（3）简单性原则有了解题思路，思考用几何方法，还是代数方法，还是两者兼而用之，要取决于解题的简单性原则，而不能形而上学地让几何问题代数化，代数问题几何化成为一种机械模式.运用数形结合的思想方法解题的途径主要有三条:第一，以形助数：把一些数式的几何意义明朗化，构造出解题的几何模型，突显问题的直观性，使解题思路变得形像而通畅;第二，以数助形：利用几何图形或图像图表中隐含的数式特征，构造出解题的代数模型(必要时建立坐标系)，突显问题的本质，另辟解题的捷径;第三，数形互助：根据问题的需要，将以形助数和以数助形二方面结合运用.数形结合的应用是广泛的，数与形的结合点主要集中在以下几个方面：1.研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值等)，可从函数图像的直观性得到鲜明的启示.2.利用数轴与坐标系(包括直角坐标系、极坐标系)，使数与点对应，使函数与图像、方程与曲线结合，使代数与几何联结.这样，可利用坐标或向量的运算，探索几何图形的相关性质；利用函数图像与方程曲线的直观性，探索函数或方程的性质.3.从统计图表、图像中，收集分析出“数”的信息，由破译的数量关系建立代数模型，探索相关的结论.这类数形信息的转换能力是近年高考的新亮点.4.三角函数与单位圆、三角函数曲线的联系.5.复平面与复数、向量的沟通.6.利用类比法、换元法(如三角换元)、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、几何问题的代数模型，开辟解题的新思路.【例1】 （12年上海模拟）若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x -=，且[1,1]x ∈-时，2()1f x x =-，函数lg(1),11(),00,01x x g x x xx ->⎧⎪⎪=-<⎨⎪≤≤⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[5,6]-内的零点个数为_________. 【答案】 9【解】 由题意，直接求解会很麻烦，且不易得到正确的答案，所以该题中求()()()h x f x g x =-的零点,可以转化为求()f x 与()g x 两函数图像的交点.则画出()f x 与()g x 的图像,由于()f x 在[1,1]x ∈-上为2()1f x x =-,且为周期函数,周期为2,而()g x 是分段函数,注意其图像共分为三部分,如图,可等共有9个交点,其中有一个易错点,即其中1个交点为(1,0)很容易被遗漏.【点评】 要求()()()h x f x h x =-在区间[5,6]-内的零点的个数，可转化为求()f x 与()h x 交点的个数，可以作出图形，观察图形易得交点的个数.本题体现了数形结合的思想,正是运用数形结合的思想方法解题的途径中的以形助数.【例2】 函数y =f (x )的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式f (x )＞f (－x )十x ．【解】 解法一：（以数助形） 由题意及图像，有⎪⎩⎪⎨⎧<≤---≤<-=011101)(22x x x x x f ，（1）当0<x ≤1时, f (x )>f (－x )+x 得21x ->－2)(1x --+x , 解得0<x <552; （2）当－1≤x <0时, 得－21x ->2)(1x --+x , 解得－1≤x <－552, ∴ 原不等式的解集为[－1, －552)∪(0, 552). 解法二：（数形互助） 由图象知f (x )为奇函数，∴ 原不等式为f (x )>2x ，而方程f (x )= 2x 的解为x =±552，据图像可知原不等式解集为[－1, －552)∪(0, 552). 【点评】 本题以形看数（解式，奇偶性），以数解形（曲线交点A 、B ），最后以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避短．方法三 分类讨论的思想方法分类讨论的思想方法是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对像为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样、综合性强，对于培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一.1.通常引起分类讨论的原因，大致可归纳为如下几点：(1)涉及的数学概念是分类定义的；(2)涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的；(3)涉及题中所给的限制条件或研究对像的性质而引起的；(4)涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的；(5)涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的；(6)一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的.2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：(1)确定讨论的对像及其范围；(2)确定分类讨论的标准，正确进行分类；(3)逐类讨论，分级进行；(4)归纳整合，作出结论.其中最重要的一条是“不漏不重”.学生必须对相关知识点或涉及的概念、定义、定理相当清楚，对于一些结论成立的条件掌握牢固，这样才能在解题时思路清晰，才能知道何时必须进行分类讨论，而何时无须讨论，从而可以知道怎样进行分类讨论.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，这样才能做到不重复不遗漏，考虑问题要周到缜密，特别是对于一些特殊情况要考虑慎重，养成严谨的学习态度和思想作风.【例1】（12年上海二模）点),(y x Q 是函数122-=x y 图像上的任意一点，点(0,5)P ，则P 、Q 两点之间距离的最小值是______________.【答案】 11【解】 ①当2102x -<时，222221,(5)(6)92x y PQ x y y =-=+-=--. 