著名机构初中数学培优讲义角、角平分线.第03讲(A级).教师版

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部编人教版八年级(上)数学3角的平分线课件(27张)-公开课

∴__D__C_=_D__E___
B
DC
(_角__平__分__线__上__的__点__到__角__的__两__边__的__距__离__相__等_______)
(2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴_∠__1_=__∠__2__ (_ 到__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__角__平__分__线__上__。_)
明过程。
归纳总结
角的平分线的性质的作用是什么？主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的
方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
巩固提高
如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC
的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求
证：EB =FC．
A
E
F
B
D
C
随
练习
A
21
E
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
C
1
P
2
O
EB
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
B
C
【名师示范课】部编人教版八年级上册数学 12.3 角的平分线课件（27张）-公开课课件（推荐）
做一做
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.

中考培优竞赛专题经典讲义第1讲角平分线

第1讲角平分线1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF =DF.逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型！模型讲解模型1-BD平分∠ABC，且DC⊥BC理由：角平分线的性质结论：△DCB2△DEB模型2一BD平分∠ABC，且CD⊥BD理由：等腰三角形三线合一结论：△BDC≌△BDE模型3-BD平分∠ABC，AD//BC理由：平行线的性质结论：△ABD为等腰三角形【例题讲解】例题1、如图所示，在四边形ABCD 中，DC //AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线交AD ，AC 于点E 、F ，则BF EF的值是___________.【分析】要求BF EF 的值，一般来说不会直接把BF 和EF 都求出来，所以需要转化BF EF，当过点F 作FG ⊥AB 时，即可将BF EF 转化为BG AG ，又会出现模型1，所以这个辅助线与思路值得一试.【解答】解：如图，作FG ⊥AB 于点GQ ∠DAB -90°，∴FG /AD ，∴BF EF =BG AGQ AC ⊥BC ，∴∠ACB =90° 又Q BF 平分∠ABC ，∴FG =FC在Rt △BGF 和Rt △BCF 中BF BF CF GF=⎧⎨=⎩ ∴△BGF ≌△BCF （HL ），∴BC =BGQAC =BC ，∴∠CBA =45°，∴AB BC1BF BG BC EF AG AB BG ∴===- 例题2、如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________【分析】有AE 平分∠BAC ，且AE ⊥EC ，套用模型2，即可解决该题.【解答】解：如图，延长CE ，AB 交于点F .Q AE 平分∠BAC ，AE ⊥EC∴∠FAE =∠CAE ，∠AEF =∠AEC =90°在△AFE 和△ACE 中EAF EAC AE AEAEF AEC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△AFE ≌ACE （ASA ）∴AF =AC =16，EF =EC ，∴BF =6又Q D 是BC 的中点，∴BD =CD∴DE 是△CBF 的中位线∴DE =12BF =3 故答案为：3.例题3、如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【分析】这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型3，即可构造出等腰三角形，结合相似模型，即可解出答案.【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .Q E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC∴∠CBM =∠EMBQ BM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM∴EP +BP =EP +PM =EMQ CQ =13CE ，∴EQ =2CQ 由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ ∴ 2 212 12EM EQ EM BC EP BP BC CQ ==∴==∴+=【巩固练习】1、如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，做法用得到三角形全等的判定定方法是（）A.SASB.SSSC.ASAD.HL（第1题）（第3题）（第4题）2、三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点3、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于G.若使EF =14AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（）A.∠ABC =60°B.AB:BC =1：4C.AB:BC =5：2D.AB:BC =5：84、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC =10，则PQ的长为（）A.32B.52C.3D.45、如图，在△ABC中，∠C =90°，AC =BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE AB 于点E，若△BDE的周长是5cm，则AB的长为 .（第5题）（第6题）（第7题）6、如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，DE∥BC交AB、AC于D、E，△ADE 的周长为15，BC长为7，则△ABC的周长为 .7、如图，在△ABC中，点D在BC上，BM平分∠ABD，BM⊥AD，N是AC的中点，连接MN，若AB =5，BC =8，则MN = .8、如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC =2，则DF的长为 .（第8题）（第9题）（第10题）9、如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB =6，AC =3，则BE = .10、如图所示，在四边形ABCD中，AD/∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE =2AE，若四边形AECD的面积为1，则四边形ABCD的面积为 .11、如图，在e O的内接四边形ABCD中，AB =3，AD =5，∠BAD =60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是 .（第11题）（第12题）12、已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD =BE =6，则AC的长等于 .13、将弧BC沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=8，DB=10，则BC的长是.（第13题）14、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG =S△PMN，试问点P是否在∠AOB的平分线上？15、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.16、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC=180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；17、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF.18、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA =4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A 不重合），∠BPC =∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP =x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.19、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B （m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA =90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.20、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。

八年级数学培优资料(全套)

八年级数学培优资料（全套）目录第01讲全等三角形的性质与判定6经典·考题·赏析6演练巩固·反馈提高10培优升级·奥赛检测12第02讲角平分线的性质与判定14经典·考题·赏析15培优升级·奥赛检测18第3讲轴对称及轴对称变换19经典·考题·赏析19演练巩固·反馈提高23培优升级·奥赛检测24第4讲等腰三角形27经典·考题·赏析27培优升级·奥赛检测34第五讲等边三角形36经典考题赏析36巩固练习反馈提高39第06讲实数41经典·考题·赏析41演练巩固反馈提高43培优升级奥赛检测44第7讲变量与函数45经典·考题·赏析46演练巩固·反馈提高49第8讲一次函数的图象与性质50经典·考题·赏析51演练巩固·反馈提高54培优升级·奥赛检测57第9讲一次函数与方程、不等式58经典·考题·赏析58演练巩固·反馈提高61第10讲一次函数的应用62经典·考题·赏析62演练巩固反馈提高69第11讲幂的运算72经典·考题·赏析72演练巩固反馈提高73培优升级奥赛检测74第12讲整式的乘除75经典·考题·赏析76演练巩固·反馈提高78第13讲因式分解及其应用80经典·考题·赏析80演练巩固反馈提高83培优升级奥赛检测84第14讲分式的概念•性质与运算85经典•考题•赏析86演练巩固反馈提高89培优升级奥赛检测90第15讲分式的化简求值与证明91经典•考题•赏析92演练巩固反馈提高96培优升级奥赛检测97第16讲分式方程及其应用99经典·考题·赏析99演练巩固·反馈提高102培优升级·奥赛检测104第17讲反比例函数的图象与性质106经典·考题·赏析106演练巩固·反馈提高110培优升级·奥赛检测113第18讲反比例函数的应用115经典·考题·赏析115演练巩固反馈提高119培优升级奥赛检测120第19讲勾股定理122经典·考题·赏析122演练巩固·反馈提高127培优升级•奥赛检测129第20讲平行四边形131经典•考题•赏析131演练巩固反馈提高135培优升级奥赛检测137第21讲菱形与矩形139经典·考题·赏析139演练巩固反馈提高141培优升级奥赛检测143第22讲正方形145经典•考题•赏析145演练巩固·反馈提高150培优升级·奥赛检测152第23讲梯形154经典•考题•赏析154演练巩固反馈提高. 155培优升级奥赛检测158第24讲数据的分析161经典·考题·赏析161演练巩固·反馈提高165培优升级·奥赛检测166模拟测试卷（一）169模拟测试卷(二) 172模拟测试卷（三）174A F CEDB B AC DE F第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中 AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF =⎧⎨=⎩∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A B C D O FE A C EFBD点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P ∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90° D ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB ACDG第2题图B （E ）OC F 图③DA【例４】（第21高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ， ∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D21ABC PQ E F D演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC 05将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（） A . △ABE ≌△CBD B . ∠ABE ＝∠CBD C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______第1题图 a αc ca50° b72°58°10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，Pcm /s , Qcm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E . ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB 垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌D A C .QP.BD B AC EFAE BF D CA EF C D B △A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE ,则OE 平分∠AOB ，正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .F 第6题图 21A B C E N M 321 A D E B C F A D E CO AE O BF C D 第1题图 B 第2题图第3题图 A B CD A 1 B 1C 1D 1A B C DEAE B D C 09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。

