正弦定理的三种证明

A

B

C c

b

a

C

B

A

D

a

b

c A

B C

D

a

b

c

△ABC 中的三个内角∠A ，∠B ，∠C 的对边，分别用,,a b c 表示. 正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即

==

sin sin sin a b c

A B C

证明：按照三角形的种类，分三种情形证明之. (1) 在Rt ABC ∆中，如图1-1

sin =

a A c ，sin =

b B

c 因此，==sin sin a b

c A B

有因为sin =1C ，所以

==

sin sin sin a b c

A B C

（2）在锐角△ABC 中，如图1-2

作CD AB ⊥于点D ，有sin =

CD A b ，sin =CD

B a ， 因此，sin =sin b A a B ，即=

sin sin a b

A B

同理可证：=sin sin a c A C ，故==

sin sin sin a b c

A B C

.

（3）在钝角△ABC 中，如图1-3

作CD AB ⊥，交AB 的延长线于点D ，则

sin =CD A b ，sin =sin =CD

ABC CBD a

∠ 因此，sin =sin b A a B ，即=

sin sin a b

A B

同理可证：=

sin sin b c

B C 故==

sin sin sin a b c A B C

综上所述，在任意的三角形中，正弦定理总是成立.

B

A

C

B

证明：如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，半径为R 连接AO 并延长，交圆O 于点D ，连接CD ，

易知，=90ACD ∠，=B D ∠∠

sin =

=

2AC b D AD R ，即sin =2b

B R 因此=2sin b R B

同理，延长,BO CO ，

可证==2sin sin a c R A C 故===2sin sin sin a b c R A B C

证明：过点B 作单位向量j BC ⊥，那么就有 j AC j AB j BC =+

cos(90)cos(90)0b C c B ⇒+=++sin b C ⇒-=sin sin b c

B C

⇒

=

， 同理有sin sin a b

A B =

。 故==

sin sin sin a b c A B C

【小技巧】

根据几何图形确定向量夹角的方法：

如果两个向量所在之间直线相交，或通过平移一个向量而相交，那么 （1） 向量夹角为锐角，很容易判断；

（2） 向量夹角为钝角时，可以先判断锐角，再取补角 例如：

确定向量j 与向量AB 的夹角时，由于是钝角，

先确定向量j 与向量BA 的夹角为90B -，再求补角，即为90B + 确定向量j 与向量AC 的夹角时，先平移j ，同上可得，夹角为90C +