二项式定理学案(普通班版)
《二项式定理》教学设计
《二项式定理》教学设计
一、教学目标
1、学习二项式定理的概念；
2、掌握二项式定理的证明方法；
3、熟练运用二项式定理计算阶乘。
二、课前准备
1、准备教学案例：“抛掷次数为n的骰子，其中点数之和为k，求出满足条件的概率”；
2、准备课堂活动：利用抽签游戏，引导学生理解二项式定理；
3、准备实物：骰子；
4、准备实践活动：利用抛掷骰子实验验证二项式定理。
三、课堂教学步骤
第一步、引入
1、介绍课题：二项式定理（一）；
2、简单介绍二项式定理的概念：其是指当抛掷次数为n的骰子时，点数之和为k的概率，可以表示为n个“1”和“0”的排列组合，其中“1”代表抛掷出的点数为6，“0”代表抛掷出的点数不为6第二步、活动
1、布置抽签游戏：将班上学生分成2组，每组各抽取一张纸片，纸
片上分别写有“1”和“0”，由学生们举手抽签，当每组中有n个学生均
抽出“1”或“0”时，分数比较高的组即为胜利组；
2、进行讨论：根据抽签游戏，引导学生们讨论，抛掷次数为n的骰子，其中点数之和为k，求出满足条件的概率；
第三步、演示
1、讲解二项式定理：说明抛掷次数为n的骰子，其中点数之和为k。
二项式定理教学设计教案
二项式定理教学设计教案第一章：导入1.1 教学目标让学生了解二项式定理的背景和意义。
引导学生通过实际例子发现问题，激发学习兴趣。
1.2 教学内容引入二项式定理的概念，解释其在数学中的重要性。
通过具体的例子，如完全平方公式，引导学生观察和总结一般规律。
1.3 教学活动利用多媒体展示完全平方公式的例子，引导学生观察和总结。
组织小组讨论，让学生分享自己的发现和思考。
1.4 教学评价通过小组讨论和问题解答，评估学生对二项式定理的理解程度。
第二章：二项式定理的表述2.1 教学目标让学生掌握二项式定理的表述和公式。
引导学生理解二项式定理的推导过程。
2.2 教学内容给出二项式定理的表述和公式，解释各项的系数和指数的含义。
通过示例，引导学生理解二项式定理的推导过程。
2.3 教学活动通过示例和练习，让学生熟悉二项式定理的表述和公式。
引导学生参与推导过程，加深对二项式定理的理解。
2.4 教学评价通过练习和问题解答，评估学生对二项式定理的掌握程度。
第三章：应用二项式定理3.1 教学目标让学生学会运用二项式定理解决实际问题。
引导学生运用二项式定理进行组合计数和概率计算。
3.2 教学内容解释二项式定理在组合计数和概率计算中的应用。
提供实际问题，引导学生运用二项式定理解决问题。
3.3 教学活动通过示例和练习，让学生掌握二项式定理在组合计数和概率计算中的应用。
组织小组讨论，让学生分享自己的解题方法和经验。
3.4 教学评价通过小组讨论和问题解答，评估学生对二项式定理应用的掌握程度。
第四章：拓展与深化4.1 教学目标让学生了解二项式定理的拓展和深化内容。
引导学生思考二项式定理在数学中的广泛应用和意义。
4.2 教学内容介绍二项式定理的拓展内容，如多项式定理和整数定理。
探讨二项式定理在数学中的广泛应用，如组合数学、概率论等领域。
4.3 教学活动通过示例和练习，让学生了解二项式定理的拓展内容。
组织小组讨论，让学生思考二项式定理在数学中的应用和意义。
二项式定理讲学案
讲学案课题：二项式定理第一课时设计教师：设计时间：2015.4.2一、教学目标1.知识与技能: (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.2.过程与方法: 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．3.情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．二、教学重点、难点1.教学重点：用计数原理分析3)a 的展开式，得到二项式定理．(b2.教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.三、教学过程（老师在多媒体上展示学案，同学们齐读）今天我们学习新课《二项式定理》，我们的学习目标是：1、进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用2、运用二项式定理的过程中，领会化归意识与方法迁移的能力（一）公式探究：师：今天是星期四，再过8天是星期几？再过是星期几？再过天呢？如果是过天呢生：再过8天是星期五；再过是星期五；再过天也是星期五，如果是过天，……应该也是星期五吧！师：先给同学们吃颗定心丸，星期五是对的，可有谁知道这是为什么？生：这……师：没事，学习完我们今天要学的知识，我想聪明的同学们能告诉你怎么一回事了．板书（二项式定理）设计感悟：本来的设计是经过天，再过天，后来觉得那不是这道题的本质，用8反而更容易我后面找到周期7埋下伏笔，而且学生马上算了出来，更容易发现规律，事实证明能将学生的兴趣激发出来．师：二项式定理其实就是研究形如如何展开表示．对这个问题我们如何来研究呢？生：（感到茫然）……师：我们研究问题时经常使用什么方法？对了，就是特殊到一般，一般到特殊．现在这种情况是一般还是特殊的？生：一般的．师：恩，那如何特殊化呢？生：是不是先令试试看……师：很棒哦．这就是先特殊，然后再一般的方法，下面说来说说如何展开表示？生：（举手并回答）．师：很好哦．那谁来说说如何表示呢？生：（举手并回答）师：看来同学们回答都不错哦！接下来的一个问题是如何展开？生：许多同学拿起笔算了起来，一些同学陷入思考中……师：让我们回顾刚刚的做法，为什么一些同学很快的写出的情形？生：笑．记住的师：（严肃地）记住一些数学公式、定理固然重要，但是更重要的研究问题的方法！以前你们怎么做的？[教学感悟]很多学生的学习数学以文科的方式来进行，不少同学都不进行思考，正如奠宙所说，‘是掐头去尾烧中段’．生：就是写成的形式，乘一下合并同类项师：对了．就是这种研究方法．我刚刚看到了一些同学用这样的方法算．数学家波利亚说过，当遇到一个难题，我们是否可以研究类似的问题，现在我们来模拟一下．将视作一个容器，是红色玻璃球、是蓝色玻璃球，如果是显然是从两个容器中取球的问题．则问题可转化为在两个容器中取分别各一个球，有什么样的结果？生：只有这样的三种结果，要么都是红球、要么一红一蓝，要么都是蓝球．师：恩，就是这样三种结果．如果这样考虑显然不怎么妥当，我们可以以蓝球为标准进行分类．这三种结果也就是等价于都不取蓝球、只取一个蓝球，都取蓝球．那么分别有几种做法？生：不取蓝球的作法是种，一红一蓝有种，都是蓝球的是种．