《角的平分线的性质》说课稿

通过让学生经历动手操作合作交流自主探究等过程培养学生用数学知识解决问题的能力和数学建模能力了解角的平分线的性质在生产生活中的应用培养学生探究问题的兴趣增强解决问题的信心获得解决问题的成功体验激发学生应用数学的热情
《角的平分线的性质》说课稿
《角的平分线的性质》说课稿
作为一位不辞辛劳的人民教师，时常要开展说课稿准备工作，说课稿有助于教学取得成功、提高教学质量。那么优秀的说课稿是什么样的呢？下面是小编帮大家整理的《角的平分线的性质》说课稿，仅供参考，大家一起来看看吧。
二、教学内容
本节课的教学内容包括角的平分线的作法、角的平分线的性质及初步应用。
内容解析：
教材通过充分利用现实生活中的实物原型，培养学生在实际问题中建立数学模型的能力。作角的平分线是几何作图中的基本作图。角的平分线的性质是全等三角形知识的延续，也是今后证明两个角相等或证明两条线段相等的重要依据。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。
教师继续引导，用多媒体展示实验过程，学生口述，用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线。
［设计意图］帮助学生体验从生产生活中分离，抽象出数学模型，并主动运用所学知识来解决问题。
从上面的探究中可以得到作已知角的平分线的方法。
［教学内容3］
把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC=DC，从几何作图角度怎么画？
教学辅助手段：根据本节课的实际教学需要，我选择多媒体PPT课件，几何画板软件教学，将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变。这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握。
六、教学过程的设计

角平分线的性质教学课件

解析
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质，我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。

著名机构初中数学培优讲义相交线.第01讲(A级).教师版

内容基本要求略高要求较高要求相交线平行线了解余角、补角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相同；了解垂线、垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，了解点到直线的距离的意义；了解线段垂直平分线及其性质；会用三角尺和直尺过直线外一点做这条直线的平行线；会用直尺或量角器过一点做已知直线的垂线；会用线段垂直平分线的性质解决简单问题；相交直线的概念及性质如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线．相交线的性质：两直线相交只有一个交点．4321DCB A邻补角的概念：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

对顶角的概念及性质：（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角.（2）对顶角的性质：对顶角相等。

