西交大计算方法上机报告

计算方法（B）实验报告

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实验一 三对角方程组 Tx f 的求解

实验目的

掌握三对角方程组 Tx f 求解的方法。 实验内容

求三对角方程组 Tx f 的解，其中：

4 -1 3 -1

4

-1

2

T O O O ， f M -1 4 1

2 -1 4

3

三、

算法组织 设系数矩阵为三对角矩阵

b i C i

a 2

b 2

c 2 a 3 b 3 C 3

T

OOO

a n i

b n i C n i

b n

则方程组 Tx f 称为三对角方程组。

设矩阵T 非奇异，T 可分解为T=LU,其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩 阵，记

2. 将Tx f 压缩为四个一维数组 a 、b i 、C 、d i , a i > b 、G 是T 的三对角 线性方程组的三个对

角，

d i 是右端向量。将分解矩阵压缩为三个一维数组

l i

、

i

、 r

i

3. 对T 做Crout 分解(也可以用Doolittle 分解)导出追赶法的计算步骤如下:

i b i , r i c i

1

l 2

L

1

l 3 1 ,

O O ,

l n 1 1

L l n 1 可先依次求

出 L,U 中的元素后，令 Ux 再求解上三角方程组 Ux y 。

追赶法的算法组织如下：

1. 输入三对角矩阵 T 和右端向量 f ；

i

r i

i r

2

U

i r

3

O

O

n i

r n i

y ，先求解下三角方程组 Ly f 得出 y ，

n

for i 2: n

l i a

i , i 1

， i b a i r i 1，

r i C i ,y i d i li% 1

end

4. 回代求解x

x n y n / n

for i n 1: 1

X i (Y i GX i1)/ i

end

5•停止，输出结果。 四、 MATLAB 程序 MATLA 程序见附件1.

五、

结果及分析

实验结果为：

x (1.0000 1.0000 L 1.0000 1.0000)T

实验二Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解线性方程组

实验目的

掌握Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解线性方程组的方法。

实验内容

用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解电路电流方程组，使各部分电流误差

均小于103。

28i13i

2 10

% 38i210i3 0

10i2253 15i4 0

15i3 45i40

5i230i s 0

二、算法组织

形如Ax b的方程组，用Jacobi迭代求解x，算法组织如下:

1. 将系数矩阵A分解成对角元D、下三角部分元E和上三角部分兀F,于是

A D E F .

2. 由Ax b (D E F)x b Dx (E F)x b x D 1(E F)x D 1b。

3. 从而构成形如x(k 1)Gx(k)d迭代格式：

x(k 1) D 1(E F)x(k) D 1b

其中

G D 1(E F)

d D 1b

4. 选取初始向量x(0)进行迭代计算。

5. 当迭代后的解满足题中的约束条件max x(k 1) X(k)时迭代停止

1 i n

形如Ax b的方程组，用Gauss— Seidel迭代求解x，算法组织如下:

1•将系数矩阵A分解成对角元D、下三角部分元E和上三角部分元 F ,于是

A D E F .

2. 由

Ax b (D E F)x b (D E)x Fx b x (D E) 1Fx (D E)1b 3. 从而构成形如x(k1)Gx(k)d迭代格式：

x(k1)(D E)1Fx(k) (D E)1b

其中

G (D E) 1F

d (D E)1b

4.选取初始向量x(0)进行迭代计算。

5.当迭代后的解满足题中的约束条件max x(k1) x(k)时迭代停止

四、MATLAB程序

MATLA程序见附件2,其中1为Jacobi迭代，2为Gauss-Seidel迭代。

五、结果及分析

Jacobi迭代结果：

方程组的解为x (0.3607 0.0335 0.0163 0.0054 0.0055)T

迭代次数i 8

Gauss— Seidel 迭代结果：

方程组的解为x (0.3607 0.0335 0.0166 0.0055 0.0056)T

迭代次数i 4

由以上结果可知,达到相同的计算精度，Gauss— Seidel迭代比Jacobi迭代的速度快，Gauss— Seidel迭代比Jacobi迭代次数少。