师：很好的．如果还原为原式又该如何？生：师：恩，如果用这种方法来研究呢．请同学们思考这种模拟如何实现？生：是不是这样．——4个容器中有红（）、蓝（）玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？生：（一个优秀的学生）同样也按蓝球b进行分类，则有都不取蓝（）球的，恰有个取蓝（）球，恰有个取蓝（）球，恰有3个取蓝（）球，都取蓝（）球这五种情况．则从上面个容器（括号）中，每个都不取蓝（）球的情况有种，即种，的系数是；恰有个取蓝（）球的情况有种，的系数是，恰有个取蓝（）球的情况有种，的系数是，恰有个取蓝（）球的情况有种，的系数是，有都取蓝（）球的情况有种，的系数是，∴师：大家说他说得好不好？生：鼓掌……，好的！[教学感悟]对这个问题的处理，是明显和教材是不相同的．我是先让学生知道今天要学习什么，让学生朝着学习目标进发．然后积极在教学中渗透特殊到一般是思想．和分类讨论思想，特别是学生对为什么要按字母或进行分类，学生的学习还不致于陷入混淆的状态．对于构造实验进行模拟的效果在本节课反应显著．就是要求我们是教学过程中，要注意把书本的学术形态转化为教育形态师：好了．那么我们是否能更胆大一些，有了前面的基础，能不能猜测一下的展开情况？．生：我通过观察刚刚的式子，认为应该是师：很好，能否简要说明一下方法，我请另外一个同学来协同作战生：同样可按b进行分类：每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，……，恰有个取的情况有种，的系数是，……，有都取的情况有种，的系数是，∴师：我们把上述同学说的公式叫二项式定理．右边的多项式叫的二项展开式，观察一下这个二项展开式有何特点的特点生：都是次式，师：说成n次齐次式更好！生：展开式各项的系数组合数的上标逐渐增加：的次数逐渐减小，从，的次数逐渐增加，从生：它有项．师：上述同学归纳得不错，我们规定二项展开式中各项的系数叫二项式系数.同时要注意以为项数的标志，也就是说二项展开式是有序的，不能随意颠倒的．师：在二项展开式中，我们有时研究它的全部项没有必要，只要研究它的某一项，在这中，我们选出一个代表来．就是我国的人民代表大会一样，从十几亿人中选出2千个左右的代表，他当然要代表广大人民群众性的意志．那么大家认为哪一项更能代表呢？生：用第n项如何？好象数列的通项一样，含有n.师：大家觉得怎么样？生：不行，应该是师：为什么不行呢．生：书上是这样的．师：要有自己的思考哦！生：因为那样的话对如果有的情况显然不能表示．师：有道理！那么为什么要用呢．我们来重新写一下显然如果用第项是多少？生：．师：第项呢．生：师：第项呢？生：师：大家说用什么表示更好呢！有什么理由？生：用表示更好．比较简捷！师：很好，这就是数学美的简洁美，不过他是第项，不是第项，也算是它是一个缺点吧！须用表示，即通项．正好象我国古代四大美人有每个都有一个缺点一样呀．生：叫它美人公式如何？师：哈哈，当然可以．[教学感悟]对通项的领悟比较常用的做法是直接告诉学生那就是通项，根本不讲为什么选它当通项，通过发挥学生的潜能，让学生自主归纳，学生领悟到数学美，并将‘美人公式’记住，知道那个缺点就是不是第项，而是第项，这样学生如果在使用过程中能回想起老师、同学的话，就能达到正确使用公式的目的．（二）公式应用：下面我们做一下练习．师：课件展示：例1．展开；例2．展开生：练习，板演．[设计感悟]在这个环节中我把主要的精力放在让学生学会展开，将当作定理中的，将当作定理中的，体现一种换元的思想，尤其是对例2的设置不拘泥教材．教材是这样的例1是展开，例2更麻烦展开，我觉得放于第一课时是不妥的，放在以后的习题课会好些．师：同学们做得不错．能较好的使用二项式定理．下面我有个问题要问大家．请大家看这位同学的题目．（用手指指出）现在问一个问题．对于项的系数是多少，项的二次项系数是多少？课件展开问题．生：是16，是；争论之声四起师：大家考虑一下．最终哪出一个定论来．请同学们看问题有什么不同？过了一段时间生：应该是这样项的系数是16．项的二次项系数是师：板书项的系数与二次项的系数．问大家在初中时学过什么是单项式的系数吗？生：比如……师：要用数学概念比较好，你用的描述性定义．单项式的系数是指单项中所含的数字因数叫单项式的系数，我们考虑这个二项展开式的其中一项，其实就是单项式中的项数．而二项式系数是规定组合数的，当然是，所以我们在以后解题中要小心审题，正所谓：生：差之毫厘，谬之千里也！最后出一道例题使用一下通项公式．师：出示课件例3．求的展开式中的倒数第项生：完成的效果较好．最后由一个同学来归纳今天学到的知识和数学思想方法． 师：最后大家来回答我们上课提到的问题，为什么过天也是星期五呢？生：（数学课代表）老师，我知道了．将看作，然后展开，这时，前面的每一项均含有7，都可被7整除，只有最后一项不含7，就是最后余1．显然是星期五．师：太好了．终于功德圆满了，很棒哦！不过我还想提一个问题，大家知道被3整除数的特征是什么？恩对了．就是其和能被3整除，那么用我们今天学的知识，你能告诉我这是为什么吗？[设计感悟]主要是让学生带着问题进入课堂，又带着问题走出课堂，这样学生兴趣之火也才能越烧越旺．（三） 当堂检测（10分钟）：1. 写出7)1(q +的展开式（解略）2. 写出n x )1(+的展开式（略）3. 写出n b a )(-的展开式（略）4. 求b b a )32(+展开式中的第3项解：2422242632160)9)(16(15)3()2(b a b a b a C T ===5. 求b a b )23(+展开式中的第3项解：424242634860)4)(81(15)2()3(b a a b a b C T ===师： 比较第3、4题的解法，求二项展开式的某一项时要注意什么？生： 公式中的a 、b 不能互换.师：对. 求整个展开式，a 、b 可以互换，但求某一项时，a 、b 不能互换. 师： 第4题中第3项的二项式系数是多少？该项的系数是多少？两者相同吗？ 生：： 15，2160. 两者不同.师： 是的. “二项式系数”与“系数”不一定相同，这点要注意区别. （四） 小结师：1.本课我们用由特殊到一般，又由一般到特殊的归纳演绎的方法学习二项式定理.2.数学思想和方法是数学的灵魂. 本课教学突出归纳思想和数学归纳法.3.二项式定理的规律突出表现在二项式系数的规律和字母的规律.4.二项式定理体现了数学美：简洁美、和谐美、对称美. （五）布置作业：31P 练习1，2，3，4（书上））.P习题1.3 1,2,3,4.37。
