【八上·一次函数·复习】专题：一次函数实际应用重难点(答案)

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专题：一次函数实际应用重难点
考点一 分段函数
【例1】1．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y (kW ·h )关于已行驶路程x (km )的函数图象． (1)当0≤x ≤150时，求1kW ·h 的电量汽车能行驶的路程； (2)当150≤x ≤200时，求y 关于x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶180 km 时，蓄电池的剩余电量．
解：(1)1 kW ·h 的电量汽车能行驶的
路程为：150
60－35
＝6(km ) ．
(2)设y ＝kx ＋b (k ≠0)，把点(150，35)，
(200，10)分别代入，得⎩⎨⎧
150k ＋b ＝35，
200k ＋b ＝10，
解得⎩⎨⎧
k ＝－0.5，b ＝110，
∴y ＝－0．5x ＋110，
当x ＝180时，y ＝－0．5×180＋110＝20．
答：当150≤x ≤200时，函数表达式为y ＝－0．5x ＋110，当汽车已行驶180 km 时，蓄电池的剩余电量为20 kW ·h ．
变式训练1：
1．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)，现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y (厘米)与注水时间x (分钟)之间的关系如图2所示．请回答：
(1)图2中折线ABC 表示 槽中水的深度与注水时间的关系，点B 的纵坐标表示的实际意义是 ； (2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ (3)若乙槽底面积为36平方厘米，求乙槽中铁块的体积； (4)若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积. （直接写出结果） 解：（1）乙，铁块的高度为14cm ；
（2）DE 关系式为y =－2x +12，AB 关系式为y =3x +2， ∴注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同；
（3）∵水由甲槽匀速注入乙槽，∴乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的2倍，
设乙槽底面积与铁块底面积之差为S ，则（14－2）S=2×36×（19－14）
解得S=30cm 2，∴铁块底面积为60－30=6cm 2，∴铁块的体积为6×14=84cm 3；
（4）甲槽底面积为60cm 2。

考点二 行程问题
【例2】1．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2 400 m ，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4 min ，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y (m)与甲出发的时间t (min)之间的关系如图所示，有下列结论： ①甲步行的速度为60 m/min ； ②乙走完全程用了32 min ； ③乙用16 min 追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300 m ． 其中正确的结论有( A ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2．小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进 ．图5中的折线表示两人之间的距离y (km )与小王的行驶时间x (h )之间的函数关系 ．请你根据图象进行探究： (1)小王和小李的速度分别是多少？ (2)求线段BC 的y 与x 之间的函数
表达式，并写出自变量x 的取值范围． 解： (1)由图可得， 小王的速度为30÷3＝10(km /h )， 小李的速度为(30－10×1)÷1＝20(km /h ) ．
答：小王和小李的速度分别是10 km /h ，20 km /h ． (2)小李从乙地到甲地用的时间为30÷20＝1．5(h )，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为10×1．5＝15(km )， ∴点C 的坐标为(1．5，15) ．
设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ， 则⎩⎨⎧ k ＋b ＝0，1.5k ＋b ＝15.解得⎩⎨⎧
k ＝30，b ＝－30，
即线段BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y ＝30x －30(1≤x ≤1.5) ．
变式训练2：
1．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A 地到B 地，乙驾车从B 地到A 地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，整个过程中，甲、乙两人的距离y (km )与甲出发的时间x (min )之间的关系如图所示．乙到达A 地时，甲还需 78 分钟到达终点B 地．
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2．在一条笔直的公路上有A 、B 两地，甲骑自行车从A 地到B 地；乙骑自行车从B 地到A 地，到达A 地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B 地的距离y （km ）与行驶时x （h ）之间的函数图象，根据图象解答以下问题： (1)写出A 、B 两地直接的距离；
(2)求出点M 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； (3)若两人之间保持的距离不超过3km 时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x 的取值范围．
解：(1)30千米；
(2)所以，点M （2
3
，20），
表示2
3
小时后两车相遇，
此时距离B 地20千米；
(3)设x 小时时，甲、乙两人相距3km ， ①若是相遇前，则15x +30x =30－3，解得x =， ②若是相遇后，则15x +30x =30+3，解得x =
，
③若是到达B 地前，则15x －30（x －1）=3，解得x =， 所以，当≤x ≤或≤x ≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲
机保持联系．
考点三 利润方案问题
【例3】1．为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知购买3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需50元，2只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需31元 ．
(1)求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元； (2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 ．
解：(1)设1只A 型节能灯的售价是x 元，1只B 型节能灯的售
价是y 元，则⎩⎨⎧ 3x ＋5y ＝50，2x ＋3y ＝31，解得⎩⎨⎧
x ＝5，
y ＝7.
