随机过程的线性变换

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线性系统的分析方法 线性系统的响应特性可用下列阶线性微分方 程表示：

d n y (t ) d n −1 y (t ) dy(t ) an + an −1 + " + a1 + a0 y (t ) dtn dtn −1 dt
d m x(t ) d m−1 x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + " + b1 + b0 x(t ) dtm dtm−1 dt
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2．2随机过程的微分和积分过程
2．2．1随机过程的极限
随机变量序列的极限 (1)随机变量序列的极限{Xn},n =1, 2, " ,对任意小的 正整数 ε 恒有， limP{ X n − X > ε } = 0 (2.2-1) n→∞ 则称随机变量序列 {Xn} 依概率收敛于随机变量 X 或称变量 X 是序列 {Xn} 依概率意义下的极限：

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(2.2-2) ) 都有二阶矩，若有： , 2 , " (2)设随机变量 X 和 Xn(n=1
n →∞
lim X n = X
P
(2.2-4) 设随机变量 X 依均方收敛于随机变量 X ,或称变量 是序列 {Xn} 依均方收敛意义下的极限:
n→ ∞
lim E X n − X
{
2
}= 0
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由拉普拉斯变换 微分特性有： (an s n + an−1s n−1 + " + a1s + a0 )Y (s ) 式中 上式可以写成：
−∞
= (bm s m + bm−1 s m−1 + " + b1 s + b0 )X (s )
Y (s) = ∫ y(t )e−st dt
∞ −∞
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X (ω ) 为输入信号的频谱，而 X (ω)H(ω)为输出信 式中： 号 y (t ) 的频谱 。
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2．1．2随机过程线性变换的研究课题
随机过程线性变换主要是下述两类问题： （1）已知输入过程 X (t ) 的矩函数（或功率谱密 度），求解输出过程Y (t ) 的矩函数（或功率谱 密度）。 （2）已知输入过程 X (t )的概率分布，求解输出过 程 Y (t ) 的概率分布。
(2.1-6)
式中，如果所有系数均为常数，则为时不变系 统，如果为时间函数，则为时变系统。
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设线性系统的输入确知信号为 x(t ) ，系统对 单位冲激 δ (t ) 的响应为 h(t ) ，响应输出为 y(t ) 。 对于因果系统，任意时刻 t1的响应输出 y (t1 ) 为时刻 t1 前各个窄脉冲的响应输出之和，即：
y (t ) = L[x (t )]
(2.1-1) (2.1-2)
若对任意常数 a1 , a 2 有：
y(t) = L[a1x1(t) +a2x2(t)] = a1L[x1(t)] +a2L[x2(t)]
则称为线性变换，它具有下述两个基本特性：
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叠加性：
L[x1 (t ) + x2 (t )] = L[x1 (t )] + L[x2 (t )]
(2.1-16) (2.1-17)
H(s) 称为线性系统的传递函数
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传递函数 H (s) 是冲激响应 h(t ) 的拉普拉斯变换 即： 将
s = jω
H (s ) = ∫ h(t )e − st dt
∞ −∞
(2.1-18)
代入(2.1-18) 有：
H (ω ) = ∫ h(t )e − jωt dt
∞
(2.1-19) −∞ H (ω ) 称为线性系统的传输函数或频率响应特性。 H (ω ) = H (ω ) e jϕ (ω ) 可以写成 (2.1-20) 模值 H (ω ) 称为幅频特性，相角 ϕ (ω ) 称为相频特性。 利用傅立叶变换求解输出信号有： (2.1-24)
1 ∞ y(t ) = ∫ X (ω)H(ω)e jωt dω 2π −∞
lim h (t ) = 0
t→ ∞
(2.1-10) (2.1-11)
将式(2.1-8)中的积分上,下限扩大至 无穷大有：
y(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ
∞ −∞
或记作 (2.1-14) y (t ) = h(t ) ⊗ x(t ) 对于时不变线性系统，还可采用频域分析法。 即拉普拉斯（Laplace）变换。
y (t1 ) = lim
或：
Δτ → 0
t =− a
∑ x (τ )h (t − τ )Δτ
x (τ )h (t − τ )d τ
t1
(2.1-7)
(2.1-8) 若线性系统为物理可实现的稳定系统
−a
y (t 1 ) =
∫
t1
∫ h(t ) dt < ∞
+∞ −∞
(2.1-9)
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从而有：
(2.1-15)
X (s ) = ∫ x(t )e − st dt
∞
s = σ + jω
Y (s ) = H (s )X (s )
Y (s) bm s m + bm−1s m−1 + "+ b1s + b0 H (s) = = X (s) an s n + an−1s n−1 + "+ a1s + a0
(2.1-3) (2.1-4) (2.1-5)
Biblioteka Baidu比例性：
L [ax (t )] = aL [x 1 (t )]
若对任意时刻 t 0 ，都有：
y (t + t 0 ) = L[x (t + t 0 )]
则称此系统为时不变线性系统。
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取计时起点 t 0 = 0 ，如果 t < 0 时系统的 输入信号 x (t ) = 0 ，有输出信号 y (t ) = 0 ，则 这种系统称为因果系统。意即仅当激励加入之 后，才会有响应输出，激励是产生响应的原因， 响应是激励产生的结果，这种特性称为因果性。 可以物理实现的系统都是因果系统，所以因果 系统又称物理可实现系统。反之，非因果系统 不具有因果性，又称物理不可实现系统。
第二章 随机过程的线性变换
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2．1线性变换与线性系统概述
2．1．1线性系统的基本概念

系统的分类及其特性 无线电系统通常分成线性系统和非线性系 统两大类。具有叠加性和比例性的系统称为线 性系统。反之，称为非线性系统。
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利用线性算子符号表示，则一般的线性变换 可用下式表示：