二项式定理的应用导学案
二项式定理的应用导学案一、知识背景1.二项式定理二项式定理又叫做牛顿定理，是代数中的一个基本公式。
它描述的是一个二次幂的多项式被展开后各项系数的规律。
当幂为自然数时，用二项式定理展开后可以帮助我们方便地计算出原式的各项系数。
2.二项式定理的公式(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k其中，C_n^k是组合数，表示从n个不同元素中取k个元素的不同组合数数目。
3.二项式定理的应用二项式定理最常见的应用是展开幂函数。
在实际应用中，展开幂函数可以简化数学计算，简化问题的形式。
同时，二项式定理也是概率与统计学科中重要的基础知识，通过计算组合数的计算，可以推导出诸多与随机现象相关的公式。
二、应用导学1.现实应用\mathcal{Case\ Study}小云生病了，医生建议她吃一种辅助药。
这种辅助药有两种口味，分别是橙子味和柠檬味，分别标志为O和L。
医生建议小云每天至少吃7粒此类药，而且每天要至少吃3粒橙子味药，另外，为了保持口味新鲜，每天两种药至少要吃一种。
问题是：小云要吃完所有这种辅助药，一共要多少种方案呢？\mathcal{Solution}按照题目中要求的计算，首先给出小云每天至少吃7粒药的方案数：(O+L)^7=C_7^0O^7C_7^1O^6L+C_7^1O^6L^1C_7^1O^6L+C_7^2O^ 5L^2+C_7^3O^4L^3+C_7^4O^3L^4+C_7^5O^2L^5+C_7^6O^1L^6+ C_7^7L^7因为每天要至少吃3粒橙子味药，所以从上述式子中减去：“一天不吃橙子味药”和“一天只吃1粒橙子味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]再从上述式子中减去“每天都只吃柠檬味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]+1最后，因为每天两种药至少要吃一种，所以要减去“一天只吃柠檬味药”和“一天只吃橙子味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]+1-\sum\limits_{i= 0}^1C_6^i(O+L)^5将计算结果带入计算器，得到总方案数为14006种。
二项式定理_学案
二项式定理一、知识与方法：1、二项式定理：011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数rn C 叫第1+r 项的________；展开式共有_____项，其中第1+r 项1r n r rr n T C a b -+=(0,1,2,,)r n =称为二项展开式的______，主要用于求指定的项。
解题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？ 2、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，实质是__________； （2）增减性与最大值：当12n r +≤时，二项式系数C r n 的值逐渐增大， 当12n r +≥时,C r n 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。
当n 为偶数时，中间一项（第____项）的二项式系数（ 2n nC）最大值。
当n 为奇数时，中间两项（第______和_______项）的二项式系数（1122n n nnC C-+=）相等并同时取最大值。
（3）二项式系数的和：01r n n n C C C +++___=++n n C ；0213n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅______=。
注意：此过程体现了“赋值法”，应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和、“奇数 (偶次)项”系数和、以及“偶数 (奇次)项”系数和。
3、二项式定理的应用：主要有近似计算、证明整除性问题或确定余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。
二、例题： 例1、求37(2x的展开式中第三项及常数项。
例2、已知9290129(13)x a a x a x a x -=++++，求（1）0a ； （2）2a ； （3）0129||||a a a a ++++。
三、练习题：1、在52()2x x-的展开式中x1的系数等于（ ） A 、10B 、10-C 、20D 、20-2、若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是（ ） A 、2- B 、22 C 、34 D 、23、在1021⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中，含x 的负整数指数幂的项共有（ ） A 、8项B 、6项C 、4项D 、2项 4、在261()x x+的展开式中，3x 的系数和常数项依次是（ ）A 、20，20B 、15，20C 、20，15D 、15，155、由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 （ ） A 、(1，2，3，4) B 、(0，3，4，0) C 、（-1，0，2，-2） D 、（0，-3，4，-1） 6、对于二项式31()()nx n N x++∈，四位同学作出了四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项； ②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项； ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项． 上述判断中正确的是（ ） A 、①③B 、②③C 、②④D 、）①④7、若41313--+=n n n C C C ，则n 的值为 。
二项式定理学案
二项式定理学案
§1.5.1二项式定理
一、知识要点
二项式定理：
通项：
二项式系数与项的系数：
二、典型例题
例1.展开下列各式：
⑴⑵
例2.求的展开式中第4项的二项式系数和系数.