63y -=±时，即y ＝9或y ＝3，PQ 取最小值0，但222x y =-都为负数，∴不成立； ②当2102x -≥时，212x y =-，2222(5)(4)11PQ x y y =+-=-+.当y ＝4时，PQ 取最小值为11．综上所述，P 、Q 两点之间距离的最小值为11．【点评】 由于题中给出的是绝对值函数，需要利用分类讨论的思想去掉绝对值，然后再求解.体现了数学概念是分类定义的而引起的分类讨论.【例2】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0(1,2,3,)n S n >= ，求q 的取值范围.【分析】在应用等比数列前n 项和的公式时，由于公式的要求，分q ＝1和q ≠1两种情况.【解】 {}n a 是等比数列，且前n 项和0(1,2,3,)n S n >= ，110a S ∴=>，且0q ≠当1q =时，10n S na =>；当1q ≠时，1(1)01n n a q S q -=>-，即10(1,2,3,)1nq n q->=- . 上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩ ①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩ ②,由①得1q >,由②得11q -<<,∴q 的取值范围为()()1,00,-+∞ .【点评】本题正是分类讨论中运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的体现.【例3】 设集合A ={1,2,3,4,5,6},B ={4,5,6,7,8},则满足S A ⊆且S B ≠∅ 的集合S 的个数是 （ ）A.57B.56C.49D.8【答案】 B【解】由题意得S 中必含有4,5,6中至少一个元素,而元素1,2,3可以任意含有,则可按S 中所含元素个数分类:(1) 当S 中只含有4，5，6中的一个元素时，有13C 种，而1，2，3可构成集合32个，故S 有13323824C ⋅=⨯=（个）;(2) 当S 中只含有4，5，6中的两个元素时，有23C 种，而1，2，3可构成集合32个，故S 有23323824C ⋅=⨯=（个）;(3) 当S 中只含有4，5，6中的三个元素时，有33C 种，而1，2，3可构成集合32个，故S 有33328C ⋅=（个）. 故集合S 的可能个数为24+24+8=56.【点评】本题正是由于题中所给的限制条件或研究对像的性质而引起的分类讨论.【例4】已知实数0a ≠,函数()2,1,2, 1.x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+,则a 的值为________.【答案】 34-【解】首先讨论1a -，1a +与1的关系.当0a >时，11a -<，11a +<，所以()()1121f a a a a -=---=--；()12(1)32f a a a a +=++=+.因为()()11f a f a -=+，所以132a a --=+，所以34a =-； 当0a <时，11a ->，11a +>，所以()()1212f a a a a -=-+=-；()1(1)231f a a a a +=-+-=--.因为()()11f a f a -=+，所以231a a -=--，所以32a =-（舍去）. 综上，满足条件的34a =-. 【点评】本题的解题关键在于讨论1a -，1a +与1的关系，正是体现了数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的分类讨论.【例5】如图所示，在△AOB 中，点A （2，1），B （3，0），点E 在射线OB 上自O 开始移动.设OE x =,过E 作OB 的垂线l l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数()S f x =的图象是 （ ）【答案】 D【解】当02x <≤时, ()2111224f x x x x =⋅⋅=,是开口向上的抛物线,且()21f =； 当23x <≤时, ()()()21112123133222f x x x x x =⨯⨯+--+=-+-，是开口向下,以33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为顶点的抛物线； 当3x >,()f x 是确定的常数,图象为直线．【点评】本题正是图形运动造成，不同时段，面积有所不同，正是体现了几何图形的形状、位置的变化而引起的分类讨论问题.方法四 概括归纳的思想方法概括是在思维中将同一种类型的对像共同的本质属性集中起来，结合为一般类型的属性.归纳是一种逻辑型的思维形状，是从几个特殊情形做出一般结论的不完全的属性.一类是性质和法则的归纳，如数列的基本性质，对数运算的法则的归纳过程；另一类是解题方法的归纳，如向量在物理中的应用等；第三类是归纳猜想，如由表格所给数据归纳几个连续奇数的和等.在上海主要体现在“归纳——猜想——证明”中，是发现数学规律，并用数学归纳法证明的完整过程.在近几年的高考中，都有这种找规律的题，考生不易得分，需要考生加强这方面的训练.【例1】 （12年上海模拟）在证明恒等式2222*1123(1)(21)()6n n n n n N ++++=++∈ 时，可利用组合数表示2n ，即22112(*)n n n C C n N +=-∈推得.类似的，在推导恒等式23333*(1)123()2n n n n N +⎡⎤++++=∈⎢⎥⎣⎦时，也可以利用组合数表示3n 推得.则3n =____________.【答案】 6C 3n ＋1＋C 1n【解】 由题意得：n 2＝2C 2n ＋1－C 1n ＝n (n ＋1)－n ＝n 2＋n －n ，则由类比推理可得，∴n3＝n 3－n ＋n ＝n (n ＋1)(n －1)＋n ＝6C 3n ＋1＋C 1n .【点评】 此题利用了类比推理以及归纳、猜想思想，从已知条件中得到规律，用到问题中去，从而得到结论.【例2】在数列{n a }中，1a =13 ，且前n 项的算术平均数等于第n 项的2n -1倍（n ∈N*）．