二次函数的图像和性质第二课时教案
《二次函数的图象(第二课时)》参考教案
26.1.3 二次函数2()y a x h k=-+的图象第一课时教学目标1．知识与技能会作函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们的异同；理解a，c对二次函数图象的影响．能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．了解抛物线y=ax2上下平移规律．2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2＋c的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想与方法．.3．情感、态度与价值观进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会知识的转化、图象移动的理会，感受到数学数形之间转换的魅力．教学重点难点1．重点作出函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，比较它们的异同，了解它们的性质．2．难点函数y=ax2＋c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆二次函数y=ax2的图象与性质．从而导人探求函数y=ax2＋c的图象导语二一个长方形的长为x（cm)，宽为12x（cm)，则这个长方形的面积s(cm2）与它的长x (cm）的关系如何？你能作出它的函数图象吗？这个图象与y=ax2的图象有哪些区别？【答案】y=12x2（x>0）它的图象只是抛物线的一部分，而y=x2的图象是一条抛物线.导语三比较函数y=x2与y=x2＋l中的系数有什么异同？猜想它们的图象有何关系？从而引人新课.（二）合作交流解读探究1．二次函数y=ax2+c的图象与性质【做一做】，在同一坐标系中，画出函数y=x2-1和函数y=x2+1的图象．教师在学生做完以后，可提供如下解答过程． 解：先列表x…-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … y=x 2+1 …83-138…然后描点画图，如图26-1-5【想一想】抛物线y=x 2+1，y=x 2， y=x 2-1有哪些相同点和不同点 相同点：①开口方向相同，它们的开口都向上 ②对称轴相同，它们都关于y 轴对称 ③形状大小相同.不同点：顶点的位置不同，抛物线的位置也不同结合【议一议】三个函数的形状相同，从哪些方向可以看出？①用幻灯片展示，将抛物线y=x 2向上平移1个单位后抛物线y=x 2+1完全重合. ②观察两个图象中各5个点的特殊位置，在①的展示上可以看出这5个点可以通过平移重合情况，从而可推断出抛物线y=x 2与y=x 2+1完全重合③从解析式和表格中数据也可以看出以上平移情况，从而可以肯定抛物线y=x 2，y=x 2+1的形状、大小完全相同.【议一议】抛物线y=ax 2与y=ax 2±c 有何联系？【答案】①抛物线y=ax 2±c 的形状与y=ax 2的形状完全相同，只是位置不同.②抛物线y=ax 2c −−−−→向上平移个单位y=ax 2+c. y=ax 2c −−−−→向下平移个单位y=ax 2-c 【练一练】教科书P7练习 【答案】①它们的图象略 ②见下表③抛物线2y=x 2向上平移k(k>0)个单位后抛物线2y=x 2+k 完全重合.（三）应用迁移巩固提高类型之一函数y=ax 2+c 的图象特征与性质的运用例1 抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3),则其表达式为 y=-5x 2+3 ，它是由抛物线y=-5x 2向上平移 3 个单位得到的.【分析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a 的值，再根据顶点坐标（0，3），可确定c 的值，从而可判断平移方向.解：抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a=-5. 又∵其顶点坐标为（0，3）. ∴c=3.∴y=-5x 2+3.它是由抛物线y=5x 2向上平移3个单位得到的.【点评】①解这类题，必须根据二次函数y=ax 2+c 的图象与性质来解.a 确定抛物线的形式及开口方向，c 确定顶点的位置.②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位.（有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长）类型之二求二次函数的解析式例2若抛物线y=ax 2+c 经过点（-1，2），（0，4），求该抛物线的解析式【分析】抛物线经过点（-1，2），（0，4），那么这两点坐标满足函数关系式，故列方程组可求.解：由已知条件得22a (1)c 2a 0c 4⎧-+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得a 6c 4=⎧⎨=-⎩∴所求解析式为y=6x 2-4.【点评】二次函数y=ax 2+c 中有两个待定系数a 、c ，故通常需至两足对应值或图象上的两个点的坐标，列方程组可求出a 、c 的值例3 已知抛物线y=ax 2+c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x 2+2.试求a 、c 的值【分析】这里a 、c 值可利用抛物线的特征和平移规律来求出.解：根据题意知，a 3c 22=-⎧⎨-=⎩，解得a 3c 4=-⎧⎨=⎩，【点评】可根据规律直接求出a 、c. （四）总结反思拓展升华【总结】本节所学知识是函数y=ax 2+c 的图象与性质以及抛物线y=ax 2上下平移规律. 所学的思想方法图象法、数形结合的思想.【反思】若将抛物线y=2x 2+3绕其顶点旋转1800，所得抛物线的解析式为y=-2x 2+3 【拓展】若抛物线y=ax 2+c 与y=-2x 2+5关于x 轴对称.求a 、c 的值. 【答案】a=2,c= -5.草图如26-1-6【点评】此类题通常画出草图，利用对称关系求出顶点坐标.进而求出a 、c 的值 （五）当堂检测反馈1.抛物线y=-2x 2-5的开口方向向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标（0，-5）. 【分析】根据抛物线y=ax 2+c 的特征解答即可.2. 抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，且其顶点坐标为（0，1），则其表达式 为 y=3x 2+1或y=-3x 2+1.解：∵抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，故a=±3, 又∵其顶点坐标为（0，1），∴c=1. ∴所求抛物线y=3x 2+1或y=-3x 2+1【注意】两抛物线的形状相同时，它们的二次项系数的绝对值相等，故有两种情况3. 抛物线y=-212x +7向下平移 10 个单位后得到抛物线y=-212x -34. 下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是（ D ）A.y=2x 2与y=3x 2B. y=212x +2与y=2x 2+12C.y=2x 2与y=x 2+2D.y=x 2+2与y=-x 2-2， 【分析】根据a 的值相同判断即可5．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（B ）解：根据图象知，只有B中两个函数解析式中系数a 和c 的正、负情况保持一致.故选择B6．若抛物线y=ax 2+c 经过点A(-3,2),B(0,1).求该抛物线的解析式解：由已知得222(3)10a c a c ⎧=-+⎪⎨-=+⎪⎩，解得131a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. ∴所求抛物线的解析式为y=13x 2-1ABD。
二次函数的图象第二课时教案
二次函数的图象第二课时教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点的概念；（2）学会如何通过二次函数的系数判断开口方向和对称轴的位置；（3）能够熟练运用二次函数的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳二次函数图象的性质；（2）利用数形结合的方法，理解二次函数图象与系数的关系。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点的判断方法；（2）运用二次函数的性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）开口方向与对称轴的判断；（2）二次函数图象与实际问题的结合。
三、教学过程1. 复习导入：（1）回顾一次函数图象的性质；（2）引导学生思考二次函数图象的特点。
2. 新课讲解：（1）介绍二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点的概念；（2）讲解如何通过二次函数的系数判断开口方向和对称轴的位置；（3）举例说明二次函数图象与系数的关系。
3. 课堂练习：（1）让学生绘制几个二次函数的图象，观察开口方向、对称轴和顶点的位置；（2）引导学生分析二次函数图象与系数的关系。
四、课后作业2. 选取几个实际问题，运用二次函数的性质进行解答。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对二次函数图象的理解和运用能力。
关注学生在课堂上的参与度和思维发展，激发学生的学习兴趣。
六、课堂实践1. 案例分析：分析实际问题，将其转化为二次函数形式；利用二次函数的性质，解答实际问题。
2. 分组讨论：学生分组，讨论如何将实际问题转化为二次函数；每组选取一个实际问题，展示解题过程和答案。
七、拓展与延伸1. 探讨二次函数图象在其他领域的应用；引导学生思考二次函数在物理学、经济学等领域的应用；举例说明二次函数在其他领域的实际应用。
2. 课堂小结：强调二次函数图象在实际问题中的应用价值。
初中数学_二次函数的图象与性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的图象和性质》教学设计执教者学情分析一、学生的年龄特点和认知特点初三年级的学生性格比较开朗活泼，对新鲜事物比较敏感，有自己的个人判断，因此，在教学过程中创设问题情景，留给他们动手实践、观察思考、自主探究、合作交流、归纳猜想的时间和空间.让他们经历获取知识的过程.二、学生已具备的基本知识与技能学生在八年级已经初步积累了函数知识和利用函数解决问题的经验.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识.学生具有也一定的数学分析、理解能力.学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力.因此，在本课中，应多让学生动手实践、自主探究、合作交流，从而更好的体会到二次函数的特征.效果分析这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。
通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数图像的性质。
真正的形成往往来源于真实的自主探究。
只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。
在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。
首先，要设计适合学生探究的素材。
教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。
当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。
但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。
如果牵强的引出来，不一定是好事。
其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。
