复变函数22函数解析充要条件
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课件
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二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1 )w z; (2 )f(z) ex (cy o issiy )n ; (3 )w zRz)e.( 解 (1)wz, u x ,v y ,
u1 , u0 , v0 , v 1 . x y x y 不满足柯西－黎曼方程, 故wz在复平面内处 ,处处 处不 不.可 解导 析
v b x a y 2 x 1 y .
因l为 im ( z)0, z 0
所以lxi m0 1
lim
x0
2
0,
y0
y0
课件
4
由此 u (x ,y )与 可 v (x ,y )在 知 (x ,y ) 点 可 , 微 且满 足 uv方 , u 程 v. x y y x
(2) 充分性. 由于 f(z z) f(z) u(xx,yy)u(x,y)
wenku.baidu.com黎曼介绍
课件
2
证 (1) 必要性. 设 f(z)u(x,y)iv (x,y)定义在 D 内 , 区域 且 f(z)在 D 内一 zx点 y可 i ,导 则对于充 z分 xi小 y的 0,
有 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) z ( z ) z ,
其l中 im ( z)0, z 0
第二节 函数解析的充要条件
一、主要定理 二、典型例题 三、小结与思考
一、主要定理
定理一
设函数f (z) u(x, y)iv(x, y)定义在区域
D内,则f (z)在D内一点z x yi可导的充要条
件是: u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微,并且在该
点满足柯西－黎曼方程
柯西介绍
u v , u v. x y y x
[证毕]
课件
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根据 ,可 定得 理 f(z)函 一 u (x ,y 数 )i(v x ,y)在 点 zxy处 i 的导 : 数公式
f(z)uiv1uv. x x iy y
函数在区 D内域解析的充要条件 定理二 函数 f(z)u(x,y)iv(x,y)在其定义 域D内解析的充:要 u(x条 ,y)与 件 v(x是 ,y)在 D内可,并 微且满足柯西 程.－黎曼方
令 f ( z z ) f ( z ) u i v ,
f(z)aib , ( z )1 i2 ,
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所 u 以 i v
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
(a x b y1 x2 y) i(b xa y2 x1 y)
于 u a x 是 b y 1 x 2 y ,
例4 证明函 f(z) 数xy在点 z0满足柯 西－黎曼方 z0程 不但 可 . 在 导点
证 因为 f(z) xy , 所u 以 x,yv0,
u x(0,0)lx i0u m (x,0 x ) 0 u (0,0)0 vy(0,0), uy(0,0)ly i0m u(0,yy) 0 u(0,0) 0vx(0,0), 柯西－黎曼方z程 0成 在立 点 .
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(3)wzRze)(x2 xy,i ux2, vx,y u2 x , u0 , vy, vx . x y x y 四个偏导数均连续 仅当 xy0时,满足柯西－黎 , 曼方 故w 函 zR z 数 )仅 e(z 在 0 处,可导 在复平面内处处不解.析
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例3 设f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2),
课件
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(2 )f(z) ex (cy o issiy )n 指数函数
u exco y, s v exsiy,n
uexcoy,suexsiyn ,
x
y
四个偏导数
vexsiyn, vexcoy,s 均连续
x
y
即uv, uv. x y y x
故f(z)在复平面内处 ,处处 处可 解 . 导 析
且 f ( z ) e x (c y i s o y ) i s n f ( z ).
问常a数 ,b,c,d取何值 , f(时 z)在复平面内处
解析 ? 解 u2xay,
x
v 2cxdy, x
u ax2by, y v dx2y, y
欲使 uv, uv, x y y x
2xaydx2y, 2cx d yax2by,
所 a 2 ,b 求 1 ,c 1 ,d 2 .
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但当 z沿第一象限 y内 kx趋 的于 射,零 线时
i[v(xx,yy)v(x,y)] ui v, 又u ( 因 x ,y )与 v ( 为 x ,y )在 (x ,y ) 点 可 , 微
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于 u 是 u x x u y y1 x 2 y ,
v x v x v y y3 x4 y, 其 lx中 i0m k0 , (k1 ,2 ,3 ,4 )
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解析函数的判定方法: (1)如果能用求导导 公法 式则 与证 求实复变 数f(z)的导数在D区 内域 处处,存 则在 可根据 解析函数的定f(义 z)在 断 D内 定是解.析的
(2)如果复变函 f(z数 )uiv中u,v在D内 的各一阶偏导数、都连存(续 因 在而u,v(x, y) 可微 )并满足 CR方程 ,那么根据解析函数 的充要条件可以 f(z断 )在定 D内解.析
y 0
因 f(z 此 z ) f(z )
u x i x v x u y i v y y (1 i3 ) x (2 i4 ) y .
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由柯西－ u 黎 v, 曼 u 方 vi程 2v, x y y x x
f(z z)f(z)
u xi x v(xiy)(1 i3 ) x (2 i4 ) y .
f(zz)f(z) z
u x
i
v x
(1i3) x z(2i4) y z.
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因为 x1, y1,
z
z
lz i0 m (1 i3) x z (2 i4) y z 0 ,
所f( 以 z) lif m (z z)f(z) u i v .
z 0
z
x x
即 f ( z ) 函 u ( x , y ) i( x v , 数 y ) 在 z x y 点 可 i .