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明．【分析】（1）利用数列{n a }前n 项的算术平均数等于第n 项的2n -1倍，推出关系式，通过n =2，3，4，5求出此数列的前5项；（2）通过（1）归纳出数列{n a }的通项公式，然后用数学归纳法证明．第一步验证n =1成立；第二步，假设n =k 猜想成立，然后证明n =1k +时猜想也成立.【解】 （1）由已知1a =13，123n a a a a n++++ =（2n -1）n a ，分别取n =2，3，4，5，得2111153515a a ===⨯，()312111145735a a a =+==⨯， ()4123111277963a a a a =++==⨯，()512341114491199a a a a a =+++==⨯， 所以数列的前5项是：113a =，2115a =，3135a =，4163a = ，5199a = . （2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+（n ∈N*）．下面用数学归纳法证明：①当n =1时，猜想显然成立.②假设当n =k （k ≥1且k ∈N*）时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+ ． 那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++ ， 即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+ ．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+， 即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+， 所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，猜想也成立. 综上①和②知，对一切n ∈N*，都有1(21)(21)n a n n =-+成立． 【点评】 本题考查数列的项的求法，通项公式的猜想与数学归纳法证明方法的应用，注意证明中必须用上假设，考查计算能力，分析问题解决问题的能力．正是体现了概括归纳的思想方法.方法五 化归与等价变换的思想方法在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转换化归思想”.而转换化归思想的基本原则就是：化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知.1.利用转换化归思想解决数学问题时必须明确三个问题：（1）把什么东西进行转换化归，即化归对像；（2）化归转换到何处，即化归转换的目的；（3）如何进行转换化归，即转换化归的方法.2. 化归与转化常遵循以下几个原则.（1）目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化；（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；（3）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．3．转化与化归常用到的方法（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．（5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．（8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．（9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．（10）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A ，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集使原问题得以解决.化归与等价变换的思想方法所涉及到的具体问题很多很多，如果不断努力地用这种方法去解决一些数学问题或数学范畴以外的问题时，往往会出现事半功倍的奇特效果.【例1】 设x 、y ∈R 且22326x y x +=，求22x y +的范围.【解】 方法一：等价转化法(转化为函数问题)由22623x y x -=≥0得0≤x ≤2.设22k x y =+，则22y k x =-，代入已知等式得：2620x x k -+=， 即2132k x x =-+，其对称轴为x =3. 由0≤x ≤2得k ∈[0,4].所以22x y +的范围是：0≤22x y +≤4.方法二：数形结合法（转化为解几何问题）：由22326x y x +=得()221132y x -+=，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点.22x y +的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.设圆方程为22x y k +=，代入椭圆中消y 得2620x x k -+=.由判别式3680k ∆=-=得4k =,所以22x y +的范围是：2204x y ≤+≤.方法三： 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：由22326x y x +=得()221132y x -+=，设1cos 6sin 2x y αα-=⎧⎪⎨=⎪⎩，则 2222233112cos cos sin 12cos cos 222x y ααααα+=+++=++- []215cos 2cos 0,422αα=-++∈ 所以22x y +的范围是：2204x y ≤+≤.【点评】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力.而且各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型,正是体现了熟悉化原则，将不熟悉的知识转化为自己熟悉的知识.【例2】设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q =___________.【答案】-2【解】q a a S 112+=，11S a =，23111S a a q a q =++∵1322S S S =+ ∴12111222a q a q a a =++(a 1≠0)∴2q =-或0q =（舍去）.【点评】 由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q 的值.如：213,,S S S 成等差，求q 的值.这样就避免了一般性的复杂运算.既体现简单化原则，也是特殊化方法的使用，正是转化与化归的思想方法的典型体现。