探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。
只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。
要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。
结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。
关于二次函数的图像与性质的数学教案(9篇)
关于二次函数的图像与性质的数学教案（9篇）二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象讨论函数的阅历，培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间沟通争论，到达对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解，把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思索探究，猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互沟通、展现，表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。
误区三:无视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延长，而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质；2、会用二次函数的图象与性质解决问题；学习重点：二次函数的性质；学习难点：二次函数的性质与图像的应用；二学问点回忆：函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题：例 1：已知是二次函数，求m的值例 2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；（2）知函数的单调区间是，求a；例 3：求二次函数在区间[0，3]上的最大值和最小值；变式：（1）已知在[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。
二次函数的图象第二课时教案
二次函数的图象第二课时教案一、教学目标：1. 让学生理解二次函数的图象特征，掌握二次函数图象的顶点、开口方向等基本概念。
2. 培养学生利用二次函数图象解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索二次函数图象的性质。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：二次函数的图象特征，如何利用二次函数图象解决实际问题。
2. 教学难点：二次函数图象的顶点、开口方向等概念的理解与应用。
三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生自主探究二次函数图象的性质。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数图象的特点。
3. 采用案例分析法，培养学生运用二次函数图象解决实际问题的能力。
四、教学准备：1. 教师准备二次函数图象的PPT、案例素材等教学资源。
2. 学生准备笔记本、笔等学习用品。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾上一课时内容，引出本课时的主题——二次函数的图象。
2. 自主学习：让学生自主探究二次函数图象的性质，引导学生观察、分析、归纳。
3. 课堂讲解：结合PPT，讲解二次函数图象的顶点、开口方向等基本概念，并通过案例进行分析。
4. 练习巩固：布置一些有关二次函数图象的练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调二次函数图象在实际问题中的应用。
6. 课后作业：布置一些有关二次函数图象的课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
7. 课后反思：鼓励学生反思本节课的学习过程，总结收获，发现不足，为下一节课做好准备。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习巩固等环节，评价学生对二次函数图象的基本概念和性质的掌握程度。
2. 观察学生在解决实际问题时的表现，评价其运用二次函数图象的能力。
3. 结合课后作业，评价学生对课堂所学知识的巩固情况。
七、教学反思：1. 教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足，为下一节课的教学做好准备。
2. 学生对自己的学习进行反思，总结在本节课中的收获，发现存在的问题，制定改进措施。
二次函数的图象第二课时教案
二次函数的图象第二课时教案一、教学目标：1. 理解二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点等特征。
2. 学会通过观察二次函数图象来判断函数的单调性、极值等性质。
3. 能够运用二次函数图象解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 复习一次函数和反比例函数的图象性质。
2. 学习二次函数图象的性质，包括开口方向、对称轴、顶点等。
3. 分析二次函数图象的单调性和极值。
4. 运用二次函数图象解决实际问题。
三、教学重点：1. 二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点的确定。
2. 二次函数图象的单调性和极值的判断。
四、教学难点：1. 理解二次函数图象的性质，并能灵活运用。
2. 解决实际问题时，如何正确运用二次函数图象。
五、教学方法：1. 采用直观演示法，通过展示二次函数图象，让学生直观地理解其性质。
2. 运用实例讲解法，结合具体例子，让学生学会分析二次函数图象的性质。
3. 运用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数图象的性质，提高解决问题的能力。
4. 小组合作学习，让学生在讨论中互相学习，共同提高。
教案一、导入（5分钟）1. 复习一次函数和反比例函数的图象性质。
2. 提问：同学们，你们认为二次函数的图象会有哪些特殊的性质呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点等性质。
2. 分析二次函数图象的单调性和极值。
3. 通过实例，讲解如何运用二次函数图象解决实际问题。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师选取部分学生的练习题，进行讲解和分析。
四、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调二次函数图象的性质及其运用。
2. 提醒学生在解决实际问题时，注意灵活运用二次函数图象。
五、课后作业（课后自主完成）1. 完成课后练习题，巩固二次函数图象的知识。
2. 结合生活实际，寻找一个可以用二次函数图象解决的问题，并尝试解决。
教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对二次函数图象的理解和运用能力。
22.1二次函数的图像和性质第二课时教案
22.1 二次函数（第二课时）教学目标：1.会用描点法画出形如y = ax 2 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念；2．通过观察图象，能说出二次函数y = ax 2 的图象特征和性质；3．在类比探究二次函数y = ax 2 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想教学重点：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，观察图象，得出二次函数y = ax 2 的图象特征和性质。
教学难点：抛物线的图像特征。
教学过程：一、问题引新1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么?2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?二、学习新知1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。
（有学生自己完成）解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：找一名学生板演画图提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，）2、归纳：抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点坐标（0，0）3、运用新知（1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?（2）．课件出示：在同一直角坐标系中，y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较（3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示）让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。
当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______三、课堂练习：1．（1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；（2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 2. 抛物线 y=--x 2/16,其对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 。
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第2课时)》示范教学设计
二次函数的图象和性质（第2课时）教学目标1．能够利用描点法画形如y＝ax2(a≠0)的二次函数图象．2．通过观察图象能够说出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象特征和性质．3．在由具体的二次函数图象归纳总结二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质的过程中，进一步体会由特殊到一般和数形结合的思想．教学重点会用描点法画具体的形如y＝ax2(a≠0)的二次函数图象，并由具体图象归纳总结出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质．教学难点通过对a的取值分类讨论，总结出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质，特别是|a|的大小对抛物线开口大小的影响．教学过程知识回顾1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．2．画出一次函数y＝x＋1的图象．【答案】（1）列表：（2）描点、连线．3．一次函数的图象是一条直线，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x 的增大而减小．【设计意图】通过复习已经学过的有关函数的知识，为引出“二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质”作铺垫．新知探究一、探究学习【思考】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象又是什么样的呢？【师生活动】教师提示：结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法．