垂线的概念及性质：（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它例题精讲中考要求相交线们的交点叫垂足.如图所示，可以记作“AB CD 于O ”DCBA（2）垂线的性质：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.同位角、内错角、同旁内角的概念：①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.87654321FE D CBA看图识角：（1）“F ”型中的同位角.如图.FMNDB F M NCAMNDB EMNECA（2）“Z ”字型中的内错角，如图.N MDANMBC（3）“U”字型中的同旁内角.如图.NMCAMNDB一、对顶角与邻补角【例1】判断正误：（1）三条直线两两相交有三个交点（）（2）两条直线相交不可能有两个交点．（）（3）在同一平面内的三条直线的交点个数可能为0，1，2，3．（）（4）同一平面内的n 条直线两两相交，其中无三线共点，则可得()112n n -个交点．（）（5）同一平面内的n 条直线经过同一点可得()21n n -个角（平角除外）．（）【解析】（1）⨯．因为“两两相交”包含三条直线交于一点的情况．（2）√．假设两条直线有两个交点，这说明经过两点的直线有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以两条直线相交只能有一个交点，不可能有两个．（3）√．因为如下图三直线的位置关系如下：（丁）（丙）（乙）（甲）（4）√．（5）√．【答案】（1）⨯；（2）√；（3）√；（4）√；（5）√．【例2】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为几个？最多为几个？【解析】很容易得到最少的交点个数是1个；对于最多的情况，不妨从简单情况入手，画图探索规律，1个交点 3个交点 6个交点 10个交点从中发现规律，平面内n 条直线两两相交最多有：(1)12(1)2n n n ⨯-+++-=L 个交点，那么平面内两两相交的6条直线最多有15个交点.n 条直线最多可将平面分成几部分？仍可以从简单情况入手，画图探索规律，(图可用上图)：1条直线最多可将平面分成2部分；1条直线最多可将平面分成4部分；1条直线最多可将平面分成7部分；1条直线最多可将平面分成10部分；……发现规律，n 条直线最多可将平面分成：(1)11212n n n ⨯+++++=+L 部分.【答案】最少有1个，最多有15个交点【例3】如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC =100°，则∠BOD 的度数是（）A 、20°B 、40°C 、50°D 、80°【解析】利用角平分线的性质和对顶角相等即可求得．【答案】因为∠EOC =100°，OA 平分∠EOC ，所以∠BOD =∠AOC =×100°=50度．故选C ．【点评】本题考查了角平分线和对顶角的性质，在相交线中角的度数的求解方法．【例4】以下说法正确的是（）A 、有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角B 、两条直线相交，任意两个角都是对顶角C 、两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角D 、两角的两边分别在同一直线上，这两个角互为对顶角【解析】两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．两条直线相交，构成的四个角中相邻的角，有公共顶点，两角的两边分别在同一直线上，如果这两条直线互相垂直时，相邻的角还相等，但这样的角不是对顶角．【答案】A 、有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角，不符合对顶角的定义，错误；B 、两条直线相交，只有两边互为反向延长线的两个角是对顶角，任意两个角都是对顶角的说法错误；C 、两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，符合对顶角的定义，正确；D 、两角的两边分别在同一直线上，这两个角是对顶角或者邻补角，错误．故选C ．【点评】本题考查对顶角的概念，一定要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点．反向延长线等．【例5】下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、0个【解析】根据对顶角的定义进行判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．【答案】根据对顶角的定义可知：图中只有第二个是对顶角，其它都不是．故选C【点评】本题考查对顶角的概念，一定要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点，反向延长线等．【例6】若∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB比∠BOC大18°，则∠AOB的度数是（）A、54°B、81°C、99°D、162°【解析】设∠AOB=x，则∠BOC=180°﹣x，根据题意∠AOB比∠BOC大18°可求出∠AOB的度数．【答案】设∠AOB=x°，则∠BOC=180°﹣x°，又∠AOB比∠BOC大18°，∴∠AOB﹣∠BOC=18°，即x°﹣（180°﹣x°）=18°，解得：x=99°．故选C．【点评】本题考查邻补角的知识，比较简单，注意在解答时要细心．【例7】如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．【解析】由已知∠FOC=90°，∠1=40°结合平角的定义，可得∠3的度数，又因为∠3与∠AOD互为邻补角，可求出∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD可求出∠2．【答案】∵∠FOC=90°，∠1=40°，AB为直线，∴∠3+∠FOC+∠1=180°，∴∠3=180°﹣90°﹣40°=50°．∠3与∠AOD互补，∴∠AOD=180°﹣∠3=130°，∵OE平分∠AOD，∴∠2=∠AOD=65°．【点评】本题主要考查邻补角的概念以及角平分线的定义．【例8】如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOC，∠BOC﹣∠BOD=20°，求∠BOE的度数．【解析】根据邻补角的定义和性质，结合已知∠BOC﹣∠BOD=20°，可求∠BOC、∠BOD的度数，利用对顶角相等，得∠AOC的度数，利用角平分线的定义，可求∠EOC的度数，从而求出∠BOE．【答案】∵∠BOC﹣∠BOD=20°且∠BOC+∠BOD=180°，∴∠BOC=100°，∠AOC=80°，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=∠AOC=40°，∴∠BOE=∠BOC+∠EOC=140°．【点评】本题考查邻补角的定义和对顶角的性质以及角平分线的定义，是一个需要熟记的内容．【例9】当光线射入水中，光线的传播方向发生改变，这就是折射现象．如图所示，插入水中的筷子变弯了，就是一种折射现象，图中的∠1和∠2是对顶角吗？比较∠1与∠2的大小关系并说明理由．【解析】两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．两条直线相交，构成两对对顶角．互为对顶角的两个角相等（对顶角的性质）．对顶角是针对具有特殊位置的两个角的名称；对顶角相等反映的是两个角之间的大小关系．【答案】∠1和∠2不是对顶角，因为不是两条直线相交形成的角，∠1＞∠2，因为可延长入射光线即得到∠1的对顶角∠3而∠2在∠3的内部，故∠3＞∠2，即∠1＞∠2．【点评】本题考查对顶角的定义及性质，注意对顶角的定义中的关键词，如：一个公共顶点，反向延长线等．【例10】直线AB，CD相交于点O，∠BOC=40°．（1）写出∠BOC的邻补角；（2）求∠AOC，∠AOD，∠BOD度数．【解析】（1）根据邻补角的概念可求∠BOC的邻补角是∠BOD与∠AOC；（2）根据对顶角的性质可求∠AOC，根据邻补角的概念可求∠AOC，再利用对顶角的性质可求∠BOD．【答案】（1）∠BOC的邻补角是∠BOD与∠AOC．（2）∵∠BOC=40°，∴∠AOD=∠BOC=40°，∵∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣40°=140°，∴∠BOD=∠AOC=140°，∴∠AOC、∠AOD、∠BOD 的度数分别为140°、40°、140°．【点评】本题考查了邻补角、对顶角，解题的关键是理解邻补角、对顶角的概念，并会运用其性质．【例11】小明同学认为对顶角可以这样定义：顶点公共，而且相等的角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确请举一个反例，并对“对顶角”正确定义．【解析】不正确，可以通过作图举出反例，然后给出一个正确的定义即可．【答案】不正确，如图，∠AOB=∠COD，且其有公共的顶点O，但不是对顶角．对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫对顶角．【点评】此题主要考查学生对对顶角定义的理解．二、垂直于垂线【例12】下列说法中正确的是（）①点到直线的距离是点到直线所作的垂线; ②两个角相等，这两个角是对顶角;③两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直; ④连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短. A.①② B. ②③ C.③④ D.②④ 【解析】略【答案】C【例13】如图，已知90ACB ∠=°．CD AB ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段的长；线段DB 的长为点到直线的距离．图1D CBA【解析】AC ，B ，CD初学的同学做此题很容易做错，有一种线段太多不易判断的感觉，实际上在看图时，只要把一相关的线暂时隐藏，问题就可以解决．例如：观察点A 到直线CB 的距离时，眼中只有点A 与CB ，然后自己画出其垂线段，再看所画线段与谁重合．【答案】AC ，B ，CD【例14】如图，直线AB 与CD 相交于O ，OE CD ⊥，OF AB ⊥，65DOF ∠=°，求BOE ∠和AOC ∠的度数．【解析】∴906525BOD ∠=-=°°°（垂直定义）．∴25AOC BOD ∠=∠=°（对顶角相等）．∵OE CD ⊥，∴902565BOE ∠=-=°°°（垂直定义）．本题综合运用了两角互余、对顶角相等等性质．由已知条件和观察图形，可知BOD ∠与DOF ∠互余，BOE ∠与BOD ∠互余，BOD ∠和AOC ∠的对顶角，利用这些关系可解此题．【答案】25AOC ∠=°；65BOE ∠=°【例15】如图，在直角三有形ABC 中，90C ∠=°，CD AB ⊥于D ，比较线段AC 、AB 、CD 的大小．图1DC B A【解析】由90C∠=°可知，AC BC⊥，故AC AB<（垂线段最短）又CD AB⊥，故CD AC<（垂线段最短）故CD AC AB<<．【答案】CD AC AB<<【例16】如图，A点处是一座小屋，BC是一条公路，一人在O处，①此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？②此人要到公路，怎么走最近？理由是什么？图2ABCO【解析】①走线段OA，因为两点之间线段最短；②如图，过点O作OD BC⊥，垂足为D，走线段OD，因为垂线段最短.【答案】如图图3ABCDO【例17】如图，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中，问从河岸AB的何处开渠，才能使所开的渠道最短?画图表示，并说明设计的理由。

