人教版选修22反证法
人教A版选修2-22.2.2反证法课件23张ppt优质课件PPT
一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
小华的理由：
我们可以把这种说理方法总结一下：
1．反证法 假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________、____、____、____等矛盾．
A
B
C
P
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立. ∴PB≠PC
作业： 练习：学案中巩固提高 习题91页：A组
独立 作业
谢谢大家
0
（平行四边形对边平行）
证明：假设CD、BE互相平分
连结DE，故四边形BCED是平行四边形
∴BD∥CE
这与BD、CE交于点A矛盾
假设错误， ∴CD、BE不能互相平分
变式训练1 已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca不大于零． 证明：假设ab＋bc＋ca>0， 因为a2＋b2＋c2≥0. 则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0. 所以(a＋b＋c)2>0，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c＝0矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0.
显然这与故事中的李树长满果子相矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？
人教A版高中数学选修2-2.2反证法课件
人教A版高中数学选修2-2 .2反证法 课件
牛刀小试
用反证法证明(填空):在三角形的内角中,
至少有一个角大于或等于60 °
A
已知:∠A ,∠B ,∠C是△ABC的内角（如图）
求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角
大于或等于60 °
B
C
证明：假设所求的结论不成立，即
∠A_＜_ 60 ° ,∠ B__＜60 ° ,∠ C __＜60 °
牛顿说：“反证法是数学家最精当 的武器之一”。
英国数学家哈代也曾这样称赞它： “反证法是数学家最有力的一件武器， 比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的 让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外 乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把 全局拱手让给对方！”
探究1：掀起你的盖头来——认识反证法
反证法的定义：
在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立， 在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定 命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。
---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
人教A版高中数学选修2-2 .2反证法 课件
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3.如果a>b>0，那么 a > b
证明: 假设 a 不大于 b
则 a< b 或 a= b 因为 a>0,b>0 所以
否定要全面
(1)若a< b ab
与 已 知 ab0 矛 盾
（ 2） 若 a= b a=b， 与 已 知 ab0 矛 盾
所以假设错误，故原命题 a b 成立
高中数学人教版选修2-2教学课件：2.2.2反证法
(1)用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设②归谬③结论
(2)用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与 假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等． (3)适宜使用反证法的情况: 正难则反! (1)结论以否定形式出现；(2)结论以“至多----,” ,“至 少---” 形式出现；(3)唯一性、存在性问题;(4)结论的反 面比原结论更具体更容易研究的命题。
方法小结: 1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. ⑴综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!) 由因导果:(已知) A B1 Bn B (结论)
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
⑵分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!) 执果索因:(结论) B B1 Bn A (已知)
证：假设 2是有理数，
2
∴ m = 2n
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n
∴ m = 2n
2 2
2
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k
2
2
∴n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
选做作业: 1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点 O 在平面 内 引直线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC . 求证： PO . P
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语 否定 正面 词语 等于 大于（>） 小于 (<) 是 都是
不等于 至多有 一个 至少有 两个
小于或 大于或 等于（≤） 等于（≥） 不是
至少有 一个 一个也 没有 任意的 所有的
最新人教版高中数学选修2.2.2-反证法ppt课件
• 事例一：诸葛亮的“空城计”与反证法：三国时期，蜀国 丞相诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只 留下少数老弱病残军士守城，不料魏国大都督司马懿率大 队人马杀来，靠几个老弱军士出城应战，无异于以卵击石， 怎么办？诸葛亮冷静思考之后，决定打开城门，让老弱军 士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐 弹琴，态度从容，琴声幽雅，司马懿见此情景，心中疑虑： “诸葛亮一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，今天如此 这般，城内必有伏兵，绝不能中计。”于是急令退兵。这
证明： 假设 的三个内角∠A, ∠ B, ∠ C都小于60°， ABC < °，∠B 所以∠ A 60 60°， 60° < < ∠C
∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾. ∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立. 先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证 的定理、定义或已知条件相矛盾， 说明假设不成立，从而得到原结论正确。
第二章 推理与证明 2.2.2 反证法
教材分析
• 直接证明与间接证明是数学证明的两类基本方法，直接证明的两种 方法：综合法与分析法；间接证明的一种基本方法：反证法. • 反证法，可以说是一个难点.因为以前我们的证明所采用的方法均为 直接证明法，由已知到结论，顺理成章.而对于间接证明的反证法， 许多同学难以走出直接证明的局限，从而不能深刻或正确地理解反 证法思想.其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证明不 可替代的作用.