我们将从最简单的二次函数y＝x2开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质．【问题】仿照前面的画法，画出二次函数y＝x2的图象．【师生活动】教师提示：可以用描点法画出二次函数y＝x2的图象．学生根据提示独立思考，并作图．解：（1）在y＝x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：（2）描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)．（3）连线：用平滑曲线顺次连接各点，就得到y＝x2的图象．教师提问：1．观察所画图象，你能说一下它的形状特征吗？学生分小组讨论，并派代表发言．教师分析：从图象可以看出，二次函数y＝x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上．这条曲线叫做抛物线y＝x2．教师总结：二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c．教师提问：2．在所画出的抛物线y＝x2上分别取点(2，4)，(3，9)，并找到它们关于y 轴的对称点，你发现了什么？学生思考并回答：点(2，4)，(3，9)关于y轴的对称点(－2，4)，(－3，9)也在抛物线y ＝x 2上．教师追问：在所画出的抛物线y ＝x 2上任取一点(m ，m 2)，它关于y 轴的对称点(－m ，m 2)也在抛物线y ＝x 2上吗？学生分小组讨论，并派代表发言．教师总结：在抛物线y ＝x 2上任取一点(m ，m 2)，因为它关于y 轴的对称点(－m ，m 2)也在抛物线y ＝x 2上，所以抛物线y ＝x 2关于y 轴对称．抛物线y ＝x 2与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线y ＝x 2的顶点，它是抛物线y ＝x 2的最低点．每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．教师提问：3．观察所画出的二次函数y ＝x 2的图象，在对称轴的左右两侧，抛物线有什么特点？学生思考并回答：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．教师总结：二次函数y ＝x 2的图象：当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．【设计意图】通过提出问题“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象又是什么样的”，激发学生的求知欲，引导学生利用数形结合的方法研究函数的图象和性质．进而让学生利用已学过的描点法画出二次函数y ＝x 2的图象，通过小组交流让学生充分发表意见，总结自己观察出的图象的特征和函数性质，为讨论一般二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象和性质作铺垫．二、典例精讲【例题】在同一直角坐标系中，画出函数212y x ＝，y ＝2x 2的图象．【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并作图． 【答案】解：分别列表，再画出它们的图象．【设计意图】通过例题的练习与讲解，巩固学生对描点法画函数图象的应用，为探究二次函数y ＝ax 2(a ＞0)的图象和性质作铺垫．三、探究学习【思考】（1）函数212y x ＝，y ＝2x 2的图象与函数y ＝x 2（图中的虚线图形）的图象相比，有什么相同点和不同点？【师生活动】教师提出问题，学生观察所作图象思考并尝试回答．教师总结：相同点：（1）抛物线的开口向上；（2）对称轴是y 轴；（3）顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；（4）当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．不同点：开口大小不同，a 越大，抛物线的开口越小．【思考】（2）当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象有什么特点？ 【师生活动】教师提示，学生尝试总结归纳． 【答案】二次函数y ＝ax 2(a ＞0)的图象与性质如下．【探究】（1）在同一直角坐标系中，画出函数y ＝－x 2，212y x ＝－，y ＝－2x 2的图象，并考虑这些抛物线有什么相同点和不同点．【师生活动】教师提示：可以参照讨论“函数212y x ＝，y ＝2x 2，y ＝x 2的图象的相同点和不同点”的方法来思考．学生按照提示先在同一直角坐标系中，画出函数图象，再分小组讨论，并派代表回答．教师总结：相同点：（1）抛物线的开口向下；（2）对称轴是y 轴；（3）顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；（4）当x ＞0时，y 随x 的增大而减小；当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．不同点：开口大小不同，a 越小，抛物线的开口越小．【探究】（2）当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2的图象有什么特点？ 【师生活动】教师提出问题，学生大胆思考并尝试回答．【答案】二次函数y ＝ax 2(a ＜0)的图象与性质如下．【归纳】一般地，抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线y ＝ax 2，|a |越大，抛物线的开口越小．二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象与性质【设计意图】通过对a 的取值分类讨论，总结出二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象和性质，在由具体的二次函数图象归纳总结出二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象和性质的过程中，让学生进一步体会由特殊到一般和数形结合的思想．课堂小结板书设计一、二次函数y＝ax2(a＞0)的图象与性质二、二次函数y＝ax2(a＜0)的图象与性质三、二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质课后任务完成教材第32页练习．。
二次函数的图象与性质(第2课时)教学设计-四套方案
第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第2课时）》教学设计说明一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图像和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质.学生活动经验基础：学生在上节课经历利用描点法画抛物线的图象的活动过程，因此对于画二次函数2y ax =和2y ax c =+的图象不会存在太大问题；由于二次函数的图象比较直观，因此在分析两个或者多个二次函数的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标时，也有了上一课时的活动基础.二、教学任务分析本课时要研究的问题是关于函数2y ax =和2y ax c =+的图象的作法和性质，逐步积累研究函数图象和性质的经验．为此，本节课的教学目标是：知识与技能1.能画二次函数2y ax =和2y ax c =+的图象，并能够比较它们与二次函数2y ax =的图象的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响.2.能说出二次函数2y ax =和2y ax c =+图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.过程与方法经历探索二次函数2y ax =和2y ax c =+的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会数形结合思想在数学中的应用.情感态度与价值观体会二次函数是某些实际问题的数学模型，由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.教学重点：2y ax =和2y ax c =+图象的作法和性质教学难点：能够比较2y ax =和2y ax c =+的图象的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响.三、教学过程分析运用类比的学习方法，通过与2y x =，y=2x 2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质．第一环节： 复习旧知，引入新知1、什么是二次函数？二次函数y ＝x 2与y=-x 2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？2.二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝-x 2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？设计意图：首先用问题作为切入点，引出新知.学生会根据已有的知识储备轻松得出结果，这样问题就出来了，我们用列表，描点，连线的方法画出二次函数的图像，那么，是不是只有二次函y ＝x 2与y ＝-x 2两种呢？从而自然而然的引出数学活动第二环节： 新课讲解活动内容：在平面直角坐标系中作二次函数y=x 2和y=2x 2的图象． (1)完成下表：(2)分别画二次函数y=x 2和y=2x 2的图象．(3)二次函数y ＝2x 2的图象是什么形状?它与二次函数y=x 2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?第三环节：想一想活动目的：让学生画完整的二次函数图象，然后用自己的语言进行描述图象的性质，初步体验二次函数2的系数a对图象的影响.y ax第四环节: 做一做活动内容：在同一直角坐标系内画函数y＝2x2+1的图象.1）同桌之间，一个列表，一个描点，然后用彩笔连线.2）教师巡视，指导画法.3）展示好的作品（以做探讨，研究性质之用）.活动目的：对二次函数性质的巩固与拓展，从图象直观理解函数之间（a相同）的平移关系，培养学生的动态思维.第五环节：议一议活动内容：二次函数y＝2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？1.通过刚才画的函数y＝2x2+1的图象与函数y=2x2的图象，比较它们的图形特点．(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较)2.在同一直角坐标系内画函数y＝2x2-1的图象，也比较它们的图形特点．(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较)活动目的：引导学生通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，再结合图象，从图象直观理解函数之间（a相同）的平移关系，掌握图象的平移规律，培养学生的动态思维.第六环节：课堂小结活动内容：师生互相交流总结：y=ax2+c.第七环节：布置作业完成习题2.3知识技能1、2题.四、教学反思函数的教学，尤其是二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识.在教学过程中，先通过表格中数据的变化规律去理解函数的变化趋势，再让学生动手画图象，通过学生自己画的图象去印证发现的变化趋势，加深他们对函数图象的了解，也加深他们对函数性质的了解，更重要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去，这样学生才能真正理解并掌握它.其次合理、充分利用了多媒体教学的手段，利用powerpoint，几何画板等软件画出的二次函数的图像，让抽象思维不强的学生，更加形象的结合图形，分析说出二次函数y=ax²及y=ax2+c的有关性质，充分体现了“数形结合”的数学思想.整节课是一个动手作图、动眼观察、动脑猜想、实践验证、巩固应用的动态生成过程，学生能力得到培养.