习题1-3 行列式的性质

1、用行列式的性质计算下列行列式：

()

134215352152809229092

；

【分析】可见行列式中1，2两列元素大部分数字是相等的，列差同为1000，易于化为下三角行列式，于是， 【解法一】

3421535215280922909221

c c -34215100028092100012

r r -61230

280921000

下三角6123000。

【解法二】

34215352152809229092

12

r r -6123

6123

2809229092

21

c c -6123

280921000

下三角6123000。

()

2ab ac ae bd cd de bf

cf

ef

---； 【分析】各行、列都有公因，抽出后再行计算。 【

解

】

ab ac ae bd cd de bf

cf

ef

---123

a r d r f r ←←←

b

c e

adf b

c e b

c

e ---12

3

b

c c c e c ←←←1111

111

1

1

adfbce ---

上三角2(1)2abcdef -⨯-⨯4abcdef =。

()

31111111111

1

1

1111

------； 【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式，

【解】

1111111111

1

1

1111

------213141

r r r r r r +++1111022200220002

上三角3

12

⨯8=。

2、把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：

()

12240

4135

31232

051-----；

【解法一】

224

4

1353

1232

5

1

-----21

c c ↔2240

143513230

2

5

1

------21

r r ↔1435

2240

13230

2

5

1

-----

270=-。

【解法二】

2

240

4

1353

1232

5

1

-----1

2 r ←1120

41352

31232

5

1

-----21

c c ↔1120

1435

213230

2

5

1

------

上三角221(1)(135)⨯⨯-⨯-270=-。

()

21234

234134124123

。

【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2，3，4列加到第1列：

【解】

1234

234134124123

1234 ()

c c c c +++10234

103411041210123213141

r r r r r r ---10

234011

3

02

22

111

------

3242 2

r r r r -+102

340113004

40

4

--- 上三角2

101(4)

⨯⨯-160=。

3、设行列式

ij a m =(,1,2,,5)i j =L ，依下列次序对ij a 进行变换后，求其结果：

交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用(-3)乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。 【解】

()1交换第一行与第五行，行列式变号，结果为m -； ()2再转置，行列式的值不变，m -；

()3用

2乘所有元素，即5行里每行都有公因2，这等于用5

2乘以行列式，结果为

52m -⨯32m =-；

()4再用(-3)乘以第二列加到第四列，这是倍加，行列式的值不变，结果仍为32m -； ()5最后用

4除第二行各元素，即第二行有公因

14，这等于用1

4

乘以行列式，结果为1

324

m -⨯

8m =-。 4、用行列式的性质证明下列等式：

()

1111112222233

33

3

a k

b b

c c a kb b c c a kb b c c ++++++1112

22333

a b c a b c a b c =； 【证法一】左边=11

11122

22233

33

3

a k

b b

c c a kb b c c a kb b c c ++++++23

c c -111122223333

a k

b b

c a kb b c a kb b c +++ 12

c kc -1

11

222333

a b c a b c a b c =右边，证毕。 【证法二】右边=1

112

223

3

3

a b c a b c a b c 12

c kc +11112222333

3

a k

b b

c a kb b c a kb b c +++ 23

c c +11

111

2222233333a kb b c c a kb b c c a kb b c c ++++++=左边，证毕。 【证法三】左边=11

11122

22233

333

a k

b b

c c a kb b c c a kb b c c ++++++1

c 分拆1111

2222333

3a b c c a b c c a b c c ++++1

11122223333

kb b c c kb b c c kb b c c +++ 2

c 都分拆1

11

2223

3

3a b c a b c a b c +111

222333a c c a c c a c c +111

2223

33kb b c kb b c kb b c +1

1122233

3

kb c c kb c c kb c c 2312: =:1

c c c c k =第2，4行列式第3行列式111

2223

3

3a b c a b c a b c +0+0+0=1

11

2223

3

3

a b c a b c a b c =右边，证毕。