八年级数学下册有关菱形计算证明题
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习38 根据菱形的性质与判定求角度
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习专题38 根据菱形的性质与判定求角度一、单选题1．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若140ABC ︒∠=，则OED ∠=（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，如果∠ABO=40°，则∠DCO= （）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°3．如图，在菱形ABCD 中，AC BD 、相交于O ，70ABC ∠=︒，E 是线段AO 上一点，则BEC ∠的度数可能是（）A ．100︒B ．70︒C ．50︒D ．20︒4．如图，正方形ABCD 的边长为2，以对角线BD 为边做菱形BEFD ，点C 、E 、F 在同一直线上，连接DE ，有下列结论：①BE =②2BDE S =△；③20EBC ∠=︒；④5BDF F ∠=∠，其中结论正确的有（）.A ．1B ．2C ．3D ．45．在菱形ABCD 中，∠ADC＝120°，点E 关于∠A 的平分线的对称点为F ，点F 关于∠B 的平分线的对称点为G ，连结EG ．若AE ＝1，AB ＝4，则EG ＝（ ）A ．B ．C ．D 6．在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 为AB 边的中点，DE 是线段AP 的垂直平分线，连接DP 、BP 、CP ，下列结论：①DP =CD ；②222AP BP CD +=；③75DCP ∠=︒；④150CPA ∠=︒，其中正确的是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④7．如图平行四边形ABCD 中，110A ∠=︒，AD DC =．E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则PEF ∠=（）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒8．下列命题： ①两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形；⑤平行四边形对角线相等．其中正确的命题为()A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为100︒的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（）A ．2550︒︒或B ．2050︒︒或C ．4050︒︒或D ．4080︒︒或10．如图，菱形纸片ABCD 中，60A ∠=，P 为AB 的中点，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP 所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ，则DEC ∠的度数是( )A ．45B ．60C ．75D ．8011．如图，四边形ABCD 内有一点E ，AE BE DE BC DC ====，AB AD =，若C 100∠=，则BAD ∠的大小是（ ）A ．25B ．50C ．60D ．8012．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）A ．100°B ．105°C ．110°D ．120°13．顺次连接下列各四边形各边中点所得的四边形是矩形的是( )A ．等腰梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．菱形或对角线互相垂直的四边形14．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE=DF ，EF 与BD 相交于点O ，连结AO ．若∠CBD=35°，则∠DAO 的度数为（ ）A ．35°B ．55°C ．65°D ．75°15．如图，在菱形ABCD 中，若∠B=60°，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且BE=AF ，则∠AEC+∠AFC 的度数等于（）A ．120°B ．140°C ．160°D ．180°16．如图，菱形ABCD 中，过顶点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于E 点，已知134A ∠=︒，则BEC ∠的大小为( )A ．23︒B ．28︒C ．62︒D ．67︒17．在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 为AB 边的中点，点P 与点A 关于DE 对称，连接DP 、BP 、CP ，下列结论：①DP CD =；②222AP BP CD +=；③75DCP ∠=︒；④150CPA ∠=︒，其中正确的是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题18．如图在菱形ABCD 中，边AB 的垂直平分线与对角线AC 相交于点E ，140B ∠=︒，那么DEC ∠=__________度．19．如图，菱形ABCD 中，∠D =120°，点E 在边CD 上，将菱形沿直线AE 翻折，使点D 恰好落在对角线AC 上，连结BD '，则∠AD 'B =______°．20．如图，在Rt△ABC 中，AD 为斜边BC 上的中线，AE∥BC，CE∥AD，EC 的垂直平分线FG 交AC 点G ，连接DG ，若∠ADG＝24°，则∠B 的度数为_____度．21．在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点F 为BC 中点，过点F 作FE ⊥BC 于点F交BD 于点E ，连接CE ，若∠BDC ＝34°，则∠ECA ＝_____°．22．如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=︒，AEF ∆为等边三角形，点E ，F 分别在菱形的边BC ，CD 上滑动，且E ，F 不与B ，C ，D 重合，则四边形AECF 的面积是________．23．如图，在菱形ABCD 中，过点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，且DE CE =，则BEC ∠=_____.24．如图所示，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于12BF 长为半径画弧，两弧交于一点P ，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ．AE ，BF 相交于点O ，若四边形ABEF 的周长为40，BF =10，∠ABC =_____．25．如图，在ABCD 中，5AB =，分别以,A C 为圆心，以大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于,M N 两点，直线MN 交AD 于点E ，连接CE ，若CDE ∠的周长是12，则BC 的长为__________．26．在⊙O 中，若弦BC 垂直平分半径OA ，则弦BC 所对的圆周角等于_________°．27．如图，AD 是ABC 的角平分线，//DE AC 交AB 于E ，//DF AB 交AC 于F ．且AD 交EF 于O ，则AOF ∠=________度．28．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．且AD 交EF 于O ，则∠AOF ＝_____度．29．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF．正确的是______（填序号）．30．如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，E 在CD 上，将△ADE 沿AE 翻折至△AD 'E ，且AD '刚好过BC 的中点P ，则∠D 'EC ＝_____．三、解答题31．如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，,G H 分别是对角线,BD AC 的中点，依次连接,,,E G F H 连接,EF GH ．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）当AB CD =时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若,20,70AB CD ABD BDC =∠=︒∠=︒，则GEF ∠=︒．32．如图①，在正方形ABCD 中，P 是AC 上一点，点E 在DC 的延长线上，且,PD PE PE =交BC 于F ，连接.PB问题提出：（1）求证：;PB PE =拓展与探索：（2）请求出BPE ∠的度数；问题解决：（3）如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当120BAD ︒∠=时，连接BE ，试探究线段PD 与线段BE 的数量关系，并说明理由．33．如图1，在菱形ABCD 中，AC ＝2，BD ＝AC ，BD 相交于点O ．(1)求边AB 的长；(2)求∠BAC 的度数；(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF ．判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由．34．如图，在菱形ABCD 中，6AB =，60DAB ∠=，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD ，AN ． （1）求证：四边形AMDN 是平行四边形； （2）①当AM 的值为时，四边形AMDN 是矩形； ②若6AM =，求证：四边形AMDN 是菱形．35．如图1，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA PE =，PE 交CD 于F ，连结CE ． （1）求证：PDA PDC ≅△△； （2）求证：PCE 是等腰直角三角形；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当120ABC ∠=︒时，判断PCE 的形状，并说明理由．36．如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接CE．（1）求证：四边形BECD 是平行四边形； （2）若60E ∠=︒，求BAO ∠的大小．（3）在第（2）问的基础上，且2AB =，求四边形BECD 的面积．37．如图，在ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F为圆心，大于12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ，则所得四边形ABEF 是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF 是菱形．（2）若菱形ABEF 的周长为16，AE =ABEF 的面积及C ∠的度数． 38．菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上． （1）如图1，若E 是BC 的中点，60AEF ∠=︒，求证：F 是CD 的中点； （2）如图2，若60EAF ∠=︒，20BAE ∠=︒，求FEC ∠的度数．39．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 、E 分别是AB 和BC 上的点．把△ABC 沿着直线DE 折叠，顶点B 对应点是点B′（1）如图1，点B′恰好落在线段AC 的中点处，求CE 的长； （2）如图2，点B′落在线段AC 上，当BD=BE 时，求B′C 的长； （3）如图3，E 是BC 的中点，直接写出AB′的最小值．40．如图，BD 是ABC ∆的角平分线，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，//DF AB 交BC 于点F ．（1）求证：四边形BEDF 为菱形；（2）如果100A ∠=︒，30C ∠=︒，求BDE ∠的度数．41．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝AD . 求证：(1) AB ＝BC ＝CD ＝DA (2) AC ⊥DB(3) ∠ADB ＝∠CDB ，∠ABD ＝∠CBD ，∠DAC ＝∠BAC ，∠DCA ＝∠BCA42．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过C作CE⊥AC，交AB的延长线于点E．(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠E＝50°，求∠DAB的度数．∆都是等边三角形.43．如图所示，点A是线段BC上一点，ABD∆和ACE=；（1）连结BE，CD，求证：BE CD（2）如图所示，将ABD∆.∆绕点A顺时针旋转得到AB D''①当旋转角为______度时，边AD'落在AE上；②在①的条件下，延长DD'交CE于点P，连结BD'，CD'.当线段AB、AC满足什么数∆全等？并给予证明.量关系时，BDD'∆与CPD'44．已知：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，=，连接BF交AD于点E．使DF CD（1）求证：AE ED =；（2）若AB BC =，求CAF ∠的度数．45．如图，在四边形ABCF 中，∠ACB＝90°，点E 是AB 边的中点，点F 恰是点E 关于AC 所在直线的对称点．(1)证明：四边形CFAE 为菱形；(2)连接EF 交AC 于点O ，若BC ＝10，求线段OF 的长．46．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别是BC 、BA 的中点，联结DE ，F 在DE 延长线上，且AF=AE ，（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形； （2）若四边形ACEF 是菱形，求∠B 的度数．47．如图1，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形．（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为度时，边AD′落在AE上；②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．48．如图（1），在菱形ABCD中，E、F分别是边CB，DC上的点，∠B=∠EAF=60°，（I）求证：∠BAE=∠CEF；（Ⅱ）如图（2），若点E，F分别移动到边CB，DC的延长线上，其余条件不变，请猜想∠BAE与∠CEF的大小关系，并给予证明．49．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO=DC．50．如图，等边三角形ABC和等边三角形ECD的边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，用无刻度的直尺通过连线的方式画图．(1)在图①中画一个直角三角形；(2)在图②中画出∠ACE的平分线．51．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．52．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．53．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求AE ，BF 之间的距离．54．阅读理解：（1）如图，在ABC 中，CD 是的AB 边上的中线，12CD AB =． 求证：ABC 是直角三角形． 证明：∵CD 是AB 边上的中线， ∴12AD BD AB ==． ∵12CD AB =， ∴CD AD = ∴①同理，B BCD ∠=∠∵A B ACD BCD ∠+∠+∠+∠=② ∴A B ACD BCD ∠+∠=∠+∠=③ ∴ABC 是直角三角形．（2）灵活应用：如图，在ABC 中，90BCA ∠=︒，7AC =，25AB =，点D 是AB 的中点，过点D 作CB的垂线DE 交BC 于点E ，在这条垂线上有一动点P ，恰好使得PAB △是以AB 为斜边的直角三角形，求此时PB 的长．（3）应用拓展：如图，正三角形ABC ，D 为BA 延长线上一点，且AD AB =，点M 为ABC 所在平面上一点，MBD 是以BD 为斜边的直角三角形，MBC △为等腰三角形，求此时MBC △顶角的度数（直接写出答案）55．如图1，边形ABCD 为菱形，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接DE 并延长交AE 于点F ，连接BE .(1)如图1，求证：AFD EBC ∠=∠；(2)如图2，若DE EC =，且BE AF ⊥，求DAB ∠的度数.56．在图1，2，3中，已知ABCD ，120ABC ︒∠=，点E 为线段BC 上的动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形AEFG ，且120EAG ︒∠=．（1）如图1，当点E与点B重合时，CEF∠=________°；（2）如图2，连接AF．①填空：FAD∠_________EAB∠（填“>”，“<”，“=”）；②求证：点F在ABC∠的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BCAB的值．57．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是线段AB上的一个动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．58．如图①，△ABC中，AB=AC，点M、N分别是AB、AC上的点，且AM=AN．连接MN、CM、BN，点D、E、F、G分别是BC、MN、BN、CM的中点，连接E、F、D、G．（l）判断四边形EFDG的形状是（不必证明）；（2）现将△AMN绕点A旋转一定的角度，其他条件不变（如图②），四边形EFDG的形状是否发生变化？证明你的结论；（3）如图②，在（2）的情况下，请将△ABC在原有的条件下添加一个条件，使四边形EFDG是正方形．请写出你添加的条件，并在添加条件的基础上证明四边形EFDG是正方形．21 / 21。
第十八章全国通用版中考数学：菱形有关的证明与计算(三)—解析版