第二章二次函数《二次函数的图象与性质（第2课时）》教学设计说明一、学生知识状况分析上一节课中学生已经学习了具体的二次函数y=x²与y=-x²的图象，对二次函数的定点、对称轴、开口方向等都有了基础的了解，但是对y=ax²+c中的a和c对二次函数图象的影响并不了解.二、教学任务分析一、三维目标①、知识目标：1、能做出二次函数y=ax²和y=ax²+c的图象，并能够比较他们与二次函数y=x²的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响.2、能说出二次函数y=ax²与y=ax²+c图象的开口方向、对称轴和定点坐标.②、能力目标：经历探索二次函数y=ax²和y=ax²+c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，掌握研究一个函数图象的三个基本步骤.③、情感态度价值观：体验从特殊到一般的过程，在深入学习新知的过程中体验到科学的分析精神.二、教学重难点a与c对二次函数图象的影响.三、教学过程分析一、复习回顾二次函数y=x²、y=-x²引导学生分别说出开口方向、顶点、对称轴、增减性二、在画有y=x²的直角坐标系中画出y=2x²的图像1、列表2、描点3、连线4、对比5、想一想， 与y=x ²、y=2x ²有什么异同点三、结论：形如y=ax ²的二次函数图像，|a|越大，图像开口反而越小开口方向 对称轴 顶点增减性a ＞0向上Y轴（0,0）x ＞0时，y 随x 增大而增大；x ＜0时，y 随x 增大而减小a ＜0向下Y轴（0,0）x ＞0时，y 随x 增大而减小；x ＜0时，y 随x 增大而增大四、考虑二次函数y=2x ²+1的图像与二次函数y=2x ²的图像有什么异同？221x y二次函数 y = 2 x² + 1 的图象与二次函数 y = 2 x²的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？你能通过平移画出y=2x²-1的图像吗？说说你是怎么做的.二次函数 y = 2 x²，y = 2 x² + 1，y = 2 x² - 1 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同．将二次函数 y = 2 x²的图象向上平移 1 个单位，就得到函数 y = 2 x² + 1 的图象；将二次函数 y = 2 x²的图象向下平移 1 个单位，就得到函数 y = 2 x² - 1 的图象．五、结论二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像都是抛物线，开口方向和形状都相同C＞0时，把y=ax²向上平移c个单位得到y=ax²+cC＜0时，把y=ax²向下平移c个单位得到y=ax²+c四、教学反思学生画图象比较费时间，但是这个时间也是很必要的，这种感性认识为后部分总结规律上升到理性认识提供了良好的基础.所以在教学中反映出来的状况是，越是基础不扎实的同学，画图象的帮助越大.从图象中学生可以很快说出结论，反复应用这个结论去判断函数的图象可以加深认识与记忆.第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第2课时）》教学设计说明一、学生知识状况分析学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法作出函数图象的方法.在本章第一节课中学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.第二节课又学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =x 2和y=-x 2的一般性质.二、教学任务分析本节将讨论形如)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的二次函数图象和性质.它和学生前一节课学习的2x y =、2x y -=的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够利用描点法作出函数)0(2≠=a ax y 的图象，能根据图象认识和理解二次函数)0(2≠=a ax y 的性质．能正确说出)0(2≠=a ax y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.2．能够作出函数)0(2≠+=a c ax y 的图象，能根据图象认识和理解二次函数)0(2≠+=a c ax y 的性质．能正确说出)0(2≠+=a c ax y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.过程与方法1．经历探索二次函数)0(2≠=a ax y 的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．经历探索二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象的作法和性质的过程.情感与态度1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点：作出函数)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的图象，并根据图象认识和理解二次函数)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的性质.教学难点：)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的图象的关系，)0(2≠+=a c ax y 的图象性质.三、教学过程分析(一) 复习引入提出问题，让学生讨论交流：二次函数2x y =图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、y 随x 的变化情况分别是什么？二次函数22x y =的图象是什么形状？它与我们已经作过的二次函数2x y =的图象有什么关系？（二） 合作探究（1）先作二次函数22x y =的图象，再回答问题.1. 在同一坐标系下用描点法画二次函数2x y =、22x y =与221x y =的图象 函数2x y =、22x y =与221x y =的图象有什么关系?与同桌交流 2. 他们的对称轴、开口方向、顶点坐标相同吗？3. 当x<0时,随着x 的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？4. 当x 取什么值时,y 的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？总结二次函数)0(2≠=a ax y 的性质：（三）课堂练习（1）1.函数 图象开口方向______,对称轴________，顶点坐标_____;函数图象开口方向______,对__________，顶点坐标_______.2.二次函数y=ax 2 (a≠0)的图象经过点A （1，2），则函数y=ax 2的表达式为________；若点C(-2,m), D （n ,4）也在函数的图象上，则点C 的坐标为______,点D 的坐标为_________.3. 已知点（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）在抛物线y=4x 的 图像上，则y 1, y 2, y 3的大小关系___________;已知点（-1,y 1），（-2，y 2），（-3，y 3）在抛物线y=-3x 2 的 图像上，则 y 1, y 2, y 3 的大小关系__________.（四）合作探究（2）1.在同一坐标系中作出二次函数2x y =与12+=x y 的图象.2.二次函数2x y =,12+=x y 的图象的形状相同吗？3. 函数12+=x y 的图象与2x y =的图象的位置有什么关系?4. 在同一坐标系中作出二次函数2x y =与22-=x y 的图象.5. 2x y =图像经过怎样的平移得到22-=x y 的图像？ 总结出二次函数)0(2≠+=a c ax y 与)0(2≠=a ax y 的关系232x y =273x y -=一般地,由)0(2≠=a ax y 的图象便可得到二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象: )0(2≠+=a c ax y 的图象可以看成)0(2≠=a ax y 的图象先沿y 轴整体上(下)平移|c |个单位(当从c >0时,向上平移;当c <0时,向下平移c)得到的.因此,二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a 、c 的值有关.总结二次函数)0(2≠+=a c ax y k 的性质(五) 课堂练习1. 函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向 平移 个单位得到；y=4x 2-11的图象 可由 y=4x 2的图象向 平移 个单位得到.2. 将函数y=-3x 2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x 2的图象；将y=2x 2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x 2的图象.将y=x 2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x 2+2的图象.3. 将抛物线y=4x 2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 .将抛物线y=-5x 2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 .4. 抛物线y=-3x 2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 .5. 抛物线y=7x 2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 .6. 二次函数y=ax 2+c (a≠0)的图象经过点A （1，-1），B （2，5），则函数y=ax 2+c 的表达式为 ；若点C(-2,m),D （n ,15）也在函数的图象上，则点C 的坐标为 点D 的坐标为______________.（六）课堂小结填表：二次函数)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的性质（七）布置作业习题2.3 3题、 4题四、教学反思1．要发掘教材，参照课本内容选择适合自己所教学生使用的材料；2．加强教学的计划性,保证每堂课的教学效果,提高教学质量；3，在函数教学中采用计算机辅助教学，教学效果更好.第二章二次函数《二次函数的图象与性质（第2课时）》教学设计说明一、教学任务分析【教学目标】(一)教学知识点1．能够利用描点法作出函数的图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质．(二)能力训练要求1．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．比较y=ax2和y＝ax2+c的图象与y=x2的异同．理解a与c对二次函数图象的影响．(三)情感与价值观要求1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．【重点】1.能做出2．比较y=ax2和y＝ax2+c的图象与y=x2的异同．理解a与c对二次函数图象的影响．【难点】1．能说出y＝ax2和y=ax2+c图象的开口方向；对称轴和顶点坐标．2.能作出函数y＝ax2和y=ax2+c的图象，并总结其性质，还能和y=x2作比较，二、教学方法探索——总结——运用法．三、教材分析教材对二次函数性质的研究采用的是图象的、直观的、非形式化方法，要求通过学生自己的探索活动(联系、对比、概括和反思等）达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解。
《二次函数的图象和性质(2)》教学设计