角平分线的性质定理教学课件

逆定理推导过程
3. 连接AD。由于DE=DF（已知），AD=AD（公共边），且 ∠AED=∠AFD=90°。
4. 根据HL全等条件， △AED≌△AFD，所以 ∠EAD=∠FAD。
5. 因此，AD是∠BAC的平分线，即点D在∠BAC的平分线上。
02
典型例题解析与思路拓展
已知条件求解问题类型
留下悬念，激发下节课兴趣
我们已经学习了角平分线的性质定理，那么它的逆定理是否成立
呢？
如果角平分线的性质定理的逆定理成立，那么它在几何问题中又
有何应用呢？
在下节课中，我们将继续探索角平分线的奥秘，敬请期待！
THANK YOU
感谢聆听
已知角平分线和一个角，求另一个角的大小
已知角平分线和两边，判断三角形的形状
已知角平分线和一边，求另一边的长度
构造辅助线进行证明方法
通过角平分线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质进行证明
通过角平分线构造平行线，利用平行线的性质进行证明
通过角平分线构造相似三角形，利用相似三角形的性质进行证明
教师总结
教师对全班探究活动进行总结，强调角平分线性质定理的重要性和应用广泛性，鼓励学生继续深入探究。
04
练习题精选与答案解析
基础练习题
题目1
已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，若AB =
8cm，AC = 6cm，则S△ABD： S△ACD = _______．
题目2
在△ABC中，AD平分∠BAC， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若S△ABC = 18cm²，AB = 6cm， AC = 4cm，则DE = _______．
若射线AD是∠BAC的平分线，则点D到∠BAC的两边AB和AC的距离相等。

初三数学暑期讲义第03讲.二次函数实际应用教师版

卖花进行中漫画释义满分晋级3函数13级二次函数的基本解析式与图象变换函数14级二次函数实际应用函数15级二次函数图象综合应用暑期班第二讲暑期班第三讲秋季班第三讲二次函数实际应用中考内容中考要求A B C二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。

这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。

年份2010年2011年2012年题号24 7，8，23 8，23分值8分11分11分考点确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围中考考点分析中考内容与要求知识互联网实际应用问题主要考查涨降价、面积等问题，讲解时要明确等量关系．【例1】如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，则求DE 长的最小值．（2012扬州）EDB C A EDBC A【解析】如图，连接DE ．设x AC =则x BC -=2，∵△ACD 和△BCE 分别是等腰直角三角形，∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝x 22，CE ＝()x -222， ∴∠DCE ＝90°，故()()1122221212222222+-=+-=-+=+=x x x x x CE DC DE ，当1=x 时，2DE 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为1．故答案为：1．夯实基础模块一实际应用问题知识导航【例2】某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。

角平分线课件(华东师大版八年级)

角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线将相邻边分为两段与相对边成比例的线段。
角平分线将相对边分为两段相等的线段。
角平分线的判定定理
01
如果一条射线将一个角分为两个相等的部分，那么这条射线就是该角的角平分线。
02
如果一条射线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，那么这条射线就是该角的角平分线。
02
角平分线的应用
利用角平分线求角的度数
已知一个角的角平分线，可以通过将一个角平分成两个相等的角来求出这个角的度数。例如，如果一个角被平分为两个 45度的角，那么这个角就是90度。
可以通过构造直角三角形来利用角平分线求角度。在直角三角形中，如果一个锐角被平分为两个相等的角，那么可以利用三角函数来求出这个锐角的度数。
角平分线课件(华东师大版八年级)
目录
• 角平分线的定义与性质 • 角平分线的应用 • 角平分线的作法 • 角平分线的拓展
01
角平分线的定义与性质
角平分线的定义
角平分线是从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的部分的一条射线。
角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等。
角平分线将相对边分为两段相等的线段。
角的平分线与三角形内角的关系
角的平分线将相对角分为两个相等的部分，即角平分线将三角形分为两个面积相等的子三角形。
角的平分线与多边形
角的平分线与多边形的性质
在多边形中，角的平分线将多边形划分为若干个面积相等的三角形。
角的平分线与多边形的应用
在解决几何问题时，常常利用角的平分线来证明多边形的面积相等或分割多边形为若干个面积相等的三角形。
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全国优质课一等奖人教版初中八年级上册数学《角的平分线的判定》公开课课件

如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等. 则：点P为所求.
P
例1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三
边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB， BC，CA，垂想平足一分分想线别，上为点吗？PD在，这∠说EA，明的F. ∵BM是△AB三C角的形角的平三分条线角平，分点P在BM上，线有什么关系？
例3.如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于
点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线. 证明:过P作PE⊥AC于E. ∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC, ∴PD=PE, ∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC, ∴PF=PE, ∴PD=PF, ∵PD⊥BM,PF⊥BN, ∴P在∠MBN的平分线上, 即BP为∠MBN的平分线.
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？
解：作夹角的角平分线OC，
O
截取OD=2.5cm ，D即所求.
D
【点睛】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上C 根据要求取点.
转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有__4__处.
4.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，
OD上BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是___5____.
5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.

全国优质课一等奖人教版初中八年级上册数学《角的平分线的性质》公开课课件

BD CD DE DF
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL)， ∴BE=CF.
如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E， F.求证：CE＝CF. 证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG， ∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中，
CD CD DE DF
1.如图，∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，且AB=3cm,BD=2cm，
则DE=__1__cm.
2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD
∵∠ACE+∠BCE=180°，∠GCE+∠BCE=180°,
∴∠ACE=∠GCE，
∵EF⊥AC，EC=EC
∴ห้องสมุดไป่ตู้F=EG，
∴△AFE≌△BGE，△EFC≌△EGC， ∴AF=BG，CF=CG， ∴AF=BG=BC+CG=BC+CF=BC+AC-AF，
∴2AF=BC+AC， ∵AC=8，BC=6， ∴AF=7.
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF.
例2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,问:能
否在AB上确定一点E，使△BDE之周长等于AB的长?
解:能在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长.
即过点D作DE⊥AB于E，则E点就是所要确定的点.
∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，DE⊥AB
且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离. ∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB， ∴ PM=PE. 同理， PN=PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.

初中数学《角平分线》优品教学PPT北师大版1

C
ABE 的周长为 : 21
2
3.如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，CE是ΔABC的角平
分线，已知∠CEB=110°，求∠A和∠B的度数。
C
解ACB900,CE平分 AC,B
ACEECB450,
CEB1100A,B250,A650 A E
B
4.已知△ABC中，AC=5cm。中线AD把△ABC分成两个小三角
直角三角形DEF和钝角三角形PQR的各边上的高.
A FE
N
D
PS
BD
CE
H 图1- 13
FQ
MR
(2) 观察你所作的图形,比较三个三角形中三条高的位置,与三角形之间有什么关系?
高条数
位置
锐角三角形
3
都在三角形内部
垂足交点
在相应顶点的对边上
在三角形内部
图形
A
B
C
直角三角形 3
直角边上的高分别与另一条直角边重合，还有一条高在三角形内部
B
ED
C
图1-15
从前，有个老农家有一块三角形的水田，有四个儿子。他临终时立下遗嘱，说要将水田平均分给四个儿子。点A处是水源，要求每个儿子的水田都能有水灌溉。聪明的你能否帮助老农实现遗愿呢？
A（水源）
B E DF C
1、三角形的高、中线、角平分线的位置及与三角形之间的关系。
2、会利用三角形的高、中线、角平分线解决角度、面积等问题。
•
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整体感知小说的起点。命题者在为小说命题时,也必定以情节为出发点,从整体上设置理解小说内容的试题。通常从情节梳理、情节作用两方面设题考查。