第十八章专题：菱形有关的证明与计算（三）1.菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E在AD上，连接BE，点F、H在BE上，△AFH为等边三角形．（1）如图1，若CE⊥AD，BE=63，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，点G在AC上，连接FG，HC，若FG∥AH，HC=2AH，求证：AG=GC．【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠D=60°，AD∥BC∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∵CE⊥AD，∴AE=DE，BC⊥CE，设AE=DE=m，则AD=BC=2m，CE=3m，在Rt△BCE中，∵BE2=CE2+BC2，∴4m2+3m2=63，∴m=±3，∵m＞0，∴m=3，∴BC=6，EC=33，∴S菱形ABCD=BC•CE=183．（2）作CK∥AH交BE于点K．∵△AFH是等边三角形，∴∠AHF=∠AFH=60°，∵AH∥CK，∴∠AHF=∠CKE=60°，∴∠AFB=∠BKC=120°，∵∠ABF+∠CBK=60°，∠CBK+∠BCK=60°，∴∠ABF=∠BCK，∵AB=BC，∴△ABF≌△BCK（AAS），∴BK=AF，∵∠BAC=∠FAH=60°，∴∠BAF=∠CAH，∵BA=AC，AF=AH，∴△BAF≌△CAH（SAS），∴BF=CH，∵CH=2AH，AH=AF=FH=BK，∴BK=FK=FH，∵AH∥FG∥CK，FH=FK，∴AG=CG．2.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，M、N分别为线段AB、BC上的两点．且BM=CN，AN，CM相交于点E．（1）证明：△BCM≌△CAN；（2）求∠AEM的度数；（3）证明：AE+CE=DE．【解答】（1）证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠B=60°，∴△ACD，△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，在△BCM和△CAN中，BC＝AC，∠B＝∠ACN，BM＝CN，∴△BCM≌△CAN（SAS）．（2）∵△BCM≌△CAN，∴∠BCM=∠CAN，∴∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．（3）证明：如图，作DG⊥AN于G，DH⊥MC，交MC的延长线于H．∵∠AEM=60°，∴∠AEC=120°，∵∠DGE=∠H=90°，∴∠GEH+∠GDH=180°，∴∠GDH=∠ADC=60°，∴∠ADG=∠CDH，在△DGA和△DHC中，∠DGA＝∠H＝90°，∠ADG＝∠CDH，DA＝DC，∴△DGA≌△DHC（AAS），∴DG=DH，∵DG⊥AN，DH⊥MC，∴∠DEG=∠DEH，∴DE平分∠AEC，即∠GED=60°，在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°，∴DE=2EG，在△DEG和△DEH中∠DEG＝∠DEH，∠DGE＝∠H，DE＝DE，△DEG≌△DEH（AAS），∴EG=EH，∵△DGA≌△DHC，∴GA=CH，∴EA+EC=EG+AG+EH-CH=2EG=DE，即EA+EC=ED．3.在菱形ABCD中，∠C=60°，E为CD边上的点，连接BE．（1）如图1，若E为CD的中点且BE=3，求菱形ABCD的面积．（2）如图2，点F在BC边上，且DE=CF，连接DF交BE于点M，连接EB并延长至点N，使得BN=DM，求证：AN=DM+BM．【解答】（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠C=60°，∴△BCD是等边三角形，∵DE=EC，∴BE⊥CD，∴EC=3，∴CD=2EC=23，∴菱形ABCD的面积=CD•BE=63．（2）如图2中，连接AM，在MA上截取MH=MD，连接DH．∵DE=CF．∠BDE=∠C，BD=CD，∴△BDE≌△DCF，∴∠DBE=∠CDF，∴∠BMF=∠DBM+∠BDM=∠CDF+∠BDM=60°，∴∠DMB=120°，∵∠DAB+∠DMB=180°，∴∠ADM+∠ABM=180°，∵∠ABN+∠ABM=180°，∴∠ABN=∠ADM，∵AB=AD，BN=DM，∴△ABN≌△ADM，∴∠DAM=∠BAN，AM=AN，∴∠MAN=∠DAB=60°，∴△AMN是等边三角形∴∠AMB=∠AMD=60°，∵MH=MD，∴△DMH是等边三角形，∴DH=DM，∠ADB=∠HDM=60°，∴∠ADH=∠BDM，∵AD=DB，DH=DM．∴△ADH≌△BDM，∴AH=BM，∵AM=AH+HM，∴AN=AM=DM+BM．4.已知：四边形ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）如图（1），①求AC的长；②求证：AE=CF；（2）如图（2），若∠EOD=30°，连BE，CE，求△BEC的周长．【解答】（1）①根据题意及菱形的性质，可求∠BAO=30°，BO=2，∴AO=23，∴AC=43；②∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，∠OAE＝∠OCF，AO＝CO，∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；（2）依题意△CBD是等边△，BD=4，可得EF⊥BC，∵BO=2，OE=OF，BF=1，∴OF=3，EF=23，BE=13，EC=21∴△BEC的周长为（4+13+21）5.如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交AE于点F，连接BE．（1）如图1，求证：∠AFD=∠EBC；（2）如图2，若DE=EC，且BE⊥AF，求∠DAB的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴DC=CB，在△DCE和△BCE中，DC＝CB，∠DCE＝∠BCE，EC＝EC∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠EDC=∠EBC，由DC∥AB得，∠EDC=∠AFD，∴∠AFD=∠EBC；（2）解：∵DE=EC，∴∠EDC=∠ECD，设∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，则∠CBF=2x°，由BE⊥AF得：2x+x=90°，解得：x=30°，∴∠DAB=60°．6.菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD=4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC 、BD 相交于点O ，点N 为BP 的中点，过P 作PM ⊥AC 于M ，连接ON 、MN ．试判断△MON 的形状，并说明理由．【解答】（1）如图1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=AD=10，AB ∥CD∵PD=4，∴PC=6，∵PB ⊥CD ，∴PB ⊥AB ， ∴∠CPB=∠ABP=90°，在RT △PCB 中， ∵∠CPB=90°PC=6，BC=10，∴PB=8， 在RT △ABP 中，∵∠ABP=90°，AB=10，PB=8，∴PA=412． （2）△OMN 是等腰三角形．理由：如图2中，延长PM 交BC 于E ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，CB=CD ， ∵PE ⊥AC ，∴PE ∥BD ， ∴CBCECD PC ，∴CP=CE ，∴PD=BE ， ∵CP=CE ，CM ⊥PE ，∴PM=ME ，∵PN=NB ，∴MN=21BE ， ∵BO=OD ，BN=NP ，∴ON=21PD ， ∴ON=MN ，∴△OMN 是等腰三角形．。
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习37 利用菱形的性质证明
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习专题37 利用菱形的性质证明一、单选题1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．邻边相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．邻角互补2．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．两组对角分别相等D．对角线互相垂直3．矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对边平行且相等D．内角和为360°4．下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相垂直平分D．正方形的对角线相等5．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分D．对角线互相垂直6．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线长度相等D．一组对角线平分一组对角7．菱形具有，而矩形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相垂直8．下列说法中错误的是（）A ．四边相等的四边形是菱形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．菱形的对角线互相垂直且相等D ．正方形的邻边相等9．下列哪条性质是平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的（）A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线互相垂直．D ．对角线平分一组对角．10．下列说法中不正确的是（ ）A ．平行四边形的对角相等B ．菱形的邻边相等C ．平行四边形的对角线互相平分D ．菱形的对角线互相垂直且相等11．菱形OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点C 的坐标是()4,0，点A 的纵坐标是1,则点B 的坐标是（）A ．()2,1B ．()2,1-C ．()1,2-D ．()1,2 12．下列命题中，正确的是( )A ．平行四边形的对角线相等B ．菱形的对角线互相垂直且平分C ．矩形的对角线互相垂直D ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 13．菱形不具备的性质是（ ）A ．对角线一定相等B ．对角线互相垂直C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形14．矩形一定具有而菱形不一定具有的性质是（）A ．内角和等于360B ．对角线互相垂直C ．对边平行且相等D ．对角线相等15．矩形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补16．关于菱形，下列说法错误的是（）A ．四条边相等B ．对角线互相垂直C ．四个角相等D ．对角线互相平分17．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）．A ．对边平行且相等B ．对角线互相平分C ．内角和等于外角和D ．每一条对角线所在直线都是它的对称轴18．如图，把菱形ABCD 向右平移至DCEF 的位置，作EG ⊥AB ，垂足为G ，EG 与CD 相交于点K ，GD 的延长线交EF 于点H ，连接DE ，则下列结论：①BG =AB +HF ；②DG =DE ；③∠DHE =12∠BAD ；④∠B =∠DEF ，其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．菱形ABCD 中，60D ∠=︒．点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且BE CF =．若2EF =，则AEF 的面积为（）．A ．B ．C ．D20．如图，四边形ABCD 沿直线l 对折后重合，如果//AD BC ，则结论①AB //CD ；②AB =CD ；③AB BC ⊥；④AO OC =中正确的是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个21．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点,О下列结论正确的是（）A ．COD AOB S S ∆= B ．AC BD =C ．AC BD ⊥D ．ABCD 是轴对称图形 22．如图，在菱形ABCD 中，点,,,EFGH 分别是四条边的中点，则四边形EFGH 是（）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．无法确定23．下列说法中，错误的是（）A ．平行四边形的两组对角分别相等；B ．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形；C ．正方形的对角线互相垂直平分且相等；D ．菱形的对角线互相垂直．24．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，延长CB 至E 使BE=CB ，连续AE ．下列结论①AE=2OE；②90EAC ∠=︒；③四边形ADBE 为平行四边形；④34AEBO ABCD S S =四边形菱形中，正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个25．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角相等且互补B ．对角线互相平分C ．对角线互相垂直D ．一组对边平行，另一组对边相等26．下列性质中，菱形不具有的是（）A ．对边平行且相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线相等27．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，做BD 的垂直平分线E ，F ，分别与AD 、BC 交于点E 、F ，连接BE ，DF ，若EF =AE +FC ，则边BC 的长为（）A ．B ．C ．D 28．如图,在菱形ABCD 中, AD=6,∠BAD=60°, 点P 是对角线AC 上的动点，点E 是AB的中点，连结PB 、PE ，则PE+PB 的最小值为（）A ．B ．CD ．29．已知，如图，在菱形ABCD 中．（1）分别以C ，D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧分别交于点E ，F ；（2）作直线EF ，且直线EF 恰好经过点A ，且与边CD 交于点M ；（3）连接BM ．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误．．的是（）A ．∠ABC =60°B ．如果AB =2，那么BM =4C ．BC =2CMD ．2ABM ADM S S △△30．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合），且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H .给出如下几个结论：①△AED ≌△DFB ：②GC 平分∠BGD ；③S 四边形BCDG ＝4CG 2；④∠BGE 的大小为定值．其中正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．431．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将ABCD沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分∠DCH；③线段BF 的取值范围为3≤BF≤4；④当点H 与点A重合时，EF=A ．①②③④B ．①④C ．①②④D ．①③④32．如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD ＝DE ，连结BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连结OG ，则下列结论：①OG ＝12AB ；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S 四边形ODGF ＞S △ABF ；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（ ）A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④33．如图所示，等边三角形ABC 沿射线BC 向右平移到DCE ∆的位置，连接AD 、BD ，则下列结论：（1）AD BC =（2）BD 与AC 互相平分（3）四边形ACED 是菱形（4）BD DE ⊥，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．434．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD．结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG12=BC；⑤四边形EFGH的周长等于2AB．其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．435．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE＝2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距高是③AF＝CF；④△ABF的( )个.A．1 B．2 C．3 D． 436．如图，菱形ABCD中，∠A是锐角，E为边AD上一点，△ABE沿着BE折叠，使点A 的对应点F恰好落在边CD上，连接EF，BF，给出下列结论：①若∠A=70°，则∠ABE=35°；②若点F是CD的中点，则S△ABE13=S菱形ABCD下列判断正确的是（）A．①，②都对B．①，②都错C．①对，②错D．①错，②对第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题37．给出下列命题：①平行四边形的对角线互相平分；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的对角线互相垂直平分；④对角线互相垂直的四边形是菱形．其中_____是真命题（填序号）．38．菱形的对角线互相垂直且相等．_____（判断对错）39．矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是_____．40．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，C 在x轴上，顶点B的坐标为（2，3），那么顶点D的坐标是______________；41．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝8，E是AB的中点，则OE 的长等于_____．42．下列说法:①平行四边形对角相等，对边也相等；②菱形一组对角的和为180︒；③矩形对角线相等；④平行四边形是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴；⑤平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的序号为________________________．