5.4二次函数的图象和性质(2)教学目标1．会用描点法画函数y＝ax2＋k和函数y＝a(x＋m)2（a≠0）的图象；2．能用平移变换解释二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2和二次函数y＝ax2（a≠0）的位置关系；3．能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2（a≠0）的性质；4．体会数学研究问题由具体到抽象．．．．．、特殊到一般．．．．．的思想方法．教学重点从“坐标的数值变化”与“图形的位置变化”的关系着手，探索二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2的图象和二次函数y＝ax2的（a≠0）位置关系．教学难点从二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2的图象和二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的异同从中体会它们之间的关系．教学过程（教师）学生活动设计思路回顾与猜想你还记得二次函数y＝x2的图象是怎样的吗？那么y＝x2＋1的图象与y＝x2的图象有什么关系？回顾二次函数y＝x2图象的性质，为本节课学习打下基础．新旧知识比较，猜想激发学生学习新知识的欲望．活动一：画图与观察1．填表：画函数y＝x2和y＝x2＋1的图象．x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2……y＝x2＋1……2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x2＋1的图象和y＝x2的图象；3．观察：（1）从表格的数值看：相同的自变量所对应的两个函数的函数值有什么关系？（2）从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图象和y＝x2的图象的位置有什么关系？（3）根据图象，你能得出函数y＝x2＋1的图象的性质吗？4．猜想：函数y＝x2－2的图象和y＝x2的图象的位置有何关系？函数y＝x2－2的图象有哪些性质？按照列表、描点、连线的过程画函数图象．画图，观察、思考并交流提出的问题．学生经历列表、描点、作图、观察、比较、思考的过程，引导学生观察表中数据的变化与点在平面内位置的变化的关系，进而得到函数图象位置的变化规律，初步感受点坐标的变化带来图形位置的变化；新问题y＝ax2＋k将k的取值由1变为－2，丰富了学生对上下平移的认识．总结与归纳思考：（1）由上面的例子，你发现函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2（a≠0）的图象有什么关系？（2）二次函数y＝ax2＋k（a≠0）有什么性质？学生先交流、尝试概括，师生共同总结出结论：（1）函数y＝ax2＋k的图象可以看成函数y＝ax2（a≠0）的图象上下平移得到，当k＞0时，向上平移k个单位，当k＜0时，向下平移－k个单位．（2）函数y＝ax2＋k顶点坐标是（0，k），对称轴是y轴．通过学生相互交流、补充，逐步完善函数y＝ax2＋k的性质，函数的增减性、开口方向和最大（小）值要分a＞0和a＜0来讨论．活动二：观察与思考1．填表：画函数y＝x2和y＝(x＋3)2的图象．x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2……x …－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 …y＝(x＋3)2……2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x2与按照列表、描点、连线的过程画函数图象．与活动一类似：也按照四个层次组织活动二，将两个表格设计成“错位”的方式，引导学生展开观察和思考活动，引导学生发现函数值相等的两个函数的自变量之间的关系，从中感受函数图象的“平移”xyO1 2 3 4 5 x12345678910yo-1-2-3-4-51 / 22 / 2。
数学北师大版九年级下册第二章二次函数图像和性质教案
2.2二次函数的图像和性质（第二课时）教学目标知识与技能1、能作出2ax y =和c ax y +=2的图像||，并研究它们的性质.2、比较2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 过程与方法1、经历探索二次函数2ax y =和c ax y +=2的图像的作法和性质的过程||，进一步获得将表格、表达式、图像三者联系起来的经验.2、通过比较2ax y =||， c ax y +=2与2x y =的图像和性质的比较||，培养学生的比较、鉴别能力.情感、态度与价值观让学生积极投身于数学学习活动中||，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论||，不仅使他们记忆犹新||，还能建立自信心.由学生自己思考在经过合作交流完成的数学活动||，不仅能使学生学到知识||，还能使他们互相增进友谊.教学重点、难点教学重点：描点法画出二次函数c ax y +=2的图象||，理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解函数c ax y +=2与函数2ax y =的相互关系是教学重点会用描||。
教学难点：正确理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解抛物线c ax y +=2与抛物线2ax y =的关系是教学的难点||。
关键：掌握2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 突破方法： 根据设问层层深入逐个破解||，然后进行类比、归纳、总结的探索模式学习||，最后得出2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同及a 与c 对二次函数图像的影响教学准备:教师准备：多媒体课件（用于展示操作过程||，引导讨论||，出示答案）．学生准备：课前预习||，两张坐标纸画图工具．教学过程(一)创设问题情景||，引入新课知识回顾：1．二次函数2x y =的图象是____||，它的开口向_____||，顶点坐标是_____；对称轴是______||，在对称轴的左侧||，y 随x 的增大而______||，在对称轴的右侧||，y 随x 的增大而______||，函数2ax y =与x ＝______时||，取最______值||，其最______值是______||。
《二次函数的图象(第二课时)》参考教案
26.1.3 二次函数2()y a x h k =-+的图象第二课时教学目标 1．知识与技能(1)进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会做函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k 的图象． (2)能正确说出y=a(x-h)2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (3)掌握抛物线y=a(x-h)2+k 的平移规律. 2．过程与方法经历探索二次函数y=a(x-h)2＋k 的图象的画法和性质的过程，提高作图能力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法．3．情感、态度与价值观培养学生积极参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识． 教学重点难点 1．重点作出二次函数y=a(x-h)2+k 的图象，探索其性质． 2．难点抛物线的平移规律的理解以及a 、h 、k 的作用的理解． 教与学互动设计（一）创设情境 导入新课导语一 回忆二次函数y=ax 2k −−−−−→向上（下）平移个单位y=a(x-h)2±k.若将y=ax 2向左（或向右）平移h 个单位，会得到什么抛物线呢？导语二 小明作出了函数y=3x 2与函数y=3x 2+6x+5的图象，发现它们又极为相似的地方，却不明白是什么原因，你能帮助说明其中的道理吗？导语三 回忆(1)抛物线y=2x 2，y=2x 2+3，y=2x 2-3的对称轴，顶点坐标，开口方向各是什么？它们之间有何关系？(2)抛物线y=ax 2中，a 起什么作用？对抛物线有何影响？a 值相同，能说明什么？从而引人新课.（二）合作交流 解读探究 1．函数y=a(x-h)2的图象与性质【探究】，在同一坐标系中，画出函数y=-12(x+1)2和函数y=-12(x-1)2的图象．教师可指导以下两方面.(1)列表取值可按课本中提供的数据完成.(2)画出的图象要具有对称性，两个图象中的点选取略有不同.学生做完以后，可借用投影、多媒体展示自己的作品．【想一想】函数y=-12(x+1)2图象和y=-12(x-1)2的图象与y=-12x2有何关系？它们的对称轴，顶点坐标分别是什么？解：函数y=-12(x+1)2图象和y=-12(x-1)2的图象形状大小，开口方向完全一样，只是位置不同相同.抛物线y=-12(x+1)2的对称轴是直线x=-1，顶点为(-1,0), 抛物线y=-12(x-1)2的对称轴是直线x=1，顶点为(1,0).易知（或用多媒体展示抛物线的移动）抛物线y=-12x2向左平移1个单位，能与抛物线y=-12(x+1)2重合；抛物线y=-12x2向右平移1个单位，能与抛物线y=-12(x-1)2重合.【注意】观察图象移动过程，要特别注意特殊点（如顶点）移动的情况.【归纳】（1）二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象形状大小，开口方向都完全相同，但顶点和对称轴不同.（2）抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为（h，0），对称轴是x=h.（3）抛物线y=ax2向左平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2.2．二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质【做一做】画出函数y=-12(x+1)2-1图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-12x2经过怎样的变换可以得到抛物线y=-12(x+1)2-1？教师引导学生在前一题的基础上，补上函数y=-12(x+1)2-1的图象（或制成幻灯片，让学生观察、比较）如图26-1-8所示解：图象如图26-1-8抛物线y=-12(x+1)2-1的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是(-1,-1).把抛物线y=-12x2向下平移1个单位，再向左平移1个单位，就得到抛物线y=-12(x+1)2-1【注意】可以改变两次平移顺序，即先向左向下平移1个单位，再向下平移1个单位，就得到抛物线y=-12(x+1)2-1 【归纳】（1）抛物线y=a(x-h)2+k 有如下特征：y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0 向上 h （h ，k ） a<0向上y 轴（0，2）3.平移规律22h y=ax k y ax =−−−−−→±向上（或下）平移个单位22h (h)y=a(x h)k y a x =±−−−−−→±±向上（或下）平移个单位【注意】①口诀：上加下减，左加右减 ②根据顶点坐标来确定移动的方向与数据. （三）应用迁移 巩固提高类型之一 函数y=a(x-h)2+k 的图象特征的运用 例1 填写下表：解析式开口方向对称轴顶点坐标平移h 个单位向左或右平移h 个单位向左或右【分析】可将各解析式统一为y=a(x-h)2+k的式，再根据图象特征填写．解： y=-5x2⇒y=-5(x-0)2+0y=-12x2+5⇒y=-12(x-0)2+5y=-3(x+4)2⇒y=-3(x+4)2+0.y=4(x+2)2-7⇒y=4(x+2)2-7它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别见上表.【点评】①解这类型题要将不同形式的解析式统一为y=a(x-h)2+ k的形式，便于解答.类型之二平移规律的应用例2将抛物线y=-3x2向右平移2个单位，在向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是（）A. y=-3(x-2)2-5B. y=-3(x+2)2-5C. y=-3(x+2)2+5D. y=-3(x-2)2+5【解析】根据平移规律知D正确．