教学目标
• 使学生初步掌握反证法的概念及反证法证明的基本方法； • 培养学生用反证法简单推理的技能，发展学生的思维能力. • 引导学生掌握反证法证题的基本方法，训练学生的思维能 力. 重点难点
高中数学 222 反证法课件 新人教版选修22
规律技巧 1反证法是利用原命题的否定不成立则原命题 一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列 出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完 全的.
2否定性的问题常用反证法，结论中以“至多”，“至 少”形式出现，也常用反证法.
第二十六页，共33页。
随堂训练
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条
第十四页，共33页。
【证明】 证法1：假设a＋b>2，则 a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)． ∵a3＋b3＝2，∴a2－ab＋b2<1. ∴1＋ab>a2＋b2≥2ab. ∴ab<1. ∴a2＋b2<1＋ab<2. ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4. ∴a＋b<2这与假设相矛盾，故a＋b≤2.
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
第二十三页，共33页。
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
件使用( )
①结论相反的判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、
定理、定义等 ④原结论
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
答案 C
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人教版高中数学选修2-22.2.2反证法学案
2．2.2反证法1．认识反法是接明的一种基本方法．2．理解反法的思虑程，会用反法明数学．基梳理1．定：一般地，由明 p? q 向明：綈 q? r ? ⋯ ? t， t 与假矛盾，或与某个真命矛盾．进而判断┐q 假，推出 q 真的方法，叫做反法．2．反法常的矛盾型：反法的关是在正确的推理下得出矛盾．个矛盾能够是与假矛盾或与数学公义、定理、公式、定或与公的事矛盾等．想想： (1) 反法的是什么？(2)反法属于直接明是接明？其明程属合情推理是演推理？(1)分析：反法的就能否认，推出矛盾，进而明原是正确的．(2)分析：反法是接明中的一种方法，其明程是特别密的演推理．自自1．用反法明命“三角形的内角中起码有一个大于60°” ，反正确的选项是(A)A ．假三内角都不大于60°B．假三内角都大于60°C．假三内角至多有一个大于60°D．假三内角至多有两个大于60°分析：“起码有一个”的否认是“一个都没有”，反“三个内角都不大于60°”．2．有以下：①已知 p3＋ q3＝ 2，求 p＋ q≤2，用反法明，可假p＋ q≥2；②已知a， b∈R，2|a|＋ |b|<1，求方程x ＋ ax＋ b＝ 0 的两根的都小于1，用反法明可假方程有一根x1的大于或等于1，即假|x1|≥ 1.以下法中正确的选项是(D)A ．①与②的假都B．①与②的假都正确C．①的假定正确；②的假定错误D．①的假定错误；②的假定正确分析：用反证法证明问题时，其假定是原命题的否认，故①的假定应为“的假定为“两根的绝对值不都小于1”，故①假定错误．②假定正确．3.“实数 a， b， c 不全大于0”等价于 (D)A ． a， b， c 均不大于0B．a， b， c 中起码有一个大于0C．a， b， c 中至多有一个大于0p＋ q>2”；②D． a， b， c 中起码有一个不大于0分析：“不全大于零”即“起码有一个不大于0”，它包含“全不大于0”．应选 D.基础巩固1． (2014 微·山一中高二期中)用反证法证明命题“假如 a>b>0，那么 a2>b2”时，假定的内容应是 (C)A ． a2＝ b2B． a2<b222222＝ b 2C．a ≤ b D． a <b，且 a2．否认“至多有两个解”的说法中，正确的选项是(D)A ．有一个解B．有两个解C．起码有两个解D．起码有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD 也是异面直线”的过程概括为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，因此AB、 CD共面，这与AB、 CD是异面直线矛盾；②因此假定错误，即直线AC、 BD也是异面直线；③假定直线AC、 BD是共面直线．则正确的序号次序为(B)A ．①②③B ．③①②C．①③② D ．②③①分析：联合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若 |a－ 1|＋ |b－ 1|＝ 0，则 a＝ b＝ 1”用反证法证明时应假定为________．分析：“a＝ b＝ 1”的反面是“a≠1或 b≠1”，因此设为a≠1或 b≠1.答案： a≠1或 b≠1能力提升5．以下命题不适适用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条订交直线垂直的两条直线必订交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线相互均分D．已知 x， y∈ R，且 x＋ y＞ 2，求证： x，y 中起码有一个大于 1.分析：选项 A 中命题条件较少，不足以正面证明；选项 B 中命题能否认性命题，能够反证法证明；选项 D 中命题是起码性命题，能够反证法证明．选项 C 不适适用反证法证明．故选 C.6．设 a、b、c∈R＋，P＝ a＋ b－ c，Q＝ b＋ c－a， R＝ c＋ a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的 (C)A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析：第一若 P、Q、R 同时大于零，则必有PQR>0 建立．