著名机构初中数学培优讲义角、角平分线.第03讲(A级).教师版

内容

基本要求

略高要求

较高要求

角、角分线

会识别角并会表示；认识角、分、秒，并会进行简单换算；

会度量角的大小并进行简单计算；会比较两个角的大小；了解角平分线的概念并会表示

会尺规作图：作一个角等于已知角，做已知角的角平分线；会用角平分线的性质解决简单问题；会结合图形认识角与角之间的数量关系

一、角的定义

定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．

定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始

边，终止位置的那条射线叫做角的终边.

(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：

（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点；

（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.

（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.

角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

二、角的表示方法

① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．

例题精讲

中考要求

角、角平分线

∠AOB

图1.1

注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．

∠A

图1.2

A

注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且

只有一个．

③ 用数字来表示角，如图2.1．

∠1

图2.1

1

③ 用希腊字母来表示角，如图2.2．

∠α

图2.2

α

三、单位换算

1度＝60分(160︒=') 1分=60秒(160'=")

四、角的度量

（1）度量角的工具常用量角器

用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角

的另一边所在线的度数）

（2）角的度量单位及其换算

角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''． 角度之间的关系

1周角=360︒ 1平角＝180︒ 1直角＝90︒ 1周角＝2平角 1平角＝2直角

角的分类：

锐角α（090α<<︒），直角α（90α=︒），钝角α（90180α︒<<︒）．

五、两角的和、差、倍、分

（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.

（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. （3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法

在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR ，折线使射线QR 与射线QP 重合，把纸展开，以Q 为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR 的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR ？

六、用尺规做已知角的平分线方法

作法：（1）以O 点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B 、两点；

（2）分别以A 、B 两点为圆心，以大于1

2

AB 长为半径画弧，画弧交于C 点； （3）过C 点作射线OC 。 所以，射线OC 就是所求作的。

O

C

B

A

七、余角、补角

（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. （2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. （3）补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.

八、 方位角

方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围0

900≤≤α.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向.

九、 钟表角度问题

时针12小时转动360度，每小时转动30度； 分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。 秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。

一、角的概念及表示

【例1】角是由有 的两条射线组成的图形，两条射线的 是这个角的顶点，角也可以看成是由

一条射线 ．

【解析】略

【答案】公共端点 公共端点 绕端点旋转而得到的图形

【例2】下列语句正确的是（ ）

①角的大小与边的长短无关。

②如果一个角能用一个大写字母A 表示，那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠，那么以1∠顶点为顶点的角只有一个。 ④两条射线组成的图形叫做角

A ①、②

B ①、③

C ①、④

D ②、③ 【解析】略

【答案】A

【例3】如图，角的顶点是 ，边是 ，

用三种方法表示该角分别为 ．

αB

A

O

【解析】略

【答案】O ；OA ，OB ；AOB ∠，α∠，O ∠．

【巩固】 在右图中，角的表示方法正确的是（ ）

A ．A ∠

B ．B ∠

C ．C ∠

D ．D ∠

A

B

C D

E

O

【解析】本题考查用一个大写英文字母表示角，本题选B ．

【答案】B

【巩固】 如图，以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D 为顶点的角呢?

D C

E

B

A

【解析】略

【答案】以B 为顶点的角有3个：ABE ∠，ABC ∠，EBC ∠

以D 为顶点的角有4个：ADE ∠，ADB ∠，BDC ∠，CDE ∠

【例4】下图中，以A 为顶点的角是_________。有一边与射线FD 在同一条直线上的角有__________个。