矩阵论 杨明 华中科技大学 课后习题解答

0 0
，
E2
0
0
1 0
，
E3
0
1
0 0
，
E4
0 0
0
1
0
G1
1
1 1
，
G2
1 1
0 1
，
G3
1
0
1 1
，
G4
1 1
1
0
求基{Ei}到基{Gi}的过渡矩阵，并求矩阵
0 2
1 3
在基{Gi}下的坐标
X。
解： G1 G2 G3 G4 E1 E2 E3 E4 C1 C2 C3 C4 , Ci R4
k ( 2 0 0T ，) 而 x2 y2 z2 4 1， k W1 。
（2）不是子空间，因为 W2 中没有零元。 （3）、（4）为子空间。
10. 设 1 (1, 2,1, 0)T ， 2 (1,1,1,1)T ， 1 (2, 1, 0,1)T ， 2 (1, 1,3, 7)T ，
x2 3 4 x3
x3 x4
分别取 x3 1, x4 0 和 x3 0, x4 1 ，求得齐次方程 AX 0 解空间的一组基
1 4 1 0T , 1 1 0 1T
所以 A 的零空间为
N(A ) L 1 4 1 T0 , 1 1 T0 1
8.在 R22 中，已知两组基
1
E1
0
显然
k1,r1
பைடு நூலகம்
k2,r
1
kr
,r
1
1 0
0
k1,r2
k2,r2
kr,r2
0 1
0
k1,n
k2,n
kr,n 0
N
(
A)
0 1
上述 n-r 个向量线性无关，而 k1, k2 , , ks1,1, 0, 0T ，s<r 不为 N(A)中的向量，否则与
A
2
1
2
1
0
1
4
1
1 1 5 2 0 0 0 0
矩阵 A 的秩为 2，从 A 中选取 1、2 列（线性无关）作为 R(A)的基，于是
R(A ) L 1 2 T1 , 1 1 T 1
由 AX 0 ， X (x1, x2 , x3 , x4 )T ，rank(A)=2，有
xx12
A1, A2 , , Ar 线性无关矛盾，故
所以
dimN(A)=n-r dimR(A)+dimN(A)=n
1 1 3 0
7.设
A
2
1
2 1 ，求矩阵 A 的列空间 R(A)和零空间 N(A)。
1 1 5 2
解：通过矩阵的行初等变换将矩阵 A 化为行阶梯形
1 1 3 0 1 1 3 0
1 1 1
4.设
A
2
1
3 ，讨论向量 (2,3, 4)T 是否在 R(A)中。
3 1 5
1 1 1 | 2 1 1 1 | 2
解：构造增广矩阵
A
|
2
1
3
|
3
0
1
1
|
1
3 1 5 | 4 0 0 0 | 0
矩阵 A 与其增广矩阵秩相同，向量 可由矩阵 A 的 3 个列向量线性表示， 在列空间 R(A)
习题一
1.判断下列集合对指定的运算是否构成 R 上的线性空间
n
（1）V1 {A (aij )nn | aii 0}，对矩阵加法和数乘运算； i 1
（2）V2 {A | A Rnn , AT A}，对矩阵加法和数乘运算；
（3）V3 R3 ；对 R3 中向量加法和如下定义的数乘向量： R3 , k R, k 0 ；
（2）W2 {A | A2 I , A Rnn} ；
（3） R3 中，W3 { (x1, x2 , x3 ) |
t 0
(
x1
2
x2
x3}d
0} ；
mn
（4）W4 {A (aij )mn |
aij 0}。
i1 j1
解：（1）不是 R3 子空间，对加法及数乘运算不封闭。如取 k=2， (1 0 0)T ，
解：一组基
1
0
0
0 1
0 1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1 0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
1
0
0 1
0
dimW=n(n+1)/2
3.如果 U1 和 U2 都是线性空间 V 的子空间，若 dimU1=dimU2，而且U1 U2 ，证明：U1=U2。
0
1 0
1 0
1 0
，该矩阵秩为
2
1
2
4
0
0
0
所以向量组 P1,P2,P3 线性相关。
6.设 A Rmn ，证明 dimR(A)+dimN(A)=n。 证明： R(A) L{A1, A2 , , An}， N(A) {X | AX 0, X Rn} 假定 dimR(A)=r，且设 A1, A2 , , Ar 为 R(A)的一组基 则存在 k1i , k2i , , kri (i r 1, , n) ，其中 k1i , k2i , , kri 不全为零 使 k1i A1 k2i A2 kri Ar Ai 0 (i r 1, , n)
中。
5. 讨 论 线 性 空 间 P4[x] 中 向 量 P1 x3 x2 x 1 ， P2 2x3 x2 3x ，
P3 4x3 x2 5x 2 的线性相关性。
1 0 2
解： P1
P2
P3
(1 x
x2
x3 ) 1 1
3 1
5
1
1
2
4
而
1 0 2 1 0 2
1 1
3 1
5
由此，得过渡矩阵
0 1 1 1
C
1
0
1
1
1 1 0 1
1
1
1
0
再由
0 1 0 1 1 0 1 1 1 1
2
3
x1
1
1 x2 1
1
x3
0
1 x4 1
0
解得
X 0 1 2 3T
9.判别下列集合是否构成子空间。
（1）W1 { (x, y, z) | x2 y2 z2 1, x, y, z R}；
证明：因为 dimU1=dimU2，故设
1,2 , ,r 为空间 U1 的一组基，1, 2 , , r 为空间 U2 的一组基
U2 ，有
1 2
而
r X
1 2 r 1 2 r C ，C 为过渡矩阵，且可逆
于是
1 2
r X 1 2
r C1 X 1 2
由此，得
r Y U1
U2 U1 又由题设U1 U2 ，证得 U1=U2。
（4）V4 { f (x) | f (x) 0}，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为 R 上线性空间
（3）不是，由线性空间定义，对 0 有 1 = ，而题（3）中1 0 （4）不是，若 k<0，则 kf (x) 0 ，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间V {A Rnn | AT A}的维数和一组基。