著名机构初中数学培优讲义全等三角形.第03讲(A级).教师版

内容基本要求略高要求较高要求全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形和全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用三角形全等的性质和判定解决有关问题会利用全等三角形的知识解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、借助角平分线造全等【例1】如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，例题精讲中考要求全等三角形DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F . （1）说明BE CF =的理由；（2）如果AB a =，AC b =，求AE BE 、的长.GFE DC BA【解析】构造全等BE【答案】（1）连接BD 、CD ，显然=BD DF ，因为AD 为角分线，所以DE DF =，BDE CDF ≌△△，所以BE CF =（2）显然AED AFD ≌△△,所以AE AF =，所以22a b a bBE AE -+==， GFE DC BA【例2】如图，已知ABC △中，90BAC ︒∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BD ⊥ 求证：2BD CE =.EDCBA【解析】有垂直和角平分线想等腰三角形【答案】延长CE 与BA 的延长线交于点F ，因为BE 为角平分线和垂线，所以显然CE EF =即2CF CE = 证ABD ACF ≌△△，所以2BD CF BD CE ==，所以 F EDCBA【例3】如图，BC BA >，BD 平分ABC ∠，且AD CD =，求证：180A C ∠+∠=︒.CDAB【解析】略【答案】BC 上取BE AB =所以ABD EBD BED A ∠=∠≌，所以△△，又可证180C DEC BED DEC ︒∠=∠∠+∠=，又，所以180A C ︒∠+∠=. EDCBA【例4】如图，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，且180B D ∠+∠=︒，求证：AE AD BE =+.E DCBA【解析】略【答案】过C 作AD 的垂线交AD 延长线于F ，BCE DCF BE DF ⇒=≌△△EAC FAC AE AF AE AD DF AD BE ⇒==+=+≌，所以△△FE D CBA二、倍长中线（线段）造全等【例5】已知，如图ABC △中，5AB =，3AC =，则中线AD 的取值范围是_________.D CBA【解析】延长AD 至E 使AD DE =，连接BE .利用三角形三边关系【答案】28AD <<ED CB A【例6】如图，ABC △中，E F 、分别在AB AC 、上，DE DF ⊥，D 是中点，试比较BE CF +与EF 的大小.FEDCBA【解析】略【答案】延长FD 至G 使DG DF =，所以有GED FED ≌△△和BDG CDF ≌△△，所以CF BG GE EF ==，。

人教版八年级上册数学123角的平分线的性质优秀课件

OP=OP（公共边），
O
P
PD= PE（已知），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边
放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能
说明它的道理吗?
A
其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
D
B
(E)C
探究新知
【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图做请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明
第一课时
角的平分线的性质
导入新知
下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC. 将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿 AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说
A
明它的道理吗？
D
B
C E
素养目标
3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题. 2. 探究并认知角平分线的性质.
P在∠AOB的平分线上．
3
2．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则
点P是 ∠ABC的平分线与 ∠BCD 的平分线的交点．
探究新知
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一

第03讲三角形与角平分线

第3讲三角形与角平分线知识导航1.三角形内外角平分线夹角模型；2.其它常见角平分线夹角模型.【板块一】三角形内外角平分线的夹角的三个基本模型方法技巧角平分线性质＋三角形内角和定理＋三角形外角性质＋整体思想、化归思想＋设参数计算模型模型一三角形两内角平分线夹角【例1】如图，点P 是△ABC 两条内角平分线的交点，求证:∠P ＝90°＋12∠A. PCBA【例2】已知在△ABC 中，∠A ＝60°.(1)如图1，∠ABC ，∠ACB 的角平分线交于点O ，求∠BOC 的度数；(2)如图2，∠ABC ，∠ACB 的三等分线交于点O 1，O 2，则∠BO 1C ＝__，∠BO 2C ＝_____； (3)如图3，∠ABC ，∠ACB 的n 等分线交于点O 1，O 2，……O n －1. 则∠BO 1C ＝_______，∠BO n －1C ＝__________.(用含n 的代数式)图1图2图3O 2O 1A CA BCO模型二三角形两外角平分线夹角【例3】如图，点P 是△ABC 两条外角平分线的交点，求证:∠P ＝90°－12∠A. ABCDE模型三三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角【例4】如图，点D是BC延长线上一点，PB平分∠ABC，PC平分∠AC D.求证:∠P＝12∠A.AB C DE针对练习11.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BP，BE把∠ABC三等分，线段CP，CE把∠ACB三等分，求∠BPE的度数.PACE2.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AC平分∠BAx，BC平分∠ABy，求∠C的度数.3.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AD平分∠BAx，BP平分∠OBA，BP与DA的延长线交于点P，求∠P的度数.【板块二】与三角形有关的其它角平分线模型 ◆方法技巧◆角平分长性质＋三角形内角和定理十三角形外角性质＋整体思想，化归思想＋设参数计算模型四◆角平分线＋高线夹角模型(设参计算＋整体思想)【例5】(1)已知△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，如图1，设∠B ＝x ，∠C ＝y ，试用x ，y 表示∠DAE ，并说明理由；(2)在图2中，其他条件不变，若把“AD ⊥BC 于D ”改为“F 是AE 上一点，FD ⊥BC 于D "，试用x ，y 表示∠DFE ＝_________；(3)在图3中，若把(2)中的“点F 在AE 上”改为“点F 是AE 延长线上一点”，其余条件不变，试用x ，y 表示∠DFE ＝_______；(4)在图3中，分别作出∠BAE 和∠EDF 的角平分线，交于点P ，如图4，试用x ，y 表示∠P ＝_____.图4图1图2图3PF DBE AFDBE CEBD AABCDEF模型五燕尾形双角平分(设参计算＋整体思想)【例6】如图，BP ，CP 分别平分∠ABD ，∠ACD ，它们交于点P .求证:∠P ＝12(∠A ＋∠D ). P DCBA模型六蝶形(8字形)双角平分(设参计算＋整体思想)【例7】(1)模型:如图1，AD ，BC 交于O 点.求证:∠D ＋∠C ＝∠A ＋∠B. (2)模型应用:如图2，∠BAD 和∠BCD 的平分线交于点E . ①若∠D ＝30°，∠B ＝40°，则∠E 的度数是______；②直接写出∠E 与∠D ，∠B 之间的数量关系是:__________；(3)类比应用:如图3，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E .若∠D ＝m °，∠B ＝n °，(m ＜n ).求∠E 的度数.(用含有m ，n 的式子表示)图1图2图3EABCDBCDOEDC A针对练习21.如图，∠ABD ，∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠P ＝20°，∠D ＝10°，求∠A 的度数.ABCDP2.如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I . (1)写出∠I 与∠A ，∠D 之间的数量关系式并证明；(2)直接写出∠I 与∠A ，∠D 之间的数量关系式为___________.图1图2I ABDCE AB CD EI。