例3.求的二项展开式中的常数项.
例4.已知在的展开式中，第6项为常数项.
⑴求；⑵求含的项的系数；⑶求展开式中所有的有理项.
三、巩固练习
的展开式为.
的展开式中第3项的二项式系数是，第3项的系数为. 写出的展开式第项为.
的展开式中含的项为.
的展开式中的常数项为.
四、课堂小结
五、课后反思
六、课后作业
展开式中项的系数为.
的展开式中，含的项的系数是.
在展开式中，项的系数是15，则实数=.
化简=.
的展开式中的常数项为.
若的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则的取值范围是.
展开式中，含项的系数为.
若的展开式中的第3项与第5项的系数相等，求展开式中的系数.9.二项式的展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列，求展开式中的常数项.
0.求展开式中的所有的含的有理项.
订正栏：。
二项式定理教案完整版
二项式定理教案完整版一、教学目标通过本节课的研究，学生应该能够：- 理解二项式定理的概念和基本公式；- 掌握计算二项式的展开式；- 掌握二项式系数的计算方法；- 能够应用二项式定理解决实际问题。
二、教学重点- 二项式的展开式计算方法；- 二项式系数的计算方法。
三、教学准备- 教材：《数学教材》第X册；- 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT；- 学具：练册、计算器。
四、教学过程步骤一：引入1. 向学生介绍二项式定理的概念，并与生活实际进行关联，引发学生的兴趣；2. 提出问题：“如果我们要计算(2x + 3y)^2，应该怎么做？”步骤二：讲解二项式的展开式1. 分析并解答问题，引出二项式展开式的概念；2. 介绍二项式定理的基本公式：(a + b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 +C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + ... + C(n,r)·a^(n-r)·b^r + ... + C(n,n)·a^0·b^n；3. 解释二项式系数C(n,r)的含义，并介绍其计算方法：C(n,r) = n! / (r!·(n-r)!)；4. 给出示例，讲解二项式展开式的具体计算过程。
步骤三：练与巩固1. 给学生发放练册，并分发相关练题；2. 让学生自主完成练，帮助他们巩固所学知识；3. 监督学生的练过程，及时纠正错误并解答疑惑。
步骤四：应用与拓展1. 提出一些与实际问题相关的二项式展开式计算问题，并让学生尝试解决；2. 引导学生理解二项式展开式在数学和实际生活中的应用价值；3. 鼓励学生拓展思维，探索其他与二项式展开式相关的问题。
五、教学总结通过这节课的研究，我们了解了二项式定理的基本概念和计算方法，掌握了二项式的展开式计算方法，并通过练和应用将理论知识应用到实际问题中。
希望同学们能够继续努力研究，提高自己的数学能力。
二项式定理优秀导学案
二项式定理教案一、教学目标：1．知识技能：（1）了解二项式定理是代数乘法公式的推广及推导过程；（2）理解并掌握二项式定理。
2．过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式3．情感、态度与价值观培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨二、教学重点、难点重点：用计数原理分析4)(b a +的展开式得到二项式定理。
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。
三、教学过程（一）问题引入：1.在n =1, 2, 3时，写出并研究()nb a +的展开式. ()1b a += b a + ()2b a += ()()b a b a ++=222b ab a ++， ()3b a +=()()()b a b a b a +++ 322333b ab b a a +++=2.思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+= 问题：1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？4a b a 3 22b a 3ab 4b2)．各项前的系数代表着什么？各项前的系数 就是在4个括号中选几个取b 的方法种数3)．你能分析说明各项前的系数吗？每个都不取b 的情况有1种，即04c ,则4a 前的系数为04c恰有1个取b 的情况有14c 种，则b a 3前的系数为14c恰有2个取b 的情况有24c 种，则22b a 前的系数为24c恰有3个取b 的情况有34c 种，则3ab 前的系数为34c恰有4个取b 的情况有44c 种，则4b 前的系数为44c则 44433422243144044)(b c ab c b a c b a c a c b a ++++=+（二）知识新授1.二项展开式定理：()+----∈++++++=+N n b a C b a C b a c b a c b ac a c b a n n n m m n m n n n n n n n n n n 0333222110)( 右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式m m n m n b a c -叫做二项展开式的通项，记作1+m T 即1C m n m m m n T ab -+= n n m n n n nc c c c c ,......,,......,,,210 叫做二项式系数注1）．二项展开式共有1+n 项，每项前都有二项式系数2）．各项中a 的指数从n 起依次减小1，到0为此各项中b 的指数从0起依次增加1，到n 为此特例：当x b a ==,1时有：n n n n r r n n n n x xc x c x c x c x +++++++=+--11221......1)1( 2. 二项式定理(公式)的特点（1）二项式系数规律：n n n n n C C C C ,,,,210（2）指数规律：对于a 为降幂排列，即01,,,a a a n n -；对于b 为升幂排列，即 n b b b ,,,10 ；每一项中b a ,的次数之和都是()()0,1,,1, -==++n n r n r r n（3）项数规律：展开式共有n+1项四、应用（例题）例1 求51⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式. 解50554145323523251415050551111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x=53351510105xx x x x x +++++ 练习1 写出()42y x -的二项展开式.例2 求91()x x-的二项展开式中3x 的系数. 解 展开式的通项为()m m m mm m m x C x x C T 29999111--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 依据题意，有329=-m .解得 3=m .所以，3x 的系数是()()84123789113393-=⨯⨯⨯⨯⨯-=-C . 例3 （1）求7(12)x +展开式的第4项；（2）求第4项的二项式系数及第4项的系数. 解 展开式的通项为37333333177C 1(2)C 2T x x -+=⨯⨯=⨯⋅33358280x x =⨯=.所以，第四项为3280x（2）第4项的二项式系数为3537=C ；第4项的系数 2802133737=⨯⨯-C注意:二项式系数为)2,1,0(n m C m n =项的系数为：二项式系数与数字系数的积. 练习2 (1)求6(23)a b +展开式的第3项.(2) 10(1)x -的展开式的第6项的系数（ ）.A.610CB.610C -C.510CD.510C -。
学案5：1.3.1 二项式定理