其次，若 PQR>0，且 P、Q、R 不都大于 0，则必有两个为负，不如设P<0，Q<0，即 a＋b－ c<0，b＋ c－ a<0，∴ b<0 与b∈ R＋矛盾，故 P、Q、R 都大于 0.应选 C.7．已知数列 { a n} ，{ b n} 的通项公式分别为a n＝ an＋ 2，b n＝ bn＋ 1(a，b 是常数，且 a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应同样的项有________个．分析：假定存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n＝b n，由题意 a>b， n∈N *，则恒有 an＞ bn，进而 an＋ 2＞bn＋ 1 恒建立，因此不存在n 使 a n＝ b n.答案： 08．有以下表达：①“ a>b”的反面是“a<b”；② “x＝ y”的反面是“ x>y 或 x<y”；③ “三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内” ；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角” ．此中正确的表达有__________( 填序号 ) ．分析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y 或 x<y”，因此②正确；“a>b”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角” 的反面是“三角形起码有两个钝角”．因此这三个都错．答案：②9．假如非零实数 a ， b ，c 两两不相等，且2＝1＋1不建立．2b ＝ a ＋ c.证明： b a c证明：假定 2＝1＋ 1建立，则2＝ a ＋ c ＝2b ，∴ b 2＝ ac.b acb ac ac又∵ b ＝ a ＋ c ，∴ a ＋ c 2 2 2 22 2＝ac ，即 a ＋ c ＝ 2ac ，即 (a － c) ＝ 0，∴ a ＝ c ，这与 a ，b ， c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋ 1c 不建立．x x － 2 10．已知函数f(x)＝ a ＋x ＋ 1(a>1)．(1)证明：函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)＝ 0 没有负实根．证明： (1)任取 x 1， x 2∈ (－ 1，＋ ∞)，不如设 x 1<x 2，则 x 2－ x 1>0 ， ax 2－ x 1>1，且 ax 1>0.因此 ax 2 －ax 1＝ ax 1 (ax 2－ x 1－ 1)>0. 又由于 x 1＋1>0 ， x 2＋ 1>0，因此 x 2－ 2－ x 1－ 2x 2＋ 1x 1＋ 1（ x 2－ 2）（ x 1＋ 1）－（ x 1－ 2）（ x 2＋ 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）3（ x 2－ x 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）>0.x 2－ 2 x 1－ 2于是 f(x 2)－ f(x 1)＝ax 2－ ax 1＋ x 2＋ 1－x 1＋1>0，故函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数． (2)设存在 x 0<0(x 0≠－ 1)知足 f(x 0)＝ 0，则 ax 0＝－x 0 －2x 0 .＋1又 0<ax 0<1，因此 0<－x 0－ 21＋ 1<1，即 2<x 0<2.x 0与假定 x 0<0 矛盾，故 f(x)＝ 0 没有负实根．。
高中数学新课标人教A版选修2-2《2.2.2反证法》课件
课前探究学习
课堂讲练互第动十九页，编辑于活星页期一规：点范十训九分练。
∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0. ∵p，q，r∈N*， ∴q22q－－ppr－＝r0＝，0， ∴p＋2 r2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r，这与 p≠r 矛盾．(10 分) 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(12 分)
课前探究学习
课堂讲练互第动五页，编辑于星活期页一：规点 十范九训分。练
肯定条件p， 否定结论q
― 推―理→
导致逻 辑矛盾
矛―盾―→律
“若p则綈q”为假
→ “若p则q”为真
课前探究学习
课堂讲练互第动六页，编辑于星活期页一：规点 十范九训分。练
2．反证法证明数学命题的一般步骤 第一步：分清命题“p→q”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q(反设)； 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果 (归谬)； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定綈q不 真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真． 第三步中所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已 知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛 盾等各种情况．
a1＝ 2＋1，
3a1＋3d＝9＋3
2，
(4 分)
∴d＝2，故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)．(6 分)
(2)证明 由(1)得 bn＝Snn＝n＋ 2.