第03讲线段的垂直平分线、角平分线性质、尺规作图(3大考点6种解题方法)(原卷版)

第03讲线段的垂直平分线、角平分线性质、尺规作图（3大考点6种解题方法）考点考向一．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C 在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE二．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．三．作图—基本作图基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．四．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．五．作图—应用与设计作图应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．六．作图—代数计算作图代数计算作图是实际问题中要求所作图形具备一定的条件，如角的度数或边的长度．（1）根据题意计算出图形所具备的条件，边长，角度等，在网格纸上作图或利用圆规和直尺作图．（2）直接利用尺规作图做出符合题意的图形．如在数轴上找到表示无理数的点．要熟悉几何图形的性质和5种基本作图的步骤，才能灵活运用熟练作图．考点精讲一．角平分线的性质（共5小题）1．（2021秋•温岭市期末）如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE 的面积为（）A．2B．3C．4D．82．（2021秋•北仑区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（）A．2B．3C．4D．53．（2021秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N 为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC 于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（）A．8B．7C．6D．54．（2021秋•新昌县期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（）A．16B．20C．40D．805．（2021秋•诸暨市校级月考）如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：（1）线段BC的长；（2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．二．线段垂直平分线的性质（共8小题）6．（2021秋•海曙区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝40°，则∠BAC的度数是（）A．140°B．130°C．120°D．110°7．（2021秋•温州期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D．连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB．若△ABC与△ABE的周长之差为4，则AE的长为（）A．1B．2C．3D．48．（2021秋•余杭区月考）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE 的周长为8，BC＝3，求AB的长．9．（2021秋•义乌市期中）如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF ＝90°，AF＝3，AE＝4．（1）求边BC的长；（2）求出∠BAC的度数．10．（2021秋•柯桥区月考）已知：如图，△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D．（1）若∠C＝35°，求∠DBA的度数；（2）若△ABD的周长为30，AC＝18，求AB的长．11．（2021秋•余杭区期中）如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（）A．65°B．60°C．70°D．80°12．（2021秋•上城区期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC 于点E，F．（1）若∠DAC＝20°，求∠FDC的度数；（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．13．（2021秋•西湖区期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（）A．50°B．80°C．90°D．100°三．作图—基本作图（共4小题）14．（2021秋•鄞州区期中）如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．65°15．（2021秋•诸暨市期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A．①B．②C．①②D．无16．（2021秋•新昌县期末）如图，已知△ABC．（1）请用直尺和圆规作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若∠A＝100°，∠C＝28°，求∠BDA的度数．17．（2021秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E．（1）用尺规作BD⊥AC，垂足为点D．（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）所画的图中，若BE＝CD．求证：AB＝AC．四．作图—复杂作图（共5小题）18．（2021秋•临海市期末）如图，已知△ABC，点D在边AB上．（1）求作点D，使点D到点B，C的距离相等；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DC，已知∠B＝32°，求∠ADC的度数．19．（2021秋•缙云县期末）（拓展创新）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点以顶点分别按下列要求画三角形．（1）使三角形的三边长分别为3，2，；（在图①中画一个即可）（2）使三角形为钝角三角形且面积为4．（在图②中画一个即可）20．（2021秋•新昌县期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．（1）则MN是BC的线．（2）若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长．21．（2021秋•西湖区校级期中）如图，已知△ABC．（1）尺规作图：①作出△ABC的角平分线CD；②作出BC的中垂线交AB于点E．（2）连结CE，若∠ABC＝60°，∠A＝40°，则∠DCE＝．22．（2021秋•拱墅区期中）如图，△ABC中，AC＞AB．（1）作AB边的垂直平分线交BC于点P，作AC边的垂直平分线交BC于点Q，连接AP，AQ．（尺规作图，保留作图痕迹，不需要写作法）（2）在（1）的条件下，若BC＝14，求△APQ的周长．五．作图—应用与设计作图（共6小题）23．（2021秋•临海市期末）如图，在5×5的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．请仅用直尺，按要求画图．（1）在图1中画出过点B的直线l，使其平分△ABC的面积；（2）在图2中画出线段BD，使其平分∠ABC，且点D在格点上．24．（2021秋•椒江区期末）如图，两条公路OA，OB相交于点O，在∠AOB内部有两个村庄C，D．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在∠AOB内部再启动一个方舱式接种点P，要求同时满足：（1）到两条公路OA，OB的距离相等．（2）到两村庄C，D的距离相等．请你用直尺和圆规作出接种点P的位置（保留作图痕迹）．25．（2021秋•宁波期末）定义：如果三角形的两个内角α和β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．请把这个三角形分割成两个三角形，使得其中一个为“类直角三角形”，并求出这个“类直角三角形”的面积．（备注：要求尺规作图）26．（2021秋•婺城区校级月考）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．27．（2021春•南岗区校级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长都是2，线段交点称做格点．（1）画出△ABC的高CD；（2）连接格点，用一条线段将图中△ABC分成面积相等的两部分；（3）直接写出△ABC 的面积是．28．（2021春•鼓楼区校级月考）我们知道，三角形具有性质：三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．如图，在由小正方形组成的4×3的网格中，三角形的顶点都在小正方形的格点上．请运用上述三角形的性质，在该网格中，仅用无刻度的直尺，作出AC边上的高BH，再作出BC边上的高AK．（不写作法，保留作图痕迹）六．作图—代数计算作图（共1小题）29．（2021秋•诸暨市期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中解答下面问题．（1）图中线段AB的两端点都落在格点（即小正方形的顶点）上，求出AB的长度；（2）再以AB为一边画一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；（3）请直接写出符合（2）中条件的等腰三角形ABC 的顶点C的个数．巩固提升一、单选题1．（2021·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）八年级期末）如图，在,OA OB 上分别截取,OD OE ，使OD OE =，再分别以点,D E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点C ，作射线,OC OC 就是AOB ∠的角平分线．这是因为连结,CD CE ，可得到COD COE ≌，根据全等三角形对应角相等，可得COD COE ∠=∠．在这个过程中，得到COD COE ≌的条件是（）A ．SASB ．AASC ．ASAD ．SSS2．（2021·浙江八年级期末）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明O O ∠'=∠的依据是（）A ．SASB ．SSSC ．AASD ．ASA3．（2020·浙江八年级期末）ABC 内找一点P ，使P 到B 、C 两点的距离相等，并且P 到C 的距离等于A 到C 的距离．下列尺规作图正确的是（）A ．B ．C ．D ．4．（2020·浙江八年级期末）如图，在AOB ∠的两边上，分别取OM ON =，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分AOB ∠的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL5．（2020·浙江八年级期末）如图，已知ABC ，求作一点P ，使P 到A ∠的两边的距离相等，且PA PB =、下列确定P 点的方法正确的是（）A ．P 为AB ∠∠、两角平分线的交点B ．P 为AC AB 、两边上的高的交点 C ．P 为AC AB 、两边的垂直平分线的交点D ．P 为A ∠的角平分线与AB 的垂直平分线的交点二、填空题 6．（2019·浙江八年级期末）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．7．（2019·浙江杭州·八年级月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明D O C DOC '''∠=∠，需要证明D O C DOC '''∆∆≌，则两个三角形全等的依据是________（写出全等简写）．8．（2018·浙江全国·）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC ＝∠BOC 的依据是_______．9．（2020·浙江高照实验学校八年级月考）如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝_____度．10．（2019·浙江杭州市·）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.由作法得△OCP≌△ODP的根据是_________．三、解答题11．（2019·浙江八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．12．（2021·浙江八年级期末）电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的电网必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置，从图中标出．（保留作图痕迹，说明理由）13．（2020·浙江）已知ABC ，用尺规作图：（1）作AC 边上的中线；（2）画AB 边上的高．14．（2019·浙江宁波·八年级期中）某小区为方便M 、N 两幢住宅楼的住户投放分类后的垃圾，拟在小区主路AB AC 、的交叉区域内设置一个垃圾投放点P ，现要求P 点到两条道路的距离相等，且使PM PN =，请你通过尺规作图找出这一P 点（不写作法，保留作图痕迹）15．（2020·浙江八年级期末）已知：线段c 和αβ∠∠，求作：ABC ，使得AB c A B αβ=∠=∠∠=∠，，（不写作法，但保留作图痕迹）16．（2020·浙江）已知线段a 及锐角α，用直尺和圆规作ABC ，使B α∠=∠，AB BC a ==．17．（2020·浙江）如图，线段a ，利用直尺和圆规按照下列要求作出图形．（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）作一个等边三角形，边长为a ；（2）在第（1）题的图中，作一个α∠，使30︒=α．18．（2020·浙江八年级期末）如图，BAC ∠和点D .在BAC ∠内部，试求作一点P ，使得点P 到BAC ∠两边的距离相等，同时到点A ，D 的距离也相等.（不写作法，保留作图痕迹）19．（2021·浙江八年级期末）如图，已知ABC ，请按下列要求作图：（1）作BC边上的中线．（2）用直尺和圆规作ABC的角平分线CG．≌（使点D与A对应，点E与B对应，点F与C对应）．（3）用直尺和圆规作DEF，使DEF ABC20．（2020·浙江八年级期中）如图，已知ABC（1）用直尺和圆规按下列要求作图：（保留作图痕迹）在BC上作点D，使点D到AB和AC的距离相等；过BE AD交CA的延长线于E；点B作//（2）若AF BE⊥，垂足为F，证明BF EF．。