高中数学解题思路大全：正难则反,巧用反证法证明不等式
正难则反，巧用反证法证明不等式杨伟强反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。
反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。
用反证法证明不等式就是最好的应用。
要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。
要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。
例1. 设a ，b ，c ，d 均为正数，求证：下列三个不等式①a ＋b ＜c ＋d ，②()()a b c d ab cd ++<+，③()()a b cd ab c d +<+中至少有一个不正确。
证明：假设不等式①、②、③都成立，因为a ，b ，c ，d 都是正数，所以由不等式①、②得，()()()a b a b c d ab cd +<++<+2。
由不等式③得，()()()()a b cd ab c d a b c d +<+≤++22· 因为a b +>0，所以4cd a b c d <++()()综合不等式②，得43cd ab cd cd ab <+<，，即cd ab <13 由不等式④，得()a b ab cd ab +<+<243，即a b ab 2223+<-，显然矛盾。
∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。
例2. 已知a b c ab bc ca abc ++>++>>000，，，求证：a b c >>>000，，。
证明：由abc >0知a ≠0，假设a <0，则bc <0又因为a b c ++>0，所以b c a +>->0，即a b c ()+<0从而ab bc ca a b c bc ++=++<()0，与已知矛盾。
新教材2021-2022学年高一数学北师大版必修第一册学案：第1章 章末综合提升含答案
类型1集合及其数学思想【例1】(1)已知全集U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝() A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}(2)已知集合A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|2k－1＜x＜2k＋1}，且A∪B＝A，则实数k 的取值范围是_______．(3)已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是_______．(1)D (2)－1≤k ≤1 (3){m |m ≤－1} [(1)∵A ∪B ＝{1,2,3}，∴∁U (A ∪B )＝{4}．(2)由A ∪B ＝A ，得A ⊇B ，又B ≠∅，则⎩⎨⎧2k －1≥－32k ＋1≤3，解得－1≤k ≤1.(3)设全集U ＝{m |Δ≥0}＝{m |(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≤－1，或m ≥32. 若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则⎩⎨⎧m ∈Ux 1＋x 2＝4m ≥0，x 1x 2＝2m ＋6≥0解得m ≥32，∵⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≥32在U 中的补集为{m |m ≤－1}．∴实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．]1．交集思想许多数学问题是求同时满足若干个条件p 1，p 2，…，p n 的解，如果把满足各条件的对象表示成集合A 1，A 2，…，A n ，则Q ＝A 1∩A 2∩…∩A n 就是问题的解集．如列方程组或不等式组解应用题等，都是运用交集思想方法解题的具体体现．2．并集思想有些数学问题需要分若干种情况讨论，若将问题分为n 类，每类问题的解集为A 1，A 2，…，A n ，则Q ＝A 1∪A 2∪…∪A n 就是问题的解集．3．补集思想“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决困难时，我们可以从其反面入手解决．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A 求A .[跟进训练]1．(1)若全集U ＝{1,2,3,4,5,6)，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )(2)已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}(3)已知关于x 的不等式a (x －1)x －2>2的解集为A ，且3∉A ，则实数a 的取值范围为________．(1)D (2)D (3){a |a ≤1} [(1)因为M ∪N ＝{1,2,3,4}，所以(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )＝{5,6}，故选D.(2)由Venn 图可知A ＝{3,9}．