1.3.1 二项式定理目标导航学习目标重点、难点1.能用计数原理证明二项式定理．2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式．3.能解决与二项式定理有关的简单问题. 重点：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能求特定项和系数． 难点：解决与二项式定理有关的简单问题.预习引导 1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *) (1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项式的展开式，展开式中一共有____项． (3)二项式系数：各项的系数__(k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式中第k ＋1项____________(k ∈{0,1,2，…，n })称为二项展开式的通项． 预习交流(1)二项展开式的特点有哪些？(2)(x ＋1)n 的展开式共有11项，则n 等于( )． A ．9 B ．10 C ．11 D ．12(3)⎝⎛⎭⎫2x －1x 7的展开式中第3项的二项式系数为__________，第6项的系数为__________，x 的次数为5的项为__________．自我感悟在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点课堂合作问题导学一、二项式定理的直接应用 活动探究1求⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4的展开式． 思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．迁移与应用化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．名师点津：熟记二项式(a ＋b )n 的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二、二项展开式中特定项(项的系数)的计算 活动探究21．若⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为__________．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x 的项即可．2．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )．A ．－154B ．154C ．－38D ．38思路分析：利用二项展开式的通项公式求． 迁移与应用1． (4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )． A ．－20 B ．－15C ．15D ．202． x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)名师点津：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k的特点，一般 需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 三、二项式定理的应用(整除问题) 活动探究3试判断7777－1能否被19整除．思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开． 迁移与应用证明：32n ＋2－8n －9是64的倍数．名师点津：用二项式定理解决a n ＋b 整除(或余数)问题时，一般需要将底数a 写成除数m 的整数倍加上或减去r (1≤r ＜m )的形式，利用二项展开式求解．当堂检测1.⎝⎛⎭⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是( )． A ．C 216x 12 B ．C 316x 10 C ．－C 316x 10 D ．C 416x 82.在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )． A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－403.二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 10的展开式中的常数项是( )．A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项4.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答) 5．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有__________项． 6．(1－x )4·(1－x )3的展开式中x 2的系数是__________．盘点收获用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．知识精华技能要领参考答案1．(2)n ＋1 (3)C k n2．T k ＋1＝C k n an －k b k 预习交流：(1)提示：①项数：n ＋1项；②指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减到0，同时b 的指数由0递增到n ；③通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r指的是第r ＋1项，不是第r 项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C r n 叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x )3的二项展开式中第3项的二项式系数为C 23＝3，而该项的系数为C 23·22＝12.(2)提示：B(3)提示：21 －84 －448x 5 活动探究1：解法1：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4⎝⎛⎭⎫1x 0＋C 14(3x )3·⎝⎛⎭⎫1x ＋C 24(3x )2⎝⎛⎭⎫1x 2＋ C 34(3x )⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 44(3x )0⎝⎛⎭⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法2：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.迁移与应用：解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x 5－1.活动探究2：1.【解析】由二项式定理可知T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－a x 2r ＝C r 6(－a )r x 6－3r ， 令6－3r ＝0，得r ＝2，∴T 3＝C 26(－a )2＝60.∴15a ＝60.∴a ＝4. 【答案】42．【解析】设含x 2的项是二项展开式中第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r＝C r 6⎝⎛⎭⎫126－r (－2)r x 3－r . 令3－r ＝2，得r ＝1.∴x 2的系数为C 16⎝⎛⎭⎫125(－2)＝－38. 【答案】C迁移与应用：1.【解析】设第r ＋1项为常数项，T r ＋1＝C r 622x (6－r )(－2－x )r ＝(－1)r ·C r 6212x－2rx －rx，∴12x －3rx ＝0， ∴r ＝4.∴常数项为T 5＝(－1)4C 46＝15.2．【解析】⎝⎛⎭⎫x －2x 7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x 7－2r .令7－2r ＝3得r ＝2. 因而⎝⎛⎭⎫x －2x 7展开式中含x 3项的系数为(－2)2·C 27＝4×7×62＝84.故x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数为84. 【答案】84活动探究3：解：7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C 177·7676＋C 277·7675＋…＋C 7677·76＋C 7777－1＝76(7676＋C 1777675＋C 2777674＋…＋C 7677)．由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除． 迁移与应用：证明：∵32n ＋2－8n －9 ＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋C nn ＋1·8＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82 ＝(8n －1＋C 1n ＋1·8n －2＋…＋C n －1n ＋1)·64， 故32n ＋2－8n －9是64的倍数．当堂检测1．【解析】展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·(x )16－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r ， ∴第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10.【答案】C2．【解析】T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r ， ∴当10－3r ＝1时，r ＝3.∴(－1)325－3C 35＝－40. 【答案】D3．【解析】展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x20－2r⎝⎛⎭⎫2x r ＝2r C r 10·x 20－5r 2，令20－5r 2＝0，得r＝8.∴常数项为第9项． 【答案】B 4．【解析】⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的通项为 T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 626－r x 3－r .当3－r ＝0时，r ＝3.故(－1)3C 3626－3＝－C 3623＝－160.5．【解析】∵T r＋1＝3r4C r20x20－r y r(r＝0,1,2，…，20)的系数为有理数，∴r＝0,4,8,12,16,20，共6项．【答案】66．【解析】展开式中的x2项为C14·(－x)1·C23·(－x)2＋C24(－x)2C03＝－6x2.【答案】-6。