43．如图，在菱形ABCD中，AB=3cm，∠A=60°．点E，F分别在边AD，AB上，且DE=1cm．将△AEF沿EF翻折，使点A落在对角线BD上的点A'处，则A'BA'F=______．44．如图，四边形ABCD是菱形，点A，B，C，D的坐标分别是（m，0），（0，n），（1，0），（0，2），则mn=_____．45．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，CE＝DE，AE⊥CD，E为垂足，则AE2+BE2＝_____．46．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点A作AE CB⊥交CB的延长线于点E，连接OE ．若菱形ABCD 的面积等于12，对角线4BD =，则OE 的长为_________．47．如图，菱形ABCD 的边长为1, 60ABC ∠=︒．,E F 分别是,BC BD 上的动点，且CE DF =,则AE AF +的最小值为_______．48．如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD 、CG ．给出以下结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④2.BCDG S AB =四边形其中正确的有______．三、解答题49．如图，菱形ABCD 的周长为8，对角线BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点；且满足AE +CF ＝2．（1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由．50．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD 、AN ．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）在点M 移动过程中：①当四边形AMDN 成矩形时，求此时AM 的长；②当四边形AMDN 成菱形时，求此时AM 的长．51．如图，在△ABC 中，AB=AC ，四边形ADEF 是菱形，求证：BE=CE ．52．如图，点,E F 分别在菱形ABCD 的边,BC CD 上，BE DF =．求证:.AE AF =53．如图，在菱形ABCD 中，AEF 是等边三角形，E ，F 分别在BC ，CD 上，且EF CD =，求BAD ∠的度数．54．如图，已知菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，过点 C 作 CE∥BD，过点 D 作 DE∥AC，CE 与 DE 相交于点 E ．求证：四边形 CODE 是矩形；55．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边CD 上，AE 与BD 相交于点F ，连接CF ．（1）求证：AED BCF ∠=∠；（2）若60ABC ∠=︒，2AB =，求菱形ABCD 的面积．56．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）尺规作图：以OA 、OD 为边，作矩形OAED (不要求写作法，但保留作图痕迹)；（2）若在菱形ABCD 中，∠BAD =120 °，AD =2，求所作矩形OAED 的周长．57．如图所示，在四边形ABCD 中，AB DC =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，G 、H 分别是BD 、AC 的中点，猜一猜EF 与GH 的位置关系，并证明你的结论．58．如图，在菱形ABCD 中，点,E F 分别是,CD BD 边上的点，12∠=∠．求证：（1）FCD EBD ≌；（2）CE BF =．59．如图，在菱形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且AE ⊥AB ，连结CE ．（1）求证：∠ECB ＝90°；（2）若AE ═ED ＝1时，求菱形的边长．60．如图1，四边形ABCD 是菱形，5AD =，过点D 作AB 的垂线DH ，垂足为H ，交对角线AC 于M ，连接BM ，且3AH =．（1）求DM 的长；（2）如图2，动点P 从点A 出发,沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设PMB △的面积为(0)S S ≠，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当点P 在边AB 上运动时，是否存在这样的t 的值，使M PB ∠与BCD ∠互为余角?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．61．如图，菱形ABCD 的边长为2．2BD =，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足2AE CF +=．（1）求证：BDE BCF △≌△；（2）判断BEF 的形状，并说明理由．62．如图，在直角坐标系中，3,4OA OC ==，点B 是y 轴上一动点，以AC 为对角线作平行四边形ABCD ．（1）求直线AC 的函数解析式；（2）设点(0)B m ，，记平行四边形ABCD 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式；（3）当点B 在y 轴上运动，能否使得平行四边形ABCD 是菱形？若能，求出点B 的坐标；若不能，说明理由．63．将一个三角形的三个顶点分别关于各自对边所在直线作对称点，由这三个对称点确定的三角形叫做原三角形的“再生三角形”．（1）一个周长为L ，面积为S 的等边三角形的“再生三角形”的周长是______，面积是______；（2）已知ABC 中，30,ABC BA BC ∠=︒=，A B C '''是ABC 的“再生三角形”，其中点，A '，B '，C '分别是点A ，B ，C 的对称点．A B C '''是_______三角形；（3）已知Rt ABC 中，90CAB ∠=︒，A B C '''是Rt ABC 的“再生三角形”，其中点,,A B C '''分别是点A ，B ，C 的对称点，试猜想A B C '''与Rt ABC 的面积有怎样的关系，并加以证明；（4）小舒认为所有的三角形都存在“再生三角形”，小雪认为不是所有的三角形都存在“再生三角形”．你认为谁的判断是正确的?请说明理由．64．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形的边AB 、CD 、DA 上，1AH =，连接CF ．（1）当1DG =时，求证：菱形EFGH 为正方形；（2）设DG x =，请用x 的代数式表示△FCG 的面积；（3）当DG =时，求GHE ∠的度数． 65．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．。
八年级数学《菱形》练习题含答案
八年级数学《菱形》练习题随堂演练一、填空题1．菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为 ，周长为 .2．菱形的一边与两条对角线构成的二角之比为5：4，则菱形的各内角为 ， ， ， .3．菱形的两条对角线分别为3和7，则菱形的面积为 .4．已知在菱形ABCD 中，E ，F 是BC ，CD 上的点，且AE ＝EF ＝AF ＝AB ，则∠B= .5．已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm ，则较短对角线的长是 .6．已知菱形的面积等于80cm 2，高等于8cm ，则菱形的周长为 .7．已知菱形ABCD 中AE ⊥BC ，垂足E ，F 分别为BC ，CD 的中点，那么∠EAF 的度数为 .8．顺次连结菱形各边的中点，所得的四边形为 形．二、选择题1．能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）A ．对角线相等且互相平分B ．对角线相等且对角相等C ．对角线互相垂直D ．两组对角分别相等且一条对角线平分一组对角2．菱形ABCD ，若∠A:∠B ＝2：1，∠CAD 的平分线AE 和边CD 之间的关系是（ ）A ．相等B ．互相垂直且不平分C ．互相平分且不垂直D ．垂直且平分3．已知菱形ABCD 的周长为40cm ，BD=34AC ，则菱形的面积为（ ） A ．96cm 2 B ．94cm 2 C ．92cm 2 D ．90cm 24．菱形的周长等于高的8倍，则这个菱形较大内角是（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°5．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D ．对边平行且相等6．下列说法正确的是（ ）A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．邻边相等的四边形为菱形7．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．对角相等且互补B ．对角线互相平分C ．一组对边平行，另一组对边相等D ．对角线互相垂直8．菱形的对角线把它分成全等的直角三角形的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个三、解答题1．如图，在菱形ABCD中，延长AD到E，连结BE交CD于H，交AC于F，且BF＝DE，求证：DH＝HF.2．如图，在菱形ABCD中,E是AD的中点，EF⊥AC交CB的延长于F，交AC于M，求证：AB与EF互相平分．3．已知菱形的面积为24cm2，边长为5cm，求该菱形中一组对边之间的距离．4．已知：如图，在菱形ABCD中，BD是对角线，过D作DE⊥BA交BA延长线于点E，若BD＝2DE，AB＝4，求菱形的面积。
人教版八下数学 专题5 与矩形、菱形有关的计算与证明
人教版八下数学专题5 与矩形、菱形有关的计算与证明1.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60∘，点E在边AD上，且AE=2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为．2.如图，AC=8，分别以点A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D，依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O．(1) 判断四边形ABCD的形状并说明理由；(2) 求BD的长．3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是( )A．3√3B．4C．5D．64.如图，将边长为13的菱形ABCD沿AD方向平移至菱形DCEF的位置，作EG⊥AB，交BA的延长线于点G，GD的延长线交EF于点H，已知BD=24，则GH=．5.如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为( )A．14S B．18S C．112S D．116S6.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为( )A．485B．325C．245D．1257.如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE=DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B⋯⋯按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B的面积为．（用含正整数n的式子表示）8.如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE，BD．(1) 求证：四边形DBEC是平行四边形．(2) 若∠ABC=120∘，AB=BC=4，则在点E的运动过程中：①当BE=时，四边形BECD是矩形，试说明理由；②当BE=时，四边形BECD是菱形．9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG=AE，连接CG．(1) 求证：△ABE≌△CDF；(2) 当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．。
八年级数学下册19.2菱形1.菱形的性质练习(含答案)
19.2 菱形1.菱形的性质1.如图,已知菱形ABCD的边长等于2,∠DAB=60°,则对角线BD的长为( C )(A)1 (B)(C)2 (D)22.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6,过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( C )(A)4 (B)(C)(D)53.菱形的两条对角线的长分别是6和8,则这个菱形的周长是( B )(A)24 (B)20 (C)10 (D)54.如图,P是菱形ABCD对角线BD上一点,PE⊥AB于点E,PE=4 cm,则点P到BC的距离是 4 cm.5.如图,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16 c m,若墙上钉子间的距离AB=BC=16 cm,则∠1= 120°.6.如图,在菱形ACBD中,对角线AB,CD相交于点O,CE⊥AD于点E,若AB=16,CD=12,则菱形的面积是96 ,CE= 9.6 .第6题图7.(2018广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是(-5,4) .第7题图8.已知:如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证:∠AFD=∠CBE.证明:因为四边形ABCD是菱形,所以CB=CD,CA平分∠BCD.所以∠BCE=∠DCE.又CE为公共边,所以△BCE≌△DCE.所以∠CBE=∠CDE.因为在菱形A BCD中,AB∥CD,所以∠AFD=∠FDC,所以∠AFD=∠CBE.9.(2018广东)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°.(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,连结BF,求∠DBF的度数.解:(1)如图所示,直线EF即为所求.(2)因为四边形A BCD是菱形,∠CBD=75°,所以∠ABD=∠DBC=75°,DC∥AB,∠A=∠C.所以∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°.所以∠C=∠A=30°.因为EF是线段AB的垂直平分线,所以AF=FB.所以∠A=∠FBA=30°.所以∠DBF=75°-30°=45°.10.如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F,连结EF.求证:(1)△ADE≌△CDF;(2)∠BEF=∠BFE.证明:(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AD=CD,∠A=∠C.因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以∠AED=∠CFD=90°.所以△ADE≌△CDF.(2)因为四边形ABCD是菱形,所以AB=CB.因为△ADE≌△CDF,所以AE=CF.所以AB-AE=C B-CF.所以BE=BF.所以∠BEF=∠BFE.11.(规律探索题)如图,两个连在一起的全等菱形的边长为1米,一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,当微型机器人行走了2 019米时停下,求这个微型机器人停在哪个点?并说明理由.解:这个微型机器人停在D点.理由如下:因为两个全等菱形的边长为1米,所以微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA顺序走一圈所走的距离为8×1=8米.因为2 019÷8=252……3,所以当微型机器人走到第252圈后再走3米正好到达D点.12.(拓展探究题)如图1,有一张菱形纸片ABCD,AC=8,BD=6.(1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四边形,在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开,请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)解:(1)因为菱形的两条对角线长分别为6,8,所以对角线的一半分别为3,4,所以菱形的边长为5,所以图1平行四边形的周长为2×(5+8)=26; 图2平行四边形的周长为2×(5+6)=22.(2)如图3所示.。
初二数学下菱形(提高)知识讲解+巩固练习
