第10章-单因素方差分析PPT课件

ij 是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。
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xiji ij ij11,,22,, an
上式就称为单因素试验的线性统计模型（linear statistical model）亦称数学模型。
方差分析的目的就是要检验处理效应的大小和有无。
（二） 方差分析的基本思路
将总的变差分解为构成总变差的各个部分。即
因素固定、效应也固定
a
反应到线性模型中即 a i为常数．可要求 i 0 i 1
1. 假设
固定模型的零假设为： H 0:12 a 0
备择假设为： HA:i 0
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2. 平方和与自由度的剖分
xij x (xi x)(xij xi) x、 (xi x)、 (xij xi)分别是
、 (i )i、 (xij i)ij的估计值。
将a个处理的观测值作为一个整体看待， 把观察值总变异的 平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由
度，进而获得不同变异来源的总体方差估计值；通过这些估
计值的适当比值，就能检验各样本所属总体均值是否相等。
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
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二 固定模型fixed model:
次重复，共有na 个观测值。这类试验资料的数 据模式如表7-1所示。
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X1
1
χ11
2
χ12
3
χ13
…
…
j
χ1j
n
χ1n
合计
x1
平均数 x1
总体均数 1
处理效应 a 1
表7-1 单因素方差分析的典型数据模式
X2
X3
χ21 χ31
χ22 χ32
χ23 χ33
……
… Xi … Xa 合计
χi1
χa1
第i水平均值
an
x
ห้องสมุดไป่ตู้
xij
i1 j1
x
1 an
x
全部观察值的和 总平均值
Si2 n11ia1(xijxi)2 第i水平上的子样方差
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黑数各 点是处 符计理 号算总 体的和 系一、 法级平 表数均 示据数 ，，、 要在大 注本总 意章和 熟我、 悉们总 和采平 掌用均 握了 。
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可x ij以分解为
第10章 单因素方差分析
One-factor analysis of variance
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用6种培养液培养红苜蓿，每一种培养液做5次重复，测 定5盆苜蓿的含氮量，结果如下表（单位:mg）．问用6 种不同培养液培养的红苜蓿含氮量差异是否显著？
培养方法 盆号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ
1 19.4 17.7 17.0 20.7 14.3 17.3
χi2
χa2
χi3
χa3
…
…
χ2j χ3j
χij
χaj
χ2n χ3n
χin
χan
x 2
x 3
x i
x a x
x 2
x 3
2
3
x i
x a x
i
a
a2
a3
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ai
aa
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符号
文字表述
a
因素水平数
n
x ij n
xi
xij
j 1
xi
1 n
xi
每一水平的重复数 第i水平的第j次观察值 第i水平所有观察值的和
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固定因素：可准确控制且其水平固定后效应也固定，比如： 温度、化学药物浓度等．
随机因素：因素水平不能严格控制或者说即使其水平可控 制但其效应也不固定．比如：动物的窝别、农家肥的效果等．
试验因素常用大写字母A、B、C、…等表示。
（三）因素水平(level of factor)
试验因素所处的某些特定状态或数量等级称为因素水平， 简称水平。比如：不同的温度；溶液不同浓度等．
（四）重复 (repeat)
在试验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位
上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重
复数。
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第一节 单因素方差分析的基本原理
一、线性模型 二、固定线性模型 三、随机线性模型 四、多重比较 五、基本假定
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一、线性模型
（一）线性模型 假设某单因素试验有a个处理，每个处理有n
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方差分析中常用基本概念
（一）试验指标(experimental index)
为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体 测定的性状或观测的项目。
（二）试验因素 (experimental factor)
试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。 当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影响时， 则称为两因素或多因素试验。 按是否可控制因素可分为：固定因素和随机因素．
故an个观察值的总变异可分解为处理间的变异和处理 内的变异两部分。
全部观察值的总变异可以用总均方来度量，处理间变 异和处理内变异分别用处理间均方和处理内均方来 度量。
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总均方的拆分是通过将总均方的分子──称为总离均差平
方和，简称为总平方和(total sum of squares，SST) ，剖分成
是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的。
方差分析是一种特殊的假设检验，是用来判断多组数据 之间平均数差异显著性的．
它不同于t检验之处在于：它把所有数据放在一起， 一次比较就对所有各组间是否有差异做出判断，如果没 有显著性差异，则认为各组平均数相同；如果发现有差 异，再进一步比较是哪组数据与其它数据不同．
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• 在多组数据的平均数之间做比较时，可以 在平均数的所有对之间做t检验，但这样做 会提高犯I型错误的概率，因而是不可取的。 方差分析可以防止该问题的出现。
• 如对5个平均数进行检验，若做t检验，则 需做10次，假设每一次检验接受零假设的 概率为0.95，那么10次都接受零假设的概 率为（0.95）10=0.60，（至少有1次）拒绝 零假设的概率为0.40，犯I型错误的概率明 显平加
xij i ij
表示第i个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的
影响 i 大小，将 再进行分解， i
令
1 a
a
i
i 1
a i i
其
中μ表
则 x 示全试验
观ij 测值的 a总i 体
平 ij均数
(overall
mean)，
是生的第影i个响处。理a i的效应(treatment effect),表示处理i对试验结果产
2 32.6 24.8 19.4 21.0 14.4 19.4
3 27.0 27.9 9.1 20.5 11.8 19.1
4 32.1 25.2 11.9 18.8 11.6 16.9
5 33.0 24.3 15.8 18.6 14.2 20.8
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方差分析(analysis of variance－ANOVA)