完整版二项式定理教案
1.3.1 二项式定理（第一课时）、教学目标1、知识与技能（1）理解二项式定理，并能简单应用（2）能够区分二项式系数与项的系数2、过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3、情感与态度价值观通过探究问题，归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯，在自主学习中体验成功, 在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
、教学重点难点1、教学重点：二项式定理及二项式定理的应用2、教学难点：二项式定理中单项式的系数三、教学设计:三、典例分析例1例1、求(2 _)4的展开式x解：(2 -)4C：24C4 23(丄)C4 22(-)2C：2 (-)3C：』)x x x x x “32 24 8 116 2 3 4x x x x例2 (1)求(1 2x)5的展开式中第3项5 23 2 3解.(1 2x)的展开式的第3项疋T2 1 C5 1 (2x) 40 x,1 9 3例3.求(x -)9的展开式中x3的系数x1解：••• (x -)9的展开式的通项是xT k 1 C9x9 k(1)k C9k x9 2k,x二9 2k 3 , k 3，二x3的系数C： 84课堂检测：1.(2a b)4的展开式中的第2项•解：T2 1 C4(2a)3b 32a3b,2.(x 1)10的展开式的第6项的系数(D )厂6 厂6 厂5 厂5A. C10B. C10C. C10D. C10x 5 23.(1 )5的展开式中x2的系数为(C )25A. 10B. 5C. -D. 12四、小结X二项式定理：通理J(灯+小『=Ctf+U十%+…彳U旷方*+…+6弟斤十］域的一，顼成乘数区别：展开式中第2项的系数，第2项二项式系数4思考：展开式中第3项的系数，第3项二项式系数通过例题让学生更好的理解二项式定理强调：通项公式的应用进一步巩固二项式定理学生应用二项式定理明确通项的作用板书设计：1.3.1 二项式定理一. 二项式定理：(a b)n C0n a n C1n a n 1b L C k n a n k b k L C n n b n(n N* )1.项数：n 1项；2•指数：字母a , b的指数和为n ,a 的指数由n 递减至0，b的指数由0递增至n ；3.二项式系数：C n0,C n1,C n2,L ,C n k L ,C n n (k {0,1, 2,L n})4.通项：第k 1项：T k 1 C n k a n k b k二. 典例三. 作业。
高三数学教案《二项式定理》四篇
高三数学教案《二项式定理》四篇教学过程篇一1.情景设置问题1：若今天是星期二，再过30天后的那一天是星期几？怎么算？预期回答：星期四，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少？问题2：若今天是星期二，再过810天后的那一天是星期几？问题3：若今天是星期二，再过天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少？在初中，我们已经学过了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3（提问）：对于(a+b)4，(a+b)5如何展开？（利用多项式乘法）（再提问）：（a+b)100又怎么办？(a+b)n(n?N+）呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。
也就是研究（a+b)n(n?N+）的展开式是什么？这就是本节课要学的内容。
这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性。
学完本课后，此题就不难求解了。
（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。
奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
）2.新授第一步：让学生展开；问题1：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂、另一字母升幂排列，且两个字母幂指数的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
第二步：继续设疑如何展开以及呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。
）继续新授师：为了寻找规律，我们以中为例问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项？这里的字母各来自哪个括号？问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗？问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。
（完整版）二项式定理教案.docx
（完整版）二项式定理教案.docx1.3.1二项式定理（第一课时）一、教学目标1、知识与技能（1）理解二项式定理，并能简单应用（2）能够区分二项式系数与项的系数2、过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3、情感与态度价值观通过探究问题，归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯，在自主学习中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
二、教学重点难点1、教学重点：二项式定理及二项式定理的应用2、教学难点：二项式定理中单项式的系数三、教学设计：教学过程设计意图师生活动一、新课讲授引入：展开 (a b)2、 (a b)3XK]让学生写展开式，回顾学生写展开式多项式乘法法则学生完成：(a b) 2a22ab b2利用排列、组合理知识(a b) 3a33a2 b3ab 2b3分析 (a b)2展开式分析 (a b) 2的展开式：(a b) 2(a b)(a b) a22ab b2教学过程设计意图师生活动恰有 1 个因式选b的情况有C12种，所以ab的系数是C12；2 个因式选b的情况有C22种，所以b2的系数是C22；每个因式都不选 b 的情况有C02种，所以a2的系数是C02；(a b)2C02a2C12 ab C22b2类比展开 ( a b)3(a b)3C03a3C13a2b C32ab2 C 33b3①展开式有几项？思考 3 个问题：②展开式中 a ，b 的指 1. 项数 2. 每一数和有什么特点？项 a ，b 的指数③各项的系数是什和 3.系数么？如何用排列、组合的知学生完成识解释ab2的系数？按照 a 的降幂排列类比展开 ( a b) 4(a b)4 C 04a4C14 a3b C 24a2 b2C 34ab3C44 a4归纳、类比(a b) n?二、二项式定理：(a b)n C0n a n C1n a n 1b C2n a n 2b2L C k n a n k b k LC n n b n(n N* )这个公式叫做二项式定理, 左边的多项式叫做二项式右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式，其中各项的系数 C r n ( k 0,1,2,3,L n) 称为二项式系数，式中的 C k n a n k b k叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第k 1 项，记作：T k 1=C k n a n k b k从以下几方面强调：（1）项数：n 1项；（2）指数：字母a，b的指数和为n，字母a 的指数由n 递减至0，字母 b 的指数由0递增至n；（3）二项式系数：下标为n，上标由0递增至n；C n k （ 4）通项：第k1项：T k 1C n k a n k b k 让学生类比写展开式，进一步巩固展开式的特点通过前面具体的例子，让学生从项数、项、系数这三个方面来类比(a b) n?