关系与序关系(精)

[习题] 集合上的”is an element”以及”is a
subset”具有什么性质？
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2.3 关系的性质
[例] 正整数集合上的若干关系及其性质 整除 = ≤ ＜
自反性 对称性 传递性 反自反性 反对称性
判定关系“＜”的反对称性的前提条件总为F, 反 对称性成立。
[值域] 由<x,y>S的所有对象 y 组成的集合称为S的值 域，记为Ran(S) (Range(S))。记 F(S) = D(S) R(S) ，称为 S 的域。
描述：Dom(S) = {x| (y)(<x,y>S)}
Ran(S) = {y| (x)(<x,y>S)}
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2.1 关系的概念
第二章
• • • • • • 关系的概念 关系的表示 关系的性质 等价关系 关系的运算 偏序关系
关系与序关系
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2.1 关系的概念
[例]设A={Alice,Bob,Tom}, B={Algebra,Graphs, Sets} Alice选修了Graphs, Bob选修了Algebra, Graph和Sets; Tom选修了Algebra,Graphs; R={<Alice,Graphs>,<Bob,Algebra>,<Bob,Graphs >,<Bob,Sets>,<Tom,Algrbra>,<Tom,Graphs> } AB, 表示了学生集合A与课程集合B之间的 选修关系。
存在着既非自反也非反自反的关系，如：
0 1 0 1
存在着既对称又反对称的关系，如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
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2.3 关系的性质
存在着既非对称又非反对称的关系，如：
1 1 1 1 0 0 0 0 1
a b c
1 0 1 0 1 0 0 1 1 x y z
非0行对应元素构成 D(S) 非0列对应元素构成 R(S)
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2.2 关系的表示方法
(3) 关系图表示法
用结点表示X、Y上的元素；若 <x,y>R 则从结点
x到结点y画一条弧。 [例] 上述Teaching关系的关系图：
[例]
F={<x,y>| x是y的父亲}
S={<x,y>| x,y为正整数且x可整除y} T={<y2,y>| y为实数} 对上述的：x，y，R，有<x,y>R 或 <x,y>R，二 者必居其一。
62.1 关ຫໍສະໝຸດ 的概念[定义域] 设二元关系S。由 <x,y>S的所有对象 x 组成
的集合称为S的定义域，记为Dom(S) 。
借用集合的各种描述方法对表示关系的序偶集合
进行描述 (2) 关系矩阵 设 X={x1,x2,…,xm}，Y={y1,y2,…,yn}，m,n <+ R是X到Y的二元关系。构造矩阵 MR=[mij]mn， mij = 1 <xi,yj>R 0 其它
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2.2 关系的表示方法
[例]
M Teaching
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2.4 集合的划分与覆盖
[定义] 给定集合S，A={A1,A2,…,An}，AiS，i=1..n。
n
① 若有
i 1
Ai S, 则说A是S的一个覆盖;
② 若①成立且AiAj = (若ij)，则说A是S的一个
划分，并称 A1,A2,…,An为此划分的块。
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2.3 关系的性质
从关系矩阵和关系图看关系的性质：


R是自反的：MR的对角元均为1；
关系图为自环图。 R是对称的：MR为对称矩阵； 关系图中弧成对出现。 R是反自反的：MR的对角元均为0；
关系图为无自环图。
R是反对称的：MR为反对称矩阵；
关系图中只出现单向弧。
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2.3 关系的性质
xRz) ④ R 是反自反的 (x)(xX¬ (xRx)) ⑤ R 是反对称的 (x)(y)(x,yXxRyyRx x = y)
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2.2 关系的性质
“”和 整除“|”的关系图和关系矩阵，并判
[习题] 设 X={1,2,3,4}，画出X 上的关系 “ > ”， 断其性质。
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2.1 关系的概念
[二元关系的一般性描述] 一对对象之间的关系称为二元关系。
[例] teachers={a,b,c}，students={x,y,z}
建立教学关系 T: aTx iff a TEACHING x 用序偶集合表示为： T = {<a,x>,<a,z>,<b,y>,<c,y>,<c,z>} T teachers students 图示为：
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2.1 关系的概念
[例] Subroutines={a,b,c,d,e}
子程序间调用关系
图示为：
Calling={<a,a>,<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>,<c,c>,
<c,e>, <d,d>}
Calling Subroutines Subroutines
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2.1 关系的概念
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2.2 关系的表示方法
[例] 设 X={1,2,3,4}，X 上的关系 “ > ”：
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2.3 关系的性质
[定义] 设R是X上的二元关系，则：
① R 是自反的 (x)(xXxRx)
② R 是对称的 (x)(y)(x,yXxRyyRx)
③ R 是传递的 (x)(y)(z)(x,y,zXxRyyRz
若干特殊关系：
① X 到Y 的全域关系： Ex,y = XY
特别地： Ex,x = XX ② 空关系： ③ 恒等关系：Ix = {<xi,xi>|xiX} [例] 设 X={1,2,3,4}，求 X 上的关系 “ > ”(大于)及 其定义域、值域。
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2.2 关系的表示方法
(1) 集合表示法
[二元关系的集合定义] 设X,Y是两个集合， X Y
的任何一个子集 R 都确定了一种二元关系，称
为从X到Y的二元关系。


<x,y>R可记为 xRy，显然 R X Y
<x,y>R可记为 xRy 当 X=Y 即 X 与 Y 同一时，称 R 为 X 上的一个 二元关系。
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2.1 关系的概念