答：1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元 ．
(2)设购买A 型号的节能灯a 只，则购买B 型号的节能灯(200－a )只，费用为w 元，
则w ＝5a ＋7(200－a )＝－2a ＋1 400． ∵a ≤3(200－a )，∴a ≤150，
∴当a ＝150时，w 取得最小值，此时w ＝1 100，200－a ＝50． 答：当购买A 型号节能灯150只、B 型号节能灯50只时最省钱 ．
2．今春我国西南地区遭受了罕见的旱灾，A 、B 两村庄急需救灾粮食分别为15吨和35吨。

“旱灾无情人有情”，C 、D 两城市已分别收到20吨和30吨捐赈粮，并准备全部运往．．．．A 、B 两地. (1)若从C 城市运往A 村庄的粮食为x 吨，则从C 城市运往B 村庄的粮食为 吨,从D 城市运往A 村庄的粮食为 吨，运往B 村庄的粮食为 吨;
(2)按(1)中的运输救灾粮食路线运粮，直接写出x 的取值范围； (3)已知从C 、D 两城市到A 、B 两村庄的运价如下表：
若运输的总费用为y 元，请求出y 与x 之间的函数关系式，并
设计出最低运输费用的运输方案.
解：（1）（20－x ），（15－x ），（x +15）； （2）由题意，可得：
y =15x +12（20－x ）+10（15－x ）+9（x +15）=2x +525． 自变量取值范围是：0≤x ≤15． ∵2＞0，
∴y 随x 的增大而增大， ∴当x =0时，y 最小=525，
此时20－x =20，15－x =15，15+x =15．
∴最低费用的运输方案为：C 城市20吨粮食全部运往B 村庄，从D 城市运15吨粮食往A 村庄运15吨粮食往B 村庄．
变式训练3：
1．某房地产开发公司计划建A 、B 两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所
A B
成本（万元/套） 25 28 售价（万元/套） 30 34
(1)(2)该公司如何建房获得利润最大？
(3)根据市场调查，每套B 型住房的售价不会改变，每套A 型住房的售价将会提高a 万元（a >0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？
解：(1)由题意得：2090≤25x +28（80－x ）≤2096． 解得：48≤x ≤50
∵x 是整数∴x =48，49，50即有三种建房方案： A 型48套，B 型32套； A 型49套，B 型3l 套； A 型50套，B 型30套次．
(2)W =（30－25）x +（34－28）（80－x ）=480－x ； 由W =480－x 知，当x =48时，w 最大．
到A 村庄 到B 村庄 C 城市 每吨15元 每吨12元 D 城市 每吨10元 每吨9元
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即建A型48套，B 型32套获得的利润最大．
(3)由题意得：W=（5+a）x+6（80－x）=480+（a－1）x
当0＜a＜1时，x=48，W最大；即建A型48套，B型32套；
当a=1时，a－1=O，三种方案获得利润一样；
当a＞1时，x=50，w最大；即建A型50套，B型30套．
考点四综合应用
【例4】1．如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜
边AB的中点，动点P从点B出发，沿B→C→A运动，设S△DPB
＝y，点P运动的路程为x．若y与x之间的函数图象如图(2)所
示，则△ABC的面积为(B)
A．4 B．6 C．12 D．14
2．某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x之间满足一次函数
关系(收支差额=车票收入－支出费用)，由于目前本条线路亏
损，公司有关人员提出了两条建议．建议(Ⅰ)：不改变支出费
用，提高车票价格；建议(Ⅱ)：不改变车票价格，减少支出费
用．下面给出的四个图象中，实线和虚线分别表示目前和建议
后的函数关系图象，则下列说法正确的是(A)
A．①反映了建议(Ⅱ)，③反映了建议(Ⅰ)
B．②反映了建议(Ⅰ)，④反映了建议(Ⅱ)
C．①反映了建议(Ⅰ)，③反映了建议(Ⅱ)
D．②反映了建议(Ⅱ)，④反映了建议(Ⅰ)
※课后练习
1．如图是本地区一种产品30天的销售图象，产品日销售量y(单
位：件)与时间t(单位：天)的大致函数关系如图①，图②是一件
产品的销售利润z(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系．下
列结论错误的是( C)
A．日销售量为150件的是第12天与第30天
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．从第20天到第30天这段时间内日销售利润将保持不变
D．第18天的日销售利润是1225元
2．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80 km/h的
速度行驶1 h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并
停留1 h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过
程中，两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关
系如图所示．有下列说法：
①乙车的速度是120 km/h；②m＝160；
③点H的坐标是(7，80)；④n＝7.5．