菱形（提高）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．(1)求证：AM＝DM；(2)若DF＝2，求菱形ABCD的周长．【答案与解析】证明：(1)连接DB，则由菱形性质得BD⊥AC．又因为EF⊥AC，所以EF∥BD，即ME∥BD．又因为点E是AB的中点，所以点M是AD的中点．所以AM＝DM．(2)由(1)得DB∥EF．又BE∥DF，所以四边形EFDB是平行四边形．所以BE＝DF＝2．又因为12BE AB，即AB＝2BE＝2×2＝4．所以菱形ABCD的周长为4×4＝16．【总结升华】菱形四边相等，对角线互相垂直平分. 举一反三：【变式】（春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB 的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、（春•郑州校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．【巩固练习】一.选择题1.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°3．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm4.（•青神县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD 于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A.108°B.72°C.90°D.100°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为142cm ，四边形ABCD 面积是112cm ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）A.48cmB.36cmC.24cmD.18cm6. 如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A ＝120°，则图中阴影部分的面积是（ ）A.3B.2C.3D.2二.填空题7. （•江西三模）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB=3，则BC 的长为 ．8．如图，已知菱形ABCD ，其顶点A 、B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC ＝_____.9．如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 中点， 且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为FA B CDHE G①②③④⑤cm.______210．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. （•建湖县一模）如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF ＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B ； 2.【答案】A ；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°. 3.【答案】C ；【解析】设两条对角线的长为6,8k k .所以有()()2223410k k +=，∴2k =，所以两条对角线的长为12 ，16.4.【答案】B ；【解析】连接PA ，如图所示： ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴， ∴PA=PC ，∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ， ∴PA=PD ， ∴PD=PC ，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°； 故选：B ．5.【答案】A ；【解析】菱形的面积等于11＋142＝18，设菱形边长为a ,则218,62a a ==，①②③④四个平行四边形周长的总和为菱形周长的2倍.6.【答案】A ；【解析】菱形的高分别是3和332，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD 面积－△DEF 面积－△BGF 面积＝93152333333244+---=. 二.填空题7.【答案】． ；【解析】∵AECF 为菱形，∴∠FCO=∠ECO ，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE ，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°， ∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt △EBC 中，EC=2EB ，又EC=AE ， AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等. 9.【答案】23【解析】由题意∠A ＝60°，DE 310.【答案】5；53253； 【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和53，面积为125553322⨯⨯=11.【答案】512；【解析】431255AO BO OH AB ⨯⨯===. 12.【答案】()258,0,,08⎛⎫⎪⎝⎭； 【解析】由在菱形ABCD 中，AC ＝12，BD ＝16，E 为AD 中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP ＝OE 时，②当OE ＝PE 时，③当OP ＝EP 时去分析求解即可求得答案．三.解答题 13.【解析】 证明：（1）∵△ACF 是等边三角形， ∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF ， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACB=∠FAC ， ∴AF ∥BC ， ∵AM ∥FC ，∴四边形AMCF 是平行四边形， ∵AM ∥FC ，∠ACB=∠ACF=60°， ∴∠AMC=60°， 又∵∠ACB=60°，∴△AMC 是等边三角形， ∴AM=MC ，∴四边形AMCF 是菱形；（2）∵△BCE 是等边三角形， ∴BC=EC ，在△ABC 和△MEC 中 ∵，∴△ABC ≌△MEC （SAS ）．14.【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，OB ＝OD ∵∠EDO ＝∠FBO, ∠OED ＝∠OFB ∴△OED ≌△OFB∴DE ＝BF 又∵ED ∥BF∴四边形BEDF 是平行四边形 ∵EF ⊥BD∴平行四边形BEDF 是菱形. 15．【解析】 解：（1）∵AE ＋CF ＝2＝CD ＝DF ＋CF ∴AE ＝DF ，DE ＝CF ， ∵AB ＝BD∴∠A ＝∠ADB ＝60° 在△BDE 与△BCF 中BD BC ADB C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△BCF（2）由（1）得BE ＝BF ，∠EBD ＝∠CBF∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠DBF ＋∠CBF ＝∠CBD ＝60°∴△BEF 是等边三角形(3)∵3≤△BEF 的边长＜222S≤<S<11 / 11。
人教版八年级下册数学 18.2矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明 习题精选(含答案)
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选矩形的性质和判定1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的和为15，则短边的长是________。
2．如图32-3-1，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1____S2。
3．如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分，那么矩形的周长为_______。
4．现有一张长为40cm, 宽为20 cm的长方形纸片（如图32-3-2所示），要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出___张。
5．矩形的一条较短边的长为5 c m，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于_____ cm。
6．如图32-3-3，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=____度。
7．下列说法中正确的是( )A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形。
B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形。
C．对角线互相垂直的平行四边开是矩形。
D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。
8．四边形ABCD的对角线相交于O，在下列条件中，不能说明它为矩形的是（）A．AB=CD,AD=BC, BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°, ∠BAD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD, ∠ABC+∠ADC=180°★菱形的性质和判定9．己知菱形的锐角是60°，边长是20 cm，则较长对角线是_____。
10．菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，它的高为______。
11．菱形的一个内角是120°，平分这个内角的一条对角钱长为13 cm，则菱形的周长是____。
12．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是_____。
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件． 例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×）正解：（2）（×） （2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复． 例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。
人教版2019年 八年级数学下册 菱形 精选练习(含答案)
2019年 八年级数学下册 菱形 精选练习一、选择题1.如图，菱形ABCD 中，AB=5，BD=6，则菱形的高为（ ）A.2.4B.4.8C.12D.242.如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，连接DF ，若∠CDF=24°，则∠DAB 等于（ ）A ．100°B ．104°C ．105°D ．110°3.如图,在周长为12的菱形ABCD 中,AE=1,AF=2,若P 为对角线BD 上一动点,则EP+FP 的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.44.如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠B=45°,AE 为BC 边上的高,将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB ′E ，AB ′与CD 边交于点F,则B ′F 的长度为（ ）A.1B.C.2-D.2﹣25.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=1，E 为BC 的中点，则对角线BD 上的动点P 到E 、C两点的距离之和的最小值为（ ）A.43B.33C.23 D.216.如图，在菱形ABCD 中，AB=4cm ，∠ADC=120°，点E ，F 同时由A ，C 两点出发，分别沿AB ，CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为( )A.1B.C.D.7.如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE为菱形，下列选项中错误的是（）A.BD=AEB.CB=BFC.BE⊥CFD.BA平分∠CBF8.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（）A.12mB.20mC.22mD.24m9.如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是( )A.8B.16C.8D.1610.如图，在菱形ABCD中，AB=13，对角线AC=10，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )A.8B.C.D.二、填空题11.如图，正方形ABCD的面积为18，菱形AECF的面积为6，则菱形的边长为．12.把两张宽为2 cm的矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分(图中的阴影部分)的四边形ABCD的形状为________，其面积的最小值为________cm2.13.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为．14.如图，四边形ABCD和CEFG都是菱形，连接AG，GE,AE，若∠F=60°，EF=4，则△AEG面积为________.15.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为．16.如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为三、解答题17.准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．18.如图,已知在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于M,过M作ME⊥CD于E,∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．19.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且AC=2DE,连接AE交OD于点F,连接CE、OE．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．20.如图所示,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;(2)①当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?②当AM为何值时,四边形AMDN是菱形?21.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．22. (1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平▱ABCD移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1 图2答案1.B2.B.3.C4.C5.C.6.D7.A8.C9.A.10.C.11.答案为：；12.答案为：菱形，413.答案为：2.5；14.答案为：15.答案为：15．17.18.（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．19.【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=0.5AC，AD=CD，∵DE∥AC且DE=0.5AC，∴DE=OA=OC，∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，∴OE=AD，∴OE=CD；（2）解：∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2，∴在矩形OCED中，CE=OD=．∴在Rt△ACE中，AE==．解:（1）略；（2）PC2=PE PF20. (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴ND∥AM,21.解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=8﹣t，解得t=4．答：当t=4时，四边形ABQP是矩形；（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形当AQ=CQ，即=8﹣t时，四边形AQCP为菱形．解得：t=3．答：当t=3时，四边形AQCP是菱形；（3）当t=3时，CQ=5，则周长为：4CQ=20cm，面积为：4×8﹣2××3×4=20（cm2）．。
18-4 菱形的性质与判定(原卷版)
【变式3-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．48B．32C．24D．16
【变式3-3】（2022秋•阳山县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，着EF ，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
【例题5】（2022秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的
是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
解题技巧提炼
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②菱形的四条边都相等.
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.
⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等.
性质定理应用格式：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；
AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；
【变式4-2】（2021秋•武功县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．求证：AE＝AF．
【变式4-3】（2022秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：DM＝DN．
人教八年级数学下册菱形的判定
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BA=BC
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判定方法2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
数学语言
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先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？说出你的理由
C
（3）.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
C
4、选择：
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24㎝²
菱形
＝
＝
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∴四边形ABCD是菱形.
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3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形
B
C
N
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4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。
判定法三
四边相等的四边形是菱形
菱形的判定：
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AB=AD
苏科版数学八年级下册第九章 9.4 矩形、菱形、正方形(解答题)专练(详细答案)