黄冈教育初二秋季培优角平分线讲义

角的平分线主讲：黄冈中学优秀数学教师李烦知识点：1、角平分线的性质：①角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半；②角平分线上的点到角的两边的距离相等．2、角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．3、三角形内外角平分线相关命题：①已知△ABC两内角的平分线BD、CE相交于点O，则∠BOC= 90°＋∠A．结论1：在一个三角形中，任意两个内角的角平分线相交形成的钝角等于90°加上第三个角的一半．②已知点O是△ABC两个外角平分线的交点，则∠BOC=90°－∠A．结论2：三角形两个外角的角平分线相交形成的角等于90°减去第三个外角对应的内角的一半。

③已知点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．结论3：三角形的一个内角的角平分线与另一个内角的邻补角的角平分线相交形成的角等于三角形中的第三个内角的一半﹒例题讲解类型一：已知角平分线，利用“截长补短”法构造全等三角形基本图形如下：例1：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB=AC＋CD．证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，在△ABD与△AED中,∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE．又AE=AC＋CE=AC＋DC，∴AB=AC＋DC．方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，在△AFD与△ACD中,∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD．又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB．∵AB=AF＋FB=AC＋FD，∴AB=AC＋CD．类型二：已知角平分线上的点，过这个点作角两边的垂线段例2、如图，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A＋∠C=180°，求证：AD=DC．证明：过D分别作BC、BA的垂线，垂足为E、F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，又∠BAD＋∠C=180°，∠BAD＋∠FAD=180°，∴∠FAD=∠C，∴△FAD≌△ECD（AAS），∴AD=DC．类型三：已知角平分线，构造三角形例3：如图所示，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠E=90°，求证：AD=2BE．证明：延长AC，BE交于点O，∵∠ACB=∠AEB=90°，∠CDA=∠EDB，∴∠1=∠3，∵∠ACD=∠BCO=90°，∴△ACD≌△BCO（ASA），∴AD=BO，∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2，∵∠AEB=∠AEO=90°，∴∠O=∠ABO∴BO=2BE，∴AD=2BE．类型四：与三角形内角平分线有关的求角度问题例4、如图，在△ABC中，∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点E、F，连接EF﹒若∠A=60°，求∠BEF的度数．解：过点F作FG⊥BC于G，FM⊥BE于M，FN⊥CE于N，∵∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点E、F，∴BF平分∠EBC，CF平分∠ECB，∴FG=FM，FG=FN，∴FM=FN，∴EF平分∠BEC，∵∠A=60°，∴∠ABC＋∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，∴∠EBC＋∠ECB=（∠ABC＋∠ACB）=×120°=80°，在△BEC中，∠BEC=180°-（∠EBC＋∠ECB）=180°-80°=100°，∴∠BEF=×100°=50°．。

MSDC.初中数学.角、角平分线.第03讲(A级).教师版

内容基本要求略高要求较高要求角、角分线会识别角并会表示；认识角、分、秒，并会进行简单换算；会度量角的大小并进行简单计算；会比较两个角的大小；了解角平分线的概念并会表示会尺规作图：作一个角等于已知角，做已知角的角平分线；会用角平分线的性质解决简单问题；会结合图形认识角与角之间的数量关系一、角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；（2）顶点是这两条边的交点；（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

二、角的表示方法① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．例题精讲中考要求角、角平分线∠AOB图1.1B注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．∠A图1.2A注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角，如图2.1．∠1图2.11③ 用希腊字母来表示角，如图2.2．∠α图2.2α三、单位换算1度＝60分(160︒=') 1分=60秒(160'=")四、角的度量（1）度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）（2）角的度量单位及其换算角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''．角度之间的关系1周角=360︒ 1平角＝180︒ 1直角＝90︒ 1周角＝2平角 1平角＝2直角角的分类：锐角α（090α<<︒），直角α（90α=︒），钝角α（90180α︒<<︒）．五、两角的和、差、倍、分（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. （3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR ，折线使射线QR 与射线QP 重合，把纸展开，以Q 为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR 的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR ？六、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O 点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B 、两点；（2）分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，画弧交于C 点；（3）过C 点作射线OC 。