假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)成等比数列， 则 b2q＝bpbr，(8 分)
即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)，
课前探究学习
课堂讲练互第动七页，编辑于星活期页一：规点 十范九训分。练
最新人教版高中数学选修2.2.2-反证法 (1)ppt课件
例3
1 (1－ a)b， (1－ b)c， (1－ c)a 中至少有一个不大于 . 4 1 【证明】 假设三式同时大于 ， 4 1 1 1 即 (1－ a) b＞ ，(1－ b) c＞ ， (1－ c) a＞ ， 4 4 4 三式相乘，得 1 (1－ a) a· (1－ b) b· (1－ c)c＞ . 64 1－ a＋ a 2 1 又 (1－ a) a≤( ) ＝ . 2 4
2Hale Waihona Puke ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∴a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a，b，c 中至少有一个大于 0.
题型三
用反证法证明(或解答)“至多”或“至少”类命题
(2013· 临沂高二检测)已知 a、 b、 c∈ (0,1)，求证：
4．常用正面词语与其否定形式 用反证法证明问题时，常用正面词语的否定形式如下 表：
正面词语 等于 小于 大于 是 否定 不等于 正面词语 都是 否定 不都是(至少有一个不是) 至少有两个 一个也没有
不小于(大于或等于) 至多有一个 不大于(小于或等于) 至少有一个 不是
想一想 1. 用反证法证明命题“若 p， 则 q”时， 为什么证出非 q 假， 就说明“若 p，则 q”就真？
3 1 － ＜ a＜ ， 2 2
题型三
用反证法证明否(肯 )定式命题
例1
设 { an}，{ bn} 是公比不相等的两个等比数列，cn＝ an＋
bn，证明：数列{ cn}不是等比数列．
【证明】 假设 { cn}是等比数列， 则当 n≥ 2 时， (an＋ bn)2＝(an－ 1＋ bn－ 1)· ( an＋ 1＋ bn＋1 )． 2 ∴ a2 ＋ 2 a b ＋ b n n n n ＝ an－1 an＋ 1＋ an－ 1 bn＋ 1＋ bn－1 an＋ 1＋ bn－ 1 bn＋ 1 . 设 { an}， { bn}的公比分别为 p， q(p≠ q)． 2 ∵ a2 ＝ a · a ， b bn＋ 1， － ＋ n n 1 n 1 n＝ bn－1 ·
人教版高中数学选修2-2《反证法》
反证法
演绎法
暴力列举法
课程小结
1、反证法证明命题的步骤： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过 一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定 原命成立。 2、反证法解决的问题类型：（正难则反） ①至多，至少； ②否定性命题； ③唯一，无穷，有限问题.
选修2-2 推理与证明
情境引入
警察局有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：
Ａ说：这里有１个人说谎．Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎．Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎．
提问：若你是警察，你觉得谁说了真话？
新知建构
直接证明困难怎么办？
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法. 反证法是最常用的一种间接证明策略.
先假设结论的反面是正确的；然后通 过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、 定义或已知条件相矛盾；分析可知假设 不成立，从而原结论正确．
这种证明方法叫做 反证法
典例分析
例1
已知：a1 a2 a3 a4 100, 求证：a1 , a2 , a3 , a4中，至少 有一个数大于25.
运用反证法的解题步骤：提升练习已知：ab bc ca 1, 求证：a b c 3
谢谢聆听
第一步，反设：作出与求证结论相反 的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并 由此通过一系列的正 确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从 而肯定原命成立。
练习1.
已知：a =x 2 y
2 2
2
,b y 2z
2
3
,
c z 2x ， 6 求证：a, b, c中至少有一个大于0.
高中数学人教课标版选修2-2《反证法》课件
(4)肯定原命题的结论成立.
知识回顾 重难点突破
问题探究
课堂小结
随堂检测
反证法主要适用于以下两种情形 ①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索 不够清晰; ②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证 明,只研究一种或很少的几种情形. 常见否定用语
是——不是
等——不等 是
知识回顾 探究一:反证法
活动二
问题探究
课堂小结
随堂检测
运用反证思想,证明问题
例2.求证:
2 , 3 , 5不可能成等差数列.
