第10章-单因素方差分析PPT课件
概率论与数理统计_单因素试验方差分析ppt课件
r i1
Ti2 ni
T2 n
r
SSE
i1
ni
T 2 X ij n j1
r2 i
i1 i
ni
其中 T i X ij , j1 同一程度 下观测值 之和
r
T Ti i1
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重〔单位：500g〕于下表，试作方差分析。
1 1 4 9 7 1 1 4 0 6 .8 3
S S T S S A S S E 1 1 4 9 7 1 0 4 7 2 . 1 1 1 0 2 4 . 8 9
MSA934.732467.36 MSE 90.17615.03
* * FMSA467.3631.10 MSE 15.03
F 0 .0 1 2 ,6 1 0 .9 2F 0 .0 5 2 ,6 5 .1 4
列方差分析表
方差来源 平方和 自在度 均方和 F 值
F 值临介值
组间
934.73 2
467.36
F0.052,65.14
31.10**
F0.012,610.92
组内 90.17 6
15.03
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
1、输入原始数据列，并存到A，B，C列；
n
i
2 i
0
i1
所以，
ErSSA1
EnSSEr
即H0不成立时，S S A r 1 有大于1的趋势。 SSE n r
所以H0为真时的小概率事件应取在F值较大的一侧。
实验目的——实验结果。
可控要素——在影响实验结果的众多要素中，可人为 控制的要素。
单因素方差分析课件
将原始数据减去1000，列表给出计算过程 表8.1.2 例2的计算表
水平
数据（原始数据-1000）
m
Ti
2
Ti
yi2j
j 1
A1 73 9 60 1 2 12 9 28 194 37636 10024
A2 107 92 -10 109 90 74 122 1 585 342225 60355
A3 93 29 80 21 22 32 29 48 354 125316 20984 1133 505177 91363
单因素试验的方差分析的数学模型
首先，我们作如下假设：
1. Xi ~ N i , 2 , i 1, 2,...a 具有方差齐性。
2. X1, X 2 ,...X a 相互独立，从而各子样也相互独立。
由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差， 所以设：
Xij i ij , j 1, 2,..., r, i 1, 2,..., a. 线性统计模型
j 1
xi
41 33 38 37 31 39 37 35 39 34 40 35 35 38 34
120 105 108 114 99
40 35 36 38 33
53
xij 546
i1 j 1
53
xij 15 36.4
i1 j 1
纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造 成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的 不同水平造成。
集装箱类 型
最大抗压强度
平均抗压强 度
1
655.5 788.3 734.3 721.6 679.4 699.4 713.08
2
789.2 772.5 786.9 686.1 732.1 774.8 756.93
第10章单因素方差分析
第10章单因素方差分析单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options)10.1 单因素方差分析的计量资料[例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT异常人和正常人进行载脂蛋白(mg／dL)测定，结果示于表10—1。
试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50)本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。
已建立SAS数据集文件并保存Sasuser.onewav4。
(1)进入SAS／Win(v8)系统，单击Solutions－Analysis－Analyst，得到分析家窗口。
(2)单击File-open By SAS Name—Sasuser-0neway4—0K，调入数据文件。
(3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A，得到图10—1所示对话框。
本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A—Dependent。
自变量(1ndependent)：B(3种人的组别)，单击B—Independent 。
图10.1 0ne—way ANOV A：0neway4(单因素方差分析)对话框(4)单击Tests按钮，得到图10—2所示对话框。
在此对话框的ANOV A(F—检验)选项中可进行如下设置。
Analysis of variance，方差分析。
Welch’s variance-weighted ANOV A，威尔奇方差—权重方差分析。
Tests for equal variance，相等方差检验，即方差齐性检验。
Barlett’s test，巴特尼特检验。
单因素方差分析(详细版) ppt课件
本例数据箱线图无圆点或星号，因此无异常值。
假如数据中存在异常值和极端异常值，其箱线图 如右：
箱线图是一种比较简单和流行的异常值检验方法， 当然同样存在一些更为复杂的方法，这里不过多 介绍。
ppt课件
11
如何处理数据中存在的异常值
导致数据中存在异常值的原因有3种： (1) 数据录入错误：首先应该考虑异常值是否由于数据录入错误所致。如果是，用正确值进行替换并重新进行检验； (2) 测量误差：如果不是由于数据录入错误，接下来考虑是否因为测量误差导致（如仪器故障或超过量程）； (3) 真实的异常值：如果以上两种原因都不是，那最有可能是一种真实的异常数据。这种异常值不好处理，但也没有理由将其当作无效值看 待。目前它的处理方法比较有争议，尚没有一种特别推荐的方法。 需要注意的是，如果存在多个异常值，应先把最极端的异常值去掉后，重新检查异常值情况。这是因为有时最极端异常值去掉后，其他异 常值可能会回归正常。
(6) 点击ppOt课K件，输出结果。
9
根据如下输出的箱线图，判断每个组别内是否存在异常值。
ppt课件
10
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值，以圆点表示；
单因素方差分析 PPT课件
解：
ssA
5 i1
1 m
10 l1
2 xil
1 510
5 i1
10 l1
2 xil
22.865
fA 51 4
ssE
5 i1
10 l1
x
2 il
1 510
5 i1
10 xil 2 l1
53.055
fE 510 5 45
s 2A
ssA fA
22.865 4
5.71
1 m
m L1
xiL
2
fE km k
m
有km个数据，但存在 k个约束条件，即有 k个 xiL xi 0 L1
3.总离差平方和ssT、自由度fT
• 它反映了全部数据的波动程度。
k m
2
ssT
xiL x
i1 L1
k m
2 km
2
xiL xi
xi x
i1 L1
试验次数
1
2
34
水平
A1
38
36
35 31
A2
20
24
26 30
A3
21
22
31 34
样本 X1 X2
试验数据 X11，X12，..X1L…X1m X21,X22,…X2L,…X2m
.