(3)因为3∉A ，所以3∈∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a (x －1)x －2≤2或x ＝2，即当x ＝3时，有a (3－1)3－2≤2，故a ≤1.] 类型2 充分条件与必要条件【例2】 (1) 若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为_______． (1)A (2)－1 [(1)若a ＞0且b 2－4ac ＜0，则对任意x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c＞0，反之，则不一定成立．如a ＝0，b ＝0且c ＞0时，也有对任意x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c ＞0.故选A.(2)由题意知：{x |x ＜a }⊆{x |x ＜－1或x ＞1}，所以a ≤－1.]1．充分条件、必要条件的判断方法定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．2．判断指定条件与结论之间关系的基本步骤：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．3．利用充要条件可进行命题之间的等价转化．[跟进训练]2．(1)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x |2－a ＜x ＜2＋a }，则“a ＝2”是“A ∩B ≠∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若“x ∈{3，a }”是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(1)A (2)a ≤－12或a ＞3 [(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0＝{x |－1＜x ＜1}， 当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜4}，A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}≠∅；由A ∩B ≠∅推不出a ＝2，比如a ＝3时，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜1}≠∅，故选A. (2)由2x 2－5x －3≥0，得x ≤－12或x ≥3， 所以a ≤－12或a ＞3.]类型3 利用基本不等式求最值【例3】(1)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是__________．(2)设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．4(1)2105(2)D[(1)∵4x2＋y2＋4xy－3xy＝1，∴1＝(2x＋y)2－32·2xy≥(2x＋y)2－32·⎝⎛⎭⎪⎫2x＋y22＝58(2x＋y)2，∴2x＋y≤210 5，故2x＋y的最大值为210 5.(2)a2＋1ab＋1a(a－b)＝a2－ab＋ab＋1ab＋1a(a－b)＝ab＋1ab＋a(a－b)＋1a(a－b)≥2＋2＝4.当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立．如取a＝2，b＝22满足条件．]利用基本不等式求最值，要注意以下两点：(1)使用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等构造定值的方法，和对等号能否成立的验证；(2)若等号取不到，则应利用函数单调性求最值．[跟进训练]3．(1)设x＞－1，则函数y＝(x＋5)(x＋2)x＋1的最小值为________．(2)若x，y为实数，且x＋2y＝4，则xy的最大值为________．(1)9(2)2[(1)y＝(x＋5)(x＋2)x＋1＝x＋1＋4x＋1＋5，由均值不等式可得：y≥2(x＋1)·4x＋1＋5＝9，等号成立条件为x＋1＝4x＋1⇒x＝1，所以最小值为9.(2)xy＝12·x·(2y)≤12·⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22＝2(当且仅当x＝2y，且x＋2y＝4，即x＝2，y＝1时取“＝”)．]类型4全称量词命题与存在量词命题【例4】(1)命题“至少有一个实数x，使x3＋1＝0”的否定是________；(2)若对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，则实数a的取值范围是________．(1)任意x∈R，x3＋1≠0(2)a≤1[(1)任意x∈R，x3＋1≠0(2)对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，则a≤(x2)min＝1.]1．不等式恒成立问题的求解方法：若y≥a恒成立，则a≤y min；若y≤a恒成立，则a≥y max.2．不等式有解问题的求解方法：若y≥a有解，则a≤y max；若y≤a有解，则a≥y min.[跟进训练]4．(1)命题“存在x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是________；(2)若存在x∈[1,2]，x2－a≥0，则实数a的取值范围是________．(1)任意x∈R，x2＋2x＋2＞0(2)a≤4[(1)任意x∈R，x2＋2x＋2＞0；(2)存在x∈[1,2]，x2－a≥0，则a≤(x2)max＝4.]1．(2019·全国卷Ⅰ理)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝()A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}C[由题知N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|(x－3)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<3}，∴M∩N ＝{x|－2<x<2}，选C.]2．