（1）项数：n 1项；（2）指数：字母a，b的指数和为 n ，字母 a的指数由 n 递减至0，字母 b 的指数由0递增至n ；（ 3）系数是C n0 ,C n1 ,C n2 ,L ,C n kL ,C n n (k {0,1,2,L , n})生：板演( a b) 4的展开式师：展示通过前面几个例子，类比归纳得到 (a b)n的展开式，学生交流探究以下 3 个问题1.指数：3.系数教学过程设计意图师生活动三、典例分析例例 1、求 (214区别：) 的展开式x展开式中第 2 项的系解：1)4C 40 24 C 41 23( 1) C 41 22( 1) 2 C 432 ( 1)3数，第 2 项二项式系数(2 C 44 ( 1)4xx x xx32 24 8 116 x x 2 x 3 x 4例 2（ 1）求 (12x) 5思考：的展开式中第解：(1 2x)53 项是 T 2 1 C 52 13 (2 x)240 x 3展开式中第 3 项的系的展开式的第，数，第 3 项二项式系数例 3. 求 ( x1)9 的展开式中 x 3 的系数x通过例题让学生更好解：∵ ( x 1)9的展开式的通项是的理解二项式定理xTk 1C 9r x9 k( 1) k C 9k x 9 2k，x强调：通项公式的应用∴ 92k3 ，∴ x 3 的系数 C 9384课堂检测：1. (2 a b)4 的展开式中的第 2 项 . 解： T 2 1 C 41 (2a)3 b 32a 3b ，2. (x 10的展开式的第 6 项的系数（D ）进一步巩固二项式定1)C 106C 106C. C 105C 105理A. B.D.3. (1x)5 的展开式中 x 2 的系数为（ C ）25A.10B. 5C.D. 12四、小结学生应用二项式定理明确通项的作用五、作业：课本 37 页 A 组 2 、 3 题板书设计：1.3.1二项式定理一 .二项式定理：(a b)n C0n a n C1n a n 1b L C k n a n k b k L C n n b n( n N * )1.项数：n1项；2.指数：字母a，b的指数和为n ，a的指数由 n 递减至0，b的指数由 0 递增至n；3.二项式系数：C n0 , C1n , C n2 ,L , C n k L , C n n (k {0,1, 2,L n})4.通项：第k 1 项：T k 1C n k a n k b k二.典例三 .作业。
二项式定理学案
1.3 二项式定理1. 3.1 二项式定理备课人：于春兰一、 学习目标• 1．记住二项式定理及其应该注意的要点（通项、二项式系数、系数）． • 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．二、学习过程（一）问题引入(1)今天是星期三，那么7天后的这一天是星期几呢?(2)如果是22天后的这一天呢？(3)如果是1008天后的这一天呢？（二）自主学习、完成尝试练习1．二项式定理公式()n a b +＝______________________________________ (n ∈N *)叫做二项式定理．2．二项式系数及通项(1)()n a b +展开式共有______项,其中__________________________________叫做二项式系数(2)()n a b +展开式的第_____项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝________.3、写出的展开式. （三）小组讨论、合作释疑1、写出4的展开式. 2、化简32(1)3(1)3(1)1x x x -+-+-+.3、2532()x x -展开式中常数项是第几项，常数项的值是多少？第4项的系数与二项式系数分别是多少？ 4、今天是星期三，那么 天后是星期几？ （四）小组展示、教师点拨1、注意二项式定理 中二项展开式的特征公式:011()+n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++…… *()n N ∈①项数：共n+1项,是关于a 与b 的齐次多项式10087(1)x -②指数: a 的指数从n 逐项递减到0,是降幂排列；b 的指数从0逐项递增到n ，是升幂排列.③ 通项（第k+1项）：1k n k k k n T C a b -+= (*,n N k N ∈∈)④ 第k+1项的二项式系数：k n C2、区别二项式系数，项的系数.三、当堂检测（五）巩固练习1.（2013.新课标II ）已5(1)(1)ax x ++的展开式中含2x 的项的系数为5，则a 等于( )A ．-4B ．-3C ．-2D ．-12.（2013.四川理）二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是______（用数字作答）.3.已知在21(2n x 的展开式中，第9项为常数项，求： (1).n 的值；(2).展开式中5x 的系数.（六）拓展提升(2013.陕西理)设函数61(),0()0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩则当0x >时，[]()f f x 表达式中常数项为 （ ）A. -20B. 20C. -15 D 15课后作业必做题：习题1.3 A 组 4（1）、（2）,5选做题：习题1.3 B 组 第1题。
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理，帮助学生更好地理解和应用该定理，提高数学解题能力。
2. 教案一：《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质，如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题，如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式的定义和性质，并用例题演示二项式展开的基本方法，加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论：引导学生参与讨论，思考问题的解决方法，培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固：给学生一定数量的练习题，巩固所学知识，并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况，进行教学评价•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改正错误，提高学习效果3. 教案二：《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法，如二项式系数的递推关系等–通过数学推理，证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习，提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力，通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式定理的证明方法，并演示具体的证明过程，加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论：引导学生进行证明题的讨论和分析，提高学生的数学推理能力•练习与应用：给学生一些练习题，加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进学习方法，提高学习效果4. 教案三：《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目，引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题，锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示：通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系，并给出具体的例题进行演示，加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用：给学生一些练习题，锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论：引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价：通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进问题解决的方法，提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
二项式定理导学案