【点评】抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．类型之三二次函数y=a (x-h)2+k的综合应用例3 若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=(x-m )2+1的顶点必在第象限A.一B.二C.三D.四【解析】由直线y=3x＋m经过一、三、四象限知，m＜0．又顶点坐标为（m，1).∴抛物线的顶点必在第二象限．【点评】此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．（四）总结反思拓展升华【总结】本节所学的知识是①二次函数y =a (x-h )2 +k的图象画法及其性质的总结．②平移规律所用的思想方法：从特殊到一般的思想方法.【反思】抛物线 y=a(x-h)2+k中，顶点(h, k)在画图象，平移抛物线的过程中，分别起什么作用？【拓展】你能确定二次函数y=3x2+6x+5的开口方向，对称轴和顶点坐标吗?你是怎样想的，与同伴交流．【解析】先将其化为顶点式，再根据顶点式回答相关问题．解：y=3x2+6x+5可化为y=3(x+1)2+2∴开口向上，对称轴为x=-l ，顶点（-1,2)【点评】此题目的，了解一般式与顶点式的转化，为新课学习埋下伏笔.（五）当堂检测反馈1. 二次函数y=12(x-3)2+4的图象可以看作是二次函数y=12x2图象向右平移3个单位，再向上平移 4 个单位得到的.2. 如果二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴为x= -l,则h= -1 ；如果它的顶点坐标为（-1，-3)，则k的值为 -3 .3. 确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标（学生口答）(1)y=-2(x+3)2+4 (2)y=-13(x-3)2-1(3) y=-15( x+1)2 (4) y=16x2-7解：( l )开口向下，对称轴为x＝-3，顶点坐标为（-3, 4 )( 2 )开口向下，对称轴为x =3，顶点坐标为（3，-1) .( 3 )开口向下．对称轴为x＝-1，顶点坐标为（-l, 0 )( 4 )开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-7 )4. 把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=12(x+1)2-1的图象.(l)试确定 a, h，k的值．(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标解：(1)原二次函数表达式为y=12(x+1-2)2-1-4即y=12(x-1)2-5∴a=12,h=1,k=-5(2) 它的开口向下，对称抽为x＝l，顶点坐标为（l，-5)【注意】抛物线倒移时，移动方向刚好相反，此处极易出现错误5.二次函数y=a(x-h)2+k的图象经过点（-2, 0）和（4, 0)，试确定h 的值【分析】画草图易发现点（-2, 0 ), (4, 0）关于对称轴x=h 对称，故可求h的值解：∵点（-2 , 0 ) , ( 4 , 0 ）关于直线x = h 对称．h=12(4-2)=1【点评】此题巧妙地利用了抛物线的对称性．抛物线与x轴的两个交点一定关于对称轴对称. .。
《二次函数的图像和性质2》教案新部编本
精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan教师学科教课方案[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan《二次函数的图像和性质》教课方案1教课目的1．使学生会用描点法画y=ax2+k的像；2．使学生理解y=ax2 +k的张口方向、称和点坐；3．使学生理解抛物y=ax2+k与抛物 y=ax2的地点关系．要点难点要点：画形如 y=ax2+k的二次函数的像，能指出函数像的张口方向，称和点坐．点适合地列表，正确地画出形如y=ax2+k的像．教课方案( 一 ) 复提：1、 y=ax2的像是什么形状？2、什么决定 y=ax2的性？3、怎画 y=ax2的像？1、列表x⋯- 3- 2- 10123⋯y ax2⋯9410149⋯=2、描点、Y3、( 二 ) 研究新知：精选教课教课方案设计 | Excellent teachingplan2、在同向来角坐系中，画二次函数y=x2、 y=x2+1、y=x2 - 1像．解：列表：x⋯- 3- 2- 10123⋯y=x2⋯9410149⋯y x2+1⋯105212510⋯=y=x2- 1⋯830- 1038⋯yy=x 2y1、画步：①、列表②、描点③、2、：①抛物y=x2+1， y=x2- 1的张口方向，称，点坐各是什么？②抛物与 y=x2+1， y=x2- 1抛物 y=x2有什么关系？③它的地点关系由什么决定？学生回答：①抛物张口方向称点坐2向上X 0(0 0) y x=，=21向上X 0(0 1)y x+=，=2-1向上X 0(01y x=， -) =②把抛物 y=x2的像向上平移 1个位，就获得抛物y=x2+1的像，向下平移1个位就获得 y=x2 - 1的像．③它的地点是由+1， - 1决定的．3．提出猜想：函数分析式的二次项系数小于0时和二次项系数的绝对值发生变化时，抛物线下将发生如何的变化？答：二次项系数小于0时，抛物线的张口向下，二次项系数的绝对值越大，张口越小，反之越大．经过议论和猜想，把以上三个函数写成y=ax2+k的形式，最后加以总结，形成公式：4．一般地，抛物线有以下性质：①当 a＞ 0时张口向上，当a＜ 0时张口向下．②对称轴是 x=0( 或 Y轴 ) ．③极点坐标是( 0， k) ．④｜ a｜越大，张口越小．5．讲堂练习：①把抛物线向上平移5个单位，会获得哪条抛物线？向下平移3． 4个单位呢？②课本第 10页练习题6．思虑：y=x2和 y=- x2的图像有什么关系？答：对于 x轴对称．7．知识回首：①画抛物线的图像有几个步骤？②抛物线中的a决定什么？如何决定的？k决定什么？③抛物线的对称轴是什么？极点坐标如何表示？8．部署作业：教材第 15页练习第 1题．《二次函数的图像和性质》教课方案2教课目的1、会用描点法画出二次函数的图象，能经过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确立二次函数图象的极点、张口方向和对称轴．要点难点要点：二次函数的图象与性质难点：二次函数的图象与性质教课过程我们已经认识到，函数 y ax 2k 的图象，能够由函数y ax 2的图象上下平移所得，那么函数 y1( x 2) 2的象，能否也能够由函数y1x2平移而得呢？画一，你22能从中什么律？践与研究1．在同向来角坐系中，画出以下函数的象．y 1x 2， y1( x 2) 2， y1( x2) 2，并指出它的张口方向、称和点222坐．解列表．x⋯-3-2-10123⋯y 1 x2⋯922y1(x2)2⋯122y 1( x2) 2⋯252221129⋯22201225825⋯22289211⋯222描点、，画出三个函数的象，如所示．它的张口方向都向上；称分是y、直x2x 2；点坐分是=- 和直=( 0，0) ，(- 2，0) ，( 2，0) ．回与反省于抛物 y1( x 2) 2x2y x x2y2，当<- ，函数随的增大而减小；当>- ，函数随x的增大而增大；当 x=- 2，函数获得最，最 y=0．研究抛物 y 1( x2) 2和抛物y1( x 2) 2分是由抛物y1x2向左、向右平移222精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan两个单位获得的．假如要获得抛物线2．不画出图象，你能说明抛物线y1( x 4)2，应将抛物线 y1x 2作如何的平移？22y3x 2与 y3( x 2) 2之间的关系吗？解抛物线 y3x2的极点坐标为( 0，0) ；抛物线y3( x2) 2的极点坐标为(- 2，0)．所以，抛物线y3x 2与 y3( x2) 2形状同样，张口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线 x 2 ．抛物线y3( x2) 2是由 y3x 2向左平移 2个单位而得的．回首与反省y a( x h)2(a h a0、是常数，≠ ) 的图象的张口方向、对称轴、极点坐标概括以下：张口方向对称轴极点坐标y a(x h) 2a0a0稳固练习1．绘图填空：抛物线y(x1) 2的张口，对称轴是，极点坐标是，它能够看作是由抛物线 y x2向平移个单位获得的．2．在同向来角坐标系中，画出以下函数的图象．y2x 2， y2( x3)2， y2(x3)2，并指出它们的张口方向、对称轴和顶点坐标．本课小结1．经过本课的学习，你有什么收获？2．你对本节课还有什么不理解的？部署作业教材第 15页练习第 2题．。
二次函数的图象与性质第二课时教案2
教 师 活 动
学 生 活 动
描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．
回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数
22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？
例2．在同一直角坐标系中，画出函数12
+-=x y 与
12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛
物线12
+-=x y 得到抛物线12
--=x y ． 解 列表．
x
… -3 -2 -1 0 1 2 312+-=x y … -8 -3 0 1 0 -3 -12--=x y
…
-10
-5
-2
-1
-2
-5
-1
讨论解决问题
教 师 活 动 学 生 活 动
描点、连线，画
出这两个函数的图象，如图26．2．4所示． 可以看出，抛
物线
12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得
到的．
回顾与反思 抛物线12
+-=x y 和抛物线12
--=x y 分别是由抛物线2
x y -=向上、向下平移一个单位得到的． 探索 如果要得到抛物线42
+-=x y ，应将抛物线
12--=x y 作怎样的平移？
作业 布置 必做题： P19 3 选做题：
选做题先讲解一下 板书设计
课 题
知识点 学生练习 例题。
2.2 二次函数图象与性质(第2课时) 教学设计2
第二章二次函数《二次函数的图象与性质（第2课时）》教学设计说明一、学生知识状况分析上一节课中学生已经学习了具体的二次函数y=x²与y=-x²的图象，对二次函数的定点、对称轴、开口方向等都有了基础的了解，但是对y=ax²+c中的a和c对二次函数图象的影响并不了解.二、教学任务分析一、三维目标①、知识目标：1、能做出二次函数y=ax²和y=ax²+c的图象，并能够比较他们与二次函数y=x²的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响.2、能说出二次函数y=ax²与y=ax²+c图象的开口方向、对称轴和定点坐标.②、能力目标：经历探索二次函数y=ax²和y=ax²+c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，掌握研究一个函数图象的三个基本步骤.③、情感态度价值观：体验从特殊到一般的过程，在深入学习新知的过程中体验到科学的分析精神.二、教学重难点a与c对二次函数图象的影响.三、教学过程分析一、复习回顾二次函数y=x²、y=-x²引导学生分别说出开口方向、顶点、对称轴、增减性二、在画有y=x²的直角坐标系中画出y=2x²的图像1、列表2、描点3、连线4、对比5、想一想，与y=x²、y=2x²有什么异同点 三、结论：形如y=ax²的二次函数图像，|a|越大，图像开口反而越小开口方向 对称轴顶点 增减性a＞0 向上 Y 轴 （0,0） x ＞0时，y 随x 增大而增大；x ＜0时，y 随x 增大而减小a＜0 向下 Y 轴 （0,0） x ＞0时，y 随x 增大而减小；x ＜0时，y 随x 增大而增大四、考虑二次函数y=2x²+1的图像与二次函数y=2x²的图像有什么异同？221x y二次函数y = 2 x² + 1 的图象与二次函数y = 2 x² 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？你能通过平移画出y=2x²-1的图像吗？说说你是怎么做的.二次函数y = 2 x²，y = 2 x² + 1，y = 2 x² - 1 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同．将二次函数y = 2 x² 的图象向上平移 1 个单位，就得到函数y = 2 x² + 1 的图象；将二次函数y = 2 x² 的图象向下平移 1 个单位，就得到函数y = 2 x² - 1 的图象．五、结论二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像都是抛物线，开口方向和形状都相同C＞0时，把y=ax²向上平移c个单位得到y=ax²+cC＜0时，把y=ax²向下平移c个单位得到y=ax²+c四、教学反思学生画图象比较费时间，但是这个时间也是很必要的，这种感性认识为后部分总结规律上升到理性认识提供了良好的基础.所以在教学中反映出来的状况是，越是基础不扎实的同学，画图象的帮助越大.从图象中学生可以很快说出结论，反复应用这个结论去判断函数的图象可以加深认识与记忆.。