(2018·全国卷Ⅱ理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4A[A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}共9个元素，选A.]3．(2019·全国卷Ⅰ文)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A＝()A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}C[由题知∁U A＝{1,6,7}，则知B∩∁U A＝{6,7}，选C.]4．(2019·天津高考文)设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由|x－1|<1得0<x<2，故0<x<5推不出0<x<2，而0<x<2能推出0<x<5，故为必要而不充分条件，选B.]5．(2014·四川高考)若a>b>0，c<d<0，则一定有()A．ad>bc B．ad<bcC．ac>bd D．ac<bdB[由c<d<0，得－1d>－1c>0，又a>b>0，由不等式的性质知，－ad>－bc>0，∴ad<bc，选B.]。
“正难则反”思想
学生 在解题 时 习惯于正 向思 维 ， 问题 的正 面 从
例 １ 函数 ） 的定义域为 Ａ 若 ， ｃ ， 。 Ａ且 戈
。
人手 ， 但是 很 多 问题 从 正 面着 手不 易 解 决． 试 采 尝 用 “ 难则 反 ” 正 的解题 策 略往 往 会起 到 事 半 功倍 的
反” 想在高考 中的应 用． 思 １ 正 难则反— — 巧用 等价命 题
分析 在平面 内存在直线与 ｚ 相交 ， Ａ不 故 正确 ； 若 存在直线与 ２ 平行 ， 因为 ｌ ， 则有ｆ ∥
，
与题设 矛盾， 以 Ｂ正确 ， 所 ｃ不正 确； 在平 面
内不过 ｚ 与 交点的直线与 Ｚ 异面， Ｄ不正确． 故 评 注 该题 考虑 已知 条件 “ 直线 ｚ 不平 行 于平 面 ” 的反面——相交和平行 ， 巧用等价命题．
） ： 时总有 ＝ ：则称 ） ＝ ） ， 为单 函数．
例如 ， 函数 ） ２ ＋１ ∈ 是单 函数． ＝ ｘ （ Ｒ） 下列命
题：
效果 ， 大大降低题 目的难 度． 所谓 “ 正难则反” 归 ，
根结 底是 一种 “ 转换 ” 的数 学 思 想 ， 中 的“ ” 其 正 和 “ ” 反 也会 依 据 不 同 的题 目而 发 生 转 化 ， 是 一 种 这 打破 常规 思维 ， 采用逆 向思 考 的解题 策略
向思维的解题技巧 ， 也就是用补集思想解题． 例 ３ 已知集合 Ａ＝｛ Ｙ ｌ ＋ ａ— ２＝ （ ） ｍ ｔ Ｙ＋ ， ０ ∈ ， ， Ｒ｝Ｂ＝｛ Ｙ Ｉ — １＝ ， ≤ （ ） Ｙ＋ ０ ０ ≤２ ． ， ｝若 Ａ ｎＢ＝ 求实数 ｍ的取值范围． ， 分析 问题 等价于 “ ｍ取何 值时 ， 当 方程组
高考数学突破提分技巧：正难则反法
高考数学突破提分技巧：正难则反法
由于多年从事高考试题的研究，尤其对高考数学我有自己的一套考试技巧，我知道无论是什么科目的考试，都有它固有的漏洞和具体的解决办法，我把它总结为：6大漏洞、8大法则。
“6大漏洞”是指：有且只有一个正确答案;不问过程只问结果;题目有暗示;答案有暗示;错误答案有严格标准;正确答案有严格标准;“8大原则”是指：选项唯一原则;范围最大原则;定量转定性原则;选项对比原则;题目暗示原则;选择项暗示原则;客观接受原则;语言的精确度原则。
经过高考频道的培训，很多的学生的高考题甚至1分都不丢。
正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。
正难则反——补集思想
正难则反——补集思想
补集思想，简单来讲就是“正难则反”的原理。
它的核心思想是把“正”和“反”两个概念结合起来，形成一个完整的思想体系。
它建立在一个低级的认知层面，就是学习者在处理知识未知时，要从“反”来寻求“正”，以达到理解知识和复习知识的目的。
补集思想与传统，例如记忆、死记硬背等，认知学习法有着质的不同。
它强调重新思考、理解和构建知识之间的联系，以达到快速掌握知识的目的。
首先，补集思想强调的是发现未知的过程。
在发现未知的过程中，学习者不仅要遵循正确的思维逻辑，而且要根据自身的经验把这些未知因素和已知的因素进行比较、综合，以便把未知变为已知。
其次，补集思想倡导的是由小及大的学习策略，主要是通过从“反”寻找“正”，从而发现知识之间的本质联系，掌握知识大纲，然后再
逐步深入，由小及大，从总到分，以达到学习的最终目的。
再三，补集思想强调的是学习的融合性，主要是把“反”和“正”的思维相结合，把知识表象和知识本质进行联系，使学习者真正理解知识，从而形成一个完整的知识体系。
在现实学习中，补集思想可以发挥重要作用，不仅可以帮助学习者发现知识之间的本质联系，而且可以有效帮助学习者构建、巩固知识体系。
所以，补集思想应充分发挥出它在学习中的重要作用，让更多学习者受益于它的优秀思维模式。
综上，补集思想是一种极具价值的学习思想，它可以帮助学习者
更好地理解未知，完善知识体系。
它更多的是一种学习策略，要求学习者用“反”解析“正”，以达到知识表象和知识本质的联系。
总之，补集思想能够有效提高学习者的学习效率，让他们受益匪浅。
2022届《金版学案》高考数学总复习 微专题 思想方法(六)
④若B为空集，则方程x2＋ax＋a2－12＝0无实数解， 即a2－4(a2－12)<0，解得a>4或a<－4.
综上可知，若A∪B＝A，则a＝－2或a≥4或a<－4. 所以若A∪B≠A，实数a的取值范围是[－4，－2)∪ (－2，4)．
[例3] 已知函数f(x)＝ax2－x＋ln x在区间(1，2)上
所以h(1)<h(t)<h12，即0<h(t)<18. 由(*)可知，a≥18. ②若函数f(x)在区间(1，2)上单调递减，则f′(x)≤0在 (1，2)上恒成立，所以2ax－1＋1x≤0，得a≤121x－x12.
结合①可知，a≤0. 综上，若函数f(x)在区间(1，2)上单调，则实数a的 取值范围为(－∞，0]∪18，＋∞. 所以，若函数f(x)在区间(1，2)上不单调，则实数a 的取值范围为0，18.