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二、角的表示方法① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．例题精讲中考要求角、角平分线∠AOB图1.1注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．∠A图1.2A注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角，如图2.1．∠1图2.11③ 用希腊字母来表示角，如图2.2．∠α图2.2α三、单位换算1度＝60分(160︒=') 1分=60秒(160'=")四、角的度量（1）度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）（2）角的度量单位及其换算角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''．角度之间的关系1周角=360︒ 1平角＝180︒ 1直角＝90︒ 1周角＝2平角 1平角＝2直角角的分类：锐角α（090α<<︒），直角α（90α=︒），钝角α（90180α︒<<︒）．五、两角的和、差、倍、分（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. （3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR ，折线使射线QR 与射线QP 重合，把纸展开，以Q 为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR 的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR ？六、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O 点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B 、两点；（2）分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，画弧交于C 点；（3）过C 点作射线OC 。

所以，射线OC 就是所求作的。

OCBA七、余角、补角（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. （2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. （3）补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.八、方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围0900≤≤α.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向.九、钟表角度问题时针12小时转动360度，每小时转动30度；分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。

秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。

一、角的概念及表示【例1】角是由有的两条射线组成的图形，两条射线的是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线．【解析】略【答案】公共端点公共端点绕端点旋转而得到的图形【例2】下列语句正确的是（）①角的大小与边的长短无关。

②如果一个角能用一个大写字母A 表示，那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠，那么以1∠顶点为顶点的角只有一个。

④两条射线组成的图形叫做角A ①、②B ①、③C ①、④D ②、③ 【解析】略【答案】A【例3】如图，角的顶点是，边是，用三种方法表示该角分别为．αBAO【解析】略【答案】O ；OA ，OB ；AOB ∠，α∠，O ∠．【巩固】在右图中，角的表示方法正确的是（）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．D ∠ABC DEO【解析】本题考查用一个大写英文字母表示角，本题选B ．【答案】B【巩固】如图，以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D 为顶点的角呢?D CEBA【解析】略【答案】以B 为顶点的角有3个：ABE ∠，ABC ∠，EBC ∠以D 为顶点的角有4个：ADE ∠，ADB ∠，BDC ∠，CDE ∠【例4】下图中，以A 为顶点的角是_________。

有一边与射线FD 在同一条直线上的角有__________个。

HGFEDCB A【解析】按照约定，我们讨论的角都是小于平角的角。

【答案】以A 为顶点的角有：BAE BAD EAD ∠∠∠，，；一边与射线FD 在同一条直线上的角有10个【例5】判断（）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．（）用2倍的放大镜看30︒的角，这个角就变成了60︒．（）由两条射线组成的图形叫做角．（）延长一个角的两边．（）平角就是一条直线；周角就是一条射线．【解析】略【答案】×；×；×；×；×．二、角的分类【例6】下列语句正确的是（）A 、平角就是一条直线B 、周角就是一条射线C 、小于平角的角是钝角D 、一周角等于四个直角【解析】答题时首先理解角的概念，然后对各选项进行判断．【答案】平角是一个点和两条射线组成，故A 错误，角度和射线不是同一个概念，故B 错误，小于平角的角不一定是钝角，故C 错误，一周角等于360°，一直角等于90°，故D 正确，故选D ．【点评】本题主要考查角的概念，不是很难．【例7】如图，图中包含小于平角的角的个数有（）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个【解析】根据三角形的性质及平角的概念结合图形解答．【答案】图中角除∠BDC 为平角外，∠B 、∠C 、∠BAD 、∠BAC 、∠DAC 、∠BDA 、∠CDA 均为小于180°的角．共七个．故选D．【点评】先利用三角形的性质，确定三角形的每个内角都小于180°，再根据角的定义数出角的个数即可．但要注意顶点为A的角有3个．【例8】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（）A、4个B、7个C、9个D、10个【解析】当AO为角的一边时，有3个角；以OC为角的一边向右再找小于平角的角，依次类推得到所有小于平角的角．【答案】小于平角的角为：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB共9个，故选C．【点评】应有规律去寻找角的个数，注意各条射线为角的始边依次向右寻找相关角．【例9】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（）A、10个B、15个C、20个D、25个【解析】找到以每一个字母为顶点的角，若该顶点处有多个角，则必须用三个大写字母表示．【答案】在该题中，以A、B、C、D、E为顶点的角有五个，且该顶点处只有一个小于180度的角，可用一个大写字母表示；以F、G、H、M、N为顶点的角各有四个，共计4×5=20个，而该顶点处只有三个小于180度角，只能用三个大写字母表示．故选C．【点评】此题不仅考查了对角的概念的掌握，还考查了数角的方法：找准角的顶点，统计出该顶点处的所有角，做到不漏数、不多数．【例10】如图，∠CAE=90°，锐角有（）个，钝角至少有（）个．A、4，3B、3，2C、6，3D、4，2【解析】根据直角、锐角、钝角的概念来解．∠CAE=90°，通过角的运算，得出结果．【答案】∵∠CAE=90°，∴∠FAB+∠BAC=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠FAB ＜90°，∠BAC ＜90°，∠CAD ＜90°，∠DAE ＜90°，锐角有四个， ∴∠FAD ＞90°，∠BAE ＞90°，故钝角至少有两个，∠BAD 不能确定．故选D ．【点评】本题关键是要做到不重复不遗漏的数出角的数量，同时一定要注意∠BAD 不能确定，故不能计算在内．三、角度的换算及运算【例11】（1）32.43__________'''︒=︒（2）654312_____'''︒=︒【解析】（1）首先在第一个空上填上32，然后计算(32.4332)0.43︒-︒=︒，0.430.436025.8''︒=⨯=，25.8250.8'''-=，0.86048''''⨯=32.43322548'''︒=︒（2）这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式，12600.2'''÷=，430.243.2'''+=，43.2600.72'÷=︒，65431265.72'''︒=︒．【答案】（1）322548'''︒；（2）65.72︒【巩固】（1）51492421________''︒+︒=；（2）39412445__________''︒-︒=；（3）2313423_________'''︒⨯=；（4）12134________'︒÷=．【解析】（1）5149242175707610''''︒+︒=︒=︒；（2）394124453810124451456'''''︒-︒=︒-︒=︒；（3）231342369416''''''︒⨯=︒；（4）121343315''''︒÷=︒ 【答案】（1）7610'︒；（2）1456'︒；（3）69416'''︒；（4）3315'''︒【例12】（1）2020'4______︒⨯=。