. 2 3= 2+ 5 . 证明: 假设 2 , 3 , 5成等差数列则 所以 2 3 =
2
2+ 5
2
,化简得5=2 10 ,5 = 2 10
2
2
即25=40 ,这是不可能的.所以假设不成立,故原命题成立.
知识回顾 探究一:反证法
活动二
问题探究
课堂小结
随堂检测
运用反证思想,证明问题
例1.已知a＋b＋c>0,ab＋bc＋ca>0,abc>0.求证:a>0,b>0,c>0. 点拨:反证法的初始理论依据是基于“原命题与其逆否命题等价”的 逻辑原理,通过“结论不成立推出条件不成立”产生“条件成立所以
结论成立”的结果,是一种间接证明的方法.
反证法:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过
正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立 的证明方法．
知识回顾 探究一:反证法
活动二
问题探究Biblioteka 课堂小结随堂检测运用反证思想,证明问题
人教版高中数学选修2-22.2.2反证法教案
2.2.2 反证法教课建议1.教材剖析本节主要内容是反证法的观点及应用反证法进行证明的一般步骤 ,经过学习本节内容 , 对培育学生的逆向思想是特别有益的 ,反证法是间接证明的一种基本方法 .要点 :认识反证法的含义及思想过程和特色,并能简单应用.难点 :应用反证法解决问题.2.主要问题及教课建议(1)方法的选择 .建议教师要修业生总结何时采纳反证法证明更好.当问题波及否认性,独一性 ,至多 ,起码等字眼或问题很明显从正面没法下手时能够考虑反证法.(2)证明过程中的问题.建议教师注意展现学生的证明过程,有针对性地更正以下错误现象: 不会反设或反设不全面,反设后不会应用反设 (若不用反设就不是反证法了 ),对推出矛盾没有预示性或推不出矛盾 ,指引学生学会制造矛盾 .备选习题1.如图 ,设 SA,SB 是圆锥 SO 的两条母线 ,O 是底面圆的圆心,C 是 SB 上一点 .求证 :AC 与平面 SOB 不垂直.证明 :如图 ,连结 AB ,OB,假定 AC⊥平面 SOB.∵直线 SO 在平面 SOB 内 ,∴AC⊥ SO.∵SO⊥底面圆 O,∴SO⊥ AB.又 A B∩AC=A ,∴SO⊥平面 ABC,∴平面 ABC∥底面圆 O.这明显与 AB? 底面圆 O 矛盾 ,∴假定不建立 .故 AC 与平面 SOB 不垂直 .2.设{ a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n 项和 .(1)求证 :数列 { S n} 不是等比数列 ;(2)数列 { S n} 是等差数列吗 ?为何 ?(1)证明 :反证法 :假定 { S n} 是等比数列 ,则 =S1S3,即 (1+q )2=a 1·a1(1+q+q 2).∵a1≠ 0,∴(1+q )2= 1+q+q 2,即 q= 0,与 q≠0矛盾 ,∴{ S n} 不是等比数列 .(2)解 :当 q= 1 时 ,{ S n} 是等差数列 .当 q≠1时 ,{ S n} 不是等差数列 .假定 q≠1时 ,{ S n} 是等差数列 ,则 S1,S2,S3成等差数列 ,即 2S2=S1+S 3.∴2a1(1+q )=a 1 +a 1(1+q+q 2 ).因为 a1≠ 0,∴2(1+q )= 2+q+q 2 ,q=q2. ∵q≠1,∴q= 0,与 q≠0矛盾 .∴当 q≠1时 ,{ S n} 不是等差数列.。
人教版高中数学选修2-2学案：2.2.2反证法
2.2.2 反证法【学习目标】1.认识间接证明的一种基本方法——反证法；2.认识反证法的思虑过程、特色;3.会用反证法证明问题.【新知自学】知识回首：1.综合法：（ 1）一般地 ,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论建立 ,这类证明方法叫综合法.（2）框图表示：（3）重点：顺推证法，由 ____导 ____.2.剖析法（ 1）一般地，从要证明的论归纳为判断一个显然建立的条件出发，逐渐追求使它建立的(已知条件、定理、定义、公义等，直至最后，把要证明的结)为止，这类证明方法叫做剖析法．（2）框图表示（ 3）重点：逆推证法；执____索 ____.新知梳理：1.反证法：一般地，假定原命题进而证了然原命题，经过正确的推理，最后得出.这类证明方法叫.，所以说明假定，2.反证法证题的一般规律：（ 1）证明基本步骤：假定原命题的结论不建立→ 从假定出发，经推理论证获得矛盾→矛盾的原由是假定不建立，进而原命题的结论建立（ 2）方法本质：反证法是利用互为逆否的命题拥有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，经过证明一个命题的逆否命题的正确，进而必定原命题真切.对点练习：1.用反证法证明命题“三角形的内角起码有一个不大于60 ”时，反设正确的选项是（）A ．假定三内角都不大于60B ．