答案：0，18
解析：事件“抽出的3张卡片上的数字互不相同”记 为C，事件“抽出的3张卡片上有两个数字相同”记为D， 由题意知C与D是对立事件，因为P(D)＝C14CC3822C61＝37，
所以P(C)＝1－P(D)＝1－37＝47. 答案：47
[例2] 已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ ax＋a2－12＝0}，且A∪B≠A，求实数a的取值范围．
解：因为集合A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2，4)． 若A∪B＝A，则B⊆A， ①若B＝A，则x＝－2和x＝4是方程x2＋ax＋a2－12＝ 0的两根，解得a＝－2. ②若B＝{－2}，则x＝－2是方程x2＋ax＋a2－12＝0 的唯一解，得a＝4. ③若B＝{4}，则x＝4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的唯 一解，此时a不存在．
不单调，则实数a的取值范围为________．
高考数学兵法10招(7)避实击虚,正难则反
避实击虚 正难则反数学上也常有这样的情景：正面求解如同碰上坚固的堡垒，勉而为之会陷入久攻不下的被动局面，“坚持到底”未必正确，蓦然回首，转换解题方向，很可能别有洞天.【例1】 若集合A 和B 各含6个元素，A ∩B 含有3个元素，C 同时满足两个条件：①C ,A B ≠⊂⋃且C 中含有3个元素；②C ∩A ≠，则这样的集合C 的个数是 （ ）A.82B.83C.84D.219【思考】 C ∩A ≠的情况有多种，C ∩A=的情况只有一种，既如此，何必正面攻击？变换主攻方向吧，迂回作战，反面突击.【解答】 不妨设A={a,b,c,d,e ,f},B={d,e,f,m,n,p}.那么：A ∩B={d,e ,f}有三个元素，A ∪B={a,b,c,d,e,f,m,n,p}有9个元素.A ∪B 中含3个元素的子集共有39C =84个. 其中C ∩A=的情况只有一种，即由B 中异于A 的三元组成集合{m,n,p},故符C ∩A ≠的集合有84－1=83（个）.∴选B.【例2】 某种战斗机击中目标的概率是0.7,要使m 架这种战斗机同时射击一次可以击中目标的概率超过0.95，则m 的最小值是 （ ）A.2B.3C.4D.5【思考】m 架战斗机同时射击一次击中目标的情况有难以算清的好多种，而射击一次全击不中的情况只有一种.因而同上题一样，也要从反面着手.【解】 m 架战斗机全不击中的概率（1－0.7）m =0.3m ，∴m 架战斗机射击一次击中的概率为1－0.3m ,令1－0.3m >0.95,得0.3m <0.05.∵0.33=0.027<0.05,0.32=0.09>0.05.∴m min =3.选B【例3】 甲、乙、丙3个求职者到四个工作单位应聘，每个人只能选择一个单位，而且甲单位必须录用1人，则甲恰好不在甲单位的概率是 （ ）A.2815B.3715C.3721D.2821 【思考】甲单位必须录用1人，不一定只录用1人，故甲单位录用人的情况有多种，而不录的情况只有一种；甲恰好不在甲单位的情况有3种，而甲恰在甲单位的情况只有一种.因此，为计算简单，还是从反面入手.【解】 先算基本事件总数，没有限制的应聘方法有43=64种（重复排列，每人都有4种选择方法），其中无人去甲单位的应聘方法有33=27种.故甲单位必须录用1人的应聘方法共有64－27=37种.设事件A ：甲恰好不在甲单位，则事件A ：甲恰在甲单位，由于乙、丙共有42=16种选择方法，即Card(A )=16.∴CardA=37－16=21.于是P （A ）=3721.选C. 【例4】 已知椭圆91622y x +=1,则其内接三角形面积的最大值为 （ ）A.63B.93C.123D.12【思考】没有椭圆内接三角形面积的计算公式，无法走先列函数式再求其极值的道路.但是同样的问题对于圆则是轻而易举的.“椭”的反面是“不椭”，也就是圆.那么椭圆与圆有没有恰当的方法联系起来呢？【解】如图所示，椭圆长、短轴之比为4∶3,将椭圆按cos α=ABB A 1143=投影到平面M ，得到半径 为R=3的圆O 1，圆内接正△C 1E 1F 1的面积最大，最大面积为:3427)33(432=='S . 于是椭圆内接三角形最大面积为.39343427cos 3427=⨯==αS 选B. 【小结】 与上一招相比，本计是另一种形式的转换，即正面向反面转换，解几问题向平几问题转换等，指导思想还是一个：化难为易，化未知为已知. 以下几种题型适合正面避之，1.2.互相对立事件的概率之和为13.正面难以直接计算，而反面结论清楚、明白的其他题型.考前预演1.以正方体的顶点为顶点的四面体共有 ( )A.52个B.58个C.64个D.70个2.在棱长为1的正方体上，分别用过同一顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，所剩下的凸多面体的体积是 ( ) A.125 B.65 C.85 D.873.在正项数列{a n }中，a 1=1,且S n =21(a n +na 1),则a 10= ( ) A.10+3 B.10－3 C.3+22 D.3－224.10颗骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率是 ( ) A.510651⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛- B.106651⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.1056111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-- D.5106111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 5.设关于x 的方程x 2+4mx －4m+3=0,x 2+(m －1)x+m 2=0,x 2+2mx －2m=0中至少一个存在实数根，则m 的取值范围是( )A.m ≤－23B.m ≥－1C.－123-≤≤mD.m ≤－23或m ≥－1 参考答案1.B 本题直接计算不妥，应反面求之.正方体的8个顶点中，任取四点有48C 种取法,但其中四点共面的情况有12种(即6个表面和6个对角面)，故共有48C －12=58个四面体.2.B 直接求所剩多面体的体积是不明智的，应转而求所截下的每个小三棱锥的体积，它们均为V=48121613=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯,而大正方体体积为1，∴V 凸多面体=1－656118481=-=⨯. 3.B 本题将S n 转化为a n 是不合算的，应返过来将a n 转化成S n :,1)(2),1(2111---+-=∴+=n n n n n n n n S S S S S a a S 则（S n +S n －1）(S n －S n －1)=1.∴.1212=--n n S S 以下分别令n=2,3,4,…，n,得：1,1,121222232122=-=-=--n n S S S S S S ,各式相加：1212-=-n S S n .而S 1=a 1=1,∴n S n S n n ==,2,于是a n =S n －S n －1=.310,110-=--a n n4.D 10个骰子都出现一个点的概率为1061⎪⎭⎫ ⎝⎛,1－1061⎪⎭⎫ ⎝⎛,5次不都出现一个点的概率为510611⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-,5次至少有一次都出现一个点的概率为.6111510⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 5.D 假设三个方程都没有实根，由Δ<0，则应有： 123.123,0)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2222-≥-≤-<<-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--<--<+--m m m m m m m m m m 或的取值范围是故解得。