9.4 矩形、菱形、正方形（解答题）1．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．2．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：DF=BE．3．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．4．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．6．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE 的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．8．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．9．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．11．如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E 关于AC所在直线的对称点．（1）证明：四边形CFAE为菱形；（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．12．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为，∠ABC=°．（直接填写结果）13．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）14．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．15．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．16．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．18．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．19．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．21．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．22．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．23．如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．24．已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．25．如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．（1）求证：△ABE≌△EGF；=2S△ECF，求BE．（2）若AB=2，S△ABE26．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ 于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．27．在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由28．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知EO=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．29．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．30．如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．答案与解析1．（2021•安顺）如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．2．（2021•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【解答】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．3．（2021•荆州）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，∴∠DA′E=∠DEA′，∴DA′=DE，∴△A′DE是等腰三角形．∵四边形DEFD′是菱形，∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，∴∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，在△A′DE和△EFC′中，，∴△A′DE≌△EFC′．【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2021•淮安）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE ≌△CDF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（2021•苏州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D 作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB=90°，∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．6．（2021•枣庄）如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．【分析】（1）根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．（2）先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，（3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．【解答】解：（1）过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．∵PE=PF=6，EF=6，∴FG=EG=3，∠FPG=∠EPG=∠EPF．在Rt△FPG中，sin∠FPG===，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=120°．（2）过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME=NF．又AP=10，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AN=APcos30°=10×=5，∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=10．（3）如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P′，P之间运动，∴P′O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值为12，AP的最小值为6，【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关键是作出辅助线．7．（2021•三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可；（2）利用菱形的判定证明即可．【解答】证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱形的判定是解题关键．8．（2021•抚顺）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA=180°，从而得到∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，得到答案∠AOD=90°；（2）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，=180°，∴∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠AOD=90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．9．（2021•沈阳）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【分析】（1）欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD即可．（2）先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定．【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∴∠CEB=∠CBE．（2））∵△ABC≌△ABD，∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．10．（2021•聊城）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．【分析】先证明△AEF≌△CED，推出四边形ADCF是平行四边形，再证明△AED ≌△ABD，推出DF⊥AC，由此即可证明．【解答】证明：∵AF∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在△AFE和△CDE中，，∴△AEF≌△CED．∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．由题意知，AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD，∴△AED≌△ABD．∴∠AED=∠B=90°，即DF⊥AC．∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．11．（2021•德阳）如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．（1）证明：四边形CFAE为菱形；（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到CE=AB=EA，根据轴对称的性质得到AE=AF，CE=CF，得到CE=EA=AF=CF，根据菱形的判定定理证明结论；（2）根据菱形的性质得到OA=OC，OE=OF，根据三角形中位线定理求出OE，得到答案．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，点E是AB边的中点，∴CE=AB=EA，∵点F是点E关于AC所在直线的对称点，∴AE=AF，CE=CF，∴CE=EA=AF=CF，∴四边形CFAE为菱形；（2）解：∵四边形CFAE为菱形；∴OA=OC，OE=OF，∴OE=BC=5，∴OF=5．【点评】本题考查的是菱形的判定和性质、轴对称的性质，掌握四条边相等的四边形是菱形、菱形的对角线垂直且互相平分是解题的关键．12．（2021•梅州）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是菱形；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为10，∠ABC=120°．（直接填写结果）【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．【解答】解：（1）在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB=∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为菱形．（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO，∵AB=10，∴AB=2BO，∵∠AOB=90°∴∠BA0=30°，∠ABO=60°，∴AO=BO=5，∠ABC=2∠ABO=120°．故答案为，120．【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．13．（2021•贺州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△AOF≌△COE是关键．14．（2021•衢州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；（2）四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四边形BEDF为菱形．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．15．（2021•扬州）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．【分析】（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF≌△CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt △CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．【解答】（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．16．（2021•遵义）如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，证出∠E=∠F，AE=CF，由ASA证明△CFP≌△AEQ，即可得出结论；（2）证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE=BP=，得出EQ=PE+PQ=3，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE﹣BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．（2021•广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴AO=OB，∵AB=AO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD=60°．【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．18．（2021•岳阳）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，，∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD．【点评】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．19．（2021•福州）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ ，由折叠性质得：△ANM ≌△ADM ，∴∠DMA=∠AMQ ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ ，∴MQ=AQ ，设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt △ANQ 中，由勾股定理得：AQ 2=AN 2+NQ 2，∴（x +1）2=32+x 2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S △NAB =S △NAQ =×AN•NQ=××3×4=；（3）过点A 作AH ⊥BF 于点H ，如图2所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠HBA=∠BFC ，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH ∽△BFC ， ∴=， ∵AH ≤AN=3，AB=4，∴当点N 、H 重合（即AH=AN ）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH ，∵AD=BC ，∴AH=BC ，在△ABH 和△BFC 中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．20．（2021•吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．21．（2021•南通）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，再由BE=AB得出BE=CD，根据平行线的性质得出∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，进而可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，再由AB=BE，可得CD=EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC=DE即可得到四边形BECD是矩形【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD，AB∥CD．∵BE=AB，∴BE=CD．∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF=CF，EF=DF，∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF，∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形．【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．22．（2021•兰州）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）是平行四边形，证明：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，综上可得：EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形；（2）AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形，（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．23．（2021•台州）如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【分析】（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH 和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC．∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF=∠PCH．。
八年级数学下册菱形知识点总结及典型例题解析(提高)
八年级数学下册菱形知识点总结及典型例题解析(提高)菱形是一种特殊的平行四边形，其定义为具有一组邻边相等的平行四边形。