Xi
Xi1,Xi2,…XiL…Xim
.
.Xk
Xk1,Xk2,…XkL,…Xkm
样本平均值
x1
x2
xi
xk
m
xiL
L1
因素A第i个水平平均值为
xi
1 m
m
xiL
L1
1.因素A离差平方和 ssA、自由度fA
《方差分析单因素》PPT课件
-0.541 -5.13
刘海燕
0.0001
Pr>F
0.0001
Std Error of Estimate 0.0759 0.1033 0.1054
^
Y 4.53 0.72Z1 0.54Z2
1 线性回归与方差分析的联系 2 是否还有其他因素产生相应影响，比如Gender？
刘海燕
Party Identification
（一）从t检验到方差分析 t检验与方差分析的比 较
t检验：比较两个子总体的样本平均值
方差分析（analysis of variances ANOVA ）：比较多个子总体的样本平均值
刘海燕
例：贫困程度对青少年犯罪的影响
贫困程度分为严重、中度、轻度 T检验：3个t值
t1: 严重和中度 t2: 严重和轻度 t3: 中度和轻度
Party
1
2
Sum of Squares
85.382
Mean Square
42.691
F Value 25.55
1570.837 1.671
1656.218
Estimate 4.534
T for H0: Pr>|T| Paramete r=0
59.73 0.0001
-0.717 -6.94
0.0001
Error
939
1569.525 1.671
Total
942
1656.218
Source DF
Party
2
Type III SS Mean Square
84.256 42.1258
平均值之间的差异程度，其统计量T值的计算公式为： 2）如果要评断两组样本平均数之间的差异程度，
方差分析单因素模板PPT课件
行业
第6页/共64页
1、从散点图上可以看出 ＊不同行业被投诉的次数是有明显差异的 ＊即使是在同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同 ＊家电制造被投诉的次数较高，航空公司被 投诉的次数较低 2、行业与被投诉次数之间有一定的关系 ＊如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么 它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图 上所呈现的模式也就应该很接近
第7页/共64页
方差分析的思想
1、仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明 不
同行业被投诉的次数之间有显著差异 ＊这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的 2、需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著， 也就是进行方差分析 ＊所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 ＊这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分
j1 i1
s nj
( X ij X j）（X j X ) 2
j1 i1
s nj
( X ij X j）2（X j X ) 2 2( X ij X j（）X j X )
j1 i1
s nj
s nj
( X ij X j）2
（X j X ) 2
j1 i1
j1 i1
第13页/共64页
【例】为了比较四种肥料对小麦亩产量的影响，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉 条件差不多的土地分成16块，肥料品种A1、A2、 A3、A4，每种肥料施在四块土 地上，得亩产：
水平： 品种
因素：肥料
指标：亩产
肥料品种
A1 A2 A3 A4
四种肥料的亩产量
亩产量（观察值） 981 964 917 669 607 693 506 358 791 642 810 705 901 703 792 883
第10章单因素方差分析
第10章单因素方差分析单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options)10.1 单因素方差分析的计量资料[例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT异常人和正常人进行载脂蛋白(mg／dL)测定，结果示于表10—1。
试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50)本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。
已建立SAS数据集文件并保存Sasuser.onewav4。
(1)进入SAS／Win(v8)系统，单击Solutions－Analysis－Analyst，得到分析家窗口。
(2)单击File-open By SAS Name—Sasuser-0neway4—0K，调入数据文件。
(3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A，得到图10—1所示对话框。
本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A—Dependent。
自变量(1ndependent)：B(3种人的组别)，单击B—Independent 。
图10.1 0ne—way ANOV A：0neway4(单因素方差分析)对话框(4)单击Tests按钮，得到图10—2所示对话框。
在此对话框的ANOV A(F—检验)选项中可进行如下设置。
Analysis of variance，方差分析。
Welch’s variance-weighted ANOV A，威尔奇方差—权重方差分析。
Tests for equal variance，相等方差检验，即方差齐性检验。
Barlett’s test，巴特尼特检验。
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（四）重复 (repeat)
在试验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位
上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重
复数。
.
6
第一节 单因素方差分析的基本原理
一、线性模型 二、固定线性模型 三、随机线性模型 四、多重比较 五、基本假定
.
7
一、线性模型
（一）线性模型 假设某单因素试验有a个处理，每个处理有n
第10章 单因素方差分析
One-factor analysis of variance
.