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二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1 )w z; (2 )f(z) ex (cy o issiy )n ; (3 )w zRz)e.( 解 (1)wz, u x ,v y ,
u1 , u0 , v0 , v 1 . x y x y 不满足柯西－黎曼方程, 故wz在复平面内处 ,处处 处不 不.可 解导 析
v b x a y 2 x 1 y .
因l为 im ( z)0, z 0
所以lxi m0 1
lim
x0
2
0,
y0
y0
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由此 u (x ,y )与 可 v (x ,y )在 知 (x ,y ) 点 可 , 微 且满 足 uv方 , u 程 v. x y y x
(2) 充分性. 由于 f(z z) f(z) u(xx,yy)u(x,y)
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证 (1) 必要性. 设 f(z)u(x,y)iv (x,y)定义在 D 内 , 区域 且 f(z)在 D 内一 zx点 y可 i ,导 则对于充 z分 xi小 y的 0,
有 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) z ( z ) z ,
其l中 im ( z)0, z 0
第二节 函数解析的充要条件
一、主要定理 二、典型例题 三、小结与思考
一、主要定理
定理一
设函数f (z) u(x, y)iv(x, y)定义在区域
D内,则f (z)在D内一点z x yi可导的充要条
件是: u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微,并且在该
点满足柯西－黎曼方程
柯西介绍
u v , u v. x y y x
[证毕]
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根据 ,可 定得 理 f(z)函 一 u (x ,y 数 )i(v x ,y)在 点 zxy处 i 的导 : 数公式
f(z)uiv1uv. x x iy y
函数在区 D内域解析的充要条件 定理二 函数 f(z)u(x,y)iv(x,y)在其定义 域D内解析的充:要 u(x条 ,y)与 件 v(x是 ,y)在 D内可,并 微且满足柯西 程.－黎曼方
令 f ( z z ) f ( z ) u i v ,
f(z)aib , ( z )1 i2 ,
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所 u 以 i v
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
(a x b y1 x2 y) i(b xa y2 x1 y)
于 u a x 是 b y 1 x 2 y ,
例4 证明函 f(z) 数xy在点 z0满足柯 西－黎曼方 z0程 不但 可 . 在 导点
证 因为 f(z) xy , 所u 以 x,yv0,
u x(0,0)lx i0u m (x,0 x ) 0 u (0,0)0 vy(0,0), uy(0,0)ly i0m u(0,yy) 0 u(0,0) 0vx(0,0), 柯西－黎曼方z程 0成 在立 点 .
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(3)wzRze)(x2 xy,i ux2, vx,y u2 x , u0 , vy, vx . x y x y 四个偏导数均连续 仅当 xy0时,满足柯西－黎 , 曼方 故w 函 zR z 数 )仅 e(z 在 0 处,可导 在复平面内处处不解.析
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例3 设f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2),
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11
(2 )f(z) ex (cy o issiy )n 指数函数
u exco y, s v exsiy,n
uexcoy,suexsiyn ,
x
y
四个偏导数
vexsiyn, vexcoy,s 均连续
x
y
即uv, uv. x y y x
故f(z)在复平面内处 ,处处 处可 解 . 导 析
且 f ( z ) e x (c y i s o y ) i s n f ( z ).
问常a数 ,b,c,d取何值 , f(时 z)在复平面内处
解析 ? 解 u2xay,
x
v 2cxdy, x
u ax2by, y v dx2y, y
欲使 uv, uv, x y y x
2xaydx2y, 2cx d yax2by,
所 a 2 ,b 求 1 ,c 1 ,d 2 .
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但当 z沿第一象限 y内 kx趋 的于 射,零 线时
i[v(xx,yy)v(x,y)] ui v, 又u ( 因 x ,y )与 v ( 为 x ,y )在 (x ,y ) 点 可 , 微
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于 u 是 u x x u y y1 x 2 y ,
v x v x v y y3 x4 y, 其 lx中 i0m k0 , (k1 ,2 ,3 ,4 )
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解析函数的判定方法: (1)如果能用求导导 公法 式则 与证 求实复变 数f(z)的导数在D区 内域 处处,存 则在 可根据 解析函数的定f(义 z)在 断 D内 定是解.析的
(2)如果复变函 f(z数 )uiv中u,v在D内 的各一阶偏导数、都连存(续 因 在而u,v(x, y) 可微 )并满足 CR方程 ,那么根据解析函数 的充要条件可以 f(z断 )在定 D内解.析
y 0
因 f(z 此 z ) f(z )
u x i x v x u y i v y y (1 i3 ) x (2 i4 ) y .
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由柯西－ u 黎 v, 曼 u 方 vi程 2v, x y y x x
f(z z)f(z)
u xi x v(xiy)(1 i3 ) x (2 i4 ) y .
f(zz)f(z) z
u x
i
v x
(1i3) x z(2i4) y z.
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因为 x1, y1,
z
z
lz i0 m (1 i3) x z (2 i4) y z 0 ,
所f( 以 z) lif m (z z)f(z) u i v .
z 0
z
x x
即 f ( z ) 函 u ( x , y ) i( x v , 数 y ) 在 z x y 点 可 i .