其中说法正确的是(A)
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
3．一辆汽车在行驶过程中，路程y(千米)与时间x(小时)之间的
函数关系如图所示，已知：当0≤x≤1时，y关于x的函数表达
式为y＝60x，那么，当1≤x≤2时，y关于x的函数表达式
为：y＝100x－40 ．
4．设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车
的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给
甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设x秒后两车间
的距离为y千米，y关于x的函数关系如图所示，则甲车的速度
是20 米/秒．
5．甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A
出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线
段AB的长为90 cm，甲的速度为2．5 cm/s．设运动时间为x(s)，
甲、乙两点之间的距离为y(cm)，y与x的函数图象如图所示，
则线段DE所表示的函数表达式为y＝4.5x－90(20≤x≤36) ．
(写出自变量的取值范围)
6．有A，B两发电厂，每焚烧1 t垃圾，A发电厂比B发电厂
多发40度电，A焚烧20 t垃圾比B焚烧30 t垃圾少1 800度电．
(1)求焚烧1 t垃圾，A和B各发电多少度？
(2)A，B两个发电厂共焚烧90 t的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B
焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值．
解：(1)设焚烧1 t垃圾，A发电厂发电a度，B发电厂发电b度，
根据题意，得
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⎩⎨⎧ a －b ＝40，30b －20a ＝1 800，解得⎩⎨⎧
a ＝300，
b ＝260. 答：焚烧1 t 垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度 ． (2)设A 发电厂焚烧x t 垃圾，则B 发电厂焚烧(90－x )t 垃圾，总发电量为y 度，则
y ＝300x ＋260(90－x )＝40x ＋23 400． ∵x ≤2(90－x )，∴x ≤60．
∵y 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，y 有最大值，最大值为40×60＋23 400＝25 800(度) ．
答：A 厂和B 厂总发电量的最大值是25 800度 ．
7．如图①，底面积为30 cm 2的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止．在注水过程中，水面高度h (cm )与注水时间t (s )之间的关系如图②所示．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1),容器的高为______cm ，匀速注水的速度为______cm 3/s ； (2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15 cm 2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．
解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14 cm ，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11 cm ，水从漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满整个圆柱形容器用了42－24＝18(s )． 设匀速注水的水流速度为x cm 3/s ，则18·x ＝30×3，解得x ＝5． 即匀速注水的水流速度为5 cm 3/s ． 故答案为14，5．
(2)根据题意，可知“几何体”下方圆柱的高为a ，则a ·(30－15)＝18×5，解得a ＝6，
所以“几何体”上方圆柱的高为11－6＝5(cm )．
设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm 2．根据题意，得5×(30－S )＝5×(24－18)，解得S ＝24，
即“几何体”上方圆柱的底面积为24 cm 2．
8．为保障边防部队的生活，现从甲、乙两个仓库向A ，B 两军营运送生活物资，已知甲仓库可调出生活物资100吨，乙仓库可调出生活物资80吨；A 军营需生活物资70吨，B 军营需生
军营
路程/千米 运费/(元/吨·千米)
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A 军营 20 15 12 12
B 军营 25 20 10 8
y (元)． (1)求y 与x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围； (2)哪种运送方案使总运费最少？请说明理由． 解：(1)由题意得y ＝12×20x ＋10×25(100－x )＋12×15(70－x )＋8×20(10＋x )＝－30x ＋39 200. ∵70－x ≥0，x ≥0，100－x ≥0， ∴0≤x ≤70.