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正难则反的“补集思想”
在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用吗？本文将通过几个例题与大家一起探讨其作用。
例1．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3个，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
分析:画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系．
解:赞成A 的人数为50×53=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A;赞成事
件B 的学生全体为集合B. 设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x,则对
A 、
B 都不赞成的学生人数为
3
x ＋1，赞成A 而不赞成B 的人数为30-x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33-x.依题意（30-x ）＋（33-x ）＋x ＋(3x ＋1)= 50，解得x=21.所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人．
评注：在学习集合知识的过程中，经常利用的数形结合方法有Venn 图法、数轴法等，运用数形结合能直观、准确地理解全集、补集的含义以及进行求补集的运算。
如果一个问题正面入手困难时,可以运用补集思想,考虑其反面。
例2．若方程①x 2-2mx+m 2-m=0；②x 2-（4m+1）x+4m 2+m=0；③4x 2-（12m+4）x+9m 2+8m+12=0中至少有一个
有实根，求m 的范围。
分析：结论中“至少有一个方程有实根”的含义为：可能有一个方程有实根；可能有两个方程有实根；可能三个方程都有实根。
若直接求,须分三大类七种情况,其过程不仅繁杂,而且极易出错,故不宜采用.不妨考虑结论的反面：三个方程都无实根时的情况。
解析：设原问题的反面：三个方程都无实根的范围为A,则原问题的所求m 的范围即为C R A. 三个方程都无实根等价于
⎪⎩⎪⎨⎧<+-=++⨯-+=∆<+=+-+=∆<=--=∆01121612894441201444140444223222212）（）（
）（）（）（）（m m m m m m m m m m m m 解得41211-<<-m . 即A=(41,211--),∴C R A=),41[]211,(+∞-⋃--∞.∴使原结论成立的m 的范围应为21141-≤-≥m m 或. 评注：如果一个问题正面入手困难时,可以运用补集思想,考虑其反面.也就是正难则反的策略.具体地说，就是将所研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合A,则C u A 便为所求.
例3、已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。
分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解。
解：易解得A={y|y>a 2+1或y<a}, B={y|2≤y ≤4},我们不妨先考虑当A ∩B ＝φ时a 的
范围。
如图
由⎩⎨⎧≥+≤4122a a ，得⎩⎨⎧-≤≥≤332a a a 或
24a 2+1
a
∴3-≤a 或23≤≤a .
即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a .而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为{}
332|<<->a a a 或. 评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”。
例4、若下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0, x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围。
分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”。
故先考虑其反面是捷径。
解：若三个方程均无实根，则有⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆023*******)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a a a a a 或 123-<<-⇔a 。
设A=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-<<123a x 于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值范围为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≥-≤=123a a a A C U 或 例5、若x 、y 、z 均为实数，且62,32,22222π
π
π
+-=+-=+-=x z c z y b y x a ，求证：a 、b 、c 中
至少有一个大于0.
分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路。
若我们能够证明其反面不能成立，则就能肯定其正面成立。
证明：假设a 、b 、c 均小于等于0，则a ＋b ＋c ≤0,
又a ＋b ＋c ＝x 2-2y+y 2-2z+z 2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立，
∴假设错误，故原命题成立，即a 、b 、c 中至少有一个大于0.
评注：本题实际是一种反证法，由此可以知道，反证法的理论依据其实就是这种“补集思想”。
总之，“补集思想”在数学中的应用很广，在今后的学习中我们还将多次应用，希望同学们要熟练地应用它，这将会给你的解题带来很大的帮助。