2二次函数的图像及其性质(二)教案
B、②
C、③
D、④
3.在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.
①如图1，若BC＝4m，则S＝________m.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.
教学重点
1.函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。
2.用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
3.会通过配方求出二次函数 的最大或最小值
教学难点
1.识图能力的培养
2.学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－ 、(－ ， )
当k＜0时，函数y=kx2开口向下，而y=kx﹣2的图象过二、三、四象限，
分析选项可得，只有B符合，
故选B．
5.【答案】﹣3
【解析】已知了抛物线的顶点横坐标为2，即抛物线的对称轴方程为x=﹣ =2，可据此求出m的值．
解：∵抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣ 的顶点的横坐标是2，
∴ =2；
解得m=﹣3，
故答案为：﹣3．
答案与解析
1.【答案】A
【解析】∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，
设原抛物线上有点(x,y),绕原点旋转180∘后,变为(−x,−y),点(−x,−y)在抛物线y=x2+5x+6上，
《二次函数的图像和性质》第二课时教案 (1)
5.4二次函数的图像和性质(2)教材分析：本节课是在认识了二次函数y=ax2的图象和性质的基础上的一次提高和升华，通过图象与类比的方法来探索抛物线y=ax2+k,y=a(x-h)2与y=ax2的关系，并由此探索它们的性质．从本节课的作用看，它是整章教学的一个过度站，可看作前面知识的一个提高，知识的安排从特殊到一般，从简单到复杂符合学生的认知规律．教学设计：本节课主要采用小组合作探究式，教师引导的学习方式，让学生通过观察和类比，动手操作得到结果.在这节课中让学生充分地参与到学习中来，鼓励学生自己归纳，大胆猜测，由此可以养成学生的归纳能力与逻辑思维能力．学习目标：知识与技能：1．会画出y=ax2+k这类函数的图象．通过比较，了解这类函数的性质．2．会画出y=a(x-h)2这类函数的图象．通过比较，了解这类函数的性质．3．了解经过沿y轴向上或向下平移，可由抛物线y=ax2得到抛物线y=ax2+k．沿x轴向右或向左平移，可由抛物线y=ax2得到抛物线a(x-h)2过程与方法：经历探索抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的关系的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会平移知识在二次函数中的应用.情感态度和价值观：在合作探索、自主学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、创造性和趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心．学习重难点：重点：抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的关系.难点：应用y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的关系解决相关问题.课前准备教具准备教师准备PPT课件教学过程：导入新课：用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开口方向、对称轴以及顶点坐标.【设计意图】：通过对二次函数y=-2x2的图象、开口方向、对称轴和顶点坐标的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本节课的学习起到引入作用.合作探究一: 二次函数y=ax2＋k的图象参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.归纳: 二次函数y =ax 2＋k 的性质1.二次函数y =x 2+k 的图象是什么？合作探究二: 二次函数y =a (x -h )2的图象画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点． 可以看出，抛物线 的开口向下,对称轴是经过点（－1，0）且与x 轴垂直的直线，我们把它记作x =－1,顶点是(-1,0);抛物线 的开口向_____， 对称轴是______，顶点是______．抛物线 与抛物线 有什么关系？ 可以发现,把抛物线 向左平移1个单位,就得到抛线 ;把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 归纳:二次函数y =a (x-h )2的性质 y =a (x -h )2的图象是抛物线a ＞0时,开口向上,最低点是顶点;对称轴是直线x =h 顶点坐标是(h,0).当x <h 时y 随x 的增大而减小；当x >h 时y 随x 的增大而增大；a ＜0时，开口向下,最高点是顶点;对称轴是 直线x =h ,顶点坐标是(h ,0).当x <h 时y 随x 的增大而增大；当x >h 时y 随x 的增大而减小；【设计意图】：对相应的问题组织学生自己独立完成，然后小组讨论得出结论.当堂检测：1．抛物线y=0.5(x+2)2可以由抛物线 先向 .移2个单位得到.2．已知s= –(x+1)2,当x 为 时，s 取最为 . 值为. ()()22111,122y x y x =-+=--()2112y x =-+()2112y x =--()()22111,122y x y x =-+=--212y x =-212y x =-212y x =-()2112y x =-+()2112y x =--3．顶点坐标为(1,0)，且经过(0,-1)的抛物线的函数解析式是( ).A.y=(x+1)2B. y= –(x+1)2C.y=(x–1)2D. y= –(x–1)4．函数y=2x2的图象是______线，开口向__,对称轴是_____，顶点坐标是_______，当x=___时，函数有最 ____值为____；在对称轴左侧， y随x的增大而_______，在对称轴右侧，y随x的增大而_______.5．函数y=-2x2+4的图象开口向____，对称轴是_____，顶点坐标是_______，当x=____时，函数有最____值为____；当x<0时，y随x的增大而_______，当x>0时， y随x的增大_______.6．函数y =-2(x+1)2的图象开口向____,对称轴是_____, 顶点坐标是_____,当x=____时,函数有最____值为____；当x_____时,y随x的增大而增大,当x_____时,y随x的增大而减小. 7．抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2的_______相同，_______不同.抛物线y=3x2-4是由抛物线y=3x2向___平移____单位而得到；抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到.课堂小结:本节课学习了二次函数y=ax2＋k和y=a(x-h)2的图象和性质作业:课本 P.36第1,2题板书设计:5.4二次函数的图像和性质(2)导入新课：合作探究一: 二次函数y=ax2＋k的图象归纳: 二次函数y=ax2＋k的性质合作探究二: 二次函数y=a(x-h)2的图象归纳: 二次函数y=a(x-h)2的性质。
二次函数图象与性质(第2课时) 教学设计
第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第2课时）》教学设计说明一、学生知识状况分析学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法作出函数图象的方法.在本章第一节课中学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.第二节课又学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =x 2和y=-x 2的一般性质.二、教学任务分析本节将讨论形如)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的二次函数图象和性质.它和学生前一节课学习的2x y =、2x y -=的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够利用描点法作出函数)0(2≠=a ax y 的图象，能根据图象认识和理解二次函数)0(2≠=a ax y 的性质．能正确说出)0(2≠=a ax y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.2．能够作出函数)0(2≠+=a c ax y 的图象，能根据图象认识和理解二次函数)0(2≠+=a c ax y 的性质．能正确说出)0(2≠+=a c ax y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.过程与方法1．经历探索二次函数)0(2≠=a ax y 的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．经历探索二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象的作法和性质的过程.情感与态度1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点：作出函数)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的图象，并根据图象认识和理解二次函数)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的性质.教学难点：)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的图象的关系，)0(2≠+=a c ax y 的图象性质.三、教学过程分析(一) 复习引入提出问题，让学生讨论交流：二次函数2x y =图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、y 随x 的变化情况分别是什么？二次函数22x y =的图象是什么形状？它与我们已经作过的二次函数2x y =的图象有什么关系？（二） 合作探究（1）先作二次函数22x y =的图象，再回答问题.1. 在同一坐标系下用描点法画二次函数2x y =、22x y =与221x y =的图象 函数2x y =、22x y =与221x y =的图象有什么关系?