第八章-弹性散射

(8.39)
例8.1: 求屏蔽库仑场:
U (r) Z' Ze2 1 exp( r )
40 r
a
中粒子的微分散射截面.
(8.40)
解:
(
)
(
2m 2q
)
2
0
r
'U
(r'
)
sin(
qr
'
)dr
r' )
U
(r
'
)
(0)
(r
'
)d
3r
'
在远场处: r r' , 则:
1 r r'
1r,
r r' (r2 2r r'r'2 )2 r(1 rr2r')
得:
s (r)
m
22
exp(ikr) r
exp(iker r')U (r') (0) (r')d 3r'
即:
s (r)
m 0 22
exp(ikr) r
入射的粒子数.
( ,) ---微分散射截面, 即散射到 ( ,) 方向上单位立体角中
的概率, 是散射理论需要求解的核心问题.
散射振幅 散射粒子波函数满足的薛定谔方程:
[(2 / 2m)2 U (r)] E
(8.2)
设观察点离散射中心足够远, 脱离了U (r) 的作用, 则:
i s
其中: i 0 exp(ikz) 入射平面波
4
1 r
r'
exp(ik
r
r' )
代入(8.14)得:
(r)
0
exp(ik
r)
m
22
exp(ik r r r'
r' )
U
(r
'
)
(r
'
)d
3r
'
上述积分方程可用迭代法近似求解, 并取到一级近似 (即波恩近似)得:
(1)
(r
)
0
exp(
ik
r)
m
22
exp(ik r r r'
r' )
U
(r
波恩近似---高能粒子散射
把薛定谔方程(8.2)改写为:
(2
k 2 )
2m 2
U
(r
)
(8.12)
其中 k 2 2mE / 2 为入射粒子波数, 定义格林函数:
(2 k 2 )G(r, r') (r, r')
则:
(r
)
i
(r
)
2m 2
G(r, r')U (r') (r')d 3r'
i (r) s (r)
其中:
r r'
(8.25) (8.26)
(8.25)被积函数中当 k' k 时实轴上出现一阶奇点,
需引进虚数:
G(r,
r')
1
(2 )2
1
k'exp(ik ') k'2 (k i )2
dk '
此时位于上半复平面的两个极点为: k' (k i )
(8.27)
取上半平面的积分回路, 利用留数定理得:
k'exp(ik ')
k'2 (k i )2
dk '
lim
2i
Re s(k
0
i
)
i
1 k
exp(ik)
(8.28)
代入(8.27)便得(8.17), 即:
G(r,r') 1
4
1 r
r'
exp(ik
r
r' )
证毕
(8.29)
此外, 波恩一级近似结果(8.20),即:
s
(r)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
22
exp(ik r r r'
s 0
f ( ,) exp(ikr)
r
散射球面波
f ( ,) ---散射振幅, 可求解(8.2)得到.
可导得(见下页):
( ,) f ( ,) 2
(8.3) (8.4) (8.5)
(8.6)
因此, 散射问题归结为求出散射振幅.
推导如下:
由于:
dN JrdS Jrr2d ( ,)Jid
则: ( ,) r 2 Jr r 2 ji
'
)
(0)
(r
'
)d
3r
'
即:
s
(r
)
m
22
exp(ik r r r'
r' )
U
(r'
)
(0)
(r
'
)d
3r
'
(8.17) (8.18)
(8.19) (8.20)
(8.17)证明如下:
将格林函数做付里叶积分变换:
G(r,
r
'
)
g
(k ',
r' )
exp(
ik
r)d
3k '
代入(8.13)并注意到:
, 则:
q 2k sin( / 2)
对于有心力势, (8.36)可进一步简化为:
f
( , )
f
( )
2m 2q
r'U (r')sin( qr')dr'
0
最后得波恩近似下的微分散射截面为:
( ) ( 2m )2 r'U (r')sin( qr')dr' 2 2q 0
(8.35) (8.36) (8.37) (8.38)
(r
r' )
1
(2
)3
exp[
ik'(r
r' )]d
3k '
得:
g
(k ',
r' )
1
(2 )3
exp( ik'r' ) k'2 k 2
从而:
G(r,
r' )
1
(2
)3
exp[ik'(r k'2 k 2
r' )]
d
3k '
(8.21) (8.22) (8.23) (8.24)
(8.24)积分如下:
G(r,
r' )
1
(2
)3
exp[ik'(r k'2 k 2
r' )]
d
3k '
1
(2
)3
0
2
sin
d
0
exp[ik' r r' k'2 k 2
cos
]
k '2
dk'
1
(2 )3
i
2
r r'
k'exp[ik ' r k'2 k 2
r' ]
dk'
1 1 k'exp(ik ')
(2 )2 k'2 k 2 dk'
(8.13) (8.14) (8.15)
(8.14)称Lippman-Schwinger积分方程, 将之代入(8.12),
利用(8.13)并注意到 i (r) 为齐次方程:
(2 k 2 ) i (r) 0
(8.16)
的通解, 从而可以得到验证.
可求解方程(8.13)得(待下面证明):
G(r,r') 1
U
(r
'
)
exp(
iq
r' )d
3r
'
其中:
q
ker
k
(8.30)
(8.31) (8.32) (8.33) (8.34)
把(8.33)与球面波:
比较得: f ( ,)
s m 22
0 f U (r'
( ,) exp(ikr)
r
) exp(iq r')d 3r
'
由于 ker 与
k 大小相等, 夹角为
Ji
jr
其中 ji ( jr ) 为入射(散射)粒子概率流密度(大小):
ji
i 2m
( i
* i
z
* i
i
z
)
k m
0
2
jr
i 2m
(
s
* s
r
* s
s
r
)
k m
f
( ,)
r2
2
0
2
以上两式代入(8.8)便得:
( ,) f ( ,) 2
(8.7) (8.8)
(8.9) (8.10) (8.11)
第八章 弹性散射
弹性散射---散射过程中粒子间仅动能交换, 其内部状态不变.
散射的描述方法
微分散射截面
A ---散射中心, 假定不动.
---散射角, 入射与散射方向夹角.
单位时间散射到 ( ,)方向立体
角 d( dS / r2 ) 内的粒子数:
dN ( ,)Jid (8.1)
Ji---入射粒子流强度, 即单位时间、单位面积