1
用6种培养液培养红苜蓿，每一种培养液做5次重复，测 定5盆苜蓿的含氮量，结果如下表（单位:mg）．问用6 种不同培养液培养的红苜蓿含氮量差异是否显著？
培养方法 盆号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ
1 19.4 17.7 17.0 20.7 14.3 17.3
χi2
χa2
χi3
χa3
…
…
χ2j χ3j
χij
χaj
χ2n χ3n
χin
χan
x 2
x 3
x i
x a x
x 2
x 3
2
3
x i
x a x
i
a
a2
a3
.
ai
aa
9
符号
文字表述
a
因素水平数
n
x ij n
xi
xij
j 1
xi
1 n
xi
每一水平的重复数 第i水平的第j次观察值 第i水平所有观察值的和
ij 是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。
.
11
xiji ij ij11,,22,, an
上式就称为单因素试验的线性统计模型（linear statistical model）亦称数学模型。
方差分析的目的就是要检验处理效应的大小和有无。
（二） 方差分析的基本思路
将总的变差分解为构成总变差的各个部分。即
将a个处理的观测值作为一个整体看待， 把观察值总变异的 平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由
度，进而获得不同变异来源的总体方差估计值；通过这些估
计值的适当比值，就能检验各样本所属总体均值是否相等。
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
.
12
二 固定模型fixed model:
是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的。
方差分析是一种特殊的假设检验，是用来判断多组数据 之间平均数差异显著性的．
它不同于t检验之处在于：它把所有数据放在一起， 一次比较就对所有各组间是否有差异做出判断，如果没 有显著性差异，则认为各组平均数相同；如果发现有差 异，再进一步比较是哪组数据与其它数据不同．
.
3
• 在多组数据的平均数之间做比较时，可以 在平均数的所有对之间做t检验，但这样做 会提高犯I型错误的概率，因而是不可取的。 方差分析可以防止该问题的出现。
• 如对5个平均数进行检验，若做t检验，则 需做10次，假设每一次检验接受零假设的 概率为0.95，那么10次都接受零假设的概 率为（0.95）10=0.60，（至少有1次）拒绝 零假设的概率为0.40，其水平固定后效应也固定，比如： 温度、化学药物浓度等．
随机因素：因素水平不能严格控制或者说即使其水平可控 制但其效应也不固定．比如：动物的窝别、农家肥的效果等．
试验因素常用大写字母A、B、C、…等表示。
（三）因素水平(level of factor)
试验因素所处的某些特定状态或数量等级称为因素水平， 简称水平。比如：不同的温度；溶液不同浓度等．
故an个观察值的总变异可分解为处理间的变异和处理 内的变异两部分。
全部观察值的总变异可以用总均方来度量，处理间变 异和处理内变异分别用处理间均方和处理内均方来 度量。
.
14
总均方的拆分是通过将总均方的分子──称为总离均差平
方和，简称为总平方和(total sum of squares，SST) ，剖分成
xij i ij
表示第i个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的
影响 i 大小，将 再进行分解， i
令
1 a
a
i
i 1
a i i
其
中μ表
则 x 示全试验
观ij 测值的 a总i 体
平 ij均数
(overall
mean)，
是生的第影i个响处。理a i的效应(treatment effect),表示处理i对试验结果产
次重复，共有na 个观测值。这类试验资料的数 据模式如表7-1所示。
.
8
X1
1
χ11
2
χ12
3
χ13
…
…
j
χ1j
n
χ1n
合计
x1
平均数 x1
总体均数 1
处理效应 a 1
表7-1 单因素方差分析的典型数据模式
X2
X3
χ21 χ31
χ22 χ32
χ23 χ33
……
… Xi … Xa 合计
χi1
χa1
第i水平均值
an
x
xij
i1 j1
x
1 an
x
全部观察值的和 总平均值
Si2 n11ia1(xijxi)2 第i水平上的子样方差
.
黑数各 点是处 符计理 号算总 体的和 系一、 法级平 表数均 示据数 ，，、 要在大 注本总 意章和 熟我、 悉们总 和采平 掌用均 握了 。
10
可x ij以分解为
.
4
方差分析中常用基本概念
（一）试验指标(experimental index)
为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体 测定的性状或观测的项目。
（二）试验因素 (experimental factor)
试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。 当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影响时， 则称为两因素或多因素试验。 按是否可控制因素可分为：固定因素和随机因素．
2 32.6 24.8 19.4 21.0 14.4 19.4
3 27.0 27.9 9.1 20.5 11.8 19.1
4 32.1 25.2 11.9 18.8 11.6 16.9
5 33.0 24.3 15.8 18.6 14.2 20.8
.
2
方差分析(analysis of variance－ANOVA)
因素固定、效应也固定
a
反应到线性模型中即 a i为常数．可要求 i 0 i 1
1. 假设
固定模型的零假设为： H 0:12 a 0
备择假设为： HA:i 0
.
13
2. 平方和与自由度的剖分
xij x (xi x)(xij xi) x、 (xi x)、 (xij xi)分别是
、 (i )i、 (xij i)ij的估计值。