菱形的性质包括四条边相等、两条对角线互相垂直并平分一组对角、是轴对称图形且有两条对称轴。
菱形可以用来证明线段相等、角相等、直线平行、垂直及有关计算问题。
菱形的面积可以通过平行四边形的面积公式或者两条对角线乘积的一半计算。
菱形的判定方法有三种，包括定义、对角线互相垂直的平行四边形和四条边相等的四边形。
例题：已知菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°，求∠CEF的度数。
由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，可知∠AEC＝78°。
欲求∠XXX的度数，只需求出∠AEF的度数。
由∠EAF＝60°，易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°。
连接AC，由四边形ABCD 是菱形可知AB＝BC，∠ACB＝∠ACF。
又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB=AC。
∴∠ACF＝∠B＝60°，又∵∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF。
因此，△AEF为等边三角形，∴∠AEF＝60°。
2）利用菱形的性质，即对角线相等，结合EF的运动情况列出方程，解得t=2，代入验证即可．答案】（1）证明略．2）当t=2时，四边形ACFE是菱形．解析】1）略．2）设EF与AC的交点为点D，由题意可知：AG∥BC，∠BAC=60°，BC=6。
EF的速度为2cm/s，AE=l。
XXX的方程为：y=2x+l．XXX的中点为M，∴MC=MA=3。
AC的方程为：y=-√3x+3．D为AC的中点，∴D的坐标为（1.5，1.5√3）。
DE的方程为：y=-√3x+3√3．XXX≌CDF。
人教版 八年级数学下册 第18章 菱形的性质和判定 专项练习题
人教版 八年级数学下册第18章 菱形的性质和判定 专项练习 （含答案）一、单选题（共有9道小题）1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A.对边平行B.对角线互相平分C.对边相等D.对角线互相垂直2.如图，在菱形ABCD 中， ∠BAD ＝120°． 已知△ABC 的周长是15，则菱形ABCD 的周长是（）A ．25B ．20C ．15D ．103.如图，要使□ABCD 成为菱形，则需要添加的条件是（ ）A.AB=CDB.AC=BDC.AO=OCD.AC ⊥BD4.如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC 的长等于（ ）米A.63B.6C.33D.35.下列命题是假命题的是（ ）A ．四个角相等的四边形是矩形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．对角线垂直的四边形是菱形D ．对角线垂直的平行四边形是菱形 6.以下四个命题正确的是（ ） A. 任意三点可以确定一个圆 B. 菱形对角线相等C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D. 平行四边形的四条边相等7.如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤BD A CABCD8.如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点G 、H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）A.B.C.5D.6 9.四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关二、填空题（共有8道小题）10.已知菱形一个内角为120°，且平分这个内角的一条对角线长为8cm ，则这个菱形的周长为 。
八年级数学下册《菱形》同步练习题及答案解析
八年级数学下册《菱形》同步练习题及答案解析一．选择题1．已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm22．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°3．在小正方形组成网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上，如图所示．则下列结论错误的是（）A．AD∥BC B．DC＝ABC．四边形ABCD是菱形D．将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合4．从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A．150°B．135°C．120°D．100°5．如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为（）A．45°B．50°C．60°D．70°6．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，菱形的面积等于12，则菱形ABCD的周长等于（）A．4B．2C．D．47．已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（）A．4B．2C．2D．18．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°9．菱形的一个内角是60°，边长是3cm，则这个菱形的较短的对角线长是（）A．B．C．3cm D．10．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD11．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝AC，点E在BC上，且∠CAE＝15°，AE与BD 相交于F，下列结论不正确的是（）A．∠EBF＝30°B．BE＝BF C．F A＞EF D．OE⊥BC12．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．513．下列说法中，错误的是（）A．对顶角相等B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．两直线平行，同位角相等D．两边及一角对应相等的两个三角形全等14．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB 长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．16B．15C．14D．1315．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的度数为（）A．54°B．64°C．74°D．26°二．填空题（共5小题）16．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是．17．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．18．如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为9cm2和64cm2，CD落在EF上，∠A＝∠E，若△BCF 的面积为4cm2，则△BDH的面积是cm2．19．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF ⊥AD于F．则OE+OF＝．20．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是．三．解答题（共5小题）21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形．（2）若BD＝30，MN＝16，求菱形BNDM的周长．22．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求四边形AFED的面积．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D 作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．24．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．（1）求证：四边形ABOE是菱形；（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．25．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．参考答案与解析一．选择题1．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm；∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2）；故选：B．2．解：∵四边形ABCD是菱形；∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC；∵DH⊥AB；∴DH⊥CD，∠DHB＝90°；∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线；∴OH＝OD＝OB；∴∠1＝∠DHO；∵DH⊥CD；∴∠1+∠2＝90°；∵BD⊥AC；∴∠2+∠DCO＝90°；∴∠1＝∠DCO；∴∠DHO＝∠DCA；∵四边形ABCD是菱形；∴DA＝DC；∴∠CAD＝∠DCA＝20°；∴∠DHO＝20°；故选：A．3．解：A、由图形可知：BC和AD是连接7×2的图形的对角线，即AD∥BC，故本选项错误；B、设小正方形的边长是1，由勾股定理得：DC＝＝，AB＝，即AB＝CD，故本选项错误；C、由图形可知：AD∥BC，CD∥AB，即四边形ABCD是菱形，但BC＝＝≠AB，故本选项正确；D、将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合，正确，故本选项错误；故选：C．4．解：过A作AE⊥BC；由题意知AE⊥BC，且E为BC的中点；则△ABC为等腰三角形即AB＝AC，即AB＝AC＝BC；∴∠ABC＝60°；∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．故选：C．5．解：∵四边形ABCD是菱形；∴AD＝AB；∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝75°；由作图可知，EA＝EB；∴∠ABE＝∠A＝30°；∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°；故选：A．6．解：∵菱形的面积等于12；∴AC•BD＝12；∵AC＝6；∴BD＝4；∵菱形ABCD对角线互相垂直平分；∴BO＝OD＝2，AO＝OC＝3；∴AB＝＝＝；∴菱形的周长为4．故选：D．7．解：如图，∵四边形ABCD是菱形，周长为8；∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，AD∥BC；∴∠B+∠BAD＝180°；∴∠B＝180°﹣120°＝60°；∴△ABC为等边三角形；∴AC＝AB＝2；即该菱形较短的对角线长为2；故选：C．8．解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝140°；∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO；∵DE⊥BC；∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°；∴∠ODE＝∠OED＝20°；故选：B．9．解：如图，∵菱形的一个内角是60°，边长是3cm；∴AB＝BC＝3cm，△ABC是等边三角形；∴AC＝AB＝3cm；即这个菱形的较短的对角线长为3cm；故选：C．10．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD；∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB∥CD；∴∠ABD＝∠CDB；又∵∠ABD＝∠CBD；∴∠CDB＝∠CBD；∴BC＝DC；∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC；∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD；∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：D．11．解：如图在菱形ABCD中，AB＝CB＝AD＝CD；∵AB＝AC；∴AB＝CB＝AD＝CD＝AC；∴△ABC和△ADC都是等边三角形；∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°；∵BD＝BD（公共边）∴△ABD≌△CBD（SSS）；∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°；∴∠EBF＝30°．∴A正确；∵∠ABC＝∠BAC＝60°，∠CAE＝15°；∴∠BAE＝60°﹣15°＝45°；∴∠BEF＝180°﹣60°﹣45°＝75°；∴∠BFE＝180°﹣30°﹣75°＝75°；∴∠BEF＝∠BFE；∴BE＝BF．∴B正确；过点F作FG∥BC，交AD于点G；∵AB＝BC＞BE；∴F A＞EF；∴C正确；假设OE⊥BC正确，则∠BEO＝90°；∵∠BEF＝75°；∴∠OEA＝90°﹣75°＝15°＝∠CAE；∴OE＝OA＝OC；∴∠OEC＝∠OCE＝60°；∵∠OEC＝60°与OE⊥BC相矛盾；∴假设不成立；∴OE⊥BC错误；∴D不正确．故选：D．12．解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O；∵两条纸条宽度相同；∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC；∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．又∵AE＝AF．∴BC＝CD；∴四边形ABCD是菱形；∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD；∴BO＝＝＝2；∴BD＝4；∴四边形ABCD的面积＝＝4；故选：A．13．解：A、对顶角相等，本选项说法正确，不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法正确，不符合题意；C、两直线平行，同位角相等，本选项说法正确，不符合题意；D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，本选项说法错误，符合题意；故选：D．14．解：连接EF，AE与BF交于点O，如图；∵AO平分∠BAD；∴∠1＝∠2；∵四边形ABCD为平行四边形；∴AF∥BE；∴∠1＝∠3；∴∠2＝∠3；∴AB＝EB；同理：AF＝BE；又∵AF∥BE；∴四边形ABEF是平行四边形；∴四边形ABEF是菱形；∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE；在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8；∴AE＝2OA＝16．故选：A．15．解：∵四边形ABCD为菱形；∴AB∥CD，AB＝BC；∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO；在△AMO和△CNO中；；∴△AMO≌△CNO（ASA）；∴AO＝CO；∵AB＝BC；∴BO⊥AC；∴∠BOC＝90°；∵∠DAC＝26°；∴∠BCA＝∠DAC＝26°；∴∠OBC＝90°﹣26°＝64°．故选：B．二．填空题16．解：∵四边形ABCD是菱形；∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×4＝2，∠BAC＝∠BAD＝×120°＝60°；∴AC＝4，∠AOB＝90°；∴∠ABO＝30°；∴AB＝2OA＝4，OB＝2；∴BD＝2OB＝4；∴该菱形的面积是：AC•BD＝×4×4＝8．故答案为：8．17．解：根据作图，AC＝BC＝OA；∵OA＝OB；∴OA＝OB＝BC＝AC；∴四边形OACB是菱形；∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2；∴AB•OC＝×2×OC＝4；解得OC＝4cm．故答案为：4．18．解：如图，连接FH；∵四边形ABCD是菱形，四边形EFGH是菱形，∠A＝∠E；∴∠ADC＝∠EFG，∠BDC＝∠ADC＝∠EFH＝∠EFG，△BDC的面积＝×S菱形ABCD＝4.5（cm2）；∴BD∥FH；∴△BDH的面积＝△BDF的面积；∴△BDH的面积＝S△BDC+S△BCF＝8.5（cm2）；故答案为8.5．19．解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO；∵四边形ABCD是菱形；∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8；根据勾股定理得：AG＝＝＝6；∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD；即BD•AG＝AB•OE+AD•OF；∴16×6＝10OE+10OF；∴OE+OF＝9.6．故答案为：9.6．20．解：如图，设CD与AB1交于点O；∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高；∴AE＝；由折叠易得△ABB1为等腰直角三角形；∴S△ABB1＝BA•AB1＝2，S△ABE＝1；∴CB1＝2BE﹣BC＝2﹣2；∵AB∥CD；∴∠OCB1＝∠B＝45°；又由折叠的性质知，∠B1＝∠B＝45°；∴CO＝OB1＝2﹣．∴S△COB1＝OC•OB1＝3﹣2；∴重叠部分的面积为：2﹣1﹣（3﹣2）＝2﹣2．三．解答题21．（1）证明：∵AD∥BC；∴∠DMO＝∠BNO；∵MN是对角线BD的垂直平分线；∴OB＝OD，MN⊥BD；在△MOD和△NOB中；；∴△MOD≌△NOB（AAS）；∴OM＝ON；∵OB＝OD；∴四边形BNDM是平行四边形；∵MN⊥BD；∴平行四边形BNDM是菱形；（2）解：由（1）可知，OB＝BD＝15，OM＝ON＝MN＝8，四边形BNDM是菱形；∴BN＝DN＝DM＝BM；∵MN⊥BD；∴∠BON＝90°；∴BN＝＝＝17；∴菱形BNDM的周长＝4BN＝68．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB∥CD；∴∠DEA＝∠F AE；∵AE平分∠BAD；∴∠DAE＝∠F AE；∴∠DEA＝∠DAE∴AD＝ED；∵AD＝AF；∴DE＝AF；∴四边形AFED是平行四边形；又∵AD＝ED；∴平行四边形AFED是菱形；（2）解：过D作DG⊥AF于G，如图所示：∵∠DAB＝60°；∴∠ADG＝90°﹣60°＝30°；∴AG＝AD＝2；∴DG＝＝＝2；由（1）得：四边形AFED是菱形；∵AF＝AD＝4；∴菱形AFED的面积＝AF×DG＝4×2＝8．23．（1）证明：∵AD∥BC；∴∠ADB＝∠CBD；∵BD平分∠ABC；∴∠ABD＝∠CBD；∴∠ADB＝∠ABD；∴AD＝AB；∵AB＝BC；∴AD＝BC；∵AD∥BC；∴四边形ABCD是平行四边形；又∵AB＝BC；∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形；∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2；在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4；∴BD＝2OD＝8；∵DE⊥BC；∴∠DEB＝90°；∵OB＝OD；∴OE＝BD＝4．24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形；∴OB＝OD＝BD；∵BD＝2AB；∴AB＝OB；∵AE∥BD，OE∥AB；∴四边形ABOE是平行四边形；∵AB＝OB；∴四边形ABOE是菱形；（2）解：连接BE，交OA于F，如图所示：∵四边形ABOE是菱形；∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE；∵S四边形ABOE＝4；S四边形ABOE＝OA•BE＝×2×BE＝BE；∴BE＝4；∴BF＝2；∴OB＝＝＝；∴BD＝2OB＝2．25．（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB；∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线；∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°；∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6；∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得．∵四边形DBCE是平行四边形；∴DE＝BC＝6．∴．。