即墨实验高中高二数学统一学案撰稿人：王晓芬审稿人: 宋常修编写时间:2011428 编号18 小组合作一：问题4： ( a+b) n的展开式又是什么呢？(1)将(a+b)n展开有多少项？(2 )每一项中，字母a，b的指数有什么特点？(3)字母“ a”、“ b”指数的含义是什么？是怎么得到的？(4)如何确定“ a”、“b”的系数？猜想：(a b)n C°a n C：a n1b C：a n k b k C；；b n(n N*)类型一、二项式定理的直接应用L 1 6例题1、求(2 x —)的展开式7 x变式训练:①(1 2x)7的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
1②求(X )9的展开式中含x3的系数。
X类型二、利用二项式定理求特定项例题2、已知(3x x2)2n的展开式的系数和比(3x 1)n的展开式的系数和大1992,求(2x )2n的展开式中：①二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大x的项•引导学生自己归纳结论引导学生用数形结合的【课堂检测】（10分钟）A 第四项和第五项B.第五项C.第五项和第六项D. 第六项2. W2 x)10a o2a 〔x a ?xa^x 10，贝U (a 。
a 2%)2(a1a3a ?)2的值为（）A 0 B.-1 C.1 D. C 2 1)103.设(1x x 2)na 0 a 1xa 2x 2a 2n x 2n,则 a 0a2a4a2n 等于（）3nn . 3 1 n . 3 1A. 3nB.2 C.2D.24.在2x—— 10033y的展开式中， 系数为有理数的项共有（ )1.在（X 1）9按x 的降幕排列，系数最大的项是（）A.16 项B.17 项C.18 项D.19 项5、 项式（x 二2 ）6的展开式中,常数项为 _________________.x 26、 在（x a ）10的展开式中，x 7的系数是15,则实数a = __________________走进高考：在（2x 3y ）10的展开式中，求：① 二项式系数的和；② 各项系数的和；③ 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和 ； ④ 奇数项系数和与偶数项系数和； ⑤ x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.作业：导学案。
21.2.1《二项式定理》学案
21．2．1《二项式定理》学案一、复习回顾：1.一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个．2. 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示。
3.组合数性质1：组合数性质2：4.组合数公式：；。
（其中，）二、问题探究：1.试一试请观察这4个展开式，说说它们有哪些规律？2.规律探究展开式的项数：每个展开式的项数恰好比(a+b)的次数。
a与b在各项中的次数：a在每项中的次数是排列，最高次数恰好 (a+b)的次数，最低次数为；b在每项中的次数是排列，最低次数为零，最高次数等于(a+b)的次数，且展开式中每一项a与b的次数和都 (a+b)的次数。
展开式系数的规律：(a+b)2展开式有三项，它们的系数分别为1,2,1，也就是(a+b)3展开式有四项，它们的系数分别为1,3,3,1，也就是(a+b)4展开式有五项，它们的系数分别为1,4,6,4,1，也就是总之，展开式中各项的系数都可用组合数来表示，其中n恰好 (a+b)的次数，m恰好等于展开式中的次数。
根据以上分析，可以写出(a+b)5的展开式为5+=。
a b()三、新知学习：1.二项式定理：一般地，有 0111(),.n n n m n m m n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --++=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+∈2. (a+b)n 的二项展开式：3.二项式系数：4.二项展开式的通项公式： ，是二项展开式的第m+1项。
四、典型例题：(例1、例2涉及到二项展开式的运用)例1 求 51()x x +的二项展开式。
例2 求（1+x)5+(1-x)5的展开式。
（例3、例4、例5涉及到通项公式的运用）例3 求 10的二项展开式的第6项。
例4 求 91()x x -的二项展开式中x 3的系数。
（注意二项式系数与系数的区别）例5 求6的展开式中的常数项。
6.3.1 二项式定理新授课教案学案
6．3．1二项式定理教学目标：1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题．2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力．3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感．教学重难点：1. 教学重点：用技术原理分析（a+b ）²的展开式，得到二项式定理2. 教学难点：用计数原理分析二项式的展开式，用两个计数原理证明二项式定理 教学过程：一、创设情景，引入新课引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题：2()+=a b ？ 3()+=a b ？4()+=a b ？那么9()?a b +=……n b a )(+的展开式是什么？二、体验感知 探究归纳12．项的结构特点．师：根据多项式乘法法则，()na b+的展开式就是从每个因式中任取一项相乘得到展开式的项． 3．项的系数特点．展开过程中该项出现的个数．三、知识建构 形成定理)()(*110N n b Cb a C b a C a C b an n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- —— 二项式定理 证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a-),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -，它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．二项式定理的公式特征：①展开式中每一项的次数都是n ；②展开式共1n +项；③按照字母a 降幂排列，次数由n 递减到0，字母b 升幂排列，次数由0递增到n ； ④k n k k n C a b -是展开式的第1k +项； k n k k n C a b -叫二项展开式的通项，用1k T +表示．⑤各项的系数(0,1,)k n C k n =叫二项式系数．四、巩固新知 提升能力五、回顾反思 归纳总结知识方面：二项式定理，通项，二项式系数；思想方法：从特殊到一般；观察——归纳——类比——猜想——证明．六、课下作业 思维延伸1、P 31: 1~52、求12的展开式的中间一项； 3、求x -101(1)2展开式中含x51的项的系数． 思维延伸： 探究()5a b c ++的展开式中22a b c 的系数．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：二项式定理
时间：2018/5/23 班级：教师：
一、学习目标：1、会用二项式定理求二项式的展开式
2、会用通项求展开式中的任意项
3、会区分项的二次项系数和项的系数
二、学习过程：
（一）复习旧知
组合数公式=_________________________,特别的=________
(二)知识探究与学习
1、完成计算:
(a＋b)2 =______________________________
(a＋b)3= (a＋b)(a＋b)(a＋b)= ______________________________猜想(a＋b)n=(a＋b)(a＋b)…(a＋b) ( n个(a＋b)相乘)
=______________________________
2、二项式定理
(a＋b)n =______________________________
这个公式所表示的规律叫做二项式定理．
(1)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有____________项，而且每一项的次数都为____________。
(2)二项式系数：____________
(3)通项：(a＋b)n展开式的第____________项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝____________
(三)题型探究与训练
题型求展开式、二项式系数、项的系数、任意项
（1）例：求的展开式、展开式的第3项的系数、第3项的二项式系数；
（2）跟踪训练1
求(a-2b)4的展开式的第4项系数和二项式系数；
（四）归纳与总结
1、二项式定理：
2、通项：
三、学习效果检测
1、写出的展开式.
2、的展开式的第6项的系数是_____________，
第6项的二项式系数是____________。
四、课后作业
课本36页习题1.3A组2、4(1)(2)
五、课后反思。