与同桌交流 2. 他们的对称轴、开口方向、顶点坐标相同吗？3. 当x<0时,随着x 的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？4. 当x 取什么值时,y 的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？总结二次函数)0(2≠=a ax y 的性质：（三）课堂练习（1）1.函数图象开口方向______,对称轴________，顶点坐标_____;函数图象开口方向______,对__________，顶点坐标_______.2.二次函数y=ax 2 (a≠0)的图象经过点A （1，2），则函数y=ax 2的表达式为________；若点C(-2,m), D （n ,4）也在函数的图象上，则点C 的坐标为______,点D 的坐标为_________.3. 已知点（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）在抛物线y=4x 的 图像上，则y 1, y 2, y 3的大小关系___________;已知点（-1,y 1），（-2，y 2），（-3，y 3）在抛物线y=-3x 2 的 图像上，则 y 1, y 2, y 3 的大小关系__________.（四）合作探究（2）1.在同一坐标系中作出二次函数2x y =与12+=x y 的图象.2.二次函数2x y =,12+=x y 的图象的形状相同吗？3. 函数12+=x y 的图象与2x y =的图象的位置有什么关系?4. 在同一坐标系中作出二次函数2x y =与22-=x y 的图象.5. 2x y =图像经过怎样的平移得到22-=x y 的图像？ 总结出二次函数)0(2≠+=a c ax y 与)0(2≠=a ax y 的关系232x y =273x y -=一般地,由)0(2≠=a ax y 的图象便可得到二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象: )0(2≠+=a c ax y 的图象可以看成)0(2≠=a ax y 的图象先沿y 轴整体上(下)平移|c |个单位(当从c >0时,向上平移;当c <0时,向下平移c)得到的.因此,二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a 、c 的值有关.总结二次函数)0(2≠+=a c ax y k 的性质(五) 课堂练习1. 函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向 平移 个单位得到；y=4x 2-11的图象 可由 y=4x 2的图象向 平移 个单位得到.2. 将函数y=-3x 2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x 2的图象；将y=2x 2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x 2的图象.将y=x 2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x 2+2的图象.3. 将抛物线y=4x 2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 .将抛物线y=-5x 2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 .4. 抛物线y=-3x 2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 .5. 抛物线y=7x 2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 .6. 二次函数y=ax 2+c (a≠0)的图象经过点A （1，-1），B （2，5），则函数y=ax 2+c 的表达式为 ；若点C(-2,m),D （n ,15）也在函数的图象上，则点C 的坐标为 点D 的坐标为______________.（六）课堂小结填表：二次函数)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的性质（七）布置作业习题2.3 3题、 4题四、教学反思1．要发掘教材，参照课本内容选择适合自己所教学生使用的材料；2．加强教学的计划性,保证每堂课的教学效果,提高教学质量；3，在函数教学中采用计算机辅助教学，教学效果更好.。
二次函数的图象第二课时教案
二次函数的图象第二课时教案教学目标：1. 理解二次函数的图象特征，掌握抛物线的开口方向和位置。
2. 学会利用二次函数的图象解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 二次函数的图象特征2. 抛物线的开口方向和位置3. 利用二次函数的图象解决实际问题教学重点：1. 二次函数的图象特征2. 抛物线的开口方向和位置教学难点：1. 利用二次函数的图象解决实际问题教学准备：1. 教学课件或黑板2. 练习题教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习一次函数和指数函数的图象，引导学生思考二次函数图象的特点。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0）。
2. 讲解二次函数的图象特征：抛物线形状，开口方向和位置。
3. 举例说明二次函数的图象特征，让学生观察并理解。
三、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生绘制二次函数的图象，并分析其特点。
2. 引导学生思考实际问题中的应用，如抛物线形物的运动等。
四、课堂小结（5分钟）2. 强调二次函数在实际问题中的应用。
五、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，巩固二次函数的图象知识。
2. 鼓励学生思考生活中遇到的二次函数问题，提高解决实际问题的能力。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了二次函数的图象特征和开口方向位置的关系。
在课堂练习中，学生能够独立绘制二次函数的图象，并分析实际问题中的应用。
但在解决复杂实际问题时，部分学生仍存在困难，需要在今后的教学中加强训练。
六、案例分析：抛物线在实际生活中的应用1. 教学目标：理解抛物线在实际生活中的应用。
学会将实际问题转化为二次函数问题。
培养学生的实际问题解决能力。
2. 教学内容：抛物线在物理学中的应用，如抛物线运动、声波传播等。
抛物线在工程学中的应用，如设计抛物线形状的建筑物、桥梁等。
3. 教学重点：抛物线在实际生活中的应用。
将实际问题转化为二次函数问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
22.1 二次函数（第二课时）
教学目标：
1.会用描点法画出形如y = ax 2 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念；
2．通过观察图象，能说出二次函数y = ax 2 的图象特征和性质；
3．在类比探究二次函数y = ax 2 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想
教学重点：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，观察图象，得出二次函数y = ax 2 的图
象特征和性质。
教学难点：抛物线的图像特征。
教学过程：
一、问题引新
1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么?
2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?
3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?
二、学习新知
1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。
（有学生自己完成）
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：
找一名学生板演画图
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，）
2、归纳：
抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的
顶点．顶点坐标（0，0）
3、运用新知
（1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?
（2）．课件出示：在同一直角坐标系中，y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较
（3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示）
让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；
当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。
当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______
三、课堂练习：1．（1）函数23
2x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；
（2）函数24
1x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 2. 抛物线 y=--x 2/16,其对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 。
3.若抛物线y= 6x 2上点P 的坐标为（2，-24），则抛物线上点P 的对称点P ’的坐标是（ ）。
4. 若抛物线 y=(n-1) x n2-n , 的开口向下，求n 的值?
5. 已知二次函数y=ax 2 的图形经过点(-2，-3)。
(1)求a 的值，并写出函数解析式；
(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置；
四、小结：
(1) 本节课学了哪些主要内容？
(2)函数y=ax 2的图象有哪些特征？
五、作业：
教科书习题 22.1 第 3，4 题．
六：课后练习：
A 组
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
（1）24x y -= （2）24
1x y = 2．填空：
（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ．
（2）当m= 时，抛物线m m
x m y --=2)1(开口向下． （3）已知函数1222)(--+=k k x
k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y 随x 的增大而增大．
3．已知抛物线102-+=k k kx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．
4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．
B 组
5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．
6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．
（1）求a 、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．
1．一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）．
（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；
（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积．。