假定三内角都大于60C．假定三内角至多有一个大于60D ．假定三内角至多有两个大于602. 实数 a, b, c 不全为 0 等价于为（）A ． a, b, c 均不为 0B ． a, b, c 中至多有一个为0C． a, b, c 中起码有一个为0D ． a, b, c 中起码有一个不为01113.设 a,b,c 都是正数，则三个数a, b, c（）b c aA ．都大于2B. 起码有一个大于2C.起码有一个不小于2D. 起码有一个不大于24.用反证法证明命题“自然数 a, b, c 中恰有一个偶数”的反设为.【合作研究】典例精析：例 1.证明在ABC 中 ,若 C 是直角 ,那么 B 必定是锐角.变式练习：证明：2, 3, 5 不行能成等差数列.例 2. 设{ a n}是公比为q 的等比数列．(1)推导 { a n} 的前 n 项和公式；(2)设 q≠1，证明数列 { a n＋1} 不是等比数列 .变式练习：求证：一个三角形中，起码有一个内角许多于60 .【讲堂小结】【当堂达标】1. 用反证法证明：“a b ”，应假定为（） .A. a bB. a bC. a bD. a b2.用反证法证明命题“a， b∈N，ab设的内容应为()A ． a， b 都能被 5 整除B ．a， b 都不可以被 5 整除C． a， b 不都能被 5 整除D ． a 不可以被 5 整除可被 5 整除，那么a， b中起码有一个能被 5 整除”时，假3.假如x 1,那么x2 2 x10 . 24. ABC 的三边 a, b, c 的倒数成等差数列,求证 : B 90 .【课时作业】1.用反证法证明命题“若实数a， b， c， d 知足 a＋ b＝ c＋ d＝ 1， ac＋ bd＞ 1，则 a， b， c，d 中起码有一个是非负数”时，第一步要假定结论的否认建立，那么结论的否认是________ ．1112.设 x、 y、 z＞0， a＝x＋y， b＝ y＋z， c＝ z＋x，则 a、 b、 c 三数 ()A ．起码有一个不大于2B ．都小于2C．起码有一个不小于2D ．都大于23.设直线l1: y k1 x 1,l 2 : y k2 x1，此中k1, k2知足 k1+k 2+2=0，证明l1与l2订交 .4.已知 x, y0 ,且 x y 2 .试证 : 1 x ,1y中起码有一个小于 2.y x5.求证y22ax2bx c, y bx 2cx a ,y cx22ax b( a,b,c 是互不相等的实数),3 条抛物线起码有一条与x 轴有两个交点.。
最新人教版高中数学选修2.2.2-反证法-ppt课件
不成(立即在原命题的条件下，结论不成立)，经过
正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了
，这假种设错证误明方法叫做反证法．原命题成立
• 2．反证法常见矛盾类型
• 在反证法中，经过正确的推理后“得出矛盾”，所得矛盾主要是
指与
矛盾，与
、 、、 或
矛盾，与
数学公理
公式 定义
矛盾已．知条件
定理
已被证明了的结论
• 2．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯 一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所 以用反证法证其唯一性就较简单明了．
• 求证：两条相交直线有且只有一个交点．
• [证明] 假设结论不成立，即有两种可能： • 无交点；不只有一个交点． • (1)若直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾； • (2)若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同
• 2．2.2 反证法
• 理解反证法的概念，掌握反证法证题的步骤．
• 本节重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． • 本节难点：应用反证法解决问题．
• 反证法，不是从已知条件去直接证明结论，而是先否定 结论，在否定结论的基础上进行演绎推理，导出矛盾， 从而肯定结论的真实性．
• 应用反证法证明数学命题的一般步骤： • (1)分清命题的条件与结论． • (2)做出与命题结论相矛盾的假设． • (3)由假设出发应用正确的推理方法，推出矛盾的结果．
• [例3] 已知：一点A和平面α. • 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直． • [分析]
• [解析] 根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．
人教版高中选修(B版)2-22.2.2反证法教学设计