答：y 与x 的函数解析式为y ＝－30x ＋39 200(0≤x ≤70)． (2)∵y ＝－30x ＋39 200中，－30＜0， ∴y 随x 的增大而减小，
∴当x ＝70时，总运费最少，即甲仓库运往A 军营生活物资为70吨，甲仓库运往B 军营生活物资为30吨，乙仓库运往A 军营生活物资为0吨，乙仓库运往B 军营生活物资为80吨． 答：有三种运送方案，当甲仓库运往A 军营生活物资为70吨，甲仓库运往B 军营生活物资为30吨，乙仓库运往B 军营生活物资为80吨时，运费最少．
9．A ，B ，C 三地在同一条公路上，A 地在B ，C 两地之间，甲、乙两车同时从A 地出发匀速行驶，甲车驶向C 地，乙车先驶向B 地，到达B 地后，调头按原速经过A 地驶向C 地(调头时间忽略不计)，到达C 地停止行驶，甲车比乙车晚0.4小时到达C 地，两车距B 地的路程y (km )与行驶时间x (h )之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车的速度是_____km /h ，并在图中括号内填入正确的数值； (2)求图象中线段FM 所表示的y 与x 之间的函数表达式(不需要写出自变量x 的取值范围)；
解：(1)A ，C 两地间的距离为360－90＝270(km )， 甲车行驶的速度为270÷5．4＝50(km /h )，
乙车达到C 地所用时间为5．4－0．4＝5(h )． 故答案为50，图中填5． (2)乙车的速度为(90＋360)÷5＝90(km /h )， 点F 的横坐标为90÷90＝1，
可得线段FM 所表示的y 与x 之间的函数表达式为 y ＝90(x －1)＝90x －90．
10．如图(1)，A ，B 两地相距60 km ，甲从A 地去B 地，乙从B 地去A 地，图(2)中l 1，l 2分别表示甲、乙两人离B 地的距离y (km )与甲出发后经过的时间x (h )之间的函数关系.
(1)乙的速度为 20 km/h ，A 的坐标为(1.4，18)； (2)甲出发多长时间时两人恰好相距5 km ；
(3)若用y 3(km)表示甲、乙两人之间的距离，请在坐标系中画出y 3(km)关于时间x (h )的函数关系图象.
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图(1)图(2)
解：(1)20，甲出发1.4 h后，两人在距B地18 km处相遇
设l1对应的函数解析式为y1=k1x+b1，
l2对应的函数解析式为y2=k2x+b2.
利用待定系数法，可得y1=－30x+60，y2=20x－10.
当y1=y2时，－30x+60=20x－10，解得x=1.4，
此时y1=y2=－30×1.4+60=18，
故点A的坐标为(1.4，18).
(2)由题意得|y1－y2|=5，即|－30x+60－20x+10|=5，
50x－70=±5，解得x1=1.3，x2=1.5.
故当甲出发1.3 h或1.5 h时，两人恰好相距5 km.(6分)
(3)当0≤x≤0.5时，y3=－30x+60;
当0.5<x≤1.4时，
y3=y1－y2=(－30x+60)－(20x－10)
=－50x+70;
当1.4<x≤2时，
y3=y2－y1=(20x－10)－(－30x+60)
=50x－70;
当2<x≤3.5时，y3=20x－10.
图象如图所示.。