初中数学平行四边形与菱形证明题
AB FCD E A B ECF D A BF O CD E 初中数学平行四边形与菱形证明题1. 如图，平行四边形ABCD 中、E 、F 分别为对角线BD 上的点，且BF=DE. 求证：四边形AECF 是平行四边形。
2. 已知：如图，AB=CD ，BC=DA ，AE=CF ． 求证：BF=DE ．3. 在ABCD 中，E 、F 分别在DC 、AB 上，且DE ＝BF 。
求证：四边形AFCE 是平行四边形。
4. 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，且∠EAD ＝∠BAF 。
① 求证：ΔCEF 是等腰三角形；②观察图形，ΔCEF 的哪两边之和恰好等于ABCD 的周长？并说明理由。
5.如图所示，ABCD 中的对角线AC 、BD 相交于O ，EF 经过点O 与AD 延长线交于E ，与CB 延长线交于F 。
求证：OE=OF6.如图, ABCD 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,100=∠DGE .(1) 求证：DF=BG ; (2)求AFD ∠的度数.7.如图，在□ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接EF 、GH 。
求证：EF 与GH 互相平分。
A BCD EFOGH8. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，MN 是过O 点的直线，交BC 于M ，交AD 于N ，BM=2，AN=2.8，则BC= ，AD= 。
A B CD FE G1. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ， 交AD 于G ，交AB 与E ，EF ⊥BC 于F 。
求证：四边形AEFG 为菱形。
2. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移， 使点E 与点C 重合，得△GCF ．求证：BE=DG ．3. 将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处， 折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．4. 两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图所示的方法放置，AB BF =， 求证：四边形BNDM 为菱形．5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE . （1）求证：△ABE ≌△ACE（2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由.6. 在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ．（1）求BDE △的周长； （2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =．7.如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，CE AD ∥交AB 于E ． （1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC △的形状，并说明理由．8.如图，在平行四边形ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，． （1）求证：ADE CBF △≌△．（2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．A B CDE FD ′A Q D EBPCO CDE MAB F NA BCD E F初中数学矩形与正方形证明题1. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 、BF 、CH 、DG 分别为内角平分线，这四条角平分线分别交于点M 、N 、P 、Q 。
湘教版2019年度八年级数学下册第2章2.6菱形2.6.1菱形的性质练习含答案
课时作业(十九)[2.6.1 菱形的性质]一、选择题1．2017·益阳下列性质中菱形不一定具有的是( )A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形2．2017·衡阳菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的边长是( )链接听课例2归纳总结A．10 B．8 C．6 D．53．2018·宿迁如图K－19－1，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点．若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是链接听课例3归纳总结( )图K－19－1A. 3 B．2 C．2 3 D．44．如图K－19－2，在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM＝AN＝MN＝AB，则∠C的度数为( )图K－19－2A．120° B．100° C．80° D．60°5．2017·南充已知菱形的周长为4 5，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( )A．2 B. 5 C．3 D．4二、填空题6．在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是________．7．已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6 cm，则这个菱形的边长为________ cm.8．如图K－19－3，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于________．图K－19－39．2017·菏泽在菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24 cm，则菱形的面积为________cm2.10．如图K－19－4，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心点O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为4 cm，∠A＝120°，则EF＝________ cm.图K－19－4三、解答题11．如图K－19－5，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，BE＝CE，求∠BAD的度数.链接听课例2归纳总结图K－19－512．2018·柳州如图K－19－6，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.(1)求菱形ABCD的周长；(2)若AC＝2，求BD的长．图K－19－613.2017·巴中如图K－19－7，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD，AC，BC于点E，O，F，连接CE和AF.(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周长．图K－19－714．已知：如图K－19－8，在菱形ABCD中，F是BC边上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由．图K－19－815．如图K－19－9，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2.(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由．图K－19－9动态探究如图K－19－10，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交直线AB于点F，连接BE.(1)如图①，当点F在AB的延长线上时，求证：∠AFD＝∠EBC；(2)如图②，当点F在AB的延长线上时，若DE＝EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数；(3)若∠DAB＝90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数(只写出条件与对应的结果)．图K－19－10详解详析课堂达标 1．C2．[解析] A 菱形的对角线互相垂直平分，所以两条对角线的一半与边构成直角三角形，斜边长为菱形的边长，所以菱形的边长为62＋82＝10.故选A. 3．[解析] A 根据菱形ABCD 的周长为16可知AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝4，再根据∠BAD ＝60°，得△ABD 是等边三角形，所以BD ＝4，即BO ＝DO ＝2，在Rt △OBC 中根据勾股定理，得CO ＝2 3，从而求得S △COD ＝2 3，根据OE 是△COD 的中线，得S △OCE ＝12S △COD ＝ 3.故选A.4．[解析] B ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∵AM ＝AN ＝MN ＝AB ，∴AB ＝AM ，AN ＝AD ，△AMN 是等边三角形，∴∠B ＝∠AMB ，∠D ＝∠AND ，∠MAN ＝60°.设∠B ＝∠D ＝x ，则∠BAM ＝∠DAN ＝180°－2x ，∠BAD ＝2×(180°－2x)＋60°＝420°－4x.∵AB ∥CD ，∴∠BAD ＋∠D ＝180°，(420°－4x)＋x ＝180°，∴420°－3x ＝180°，解得x ＝80°，∴∠C ＝180°－80°＝100°.5．[解析] D ∵菱形的四条边相等，周长为4 5，∴菱形的边长为 5.设菱形的两条对角线的长分别为x ，y ，则x ＋y ＝6①，（x 2）2＋（y 2）2＝5，即x 2＋y 2＝20②.①2－②，得2xy ＝16.∴xy ＝8.∴S 菱形＝12xy ＝4.6．20 7.5 8．[答案] 3[解析] ∵菱形ABCD 的周长等于24，∴AD ＝244＝6.∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOD ＝90°.在Rt △AOD 中，OH 为斜边AD 上的中线，∴OH ＝12AD ＝3.9．[答案] 18 3[解析] 如图．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AC ⊥BD.∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形．又∵菱形ABCD 的周长为24 cm ，∴BD ＝AD ＝6 cm.在Rt △AOD 中，OD ＝3 cm ，∴AO ＝AD 2－OD 2＝62－32＝3 3(cm)，∴AC ＝2AO ＝6 3(cm)，菱形的面积＝12AC·BD＝12×6 3×6＝18 3 cm 2.10．[答案] 2 3[解析] 连接BD ，AC ，则BD ，AC 交于点O.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AC 平分∠BAD.∵∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°， ∴∠ABO ＝90°－60°＝30°.∵∠AOB ＝90°，∴AO ＝12AB ＝12×4＝2.由勾股定理，得BO ＝DO ＝2 3.∵点A 沿EF 折叠与点O 重合，∴EF ⊥AC ，EF 平分AO.∵AC ⊥BD ，∴EF ∥BD ，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF ＝12BD ＝12×(2 3＋2 3)＝2 3.11．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，AD ∥BC. ∵AE ⊥BC ，BE ＝CE ， ∴AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝BC ，即△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝60°. 又∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠B ＝120°.12．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2， ∴菱形ABCD 的周长为8.(2)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝2，∴OA ＝OC ＝12AC ＝1，OB ＝OD ，且∠AOB ＝90°.在Rt △AOB 中，∴OB ＝AB 2－OA 2＝22－12＝ 3. ∴BD ＝2OB ＝2 3.13．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠EAC ＝∠ACF.又∵EF 是AC 的垂直平分线， ∴OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ＝90°. 在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOE ＝∠COF ，OA ＝OC ，∠OAE ＝∠OCF ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF.在四边形AECF 中，OE ＝OF ，OA ＝OC ，AC ⊥EF. ∴四边形AECF 为菱形．(2)设菱形AECF 的边长为x.由题意，得AF ＝x ，CF ＝x. ∵BF ＝BC －CF ，BC ＝8， ∴BF ＝8－x.∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠B ＝90°. 在Rt △ABF 中，由勾股定理，得AB 2＋BF 2＝AF 2. 又∵AB ＝4，BF ＝8－x ，AF ＝x ，∴16＋(8－x)2＝x 2， 解得x ＝5.∴菱形AECF 的周长＝5×4＝20. 14．解：(1)证明：连接AC.∵BD ，AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴BD 垂直平分AC ， ∴AE ＝EC.(2)F 是线段BC 的中点．理由：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝CB.又∵∠ABC ＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC ＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC ＝30°，∴AF是△ABC的角平分线，∴BF＝CF，∴F是线段BC的中点．15．解：(1)证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2，∴△ABD和△BCD都为等边三角形，∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC.∵AE＋DE＝AD＝2，而AE＋CF＝2，∴DE＝CF，∴△BDE≌△BCF.(2)△BEF为等边三角形．理由：∵△BDE≌△BCF，∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF.∵∠DBC＝∠DBF＋∠CBF＝60°，∴∠DBF＋∠DBE＝60°，即∠EBF＝60°，∴△BEF为等边三角形．素养提升解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴DC∥AB，DC＝BC，CA平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE.在△DCE和△BCE中，∵DC＝BC，∠DCE＝∠BCE，EC＝EC，∴△DCE≌△BCE，∴∠EDC＝∠EBC.∵DC∥AB，∴∠EDC＝∠AFD，∴∠AFD＝∠EBC.(2)∵DE＝EC，∴∠EDC＝∠ECD.设∠EDC＝∠ECD＝∠EBC＝∠ECB＝∠AFD＝x°，则∠CBF＝∠BCD＝(2x)°.由BE⊥AF，得∠EBF＝90°，∴2x＋x＝90，解得x＝30，∴∠DAB＝∠BCD＝60°.(3)分两种情况：①如图(a)，当点F在AB的延长线上时．∵四边形ABCD为菱形且∠DAB＝90°，∴∠CBF＝90°，∴∠EBF为钝角，∴只能是BE＝BF，设∠BEF＝∠EFB＝x°，则∠EBC＝∠EFB＝x°.在△BEF中，可通过三角形内角和为180°，得90＋x＋x＋x＝180，解得x＝30，∴∠EFB＝30°；②如图(b)，当点F在线段AB上时．∵∠EFB＝∠DAB＋∠ADF，且∠DAB＝90°，∴∠EFB为钝角，∴只能是FE＝FB，设∠BEF＝∠EBF＝y°，则∠AFD＝(2y)°. ∵CD∥AB，∴∠AFD＝∠FDC＝∠EBC.∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∴y＋2y＝90，解得y＝30，∴∠EFB＝120°.综上所述，∠EFB的度数为30°或120°.。
华东师大版八年级数学下册19.2.1菱形的性质练习题
∵ ，且 ，∴ .