人教版高中选修(B版)2-22.2.2反证法教学设计教学目标•能够理解反证法的基本思想和特点•能够在解决问题时灵活运用反证法进行推理•能够掌握常见的反证法证明方法教学重点•反证法的基本思想和特点•反证法在数学中的应用•常见的反证法证明方法教学难点•反证法的具体运用•反证法证明的层层递进教学内容1.反证法的基本思想和特点–反证法的定义和基本特点介绍–通过反证法引出课堂问题并进行讨论，引导学生理解反证法的基本思想2.反证法在数学中的应用–反证法在等式证明中的应用–反证法在不等式证明中的应用3.常见的反证法证明方法–柿子法证明–最大化误差证明–原命题与反命题结合证明教学过程1.热身–回顾上节课所学知识：直接证明法、归纳证明法–引出课题：反证法2.讲解–介绍反证法的定义和基本特点，通过例子引导学生理解反证法的基本思想–介绍反证法在等式证明中的应用，通过例子引导学生掌握等式证明中的常用反证法方法–介绍反证法在不等式证明中的应用，通过例子引导学生掌握不等式证明中的常用反证法方法3.演示–指导学生进一步理解反证法的应用，通过实例演示反证法证明过程，强化学生认识和运用常见的反证法证明方法的能力4.练习–出示一些数学证明题目，让学生采用反证法的方法进行证明–学生们自主设计，采用反证法的方法证明一些有趣的数学问题，以培养学生的创造性思维能力5.总结–梳理反证法的基本思想和常见证明方法，强化学生对反证法的理解和应用6.作业–布置一些数学证明作业，让学生练习反证法的应用教学评价1.教师评价–通过学生作品的收集，对学生的反证法理解和运用能力进行评价–在教学过程中定期对学生进行课堂练习，了解学生的掌握情况2.学生评价–对学生自己的课堂表现进行自我评价，提高学生的学习自觉性–对学生的作业进行成绩评价，激励学生去认真对待学习教学反思1.教师反思–在反证法知识的讲解中，要注意把握好知识点的引入和引出，让学生更好地吸收和理解知识–在作业时，要设计适合学生能力水平的问题，让学生在巩固基础的同时，逐步提高自己的水平，激发学生的学习兴趣和学习动力2.学生反思–学生要认真听讲，对反证法的基本思想和技巧有清晰的认识，掌握复杂证明的方法–在练习和课后作业中，加强反证法的练习，培养自己的思维能力，提高自己的数学水平。
高中数学人教A版选修2-2课件2-2-2反证法1
新知导学
1．反证法的定义
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出
_矛___盾______，因此说明假设_____错__误___，从而证明了原命题 __成__立______，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一
种基本方法．
2．反证法证题的原理 (1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”． (2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论 正确． 3．反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与
已___知__条__件___矛盾，或与_假___设____矛盾，或与定__义___、__公__理__、_ 定__理____、
事实矛盾等．矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的．
4．反证法的适用对象
作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：
(1)直接证明需分多种情况的；
(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
自主预习学案
学习目标引航
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点难点展示
重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤． 难点：反证法的应用．
教材新知导学
知识点一：反证法
思维导航 我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反 证法的原理，用反证法证题的注意事项是怎样的呢？
∵x>0 且 y>0，∴1＋x≥2y，且 1＋y≥2x， 两式相加得 2＋x＋y≥2x＋2y，∴x＋y≤2. 这与已知条件 x＋y>2 矛盾， ∴1＋y x<2 和1＋x y<2 中至少有一个成立.
人教版高中数学选修2-2第二章2.2.2反证法
β
b
p
α
例题3
是指m,n的最大公约数 求证：2 是无理数 . 1，即(m,n)=1. 是
分析
直接证明一个数是无理数比较困难，我 们采用反证法.假设 2不是无理数，那么 它就是有理数.任一有理数都可以写成 m (m，n互质，m ∈ Z，n ∈ N* ) n 的形式.下面我们看看能否由此推出矛盾.
证明：
教学目标
【知识与能力】
1. 了解反证法的自身特点，从中体会 反证法的思考过程和内涵.
2. 运用反证法解决数学问题.
【过程与方法】
1. 通过丰富的实例，让学生合作探讨，从中 体会反证法的思想. 2. 结合实例，让学生们归纳总结应用反证法 解题的情形.
【情感态度与价值观】
培养学生的逆向思维，使思维发散， 培养学生观察的能力、归纳总结的能力.
教学重难点
重点
结合已经学过的数学案例，了解间接证明 的一种基本方法——反证法；了解反证法的思 考过程、特点.
难点
运用反证法证明数学问题.
知识要 点
一般地，假设原命题不成立(即在 原命题的条件下，结论不成立)，经过 正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 假设错误，从而证明了原命题成立，这
样的证明方法叫做反证法.
如果选择反证法，先怎样假设？
假设l3∥l2，即l3与l2相交 下面我们用直接证明法和 反证法来分别证明.
问题解决的四个基本步骤：
பைடு நூலகம்
理解题意 制定计划
执行计划 回顾
画出图形，写出已知求证 选择证明方法，找出证明思路
写出证明过程 比较两种证明方法的特点
下面我们用反证法来证明此题.
已知：如图，直线l1,l2,l3在
同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥ l1， 求证： l3∥l2
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都不是－部分或全部是，即至少有一个是
唯一－－至少有两个
至少有一个有（是）－－全部没有（不是）
至少有一个不－－－－－全部都
练习：证明：圆的两条不全是直径的相
交弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且
AB、CD不全是直径
求证：AB、CD不能互相平分。
C
A
P
B
O
D
用反证法证明：圆的两条不是直径
的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
CD交于点P，且AB、CD不是直径. A
求证：弦AB、CD不被P平分.
O
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
连结 AD、BD、BC、AC,
C
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四B边形
所以 ACB ADB,CAD CBD
因为 ABCD为圆内接四边形
求证：弦AB、CD不被P平分.
A
O
D
证法二
证明：假设弦AB、CD被P平分， C P
由于P点一定不是圆心O，连结OP， B
根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都垂直，
这与垂线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
引例
证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
引例2：
将9个球分别染成红色或白色。那么无 论怎样染，至少有5个球是同色的。你能 证明这个结论吗？
间接证不明是：直接从原命题的条件逐步推得 命题成立的证明方法。
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
总结提炼
1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以
是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾，自相矛盾等．
小故事 路边苦李
古时候有个人叫王戎，7岁那年 的某一天和小伙伴在路边玩，看见 一棵李子树上的果实多得把树枝都 快压断了，小伙伴们都跑去摘，只 有王戎站着没动。他说：“李子是 苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝， 李子果然苦的没法吃。
小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没
有吃,怎么知道李子是苦的啊?”
王戎说:“如果李子是甜的,树 长在路边,李子早就没了！李 子现在还那么多,所以啊,肯定 李子是苦的，不好吃!”
反证法是一种常用的间接证明的方法。
反证法：
假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立）， 经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。 反证法的一般步骤：
（1）反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；
（2）归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
复习
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、 公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法有综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。
在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起 来使用。先用分析法寻求解题思路，再用综合法解 答或证明；有时要分析法和综合法结合起来交替使 用。
（3）下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。
归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；（2）与公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。
注意：反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析， 洞察矛盾。
反证法的思维方法：
正难则反
例1 已知a≠0，证明x的方程ax=b 有且只有一个根。
证：由于a 0，因此方程至少有一个根x b a
假设不成立， 2是无理数。
应用反证法的情形：
⑴直接证明困难; ⑵需分成很多类进行讨论． ⑶结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； ⑷结论为 “唯一”类命题；
反证法的思维方法：正难则反
常见否定用语
是－－－不是
有－－－没有
等－－－不等
成立－－不成即至少有一个没有
所以 ACB ADB 180 , CAD CBD 180
因此 ACB 90, CAD 90
所以，对角线AB、CD均为直径，
这与已知条件矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
用反证法证明：圆的两条不是直径
的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
CD交于点P，且AB、CD不是直径.
假设方程ax b 0(a 0)至少存在两个根
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0
∴a（x1 - x2）= 0
∵ x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0
∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
例2 求证： 2 是无理数。
证明：假设 2不是无理数，则 2是有理数
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ，
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
n
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数，n也是偶数
这与m，n互质矛盾！