(1)如图①，当 ， 时， ，
∴ ，∴ .
∵菱形 的周长为8，∴ ，∴ ；
(2)如图②，当 ， 时，过点 作 于点 ，连结 ，
则 ，
∴ ，∴ .
∵菱形 的周长为பைடு நூலகம்，∴ .
中， ，∴ ，
∴ ，∴ .
综上所述， 的面积为2或 .
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是画出图形，运用分类思想以及化归思想进行求解．
A． B． C． D．
29．已知菱形的周长为 ，一条对角线长为 ，则菱形四个角的度数分别为( )
A．30°，150°，30°，150°B．60°，120°，60°，120°
C．45°，135°，45°，135°D．以上都不对
30．如图，在菱形 中， ， 的垂直平分线交对角线 于点 ， 为垂足，连结 ，则 等于( )
13．菱形 的面积为
【解析】
【分析】
求出两对角线的长度，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可求解．
【详解】
∵菱形 的周长为4，
∴ .
∵两个相邻内角 与 的度数之比为1∶2，且 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ .
∵ ，∴在 中， ，
∴ ，
∴菱形 的面积为 .
【点睛】
本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及菱形的四条边都相等的性质，根据度数求出以较短的对角线BD为边的三角形是等边三角形是解题的关键．
根据菱形的性质求得∠B=60°，判定△ABC为等边三角形即可求解．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AB∥CD
∴∠B+∠BCD＝180°，
2021八年级下册数学专项训练--菱形的判定与性质(含解析)
八年级下册---菱形的判定与性质一、解答题（共25题；共125分）1.（2020八下·察哈尔右翼前旗期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是的平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE且交AD于F，连接BF、CE．求证：四边形BECF是菱形．2.（2020八下·大兴期末）如图，已知△ABC，D是AC的中点，DE⊥AC于点D ，交AB于点E，过点C作CF∥BA交ED的延长线于点F，连接CE ，AF．求证：四边形AECF是菱形．3.（2020八下·滨州月考）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF与AD、BD、BC分别交于点E、O、F。
求证：四边形BFDE是菱形。
4.（2019八下·红河期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别是E，F，并且BE=DF。
求证；四边形ABCD是菱形。
5.（2019八下·马鞍山期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．6.（2019八下·吴兴期末）如图，O是矩形ABCD的角对线的交点，作ED∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于点E。
求证：四边形OCED是菱形。
7.（2020七下·津南月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F．求证：四边形AECF是菱形．8.（2020八下·泉州期中）如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交于点E，DF∥AC交于AC于点F，求证：四边形AEDF是菱形．9.（2020八下·新昌期末）如图，在中，点E，F分别是BC，AD上的点，且BE=DF，AE=AF.求证：四边形AECF是菱形.10.（2020八下·珠海期中）已知：如图，在⊿ABC中，AB=AC，D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点. 求证：四边形AEDF 是菱形.11.（2020八下·北京期中）如图，菱形ABCD中，E为AB边上的一点，F为BC延长线上的一点，且求证：DE=DF．12.（2020八下·永春期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=13，AC=24，BD=10．求证：四边形ABCD是菱形．13.（2020八下·横县期末）如图，□ABCD中对角线BD平分∠ABC.求证：□ABCD是菱形.14.（2020八下·武汉月考）如图，，平分，交于点，平分，交于点，连接.求证：四边形是菱形.15.（2020八下·八步期末）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.16.（2020八下·南昌期末）如图，在Rt△ABC.∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD 交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．17.（2020八下·安阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H，连结FH.求证：四边形CFHE是菱形.18.（2020八下·阿城期末）如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE＝AF．19.（2020八下·富县期末）如图，已知菱形的对角线与相交于点，，求菱形的周长.20.（2020八下·皇姑期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，求△ABC的周长.21.（2020八下·兴城期末）如图，在菱形中，，两条对角线、相交于点，若，求的长.22.（2020八下·鼎城期中）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．∠E=50°，求∠BAO的大小．23.（2020八下·永春月考）如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．24.（2020八下·桐城期中）已知：如图所示，菱形中，于点，且为的中点，已知，求菱形的周长和面积.25.（2020八下·沛县开学考）如图，菱形的周长为cm，对角线、相交于点O，cm，求对角线的长和菱形的面积.答案解析部分一、解答题1.【答案】证明：∵AB=AC，AD是角平分线，∴BD=CD，∵CF∥BE，∴∠DBE=∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴CF=BE，又∵CF∥BE，∴四边形BFCE是平行四边形；∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，又∵四边形BFCE是平行四边形，∴四边形BFCE是菱形．【解析】【分析】利用ASA易证得△BDE≌△CDF，推出CF=BE，证得四边形BFCE是平行四边形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证得四边形BFCE是菱形．2.【答案】证明：∵D是AC的中点，∴AD=CD，∵CF∥BA，∴，在△ADE和△CDF中，，∴，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵，∴四边形AECF是菱形．【解析】【分析】根据题目条件证明，先证明四边形AECF是平行四边形，再根据，即可证明四边形是菱形．3.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，∵EF垂直平分BD∴OB＝OD，∴△OED≌△OFB∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴▱BEDF是菱形．【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可证明△OED≌△OFB，即可得到DE=BF，证明得到四边形BFDE 为平行四边形，由EF⊥BD，即可得到四边形BFDE为菱形。
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菱形有关计算和证明
一、练习
1. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长为 .
2. 如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80∘，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=°．
3. 如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是
(A) 4 (B) 5(C) 2 (D) 1
1题图
二、例题
4. 如图，在△ABD中，∠ABD = ∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，连接BC，DC和AC，AC与BD交于点O．
（1）用尺规补全图形，并证明四边形ABCD为菱形；
（2）如果AB = 5，AC=8，求BD的长．
5.已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的角平分线交AC于D，AH⊥BC于H，交BD于E，DF⊥BC于F。
（1）请你补全图形；
（2）试猜测：四边形AEFD的形状，并加以证明。
D
B A
B
6. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，∠BAC ＝90°．
(1) 求证：四边形AECF 是菱形；
(2) 若BC ＝4，∠B ＝60°，求四边形AECF 的面积．
7. 如图，在△ABC 中，AC =BC ，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，连接DE ，DF ．
（1）求证：四边形DFCE 是菱形；
（2）若∠A =75°，AC =4，求菱形DFCE 的面积．
8. 如图， 在□ABCD 中， AE 平分∠BAD ， 交BC 于点E ， BF 平分∠ABC ， 交
AD 于点F ， AE 与BF 交于点P ，连接EF ， PD . （1）求证: 四边形ABEF 是菱形;
（2）若AB=4， AD=6， ∠ABC=60°， 求点P 到AD 的距离。
（3）求PD 的长。
F E A B
C
D
9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D，E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF=ED，连接BE，BF，CF，AD．
（1）求证：四边形BFCE是菱形；
（2）若BC=4，EF=2，求AD的长．
10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于
点O，点O关于直线CD的对称点为E，连接DE，CE. （1）求证：四边形ODEC为菱形；
（2）连接OE，若BC =2
2，求OE的长.
11.如图，矩形ABCD 中，对角线AC，BD交于点O，以 AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE.
(1) 求证：四边形AOBE是菱形；
(2) 若∠EAO+∠DCO=180°，DC=2，
求四边形ADOE的面积.
12.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的一点，分别
过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平分∠EAD.
（1）求证：四边形EADB是菱形；
（2）连接EC，当∠BAC＝60°，BC
=ECB的面积．
E。